Drucklose Tanks unter Windlasten - IngenieurbÃ¼ro Dr. KnÃ¶del

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Wind auf Tanks 

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Windengineering – 

Drucklose Tanks unter Windlasten 

Dr.-Ing. Peter Knödel, SFI/IWE 

Beratender Ingenieur 

ö.b.u.v. Sachverständiger für „Schweißtechnik – Sonderbauten in Metall“ 

Professor für Stahlbau an der FH Augsburg 

www.peterknoedel.de 

Seminar am 22. März 2011 

Haus der Technik 

Hollestrasse 1, D-45127 Essen 

Haus der Technik GmbH, Essen 

www.hdt-essen.de 

Ingenieurbüro Dr. Knödel Vordersteig 52, D-76275 Ettlingen Peterhofstr. 3 b, D-86438 Kissing 

info@peterknoedel.de +49(0) 7243 – 32 40 913; Fax 76 54 16 +49(0) 8233 – 73 54 36 – 0; Fax – 3 

Bearbeitungsstand: 23.03.2011 pk 

C:\user-pra\Buero\Proj\V0941_HDT\Tanks\txt\V0941-Wind_11-03-23.doc 23.03.11 12:52

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0.1 Inhalt 

0.1 Inhalt 2 

0.2 Verzeichnis der Anhänge 4 

1. Einleitung 5 

2. Begriffe / Abkürzungen / Namen 6 

3. Der natürliche Wind 9 

3.1 Potentialströmung 9 

3.2 Turbulente Strömung 10 

3.3 Umströmung von geschlossenen Zylindern – Th. v. Kármán 11 

3.4 Umströmung von oben offenen Zylindern 12 

3.5 Der Wind als ingenieurmäßige Last 13 

4. Innendruck bei belüfteten Behältern 14 

5. Schnittgrößen in Schalentragwerken 15 

5.1 Allgemeines 15 

5.2 Die Fourier-Harmonischen 15 

5.3 Dehnungslose Verformungen 17 

5.4 Einfluss der Randbedingungen 19 

6. Stabilität 21 

6.1 Stabilitätstheorie dünnwandiger Schalen 21 

6.2 Rechnerische Beulnachweise 23 

6.3 Ringsteifen aus dem Flugzeugbau 24 

6.4 Mindeststeifigkeit von Ringsteifen 25 

7. Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode 26 

7.1 Zur Einstimmung 26 

7.2 Elementierung – Konvergenzstudien 26 

7.3 Lineare Berechnungen 26 

7.4 Klassische Verzweigungslasten 26 

7.5 Nichtlineare Berechnungen 27 

7.6 Nichtlineare Berechnungen mit begleitender Eigenwertanalyse 28 

7.7 Nachbeulverhalten 29 

8. Fallbeispiele, Schadensfälle, Praxistipps 31 

8.1 Ermittlung der Beulwiderstände als Erstes 31 

8.2 Rezept gegen Leersaugen 31 

8.3 Argument für überkritischen Zustand 31 

8.4 Nachträglich eingeschweißte Stutzen 32 

8.5 VdTÜV–960 als Leitdokument 33 

8.6 Blechdicken–Untermaße nach ISO 9445 34 

8.7 Ausnutzungsgrad bei Interaktionsformeln 35 

8.8 Flaches Kegeldach 35 

8.9 Diskontinuierlich befestigte Ringsteifen 35 

8.10 E-Modul von Austeniten im Außendruckbeulnachweis: 2,1 36 





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9. Quellen und Literaturhinweise 37 

9.1 Normen und Regelwerke 37 

9.2 Fachliteratur 39 

9.3 Sonstiges 42 





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0.2 Verzeichnis der Anhänge 

- Dokumentation zu kármánschen Wirbeln, 4 Seiten 

- Rechenblatt mit Fourier-Darstellung der Windlasten, 4 Seiten 

- Rechenblatt Leersaugen eines Tanks, 2 Seiten 

- Rechenblatt EC3-1-6 Beulnachweis unter Axialdruck, 6 Seiten 

- Rechenblatt EC3-1-6 Beulnachweis unter Umfangsdruck, 6 Seiten 

- Rechenblatt Ringsteifen nach Herber-Czerwenka, 5 Seiten 

- Veröffentlichung Ummenhofer/Knoedel 2000: Boundary Conditions ... , 15 Seiten 

- Veröffentlichung Knoedel/Ummenhofer 2004: Squat Tanks ... , 8 Seiten 

- Veröffentlichung Knödel/Ummenhofer 2006: Ankerkräfte ... , 6 Seiten 

- Veröffentlichung Rotter 2003: Shallow Conical Shells ... , 7 Seiten 





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1. Einleitung 

Dünnwandige Schalentragwerke sind anders gegen Windlasten zu bemessen, als z.B. schlanke 

Schornsteine. Für den Beulnachweis auf der Luvseite muss der örtlich begrenzte Winddruck in einen 

gleichmäßig um den Umfang wirkenden Ersatz-Außendruck umgerechnet werden. Bei belüfteten 

Behältern entsteht zusätzlich aus Leersaugen noch ein innerer Unterdruck, zu dem es in den verschiedenen 

Regelwerken widersprüchliche Festlegungen gibt. Schließlich kann noch das „gutartige“ 

überkritische Tragverhalten in die Bewertung des Beulnachweises einfließen. 

Der Teilnehmer versteht die Umströmung des Behälters im natürlichen Wind und die daraus entstehenden 

Lasten und Schnittgrößen. Er kann die gängigen Berechnungsmethoden hinsichtlich ihrer 

Realitätsnähe beurteilen und anwenden. 

Einzelthemen 

- Der natürliche Wind und seine ingenieurmäßige Beschreibung als "Last". 

- Aerodynamische Effekte beim Umströmen von Zylindern – die karmansche Wirbelerregung. 

- Innendruckentwicklung bei belüfteten Behältern. 

- Schnittgrößen in Schalentragwerken aus Windlasten. 

- Einfluss der Randbedingungen. 

- Einsatz der Finite-Elemente-Methode, überkritisches Tragverhalten. 

- Praxisnahe Rechenverfahren, Beulnachweise. 

- Fallbeispiele, Schadensfälle, Praxistipps. 

Sofern nicht anders angegeben, liegen die Urheberrechte für Text, Skizzen, Fotos, usw. beim Verfasser. 





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2. Begriffe / Abkürzungen / Namen 

Bernoulli 

Daniel Bernoulli (1700-1782) schweizer Mathematiker und Physiker. 

(Nicht zu verwechseln mit Jakob Bernoulli mit der Balkenbiegung, 

das war sein Onkel) 

Breitenkreis 

Folgelasten, follower loads 

Fourier 

von Kármán 

Kesselformel 

Lee 

Luv 

siehe Meridian 

Folgelasten, sie stehen immer senkrecht auf der Bauteiloberfläche, 

auch wenn diese große Verformungen und Tangentenverdrehungen 

macht; Beispiel: Flüssigkeitsdruck auf einer Behälterwand. 

Das Gegenteil sind richtungstreue Lasten. 

