Wahrscheinlichkeit

Statistiktutorat : Termin 5
Wahrscheinlichkeitstheorie
S.Tomczyk@gmx.net

Lösung des Arbeitsblattes Nr. 3

Arbeitsblatt 3

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Wahrscheinlichkeitstheorie

Der große Rahmen
Stochastik
Statistik
deskriptiv
inferentiell
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Tutorat Statistik I
22.11.10

Gliederung
I. Grundlagen
-
Zufallsexperimente
-
Ereignisräume
I. Verknüpfung von Ereignissen
-
Bedingte Wahrscheinlichkeit (WS)
-
Additionssatz
-
Multiplikationssatz
I. Verteilungsfunktionen

Grundlagen

Das Zufallsexperiment
beliebig oft wiederholbar (z.B. Befragung)
kann zu verschiedenen Ergebnissen (A, B, C
usw.) führen, die jeweils mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit p
(= probability) eintreten
Das Ergebnis eines Durchgangs wird als
Elementarereignis ω bezeichnet
p(A) = ω

Der Ereignisraum Ω
Die WS für die
Ergebnisse von
Zufallsexperimenten
(Ereignisse) liegt
zwischen 0 (unmöglich)
und 1 (sicher).

Logisches UND sowie ODER
Das logische ODER
beschreibt die WS für das
Auftreten von
mindestenens einem
Ereignis aus einer Menge
von zwei Ereignissen.
Grafisch: Einzelmengen +
Schnittmenge
Das logische UND
beschreibt die WS für das
gleichzeitige Auftreten
zweier Ereignisse
Grafisch: Schnittmenge

A priori- oder Laplace-
Wahrscheinlichkeit(WS)
Wenn vor Durchführung eines Zufallsexperiments:
-
Alle möglichen Ereignisse bekannt sind
-
und jedes Ereignis mit der gleichen WS auftritt
dann kann die WS für das Auftreten eines Ereignisses
(A) im Vorhinein („a priori“) mittels der Formel von
Laplace geschätzt werden.
p ( A)
=
Relativer Anteil
der „günstigen Fälle“ an allen
möglichen Ereignissen.
N
n
A
gesamt

Laplace-Wahrscheinlichkeit
2
6
4
5
1
3

Beispiel: Laplace-WS
Wie groß ist die WS, aus einem Kartenspiel
mit 32 Karten mit einem Versuch folgende
Karte(n) zu ziehen:
Ein Herzass
1/32
Einen König
4/32 = 1/8
Eine schwarze Karte
16/32 = 1/2
p(
HerzAss)
=
1
32

A posteriori oder Bernoulli-WS
In er psychologischen Forschungspraxis ist a priori
zumeist weder die Anzahl der möglichen Fälle bekannt, noch hat
jeder Fall die gleiche Auftretenswahrscheinlichkeit (→ viele
psychologisch relevante Variablen sind normalverteilt).
Daher schätzt man die Häufigkeit des Auftretens von
Elementarereignis A im Nachhinein („a posteriori)“ nach sehr
vielen Durchgängen eines Zufallsexperiments mittels der Formel
von Bernoulli.
Grenzwert der relativen
Häufigkeit des Eintretens der
„günstigen Fälle“ bei sehr
häufigem Durchführen eines
Zufallsexperimentes.
π
(
A)
=
lim
N →
∞
n
A
N

Bernoulli-WS grafisch
• Bernoulli: „a posteriori“ Wahrscheinlichkeit:
– Wahrscheinlichkeit für A wird geschätzt über
die relative Häufigkeit für A bei unendlich
vielen Zufallsexperimenten
– Gesetz der Großen Zahl
? ?
A
A
A
A
A (Nicht-A), das
Komplementärereignis zu A

Beispiel: Bernoulli-WS
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein/e
zufällig angesprochene/r Freiburger Psychologiestudent/in
weiblich ist.
sex Häufigkeit p
w 58 0,74
m 20 0,26
Gesamt 78 1,00

Wahrscheinlichkeit für (w)=1
Vp sex π(w)
1 1 1.00
2 2 0.50
3 2 0.33
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
4 1 0.50
5 1 0.60
0.00
1 11 21 31 41 51 61 71
6 2 0.50
7 1 0.57
Je größer N wird, desto genauer wird
unsere Schätzung. Dies bezeichnet
man als Gesetz der großen Zahl.

