Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler

Michelson-Interferometer
mit
diffraktivem Strahlteiler
Diplomarbeit
Daniel Friedrich
Matr. Nr. 2114790
Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover
Institut für Gravitationsphysik
Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik
(Albert Einstein Institut)
Referent: Juniorprofessor Dr. Roman Schnabel
Korreferent: Professor Dr. Karsten Danzmann
Hannover, November 2006

Kurzzusammenfassung
Für die Empfindlichkeitssteigerung zukünftiger Generationen hochpräziser
Laserinterferometer zur Gravitationswellendetektion wird der Einsatz von
dielektrischen Reflexionsgittern erforscht. In dieser Arbeit wird die Ersetzung
des zentralen 50/50-Strahlteilers durch ein speziell angefertigtes dielektrisches
Reflexionsgitter untersucht. Es wird erstmalig ein Design eines
Michelson-Interferometers mit diffraktivem Strahlteiler und sphärischen
Spiegeln vorgestellt, dass einen hohen Kontrast des Interferometers erlaubt.
Durch das Design wird die Leistungsüberhöhung mittels ” Power-Recycling“
ebenfalls mit sphärischem Einkoppelspiegel ermöglicht. Die Qualität des Designs
wurde durch einen erreichten Kontrast des Interferometers von 0,99936
belegt. Darüber hinaus kann durch Messung der Finesse des ” Power-Recycling“
Resonators der optische Verlust des Gitterstrahlteilers bestimmt werden.
Die Messungen wurden für zwei Strahlteiler in verschiedenen Aufbauten
durchgeführt, wobei für ein Gitter ein bisher unerreicht niedriger Gesamtverlust
von (0,11 ± 0,08)% gemessen wurde.

Erklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit allein und selbständig und
lediglich unter Zuhilfenahme der genannten Hilfsmittel und Quellen angefertigt
zu haben.
Daniel Friedrich
November 2006

Inhaltsverzeichnis
Selbständigkeitserklärung v
1 Einführung 1
2 Diffraktive Strahlteiler 5
2.1 Design von Gittern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Die Gittergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Rigorose Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Dielektrische Reflexionsgitter . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme 11
3.1 Streumatrixformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 Arbeitspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Kontrast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Fabry-Perot Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Charakteristische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4
” Power-Recycling“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler 29
4.1 Fenster- und Gitterstrahlteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Interferometerdesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Berechnung eines Eingangstrahls . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2
” Power-Recycling“ im diffraktiven Interferometer . . . 43
5 Experiment 45
5.1 Experimentelle Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Pound-Drever-Hall Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.2 Aufbau des Modenfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
vii

INHALTSVERZEICHNIS
5.3
5.2.1 Die verwendeten Gitterstrahlteiler . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 Die verwendeten Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.3 Design und Aufbau des Interferometers . . . . . . . . 55
5.2.4 Bestimmung des Kontrasts . . . . . . . . . . . . . . . 60
” Power-Recycling“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.1 Längenregelung des Power-Recycling“ Resonators . .
”
5.3.2 Position des Power-Recycling“ Spiegels . . . . . . . .
”
5.3.3 Bestimmung der Finesse . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
64
65
5.3.4 Verluste des Gitterstrahlteilers . . . . . . . . . . . . . 70
6 Zusammenfassung 75
A Gauß Strahlen 77
A.1 Transformation Gaußscher Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . 80
B Interferometerdesign 83
Danksagung 93
viii