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), französischer Mathematiker 

und Physiker, erfand die Fourier-Reihe (siehe Text) 

Theodor von Kármán (1881-1963), ungarischer Aerodynamiker 

siehe hierzu (Knödel 2003) 

Allzweckwaffe, um den Zusammenhang zwischen radialen Lasten 

und Umfangslasten an einem gekrümmten Bauteil zu beschreiben: 

N = p * R 

windabgewandte Seite (lee), siehe auch Luv 

windzugewandte Seite (luff), siehe auch Lee; 

ich verwende den Begriff verallgemeinert für die Seite des Lastangriffes, 

z.B. auch bei Erdbeben, Schiefstellung, usw. 





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Meridian, Erzeugende, Geriatrix 

wie von unserer Erdkugel gewohnt werden Rotationsschalen in Breitenkreise 

und Meridiane unterteilt. Die Meridiane werden auch als 

„Erzeugende“ (Geriatrix) bezeichnet, weil ihre Kontur beim Rotieren 

um die Rotationsachse die Form der Rotationsschale erzeugt. 

Bei Zylinderschalen sind die Meridiane gerade und parallel zur Rotationsachse, 

alle Breitenkreise haben den gleichen Radius. 

Mittragende Breite b,m = 0,778 * √(R * T) ... und nichts anderes! 

(Vorsicht: FALSCHE Veröffentlichung von Bär 1983) 

Re 

Richtungstreue Lasten 

Schalenmittelflächenradius 

Reynoldszahl, nach dem ... Reynolds 

Die Reynoldszahl ist ein Parameter der, Massenträgheit und Zähigkeit 

eines Fluids beschreibt 

Re = d * v / ν (d mal vau durch ny) 

d ist eine charakteristische Länge, bei Zylindern der Durchmesser; 

ν ist z.B. die Zähigkeit der Luft, mit dem Zahlenwert 1,5 * 10 –5 m 2 /s 

nach EC1-1-4 Abs. E.1.3.4 Gl. (E.5). 

behalten ihre Richtung bei, auch wenn das Bauteil starken Verformungen 

unterliegt. Beispiel: Trägheitskräfte 

Bei dünnwandigen Schalen werden die Membrantheorie, die Biegetheorie 

und die Stabilitätstheorie jeweils für die Schalenmittelfläche 

beschrieben; dies entspricht in der technischen Biegelehre – der Balkenbiegetheorie 

– dem Bezug des Balkens auf die Schwerlinie. Daher 

müsste man eigentlich jeweils mit dem Schalenmittelflächenradius 

R,m rechnen. Technisch gesehen ist der Unterschied jedoch vernachlässigbar, 

so dass üblicherweise in den Berechnungen nur vom Radius 

R gesprochen wird, und erst die Konstruktionszeichnungen erkennen 

lassen, ob damit R,i, R,m oder R,a gemeint ist. 

Beispiel: R,i = 2000 mm; T = 8 mm; R,m = 2004 mm; der Fehler bei 

Verwendung von R,i statt R,m beträgt 2%o. 





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tragende Bauteile 

Venturi 

Zylinderkoordinaten 

„Bauteile für tragende Zwecke zur Sicherstellung der mechanischen 

Festigkeit und Standsicherheit und/oder des Feuerwiderstandes sowie 

der Dauerhaftigkeit und der Gebrauchstauglichkeit eines Bauwerks. 

Tragende Bauteile können direkt im Lieferzustand verwendet werden 

oder zum Einbau in ein Bauwerk vorgesehen sein.“ 

(DIN EN 1090-1 Abs. 3.1.9) 

Giovanni Battista Venturi (1746-1822), italienischer Physiker, erfand 

die Venturi-Düse 

R, φ, L 

Schreibweise 

Indizes werden vereinfachend durch Komma abgetrennt, z.B. 

γ,M2 = γ M2 

lies: gamma Index M2 

α,T = α T 

lies: alpha Index T 





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3. Der natürliche Wind 

3.1 Potentialströmung 

Sofern die Strömungsgeschwindigkeit klein genug ist, werden in der Strömung liegende Gegenstände 

laminar umströmt. (Bei Zylindern ist dies möglicherweise bei Re < 30 der Fall.) 

Für die Umströmung eines unendlich langen Zylinders ergibt sich dabei eine doppelt-symmetrische 

Druckverteilung, die durch 

cp = 1 – 4 sin 2 φ 

beschrieben wird (Ruscheweyh I 1982). 

Verlauf des Druckbeiwertes bei Potentialströmung 





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3.2 Turbulente Strömung 

Tatsächlich ist ein Geschwindigkeitsprofil des natürlichen Windes im Höhen- oder Breitenprofil inhomogen. 

Strömungstechnisch wird das aufgefasst als Böenwalzen, die in Richtung des mittleren 

Windes gerollt werden, mathematisch wird es beschrieben durch eine mittlere Windgeschwindigkeit 

(Stundenmittel, 10-Min-Mittel), der Geschwindigkeitsvarianzen mit beiden Vorzeichen überlagert 

sind. Die Summe über die Varianzen ergibt Null, der langfristige Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten 

ist identisch mit der mittleren Windgeschwindigkeit. 

Am Mast Gartow gemessenes Windgeschwindigkeitsprofil über 20 s 

Messung am 25.01.1990 „Vivian“, siehe (Nölle 1991, Peil/Nölle 1995) 

Quelle: www.wtg-dach.org 

Das Lastkollektiv der Windgeschwindigkeiten einschließlich der Böen ist dabei derart, dass aus der 

veränderlichen Beanspruchung in Windrichtung keine ermüdungsrelevante Beanspruchung entsteht. 

Das geht aus einer Untersuchung von Ibach (1988) über die Windbelastung von turmartigen Bauwerken 

hervor. 





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3.3 Umströmung von geschlossenen Zylindern – Th. v. Kármán 

Potentialströmung um einen langen Zylinder 

(www.mathlab.de 12.03.2011) 

Kármánsche Wirbelstraße für unterschiedliche Reynoldszahlen 

(aus Petersen Stahlbau 1997) 





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3.4 Umströmung von oben offenen Zylindern 

Bild auf der Rückseite eines Tagungsbandes (Krupka 2003) 

Ein oben offener Zylinder wird durch das Überstömen „leergesaugt“. Als Folge steht auf der Luvseite 

der luvseitigen Behälterwand der Staudruck an (vielleicht auch nur mit cp = +0,8, weil die 

Luft über die Kante abströmen kann), auf der Leeseite der luvseitigen Behälterwand entsteht ein 

Rückseitensog, wie wir ihn auch von Gebäuden kennen. Dieser Rückseitensog wird üblicherweise 

mit einem Druckbeiwert von cp = –0,5 ... –0,6 beziffert. 

Möglicherweise steht die Luvwand also unter einer effektiven Last von 1,6 * w,0. 

Gleichzeitig sinkt der Beulwiderstand des Zylinders gegenüber dem am oberen Rand radial gehaltenen 

um den Faktor 4. 

Siehe hierzu z.B. Eßlinger/Ahmed/Schroeder (1971). 





