Text als pdf (32 Seiten) - Peter Geering

UNTERRICHTEN MIT DEM
ATLAS MATHEMATIK 4
Peter Geering
Unter Mitarbeit von Werner Fessler

2
Das bietet der ATLAS MATHEMATIK:
Den Kindern
• Lernbücher „Ich kann Mathematik“ als anregende Sammlung von Aktivitäten
und Spielen in denen die Kinder direkt angesprochen werden. Darin können
sie ihr Können zeigen und mehren, sich mit Fragen auseinandersetzen und
Entdeckungen machen.
• Ein Minimum an didaktischen Materialien, die Kinder auch selbst herstellen
können. Meist genügen Alltagsgegenstände, um Mathematik zu begreifen.
Den Eltern
• Ein Begleitheft für Eltern und Begleitpersonen, das ihnen hilft, das Lernen der
Kinder zu verstehen und zu unterstützen.
• Lernbücher anhand derer die Eltern mitverfolgen können, an welchen Fragen
ihre Kinder in der Schule arbeiten. Die Bücher enthalten alle notwendigen Informationen
in verständlicher Form. Aus der Art der Bearbeitung können die
Eltern auf den Lernstand ihrer Kinder schließen.
Den Lehrpersonen
• Lehrermaterial mit Vorschlägen für Jahresplanungen in thematischen Etappen.
• Module = Unterrichtseinheiten für einen offenen und differenzierenden Unterricht,
geeignet auch für altersdurchmischte Lerngruppen.
• Lernbücher die den Lernstand der Kinder dokumentieren. Sie bilden die
Grundlage für Elterngespräche und helfen bei der Individuellen Förderplanung.
• Begleitbogen und Beobachtungsformulare zum Festhalten des Lernstandes
jedes Kindes.
• Lernzielblätter mit Aufgaben zur Illustration der Lernziele.
Mathematische Kompetenzen als Basis
In Form und Inhalt verständlich formulierte Lernziele („Ich kann . . .“) bilden den
Ordnungsraster für alle Teile des ATLAS MATHEMATIK. Er dient dazu festzustellen,
was Kinder können, wo ihre Lernchancen liegen und welche Fortschritte sie machen.

VORWORT
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Liebe Grundschullehrerin, lieber Grundschullehrer,
Kinder kommen mit unterschiedlichen Voraussetzungen in die Schule. Vielfältig
ist, was sie an Selbst-, Sozial- und Sachkompetenz mitbringen. Findet das Anerkennung,
freut es die Kinder. Sie fühlen sich ernst genommen und sind motiviert,
etwas zu leisten.
Effizienter Unterricht nutzt vorhandene Kompetenzen. Er schafft dadurch Freiraum
für Kinder und Lehrpersonen. Die Kinder können sich auf das konzentrieren,
was für sie wirklich wichtig ist. Selbstständig arbeitende Kinder erleichtern es der
Lehrperson, sich denjenigen zu widmen, die auf ihre Hilfe angewiesen sind.
Den Kindern Stück für Stück Verantwortung für ihren Lernweg zu übertragen erfordert
Vertrauen in ihre Lernfähigkeit, Geduld, wenn sie langsamer lernen, als wir
es möchten, und eine Unterrichtsorganisation, die auch in größeren Klassen den
Überblick gewährleistet.
Unterricht mit dem ATLAS MATHEMATIK erlaubt den Kindern eigene Wege zu gehen.
Der Lehrperson stellt der ATLAS MATHEMATIK organisatorische Hilfsmittel
zur Verfügung, die ihr den Überblick verschaffen, wo sich die Kinder auf ihren individuellen
Wegen befinden.
Der ATLAS MATHEMATIK enthält eine große Auswahl an Unterrichtsideen (MO-
DULEN) für das gesamte Schuljahr. In der ETAPPENPLANUNG finden Sie einen Vorschlag,
welche Module Sie in welcher Reihenfolge einsetzen können. Je nach den
Bedürfnissen und den Interessen der Kinder können Sie davon abweichen. Zu jedem
Modul und in jeder Etappe finden Sie dazu geeignete Differenzierungsvorschläge.
Zu den wichtigsten Lernzielen eines Schuljahres ist in den LERNBÜCHERN eine
Auswahl von Modulen so gestaltet, dass sie Kinder direkt ansprechen. So sind die
Kinder in der Lage, nach Lust, Interesse und Fähigkeiten ihre Aktivitäten auszuwählen
und Verantwortung für ihren Lernweg zu übernehmen. In den Lernbüchern
sollen die Kinder Mathematik als etwas Lustvolles erfahren: Einerseits ist
die Mathematik ein Werkzeug, das den Kindern die Welt erschließt. Andererseits
entdecken sie innermathematische Strukturen von eigenem Reiz und eigener
Schönheit.
Mit Werkzeugen wie dem LERNBEGLEITBOGEN und ab dem 2. Schuljahr den LERN-
ZIELBLÄTTERN können Sie feststellen, ob alle Kinder auf einem richtigen Weg sind,
ihre mathematischen Fähigkeiten weiterentwickeln und tragfähige Grundlagen
für das Weiterlernen erwerben. So gewinnen Sie die nötige Sicherheit für eine
kompetente Begleitung der Kinder.
Der ATLAS MATHEMATIK ermöglicht individualisierten Mathematikunterricht in
anregender und entspannter Atmosphäre. Freuen Sie sich darauf!
Peter Geering

4
INHALT
Der ATLAS MATHEMATIK
Kreativität im Mathematikunterricht, Erkenntnis und Training …………………………………………………… 5
Eigenständig lernen
Das Lernbuch 4 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 8
Unterricht planen und gestalten mit dem ATLAS MATHEMATIK
Jahresplanung mit dem Lehrermaterial …………………………………………………………………………………………… 10
Lernen begleiten
Lernbegleitbogen, Lernzielblätter, Beobachtungsbogen ………………………………………………………………… 14
Zielorientiert arbeiten
Die Ziele des vierten Schuljahres ……………………………………………………………………………………………………… 19
Lernmedien und Arbeitsmaterialien …………………………………………………………………………………………………30
Lesetipps …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 32

ATLAS MATHEMATIK
5
Der ATLAS MATHEMATIK
Kreativität im Mathematikunterricht, Erkenntnis und Training
Kinder wollen sich die Welt erschließen. Dazu gehören
Zahlen und Operationen ebenso wie Buchstaben und Bücher.
Nach heutigem Lernverständnis ist Mathematik so
individuell wie die Sprache: Jeder Mensch baut sie in sich
auf. Übereinkünfte regeln und erleichtern den zwischenmenschlichen
Austausch.
Die Welt „erschließen“ heißt nicht, sie neu zu erfinden.
Was andere schon gefunden haben, wird wahrgenommen,
verarbeitet und ins eigene Weltbild eingefügt. Was
Kinder brauchen, das sind Anregungen und die Gelegenheit,
sich mit ihnen auseinander zu setzen, sie zu verarbeiten
und sie schließlich in den eigenen Wissensbestand
einzubauen. Diese kreative Auseinandersetzung braucht
Freiräume auf dem Papier und in der Zeit.
Kreatives Mathematik-Treiben braucht
Anregungen, Raum und Zeit
Der ATLAS MATHEMATIK ist eine SAMMLUNG VON FRA-
GEN, die Leute aller Alters- und Leistungsstufen herausfordern
können. Für Erwachsene, die sich mit Kindern darauf
einlassen, ist die Herausforderung eine doppelte:
einmal die Mathematik, die auch sie vor Fragen stellt,
dann die Aufgabe, den Überlegungen der Kinder zu folgen.
Mit Kindern Mathematik zu treiben ist spannend. Auch
einfache mathematische Fragen können herausfordern –
und wie Kinder sie angehen erst recht.
In vielen Lehrwerken zur Mathematik wird das Lernen der
Kinder vorgeplant. Der Grund dafür liegt in der irrigen Annahme,
dass der logische Aufbau der Mathematik gar
nichts anderes zulasse, oder der ebenso falschen Unterstellung,
dass freies Lernen in der Mathematik die Kinder
überfordere (wo doch so viele Erwachsene mit ihr nicht
klarkommen ...). Die leidige Tatsache, dass viele Erwachsene
mit unguten Gefühlen auf ihre (Schul-)Mathematik-
Karriere zurückblicken, liegt aber weniger an der Mathematik
als an einem Unterricht, der Kindern nichts zutraut
und ihnen deshalb ohne Rücksicht auf ihr Vorwissen und
ihr Denken eine fertige, von Erwachsenen vorgedachte
Mathematik überstülpt. Wie Kinder denken und wozu sie
fähig sind zeigt das spannend geschriebene Buch von
SPIEGEL und SELTER (2003):
Kinder denken anders, als wir Erwachsene denken, anders,
als wir es vermuten, und anders, als wir es gerne hätten.
Mathematikunterricht heute
Der Auftrag des Mathematikunterrichts hat sich gewandelt.
Durch die Verbreitung der elektronischen Rechengeräte hat
der frühere Schwerpunkt, die Kulturtechnik „Rechnen“, an
Bedeutung verloren. „Mathematische Grundbildung“ ist als
Hauptziel an ihre Stelle getreten.
Nach PISA bedeutet mathematische Grundbildung: „Der
Mathematikunterricht sollte anstreben, die folgenden
drei Grunderfahrungen zu ermöglichen:
• Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen
oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und
Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und
zu verstehen,
• mathematische Gegenstände und Sachverhalte,
repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und
Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine geordnete
Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,
• in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten,
die über die Mathematik hinaus
gehen, zu erwerben.“
Grundsätzlich gewandelt haben sich nicht nur die Ziele,
sondern auch die Vorstellungen darüber, was „Mathematik“
in der Schule bedeuten soll, und die Art, wie man Mathematik
lernt. Mathematische Grundbildung und Rechenfertigkeit
sind keine Gegensätze. Die erste schließt
die zweite ein. Grundbildung basiert auf Einsicht. Aber
auch Fertigkeiten sind einsichtig und vernetzt leichter zu
erwerben und zu erhalten.
Effizientes Lernen ist einsichtig
und vernetzt.

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Kreative Aktivitäten und Spiele
Entsprechend den Zielen und den heutigen Erkenntnissen
bezüglich des Lernens enthält der „Atlas Mathematik“:
• Aktivitäten zur Entwicklung von Erkenntnissen und
Vorstellungen.
Kennzeichen: Anregungen zur Auseinandersetzung
mit Fragen und zu kreativen Tätigkeiten, die „Lernspuren“
hinterlassen.
• Trainingseinheiten für Fertigkeiten.
Kennzeichen: Beliebige Wiederholbarkeit, oft in
Spielform. Gute Lernspiele sind einfach in den Regeln
und im Material, sind im Schwierigkeitsgrad breit
variierbar und bieten ein intensives Training.
Die Handlungsschritte werden dazu in einer Stellentafel
notiert. Die Seiten 34 bis 37 enthalten Beispiele dazu, bilden
aber natürlich keinen Ersatz für die Eigentätigkeit der
Kinder, sondern sollen diese anregen.
Verteilen können die Kinder auch ohne Kenntnis des Einmaleins
bereits im Kindergarten. Auch für ein an die
Handlung angelehntes Verfahren der schrittweisen Division
ist die Beherrschung des Einmaleins nicht eine zwingende
Voraussetzung. Es ist im Gegensatz zu den rein
formalen Verfahren auch Kindern mit Defiziten oder Lernschwierigkeiten
in Mathematik zugänglich.
Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, Seite 34 Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, Seite 36
Beispiele von Aktivitäten
(Lernbuch 4 „Ich kann Mathematik“, Seiten 34 – 37)
Die Division gilt als schwierigste Rechenoperation. Dabei
ist den Kinder das gerechte Verteilen sehr vertraut. Sie
wissen auch, dass es je nach dem aufgeht oder etwas übrig
bleibt.
Rechenverfahren zur Division können direkt aus dem
handelnden Verteilen oder Aufteilen abgeleitet werden.
Aktivitäten und produktive Übungen aus
dem „Atlas Mathematik“ erleichtern
Beobachtungen über den Lernstand der Kinder.
Die Übungen lassen sich dem Lernstand
des Kindes auf einfache Weise anpassen.

