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B1. Ein Kabel ( q 0
= 120 N / m ) soll zwischen
zwei Masten im Abstand l = 300m
so aufge-
Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 12
Seile und Ketten - Fortsetzung, Schnittgrößen bei Bogen, Fachwerkoptimierung
I. Seil unter Eigengewicht
hängt werden, daß der Durchhang f = 60m
In der vorigen
y
Vorlesung haben
x
wir festgestellt,
daß die Form
y = y( x)
eines
freihängenden
homogenen Seils
(oder einer Kette)
der folgenden Differentialgleichung genügt
(Kettengleichung):
2
2
d y q0
⎛ dy ⎞
q
= 1+ 2 ⎜ ⎟ oder y′′ = 0 1 + ( y′
) 2
.
dx H ⎝ dx ⎠
H
Bezeichnen wir y′ = u , dann gilt y′′ = u′
und
die Kettengleichung nimmt die Form
q
u 0 1 ( u) 2 du q 2
′ = + oder = 0 1 + u an.
H
dx H
Trennung der Variablen ergibt
du q0
dx
2
1+ u = .
H
Diese Gleichung kann nun integriert werden:
du q0 q0
∫ dx C
2
1
x C1
1+ u = ∫
H
+ = H
+ .
Das Integral auf der linken Seite berechnen
u = sinhϕ
wir mit der Substitution
:
du = coshϕ
⋅ dϕ
∫
du coshϕ ⋅ ϕ coshϕ ⋅ ϕ
= ∫ d
= ∫
d
= ϕ
2 2
1+ u 1+
sinh ϕ coshϕ
Somit erhalten wir
q0
⎛
x
0
ϕ = + C1 ⇒ sinh q ⎞
u = x C1
H
⎜ + ⎟
⎝ H ⎠ .
Diese Gleichung schreiben wir in der Form
dy ⎛ 0
sinh q ⎞
⎛ 0
= x + C1
dx
⎜
H
⎟ ⇒ sinh q ⎞
dy = ⎜ x + C1
dx
⎝ ⎠
H
⎟
⎝ ⎠
Integration ergibt
∫
⎛ 0
dy sinh q ⎞
= ∫ ⎜ x + C1 ⎟ dx + C2
⎝ H ⎠
oder
H ⎛ 0
cosh q ⎞
y = x C1 C2
q
⎜ + +
0
H
⎟
⎝ ⎠
Die Form eines frei hängenden Seils oder einer
frei hängenden Kette wird durch einen
Kosinus Hyperbolicus beschrieben (Kettenlinie).
beträgt. Wie groß
sind die maximale
Seilkraft und die
Seillänge L ?
Lösung: Wir legen
das Koordinatensystem
so, daß der Koordinatenursprung mit
dem tiefsten Punkt des Seils zusammenfällt.
Dann gilt: y (0) = 0 und y′ (0) = 0 :
dy
sinh C1
0
dx = = ⇒ C
1
= 0
H
H
y = cosh 0 + C2
= 0 ⇒ C2
= − .
q0
q0
Die Form des Kabels ist dann
H ⎛ q0 ⎞ H H ⎛ ⎛ q0
⎞ ⎞
y = cosh ⎜ x⎟ − = ⎜cosh ⎜ x ⎟ −1 ⎟.
q0 ⎝ H ⎠ q0 q0
⎝ ⎝ H ⎠ ⎠
Die unbekannte Konstante H folgt aus der
Forderung y( l / 2) = f :
H ⎛ ⎛ q0l
⎞ ⎞
⎜ cosh ⎜ ⎟ − 1⎟
= f oder
q0
⎝ ⎝ 2H
⎠ ⎠
⎛ q0l ⎞ ⎛ q0l ⎞ 2 f
cosh ⎜ ⎟ − 1 = ⎜ ⎟ . (2)
⎝ 2H ⎠ ⎝ 2H ⎠ l
⎛ q0l
⎞
Indem wir einen neuen Parameter z = ⎜ ⎟
⎝ 2H
⎠
einführen, erhalten wir
2 f
cosh z − 1 = z . Mit
l
f / l = 60 / 300 = 2 / 5
4
folgt cosh z − 1 = z . 5
Numerische oder graphische
Lösung dieser Gleichung ergibt:
q0l
z * = 0,762 ⇒ 0,762
2H = ⇒
q0l
120⋅300
3
H = = = 23,6 ⋅ 10 N = 23,6 kN.
2⋅0,762 2⋅0,762
2
Die Seilkraft errechnet sich zu S = H 1+ y′ .
Sie nimmt den maximalen Wert bei x = ± l / 2
2 ⎛ q0 l ⎞ ⎛ q0
l ⎞
an: S = H 1+ sinh ⎜ H cosh
H 2
⎟ = ⎜
H 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
⎛ q0 l ⎞ q0
f
Aus (2) folgt, daß cosh ⎜ ⎟ = 1 + ist.