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3.5 Der Wind als ingenieurmäßige Last 

Den tatsächlichen Verhältnissen nicht entsprechende, symmetrische Druckverteilung 

(aus Knödel 2003) 

Windlasten sind zwischenzeitlich in der Grundnorm EC1-1-4 geregelt, wobei auch die dynamische 

Antwort schwingungsanfälliger Bauwerke geregelt ist, die früher nur in Fachnormen wie z.B. DIN 

4133 enthalten war. Nachteilig ist z.B. dass der Böenreaktionsfaktor auf das 10-Min-Mittel bezogen 

wird; dies ist insofern eine ungeschickten Beschreibung, als das Bauwerk nicht auf das 10-Min- 

Mittel reagiert, sondern auf die 5-Sek-Bö. Insofern enthält der Böenreaktionsfaktor nach EC1-1-4 

implizit den „Abstand“ der Böenlast zum 10-Min-Mittel, was zumindest umständlich und ungeschickt 

ist. 





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5. Schnittgrößen in Schalentragwerken 

5.1 Allgemeines 

5.2 Die Fourier-Harmonischen 

(Bronstein 1974) 





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Funktionsgleichungen für die nachfolgende Grafik 

(die Ziffern 6 und 2 sind willkürlich gewählt) 

Grafische Darstellung der ersten Fourier-Glieder am Vollkreis 





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5.3 Dehnungslose Verformungen 

Einfach gekrümmte Schalen, wie z.B. Zylinder oder Kegelschalen, sind „abwickelbar“. Nach dem 

Auftrennen eines Meridians lässt sich der Mantel in eine Ebene rollen. 

Diese Eigenschaft ist sehr vorteilhaft für die Herstellungstechnologie von Schalen im Metallbau 

(Schornsteine, Silos, Tanks, usw.). Nachteilig ist, dass diese Schalen äußerst empfänglich für Verformungen 

aus der Schalenebene sind, da sie in dieser Richtung wegen 

R und L >> T 

und I,x ~ T 3 

nur über sehr geringe Steifigkeit verfügen. 

Für die folgende Darstellung eines cos-2φ-Verformungszustandes wurde ein Rechenblatt von Kotan 

(1994) verwendet, welches für die Behälterbau-Vorlesung Knödel (2003) überarbeitet wurde. 

Dehnungslose Verformungen für eine am unteren Rand aufgeprägte 

Verformung der Form u,max * cos(N * φ) 





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Dehnungslose Verformungen, Ansicht und Draufsicht 

Dehnungslose Verformungen, perspektivisch 

Die dargestellte Verformungsfigur erzeugt in der Schale keine Membran-Schnittkräfte, weil eben 

auch keine Membrandehnungen auftreten (daher: dehnungslose Verformungen, strainless mode). 

Aus der Krümmung der Schalenwand in Umfangsrichtung entstehen natürlich Randfaserdehnungen 

und Biegemomente, diese sind jedoch sehr gering, weil die Schale dünnwandig vorausgesetzt ist. 

Die dargestellte Verformung, bei der am unteren Rand vertikale Verschiebungen u aufgeprägt sind, 

könnten z.B. durch entlang des Umfangs ungleichförmige Setzungen des Behälterfußes auftreten. 





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5.4 Einfluss der Randbedingungen 

Werden die im vorigen Abschnitt gezeigten Verformungen dadurch unterdrückt, das die Zylinderschale 

eine in radialer Richtung unendlich steife Dachscheibe erhält, sind dehnungslose Verformungen 

nicht mehr möglich. Der Zylinder wird dadurch so steif, dass er (zunächst) nur noch Starrkörperbewegungen 

macht. Ungleichförmige Vertikalverschiebungen des Behälterfußes erzeugen 

jetzt große Membranschnittkräfte. 

Radiale Flächenlasten in Form einer Fourier-Harmonischen erzeugen jetzt ebenfalls große Membran-Schnittgrößen, 

wenn der untere Schalenrand am Behälterfuß unverschieblich aufgelagert ist. 

Unter Windbelastung ergeben sich dabei Meridiankräfte, die 8 mal größer als die Werte nach Balken-Biegetheorie 

werden können (Ummenhofer/Knödel 2000). 

Im nachfolgenden (akademischen) Beispiel wird ein Zylinder mit D = 10000 mm; H = 10000 mm; 

T = 1 mm und einer Kopfringsteife 100x10 mm gezeigt, der unter einer harmonischen Randlast 

mit Maximalwerten von 10 kN/m steht. 

Harmonisch 8-fach alternierende horizontale Randlast von 10 N/mm (!) 

Verschiebungen in mm; D und L = 10000 mm, T = 1 mm, Kopfsteife 100x10 mm 





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Harmonisch 8-fach alternierende horizontale Randlast von 10 N/mm (!) 

Verschiebungen in mm; D und L = 10000 mm, T = 1 mm, Kopfsteife 100x10 mm 

Die Horizontalverformungen am Kopf betragen ca. 100 mm, die Beträge der Spannungen liegen bei 

knapp 40 N/mm 2 . 

Geht man von einer in vertikaler Richtung elastischen Lagerung aus, was z.B. durch die Nachgiebigkeit 

von Ankern oder die Verformung des Fußbleches der Fall sein kann, dann entspannen sich 

diese hohen Schnittgrößen wieder, dazu genügen oft schon Verformungen im Millimeterbereich 

(Knödel/Ummenhofer 2006). 

Diese Membrankräfte verhalten sich daher wie Zwangsschnittgrößen – sie werden geringer, wenn 

man die Anschlusssteifigkeiten reduziert. 





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6. Stabilität 

6.1 Stabilitätstheorie dünnwandiger Schalen 

Die erste Lösung des Stabilitätsproblems der axialgedrückten Zylinderschale wird Lorenz (1908) 

und Timoshenko (1910) zugeschrieben. Sie gelangen durch Linearisieren der Differentialgleichungen 

und anderen Vereinfachungen zu einer Indifferenzbedingung für die kritischen Membrandehnungen 

(siehe Knödel 1995): 

σ,kl / E = 1 / λ 2 + λ 2 * (T/R) 2 / [12*(1 – ν 2 )] 

Durch Minimieren nach 

λ = m * π R/L 

mit m als Anzahl der Längshalbwellen 

erhält man unter Verwendung von ν = 0,3 den auch heute noch verwendeten Bezugswert 

σ,kl / E ≈ 0,605 * T/R 

Ein etwas wirklichkeitsnäherer, ebenfalls heute als „klassisch“ empfundener Ansatz besteht aus einem 

schachbrettartigen Beulmuster der Form 

w = A * cos (n * φ) * sin (m * π * x / L) 

Offensichtlich ist hierbei n die Anzahl der Umfangsvollwellen, während m die Anzahl der Längshalbwellen 

ist (Knödel 1995). Unter Verzicht auf einige der obigen Vereinfachungen erhält Flügge 

(1932) hieraus Beziehungen für eine Kurvenschar von Indifferenzbedingungen in Abhängigkeit von 

m und n, deren untere Hüllkurve als kleinsten Wert wiederum den oben angegebenen Term „0,605 

...“ annimmt. 





