Average-case Laufzeit von Quicksort

Average-case Laufzeit von Quicksort
Definition
(1) H(n) = ∑ n
i=1 1 i
heißt Harmonische Reihe.
(2) lim n→∞ (H(n) − ln n) = 0, 5772156645... heißt Euler-Konstante
(Leonhard Euler, 1707-1783).
(3) V (n) = mittlere Zahl der Vergleiche bei Quicksort für Eingabefolgen
der Länge n.
(4) Der Rang eines Elements A[i] in der Eingabefolge A[1], . . . , A[n] gibt
an, an welcher Stelle das Element in der sortierten Folge steht, d.h.
Rang(i) = 1 + |{k; A[k] < A[i]}|.
Satz
V (n) = 2(n + 1)H(n) − 4n ≈ 1.386 · n log(n) − 2.846 · n.
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Beweis I
Wenn Rang(n) = q ist, dann ist die Zahl der durchgeführten Vergleiche
(n − 1) + V (q − 1) + V (n − q).
Wenn über alle Permutationen gemittelt wird, nimmt Rang(n) jeden Wert
aus {1, . . . , n} mit gleicher Häufigkeit an. Somit ergibt sich für die
durchschnittliche Zahl von Vergleichen:
V (1) = 0 und für n > 1 :
∑
σ∈Perm(n)
V (n) =
V (σ)
n!
= 1 (
(n − 1)n! + n!
n!
n
= n − 1 + 1 n
n∑ ( ) )
V (q − 1) + V (n − q)
q=1
n∑ ( )
V (q − 1) + V (n − q)
q=1
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Beweis II
Jedes V (q) tritt in der Summe zweimal auf.
V (n) = n − 1 + 1 n
= n − 1 + 2 n
Multiplikation mit n liefert:
n∑ ( )
V (q − 1) + V (n − q)
q=1
n∑
V (q − 1)
q=1
n · V (n) = n(n − 1) + 2
n∑
V (q − 1) (1)
q=1
Wenn wir n − 1 für n substituieren, erhalten wir:
∑n−1
(n − 1)V (n − 1) = (n − 1)(n − 2) + 2 V (q − 1) (2)
q=1
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Beweis III
(1) - (2) ergibt:
n∑
nV (n) − (n − 1)V (n − 1) = n(n − 1) + 2 V (q − 1)
q=1
⎛
⎞
∑n−1
− ⎝(n − 1)(n − 2) + 2 V (q − 1) ⎠
q=1
= n(n − 1) − (n − 1)(n − 2) + 2V (n − 1)
Also:
nV (n) − (n + 1)V (n − 1) = 2(n − 1)
Division durch (n + 1) · n:
V (n) V (n − 1) 2(n − 1)
= +
n + 1 n n(n + 1)
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Beweis IV
Wir schreiben Z(n) für V (n)
n+1
und erhalten:
V (n) V (n − 1) 2(n − 1)
= +
n + 1 n n(n + 1)
2(n − 1)
⇒ Z(n) = Z(n − 1) +
n(n + 1)
Es ist Z(1) = 0 und Beweis durch Induktion ergibt:
Z(n) = 2
n∑
q=2
q − 1
q(q + 1)
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Beweis V
1
Wegen
q(q+1) = 1+q−q
q(q+1) = 1 q − 1
q+1 folgt:
n∑ q − 1
n∑
( q − 1
Z(n) = 2
q(q + 1) = 2 − q − 1 )
q q + 1
q=2
q=2
[( 1
= 2
2 − 1 ( 2
+
3)
3 − 2 ( 3
+
4)
4 − 3 + .. +
5)
[( 1
= 2
2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + · · · + 1 )
− n − 1 ]
n n + 1
( n − 1
Es folgt:
Z(n) = 2H(n) − 2 − 2 n − 1
n + 1 = 2H(n) − 4n
n + 1
Somit gilt für unsere durchschnittliche Zahl von Vergleichen:
V (n) = (n + 1)Z(n) = 2(n + 1)H(n) − 4n
≈ 2(n + 1) ln n − 2.846 · n.
n
− n − 1 )]
n + 1
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