Gliederung
I. Grundlagen
-
Zufallsexperimente
-
Ereignisräume
I. Verknüpfung von Ereignissen
-
Bedingte Wahrscheinlichkeit (WS)
-
Additionssatz
-
Multiplikationssatz
I. Verteilungsfunktionen

Verknüpfung von Ereignissen

Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig,
wenn die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A nicht
vom Eintreten oder Nicht-Eintreten von Ereignis
B beeinflusst wird.
Mathematisch ist stochastische Unabhängigkeit
folgendermaßen definiert:
p ( A)
= p(
A | B)
= p(
A | B)
Bedingte
Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich
ein Ereignis ist, wenn ein anderes Ereignis schon
eingetreten ist (►Einschränkung der „Population“)
p(
A | B)
=
p(
A ∩ B)
p(
B)
Wahrscheinlichkeit von „A“
unter der Bedingung „B“
Wahrscheinlichkeit, dass A
und B gleichzeitig eintreten.
Wahrscheinlichkeit, dass B
eintritt.
Die bedingte WS ergibt sich aus dem
Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse.

Hier liegt keine bedingte WS vor: Die Häufigkeit von A ist nicht
abhängig vom Aufreten von B.
A B A
Hier liegt eine bedingte WS vor: Die Häufigkeit von A ist
abhängig vom Aufreten von B.
A B A

Vorsicht! Nicht verwechseln!
Stochastische Unabhängigkeit: Die
Eintretenswahrscheinlichkeit von A wird nicht
durch das Eintreten von B beeinflusst.
Statistische Unabhängigkeit: Zwei Stichproben
hängen nicht zusammen(Bsp. EG und KG).
Statistische Abhängigkeit: Zwei Stichproben
hängen miteinander zusammen(Bsp.
Messwiederholungsdesigns).

Multiplikationstheorem
Mit dem Multiplikationstheorem wird die
Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die
Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten.
Bei unabhängigen Ereignissen werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten einfach
multipliziert:

Multiplikationstheorem

Multiplikationstheorem
Bei abhängigen Ereignissen wird folgende
Formel verwendet:
Auflösen nach…
Bedingte WS
p(
A
|
B)
=
p(
A ∩ B)
p(
B)

Beispiel: Bedingte WS
10% der Bevölkerung in Deutschland sind
arm ► p(B).
5% der Bevölkerung ist gleichzeitig arm
und psychisch gestört ► p(A ∩ B).
Wie groß ist die WS für einen Armen
(Bedingung) unter einer psychischen
Störung (Ereignis) zu leiden?
p
( A B)
( A ∩ B)
p( B)
p .05
| =
= =
.1
.50

Vorsicht!
Eine bedingte WS darf nicht mit der
„Gegenbedingung“ verwechselt werden:
p( A | B)
≠ p(
B | A)
Im Beispiel haben wir errechnet, dass 50% der Armen (B;
Bedingung) unter einer psychischen Störung (A; Ereignis)
leidet:
p
( A B)
( A ∩ B)
p( B)
p .05
| =
= =
.1
.50
Die Frage, welcher Prozentsatz der psychisch gestörten
(Bedingung; A) arm (Ereignis, B) ist, haben wir damit
nicht beantwortet. Können wir die Frage überhaupt
klären?
Nein, da wir keine Angabe
über die „Basisrate“
psychischer Störungen haben
- p(A) fehlt uns!
p
( B | A)
=
p
( A ∩ B)
p( A)