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aus Knödel 1995 

Der Umstand, dass die klassische Verzweigungstheorie ein axialsymmetrisches Ringbeulmuster o- 

der ein schachbrettartiges Muster vorhersagt, im Versuch aber Beulformen mit rautenförmigen, e- 

her breitgestreckten Beulen beobachtet werden, wird von Esslinger (1970) erklärt: 

Filmaufnahmen mit einer Hochgeschwindigkeitskamera zeigen den Beulvorgang eines Mylarzylinders. 

Es ist erkennbar, dass beim ersten Verzweigen tatsächlich ein Schachbrettmuster auftritt, das 

sich mit zunehmender Stauchung des Zylinders in der Weise verändert, dass jeweils sprungartig 

entweder die Umfangswellenzahl um einen Zähler abnimmt oder die Längswellenzahl um einen 

Zähler zunimmt. Auf diese Weise entstehen Beulen, die immer niedriger und breiter werden. 





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6.2 Rechnerische Beulnachweise 

Stellen, für die F Festigkeits- und S Stabilitätsnachweise zu führen sind 

An folgenden Stellen des Tankmantels sind Festigkeitsnachweise zu führen: 

1 Nachweis der Ringzugspannungen aus Füllung, diese sind wegen des nach unten zunehmenden 

Flüssigkeitsdruckes am unteren Rand am größten. 

3 Nachweis der Meridianzuspannungen aus Wind-Kippmoment am leeren Tank, diese sind 

wegen des nach unten zunehmenden Biegemomentes am unteren Rand am größten. 

An folgenden Stellen des Tankmantels sind Stabilitätsnachweise zu führen: 

2 Beulnachweis der Umfangsdruckspannungen aus Wind und innerem Unterdruck; der Staudruck 

ist oben am größten, der Mantel ist möglicherweise oben am dünnsten. 

4 Beulnachweis der Längsdruckspannungen aus Wind-Kippmoment, Eigengewicht, Schnee 

und innerem Unterdruck; das Eigengewicht ist unten am größten. 

5, 6 Interaktion der Beulnachweise: wenn dort Umfangsdruckspannungen auftreten (Hecksog erzeugt 

Zugspannungen, aber Leersaugen oder innerer betrieblicher Unterdruck könnte größer 

sein); dazu die zu dieser Lastkombination zugehörigen Längsdruckspannungen. 





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Interessant ist ein Vergleich zwischen den Nachweisen nach DIN 18800-4 und denen nach EC3-1- 

6, der hier unkommentiert wiedergegeben wird. 

Beispiel: D = 10000 mm; L = 10000 mm; T = 5 mm; S235 

Axialbeulen 

Umfangsbeulen 

DIN 18800-4 σ,xS,Rd = 20,9 N/mm 2 σ,φS,Rd = 2,64 N/mm 2 

EC3-1-6: 

Klasse A exzellent σ,x,Rd = 30,3 N/mm 2 σ,θ,Rd = 2,08 N/mm 2 

Klasse B hoch σ,x,Rd = 19,5 N/mm 2 σ,θ,Rd = 1,81 N/mm 2 

Klasse C normal σ,x,Rd = 11,7 N/mm 2 σ,θ,Rd = 1,39 N/mm 2 

6.3 Ringsteifen aus dem Flugzeugbau 

Der Nachteil der konventionellen Stabilitätsnachweise für Ringsteifen ist, dass man mangels besserer 

Werkzeuge stark auf der sicheren Seite liegend von einem freien Kreisringträger ausgeht. 

Für diesen – wie für das unendlich lange Rohr unter Außendruck (follower loads!) – wird die kritische 

Beulform durch cos-2φ beschrieben („plattgedrücktes Rohr“) mit der Knicklänge 

s,k = 0,5 * 2πR / √3 

und der kritischen Normalkraft 

N,ki = 3EI / R 2 

bzw. der kritischen Linienlast 

p,ki = 3 EI / R 3 

Hinweis: 

Die Ziffer 3 kann gedeutet werden als Minimum aus (N 2 – 1) Umfangswellen. 

Für richtungstreue Lasten wird aus der Ziffer 3 jeweils die Ziffer 4, daher 

s,k = 0,5 * 2πR / 2 = 0,25 * 2πR 

N,ki = 4EI / R 2 

p,ki = 4 EI / R 3 

Durch den konservativen Ansatz der Knicklast ergeben sich bei der Tragwerksplanung entsprechend 

große – rechnerisch erforderliche – Ringsteifen. 





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Hier helfen Czerwenka (1961) aus dem Flugzeugbau und Herber (1966), der dieses Verfahren im 

Tankbau bekannt gemacht hat. Die große Errungenschaft ist die Möglichkeit, die tatsächliche Umfangswellenzahl 

N > 2 zu bestimmen; daraus ergeben sich dann entsprechend höhere Beullasten 

(siehe Rechenblatt im Anhang). 

6.4 Mindeststeifigkeit von Ringsteifen 

Jede Branche hat bei Bedarf irgend eine obskure Formel für die Mindeststeifigkeit von Ringsteifen 

„hinterlassen“. Vergleicht man diese, so stellt man fest, dass sie häufig nur auf einen bestimmten 

Parameterbereich zugeschnitten sind, z.B. relativ dickwandige Schornsteine oder extrem dünnwandige 

Tanks. 

Beispiele: 

DIN 15018-1:1984 Abs. 7.3.2 unter Rückgriff auf DIN 4114-2:1953 Ri 18.12 

I = 0,5 * R * T 3 * √(R/T) 

Beispiel: 

R = 10000 mm; T = 10 mm; 

I = 15800 cm 4 das entspricht einem IPE 360 

Eine strukturierte Aufarbeitung dieses Chaos findet sich bei Binder (1996). 





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7. Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode 

7.1 Zur Einstimmung 

„But remember my dear colleagues: a finite element calculation is per definition wrong!“ 

Prof. Arbocz während eines Vortrages auf dem EUROMECH Colloquium 317, University 

of Liverpool, 21.-23. March 1994. 

7.2 Elementierung – Konvergenzstudien 

Für 4-Knoten-Elemente mit linearen Ansatzfunktionen gilt, dass man je Halbwelle einer Verformungs- 

oder Beulfigur mindestens 5 Elemente verwenden soll. Detaillierte Hinweise sind in Knödel 

(2003) gegeben. 

Erfahrungsgemäß können Spannungen schon bei gröberer Einteilung konvergieren, Verformungen 

reagieren jedoch empfindlicher (Knödel 2011). 

7.3 Lineare Berechnungen 

Bei einer linearen Berechnung postuliert man einen linearen Zusammenhang zwischen den Lasten P 

und den Verformungen U, das Proportionalglied ist die Steifigkeitsmatrix K der Struktur 

U * K = P 

7.4 Klassische Verzweigungslasten 

Die klassischen Verzweigungslasten erhält man als lineare Eigenwertanalyse für eine sehr klein angenommene 

Last. 

