Kernphysik - Orell Füssli

Physik anwenden und verstehen: Lösungen 7.2 Kernpysik 1
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7.2 Kernphysik
Kerne und Kernumwandlungen, Nuklidkarte
24
a)
Resultat:
bester Exponent: x = 0.27, also nicht ganz 1/3
bester Radius: r
1
= 2.1 fm
b)
Material Helium Sauerstoff Strontium Antimon Gold Wismut
Kernradius 3.0 4.6 7.0 7.8 8.5 8.9
r in fm
Nukleonenzahl 4 16 89 122 197 209
Näherung in fm 2.3 3.7 6.5 7.2 8.5 8.7
Relativer Fehler 23% 20% 7% 8% 0% 2%
Die Näherung ist für grosse Nukleonenzahlen A gut.
3
1
rA
25
m mn
⋅ A 3mn
17 3
−27
a) ρ = = = = 2.3⋅10
kg/m ( m
3
n
= 1.661⋅10
kg )
V 4π
3
r
4π
⋅ r0
3
24
b) Die Masse der Erde beträgt m = 5.97 ⋅10
kg .
m 7 3
Ihr Volumen wäre dann V = = 2.61⋅10
m .
ρ
Das ist eine Kugel mit dem Radius
3V
R = 3 = 184 m .
4π

Physik anwenden und verstehen: Lösungen 7.2 Kernpysik 2
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26
a) Beachten Sie: A = N + Z
N ≅ 0.691⋅
Z
1.174
b) Ni hat 28 Protonen, und damit werden 35 ( ≈ 0.691⋅
28 ) Neutronen erwartet, die
Nukleonenzahl müsste demnach 63 sein.
Tatsächlich hat Nickel 58 bis 65 Nukleonen.
Sn hat 50 Protonen, und damit werden 68 Neutronen erwartet, die Nukleonenzahl
müsste demnach 118 sein. Tatsächlich hat Zinn 112 bis 124 Nukleonen.
1.174
27
4
2
He , O
16 40 48 208
8
,
20
Ca ,
20
Ca ,
82
Pb
56
28
Ni ist magisch, hat aber zu wenige Neutronen und ist deshalb instabil.
132
50
Sn ist auch magisch, hat aber zu viele Neutronen und ist instabil.
28
( αββ , , ) Po → Pb → Bi → Po
218 214 214 214
84 82 83 84
( βαβ , , ) Po → At → Bi → Po
218 218 214 214
84 85 83 84
( ββα , , ) Po → At → Rn → Po
218 218 218 214
84 85 86 84
29
a)
U233 U234 U235
3.3 10 4 a
27 d 1.17 m
Th 227 Th 228Th 229Th 230 Th 231 Th232 Th234
Ac 225 Ac 227 Ac 228
10.0 d
21.8 a 6.1 h
Ra 223 Ra 224 Ra 225 Ra 226 Ra 228
Rn 219Rn 220 Rn 222
3.96 s 55.6 s
3.83 d
At 215At 216 At 217 At 218At 219
0.1 ms 0.3 ms 0.03 s 2s 0.9 m
Po 210Po211Po 212Po213Po 214Po215Po 216 Po218
138 d 0.52 s 46 s 4.2 s 310 7 s 1.8 ms 0.15 s
3.05 m
Bi 209 Bi 210 Bi 211 Bi 212 Bi 213Bi 214 Bi 215
100 % 5d 2.17 m 61 m 45.6 m 19.9 m 7.6 m
Pb 206Pb207Pb 208Pb209Pb 210Pb211Pb 212 Pb 214
24.1 % 22.1 % 52.4 % 3.25 h 22.3 a 36.1 m 10.6 h
26.8 m
Tl 206Tl 207 Tl 208 Tl 209 Tl 210
4.2 m 4.8 m 3.1 m 2.16 m 1.3 m
11.4 d 3.66 a 14.8 d 1.6 10 3 a 5.75 a
Fr 221 Fr 223
4.9 m
21.8 m
1.610 5 a2.5 10 5 a 7.010 8 a
Pa231 Pa233 Pa234
Np 237
2.110 6 a
18.7 d 1.9 a 7.910 3 a7.5 10 4 a 25.5 h 14 Mia a
24.1 d
Am 241
432 a
U 238
4.510 9 a
Pu 241
13.4 a