KAPITEL 1
Einführung
Eine Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie, die 1916 von Albert
Einstein veröffentlicht wurde, ist die Existenz von Gravitationswellen. Gravitationswellen
werden durch beschleunigte Massen abgestrahlt und sind
Störungen der Raum-Zeit Metrik.
Ein indirekter Beweis für die Existenz von Gravitationswellen wurde bei
Untersuchungen des Pulsars PSR 1913+16 entdeckt, der Teil eines Doppelsternsystems
ist. J. H. Taylor und J. M. Weissberg erkannten, dass die Periodendauer
über mehrere Jahre kontinuierlich abnahm, was mit dem Energieverlust
durch Abstrahlung von Gravitationswellen erklärt werden konnte [1].
Aus den Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen folgt, dass Gravitationswellen
eine Quadropolstrahlung sind, die sich durch eine abwechslende
Dehnung und Stauchung der Raum-Zeit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
auswirken. Die auf der Erde erwarteten Effekte durch Gravitationswellen bewirken
relative Längenänderungen in der Größnordnung von 10 −21 , weshalb
der direkte experimentelle Nachweis noch aussteht und eine große Herausforderung
der physikalischen Grundlagenforschung darstellt. Quellen für eine
Gravitationsstrahlung dieser Stärke sind gigantische, astronomische Ereignisse,
wie zum Beispiel Supernovae oder der Kollaps binärer Systeme aus
Neutronensternen oder schwarzen Löchern [2].
Laserinterferometrische Gravitationswellendetektoren
Die zur Zeit im Messbetrieb befindlichen Detektoren sind insbesondere hochpräzise
Laserinterferometer. Sie basieren allesamt auf einem Michelson-Inter-

1 Einführung
ferometer, das einen Strahlteiler und zwei Endspiegel als Testmassen verwendet,
wie in Abbildung 1.1 skizziert. Eine passend orientierte Gravitationswel-
Laser
M1 M1
M2
Laser
BS BS
PD PD
a) b)
Mpr
Abbildung 1.1: a) Skizze eines konventionellen Michelson-Interferometers mit
Strahlteiler (BS) und Endspiegeln (M1, M2). Eine Photodiode (PD) detektiert die
Leistung in einem Ausgang des Interferometers . b) Erweiterte Konfiguration um
” Power-Recycling“ durch einen teildurchlässigen Spiegel zwischen Laser und Strahlteiler,
zur Leistungsüberhöhung.
le bewirkt entgegengesetzte Längenänderungen in den Interferometerarmen,
die mit einem Laserstrahl ausgelesen werden. Dafür wird der einfallende
Strahl am Strahlteiler BS in zwei Teilstrahlen aufgespalten, die sich entlang
der Interferometerarme ausbreiten und von den Spiegeln M1 bzw. M2
zurückreflektiert werden. Am Strahlteiler werden sie wieder überlagert und
interferieren abhängig von ihrer relativen optischen Phase destruktiv oder
konstruktiv, was an einer Photodiode PD in einem Ausgang detektiert wird.
Um die winzige Wirkung einer Gravitationswelle messen zu können, muss
das Signal-zu-Rausch Verhältnis eines Interferometers verbessert werden.
Dazu werden zum einen fortgeschrittene Interferometertechnologien verwendet
und zum andereren Störungen auf die Testmassen reduziert. Eine Voraussetzung
für hochpräzise Interferometrie ist, dass der Aufbau weitgehend
von äußeren mechanischen Einflüssen entkoppelt ist. Dafür werden große
Vakuumsysteme realisiert, in denen die Testmassen über aufwendige Pendelkonstruktionen
aufgehängt werden. Durch die Pendelaufhängung wird
die Übertragung von seismischen Störungen auf die Testmassen bei höheren
Frequenzen als den Eigenfrequenzen der Pendel unterdrückt, so dass sie nur
unter ≈ 50 Hz relevant sind. Bei höheren Frequenzen wird die Empfindlichkeit
gegenwärtiger Detektoren im wesentlichen durch zwei Rauschquellen
limitiert: das thermische Rauschen und das Photonen-Schrotrauschen.
Das thermische Rauschen ist die Anregung eines mechanischen Systems
2
M2