ATLAS MATHEMATIK
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Beispiel einer Trainingseinheit
(Lernbuch 4, Seite 62)
Das Ziel der Trainingseinheiten ist Sicherheit.
Spielformen an Stelle der üblichen „Einweg-Arbeitsblätter“
bieten viele Vorteile:
• Sie sind repetitiv in zweierlei Hinsicht: Im Spiel wird
eine Aufgabe (Summe bilden) mit großer Häufigkeit
ausgeführt. Das Spiel als Ganzes kann beliebig oft
wiederholt werden, auch in späteren Schuljahren. Je
einfacher und bekannter das Spiel ist, desto besser
geht das. Das ist wichtig, weil Fertigkeiten ohne
anhaltendes Üben wieder verloren gehen.
• Sie benötigen keine mathematikfremde Verpackung
zur Motivation (Es geht nur um die Summe dreier
Zahlen). Damit können die Kinder im Spiel ihr
wachsendes Können erkennen – und sich daran
erfreuen und motivieren. Die originelle Gestaltung
und Garnitur von Arbeitsblättern ist für Schwächere
oft ein Lernhindernis.
• Sie lassen sich im Schwierigkeitsgrad leicht den
Bedürfnissen der Lernenden anpassen und allmählich
steigern. Die Anpassung und Steigerung kann
von den Lernenden selbst vorgenommen werden.
• Sie motivieren zur gegenseitigen Kontrolle – was die
Intensität der Rechentätigkeit natürlich erhöht.
• Sie geben den Kindern Gelegenheit, bei den Spielregeln
ihre Kreativität zu zeigen, indem sie diese
autonom ändern oder selbst welche neu erfinden.
• Spiele kommen meist ohne schriftliche Aufzeichnung
aus. Das erschwert den Überblick über den Stand der
Klasse. Es ist deshalb sinnvoll, die Kinder ab und zu
ihre Spielrunden protokollieren zu lassen. Damit oder
mit Varianten, die das Notieren der Rechnungen
verlangen, wird auch das Schreiben und das Darstellen
von Rechnungen geübt.
Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, Seite 62
In guten Lernspielen kommt der repetitive
Charakter eines Fertigkeitstrainings
besser zum Ausdruck als in gedruckten
Aufgabenserien.
Einfachste Spielformen trainieren sehr
effizient und sind praktisch kostenlos.
Es gibt Kinder, die Rechenpäckchen aus Büchern oder auf
Rechenblättern sehr gerne bearbeiten. Andere möchten
das hie und da auch einmal versuchen. Wenn sie das freiwillig
und ohne Zwang tun, ist das durchaus positiv zu
werten. Man muss ihnen dazu die Gelegenheit geben
und entsprechende Aufgaben zur Verfügung stellen.
Eine sinnvolle und kreative Variante zu Rechenpäckchen
zu kommen besteht darin, dass die Kinder selbst welche
zusammentragen und austauschen. Anregungen dazu
finden sie im „Atlas Mathematik“ an verschiedenen Orten.

8
Eigenständig lernen
Das Lernbuch 4
Als Leitidee hinter den Modulen steht die Vorstellung von
selbstbestimmtem eigenständigem Lernen. Zu den wichtigsten
Lernzielen wurden deshalb in den Lernbüchern
ICH KANN MATHEMATIK Module so aufbereitet, dass sie
die Kinder direkt ansprechen.
In den Lernbüchern wurden die Module nicht als Lehrgang
linear geordnet, sondern nach Zielen gruppiert. Damit
wird unterstrichen, dass die in der Unterrichtsplanung
vorgeschlagene Reihenfolge nicht zwingend ist.
Es ist ausdrücklich erwünscht, dass Kinder in dafür geeigneten
Arbeitsphasen und zu Hause nach Lust und Laune
auswählen. Entgegen der verbreiteten Meinung ist die
Freiheit beim Mathematiklernen sehr groß. Es ist die Mathematik
selbst, die immer wieder zeigt, wenn etwas
noch fehlt, die Lernende zurückholt, wenn sie sich zu weit
vorwagen. Werden alle im Lernbuch aufgenommenen
Module im Laufe des Schuljahres bearbeitet – was ohne
Zeitdruck möglich ist – ist auch die Abdeckung der Lernziele
gewährleistet.
Aufgaben im traditionellen Format mit Feldern, in denen
die Ergebnisse eingetragen werden sollen, fehlen in den
Lernbüchern weitgehend. An ihrer Stelle sind Anregungen
zu kreativen Tätigkeiten und produktive Übungsformen
zu finden. In diesen wählen die Kinder selbst Zahlen
oder generieren sie mit einem Zufallsgenerator (Würfel
oder Zahlenkarten).
Die Inhalte des Lernbuchs repräsentieren
die wichtigsten Ziele. Viele Zugänge sind
möglich. Die innere Logik der Mathematik
garantiert, dass eine von Neugier und
Interesse geleitete Arbeit zu einem
sinnvollen Ganzen führt.
Übersichtsseite aus dem Lernbuch 4 Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, S. 60

ATLAS MATHEMATIK
9
In den Lernbüchern erscheinen auch bekannte Aufgaben
und Übungen in einem neuen Gewand:
• Der Text spricht die Kinder immer direkt an: mit der
Frage, der Beschreibung und dem Ziel. Alle zur
Bearbeitung notwendigen Informationen stehen auf
den Blättern, ebenso die Ziele. Sie sind in einer den
Kindern zugänglichen Sprache geschrieben, das heißt
in einer Sprache, die im Verlauf der Arbeit mit den
Modulen erworben wird. Auch Fachbegriffe wie
„Addition“,„addieren“ usw. gehören dazu.
• Mit den Lernbüchern arbeiten zu können ist ein Ziel
für die ganze Schulzeit: selbstständig mathematischen
Fragen nachgehen zu können. Bei Schulbeginn
ist das schon vom Textverständnis her noch nicht der
Fall und auch für die folgenden Jahre gilt: Die
meisten Kinder benötigen mehr oder weniger Hilfe
dazu von Lehrpersonen, Eltern, Geschwistern oder
Betreuungspersonen.
• Die Lernbücher sind kein „Einwegmaterial“, das
bearbeitet und weggelegt wird. Die festgehaltenen
Überlegungen, Rechnungen und Ergebnisse erinnern
später an gewonnene Erkenntnisse. Viele Übungen
erscheinen als Spiele, die immer wieder gespielt
werden können.
Lernbestand und Förderplanung
Das Lernbuch ist mehr als ein Arbeitsbuch. Dank seiner
Struktur geben die bearbeiteten Seiten mit den zugehörigen
Eigenproduktionen der Kinder ein Bild ihres Lern-
• Die Module sind im Lernbuch thematisch nach Zielen
geordnet und können in unterschiedlicher Reihenfolge
bearbeitet werden.
• Die Seiten der Module enthalten viel freien Raum, der
zu Notizen und Zeichnungen einlädt. Auf „motivierende
Füll-Illustrationen“ wird absichtlich verzichtet.
Die Fragen sind Motivation genug.
Die Seiten des Lernbuchs 4 enthalten Texte,
die sich in ihrer Form an die Kinder richten.
Es wird aber immer noch davon ausgegangen,
dass die Seiten mit den Kindern gelesen
und erarbeitet werden.
Die ins Lernbuch aufgenommenen Beispiele von Kindern
sind keine nur nachzuvollziehenden Muster. Sie sollen zu
Diskussionen und eigenen, neuen Beispielen anregen.
Beispiel Titelbild: Passen wirklich 120 l in eine Badewanne?
Wie viel müsste man pro Tag trinken, um die Badewanne
zu leeren?
stands. Diese Produkte zusammen mit den noch offenen
Seiten bilden auch die Grundlage für eine individuelle
Förderplanung. Der Begleitbogen zum Lernbuch ergibt
für die Lehrerin ohne großen Aufwand ein Mathematik-
Profil des Kindes.
Ausschnitt aus dem Begleitbogen zum Lernbuch 4

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Unterricht planen und gestalten
Jahresplanung
In Etappen durch das Schuljahr
In der im ATLAS MATHEMATIK vorgeschlagenen Unterrichtsplanung
sind die Schuljahre in ETAPPEN gegliedert.
Größen und Zuordnungen werden vorteilhaft mit anderen
Themen verbunden, können aber auch in eigenen
Etappen bearbeitet werden. Die Geometrie wird in der
Jahresübersicht separat aufgeführt. Sie ist an keine Reihenfolge
gebunden und kann an beliebiger Stelle in den
Zeitplan eingebaut werden.
Da die arithmetischen Fertigkeiten immer wieder ge-
pflegt werden müssen, ist es sinnvoll dafür regelmäßig
Zeit zu reservieren, beispielsweise jeden Tag einmal nach
der Pause eine kurze Übung. Unter FITNESS sind dazu
Übungen und Spiele zusammengestellt.
Abweichungen in der Reihenfolge der Etappen, die sich
aus Fragen oder Aktivitäten der Kinder ergeben, sind
möglich. Sie werden von der Fachlogik automatisch wieder
korrigiert: Fehlen Voraussetzungen, ist das eine Motivation,
diese nachzuholen. Kommt etwas zu früh und die
Kinder sind überfordert, verlieren sie rasch ihr Interesse
und kehren gerne auf den „Normalpfad“ zurück. Haben
Etappen
Fitness
Größen
Zuordnungen
mit großen
Zahlen
umgehen
E1
große Zahlen lesen,
schreiben, runden
x
Geld
E2 mit Hohlmaßen umgehen Hohlmaße Tabellen
E3 addieren und subtrahieren x
dezimale
Größen
E4 schriftlich multiplizieren x Längen
multiplizieren
und dividieren
auf Papier
E5 mit Tabellen arbeiten x
Gewichte,
Geld, Längen
Tabellen
E6 schriftlich dividieren x Geld
Operationen in
Sachsituationen
und Texten
erkennen
E7 vergrößern und verkleinern Längen Tabellen
E8
E9
Größen multiplizieren
und dividieren
mit Sachsituationen und
Texten arbeiten
x
Längen,
Hohlmaße
Zeit, Geld
Tabellen
beschreiben
und zeichnen
G1
G2
Bilder und Muster
beschreiben und entwerfen
mit Geodreieck
und Zirkel zeichnen
x
Längen
Muster