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238 226 206
b) Uran-Radium Zerfallsreihe:
92
U ,
88
Ra ,
82
Pb
241 237 209
Neptunium-Zerfallsreihe:
94
Pu ,
93
Np ,
83
Bi
235 227 207
Uran-Actinium-Zerfallsreihe:
92
U ,
89
Ac ,
82
Pb
232 208
Thorium-Reihe:
90
Th ,
82
Pb
Bindungsenergie
30
a) Das 27 Al-Atom setzt sich aus 13 Protonen, 14 Neutronen und 13 Elektronen
zusammen. Die Summe der Massen seiner Bestandteile beträgt
13( mp + me) + 14mn
= 27.22303u
Das Massendefizit des Kerns beträgt demnach 27.22303u − 26.98154u = 0.24149u.
−12
b) Pro Nukleon sind dies 8.9441 mu, was einer Energie von1.3348⋅ 10 J entspricht.
c) Aluminium besteht zu 100% aus 27 Al-Atomen. 1.0 kg Aluminium enthält
1000 6.02 10
23 Atome 2.23 10
25 Atome.
26.98 ⋅ ⋅ = ⋅
−11
Jedes Atom weist eine Bindungsenergie von 0.2415u
! 3.60⋅10 J auf.
Ein Kilogramm Aluminium weist demnach die Bindungsenergie
25
−11
14
2.23⋅10
⋅3.60⋅10
J = 8.03⋅10
J auf.
Rechnet man mit einem Energiepreis von 15 Rp/kWh, so entspricht dies einem
Kapital von 33 Millionen Franken.
31
−
n → p + β +ν e
−27
Masse des Neutrons: m
n
= 1.6749272⋅10
kg
−27
Masse des Protons: m
p
= 1.6726216⋅10
kg
−27
Masse des Elektrons: m
e
= 0.0009109⋅10
kg
Masse des Neutrinos: m
ν
≈ 0
−30
Das Massendefizit beträgt: ∆m
= mn
− ( m
p
+ me
+ mν
) = 1.3947 ⋅10
kg
2 −13
Die Zerfallsenergie ist ∆mc
⋅ = 1.2535⋅ 10 J ! 0.78237 MeV.
Das ist die obere Grenze für die Energie des β − -Teilchens. Einen wesentlichen Teil
dieser Energie nimmt das Neutrino mit. Einen kleinen Bruchteil erhält das Proton durch
den Rückstoss.
32
Die Masse des Protons beträgt 1.672622⋅
10
−27
kg . Das Deuterium weist eine Atom-
−27
masse von 2.0141018 u auf. Das sind 3.344494⋅ 10 kg. Dies entspricht gerade der
Masse des Deuteriumkerns und des Positrons zusammen, weil das Deuteriumatom ein
Elektron in der Schale hat. Das Massendefizit beträgt demnach
−27 −27
−31
∆m = 2⋅1.672622⋅10
kg − 3.344494⋅10
kg = 7.5⋅10
kg
E = ∆m
⋅c
2 = 6.74⋅10
−14 J pro Fusion.

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−14
Zusätzlich hat man die Energie 16.37⋅10
J aus der Fusion des Positrons mit einem
Elektron.
−14
Das ergibt total 23.11⋅ 10 J pro Fusion.
23
1 Gramm Deuterium enthält etwa 2.99⋅ 10 Atome. Die bei der Bildung von 1 Gramm
Deuterium aus der Fusion von Protonen frei werdende Energie beträgt 69.1 GJ.
33
a) Die Atommasse von 235 U beträgt 235.044 u. Dieses Atom enthält 92 Protonen,
143 Neutronen und 92 Elektronen. Die Summe der Massen dieser Bestandteile
beträgt 236.959 u. Das gesamte Massendefizit beträgt also 1.915 u. Das ergibt pro
−12
Nukleon 8.15 mu, was einer Kernbindungsenergie von1.218⋅ 10 J pro Nukleon
entspricht.
b) Die Atommasse von 127 I beträgt 126.904 u. Dieses Atom enthält 53 Protonen,
74 Neutronen und 53 Elektronen. Die Summe der Massen dieser Bestandteile
beträgt 128.056 u. Das gesamte Massendefizit beträgt also 1.152 u. Das ergibt pro
−12
Nukleon 9.07 mu, was einer Kernbindungsenergie von 1.356⋅ 10 J pro Nukleon
entspricht.
−12
−12
-11
c) Pro Spaltung wird die Energie 235⋅(1.356⋅10
−1.218⋅10
)J = 3.24⋅10
J
frei.
d) In einem Kilogramm 235 U sind
13
Energie von 8.3⋅ 10 J liefern.
6.02⋅10
235
26
Kerne enthalten, die insgesamt eine
e) Die vom KKW Gösgen in einem Jahr produzierte elektrische Energie beträgt
9 16
E tot = 330⋅24⋅3600⋅ 10 J = 2.9⋅
10 J.
E tot 16
f) Das KKW benötigt also mindestens = 8.7 ⋅ 10 J pro Jahr aus der Kernspaltung.
η
Weil aus 1 kg 235 U auch etwa 1 kg (999 g) Spaltprodukte entstehen, erzeugt das
16
8.7 ⋅10
KKW Gösgen mindestens kg Spaltprudukte pro Jahr. Das ist rund 1 t pro
13
8.3⋅10
Jahr.

