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M4: Elastizität und Viskoelastizität<br />
104<br />
Hookesches Gesetz<br />
Spannung<br />
F<br />
A<br />
σ =<br />
Eε<br />
Elastizitätsmodul<br />
„Young‘s modulus“<br />
Dehnung<br />
dσ<br />
dε<br />
∆l<br />
l<br />
Querkontraktion<br />
Poisson-Zahl<br />
µ = −<br />
∆d<br />
∆l<br />
/<br />
/<br />
d<br />
l
¡ ¡¢¡£¡£¡£¡ ¡ ¤<br />
¥ ¦ ¦¢¦£¦£¦£¦ ¦ §<br />
¡ ¡£¡¢¡£¡£¡£¡£¡ ¡ ¤<br />
¡ ¡¢¡£¡£¡£¡ ¡ ¤<br />
§ ¦ ¦£¦¢¦£¦£¦£¦£¦ ¦ ¥<br />
¥ ¦ ¦¢¦£¦£¦£¦ ¦ §<br />
105<br />
Spannung und Dehnung allgemein: Tensoren (Matrizen)<br />
σ =<br />
τ =<br />
Eε<br />
Gγ<br />
Scherspannung, -modul, -winkel<br />
ε x<br />
ε y<br />
ε z<br />
γ yz<br />
γ zx<br />
γ xy<br />
:=<br />
s 11<br />
s 21<br />
s 31<br />
s 41<br />
s 51<br />
s 61<br />
s 12<br />
s 22<br />
s 32<br />
s 42<br />
s 52<br />
s 62<br />
s 13<br />
s 23<br />
s 33<br />
s 43<br />
s 53<br />
s 63<br />
s 14<br />
s 24<br />
s 34<br />
s 44<br />
s 54<br />
s 64<br />
s 15<br />
s 25<br />
s 35<br />
s 45<br />
s 55<br />
s 65<br />
s 16<br />
s 26<br />
s 36<br />
s 46<br />
s 56<br />
s 66<br />
⋅<br />
σ x<br />
σ y<br />
σ z<br />
τ yz<br />
τ zx<br />
τ xy<br />
Dubbel,<br />
Taschenbuch für den Maschinenbau
schematische Spannungs-Dehnungs-Kurve<br />
106<br />
Zugfestigkeit<br />
plastisch = bleibende Verformung<br />
elastisch<br />
Streckgrenze<br />
„yield point“<br />
Bruchdehnung<br />
Bruchenergie:<br />
W<br />
= F dl<br />
= σA l dε<br />
= V σ dε
Mechanische Eigenschaften von Gummibärchen<br />
107<br />
E = 0.13 MPa
Zeitabhängigkeit der Dehnung: Viskoelastizität<br />
108<br />
ε e : elastisch<br />
ε ( t)<br />
=<br />
e<br />
σ<br />
E<br />
e<br />
Kriechen<br />
Relaxation<br />
ε v : plastisch (viskos)<br />
ε ( t)<br />
=<br />
v<br />
ε r : viskoelastisch (relaxierend)<br />
ε ( t)<br />
=<br />
r<br />
σ<br />
t<br />
η<br />
σ<br />
E<br />
r<br />
(<br />
−t<br />
/ τ<br />
1−<br />
e )
Modelle: Kombination von Federn (Hooke) und Dämpfern<br />
109<br />
a) Maxwell-Modell: elastisch-plastisch<br />
b) Voigt-Kelvin-Modell: viskoelastisch<br />
c) Burger-Modell: allgemeiner Fall
110<br />
ideal elastisch<br />
ideal linear viskoelastisch<br />
Flüssigkeit: komplette plastische Verformung
Mikroskopische Erklärung<br />
des Spannungs-Dehnungs-Diagramms von Spinnenseide<br />
111<br />
Entknäulen der ungeordneten Bereiche<br />
sehr hoch!<br />
Wasserstoffbrücken brechen auf
Neuestes Morphologie-Modell für Spinnenseide<br />
112<br />
Elastizitätsmoduli:<br />
• Kristalle 160 Gpa<br />
• H-Brücken 4 Gpa<br />
• Schicht 24 GPa<br />
Spannungs-<br />
Dehnungs-Diagramme<br />
Schicht:<br />
„orientiert amorph“<br />
J. P. O‘Brien et al., Adv. Mater. 10, 1185-1195 (1998)
113<br />
Verstärkungswirkung der Schicht<br />
Abhängigkeit der mechanischen<br />
Eigenschaften vom<br />
Größenverhältnis Schicht / Kristall<br />
J. P. O‘Brien et al., Adv. Mater. 10, 1185-1195 (1998)
Mechanische Eigenschaften künstlicher Spinnnseide<br />
114<br />
A.Lazaris et al., Science 295, 472-476 (2002)
2.1.5 Mechanische Eigenschaften von Holz<br />
115<br />
Experimente an Druckholz<br />
(MFA = 46°)<br />
ID01<br />
MFA wird unter Zug kleiner!
Mikroskopischer Klettverschluß in Holz?<br />
116<br />
50<br />
MFA (°) σ (MPa)<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
45<br />
42<br />
39<br />
36<br />
Gleiten<br />
Scherung<br />
Feder-Dehnung<br />
MFA(ε) = MFA(0) – ε cot[MFA(0)]ε<br />
Feder-Dehnung<br />
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20<br />
Dehnung ε<br />
J. Keckes, I. Burgert, K. Frühmann, M. Müller, K. Kölln, M. Hamilton,<br />
M. Burghammer, S. V. Roth, S. Stanzl-Tschegg, P. Fratzl.<br />
Nature Mater. 2, 810-814 (2003)
2.4 Collagen<br />
117<br />
• häufigstes Protein im menschlichen Körper:<br />
Bindegewebe, Haut, Sehnen, Knochen …<br />
•Synthese in Fibroblasten: Sekretion, Modifikation, Selbstorganisation<br />
2.4.1 Struktur von Collagen<br />
• wie üblich hierarchisch…<br />
• Polypeptide: regelmäßig jede 3. Aminosäure Glycin<br />
Sequenz: Gly-Xaa-Yaa-Gly-Xaa-… (oft Prolin und Lysin)<br />
• 3 Polypeptide formen gemeinsame α-Helix: Tropocollagen<br />
• Tropocollagen: 1.38 nm im Durchmesser, 300 nm lang<br />
• intra- und intermolekulare Bindungen zur Stabilisierung
Struktur von Sehnen / Collagen<br />
118<br />
Stapelung von Tropocollagen:<br />
Periode von 64 nm (trocken)<br />
bzw. 68 nm (naß) aus<br />
Röntgenstreuung
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