Schwierig ist die Modellierung der Randbedingungen, da in der klassischen Verzweigungstheorie 

z.B. unter Axiallast ein unendlich langer Zylinder angenommen wird, der dann vollständig dem bereits 

oben beschriebenen Beulmuster unterliegt. Die Ränder des numerischen Modells dürfen dabei 

in radialer Richtung nicht gehalten sein, da sonst unter Axiallast aufgrund der Querdehnungsbehinderung 

eine Randstörwelle entstehen würde, die die Verzweigungslast erfahrungsgemäß um 15 % 





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herabsetzt (Knödel/Maierhöfer 1989). Ebensowenig darf daher einer der beiden Ränder in Längsrichtung 

starr aufgelagert sein. 

7.5 Nichtlineare Berechnungen 

Bei nichtlinearen Berechnungen wird der Gleichgewichtszustand nachiteriert, dabei stellen sich mit 

steigender Anzahl der Iterationsschritte größere oder kleinere Verformungen ein, als bei der linearen 

Lösung. Aus der Technischen Mechanik ist dieses Phänomen als „Theorie II. Ordnung“ oder 

„Theorie III. Ordnung“ bekannt. 

Üblicherweise prägt man der Zylinderschale dabei radiale Imperfektionen auf. Diese haben die 

Aufgabe geometrischer Ersatz-Imperfektionen und sollen stellvertretend auch für strukturelle Imperfektionen 

stehen, wie z.B. Werkstoffinhomogenitäten und Eigenspannungen. Demzufolge sind 

diese rechnerisch angesetzten Imperfektionen größer, als die nach den technischen Lieferbedingungen 

oder Herstellnormen zulässigen Formabweichungen. Als Faustformel gilt, die erlaubten Amplituden 

der Formabweichungen zu verdoppeln, jedoch kann hierzu im Moment keine Quelle angegeben 

werden. Eine weitaus komplexere Frage ist die nach dem zu verwendenden „ungünstigsten“ 

Muster. Aus gutem Grund sind in den einschlägigen Normen hierzu keine weiteren Angaben enthalten; 

es wird sogar bezweifelt, dass es diese „ungünstigsten“ Muster überhaupt gibt (Schneider 

2004, 2006). 

Die aufgeprägten Imperfektionen und gegebenenfalls auch die Berücksichtigung der Fließgrenze 

des Werkstoffes führen in der strukturmechanischen Berechnung zu einer progressiven Abnahme 

der Steifigkeit, so dass irgendwann eine horizontale Tangente im Last-Verformungs-Pfad erreicht 

wird. Diese Last wird als Traglast (ultimate load) interpretiert. 

Je nach verwendetem Gleichungslöser, dem verwendeten Pfadverfolgungs-Algorithmus, den verwendeten 

Schrittweiten, dem verwendeten Element, der verwendeten Maschenweite, der verwendeten 

Netzform, dem verwendeten Werkstoffgesetz, aber auch der klugen Manipulation der in den 

Programmen voreingestellten Konvergenzschranken ist es für die Software unterschiedlich schwierig, 

Traglasten genügend genau zu bestimmen. 

In diesem Zusammenhang bietet sich an, die üblichen, eindringlichen, warnenden Anmerkungen 

und Ermahnungen auszusprechen: 





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- Es ist offensichtlich, dass man sein Werkzeug (das FE-Programm) genau kennen muss, 

sonst weiß man nicht, auf welchem Weg man zu den Ergebnissen kommt, die man gerne 

hätte („it does not give the right answer“). 

- Es ist ebenso offensichtlich, dass man schon vorher wissen muss, was qualitativ und quantitativ 

zumindest ungefähr herauskommen muss, sonst kann man die Brauchbarkeit der Ergebnisse 

nicht beurteilen. 

Das klingt in diesem Zusammenhang vielleicht ketzerisch – aber der Baustatik-Unterricht 

beschränkt sich auch nicht darauf, dem Adepten die drei Gleichgewichtsbedingungen zu 

vermitteln, sondern man lernt ganz konkret, wie die Momentenlinie eines Durchlaufträgers 

auszusehen hat. DIESE erlernten, vorkonfektionierten Muster für verschiedene Grundtypen 

benutzen wir später in unserem Alltagsgeschäft, um unsere Ergebnisse zu verifizieren. Deshalb 

müssen wir hinsichtlich unserer Kenntnisse des Tragverhaltens von dünnwandigen 

Schalen auf das gleiche Niveau kommen. 

- Die nächste Ermahnung heißt: verifizieren, verifizieren und nochmals verifizieren. 

Es ist dem Verfasser schon bewusst, dass man die FE-Methode gerade dann braucht, wenn 

man eigentlich vorher nicht weiß, was herauskommt, weil die Geometrie oder die Belastung 

oder beides von den bekannten Grundformen abweicht. Dies erfordert nach Ansicht des 

Verfassers ein parametrisiertes Modell, an dem man testen kann, ob z.B. für gleichmäßigen 

Innendruck gleichmäßig verteilte Spannungen mit dem richtigen Betrag und den richtigen 

Umfangsdehnungen herauskommen. 

Im Bereich der Stabilität wird es noch sportlicher: warum sollte man seine eigenen Ergebnisse 

glauben, wenn man nicht vorher einen einfachen, leeren Zylinder unter Axiallast zur 

richtigen Beullast „geführt“ hat? 

- Die vorläufig letzte Ermahnung heißt: Gründliche Kenntnisse der Schalenstabilität sind erforderlich 

– woher weiß man sonst, was die „richtige“ Beullast ist? 

Warum kommen für den Zylinder unter Axiallast Ergebnisse heraus, die jeweils 15% unter 

den klassischen liegen? 

Warum ist es so schwer, als rechnerisches Ergebnis ein Schachbrettbeulmuster zu erhalten? 

7.6 Nichtlineare Berechnungen mit begleitender Eigenwertanalyse 

Um rechnerisch zutreffende Stabilitätslasten zu erhalten, ist eine nichtlineare Berechnung – möglicherweise 

unter Einbeziehung geometrischer Imperfektionen – erforderlich, bei der zusätzlich begleitend 

(d.h. während des „Hochrechnens“) Eigenwerte bestimmt werden. 





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- Hinweis: 

Im ANSYS Handbuch steht im Kapitel Eigenwertermittlung quasi als Schlussempfehlung: 

Man solle sich doch diesen ganzen Stress nicht machen, sondern einfach Imperfektionen 

aufgeben und nichtlinear hochrechnen, dann würde man ebenso zuverlässig die Tragfähigkeit 

einer Struktur finden. 

Diese Aussage ist aus Sicht der Technischen Mechanik richtig und sie mag auch für Stabwerke 

in allen Fällen zutreffen. Bei Zylinderschalen unter Axiallast ist diese Aussage falsch, 

möglicherweise ist sie in einzelnen Spezialfällen zufällig richtig. 

7.7 Nachbeulverhalten 

Soll das Nachbeulverhalten untersucht werden, sind in der Regel beträchtliche Anstrengungen erforderlich, 

um in der Rechnung vom Vorbeulpfad auf den Nachbeulpfad zu wechseln, da zu beiden 

Pfaden unterschiedliche Verformungsfiguren gehören. Mit dem gewünschten Wechsel des Pfades 

ist also ein Umsteigen von der unterkritischen auf die überkritische Verformungsfigur erforderlich 

(mode change). 