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Zerfallsgesetze
34
a) Anzahl «Atome» zu Beginn: N
0
Nach der n-ten Runde sind noch ( 1− p)
n N0
«Atome» vorhanden.
− ln 2
Aus ( 1− p)
n N 0
= N0
/ 2 folgt n =
ln( 1−
p)
− ln 2
b) Für p =1/ 6:
n = ; 4
ln( 1−
p)
− ln 2
Für p =1/ 3 : n = ; 2
ln( 1−
p)
−1/
n
c) p = 1−
2 ; 0.13
d) Der Aktivität entspricht die Zahl der Einerwürfe pro Runde. Diese «Atome»
zerfallen nämlich in der Zeitspanne bis zum nächsten Wurf.
35
I
I
I
⋅e
I
−µ
⋅x
0
−µ
⋅x
= 0.05 = = e
1 ln ( 0.05 )
0 0
⇒ x =− ; 0.46 mm
µ
36
d W
= d − d K
2
, k = I 0
I = e2µ W d W +µ K d K
= e µ W (d −d K )+ µ K d K
= e µ W d +(µ K − µ W )d K ; d K = lnk − µ W d
µ K
−µ W
37
a) 0.72 : 99.28
b) Halbwertszeit Uran-235: 7.04·10 8 a; Halbwertszeit Uran-238: 4.46·10 9 a
c) Anfangsverhältnis: q 0
Heutiges Verhältnis: q
h
Halbwertszeit Uran-235: τ
235
Halbwertszeit Uran-238: τ
238
⎛q0
⎞
τ235τ238
ln ⎜ ⎟
qh
t =
⎝ ⎠
; 6.5·10 9 a
τ −τ
ln 2
( )
238 235

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38
a) A: Die Anzahl Zerfälle pro Sekunde in der Probe (hier also 0.25 Bq)
A
0
: Die Anzahl Zerfälle pro Sekunde in der gleichen Menge einer frischen Pflanze
(hier also 30.6 Bq)
ln 2
T
1 2
= : Die Halbwertszeit (5730 Jahre für 14 C)
λ
⎛
ln A ⎞
⎜ ⎟
A
t =
⎝ 0 ⎠
; 40·10 3 Jahre
−λ
b)
1 ∆A
∆t
= ; 3·10 2 Jahre, also [39'700 Jahre, 40'300 Jahre]
λ A
oder Sie wiederholen die Rechnung mit A' = 0.258 Bq und A'' = 0.242 Bq.
Dies ergibt: t' und t''.
Die Differenzen zu t betragen:
t – t' = 3·10 2 Jahre
und
t'' – t = 3·10 2 Jahre
(Achtung es ist nur eine Stelle signifikant)
39
a) Annahme: Alles Blei stammt aus dem Uran
N
0
: Anzahl Uran-Atome als der Stein erstarrte
N
U
: aktuelle Anzahl Uran-Atome im Stein
N : aktuelle Anzahl Blei-Atome im Stein
Pb
ln 2
T
1 2
= : Die Halbwertszeit von Uran-238
λ
−λt
Aus N U
= N 0
e und N
0
= N
U
+ N
Pb
folgt
⎛ NU
⎞ ⎛ NPb
⎞ ⎛ mPbMU
⎞
ln⎜ ⎟ ln⎜1+ ⎟ ln⎜1+
⎟
NPb + NU
NU mUMPb
t =
⎝ ⎠
=
⎝ ⎠
=
⎝ ⎠
; 3.24 Milliarden Jahre
−λ λ λ
b) Angenommen, der Stein hat schon Blei enthalten, dann ist der Stein jünger.
Bei den 3.24 Milliarden Jahren handelt es sich also um eine obere Grenze.