durch thermische Energie. Es wirkt sich bei den Detektorkomponenten durch
unterschiedliche Schwingungsanregungen aus und betrifft die Substrate, die
Beschichtung der Substrate, die Testmasse als Pendel als auch die Aufhängung
selbst. Die spektrale Verteilung dieses Rauschens ist entscheidend
von der Güte der Komponenten abhängig. Eine hohe Güte bedeutet, dass
die Anregung der Komponente hauptsächlich in einer schmalbandigen Resonanzfrequenz
auftritt und dafür bei anderen Frequenzen abgesenkt wird.
Man ist deshalb darauf angewiesen Komponenten mit hoher Güte einzusetzen,
um das nicht resonante Rauschen im Detektionsbereich zu senken.
Andererseits ist man auf hochtransparente Materialien für die optischen Substrate
angewiesen, was die Auswahl erheblich einschränkt. Eine weiterer Ansatz,
das thermische Rauschen zu minimieren, besteht in der Kühlung der
Testmassen. Dabei muss aber beachtet werden, dass die Güte von Materialien
zuweilen stark temperaturabhängig ist.
Über einigen Hundert Hertz senkt das Schrotrauschen die Empfindlichkeit
von laserinterferometrischen Gravitationswellendetektoren. Das Schrotrauschen
entsteht durch quantenmechanische Fluktuationen des Laserlichts.
Normiert auf das Signal ist es umgekehrt proportional zur Wurzel der Leistung
im Interferometer. Eine wesentliche Technologie zur Reduzierung des
Schrotrauschens in allen realisierten und geplanten Detektoren ist die Leistungsüberhöhung
im Interferometer durch einen teildurchlässigen Spiegel
(Mpr) im Eingang des Interferometers. Diese Technik wird als ” Power-Recycling“
bezeichnet und ist in Abbildung 1.1 dargestellt. Der zusätzliche Spiegel
bildet mit dem Michelson-Interferometer einen optischen Resonator, in
dem die Lichtleistung resonant überhöht wird. In GEO600, dem deutschbritischen
laserinterferometrischen Gravitationswellendetektor werden zur
Zeit Leistungen im kW-Bereich im Interferometer erreicht [3]. Für zukünftige
Detektoren werden Laser mit Ausgangsleistungen von einigen 100 W
entwickelt, wodurch im Interferometer um Größenordnungen höhere Leistungen
erreicht werden könnten.
Schon bei den gegenwärtigen Lichtleistungen werden trotz hochqualitativer
Optiken mit Verlusten von 0,25 ppm/cm [4] thermooptische Effekte
durch eine Restabsorption in den Substraten relevant. Durch die Ausbildung
thermischer Linsen und thermischer Oberflächendeformationen treten
Strahlverformungen auf, die die Leistungsfähigkeit des Interferometers beschränken
[5].
Ein vielversprechender Ansatz zur Verringerung der genannten Rauschquellen
stellen rein-reflektive Interferometertopologien auf Basis strahlteilender
Reflexionsgitter dar [6]. Zum einen werden thermooptische Effekte
effizient vermieden, was den Betrieb eines Interferometers mit sehr hohen
Leistungen ermöglichen soll. Auf diese Weise wird das Schrotrauschen, das
gegenwärtige Detektoren bei hohen Frequenzen limitiert, abgesenkt. Zum
anderen können Optiken aus nicht-transparenten Materialien mit besseren
mechanischen Eigenschaften für Substrate verwendet werden [7]. So bietet
3

1 Einführung
sich die Möglichkeit, das nicht-resonante thermische Rauschen im Detektionsband
abzusenken, indem Materialien mit höherer Güte als bisher möglich
verwendet werden. Ein ausführlicher Vergleich verschiedener Materialien ist
in [8] zu finden.
Erste Experimente von Sun [9] zeigten, dass Interferometer mit Reflexionsgittern
als Strahlteiler möglich sind. Dabei wurde ein Metallgitter verwendet,
dessen Verluste über eine einfache Messung der Lichtleistungen in
den Beugungsordnungen zu 3,6% bestimmt wurden. Durch Entwicklungen
auf dem Gebiet der diffraktiven Optik können heute Reflexionsgitter auf
Basis dielektrischer Materialien mit hoher Qualität hergestellt werden, die
sich durch weitaus geringere Verluste auszeichnen.
In dieser Arbeit wird erstmalig ein leistungsüberhöhtes Michelson-Interferometers
mittels ” Power-Recycling“ mit speziell angefertigtem diffraktivem
Strahlteiler vorgestellt. Mit diesem Aufbau war es zudem möglich,
die geringen optischen Gesamtverluste des verwendeten dielektrischen Gitterstrahlteilers
über die Finesse des ” Power-Recycling“Resonators zu bestimmen.
Die rein-reflektive Topologie eines Michelson-Interferometers mit
Gitterstrahlteiler bedingt, dass die gebeugten Teilstrahlen prinzipiell unterschiedliche
Strahlprofile aufweisen und nach Propagation in den Interferometerarmen
im Allgemeinen nicht perfekt intereferieren, so dass der Kontrast
des Interferometers vermindert ist. Es wird ein Design für Interferometer
mit diffraktivem Strahlteiler vorgestellt, dass sich auf sphärische Spiegel beschränkt
und dennoch einen perfekten Kontrast erlaubt. Dies ist eine Vorraussetzung
sowohl für die Bestimmung der Gitterverluste als auch für den
Einsatz in hochpräzisen Laserinterferometern.
4