In manchen Fällen gelingt dies „versehentlich“, siehe nachfolgendes Last-Verformungsdiagramm. 

versehentlicher Pfadwechsel (Knoedel/Ummenhofer 2004) 





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Zylinder unter Windlast, vermeintlich unterkritische Verformungsfigur 

letzte Konvergenz aus dem vorigen Last-Verformungs-Diagramm 

(Knoedel/Ummenhofer 2004) 





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9. Quellen und Literaturhinweise 

9.1 Normen und Regelwerke 

Hinweis: 

Die nachfolgend angegebenen Normen dienen als Hintergrundinformation; bei Bedarf bitte 

selbst klären, ob diese noch aktuell sind, z.B. über www.beuth.de. 

[1] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Z-30.3-6: Erzeugnisse, Verbindungsmittel und Bauteile 

aus nichtrostenden Stählen. Deutsches Institut für Bautechnik, Berlin, 20.04.09. 

Geltungsdauer bis 30.04.2014. 

Sonderdruck 862, Informationsstelle Edelstahl Rostfrei, Düsseldorf 

www.edelstahl-rostfrei.de 

[2] DASt Richtlinie 017: Beulsicherheitsnachweise für Schalen – spezielle Fälle – . Entwurf 

1992. Deutscher Ausschuß für Stahlbau, Stahlbau-Verlagsgesellschaft. 

[3] DIN EN 1991-1: Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Eurocode 1: Einwirkungen 

auf Tragwerke. 

Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen – Windlasten. Entwurf September 2008. 

[4] DIN EN 1991 (EC1): Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke. Actions on structures. 

Teil 1-4:2005-07 Allgemeine Einwirkungen; Windlasten. Deutsche Fassung EN 1991-1- 

4:2005. 

Part 1-4: General actions; Wind actions; German version EN 1991-1-4:2005. Publication 

date: 2005-07. 

Teil 4: Einwirkungen auf Silos und Flüssigkeitsbehälter. Deutsche Fassung EN 1991- 

4:2006. Ausgabe Dezember 2006. Entwurf Nationaler Anhang Juli 2007. 

Part 4: Silos and tanks; German version EN 1991-4:2006. Publication date 2006-12. Draft 

National Annex July 2007. 

[5] DIN EN 1993/NA (EC3): Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Eurocode 

3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. 

Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Entwurf Oktober 

2007. 

Teil 4-2: Tankbauwerke. Entwurf Oktober 2009. 

Teil 4-3: Rohrleitungen. Entwurf Januar 2009. 

[6] DIN EN 1993 Eurocode 3 (EC3): Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. Design of 

steel structures. 

Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung 

EN 1993-1-1:2005. Ausgabe Juli 2005. General rules and rules for buildings. 

Berichtigung 1 zu Teil 1-1. Berichtigungen zu DIN EN 1993-1-1:2005-07; Deutsche Fassung 

EN 1993-1-1:2005/AC:2006. Ausgabe Mai 2006. 

Teil 1-3: Allgemeine Regeln – Ergänzende Regeln für kaltgeformte dünnwandige Bauteile 

und Bleche; Deutsche Fassung EN 1993-1-3:2006. Ausgabe Februar 2007. 

Part 1-3: Supplementary rules for cold-formed members and sheeting; German version EN 





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1993-1-3:2006. Issued February 2007. 

Berichtigung 1 vom November 2009. Corrigendum 1 from November 2009. 

Teil 1-6: Festigkeit und Stabilität von Schalen; Deutsche Fassung EN 1993-1-6:2007. Ausgabe 

Juli 2007. 

Part 1-6: Strength and stability of shell structures; German version EN 1993-1-6:2007. Publication 

Date July 2007. 

Teil 4-1: Silos. Juli 2007. Deutsche Fassung EN 1993-4-1:2007. 

Berichtigung 1 September 2009. 

Part 4-1: Silos. German version EN 1993-4-1- :2007. 

Corrigendum 1 September 2009. 

Teil 4-2: Tankbauwerke; Deutsche Fassung EN 1993-4-2:2007. August 2007. 

Berichtigung 1 Mai 2010. 

Part 4-2: Tanks. German version EN 1993-4-2:2007. August 2007. 

Corrigendum 1 May 2010. 

Teil 4-3: Rohrleitungen. Deutsche Fassung EN 1993-4-3:2007. Juli 2007. 

Berichtigung 1 September 2009. 

Part 4-3: Pipelines. German version EN 1993-4-3:2007. July 2007. 

Corrigendum 1 September 2009. 

[7] DIN 4119: Oberirdische zylindrische Flachboden-Tankbauwerke aus metallischen Werkstoffen. 

Above ground cylindrical flat bottom-tanks, constructed of metallic materials. 

Teil 1: Grundlagen, Ausführung, Prüfungen. Juni 1979. 

Part 1: General regulations, construction, tests. 

Teil 2: Berechnung. Februar 1980. 

In LTB 2004 Baden-Württemberg aufgeführt Stand 30.12.04 

– Anlage 2.4/1 verweist auf die Anpassungsrichtlinie. 

Für Teil 1 verweist diese auf 

– DIN 18800 Teile 1, 2, 4, 7, DIN 18801, DIN EN 10025, DIN EN 287-1 

– enthält eine Tabelle mit Stahlsorten und Werkstoffbescheinigungen 

– Doppelboden für wassergefährdende Flüssigkeiten 

Für Teil 2 verweist diese auf 

– Lastannahmen sind charakteristisch, Unterscheidung von H und HZ entfällt 

– „Abs. 4.2.3.4 Die Festlegung p,us = 0,4 q0 gilt ungeachtet der Regeln in DIN 18800-4 Elm 

424.“ 

– Teilsicherheitsbeiwerte mit 1,35 für kontrollierten Flüssigkeitspegel) 

[8] DIN 4133: Schornsteine aus Stahl. November 1991. 

(„altes“ Rechenverfahren für den Böenreaktionsfaktor!) 

[9] DIN EN ISO 9445 Kontinuierlich kaltgewalzter nichtrostender Stahl – Grenzabmaße und 

Formtoleranzen. 

Continuously cold-rolled stainless steel – Tolerances on dimensions and form. 

Teil 1: Kaltband und Kaltband in Stäben (ISO 9445-1:2009); Deutsche Fassung FprEN ISO 

9445-1:2009. Entwurf August 2009. 

Part 1: Narrow strip and cut lengths. 

Teil 2: Kaltbreitband und Blech (ISO 9445-2:2009); Deutsche Fassung FprEN ISO 9445- 

2:2009. Entwurf August 2009. 

Part 2: Wide strip and plate/sheet. 





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[10] DIN EN ISO 9445:2006-05 Kontinuierlich gewalztes Kaltband, Kaltbreitband, Blech und 

Kaltband in Stäben aus nicht rostenden Stählen – Grenzabmaße und Formtoleranzen (ISO 

9445: 2002); Deutsche Fassung EN ISO 9445:2006. 

[11] DIN EN 14015: Auslegung und Herstellung standortgefertigter, oberirdischer, stehender, 

zylindrischer, geschweißter Flachboden-Stahltanks für die Lagerung von Flüssigkeiten bei 

Umgebungstemperatur und höheren Temperaturen; Deutsche Fassung EN 14015:2004. Februar 

2005. 

