Formeln zu Statistik I

Formeln zu Statistik I
Rainer Leonhart
Wintersemester 2011/2012
Dieses Formelblatt darf in der Klausur verwendet werden und wird dort ausgegeben.
Arithmetische Mittel
¯x =
∑ N
i=1 x i
N
(1)
Gewichtete Arithmetische Mittel
GAM =
∑ k
j=1 n j · ¯x j
∑ k
j=1 n j
(2)
Berechnung der Varianz in der Population:
σ 2 x =
∑ N
i=1 (x i −µ) 2
N
(3)
Berechnung der Varianz in der Stichprobe zur Beschreibung der Stichprobe:
s 2 x =
∑ N
i=1 (x i − ¯x) 2
N
(4)
Berechnung der Varianz in der Stichprobe zur Schätzung der Populationsvarianz:
ˆσ 2 x =
∑ N
i=1 (x i − ¯x) 2
N −1
(5)
1

Berechnung der Standardabweichung in der Population:
√
∑N
i=1 (x i −µ) 2
σ x = √ σ 2 x =
N
(6)
Berechnung der Standardabweichung in der Stichprobe:
√
∑N
i=1 (x i − ¯x) 2
s x = √ s 2 x =
N
(7)
Berechnung der geschätzten Populationsstandardabweichung:
√
∑N
i=1 (x i − ¯x) 2
ˆσ x = √ˆσ 2 x =
N −1
(8)
Schiefe:
a 3 =
∑ N
i=1 (x i −µ x ) 3
N ·σ 3 x
(9)
Exzeß:
a 4 =
∑ N
i=1 (x i −µ x ) 4
N ·σ 4 x
(10)
z-Transformation:
z i = x i − ¯x
s x
(11)
Konfidenzintervall:
¯x±1,96·s x (12)
Wahrscheinlichkeit nach Laplace:
p(A) = n A
N gesamt
=
Anzahl der günstigen Ereignisse
Anzahl der möglichen Ereignisse
(13)
2

Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli:
n A
π(A) = lim
N→∞ N
(14)
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
p(A|B) = p(A∩B)
p(B)
(15)
Theorem von Bayes:
p(A|B) = p(A)·p(B|A)
p(B)
(16)
Binomialverteilung:
( n
f(X = k|n) = ·p
k)
k ·q n−k (17)
Standardfehler des Mittelwertes:
σ¯x = σ x
√ (18)
N
z-Test:
mit
z = ¯x−µ x
σ¯x
(19)
σ¯x = σ x
√ (20)
N
t-Test für eine Stichprobe:
mit
t N−1 = ¯x−µ x
ˆσ¯x
(21)
ˆσ¯x = ˆσ x
√ (22)
N
3

t-Test für abhängige Stichproben:
mit
t N−1 = ¯x D
ˆσ D √N
(23)
x Di = x 1i −x 2i (24)
¯x D = ¯x 1 − ¯x 2 (25)
ˆσ¯xD
= ˆσ D
√ (26)
N
√
∑N
i=1 (x D i
− ¯x D ) 2
ˆσ D =
N −1
(27)
F-Test:
F = ˆσ2 1
ˆσ 2 2
(28)
t-Test für unabhängige Stichproben mit homogenen Varianzen:
t = ¯x 1 − ¯x 2
ˆσ¯x1 −¯x 2
(29)
mit
ˆσ¯x1 −¯x 2
=
√
(n 1 −1)· ˆσ 2 1 +(n 2 −1)· ˆσ 2 2
n 1 +n 2 −2
( 1
· + 1 )
n 1 n 2
(30)
und einem Freiheitsgrad von
df = n 1 +n 2 −2. (31)
t-Test für unabhängige Stichproben mit heterogenen Varianzen:
mit
t =
df =
c =
¯x 1 − ¯x
√ 2
) (32)
(ˆσ 2
1
n 1
+ ˆσ2 2
n 2
(n 1 −1)·(n 2 −1)
(n 2 −1)·c 2 +(n 1 −1)·(1−c) 2 (33)
ˆσ 2 1
n 1
ˆσ 2 1
n 1
+ ˆσ2 2
n 2
(34)
4

Varianzadditionssatz:
σ 2 z = σ 2 x +σ 2 y +2·σ xy (35)
Kovarianz in der Stichprobe:
cov xy =
∑ N
i=1 (x i − ¯x)·(y i −ȳ)
N
(36)
Zusammenhang von Kovarianz und Korrelation:
cov xy = r xy ·s x ·s y (37)
Korrelation in der Stichprobe:
r xy =
∑ N
i=1 (x i − ¯x)·(y i −ȳ)
N ·s x ·s y
(38)
Korrelation in der Population:
ρ xy =
∑ N
i=1 (x i −µ x )·(y i −µ y )
N ·σ x ·σ y
(39)
Gleichung der Regressionsgeraden:
ŷ i = r xy · sy
s x
·(x i − ¯x)+ȳ (40)
Standardschätzfehler der Regression:
s y.x = s y ·
√
1−r 2 xy (41)
χ 2 -Test:
χ 2 =
k∑ l∑ (f b(i,j) −f e(i,j) ) 2
i=1 j=1
f e(i,j)
(42)
5