Prüfung der Unabhängigkeit
Die Grundrate psychischer Störungen in der
Gesamtbevölkerung beträgt 10%.
Sind die Ereignisse krank (A) und arm (B)
stochastisch unabhängig?
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig
wenn gilt:
)
p ( A)
= p(
A | B)
= p(
A | B
p(krank) ≠ p(krank/arm) p(
krank |
p(
krank)
=
10%
arm)
=
50%

Additionstheorem
Mit dem Additionstheorem wird die
Wahrscheinlichkeit berechnet, dass entweder
Ereignis A oder Ereignis B eintritt.
Bei „disjunkten“ Ereignissen, die niemals
gleichzeitig auftreten, werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten von A und B einfach
addiert:
Bei nicht-disjunkten Ereignissen, wird die WS für A
∩ B von A + B abgezogen:

Additionstheorem grafisch
Disjunktes Ereignis
Nicht-disjunktes
Ereignis

Disjunkt- und Unabhängigkeit
Disjunkte Ereignisse sind praktisch immer abhängig!
(außer bei p(A) = 0 oder p(B) = 0)
Beim WS-Experiment „Wurf eines sechseitigen Würfels“
gilt nach LaPlace:
p(6) = 1/6; p(ungerade) = 3/6
Die Ereignisse sind disjunkt: p(6 ∩ ung.) = 0

Disjunkt- und Unabhängigkeit
p(6) = 1/6; p(ungerade) = 3/6 → disjunkt
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig wenn gilt:
p ( A)
= p(
A | B)
= p(
A | B)
p(6) ≠ p(6/ungerade)
p(6)
p(6 |
= 1/ 6
ungerade)
=
0

Das Theorem von Bayes
Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten
Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu
setzen:
p(
A
p(
B
|
|
B)
A)
=
=
p(
A)
⋅ p(
B |
p(
B)
p(
B)
⋅ p(
A |
p(
A)
A)
B)
bzw.
Das Theorem von Bayes erlaubt uns also, aus einer
bekannten bedingten WS, die WS für die
„Gegenbedingung“ zu berechnen, wenn uns auch die
Einzelwahrscheinlichkeiten p(A) und p(B) bekannt
sind.

Herleitung
Das Theorem von Bayes wird aus der bedingten
Wahrscheinlichkeit hergeleitet:
Nach
Umstellung

Theorem von Bayes: Beispiel 1
12% der Bevölkerung ist psychisch gestört; p(A).
10% der Bevölkerung ist arm; p(B).
50% der Armen ist psychisch gestört; p(A|B).
Welcher Anteil der psychisch gestörten ist arm;
p(B|A)?
p(
B
|
A)
=
p(
B)
⋅ p(
A |
p(
A)
B)
0.1⋅
0.5
p(
B | A)
=
=
0.12
0.42

Theorem von Bayes: Beispiel 2
Die WS für ein Kind eine Gymnasialempfehlung zu erhalten
beträgt für einen deutschen Grundschüler 40%.
90% aller Gymnasiasten kommen aus Familien mit
überdurchschnittlich hohem sozioökonomischen Status.
Mit anderen Worten: Wenn ich auf dem Gymnasium bin, ist
mein Elternhaus mit 90% WS besser gestellt.
Der Anteil der Familien mit überdurchschnittlichem
sozioökonomischen Status an der Gesamtbevölkerung beträgt
50% (Operationalisierung: Median-Split).
Aufgabe 1: Wenn ich ein Kind aus einem relativ reichen
Elternhaus bin (obere 50%), wie groß ist die WS später auf ein
Gymnasium zu gehen?
Aufgabe 2: Wenn ich ein Kind aus einem relativ armen
Elternhaus bin (untere 50%), wie groß ist dann die WS in
Zukunft aufs Gymnasium zu gehen?