ATLAS MATHEMATIK
11
sie etwas wieder vergessen, wird es nochmals neu thematisiert.
Zeit dafür ist genug.
Aus der Anzahl der Etappen lässt sich eine durchschnittliche
zeitliche Dauer von zwei bis drei Wochen errechnen.
Wie lange die einzelnen Etappen aber bearbeitet werden
sollen, hängt von der Klasse ab.
Zum Einstieg in eine Etappe sollte man den Kindern Gelegenheit
geben zu zeigen, was sie mitbringen. Erst wenn
man das weiß, können sie mit Fragen und Antworten
richtig herausgefordert werden.
Bringen die Kinder viel mit, gewinnt man entsprechend
Zeit, um auf ihre Ideen einzugehen, sich auf Experimente
mit ihnen einzulassen. Bringt die Mehrheit der Kinder nur
wenig mit, konzentriert man sich auf das Grundlegende
und hat so reichlich Zeit dafür. Mit Drängen kann man die
Entwicklung der Kinder nicht beschleunigen, man kann
nur das Angebot ihren Bedürfnissen anpassen.
Module: Bausteine für das Lernen
Zu jeder Etappe gehört ein Angebot von Modulen (Unterrichtseinheiten),
das alle Ziele der Etappe abdeckt. Jedes
Modul geht von einer Frage aus, mit der die Lernenden
direkt angesprochen werden.
Wenn möglich und sinnvoll sind auf allen Modulkarten
Hinweise zur inneren Differenzierung aufgeführt: Hilfen
für über- und Erweiterungen für unterforderte Kinder.
Zunächst bietet man allen Kindern in der Klasse dieselben
Module an. Schon bald zeigt sich jeweils, welche
Kenntnisse – auch im Lesen und Schreiben – die Kinder
mitbringen, wo ihre Interessen sind, was sie erwarten,
worauf sie sich freuen, wovor sie Angst haben.
Wenn die Kinder ihre Umgebung kennen gelernt haben,
mit dem Material vertraut sind und erste Erfahrungen in
der Zusammenarbeit mit den anderen Kindern gemacht
haben, kann man einzelne Module auch Gruppen, Partnerkindern
oder einzelnen Kindern anbieten. Die Kinder
können dann Spiele oder Aufgaben, die sie gemacht haben,
an andere weitergeben. Sie tun das gern, wenn die
Aufgabe, das Spiel, ihnen gefallen hat. Sie lernen dabei,
indem sie ihren eigenen Lernprozess nachvollziehen und
sich verständlich ausdrücken müssen.
Modulkarte Schriftlich multiplizieren aus Etappe 4
„Schriftlich multiplizieren“

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Etappenziele erreichen:
Etappenkommentar und Etappenplan
Für die permanente Beobachtung und Standortbestimmung
der Kinder im Hinblick auf das Erreichen der Lernziele
bietet der ATLAS MATHEMATIK zu jeder Etappe zwei
Hilfsmittel: den Etappenkommentar und den Etappenplan.
Der ETAPPENKOMMENTAR beschreibt, worum es in der
Etappe geht. Er geht aus von der Perspektive der Lernenden
(wie berührt sie das Thema der Etappe?), enthält die
Ziele der Etappe und schließlich Hinweise für die Lehrperson
(s. auch Abb. auf S. 11).
Im ETAPPENPLAN findet man zu jeder Etappe eine Übersicht
über die zugehörigen Module (s. Abb. auf S. 13).
Neben dem benötigten Material, der Sozialform, dem
Modultyp und dem Anforderungsniveau ist zu jedem Modul
das wichtigste Lernziel (z. B. „Zahlen in Faktoren zerlegen“)
und die den Lernprozess anregende Eingangsfrage
(z. B. „Welche Produkte sind gleich?“) angegeben. Eine Erklärung
der Abkürzungen findet sich bei den Etappen auf
der CD-ROM.
mathematische Kompetenzen,
die in der Etappe
angesprochen werden
Schwerpunkte der Arbeit und Beobachtung
Ziele der
Etappe
Die fett gedruckten Fragen
erleichtern das Beobachten
der Kinder.
Aus dem Etappenkommentar zur Etappe 4 „Schriftlich multiplizieren“

ATLAS MATHEMATIK
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Module
Material
Sozial–
formen Typ
Anforderungen
M0730
LB 4, S.32
Multiplizieren auf der Stellentafel
Wie weit kommst du in 1000 Schritten?
Arbeitsheft,
Messband
EA
A B
Multiplikationen auf die Stellentafel übertragen
G
M0722
LB 4, S.38
Schriftlich multiplizieren
Wie kannst du schriftlich multiplizieren?
Taschenrechner,
Stellentafel,
Zahlenkarten bis 100
EA
PA
A B
Multiplikationsschritte erklären
G/E
M0723
LB 4, S.46
Stellen-Einmaleins
Wie viele Nullen hat das Ergebnis?
Taschenrechner,
Stellentafel,
Einmaleins-Tabelle,
EA
A B
das Stellen-Einmaleins verstehen und anwenden
G
M0392
Gleiche Produkte
Welche Produkte sind gleich?
Schreibzeug,
Arbeitsheft
Taschenrechner
EA
A B
Zahlen in Faktoren zerlegen
G/E/Z
M0728
LB 4, S.52
Multiplikationen überschlagen
Multiplikationen überschlagen
Taschenrechner
EA
A B
Wie kannst du Multiplikationen überschlagen?
G
Ausschnitt aus dem Etappenplan zur Etappe 4 „Schriftlich multiplizieren“
Aus dem Etappenplan wird auch ersichtlich, ob es zu dem
Modul passende Seiten im Lernbuch gibt.
Während die Kinder mit der Arbeit an den einzelnen Modulen
beschäftigt sind, können sie einzeln zur Standortbestimmung
beobachtet werden:
• Wer macht was?
• Wer ist wie weit?
• Wer ist überfordert?
• Wer ist unterfordert?
Aus der permanenten Beobachtung und der Standortbestimmung
ergeben sich gleichzeitig Anhaltspunkte für
die weitere Planung:
• Welche Module aktivieren die Kinder besonders?
• Welche kommen nicht an?
• Braucht ein Kind die im Modul angebotene Hilfe, eine
Alternative, ein Erweiterungsangebot?
• Welche neuen Module können eingeführt werden?
Besondere Auffälligkeiten, denen man auf den Grund gehen
muss, wie auch positive Feststellungen können stichwortartig
im Etappenplan notiert werden.

14
Lernen begleiten
Lernbegleitbogen, Lernzielblätter, Beobachtungsbogen
Der Lernbegleitbogen als Lernhilfe
Alle Lernziele eines Schuljahres sind im Lernbegleitbogen
zusammengefasst. Als Begleitbogen der Schülerinnen
und Schüler ist er auch die Grundlage für eine individuelle
Förderplanung. Der Lernbegleitbogen ist in erster Linie
ein Beobachtungsbogen. Er dient der positiven Beobachtung:
als Hilfsmittel um festzustellen, was ein Kind alles
schon kann – mitbringt oder gelernt hat. Er ist kein Pflichtenheft,
weder für das Kind noch für die Lehrperson.
Vieles bringen die Kinder schon mit, anderes werden sie lernen.
Die zwei Felder rechts dienen der „Buchhaltung“. In der
ersten Spalte kann das jeweilige Lernziel abgehakt werden;
in der Spalte dahinter ist Platz für einen Kommentar.
Der Lernbegleitbogen erscheint auf den ersten Blick vielleicht
etwas zu umfangreich und es stellt sich die Frage,
wie solche Bögen für eine ganze Klasse ausgefüllt werden
können. Dazu muss man sich bewusst sein, dass die Bögen
das ganze Jahresprogramm enthalten – und entsprechend
das ganze Jahr zur Verfügung steht, sie auszufüllen. Konzentriert
man sich in jeder Etappe auf wenige Fragen – und
in jeder Lektion auf einzelne Kinder –, können diese Beobachtungen
in einer Pause oder nach Schulschluss ohne großen
Aufwand schnell eingetragen werden.
Für Elterngespräche garantiert mir der Lernbegleitbogen
– zusammen mit Arbeiten der Kinder – eine aussagekräftige
Grundlage und ersetzt mir weitgehend eine besondere
Vorbereitung der Gespräche.
Ausschnitt aus dem Lernbegleitbogen
Zahlen mit Zahlen umgehen G E Z
Zahlen lesen und
schreiben
große Zahlen lesen und schreiben
Zahlen runden
in großen Schritten zählen
Zählen, Zahlen ordnen
große Zahlen ordnen
große Zahlen auf dem Zahlenstrahl anzeigen
Anzahlen und Maßzahlen
erfassen
Beziehungen zwischen
Zahlen erkennen
große Mengen und Größen schätzen
große Zahlen vergleichen
Ausschnitt aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr

ATLAS MATHEMATIK
15
Lernzielblätter
Im Lernbegleitbogen sind die beobachtbaren Lernziele
stichwortartig formuliert.
Die Aufgaben der Lernzielblätter zeigen, wie das Ziel zu
verstehen ist. Aus den Lernzielblättern wird außerdem
deutlich, was grundlegend wichtig und was wünschenswert
ist.
Wo möglich, ist auf den Blättern Platz für das Bearbeiten
der Aufgaben frei gelassen. Dieser wird aber nicht immer
ausreichen. Das Arbeitsheft ist deshalb immer in die Arbeit
mit einzubeziehen.
Die Aufgaben mit grundlegenden
Anforderungen
sind immer ausformuliert
Die Blätter sind grundsätzlich
„nach oben offen“.
Lernzielblatt „Operationen auf Papier sicher ausführen“