KAPITEL 2
Diffraktive Strahlteiler
Mikro- und nanostrukturierte optische Komponenten werden benutzt, um
Lichtstrahlen zu manipulieren. Ein klassisches Phasengitter ist eine periodische
Anordnung von Elementen, die die optische Weglänge für das Licht
ändern. Die Phasenänderungen sind mit der Periodizität der Gitterstruktur
moduliert und führen im Fernfeld auf die bekannten diskreten Beugungsordnungen.
Reflexionsgitter müssen eine beugende Struktur mit einer hohen Reflektivität
vereinen. Konventionell werden strukturierte Metalloberflächen
verwendet, deren Reflektivität auf der Leitfähigkeit der Metalle basiert. Innerhalb
des Materials wird deshalb ein Teil der einfallenden Laserleistung
absorbiert und führt bei hohen Intensitäten zur Zerstörung der metallischen
Schicht [10].
Transparente dielektrische Materialien haben eine wesentlich geringere
Absorption. Gitter aus diesen Materialien zeigen deshalb im Vergleich
mit Metallgittern eine erhöhte Zerstörschwelle [11]. Eine hohe Reflektivität
wird durch ein Schichtsystem aus dielektrischen Materialien mit alternierend
niedrigem und hohem Brechungsindex erreicht, wie es von sogenannten Superspiegeln
bekannt ist, und beruht auf konstruktiver Interferenz des an den
einzelnen Schichten reflektierten Lichts. Neben den Vorteilen der geringen
Absorption und der hohen Reflektivität bietet die Kombination von Schichtsystem
und Gitterstruktur weitere Designparameter, die zur Optimierung
der Beugungseigenschaften verwendet werden können [11].
Beugungsgitter mit hoher Reflektivität und niedrigen Gesamtverlusten
sind aus heutiger Sicht nur auf Basis dielektrischer Materialien herstellbar.

2 Diffraktive Strahlteiler
In den folgenden Abschnitten werden weitere grundlegende Aspekte strahlteilender
Gitter näher beschrieben.
2.1 Design von Gittern
2.1.1 Die Gittergleichung
Die Gittergleichung (2.1) verknüpft den Einfallswinkel αin mit dem Beugungswinkel
αm der m-ten Beugungsordnung in Abhängigkeit der Wellenlänge
λ und der Gitterperiode d. Für Beugungsordnungen in Reflexion lautet
die Gittergleichung [12]
sin(αin) + sin(αm) = mλ
. (2.1)
d
Es gelten dann folgende Konventionen (siehe Abbildung 2.1). Die Winkel
werden zum Lot auf die Gitteroberfläche gemessen, wobei die Winkel auf
der Seite des einfallenden Strahls positiv und auf der anderen Seite negativ
sind. Die höchste auftretende Beugungsordnung geht aus der Gitter-
m=1
d
in
α in
α 1
+ _
α 0
m=0
Abbildung 2.1: Parameter und Vorzeichenkonvention der Gittergleichung.
gleichung hervor und ist durch m ≤ 2d/λ eingeschränkt. Dies ist für die
0. Beugungsordnung immer erfüllt und beschreibt das Reflexionsgesetz, bei
dem der Einfallswinkel dem Ausfallswinkel entspricht. Für den Strahlteiler
eines Interferometers soll zusätzlich zur 0. Ordnung nur die 1.Ordnung
existieren.
Das Auftreten von Beugungsordnungen und ihre Richtungen werden einzig
durch die Parameter der Gittergleichung festgelegt. Sie sind somit unabhängig
von der Form der Gitterstruktur, der verwendeten Materialien und
der Polarisation des Lichts. Das Zusammenspiel der genannten Parameter
bestimmt aber die Beugungseffizienzen, wie die auf die Eingangsleistung
6