Spezification for the design and manufacture of site built, vertical, cylindrical, flatbottomed, 

above ground, welded, steel tanks for the storage of liquids at ambient temperature 

and above. 

[12] DIN 18800: Stahlbauten. Steel structures. 

Teil 1:2008-11 Bemessung und Konstruktion. Design and construction. 

Teil 4:2008-11 Stabilitätsfälle – Schalenbeulen. Stability – Analysis of safety against buckling 

of shells. 

[13] Verband der Technischen Überwachungs-Vereine e.V. (Hrsg): 

AD-Merkblätter, Taschenbuch-Ausgabe 2002. Stand Mai 2002. Heymanns Verlag, Köln / 

Beuth Verlag, Berlin. 

[14] VdTÜV-Merkblatt Tankanlagen 960-2002/1: Richtlinie für die Herstellung von Flachbodentanks 

mit besonderen Anforderungen. Dezember 2002. 

9.2 Fachliteratur 

[15] Bär, A.: Zur Berechnung von Aussteifungsringen dünnwandiger Stahlbehälter mit schiefem, 

hängendem Kreiskegelboden. Bautechnik (1983), Heft 9, S. 321-327. 

hier steht die von Schwaigerer falsch abgeschriebene mittragende Breite von 1,85 * √RT (!) 

[16] Binder, B.: Stabilität einseitig offener, verankerter, außendruckbelasteter Kreiszylinderschalen 

unter besonderer Berücksichtigung des Nachbeulverhaltens. Diss. Essen 1996. 

Stability of onesided open, anchored circular cylindrical shells under external pressure with 

special consideration of the post-buckling behaviour. 

[17] Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. 14. Auflage, Verlag 

Harry Deutsch, Frankfurt/Main, 1974. (neuere Auflage vorhanden) 

[18] Calladine, C.R.: Theory of Shell Structures. Cambridge University Press 1983. 

[19] Czerwenka, G.: Untersuchungen von dünnen kurzen Zylindern, die durch Ring-Kleinstprofil 

enger und mittlerer Teilung verstärkt sind und unter Manteldruck stehen. Z. Flugwiss. 9 

(1961), Heft 6, S. 163-190. 

[20] Dinkler, D., Pontow, J.: Imperfektionsempfindlichkeit und Grenzlasten von Schalentragwerken. 

Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 694-700. 

[21] Esslinger, M.: Hochgeschwindigkeitsaufnahmen vom Beulvorgang dünnwandiger, axialbelasteter 

Zylinder. Stahlbau 39 (1970), 73-76. 

[22] Eßlinger, M., Ahmed, S.R., Schroeder, H.-H.: Stationäre Windbelastung offener und geschlossener 

kreiszylindrischer Silos. Stahlbau 40 (1971), Heft 12, S. 361-368. 





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[23] Feifel, E., Saal, H.: Tragverhalten axial belasteter Stutzen in Kreiszylinderschalen unter Berücksichtigung 

geometrischer und werkstofflicher Nichtlinearitäten. Stahlbau 75 (2006), 

Heft 9, S. 701-707. 

[24] Feifel, E.: Kreiszylinderschalen unter Einwirkung von Momenten und radialen Einzellasten. 

Diss. Karlsruhe 2007. 

[25] Flügge, W.: Die Stabilität der Kreiszylinderschale. Ingenieur-Archiv 3 (1932), 463-506. 

[26] Flügge, W.: Statik und Dynamik der Schalen. 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg 

1982. 

[27] Gehrig, H.: Verankerungskräfte windbelasteter Kreiszylinderschalen. Stahlbau 71 (2002), 

Heft 1, S. 39–46. 

[28] Girkmann, K.: Flächentragwerke. Dritte Auflage, Springer, Wien 1954. 

6. Aufl. 1963, unveränderter Nachdruck der 5. Aufl. 

[29] Greiner, R.: Zum Beulnachweis von Zylinderschalen unter Winddruck bei abgestuftem 

Wanddickenverlauf. Stahlbau 50 (1981), Heft 6, S. 176-179. 

[30] Greiner, R.: Cylindrical shells: wind loading. Chapter 17 in C.J. Brown, J. Nielsen (eds): Silos 

– Fundamentals of theory, behaviour and design. E&FN Spon, London 1998. 

[31] Hampe, E.: Rotationssymmetrische Flächentragwerke. Einführung in das Tragverhalten. 

Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin 1981. 

[32] Herber, K.-H.: Vorschlag von Berechnungsgrundlagen für Beul- und Traglasten von Schalen. 

Stahlbau 35 (1966), Heft 5, S. 142-151. 

[33] U. Hornung (2000), "Beulen von Tankbauwerken unter Außendruck", Diss. Universität 

Karlsruhe. 

[34] Ibach, D.: Untersuchungen zur Windbelastung turmartiger Bauwerke. Vertieferarbeit bei 

Prof. Dr.-Ing. F. Mang, Versuchsanstalt für Stahl, Holz und Steine, Universität Karlsruhe, 

1988. (Betreuer: Dipl.-Ing. Peter Knödel) 

[35] Knödel, P., Maierhöfer, D.: Zur Stabilität von Zylindern unter Axiallast und Randmomenten. 

Stahlbau 58 (1989), H. 3, S. 81-86. 

[36] Knödel, P.: Stabilitätsuntersuchungen an kreiszylindrischen stählernen Siloschüssen. Dissertation, 

Universität Karlsruhe 1995. 

[37] Knoedel, P., Ummenhofer, T., Schulz, U.: On the Modelling of Different Types of Imperfections 

in Silo Shells. EUROMECH Colloquium 317, University of Liverpool, 21.-23. March 

1994. Thin-Walled Structures 23 (1995), pp. 283-293. 

[38] Knoedel, P., Ummenhofer, T.: Substitute Imperfections for the Prediction of Buckling Loads 

in Shell Design. Proceedings, Imperfections in Metal Silos - Measurement, Characterisation 

and Strength Analysis, pp. 87-101. BRITE/EURAM concerted action CA-Silo Working 

Group 3: Metal Silo Structures. International Workshop, INSA, Lyon, 19.04.96. 

[39] Knödel, P.: Lehrmaterialien zur Vorlesung Behälterbau an der Fachhochschule Karlsruhe, 

erreichbar unter www.peterknoedel.de/lehre/lehre.htm, von März 2003 bis Januar 2006 laufend 

aktualisiert. 

L_Wind_050925, Lasten aus Wind, 7 Seiten. 

FEM_05-09-25, Finite Elemente Methode (FEM); Bestimmung sinnvoller Elementgrößen, 

mit Übungsaufgaben. 





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Projekte P_Baurecht_NRW_05-04-02, Technisches Baurecht NRW am Beispiel eines Silos, 

15 Seiten. 

Projekte P_FEM_aussen_05-09-25, FEM-Beullasten, Zylinder unter Außendruck, 7 Seiten. 

Projekte P_FEM_axial_05-09-25, FEM-Beullasten, Zylinder unter Axiallast, 6 Seiten. 