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Wie können diese Blätter eingesetzt
werden?
• Aus dem Etappenplan und dem Etappenkommentar
wird deutlich, welche Lernziele in der Etappe angesprochen
und erreicht werden sollen. Die dazu
passenden Lernzielblätter können einzelnen Kindern,
von denen vermutet wird, dass sie die Aufgaben
schon lösen können, schon vor der Bearbeitung der
Etappen im Unterricht gegeben werden. Wenn das
der Fall ist (was immer wieder vorkommt), können
diesen Kindern andere Aufgaben gestellt werden,
solche, die sie herausfordern. So können Unterforderungen,
Langeweile und Störungen vermieden
werden.
• Im Laufe der Arbeit kann man jenen, die das Ziel
erreicht haben (Lernbegleitbogen!), die Aufgaben zur
Bestätigung geben.
• Diejenigen Kinder, denen gewisse Kompetenzen noch
fehlen, bedürfen unterstützender Hilfe. Ihnen werden
die Aufgaben zu den Lernzielen erst später gegeben,
wenn sie dazu bereit sind, als Bestätigung und als
Kontrolle.
Die Lernzielaufgaben sind nicht als Prüfungsaufgaben
gedacht und sollen auch nicht als solche missbraucht
werden.
Mit diesem flexiblen Einsatz der Lernzielaufgaben erreicht
man, dass alle Kinder erleben: „Ich kann das“, was
im Lernbegleitbogen als Ziel enthalten ist. Die grundlegenden
Anforderungen sollen alle erfüllen können, wenn
auch zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Die Aufgaben mit
erweiterten Anforderungen bieten potenziell unterforderten
Kindern Gelegenheit, ihr Können zu zeigen, und
einen Anreiz, sich vertiefter mit den Themen auseinander
zu setzen.
Selbst wenn Kinder lesen können, bedürfen die Lernzielaufgaben
einer sorgfältigen Einführung. Vor allem am
Anfang kann es sein, dass Kinder den mathematischen
Sachverhalt zwar verstanden haben und beherrschen,
dass sie aber noch nicht in der Lage sind, den Text einer
Aufgabe richtig zu interpretieren und selbstständig zu
entscheiden, ob sie die Aufgabe bearbeiten können. Es ist
deshalb sinnvoll, dass man mit den Kindern Beispiele erarbeitet,
sei es mit einzelnen Kindern, sei es mit allen. Besteht
der Eindruck, dass Kinder fähig sind, mit den Aufträgen
zu arbeiten, werden sie ihnen angeboten.
Der Lernbegleitbogen bietet eine solide
Grundlage für Gespräche mit Eltern. Die
Lernzielaufgaben zeigen auch den Eltern,
wie die Kompetenzen des Bogens zu verstehen
sind, was ihr Kind schon kann und was
noch nicht.
Beobachtungsbogen
Im Unterricht stellen sich immer wieder die Grundfragen:
„Was können die einzelnen Kinder? Wo steht die Klasse
als Ganzes? Wie bekomme/behalte ich den Überblick?“
Der Beobachtungsbogen zum ATLAS MATHEMATIK enthält
auf seinen etwas mehr als zwanzig Zeilen die wichtigsten
Kompetenzen (z. B. „Zahlen lesen und schreiben“),
an denen in allen Schuljahren auf unterschiedlichem Niveau
gearbeitet wird – und viel Raum, um sich Notizen
dazu machen zu können.
Die Kompetenzen sind in allen Teilen des ATLAS MATHE-
MATIK (Planungsunterlagen, Lernbücher) gleich ausgewiesen
und mit Bildsymbolen gekennzeichnet. Arbeitet
ein Kind an irgendeinem Auftrag, können es selbst und
die Lehrperson unmittelbar sehen, welche Kompetenz dabei
gezeigt und beobachtet werden kann.
Beispiel: Spielen Kinder „Potz 1000“ (Lernbuch 3 S.56/57) in
der einfachsten Form, können sie dreistellige Zahlen addieren
und die Differenz der Summe zu 1000 bilden. Auf dem
Beobachtungsbogen kann das auf der Zeile „Operationen
sicher ausführen“ eingetragen werden.
Beobachtungen zu einzelnen Kindern können auch auf
Einzelblätter notiert und in Mappen gesammelt werden.
Ein Beobachtungsbogen auf jeder Mappe ermöglicht mit
wenig Mehraufwand eine Kontrolle über die Beobachtungen.
Die Einträge auf der Liste zeigen ein Kompetenzprofil
mit Stärken und Schwächen und dienen als Grundlage für
eine Beurteilung.
Die Einträge auf den Beobachtungsbogen können auf einem
Übersichtsblatt für die Lerngruppe zusammengetragen
werden und liefern so eine gute Grundlage für eine
zielorientierte Unterrichtsplanung, die vom aktuellen
Lernstand ausgeht.

ATLAS MATHEMATIK
17
Beobachtungsbogen Mathematik Primarstufe
Datenbank (in Planung)
In der Datenbank sind alle Module der Etappen enthalten.
Darüber hinaus bietet die Datenbank eine ganze Reihe
von Zusatzfunktionen:
• Zu vielen Modulen sind zusätzliche Kommentare und
Kopiervorlagen vorhanden.
• Zu vielen Modulen sind Dokumente aus dem Unterricht
hinterlegt. Bilder aus den Klassenzimmern und
kommentierte Dokumente von Lernenden geben
einen Eindruck, wie das Modul eingesetzt werden
kann und welche Ergebnisse erwartet werden
können bzw. welche möglich sind.
• Zu jeder Etappe gibt es ein Differenzierungsangebot
mit weiteren Modulen, die das Grundangebot
ergänzen oder gegen Module des Grundangebots
ausgetauscht werden können.
• Im Suchfenster können Module gezielt nach verschiedenen
Kriterien gesucht werden: nach Zielen, nach
Stichwörtern, nach Materialien und nach Titeln,
Nummern und Textstellen.
• Die Datenbank bietet die Möglichkeit, für jedes Kind
einen Lernplan mit einer Liste individuell zusammengestellter
Module auszudrucken. Im Lernplan kann
das Kind seine Meinung zu den Modulen notieren
und eine Einschätzung der eigenen Fähigkeiten
vornehmen. So kann es allmählich Verantwortung für
sein Lernen übernehmen. Es führt Buch über das
Getane, stellt fest: „Ich kann ...“, was sein Selbstvertrauen
stärkt und die Motivation erhöht. Der Lehrperson
ermöglichen die Eintragungen im Lernplan
gezieltes Nachfragen und weitere Einblicke in die
Denkweise der Kinder. Möglicherweise hat ein Kind
eine Aufgabe, die ihm nicht gefallen hat, nicht
verstanden. Die Hilfe der Lehrkraft erleichtert es dem
Kind, das Problem nochmals anzugehen. Nimmt das
Kind am Elterngespräch teil, kann es mit dem
Lernplan und seinen Unterlagen den Eltern zeigen,
wo es steht.
• Die Angaben auf den Modulkarten können verändert
werden, neue Module können erfasst und an Kolleginnen
und Kollegen weitergegeben werden. Für
diese Arbeiten steht ein Eingabeformular zur
Verfügung.

18
Ausschnitt aus der Übersicht Lernbücher 1–4

ATLAS MATHEMATIK
19
Zielorientiert arbeiten
Die Ziele des vierten Schuljahres
Das vierte Schuljahr ist ein Jahr der Bilanz. Vielerorts werden
in diesem Schuljahr die Weichen für die schulische
Zukunft gestellt. In ihrer Arbeit mit dem Lernbuch dokumentieren
die Kinder, was sie wie gut verstanden haben
und wo ihre speziellen Interessen liegen. In ihrer ganzen
Arbeit liegt ihr Leistungsausweis – nicht nur in isolierten
Testarbeiten. Die Begleitbogen zu den Lernbüchern und
die Lernbegleitbogen der Schuljahre geben Auskunft über
den Lernstand der Kinder und bilden eine gute Grundlage
zu Beratung der Eltern in Übertrittsfragen.
Im vierten Schuljahr wird vieles aus den früheren Jahren
wieder aufgegriffen und in neuen Zusammenhängen vertieft.
Im Besonderen sind das
• der Aufbau des Dezimal-Stellenwertsystems im Zusammenhang
mit
• den großen Zahlen,
• den Rechenverfahren,
• den Einheiten dezimaler Größen,
• dem Rechnen mit dezimalen Größen
• das Kopfrechnen
• Einspluseins und Einmaleins ausgeweitet auf
beliebige Stufenzahlen,
• beim Überschlagen (im Kopf!)
• das schrittweise Rechnen
• im Kopf,
• auf Papier, mit oder ohne Stellentafel,
• das Prinzip Sicherheit vor Geschwindigkeit
Als neue Schwerpunkte kommen hinzu
• der Umgang mit runden (gerundeten) Zahlen,
• die Verfahren der schriftlichen Multiplikation und
Division,
• das überschlagende Rechnen in allen Grundoperationen
Der Unterricht im vierten Schuljahr ist allgemein bildend,
alle Kinder sollen davon profitieren können, vom lernbehinderten
bis zum hochbegabten. Alle mathematischen
Inhalte werden deshalb von Handlungs- und Alltagsbezügen
ausgehend entwickelt, bewegen sich dann aber auch
schon in abstraktere Gefilde. Ein besonderes Augenmerk
ist deshalb darauf zu richten, dass sich die Kinder nur so
weit vorwagen, dass sie die „Bodenhaftung“ nicht verlieren,
die Rechenverfahren nur so weit formalisieren, wie
sie sie noch verstehen können. Für das Ziel, jederzeit etwas
ausrechnen zu können, reicht das.

20
Zahlen Ich kann mit Zahlen umgehen G E Z
Zahlen lesen
und schreiben
große Zahlen lesen und schreiben
Zahlen runden
in großen Schritten zählen
Zählen, Zahlen ordnen
große Zahlen ordnen
große Zahlen auf dem Zahlenstrahl anzeigen
Anzahlen und
Maßzahlen erfassen
Beziehungen zwischen
Zahlen erkennen
große Mengen und Größen schätzen
große Zahlen vergleichen
Ausschnitt „Zahlen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Zahlen
Mit großen, „runden“ Zahlen umgehen
Vorstellungen von Zahlen sind vom Zahlenraum abhängig.
Mengen mit bis 5 Elementen können wir ungeordnet,
bis etwa 10 geordnet direkt erkennen. D.h. wir haben entsprechende
Mengenbilder visuell gespeichert. Zahlen bis
100 können wir bündelnd erfassen. Für sie kennen wir
viele Beispiele aus dem Alltag. Größere Zahlen werden
zunehmend abstrakter, werden schlecht lesbar (Beispiel
9628234) und entziehen sich der direkten Vorstellung, es
sei denn sie werden gerundet (Beispiel 9 000 000). Zahlen
in Tabellen bedeuten oft „Tausend“ oder „Millionen“.
Diese Zehnerpotenzen bekommen dabei den Charakter
von Größeneinheiten.
Zur Kompetenz im Umgang mit großen Zahlen gehört:
• Sie in angepasster Genauigkeit lesen und speichern.
Nur so können Operationen überschlagend ausgeführt
werden.
Beispiel: 14 995 lesen als „etwa 15 000“
• Mit einer der Situation angepassten Genauigkeit arbeiten.
Beispiel 14 995 + 2 950 lesen und überschlagen als
15 000 + 3 000 = 18 000
• Sich ihren Platz in der Stellentafel vorstellen.
Beispiel „3 Millionen“ ist eine 3 mit 6 Nullen
• Typische Repräsentanten kennen.
Beispiel Die Stadt Berlin hat etwa
3 ½ Millionen Einwohner.
Große Zahlen können verschiedene Qualitäten haben.
Oft sind sie gerundet, manchmal aber auch nicht. Zwei
Beispiele zeigen unterschiedliche Bedeutungen von
3 000:
„Am Umzug haben 3 000 Personen teilgenommen.“
„Dem Kinderheim wurde ein Check über 3 000 überreicht.“
Beim ersten Beispiel ist die Zahl eine Schätzung. Die Nullen
in „3 000“ machen die 3 zu Tausendern, haben aber
keine weitergehende Bedeutung. Die Aussage bleibt auch
bei 2 863 oder 3 128 Teilnehmern richtig. Eigentlich müsste
er lauten „Es haben ungefähr 3 000 Leute teilgenommen.“
Beim zweiten Beispiel sind es exakt 3 000. Geldbeträge
können zwar auch ungefähr angegeben werden.
Die Hand wechseln können aber nur konkrete, exakte
Summen.
Bemerkungen zu den Zielen
im Lernbegleitbogen
Zahlen lesen und schreiben
Vielziffrige Zahlen sind optisch schwierig zu erfassen. Die
zugehörigen Zahlwörter sind lang und recht kompliziert.
Deshalb werden die Ziffern von rechts durch Abstände
oder Punkte in Dreiergruppen eingeteilt. Diese Schreibweise
erleichtert auch das Bilden der Zahlwörter.
Beispiel: 82264975 = 82.264.975 = 82 264 975
Mehrere Zahlen können besser verglichen werden, wenn
sie rechtsbündig untereinander geschrieben werden.
Handschriftlich ist das nicht ganz einfach. Es braucht dazu
eine „Stellentafel im Kopf“.
Im Alltag ist von großen Zahlen oft nur deren Größenordnung
von Interesse. Dazu genügt es, die höchsten Stellen
zu erfassen und zu lesen.
Beispiel: 82 264 975 wird als „82 Millionen“
gelesen
in Ziffern geschrieben 82 000 000