2.1 Design von Gittern
normierten gebeugten Intensitäten genannt werden. Das Finden eines optimalen
Designs muss die gesamten Parameter berücksichtigen und ist nur
durch computergestützte Simulationen möglich.
2.1.2 Rigorose Methoden
Während die geometrischen Beugungseigenschaften, beschrieben durch die
Gittergleichung (2.1), schon seit Anfang des 19. Jahrhunderts bekannt sind,
wird die exakte Bestimmung der Intensitätsverteilung erst seit Mitte der
1960er Jahre erfolgreich versucht. Für die Grenzfälle sehr großer oder sehr
kleiner Gitterperioden existieren Näherungsmethoden (skalare Beugungstheorien
bzw. effektiver Brechungsindex) [13], die nicht mehr funktionieren,
wenn die Gitterperiode und die Lichtwellenlänge von gleicher Größenordnung
sind. In diesem Fall muss das System der Maxwell-Gleichungen mit
Randbedingungen gelöst werden, um den vektoriellen Charakter der elektromagnetischen
Strahlung zu berücksichtigen. Diese Verfahren werden unter
dem Namen rigorose Methoden zusammengefasst. In [14] wird eine Übersicht
verschiedener Methoden gegeben und ihre Brauchbarkeit in Bezug auf
unterschiedliche Gittertypen erläutert. Es existiert weiterhin eine Reihe an
kommerzieller Software, die sich dieser Methoden bedienen [15, 16, 17]. Eine
verbreitete Methode ist die ” Rigorous Coupled Wave Analysis“ (RCWA),
auch bekannt als Fourier Modal Methode, die zunächst für binäre Strukturen
entwickelt wurde. Das Gitter wird in Schichten zerlegt, die aus zwei
periodisch angeordneten Dielektrika bestehen. Am Rand eines als homogen
angenommenen Dielektrikums müssen die Lösungen stetig sein, was auf
ein Eigenwertproblem führt. Dieses Eigenwertproblem muss für jede Schicht
gelöst werden. Die Lösungen der einzelnen Schichten werden wiederum durch
Randbedingungen miteinander verknüpft. Auf diese Weise entstehen große
Gleichungssysteme, die nur computergestützt in adäquater Zeit gelöst werden
können. Da auch kompliziertere Gitterprofile in einzelne Schichten zerlegt
werden können (Treppenstufennäherung), ist die RCWA vielfältig anwendbar.
2.1.3 Dielektrische Reflexionsgitter
Dielektrische Reflexionsgitter bestehen aus einem Substrat, einem hochreflektierenden
Schichtsystem aus dielektrischen Materialien und der beugenden
Struktur. Das Schichtsystem besteht aus Materialien mit abwechselnd
niedrigem und hohem Brechungsindex. Durch vielfache konstruktive Interferenz
an einzelnen λ/4 Schichten kann ein hohes Reflexionsvermögen erreicht
werden. Für einen dielektrischen Spiegel wurde eine Reflektivität von
99.9998 % bei gegebener Wellenlänge erreicht [18].
Die optischen Eigenschaften eines Gitters hängen insbesondere von der
Kombination des Schichtsystems und der beugenden Struktur ab. Es gibt
7