Lösungsweg Aufgabe 1
p(
B
|
A)
=
p(
B)
⋅ p(
A
p(
A)
|
B)
Die WS. für Ereignis A („reich“) ist 0.5
Die WS. für Ereignis B (Gymnasium) ist 0.4
Die WS für einen Gymnasiasten (Bedingung) „reich“ zu
sein (Ereignis) ist 0.9
Gesucht ist nun die WS für einen „Reichen“ (Bedingung),
ein Gymnasiast zu sein (Ereignis).
0.4 ⋅ 0.9
p( B | A)
=
=
0.5
0.72

Lösungsweg Aufgabe 2
p(
B
|
A)
=
p(
B)
⋅ p(
A
p(
A)
|
B)
Die WS. für Ereignis A („arm“) 0.5
Die WS. für Ereignis B (Gymnasium) ist 0.4
Die WS für einen Gymnasiasten „reich“ zu sein ist 0.9
Demnach beträgt die inverse WS, nämlich die WS für
einen Gymnasiasten „arm“ zu sein, 0.1
Gesucht ist hier also die WS für einen „Armen“
(Bedingung), ein Gymnasiast zu sein (Ereignis).
0.4 ⋅ 0.1
p(
B | A)
=
=
0.5
0.08

Theorem von Bayes: Beispiel 3
Es zeigt sich, dass Gewaltopfer zu 80% Frauen sind:
p(w | gewaltopfer) = .80
Die Grundwahrscheinlichkeit Opfer von Gewalt zu
werden in der Bevölkerung sei: p(Gew.) = .03
Wie hoch ist das Risiko für einen Frau, Opfer von Gewalt
zu werden?
p(
Gew.
|
w)
=
p(
Gew.)
⋅ p(
w
p(
w)
|
Gew.)
=
.03 ⋅ .80
.50
=
.048

Verteilungsfunktionen

Gliederung
I. Grundlagen
-
Zufallsexperimente
-
Ereignisräume
I. Verknüpfung von Ereignissen
-
Bedingte Wahrscheinlichkeit (WS)
-
Additionssatz
-
Multiplikationssatz
I. Verteilungsfunktionen

Was sind Verteilungsfunktionen?
Eine Verteilungsfunktion beschreibt die
Ereignisse eines Zufallsexperiments, bei dem
unendlich viele Elementarereignisse realisiert
werden können.
→ Die Skala einer
kontinuierlichen
Variable kann als
Ereignisraum mit
unendlich vielen
möglichen
Elementarereignissen
verstanden werden.

Histogramm mit
Verteilungsfunktion
Dies Kurve gibt an, wie die
Messwerte aussehen
müssten, damit das erhobene
Merkmal in der Stichprobe
normalverteilt ist.

Nutzen von Verteilungsfunktionen
Verteilungsfunktionen oder –kurven (synonym
auch: Dichte-funktionen) erlauben mir für beliebige
Intervalle x auf meiner Skala die Anzahl der im Bereich
von x liegenden Probanden zu bestimmen.
Sie ermöglichen auch, die WS dafür zu
berechnen, dass ein einzelner Proband einen
Messwert im Intervall x aufweist.
Wie wir heute sehen werden, bildet dies die
theoretische Grundlage der Inferenzstatistik.

Nutzen von Verteilungsfunktionen
Mathematisch benötige ich hierfür die Funktion der
Verteilungskurve der Messwerte meiner Stichprobe.
Die Bestimmung der Anzahl meiner Probanden im
Messbereich x erfolgt mittels Integralrechnung.
Für uns sind in der Praxis jedoch nur bestimmte
Verteilungsfunktionen relevant.
Daher brauchen wir keine Integrale berechnen sondern
lesen unserer Ergebnisse aus Verteilungstabellen ab.

.30
.20
.10
d
Eine Verteilungsfunktionen
Beispiel: Wenn für eine Funktion f gilt:
25
∫ − ∞
dann ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert
von x ≤ 25 zu erzielen p = .20.
f
( x)
dx
=
0.2
Wie gesagt: Man kann die
Wahrscheinlichkeit für
beliebige Wertebereiche
angeben, z.B.:
z.B. p(25 ≤ x ≤ 75) = 0.71
.00
x=25
x

Die Normalverteilung
Die wichtigste Verteilungsfunktion ist
die Normalverteilung. Sie wurde von
C.F. Gauß „entdeckt“.
Die Normalverteilung ist deshalb so
wichtig, weil in der Natur sehr viele
Merkmale normalverteilt sind
(zumindest als Grundlage
psychologischer Testverfahren).