ATLAS MATHEMATIK
21
Das heißt nichts anderes, als dass Zahlen beim Lesen abgerundet
werden. Die Nullen in 82 000 000 machen aus
der 82 die Millionen. Es sind keine „exakte“ sondern Rundungsnullen.
Beispielhafte Module:
• Wie groß ist die Zahl 82264975? (Lernbuch 4, S. 10)
• Welche Nachbarn hat eine Zahl? (Lernbuch 4, S. 12)
• Was merkst du dir? (Lernbuch 4, S. 14)
• Wie liest du die Preise? (Lernbuch 4, S. 16)
Zählen, Zahlen ordnen
Beim Zählen von (Spiel-)Geld in großen Scheinen wird der
Umgang mit großen Zahlen geübt. Große Zahlen lassen
sich auf dem Zahlenstrahl nur ungefähr lokalisieren – ein
Grund mehr, mit gerundeten Zahlen zu arbeiten. Mit den
großen Zahlen verschwindet beim Zahlenstrahl der Anfangspunkt:
Meist werden nur je nach Bedarf ganz verschiedene
Ausschnitte verwendet (z.B. in grafischen Darstellungen).
Als Bild für die Ordnung der Zahlen dient auch die Stellentafel.
Sie zeigt die Größenordnungen der Zahlen.
Beispielhafte Module:
• Welche Nachbarn hat eine Zahl? (Lernbuch 4, S. 12)
• Wer bekommt die größte Summe? (Lernbuch 4, S. 18)
• Wie zählst du? (Lernbuch 4, S. 19)
• Monopoly (Spiel)
• Wo liegen die Zahlen auf dem Strahl? (Lernbuch 4, S. 20)
Anzahlen und Maßzahlen erfassen
Für Zahlen größer als 1 000 gibt es im Alltag nur wenig
konkrete Beispiele (z.B. 2 000 Blatt Kopierpapier sind 4 Pakete
à 500 Blatt). Die Einwohnerzahl des Wohnorts kann
man zwar einer Statistik entnehmen, sich aber außer bei
sehr kleinen Ortschaften nur ein sehr vages Bild davon
machen (man stelle sich „50 000 Einwohner“ vor). Für
große Zahlen geht es deshalb darum, sich neben persönlichen
Repräsentanten (Kopierpapier) auch Strategien für
bildhafte Vergleiche anzueignen (1 000 000 Blatt Kopierpapier
ergeben einen Stapel von 1 000 x 10 cm = 100 m)
Beispielhafte Module:
• Wie groß ist eine Million? (Lernbuch 4, S. 22)
Beziehungen zwischen Zahlen erkennen
Bei kleinen Zahlen ist der „Unterschied“ gleichbedeutend
mit der Differenz. Zum Vergleich großer Zahlen ist aber
oft das Verhältnis der Zahlen aussagekräftiger als die Differenz.
Beispiel Zwei Städte mit 3 000 000 und 3 200 000
Einwohnern sind praktisch gleich groß.
Sie sind aber dreimal so groß wie eine Stadt mit
1 000 000 Einwohnern.
Beispielhafte Module:
• Wie kannst du Zahlen vergleichen? (Lernbuch 4, S. 24)

22
Operationen Ich kann Operationen verstehen und ausführen G E Z
Zahlen zerlegen
Operationen mit
Handlungen und
Situationen verbinden
Rechengesetze formulieren,
als Rechenhilfe
verwenden
Zahlen auf Stellenzahlen ergänzen
in Zahlen Vielfache erkennen
Multiplikationen auf die Stellentafel übertragen
Divisionen auf die Stellentafel übertragen
Multiplikationsschritte erklären
Divisionsschritte erklären
das Stellen-Einmaleins verstehen und anwenden
Additionen überschlagen
Subtraktionen überschlagen
Multiplikationen überschlagen
Operationen
sicher ausführen
Divisionen überschlagen
Zahlen auf Papier addieren
Zahlen auf Papier subtrahieren
Zahlen auf Papier multiplizieren
Zahlen auf Papier dividieren
Operationen in Zusammenhängen
erkennen
und anwenden
Grundoperationen in Sachsituationen erkennen und anwenden
Grundoperationen in Texten erkennen und anwenden
Ausschnitt „Operationen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Operationen: Überschlagen im Kopf, rechnen
auf Papier
Überschlagen
Im Zeitalter der elektronischen Rechengeräte bedeutet
arithmetische Kompetenz die Fähigkeit, überschlagend
(Kopf-)rechnen zu können. Das Überschlagen ist anspruchsvoller
als das mechanische Ausführen von schriftlichen
Algorithmen, weil es sowohl ein Zahl- als auch ein
Operationsverständnis voraussetzt.
Wichtig ist die Größenordnung des Resultats und nicht
das akribische Einhalten von Rundungsregeln. Es muss
daher mit einer gewissen Lockerheit vollzogen werden
können und für viele Aufgaben auch genügen. Sonst
bleibt es ein widerwillig vollzogener Zusatz zur „richtigen“
Rechnung.
Rechnen auf Papier: multiplizieren und dividieren
Beim Rechnen auf Papier geht es darum, Operationen mit
großen Zahlen in geeignete Schritte zu zerlegen. Von den
Kindern einsichtig selbst entwickelte Verfahren werden
üblicherweise als „halbschriftliche“ bezeichnet. Diesen
gegenüber stehen schriftliche Normalverfahren, die mit
dem Ziel der schnellen Ausführbarkeit bei minimalem
Schreibaufwand entwickelt worden sind. Ihre Kompaktheit,
Komplexität und Willkür machen sie aber schwer
durchschaubar, vor allem dann, wenn zwischen ihnen und
den selbst entwickelten Verfahren kein einsichtiger Zusammenhang
besteht. Die Willkür der Normalverfahren
zeigt sich unter anderem darin, dass in verschiedenen
Ländern unterschiedliche Verfahren tradiert und vorgeschrieben
werden bzw. in der Vergangenheit verlangt
worden sind.
In den Lernbüchern wird das schrittweise Rechnen mit
Stellenwerten als universelles halbschriftliches Verfahren
angeboten. Es dient auch einem vertieften Verständnis
unseres Stellenwertsystems. Die schriftlichen Verfahren
werden dann aus den halbschriftlichen als optimierte
Schreibweisen abgeleitet.
Mit kleineren Zahlen können aus Sachsituationen schrittweise
Methoden entwickelt werden, die auf die Stellentafel
übertragen zu (halb-)schriftlichen Algorithmen führen.

ATLAS MATHEMATIK
23
Alle Grundoperationen werden in drei Stufen entwickelt
– mit Sachsituationen verbundenes Rechnen
(in einem erweiterten Sinn „handelnd“)
– schrittweises Rechnen in der Stellentafel
(„halbschriftlich“)
– Rechnen mit verkürzter Schreibweise
(„schriftlich“)
Im Lernbuch 3 (Seiten 36-43) wird für das Addieren und
Subtrahieren ein Weg vom manipulativen Rechnen auf
dem Rechenbrett zu den schriftlichen Verfahren gezeigt.
Im Lernbuch 4 (Seiten 32-45) sind es entsprechende Wege
für das Multiplizieren und Dividieren. Dabei kommt als
neue Schwierigkeit dazu, dass durch die additive Zerlegung
der Zahlen in Stellenwerte die Operationen gemischt
werden: Die schrittweise Multiplikation besteht
aus Multiplikationen und Additionen, die schrittweise Division
aus allen vier Grundrechenarten.
Die traditionellen Normalverfahren bestehen aus einem
komplexen Gemisch der Grundrechenarten. Die etwas
davon abweichenden Verfahren im Lernbuch 4 wurden
mit zwei Hauptabsichten entwickelt:
• Die Endformen der Verfahren sind verkürzte Schreibweisen
der schrittweisen Rechnungen. Als Leitschnur
dafür, wie weit die Kinder ihre Schreibweisen individuell
verkürzen dürfen, dient ihre Sicherheit beim
Rechnen. Diese bleibt immer oberstes Ziel.
• In den Verfahren werden die verschiedenen Grundrechenarten
möglichst getrennt. So bleiben sie nachvollzieh-
und kontrollierbar.
Bei der Multiplikation (Lernbuch 4, Seiten 32/33, 38-41)
werden deshalb zuerst alle Multiplikationsschritte ausgeführt
und die Überträge in den entsprechenden Spalten
notiert. Dann werden alle Teilprodukte inklusive Überträge
addiert. Diese im Schriftbild etwas aufwändigere Darstellung
hat gewichtige Vorteile:
• Das fehleranfällige Zwischenspeichern und Addieren
von Überträgen fällt weg.
• Es genügt eine einzige schriftliche Addition, die von
den Multiplikationen ganz getrennt ist.
• Alle Teilrechnungen des Einmaleins bleiben sichtbar
und können nachträglich kontrolliert werden. Fehler
können einfach lokalisiert werden.
Bei der Division (Lernbuch 4, Seiten 34-37, 42-45) lassen
sich die Teiloperationen nicht völlig entflechten. Die ausführliche
Notation der Subtraktionen wird deshalb beibehalten.
Die einzige Verkürzung besteht dann darin, dass die
Teilquotienten direkt in die erste Zeile geschrieben werden.
Damit verbunden ist der Nachteil, dass immer direkt die
größtmöglichen Teilquotienten ermittelt werden müssen.
Beim schrittweisen Rechnen ist das nicht notwendig.
Operationen im Lernbuch 4
Die Lernbuchseiten zu den Operationen erläutern diese in
einer gedrängten Form, gedacht als Zusammenfassung
einer Erarbeitung mit den Kindern und als Verständnishilfe
für Eltern und Begleiter.
Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogen
Zahlen zerlegen
Die Wechselgeld-Situation ist eine der wenigen Gelegenheiten,
bei denen im Alltag noch im Kopf gerechnet wird.
Verlangt wird dabei eine Vertrautheit im Umgang mit
großen Zahlen und das schrittweise Ergänzen auf die
nächsten Stufenzahlen. Werte von Geldscheinen werden
additiv zerlegt.
Beim Dividieren im Kopf und auf Papier (93 : 8) ist das
größte Vielfache des Divisors (8) gesucht, das im Dividenden
(93) Platz findet. Wer das nicht aus dem Einmaleins
direkt abrufen kann (88 = 11 · 8), zerlegt den Dividenden
schrittweise in bekannte Vielfache des Divisors (93 = 40
+ 40 + 8 = 5 · 8 + 5 · 8 + 1 · 8 = 11 · 8). Einmaleins und Einsdurcheins
müssen zwar „warm gehalten“ werden
(Übungen dazu finden sich in den Lernbüchern 2 und 3),
bei der Division können sie aber durch geeignete Zerlegungsschritte
umgangen werden.
Beispielhafte Module:
• Wie viel Wechselgeld bekommst du? (Lernbuch 4, S. 28)
• Welche Faktoren ergeben welche Produkte?
(Lernbuch 4, S. 30)
Operationen mit Handlungen und Situationen verbinden
Die schriftliche Addition und die schriftliche Subtraktion
können direkt aus entsprechenden Manipulationen auf
dem Rechenbrett (Lernbuch 3, S. 36-39) abgeleitet werden.
Bei der Multiplikation und der Division braucht es
einen Zwischenschritt. Situationen des bündelnden Vervielfachens,
des Teilens und Aufteilens führen über das
schrittweise Rechnen und seiner Notierung in der Stellentafel
zu schriftlichen Algorithmen.
Beispielhafte Module:
• Wie weit kommst du mit 1 000 Schritten? (Lernbuch
4, S. 32)
• Wie verteilst du etwas? (Lernbuch 4, S. 34)
• Wie zählst du Portionen ab? (Lernbuch 4, S. 36)