2 Diffraktive Strahlteiler
zwei grundlegende Ansätze, die schematisch in Abbildung 2.2 dargestellt
sind. Entweder kann die oberste Lage des Schichtsystems strukturiert wer-
HR-Schichtsystem
Substrat
a) b)
HR-Schichtsystem
Substrat
Abbildung 2.2: Zwei Ansätze für dielektrische Gitter. a) Die Gitterstruktur wird
in die oberste Schicht eines hochreflektierenden Schichtsystems geätzt. b) Die Gitterstruktur
wird überbeschichtet
den [19] oder es wird zuerst das Substrat mit einer Gitterstruktur versehen
und anschließend überbeschichtet [20]. Transmission, Streulicht und erreichbare
Beugungseffizienzen hängen von dieser Wahl ab und wurden in [21] für
niedereffiziente Gitter untersucht.
Die Überbeschichtung führt prinzipiell zu einem Auswaschen der Gitterstruktur.
An der Oberfläche werden dementsprechend nur geringe Beugungseffizienzen
erreicht. In die tieferen Schichten mit ausgeprägterer Struktur
gelangt durch das Schichtsystem nur wenig Licht. Dieser Ansatz eignet sich
deshalb besonders zur Herstellung von Gittern mit niedrigen Beugungseffizienzen.
Die Überbeschichtung bietet zudem den Vorteil, dass sie sich reduzierend
auf Streulicht auswirkt, da kleinere Unebenheiten und Oberflächenrauhigkeiten
gemindert werden. Die Störung des Schichtsystems wirkt sich
dagegen nachteilig auf das Reflexionsverhalten aus. Der Beschichtungsprozess
führt zudem zu Veränderungen der Gitterstruktur, was die Simulation
der Beugungs- und Reflexionseigenschaften schwierig macht.
Im Fall eines unterschichteten Gitters liegt ein ungestörtes Schichtsystem
vor, das sich zunächst einzeln berechnen lässt. Die zu erwartenden Verluste
durch Transmission sind dementsprechend geringer. Ein Strahlteiler in
laserinteferometrischen Anwendungen soll idealerweise ein 50/50 Teilungsverhältnis
haben. Dafür ist eine ausgeprägte Gitterstruktur erforderlich, wie
sie ein unterschichtetes Gitter bietet. Die Designparameter für ein binär
strukturiertes Gitter sind in Abbildung 2.3 dargestellt. Neben der Gitterperiode
sind dies die Stegbreite, die Grabentiefe und die Restdicke der obersten
Schicht. Häufig werden auch die Begriffe Füllfaktor für das Verhältnis von
Stegbreite zu Gitterperiode und das Aspektverhältnis für den Quotient aus
Ätztiefe und Stegbreite verwendet. Aus Parameterstudien der genannten
Größen lässt sich dann ein optimales Design finden. Eine ausführliche Dar-
8

Stegbreite
HR-Beschichtung
Substrat
Periode
2.1 Design von Gittern
Grabentiefe
Restdicke der
obersten Schicht
Abbildung 2.3: Parameter beim Gitterdesign für ein unterschichtetes Gitter.
stellung dieses Prozesses ist in [22] für einen in dieser Arbeit verwendeten
Gitterstrahlteiler zu finden. Dabei werden sowohl herstellungsbedingte Faktoren
berücksichtigt als auch Parametertoleranzen besprochen. Der Herstellungsprozess
binärer Gitterstrukturen mit Elektronenstrahllithografie und
anschließendem isotropen Ionenätzen wird ebenfalls ausführlich erläutert.
9

2 Diffraktive Strahlteiler
10

KAPITEL 3
Grundlagen der verwendeten
optischen Systeme
In diesem Kapitel werden einige grundlegenden Begriffe zu den in dieser Arbeit
verwendeten optischen Systemen eingeführt. Dabei handelt es sich um
ein Michelson-Interferometer und einen Fabry-Perot Resonator. Desweiteren
wird die Leistungsüberhöhung in einem Michelson-Interferometer durch
einen zusätzlichen Spiegel vor dem Interferometer beschrieben, das sogenannte
” Power-Recycling“. Auf den optischen Eigenschaften dieser Systeme
beruht die Bestimmung der Gitterverluste im experimentellen Teil dieser
Arbeit.
Diese optischen Systeme werden aus Spiegeln und Strahlteiler gebildet.
Die Wirkung dieser einzelnen Elemente auf Amplitude und Phase des Lichts
lässt sich mit einem Streumatrixformalismus beschreiben, der einleitend dargestellt
und auf die Komponenten angewendet wird. Anschließend werden
die oben genannten Anordnungen auf Basis dieses Formalismus diskutiert.
3.1 Streumatrixformalismus
Mit Hilfe eines Streumatrixformalismus [23] lassen sich die Eigenschaften
optischer Komponenten bezüglich Amplitude und Phase von Licht in allgemeiner
Form beschreiben. Koppeln an einer optischen Komponente n verschiedene
Lichtfelder miteinander, wird diese durch eine n × n Streumatrix
Sn repräsentiert. Die komplexen Amplituden an den Ein- und Ausgängen