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Aktivität
40
N ln 2 mN A ln 2
0 10 10
a) A = 0
T
= 1/2 MT
= ⋅ = ⋅
1/2
3.66 10 Bq (man definiert 1Ci 3.70 10 Bq)
T1/2
b) Bis heute (2004) sind seit 1898 106 Jahre verstrichen. A = A0⋅ 2 = 0.956A0;
Abnahme um 4.45%
−
t
41
N ln 2 mN A ln 2
0 11
a) A = 0
T
= 1/2 MT
= ⋅
1/2
1.7 10 Bq
−13
m 2
7
b) E α
= 5.30 MeV = ˆ 8.49⋅10
J = v ⇒ v = 1.6⋅10
m/s
2
c) P = A0 ⋅ E α = 0.14 W
P t
d) ∆ T = = 3.9 ° C
cm
Pb
42
1 Gramm 131 mN ln 2
15
I hat eine Aktivität von A0
= A
= 4.6⋅10 Bq
M ⋅T1/2
Damit kann man rund 10 12 Liter Milch vergiften. Das entspricht der gesamten
schweizerischen Milchproduktion von über 280 Jahren!
43
I
I
0
−λt
= e = 0.10 mit λ = ln 2 ⇒ t =
ln10
⋅ T12; 5300 a
T ln 2
12
44
Index 1 für 108 Ag und Index 2 für 110 Ag.
A1
λ1
N T
1
A
1
+ A2
= A0
=35 kBq, = =
A λ N T
T
1,1 2
: 24.6 s und T
2,1 2
2
2
: 2.37 min
2
2,1 2
1,1 2
N
N
1
2
N
N
,
1
2
51.839⋅110
=
,
48.161⋅108
A0
A1
=
NT
1+
NT
2 1,1/2
1 2,1/2
A0
; 5.6 kBq A2
=
NT
1+
NT
1 2,1/2
2 1,1/2
; 29 kBq
Zu Beginn gehen 5.6 kBq auf das Konto von 108 Ag und 29 kBq auf das von 110 Ag.

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Radiometrische Grössen
45
a) 2 Wochen b) 26 mSv
46
a) In 18 g Wasser hat es 2 mol Wasserstoffatome.
1000
23
25
In 1 Liter Wasser hat es ⋅2⋅6.02⋅10
= 6.65⋅10
Wasserstoffatome.
18
8
Davon sind 2.22
⋅10
Tritiumatome.
ln 2
A
0
= ⋅ N0
= 0.40 Bq, also weniger als 1 Zerfall pro Sekunde.
T
1/ 2
b) WeilTBiol

Physik anwenden und verstehen: Lösungen 7.2 Kernpysik 9
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48
90 90
a) Sr → Y + β − + v
−6
N0
ln 2 10 g
23
15
b) A
0
= mit N0
= ⋅6.02⋅10
= 6.7 ⋅10
ergibt A0
= 5.1 MBq
T1/
2
90 g
c) Wegen der relativ grossen Halbwertszeit von 28 Jahren, bleibt die Aktivität im
ersten Jahr etwa konstant. Die Äquivalentdosis im ersten Jahr beträgt demnach
q
H ≈ ⋅A 1
0 ⋅ Eβ
⋅∆ t; 0.17 Sv.
m 3
d) Leukämie ist eine Störung der Bildung von Blutkörperchen.
49
2 2
⎛r0
⎞ mSv/h ⎛ 1 m ⎞
10 9
H
p
= A⋅t⋅h
⋅⎜
⎟ ; 90 Bq ⋅8 h ⋅365⋅0.3 ⋅⎜ ⎟ ; 3·10 –4 mSv
⎝ r ⎠
10 Bq ⎝ 0.5 m ⎠
also etwa 0.3 µ Sv pro Jahr. Die jährliche Strahlungsbelastung der Schweizer
Bevölkerung ist im Mittel 4 mSv. Diese zusätzliche Belastung wäre also absolut
vernachlässigbar.