190 - Österreichische Mathematische Gesellschaft

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Q
doch vorkommen kann, so empfiehlt es sich, das Polynom f L xM gegen ein anderes
auszutauschen. (Man könnte auch einen anderen Startwert x 0 versuchen, doch
bringt dies in der Regel nichts.)
Im nachfolgenden Derive-Programm haben wir standardmäßig f L xM$Q x 2 F 1 gesetzt,
was sich in der Praxis recht gut bewährt hat. Man beachte jedoch, dass
für Zahlen spezieller Bauart u.U. andere Polynome günstiger sein können. Dies
gilt insbesondere auch wieder für Mersennesche Zahlen M p Q 2 p J 1 L p […\!M
und Fermatsche Zahlen F m Q 2 2m F 1 L m [‡†ˆM , für welche Polynome der Bauart
f L xM‰Q x e F 1 mit e Q p bzw. e Q 2 mO 1 gemäß unserer Bemerkungen über die
Form der Teiler dieser Zahlen und dem Satz von Legendre deutlich besser sind.
nP :Q :Q 3P 3P :Q P :Q P M 2P rhoL :Q 100P :Q 1P
:Q
:Q
:Q
0 Q
P nM$Q GCDL
N P nM$Q MODL
:Q :Q 1P :Q :Q P exitc
P
e x y s k t x y
Loop
x x
y y
k s
Loop
If k
If t 1
exit
If t 0 AND s 1
x x y y s t 1,
GCDL P nM
:Q nMŠF P MODL
nMŠF :Q MODL P
MODL :Q P nMŠF
R‹L J yMƒP MODL nM
:Q
J
RETURN t
x x e 1
y y e 1
y y e 1
t t x
k : 1
2 101 J 1M!Q 7432339208719 (163.9 s)
rhoL
2 101 J 1P 101MQ 7432339208719 (84.9 s)
rhoL
2 28 F 1P 2 10 M$Q 1238926361552897 (558.5 s)
rhoL
2 212 F 1M!Q 114689 (0.901 s)
rhoL
2 212 F 1P 2 14 M!Q 190276431449381650433 (4.57 s)
rhoL
190276431449381650433MŒQ
FACTORL
R 114689 R 26017793 63766529 (0.031 s).
Man kann aber, worauf R. Brent als erster hingewiesen hat, auch nur mit der
ursprünglichen Folge x 0 x P 1 x P 2 allein auskommen, wenn man die Überprüfung
PZZZ
der ggTL Bedingung x i x J j NMC= 1 nur für jene Paare L iP jM vornimmt, für welche j
P
von der speziellen Form Q j 2 k 1 ist und i nur jeweils die Werte i Q j F 2 k x J 1
r, F
Q 1PZZZdP r 2 k 1 durchläuft. Dass dies ausreicht, sieht man mit einer ähnlichen
x
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