24
Rechengesetze formulieren, als Rechenhilfe verwenden
Aus Sachsituationen entwickelte Rechenverfahren werden
„verselbstständigt“, d.h. von den Sachsituationen gelöst
und aus der Dezimalschreibweise der Zahlen in der
Stellentafel begründet. Optimierte Schreibweisen ergeben
dann daraus die „schriftlichen“ Verfahren.
Beispielhafte Module:
• Wie kannst du schriftlich multiplizieren?
(Lernbuch 4, S. 38)
• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)
• Wie viele Nullen hat das Ergebnis? (Lernbuch 4, S. 46)
Operationen sicher ausführen
„Sicher rechnen“ ist nicht gleichbedeutend mit „fehlerfrei
rechnen“. Ein Taschenrechner führt Operationen fehlerfrei
aus. Die Sicherheit für ein richtiges Resultat ergibt
sich aber erst durch eine Überprüfung, sei es durch einen
Überschlag oder eine zweite Rechnung. Zum überschlagenden
Rechnen gehören ein Gefühl für Größenordnungen
und spezielle Rechenstrategien. Überschlagen ist
weit mehr als nur „etwas weniger genau rechnen“.
Beispielhafte Module zum Überschlagen:
• Wie kannst du Additionen überschlagen?
(Lernbuch 4, S. 48)
• Wie kannst du Subtraktionen überschlagen?
(Lernbuch 4, S. 50)
• Wie kannst du Multiplikationen überschlagen?
(Lernbuch 4, S. 52)
• Wie kannst du Divisionen überschlagen?
(Lernbuch 4, S. 54)
Beispielhafte Module zum Rechnen auf Papier:
• Wie lauten deine Rechnungen (die zu „Schnapszahlen“
führen)? (Lernbuch 4, S. 56)
• Wie ergeben sich die kleinsten Unterschiede? (Lernbuch
4, S. 58)
• Wie bekommst du das größte Produkt? (Lernbuch 4,
S. 60)
• Wie geht es weiter? (Lernbuch 4, S. 61)
• Findest du Divisionen ohne Rest? (Lernbuch 4, S. 62)
• Welche Rechnung ergibt das größte Ergebnis? (Lernbuch
4, S. 63)
Operationen in Zusammenhängen erkennen und anwenden
Operationen sollen in Sachsituationen helfen, Fragen zu
beantworten und Erkenntnisse zu gewinnen. Für die Kinder
ist das am einsichtigsten, wenn die Sachsituationen
ihnen ein persönliches Anliegen oder ihnen zumindest
vertraut sind. Muster können nur anregen. Die für die Kinder
bedeutungshaltigen Fragen müssen von ihnen selber
kommen.
Sachaufgaben sind für viele Kinder mit Schwierigkeiten
verbunden, die mit der Rechenkompetenz nichts zu tun
haben. Die beiden wichtigsten Hürden sind:
• Sachaufgaben sind oft in einer „Sachaufgabensprache“
geschrieben. Texte dieser Sorte sind auf ein Minimum
verkürzt. Schlüsselwörter haben genau definierte
Bedeutungen. Wichtige Randbedingungen
stehen zwischen den Zeilen.
• Die den Aufgaben zugrunde liegenden Sachsituationen
sind den Kindern nicht vertraut. Oder wenn
schon, dann sind die dazu gestellten Fragen fern von
den für Kinder realen Sachfragen. Die sachliche Richtigkeit
eines Resultats ist für sie deshalb nur schwer
abzuschätzen.
Beispielhafte Module:
• Was benötigt dein Lieblingstier? (Lernbuch 4, S. 64)
• Woraus besteht eine Sachaufgabe? (Lernbuch 4, S. 66)
• Welche Informationen brauchst du? (Lernbuch 4, S. 68)
• Wie geht die Geschichte weiter? (Lernbuch 4, S. 70)

ATLAS MATHEMATIK
25
Größen
Zu Einheiten
Beispiele angeben,
Einheiten umrechnen
Größen schätzen
und messen
Mit Größenangaben
operieren
Ich kann mit Größen die Welt erfassen
zu Hohlmaßen Beispiele angeben
Hohlmaße in Nachbareinheiten umrechnen
Bruchteile von Größen in kleineren Einheiten angeben
Rauminhalte vergleichen
Rauminhalte schätzen und bestimmen
mit Rauminhalten rechnen
Größen addieren und subtrahieren
Größen multiplizieren
Größen dividieren
G E Z
Ausschnitt „Größen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Größen: Rauminhalte, Grundoperationen mit
dezimalen Größen
Längen und Gewichte können direkt verglichen werden.
Als neue dezimale Maße kommen jetzt die Hohlmaße
dazu, bei denen das nicht mehr möglich ist. Sie sind viel
schwieriger zu vergleichen und zu schätzen und nur noch
indirekt zu messen.
Die Stellentafeln (Lernbuch 4, S. 98, siehe auch Lernbuch
3, Seite 90) sind das Hilfsmittel beim Operieren mit dezimalen
Größen. Sie erleichtern ein allenfalls notwendiges
Umrechnen der Einheiten oder machen es bei der Addition
und Subtraktion ganz überflüssig. Gleichzeitig vertiefen
sie das Verständnis für das Stellenwertsystem.
Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogen
zu Einheiten Beispiele angeben, Einheiten umrechnen
Wie bei den bereits bekannten Längen und Gewichten
geht es auch bei den Hohlmaßen für die Kinder darum,
sich eine Sammlung von Repräsentanten für die verschiedenen
Maßeinheiten zuzulegen um mit ihnen vertraut zu
werden. Da sich aber bei den Hohlmaßen diese Repräsentanten
nur schwer vergleichen lassen (es gibt ganz verschiedene
Behälter mit je 100 ml Inhalt, eine Flasche von
100 ml ist nur schwer als Hundertfaches eines Zentimeterwürfels
zu erkennen), gehört zu einer guten Vorstellung
eine ganze Reihe von Repräsentanten für je ein Hohlmaß.
Beispielhafte Module:
• Wie viel ist 1 ml, 1 cl? (Lernbuch 4, S. 76)
• Was bedeuten die Anschriften? (Lernbuch 4, S. 80)
• Wie viele Milliliter enthält ein Meterwürfel? (Lernbuch
4, S. 82)
• Welche Bruchteile von Größen kennst du? (Lernbuch
4, S. 84)
Größen schätzen und messen
Das Vergleichen und Schätzen von Rauminhalten beschränkt
sich in der Grundschule auf Gefäße, die den Kindern
vertraut sind (Flaschen, Getränkepackungen, Schachteln,
...). Die generelle Vergleichsstrategie ist das Umgießen
von Flüssigkeiten oder schüttbaren Inhalten. Gemessen
wird durch den Vergleich mit Gefäßen bekannten Inhalts.
Beispielhafte Module:
• Wo ist mehr drin? (Lernbuch 4, S. 86)
• Wie viel Wasser ist im Brunnen? (Lernbuch 4, S. 88)
mit Größenangaben operieren
Das Operieren mit allen Größen ist ganz eingebettet in
das Sachrechnen. Als universales Hilfsmittel dienen die
Stellentafeln (Lernbuch 4, S. 98/99) der dezimalen Größen.
Diese sollen bei Bedarf immer zur Verfügung stehen.
Allgemeine Regeln zur Multiplikation und zur Division
werden zwar formuliert, sind aber nicht direkt Ziel des
Unterrichts.
Beispielhafte Module:
• Wie viel Wasser verbrauchst du pro Tag? (Lernbuch 4,
S. 90)
• Wie kannst du Größen addieren und subtrahieren?
(Lernbuch 4, S. 92)
• Welche Einheit passt? (Lernbuch 4, S. 94)
• Wie viele Flaschen kannst du füllen? (Lernbuch 4, S. 96)