Die Normalverteilung
Jede Normalverteilung …
a) hat einen „glockenförmigen“ Verlauf und
b) ist symmetrisch (a3=0) und
c) hat einen „normalen“ Exzess (a4 = 3)
Zwei Parameter definieren eine
Normalverteilung:
a) Der Mittelwert (μ) gibt die Position des
„Gipfels“ an.
b) Die Streuung oder Standardabweichung (σ)
gibt die Breite der Verteilung an.

Normalverteilung (schematisch)

Die Standardnormalverteilung
Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer
Streuung von 1 heißt Standardnormalverteilung.
Jede normalverteilte Variable kann einfach in eine
Standard-normalverteilung transformiert werden. Dafür
muss für jeden Wert einer Stichprobe folgende Formel
angewandt werden:
x
neu
xalt
−
= zx
=
σ
Diese Transformation nennt man auch Standardisierung.
Die Standardisierung erlaubt uns auch, Untersuchungen
des gleichen Merkmals, die jedoch mit verschieden
skalierten Messinstrumenten durchgeführt wurden, zu
vergleichen.
µ

Verteilungsfunktion der Ergebnisse eines
Optimismusfragebogens
Ein alternativer
Optimismusfragebogen
ist so konstruiert, dass
der Mittelwert 10 und
die SD 2 beträgt.
Die Standardisierung
ermöglicht es nun,
beide Instrumente
zueinander in
Beziehung zu setzen.
Z.B. könnte exakt
bestimmt werden,
welcher Wert im
alternativen Fragebogen
dem Wert 28 entspricht.

Schätzung von Prozenträngen
Ein Prozentrang gibt an, wie viel Prozent der
Population Werte kleiner als einen oder gleich
einem kritischen Wert haben.
Wenn man Mittelwert und Standardabweichung
eines Merkmals kennt, und dieses normalverteilt
ist, kann man den Prozentrang aus der z-
Verteilungstabelle ablesen.
Der z-Wert entspricht der Abweichung vom
Mittelwert in „Standardabweichungseinheiten“
(z.B. bei 1,5 Std.-Abweichungen über dem
Mittelwert µ; z = 1.50).

z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche
-3.00 0.00 -1.50 0.07 0.00 0.50 1.50 0.93
-2.90 0.00 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95
-2.80 0.00 -1.30 0.10 0.20 0.58 1.70 0.96
-2.70 0.00 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 0.96
-2.60 0.00 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97
-2.50 0.01 -1.00 0.16 0.50 0.69 2.00 0.98
-2.40 0.01 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 0.98
-2.30 0.01 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99
-2.20 0.01 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 0.99
-2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 0.99
-2.00 0.02 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 0.99
-1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 1.00

Die Standardnormalverteilung
Interpretation von z-Werten:
f(z)
2% 14% 68% 14% 2%
-2
-1
0 1 2
z

Beispiele: z-Werte
Wie können Sie aus einer stetigen
Wahrscheinlichkeitsfunktion die
Wahrscheinlichkeit dafür ablesen, dass ein
konkreter Wert in einem Intervall von x1 bis x2
vorkommt?
Die Fläche unter der Kurve im Bereich von x1
bis x2 gibt die Wahrscheinlichkeit an.

Beispiele: z-Werte
Welche Wahrscheinlichkeit kann man bei
der Standardnormalverteilung dem
Bereich von z1 = -1 bis z2 = +1
zuordnen?
Die Wahrscheinlichkeit beträgt
ungefähr p = .68.

Ende (vorläufig...)
Bis nächste Woche
Fragen an:
S.Tomczyk@gmx.net