Immer, wenn eine Ebene gesucht ist: 1. Zwei Richtungsvektoren ...

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Verwendet man dann, wenn 2 Richtungsvektoren der Ebene gegeben sind und der
Normalvektor gesucht ist.
Die 2 Richtungsvektoren dürfen nicht parallel sein, sonst spannen sie ja keine Ebene auf.
Immer, wenn eine Ebene gesucht ist:
1. Zwei Richtungsvektoren bestimmen (z.B. durch 2
Vektoren zwischen 3 Punkten der Ebene)
2. Mit dem Kreuzprodukt den Normalvektor berechnen!

Schulübung
1. Stelle fest, ob die gegebenen drei Punkte
eine Ebene aufspannen. Wenn ja, bilde die
Normalvektorform dieser Ebene!
( ) B = ( 1-10 0)
C = ( 1111)
A = 0 2 10
2. Wie Aufgabe 1:
( ) E = ( −4 2 5)
F = ( −3 4 8)
D = −5 0 2
3. Gegeben sind ein Punkt G und eine Gerade
g. Bilde eine Normalvektorform der Ebene,
die von G und g aufgespannt wird!
G = ( −111)
g : X =
⎛ 1⎞
⎛ 0 ⎞
⎜
⎜
0
⎟
⎟
+ s ⋅
⎜
−1
⎟
⎜ ⎟
⎝
⎜ 6⎠
⎟
⎝
⎜ 5 ⎠
⎟
4. Bilde die Gleichung der Ebene, die zur
gegebenen Ebene E parallel ist und durch
den Punkt H geht!
( )
ε : 4x + 2y + z = 0 H = 0 10
5. Ermittle den Schnittpunkt aller berechneten
Ebenen!
Lösungen:
1.
2x + y − z = −8
2. Die Punkte liegen alle auf einer Geraden,
spannen also keine Ebene auf.
3. 5y + z = 6
4.
5.
4x + 2y + z = 2
S = ( −10 6)
Hausübung
1. Stelle fest, ob die gegebenen drei Punkte
eine Ebene aufspannen. Wenn ja, bilde die
Normalvektorform dieser Ebene!
( ) B = ( 115)
C = ( 2 0 0)
A = 0 2 10
2. Wie Aufgabe 1:
( ) E = ( −4 2 2)
F = ( 3 4 − 1)
D = −5 0 − 1
3. Gegeben sind ein Punkt G und eine Gerade
g. Bilde eine Normalvektorform der Ebene,
die von G und g aufgespannt wird!
G = ( −110 ) g : X =
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜
⎜
6
⎟
⎟
+ s ⋅
⎜
5
⎟
⎜ ⎟
⎝
⎜ 1⎠
⎟
⎝
⎜ 1⎠
⎟
4. Bilde die Gleichung der Ebene, die zur
gegebenen Ebene E parallel ist und durch
den Punkt H geht!
( )
ε : −2x + 4y + 3z = 0 H = 0 3 0
5. Ermittle den Schnittpunkt aller berechneten
Ebenen!
Lösungen:
1. Die Punkte liegen alle auf einer Geraden,
spannen also keine Ebene auf.
2. x − 2y + z = −6
3.
4.
5.
y − 5z = 1
−2x + 4y + 3z = 12
S = ( −4 10 )