⎝ H 2 ⎠ H
Für die Seilkraft ergibt sich
⎛ q0
l ⎞
S = H cosh ⎜ ⎟ = H + q0
f = 30,8kN
.
⎝ H 2 ⎠

Die Länge des Kabels berechnet sich zu
l / 2 l / 2
2 ⎛ q0
⎞
L = 2 ∫ 1 + y′
( x) dx = 2 ∫ cosh ⎜ x ⎟dx
=
⎝ H ⎠
0 0
l / 2
2H
⎛ q0 ⎞ 2H
⎛ q0l
⎞
= x = =
sinh ⎜ ⎟ sinh ⎜ ⎟
q ⎝ H ⎠ q ⎝ 2 H ⎠
0 0 0
⋅ ⋅
= ( ) ≈
150
3
2 23,6 10 sinh 0,762 330
II. Momentenfreie Bögen
Ein Seil kann keinen Biegemomenten widerstehen.
Seine Gleichgewichtsform gibt daher
die Form eines momentenfreien Bogens, welcher
auf Zug
beansprucht ist,
x an. In der vorigen
Vorlesung
0
haben wir die
2
4hx
Form eines Brückenseils zu y = berechnet.
Sie hängt nicht von der Größe der Stre-
2
L
ckenlast q
0
ab! Bei einer beliebigen homogenen
Änderung der Streckenlast ( q 0
= konst )
behält das Seil die gleiche Form und bleibt
momentenfrei. Das gilt auch für negative q
0
.
In diesem Fall
haben wir es
mit einem momentenfreien
Bogen zu tun,
welcher auf
Druck beansprucht ist. In der Baustatik nennt
man diese Form Stützlinie.
III. Schnittgrößen bei Bögen
Gegeben sei ein gebogener
Balken
(Bogen), dessen
Form durch die
Funktion y = y( x)
gegeben ist.
Auf ihn wirke in der
vertikalen Richtung
Streckenlast q( x ) .
Zu bestimmen ist der
Verlauf des Biegemomentes
Im Bogen.
Lösung: Wir schneiden ein infinitesimal kleines
Element des Bogens frei. Aus dem Kräftegleichgewicht
in horizontaler Richtung folgt
H ( x + dx) = H ( x)
⇒
H ( x)
= konst = H . (1)
m
Gleichgewicht in der vertikalen Richtung ergibt
V ( x + dx) −V ( x) − q( x) dx = 0 . Daraus
dV ( x)
folgt = q( x)
. (2)
dx
Das Momentengleichgewicht lautet
M ( x + dx) − M ( x) − Hdy + Vdx = 0 oder
dM ( x)
dy
= − V ( x)
+ H . (3)
dx
dx
Integration der Gleichung (2) und Einsetzen in
(3) ergibt V ( x) = q( x)
dx + C1
∫
dM ( x)
dy
= − + −
dx
dx
Eine zweite Integration liefert dann
M ( x) = − dx q( x) dx + Hy( x)
− C x + C
∫ q( x)
dx H C1
. (4)
∫ ∫ 1 2
.
2 2
B1. Die Form des Trägers sei y = R − x ,
die Streckenlast sei konstant mit q( x)
= q0
.
An den Rändern sei er gelenkig gelagert.
Lösung: Integration von (4) ergibt
2
q0x
M ( x) = − + Hy( x)
− C1x + C2
. Falls wir
2
den Koordinatenursprung in der Mitte des
Trägers wählen, wird C
1
= 0 . Aus der Randbedingung
M ( R ) = 0 ergibt sich
C
2
2
q0 R / 2
= . Der Momentenverlauf lautet
2 2 2 2
M ( x) = q0
( R − x ) / 2 + H R − x .
III. Fachwerkoptimierung
Eine Brücke ist so zu optimieren, daß sie das
minimale Eigengewicht
hat.
Lösung: Indem wir
die Knoten verschieben, ändern wir die Länge
der Stäbe. Außerdem kann der Querschnitt
geändert werden. Nehmen wir an, alle Stäbe
haben einen runden Querschnitt. Dann haben
wir für das skizzierte Fachwerk 20 Knotenkoordinaten
und 27 Radien als frei wählbare
Parameter. Bei jeder Wahl bekommen wir
einen Satz von Stabkräften. Die Zugkräfte
2
müssen die Bedingung F < π a σ und die
Druckkräfte die Bedingung
pl
F < π Ea / l
2 4 2
erfüllen. Das Gesamtgewicht des Fachwerkes
2
M = ρ∑ l π a ist zu
i
minimieren. Mögliche
optimierte Formen:
(Mehr in der Veranstaltung
"Numerische Simulationsmethoden".
Jedes
WS, 4SWS, Kürschner).