26
Geometrie Ich kann unseren Raum und was drin ist beschreiben G E Z
Figuren und Körper erkennen
und beschreiben
Lagebeziehungen
beschreiben
geometrische Formen in der Umwelt erkennen und benennen
Formen der Umwelt geometrisch beschreiben
Karten und Pläne interpretieren und nutzen
Pläne lesen und zeichnen
Bewegungen beschreiben Bewegungen in der Vorstellung vollziehen („Kopfgeometrie“)
Geometrische Größen
messen und berechnen
Werkzeuge und
Verfahren einsetzen
Flächeninhalte vergleichen, schätzen und bestimmen
Rauminhalte vergleichen, schätzen und bestimmen
mit Zirkel, Lineal und Geodreieck umgehen
Körper bauen und nachbauen
Ausschnitt „Geometrie“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Geometrie: Geometrische Sprache, Kopfgeometrie
„Vorstellungen“ und „Modelle“ sind oft räumlich-geometrischer
Natur. In der Schulmathematik z.B. der Zahlenstrahl
für die Ordnung der Zahlen, Körper für Hohlmaße,
symmetrische Muster für Abbildungen. Geometrie ist
auch als Lernhilfe für andere Gebiete hilfreich, wenn geometrische
Begriffe und Verfahren in der Grundschule in
spielerisch-lustvollem Zusammenhang erlebt werden. Ein
besonderes Gewicht hat in diesem Sinne die Kopfgeometrie,
das Beantworten geometrischer Fragen im Kopf, das
sich Bewegen „in der Vorstellung“.
Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogen
Figuren und Körper erkennen und beschreiben
Das geometrische Vokabular ist Teil der Umgangssprache.
Beim Beschreiben von Bildern werden geometrische Begriffe
von Kindern spontan verwendet. Davon ausgehend
können diese diskutiert und in ihrer Bedeutung vielleicht
etwas präzisiert werden. Eine exakte mathematische Definition
ist noch nicht das Ziel des Unterrichts.
Beispielhafte Module:
• Welche Formen kannst du im Bild erkennen? (Lernbuch
4, S. 102)
• Wie kannst du ein Bild „in Worte fassen“? (Lernbuch
4, S. 104)
• Was stellt dein Geometriebild dar? (Lernbuch 4, S. 106)
Lagebeziehungen beschreiben
Das sich Zurechtfinden auf Karten und Plänen gehört zur
Kopfgeometrie. Es ist eine Fähigkeit für den Alltag auch
im Zeitalter der Navigationsgeräte. Kartenmaßstäbe sind
Modelle für den Zahlenstrahl.
Beispielhafte Module:
• Wie weit ist es von Berlin nach Paris? (Lernbuch 4, S. 108)
• Wo steht dein Pult im Zimmer? (Lernbuch 4, S. 110)
Bewegungen beschreiben
Wege in Gedanken abzulaufen, Varianten zu vergleichen
und zu optimieren fördert die Vorstellung vom durchlaufenen
Raum. Als Wege eignen sich Routen im Schul- oder
Wohnquartier, Schulausflüge wie auch gedankliche Wege
auf geometrischen Körpern.
Beispielhafte Module:
• Welche Reihenfolge wählst du? (Lernbuch 4, S. 112)
geometrische Größen messen und berechnen
Flächen- und Rauminhalte werden durch Belegen oder
Ausschöpfen bestimmt oder angenähert. Das Lernziel ist
das Verständnis dieses Prinzips. Berechnungsformeln
bleiben späteren Schuljahren vorbehalten. Durch den Vergleich
von Schachteln mit entsprechenden Würfelgebäuden
wird die Formel zur Inhaltsberechnung von Quadern
empirisch hergeleitet ohne sie abstrakt zu fassen.
Beispielhafte Module:
• Wie viele Blätter decken deinen Tisch? (Lernbuch 4, S. 114)
• Welchen Rauminhalt haben Schachteln? (Lernbuch 4,
S. 116)

ATLAS MATHEMATIK
27
Werkzeuge und Verfahren einsetzen
Im kreativen Umgang mit Zeichendreieck und Zirkel erfahren
die Kinder den Reiz von ästhetischen Bildkompositionen
aus Strecken und Kreisen. Die Lust an dieser Ästhetik
bildet den Anreiz zu genauem und sauberem
Zeichnen.
Beispielhafte Module:
• Welches ist dein schönstes Streckenbild? (Lernbuch 4,
S. 118)
• Welches ist dein schönstes Kreisbild? (Lernbuch 4,
S. 120)
• In was für einem Haus wohnst du? (Lernbuch 4,
S. 122)
Zuordnungen Ich kann Zusammenhänge erkennen und nutzen G E Z
Funktionen und
Relationen erkennen
und beschreiben
Figurenfolgen und
Abbildungen erkennen
und beschreiben
Zuordnungen
verschieden darstellen
Eigenschaften der Proportionalität formulieren
proportionale Zuordnungen erkennen und ausnützen
ebene Muster fortsetzen und erzeugen
symmetrische Muster erzeugen
Figuren vergrößern und verkleinern
Zuordnungen aus Texten in Tabellen darstellen
proportionale Zuordnungen in Tabellen darstellen
Ausschnitt „Zuordnungen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Zuordnungen: Proportionalitäten
Den Kindern sind Beispiele von proportionalen Zuordnungen
vertraut, ebenso deren Darstellung in Tabellen.
Nun wird der Blick auf die Eigenschaften dieser Tabellen
gelenkt. Wie kann man sie geschickt ergänzen (Lernbuch
4, S. 126-129)? Es geht nicht um eine Theorie der Proportionalität
(früher auch „Dreisatz“), sondern darum, dass Tabellen
bewusster als Werkzeug zum Lösen von Sachproblemen
und Sachaufgaben eingesetzt werden können.
Ebenfalls um Proportionalitäten geht es beim Vergrößern
oder Verkleinern von Bildern, bei der Arbeit mit Plänen
und Landkarten.
Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogen
Funktionen und Relationen erkennen und beschreiben
Bei Proportionalitäten gibt es verschiedene Möglichkeiten
die zugehörige Tabelle zu ergänzen und zu erweitern.
Die Kinder setzen sich damit anhand von Beispielen
auseinander und verwenden die ihnen einleuchtendsten
Methoden.
Beispielhafte Module:
• Welche Beziehungen bestehen in einer Tabelle? (Lernbuch
4, S. 126)
• Welche Werte kommen in die leeren Felder? (Lernbuch
4, S. 128)
• Wie groß sind die Distanzen in Wirklichkeit? (Lernbuch
4, S. 130)
Figurenfolgen und Abbildungen erkennen und beschreiben
Die Ebene kann mit beliebigen Vierecken lückenlos überdeckt
werden. Aus dieser Tatsache lassen sich viele Eigenschaften
von Vierecken entdecken.
Scherenschnitte ergeben symmetrische Figuren und bilden
zugleich ein breites Übungsfeld zur Kopfgeometrie:
Wie muss ich falten und schneiden, damit ein gewünschtes
Muster entsteht?
Beispielhafte Module:
• Mit welchen Vierecken kannst du die Ebene auslegen?
(Lernbuch 4, S. 132)
• Wie musst du falten, wie schneiden? (Lernbuch 4, S. 136)
• Wie kannst du ein Bild vergrößern? (Lernbuch 4, S. 138)
Zuordnungen verschieden darstellen
Ein universelles Rezept zum Lösen von Sachaufgaben ist,
bekannte Werte in Tabellen darzustellen und diese dann
zu ergänzen oder fortzusetzen.
Stichproben zu gewinnen und dann daraus größere Werte
hochzurechnen ist eine verbreitete Methode aus der
Statistik. Die Kinder wenden sie an, um begründete
Schätzwerte zu erhalten.
Beispielhafte Module:
• Kommt die Feuerwehr zu früh? (Lernbuch 4, S. 140)
• Wie viele Autos fahren vorbei? (Lernbuch 4, S. 142)

28
Mathematisieren: Schreibweisen und Verfahren
Mathematisieren Ich kann Sachverhalte übersetzen und darstellen G E Z
Sachverhalte
mathematisch
ausdrücken
das Stellenwertsystem verstehen und verwenden
Rechenwege und -verfahren erläutern und begründen
nach Anweisung zeichnen, Zeichnungen diktieren
zu Operationen passende Situationen und Handlungen finden
Mathematische
Modelle verwenden
Strukturen erkennen
und beschreiben
schriftliche Grundoperationen als Algorithmen erkennen und
beschreiben
geometrische Begriffe zur Beschreibung der Umwelt benutzen
Analogien in Operationen erkennen und beschreiben
Analogien bei der Bezeichnung von Größen erkennen und beschreiben
Ausschnitt „Mathematisieren“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogen
Im Lernbuch sind die Module nach Sachkompetenzen geordnet.
Die Methodenkompetenz „Sachverhalte übersetzen
und darstellen“ wird dabei quer durch alle Inhalte
hindurch immer wieder gefordert und gefördert.
Sachverhalte mathematisch ausdrücken
Zur Entwicklung der mathematischen Sprache stehen im
vierten wie im dritten Schuljahr im Zentrum:
• Zahlschreibweise: Im Dezimal-Stellenwertsystem
werden Zahlen aus Vielfachen von Zehnerpotenzen
zusammengesetzt – und beim Operieren wieder auseinander
genommen. Dezimale Größen werden je
nach Lage der „Einerstelle“ verschieden benannt.
• Rechenverfahren: Operationen mit größeren Zahlen
werden in gleichartige Schritte zerlegt. „halbschriftlich“
entwickeln die Kinder Verfahren und Schreibweisen.
Vom Rechnen in der Stellentafel ausgehend
lernen die Kinder die historischen Rechenverfahren
(Algorithmen) kennen.
• Geometrie als Sprache: Geometrische Begriffe werden
auch in der Umgangssprache verwendet. Ein enger
Bezug zwischen Umgangs- und Fachsprache wird
angestrebt.
Beispielhafte Module:
• Wie groß ist die Zahl 82264975? (Lernbuch 4, S. 10)
• Was merkst du dir? (Lernbuch 4, S. 14)
• Wie kannst du schriftlich multiplizieren? (Lernbuch 4,
S. 38)
• Wie kannst du ein Bild „in Worte fassen“? (Lernbuch
4, S. 104)
Mathematische Modelle verwenden
Ab dem dritten Schuljahr dient die Stellentafel als wichtigstes
Hilfsmittel zum Verständnis von Zahlen, Rechenverfahren
und Größen. Bei Unsicherheiten kann sie immer
wieder herangezogen werden. Mit Längen und
Gewichten werden die Verhältnisse in der Stellentafel illustriert.
Aus Sachsituationen werden Verfahren zur Multiplikation
und Division entwickelt.
Beispielhafte Module:
• Wie weit kommst du mit 1 000 Schritten? (Lernbuch
4, S. 32)
• Wie verteilst du etwas? (Lernbuch 4, S. 34)
• Wie zählst du Portionen ab? (Lernbuch 4, S. 36)
• Welche Formen kannst du im Bild erkennen? (Lernbuch
4, S. 102)
Strukturen erkennen und beschreiben
Das Verständnis der Rechenverfahren beruht auf der
Wahrnehmung von Analogien: Zahlen werden so zerlegt,
dass die Rechnung auf Schritte des Einspluseins oder Einmaleins
reduziert wird. Beim (halbschriftlichen) Rechnen
in Schritten wird das noch deutlicher als bei den schriftlichen
Verfahren. Im Unterricht ist es deshalb sinnvoll, vor
dem Rechnen auf der Stellentafel das Rechnen in Schritten
aus dem Lernbuch 3 (S. 46/47) wieder aufzugreifen
und fortzusetzen. Auch Analogien bei Größenbezeichnungen
werden auf Stellentafeln gut sichtbar.
Beispielhafte Module:
• Wie kannst du schriftlich multiplizieren? (Lernbuch 4,
S. 38)

