Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zur Polynomdivision

Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zur Polynomdivision
1. Führen Sie die Polynomdivision durch!
a)
3 2
( x 2x 3x 6):( x 2)
− + − − b)
4 3
( 2x − x + 5 x − 30):( x + 2)
c)
− 5 + 4 + 6
x −3
3 2
x x x
d)
x
−5 x −500
x + 5
4 2
2. Welchen Wert muss a haben, damit die Polynomdivision aufgeht?
Setzen Sie diesen Wert für a ein und führen Sie die Division durch!
a)
3 2
( x a x 2 x 3):( x 1)
+ + − + b)
5
( x − 6 x + a ):( x − 2)
c)
4
x − a
x −3
d)
+ + − 6
x + 2
3 2
x x a x
3. Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion!
a)
b)
c)
d)
4 3 2
f ( x) = 0,5⋅ x − x + x − 2x
f x x x
3 2
( ) = − 4 + 5
1 3 2 3 27
f ( x) = x − 2 x + x +
3 4 4
f x x x x
6 4 2
( ) = − 2 − 8 + 16
4. Schneiden sich die Graphen der Funktion f und g ? Bestimmen Sie alle Schnittpunkte!
a)
b)
c)
2 3
f ( x) = 3 x + 3 und g( x) = 2 x + 4 x
f x x x g x x
3 2
( ) = 4 + 5 und ( ) = 2 + 3
1
4
4 3
f ( x) = x + 3 x und g( x)
= x + x
3 2
5. Begründen Sie, dass die Polynomdivision ( x − x − 2 x + 1):( x − 2) nicht aufgehen kann.
Zeigen Sie, dass man den Quotienten folgendermaßen schreiben kann:
( x − x − 2 x + 1):( x − 2) = x + x +
3 2 2 1
x − 2
(Polynomdivision mit Rest!)
6. Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen mit Rest durch.
a)
b)
3 2
( 2x − x + 3 x + 1):( x + 1)
4
( x − 2 x ):( x + 5)

Mathematik * Jahrgangsstufe 10 * Aufgaben zur Polynomdivision * Lösungen
1. a)
c)
2
x + 3
b)
2
x − 2 x − 2
d)
3 2
2 x − 5 x + 10 x − 15
3 2
x x x
− 5 + 20 − 100
2. a) a = 6 ;
c) a = 81 ;
x
2
+ 5 x − 3
b) a = - 20 ;
3 2
x x x
+ 3 + 9 + 27 d) a = - 5 ;
4 3 2
x x x x
2
x − x
+ 2 + 4 + 8 + 10
− 3
3. a)
b)
c)
d)
4. a)
b)
c)
4 3 2 3 2
f ( x) = 0 ⇔ 0,5⋅ x − x + x − 2x = 0 ⇔ 0,5 ⋅ x ⋅( x − 2x + 2x
− 4) = 0 ⇔
2
0,5 ⋅ x ⋅ ( x + 2) ⋅( x − 2) = 0 ⇔ x1 = 0 ; x
2
= 2
3 2 2
f ( x) = 0 ⇔ x − 4 x + 5 = 0 ⇔ ( x − 5x + 5) ⋅ ( x + 1) = 0 ⇔
1
5 ± 5
x1 = 0 ; x
2/3
= ⋅ (5 ± 25 − 4⋅ 5 ) =
2 2
1 3 2 3 27
3 2
f ( x) = 0 ⇔ x − 2 x + x + = 0 ⇔ 12 ⋅(4x − 24 x + 9x
+ 81) = 0 ⇔
3 4 4
2
1
12 ⋅(4x − 12x − 27) ⋅( x − 3) = 0 ⇔ x1 = 3 ; x2/3
= ⋅ (12 ± 144 + 4⋅4⋅ 27 ) ⇔
2⋅4
12 ± 24
x1 = 3 ; x2/3 = also x2 = 4,5 , x
3
= −1,5
8
6 4 2 3 2 2
f ( x) = 0 ⇔ x − 2 x − 8 x + 16 = 0 ⇔ u − 2u − 8u + 16 = 0 ( Subst.: u = x ) ⇔
( u − 8) ⋅( u − 2) = 0 ⇔ u = 2 ; u = ± 2 2 also x = 2 oder x = 2 2 ⇔
2 2 2
1 2/3
x x
4
1/2
= ± 2 ;
3/4
= ± 2 2 = ± 8
2 3 3 2
f ( x) = g( x) ⇔ 3 x + 3 = 2 x + 4 x ⇔ 0 = 2x − 3x + 4x
− 3 = 0 ⇔
3 2 2
0 = 2x − 3x + 4x − 3 = 0 ⇔ 0 = (2x − x + 3) ⋅( x −1) ⇔ x
1
= 1 Schnittpunkt (1;6)
3 2 3 2
f ( x) = g( x) ⇔ 4 x + 5 x = 2 x + 3 ⇔ 4 x + 5 x − 2x
− 3 = 0 ⇔
2
1 − 1±
7
(4x + x − 3) ⋅ ( x + 1) = 0 ⇔ x1 = − 1 ; x2/3
= ⋅( − 1 ± 1 + 4⋅4⋅ 3 ) = ⇔
2⋅
4 8
x = − 1 = x ; x = 0,75 ; Schnittpunkte: ( −1/1) und (0,75 / 4,5)
1 3 2
1 4 3 1 4 3
f ( x) = g( x) ⇔ x + 3 x = x + x ⇔ x − x + 2 x = 0 ⇔
4 4
1 3 2 1 2
⋅ x ⋅( x − 4x + 8) = 0 ⇔ ⋅ x ⋅( x − 2x − 4) ⋅( x − 2) = 0 ⇔
4 4
2
1
x1 = 0 ; x2 = 2 ; x − 2x − 4 = 0 ⇔ x3/4
= ⋅ ( 2 ± 4 + 4⋅ 4 ) = 1±
5
2
Schnittpunkte: ( 0 / 0) ; ( 2 /10) ; (1 + 5 / 17 + 9 5 ) ; (1 − 5 / 17 − 9 5 )
5.
3 2
x1 = 2 ist keine Nullstelle von f ( x) = x − x − 2 x + 1 , deshalb geht die Division
nicht auf!
6. a)
b)
2 x − 3 x + 6 −
2 5
x + 1
3 2 635
x − 5 x + 25 x − 127 +
x + 5