Projekte P_Karman_11-03-15, Karmansche Wirbel, 4 Seiten. 

[40] Knoedel, P., Ummenhofer, Th.: Design of Squat Steel Tanks with R/T > 5000. 

TP056 in Motro, R. (ed.): Proc., IASS Symposium: Shell and Spatial Structures from Models 

to Realization, Montpellier, 20-24 September 2004. 

[41] Knödel, P., Ummenhofer, Th.: Ankerkräfte bei kurzen Zylinderschalen. Stahlbau 75 (2006), 

Heft 9, S. 723-728. 

[42] Knödel, P.: Schweißgerechtes Konstruieren an ausgewählten Beispielen. Vortrag an der SL- 

Eslohe am 26.10.2006, herunterladbar unter www.peterknoedel.de. 

[43] Knoedel, P.: Recent Silo Codes – and still Structural Failure? pp 113-122 in: 

Chen, J.F., Ooi, J.Y., Teng, J.G. (eds): Structures and Granular Solids – From Scientific 

Principles to Engineering Applications. An international conference in celebration of the 

60 th birthday of Prof. J. Michael Rotter, The Royal Society of Edinburgh, Scotland, UK, 1-2 

July 2008. Taylor & Francis Group, London 2008. (invited lecture) 

[44] Knoedel, P.: Stability of a Thin-Walled Silo Hopper – Case Study. International Workshop 

on Thermal Forming and Welding Distortion, Bremen, April 06-07, 2011. 

[45] Kollár, L., Dulácska, E: Schalenbeulung. Theorie und Ergebnisse der Stabilität gekrümmter 

Flächentragwerke. Werner-Verlag, Düsseldorf 1975. 

[46] Kotan, E.: Auswirkungen unplanmäßiger Ovalisierungen bei zylindrischen Behältern. Diplomarbeit 

am Lehrstuhl für Stahl- und Leichtmetallbau, Universität Karlsruhe 1994. 

[47] Krupka, V. (ed): Proc., Int. Conf. Design, Inspection, Maintenance and Operation of Cylindrical 

Steel Tanks and Pipelines, Prague, Czech Republic, 8.-11. Oct. 2003. 

[48] Lorenz, R.: Achsensymmetrische Verzerrungen in dünnwandigen Hohlzylindern. Z-VDI 52 

(1908), 1706-1713. 

[49] Nölle, H.: Schwingungsverhalten abgespannter Maste in böigem Wind. Dissertation Karlsruhe 

1991. 

[50] Peil, U., Nölle, H.: Ermittlung der Lebensdauer hoher windbeanspruchter Bauwerke. Bauingenieur 

70 (1995). 

[51] Petersen, Chr.: Stahlbau, 3. überarbeitete und erweiterte Auflage, 2. durchgesehener Nachdruck. 

Vieweg, Braunschweig 1997. 

[52] Rotter, J.M.: Buckling of shallow conical shell roofs for small diameter tanks and silos. 

Proc., International conference on design, inspection and maintenance of cylindrical steel 

tanks and pipelines, Prague, Czech Republic, Oct 9-11 th 2003, pp 169-175. 

[53] Ruscheweyh, H.: Dynamische Windwirkung an Bauwerken. Bauverlag GmbH, Berlin 1982. 

Band 1: Grundlagen. 

Band 2: Praktische Anwendungen. 

[54] Saal, H.: Persönliche Mitteilung an P. Knödel. 03.06.2008. 

[55] H. Schmidt, B. Binder, H. Lange (1998), "Postbuckling strength design of open thin-walled 

cylindrical tanks under wind load", Thin-Walled Structures (1998) 203-220. 





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[56] Schmidt, H., Hautala, K.T.: Beulstabilität axialgedrückter Kreiszylinderschalen aus austenitischen 

nichtrostenden Stählen bei normalen und erhöhten Temperaturen. Bauingenieur 

Band 76 (2001), Heft 10, S. 464–473. 

[57] W. Schneider (2004), "Konsistente geometrische Ersatzimperfektionen für den numerisch 

gestützten Beulsicherheitsnachweis axial gedrückter Schalen", Stahlbau 73 (2004), Heft 4. 

[58] Schneider, W.: Die „ungünstigste“ Imperfektionsform bei stählernen Schalentragwerken – 

eine Fiktion? Submitted to Bauingenieur 79 (2004) - cited after [57]. 

[59] Schneider, W.: Ersatzimperfektionen für den numerischen Beulsicherheitsnachweis stählerner 

Schalentragwerke – State of the Art. Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 754-760. 

[60] Sockel, H.: Aerodynamik der Bauwerke. Vieweg, Braunschweig 1984. 

[61] Timoshenko, S.P.: Einige Stabilitätsprobleme der Elastizitätstheorie. Zeitschrift für Mathematik 

und Physik 58 (1910), S. 337-385. 

[62] Ummenhofer, T.: Stabilitätsverhalten imperfekter zylindrischer Stahlsiloschalen – experimentelle 

und theoretische Untersuchungen. Dissertation Universität Karlsruhe 1996. 

[63] Th. Ummenhofer, P. Knoedel (1996), "Typical Imperfections of Steel Silo Shells in Civil 

Engineering", Proc., Imperfections in Metal Silos – Measurement, Characterisation and 

Strength Analysis, pp. 103-118. BRITE/EURAM concerted action CA-Silo Working Group 

3: Metal Silo Structures. International Workshop, INSA, Lyon, 19.04.96. 

[64] Th. Ummenhofer, P. Knoedel (2000), "Modelling of Boundary Conditions for Cylindrical 

Steel Structures in Natural Wind", Paper No. 57 in M. Papadrakakis, A. Samartin, E. Onate 

(eds.): Proc., Fourth Int. Coll. on Computational Methods for Shell and Spatial Structures 

IASS-IACM, June 4-7, 2000, Chania-Crete, Greece. 

[65] Van Ommen, J.: Stand der Normung für Flachbodentanks für Lagerung bei Umgebungstemperatur. 

Technische Überwachung Band 46 (2005), Nr. 4 – April, S. 26-27. 

Anmerkung: 

Hinsichtlich der nicht-mehr-Gültigkeit von DIN 4119 irrt Herr van Ommen: in der LTB BW 

2009 ist DIN 4119 Teil 1 (1979) und Teil 2 (1980) immer noch uneingeschränkt aufgeführt. 

(aber das ist vielleicht ein Problem der unterschiedlichen Weltsicht von Bauingenieuren und 

Maschinenbauern) 

9.3 Sonstiges 

[66] N.N.: Strömungsmechanik in der Mathematischen Modellierung; Proseminar im WS 

2005/06, Universität Stuttgart. (ohne Verfasser) 

www.mathlab.de/mathematik/seminare/stroemungsmechanik/index.html (12.03.2011) 

[67] Windtechnologische Gesellschaft e.V., Aachen 

http://www.wtg-dach.org/index.php?id=205 (15.03.2011) 

[68] http://de.wikipedia.org 

(verschiedene Daten zu Personen))

Drucklose Tanks unter Windlasten - IngenieurbÃ¼ro Dr. KnÃ¶del

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