ATLAS MATHEMATIK
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• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)
• Wie viele Nullen hat das Ergebnis? (Lernbuch 4, S. 46)
• Wie geht es weiter? (Lernbuch 4, S. 61)
• Was bedeuten die Aufschriften? (Lernbuch 4, S. 80)
• Wie viele Milliliter enthält ein Meterwürfel? (Lern-
buch 4, S. 82)
Problemlösen: Schrittweise vorgehen
Problemlösen Ich kann mit Schwierigkeiten und Problemen umgehen G E Z
Sachverhalte mathematisch
ausdrücken
Lösungen durch operatives Verändern von Zahlenwerten
finden
ein reales (physikalisches) Modell benutzen oder herstellen
Operationen in einfachere Schritte zerlegen
Auswahlmöglichkeiten durch Ausschluss verringern
nach bereits gelösten ähnlichen Problemen suchen
Werkzeuge auswählen
und einsetzen
Durch Selbstkontrollen
Sicherheit gewinnen
Zahlen und Zwischenergebnisse notieren, halbschriftlich
rechnen
Rechenregeln zur Vereinfachung einsetzen
Überschlagsrechnung machen
verschiedene Rechenwege als Kontrolle nutzen
Fehler vergleichen und nach persönlichen Fehlermustern
suchen
Ausschnitt „Problemlösen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte Schuljahr
Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogen
Ob ein Kind „mit Schwierigkeiten und Problemen umgehen“
kann, hängt weitgehend vom Vertrauen des Kindes
in seine Fähigkeiten und vom förderlichen Klima in der
Klasse und im Elternhaus zusammen. Das Kind muss sich
darauf verlassen können, dass es bei Fehlern oder Missverständnissen
nie bloßgestellt wird, dass erfolglose Versuche
und Irrtümer als Selbstverständlichkeit zu seinem
Lernen gehören.
Unabhängig von den Inhalten wird die Problemlösekompetenz
durch „forschendes Lernen“ gefördert, dem der
ganze ATLAS MATHEMATIK verpflichtet ist. Die Kinder genießen
so viel Freiheit wie möglich und bekommen so viel
Unterstützung wie sie nötig haben. Sie sollen herausgefordert,
aber nicht überfordert werden.
Problemlösestrategien auswählen und anwenden
Beispielhafte Module:
• Wie kannst du schriftlich multiplizieren? (Lernbuch 4,
S. 38)
• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)
• Was benötigt dein Lieblingstier? (Lernbuch 4, S. 64)
Werkzeuge auswählen und einsetzen
Beispielhafte Module:
• Wie weit kommst du mit 1 000 Schritten? (Lernbuch
4, S. 32)
• Wie verteilst du etwas? (Lernbuch 4, S. 34)
• Wie zählst du Portionen ab? (Lernbuch 4, S. 36)
• Wie kannst du Größen addieren und subtrahieren?
(Lernbuch 4, S. 92)
• Welche Einheit passt? (Lernbuch 4, S. 94)
• Wie viele Flaschen kannst du füllen? (Lernbuch 4, S. 96)
durch Selbstkontrollen Sicherheit gewinnen
Beispielhafte Module:
• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)
• Wie viele Nullen hat das Ergebnis? (Lernbuch 4, S. 46)
• Wie kannst du Additionen überschlagen? (Lernbuch
4, S. 48)
• Wie kannst du Subtraktionen überschlagen? (Lernbuch
4, S. 50)
• Wie kannst du Multiplikationen überschlagen? (Lernbuch
4, S. 52)
• Wie kannst du Divisionen überschlagen? (Lernbuch 4,
S. 54)

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Lernmedien für jedes Kind
Aus dem 2. und 3. Schuljahr bekannt
• Zahlenkarten von 0 bis 100
• Lernkartei zum Einmaleins
• Stellenwertzahlenkarten
• Stellentafel für Größen (Kopien vom Lernbuch S. 100)
• Arbeitsheft
• Mathebox
Grundausstattung: Würfel (Spielwürfel, Zehnerwürfel),
Lineal 15 oder 20 cm, Zahlenkarten bis 100,
Geodreieck, neu: Zirkel
• Neu: Taschenrechner
Fertigkeiten werden auch im vierten Schuljahr in vielen
spielerischen Übungen aus den ersten drei Schuljahren
gepflegt und gefestigt. Das dazu notwendige Material
muss deshalb weiterhin zur Verfügung stehen.
Stellentafel (Poster oder Schreibunterlage)
Die Stellentafel ist so wichtig für das Verständnis der Zahlen
und Operationen, dass sie den Kindern längere Zeit
vor Augen stehen sollte, sei es als Poster an der Wand oder
als Schreibunterlage. Als Hilfe bei Unsicherheiten sollte
sie immer greifbar sein.
Tausender-Album
Das Tausender-Album ist im Lernbuch 3 integriert. Es zeigt
den Aufbau des Tausenders aus zehn Hundertern und
dient als „Gerüst“ für viele Aktivitäten. Auf den leeren
Rückseiten ist Raum für die Beispiele der Kinder zu den
einzelnen Hundertern.
Stellenwert-Zahlenkarten
Stellenwert-Zahlenkarten bieten einen Übergang von der
Stellentafel zur Ziffernschreibweise von Zahlen. Farben
für die Stellen sind unnötig – sie können sogar hinderlich
sein: Auf die Stelle, d. h. auf die Anzahl der Endnullen und
nicht auf die Farbe muss geachtet werden.
Mit Hilfe der Stellenwert-Zahlenkarten können Zahlen
auf der Stellentafel schrittweise in die Zifferndarstellung
übersetzt werden. Umgekehrt können mehrstellige Zahlen
mit den Stellenwert-Zahlenkarten in einzelne Stellenwerte
zerlegt werden.
Arbeitsmaterialien im Klassenzimmer
Aus dem 2. und 3. Schuljahr bekannt
• Poster „Einmaleins-Tabelle“, „Reihen auf dem
Zahlenband“, „Stellentafeln für Größen“ (sind für
gewisse Kinder immer noch eine Hilfe)
• Lernkartei Rechen- und Textaufgaben (wird erweitert
und ergänzt)
Weitere Materialien im Klassenzimmer
Wanduhr, Wandkalender, Geobretter, Bauklötze, Waagen,
Messbänder, Hohlmaße (Litergefäß mit Skala, Dezilitermaß),
Spielgeld (große Scheine), Zahlenkarten (große
Scheine)
Lernkartei Rechen- und Sachaufgaben
Für die Klasse können Rechen- und Sachaufgaben auf
Karteikarten (DIN A6) geklebt und geschrieben werden.
Die Aufgaben können z. B. aus alten Büchern kopiert und
von den Kindern selbst aufgeklebt werden. Die Ergebnisse
der Aufgaben kommen auf die Rückseite. Mit der Zeit entsteht
so eine Trainingskartei, die immer wieder verwendet
werden kann.
Je vier Aufgaben zu den Grundoperationen auf einer Karteikarte
sind eine ideales Trainingsmaterial für die
Übungsstunden. Wichtig sind die kleinen Portionen (vier
Aufgaben). Das Ziel ist immer, alle Aufgaben einer Karte
richtig zu rechnen. Damit wird gezeigt, dass es primär weder
um die Geschwindigkeit noch um die Ausdauer geht.
Wer gerne rechnet, kann sich natürlich in der Menge der
nacheinander richtig gerechneten Karten und auch in der
Rechengeschwindigkeit steigern. Es ist aber nicht Pflicht
für alle.
Sachaufgaben finden sich ebenfalls in alten Büchern. Von
den Kindern selbst geschriebene gehören aber auch
dazu.
Poster „Stellentafeln für Größen“
Dieses Poster zeigt die Verhältnisse der gebräuchlichen
dezimalen Größen. Die Leerfelder unter den Einheiten
sind für eigene Beispiele (Repräsentanten) der Kinder gedacht.

ATLAS MATHEMATIK
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Stellentafeln für Größen
Längen
1000 km 100 km 10 km 1 km 100 m 10 m 1 m 1 dm 1 cm 1 mm
Gewichte
1 t 100 kg 10 kg 1 kg 100g 10 g 1 g 100 mg 10 mg 1 mg
Hohlmaße
1000 m 3 100 m 3 10 m 3 1 m 3 100 l = 1hl 10 l
1 l
(dm 3 )
1 dl 1 cl
1 ml
(cm 3 )
Flächen
1 km 2 10 ha 1 ha 10 a 1 a 10 m 2 1 m 2 10 dm 2 1 dm 2 10 cm 2 1 cm 2 10 mm 2 1 mm 2
Fußballfeld
64 a

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Lesetipps
Erichson, Christa: Von Giganten, Medaillen und einem regen
Wurm, Donauwörth 2003: VPM/Auer, ISBN 978-3-
403-10003-4
Erichson, Christa: Von Null bis Zett, Mathematik nachschlagen,
Donauwörth 2008: Lernbuchverlag, ISBN 978-3-
403-11600-4
Floer, Jürgen: Mathematik Werkstatt, Lernmaterialien
zum Rechnen und Entdecken Weinheim 1996: Beltz, ISBN
978-3 407-62198-6
Hengartner, Elmar / Hirt, Ueli / Wälti, Beat: Lernumgebungen
für Rechenschwache bis Hochbegabte, Zug 2006:
Klett & Balmer, ISBN 978-3-264 83656-1
Hirt, Ueli / Wälti, Beat: Lernumgebungen im Mathematikunterricht,
Seelze 2008: Kallmeyer, ISBN 978 3-7800-8024-0
Lorenz, J.H. / Radatz, H.: Handbuch des Förderns im Mathematikunterricht,
Hannover 1993: Schroedel, ISBN 978-
3-507-34044-2
Radatz, H. / Rickmeyer, K.: Handbuch für den Geometrieunterricht
an Grundschulen, Hannover 1991: Schroedel,
ISBN 978-3-507-34040-4
Radatz, Hendrik: Impulse für den Mathematikunterricht,
Hannover 2007: Schroedel, ISBN 978-3-507-34037-4
Rasch, Renate: Denk- und Sachaufgaben, wie Kinder mathematische
Aufgaben lösen, Seelze 2003: Kallmeyer,
ISBN 978-3-7800-2033-8
Rasch, Renate: Offene Aufgaben für individuelles Lernen
im Mathematikunterricht Seelze 2007: Lernbuchverlag,
ISBN 978-3-403-11272-3
Ruf, Urs / Gallin, Peter: Dialogisches Lernen in Sprache und
Mathematik, Band 2, Seelze 2005: Kallmeyer, ISBN 978-3-
7800-2007-9
Ruf, Urs / Gallin, Peter: Dialogisches Lernen in Sprache und
Mathematik, Band 1, Seelze 2005: Kallmeyer, ISBN 978-3-
7800-2006-2
Schipper, W. / Dröge, R. / Ebeling, A.: Handbuch für den
Mathematikunterricht 4. Schuljahr, Hannover 2000:
Schroedel, ISBN 978-3-507-34053-4
Schipper, Wilhelm: Handbuch für den Mathematikunterricht
an Grundschulen, Hannover 2009: Schroedel, ISBN
978-3-507-34064-0
Schütte, Sybille: Mathematiklernen in Sinnzusammenhängen,
Stuttgart 1994: Klett, ISBN 978-3-12-196202-0
Selter, Christoph / Spiegel, Hartmut: Wie Kinder rechnen,
Leipzig 1997: Klett, ISBN 978-3-12-199098-6
Senftleben, Hans-Günter: Aufgabensammlung für das
große Geobrett, Hamburg 2001: Rittel, ISBN 978-3-936443-
01-1
Spiegel, Hartmut / Selter, Christoph: Kinder & Mathematik:
Was Erwachsene wissen sollten, Seelze 2003: Kallmeyer,
ISBN 978-3-7800-5238-4
Sundermann, Beate / Selter, Christoph: Beurteilen und
Fördern im Mathematikunterricht, Berlin 2006: Cornelsen,
ISBN 978-3-589-05077-2
Wittmann, E.Ch./Müller, G.N.: Handbuch produktiver Rechenübungen
Band 2, Stuttgart 1992: Klett, ISBN 978-3-12-
199092-4
© 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörth
in Kooperation mit dem Erhard Friedrich Verlag, Seelze