Das ideale Gas - Joerg Enderlein

Youngsche Gleichung
Tropfenvolumen:
Tropfenoberfläche:
σ gl
R
R + δR
2 1
= π ( 1−cosθ) − π( sin θ) 2
cosθ
3 3
3
V R R R
Aoben
θ
( )
2
= 2πR
1−cosθ
θ
σsl
Aunten
σsg
(vernachlässige
Gravitation)
2 2
= πR
sin θ
PC II für Biochemiker
Eberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de

Youngsche Gleichung
V
Aoben
R
1
3
R
( 2 2cos sin cos )
= π 3 − θ− 2 θ θ
( )
2
= 2πR
1−cosθ
Aunten
⎡
3V
⎤
= ⎢
⎥
⎢ π (
2
2 − 2cos θ− sin θ cos θ ) ⎥
⎣
⎦
2 2
= πR
sin θ
13
Freie Energie:
(vernachlässige
Gravitation)
( ) 0
δ F =σ δ A + σ −σ δ A =
⎡
⎢
⎣
gl oben sl sg unten
⎛dA
⎞ dA ⎤
( )
⎛ ⎞
⎜ ⎥
dθ
⎟ ⎜
dθ
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
oben
unten
= σ
gl
+ σsl −σsg
δθ
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Youngsche Gleichung
σ gl
θ
σsl
Rand- bzw. Benetzungswinkel θ
σsg
„Kräftegleichgewicht“:
σ
sl
+σgl cos θ=σsg
Benetzungsspannung
σ
sg
−σ
sl
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p s
pm
=
2σ
R
=ρgh
Kapillarkraft
R
p
m
=
p
s
σ
HO
= 72 ⋅10 −3 N/m
2
3
2σ
ρ
HO
= 10 kg/m 3
2
h = ρ gR
−4
R = 510 ⋅ m
h = 29.4 mm
h
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Statistische Thermodynamik einer Polymerkette
Modell:
Kette aus N starren
Kettengliedern der Länge a
Unstrukturierte Polymerkette
= Zufallskette
Die Orientierung jedes Kettengliedes
ist vollkommen unabhängig
von der Orientierung
aller anderen Glieder
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1D-Polymer
Δ x =± a
Glied-Nr.
Position x
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1D-Polymer
x
N
N
= ∑ Δ
j=
1
x
j
Δ x =± a
j
Mittelwert: xN
= ∑ Δx
j = 0 Δ = 0
N
j=
1
x j
Quadratische Abweichung:
2
⎧ a , j = k
ΔxjΔ xk
= ⎨
⎩ 0 , j ≠ k
2
⎛
N
⎞
N
2
N
= ⎜∑Δ j ⎟ = ∑ Δ
jΔ
k
j= 1 j, k=
1
x x x x
⎝ ⎠
x = Na = La
2 2
N
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DNS-Doppelhelix
Persistenz-Länge
a ≈ 50 nm
Länge per
Basenpaar
≈ 0.33 nm
End-to-end-distance (nm)
Konturlänge (nm)
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1D-Polymer
Wie viele Möglichkeiten hat die Kette
der Länge N, an der Position n zu enden?
N
+
2
n
Schritte nach rechts und
N
−
2
n
Schritte nach links
Verteile (N + n)/2 rote und (N − n)/2 blaue Kugeln auf N Kästen
( )
W n
N !
=
⎡ ⎣( N + n) 2! ⎤⎡ ⎦⎣( N − n)
2! ⎤ ⎦
Möglichkeiten
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1D-Polymer
Wie groß ist die Wahrscheinlihkeit für
eine der W(n) Möglichkeiten,
an der Position n zu enden?
p
=
1
( )
W n
Entropie:
( ) =− ln = ln
S n k Wp p k W
B
B
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1D-Polymer
( )
W n
N !
=
⎡ ⎣( N + n) 2! ⎤⎡ ⎦⎣( N − n)
2! ⎤ ⎦
⎛ N + n N + n N −n N −n⎞
lnW ( n)
≈⎜Nln N − ln − ln ⎟
⎝ 2 2 2 2 ⎠
Taylorreihe
( y ) ln ( y ) yln y ( 1 ln y)
+ε +ε ≈ + + ε+
2
ε
2y
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Intermezzo: Taylorreihe
Problem: Wir möchten eine Funktion f(x) an der Stelle x 0 in
eine Potenzreihe nach (x – x 0 ) zerlegen
2
( ) ( ) ( ) ( ) … ( ) ( )
f x = f x + c x− x + c x− x + = f x + ∑ c x−
x
0 1 0 2 0 0 j 0
j=
1
Differenziere beide Seiten k-mal nach x an der Stelle x 0 :
∞
j
k
d f
k
dx
x=
x
0
=
kc !
k
c
k
=
k
1 d f
k
k!
dx
=
x x
0
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1D-Polymer
( )
W n
N !
=
⎡ ⎣( N + n) 2! ⎤⎡ ⎦⎣( N − n)
2! ⎤ ⎦
⎛ N + n N + n N −n N −n⎞
lnW ( n)
≈⎜Nln N − ln − ln ⎟
⎝ 2 2 2 2 ⎠
Taylorreihe
( )
lnW n Nln 2
( y ) ln ( y ) yln y ( 1 ln y)
+ε +ε ≈ + + ε+
2
n
2N
≈ − W ( n)
3D-Polymer: W ( n )
x
ny ny
2
ε
2y
2
N
⎛ n
≈ 2 exp⎜−
⎝ 2N
⎛ n + n + n
N
, , ≈ 2 exp
−
⎜
⎝
2N
2 2 2
x y z
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
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3D-Polymer
Gaußsche
Zufallskette
n
=
a
x
/ 3
N
L
a
= W ( n)
≈
⎡
La
2 exp⎢−
⎢
⎣
3
( x 2 + y 2 + z
2
)
2aL
⎤
⎥
⎥
⎦
3k ( ) (
2 2 2
S x, y, z ≈ const− B
x + y + z ) xyz , ,
2aL
L
1. Hauptsatz: dU = TdS + fdx
Kraft
Längenänderung
dS
≈−
3k B
x
La
3kTx B
3kTx
− dx + fdx = 0 f ≈ B
La
La
Entropisch generierte Kraft
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