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
werden zu Spaltenvektoren a bzw. b zusammengefasst und durch die Streumatrix
verknüpft
b = Sn × a. (3.1)
Die Einträge der Streumatrix beinhalten sowohl Amplituden- als auch Phasenbeziehungen
der ein- und auslaufenden Lichtfelder. Die allgemeinste Form
einer n × n Streumatrix ist gegeben durch
⎛
⎞
⎜
Sn = ⎜
⎝
c11eiφ11 c12eiφ12 . . . c1neiφ1n c21eiφ21 c22eiφ22 . . . c2neiφ2n .
.
. ..
cn1e iφn1 cn2e iφn2 . . . cnne iφnn
.
⎟
⎠
(3.2)
mit den als reel angenommenen Amplitudenkoeffizienten cij und den Phasen
φij. Die Elemente der Hauptdiagonalen verknüpfen die einfallenden mit den
in sich reflektierten Anteilen an einer Schnittstelle i = j, die üblicherweise
als Port bezeichnet wird, während die Nicht-Diagonalelemente den Übergang
von einem Eingang j zu einem Ausgang i �= j beschreiben. Damit die
Matrix eine physikalische Komponente repräsentiert, sind die Einträge nicht
beliebig wählbar. Die Prinzipien der Energieerhaltung und Zeitumkehr beschränken
die möglichen Einträge. Für Energieerhaltung muss sichergestellt
werden, dass die gesamte Eingangsleistung Iin identisch mit der gesamten
Ausgangsleistung Iout ist. An einem Ausgang i ist die Leistung gegeben
durch das Betragsquadrat |bi| 2 . Die von der Komponente ausgehende Gesamtleistung
berechnet sich aus der Summe der Einzelleistungen und lässt
sich durch
⎛ ⎞
Iout =
n�
b ∗ i bi = � b∗ 1 ,b∗2 ,b∗ � ⎜
3 , . . . ⎜
⎝
i=1
b1
b2
b3
. . .
⎟
⎠ = b† × b (3.3)
in das Vektorprodukt von b mit seinem hermitesch konjugierten b † umschreiben.
In dieser Notation ergibt sich die Verbindung der Ausgangs- zur
Eingangsleistung aus
Iout = b † b = (Sa) † (Sa) = a † (S † S)a, (3.4)
Damit Energieerhaltung gilt, muss die Streumatrix unitär sei, und somit
Iin = Iout ⇒ S † S = 1 (3.5)
gelten. Zusätzlich gilt für eine reziproke Komponente, dass die Einträge der
Streumatrix
|Sij| = |Sji| (3.6)
12

3.1 Streumatrixformalismus
erfüllen müssen. Durch die Bedingungen (3.5) und (3.6) werden für eine
gegebene Komponente die Amplitudenkoeffizienten cij eindeutig festgelegt.
Die Phasen φij werden ebenfalls bestimmt, sind aber nicht eindeutig, da die
Bezugsebene an einer Komponente unterschiedlich definiert werden kann. In
den folgenden Abschnitten wird dieser Formalismus auf die für das Experiment
relevanten Komponenten angewendet.
Spiegel als 2-Port Komponente
Ein verlustfreier, teildurchlässiger Spiegel unter einem Einfallswinkel von
0 ◦ (Abbildung 3.1) verändert im Allgemeinen die Amplitude und Phase des
Lichts. Die 2 × 2 Streumatrix S2 dieser Komponente mit den Amplituden-
a 1
b 1
ρ,τ
Abbildung 3.1: Die Amplituden an einem halbdurchlässigen Spiegel als 2-Port
Komponente.
reflektivitäten ρ und Amplitudentransmissivitäten τ lautet
�
iφ11 ρe
S2 =
τeiφ12 �
. (3.7)
τe iφ21 ρe iφ22
Die geforderte Unitarität (3.5) der Streumatrix führt auf folgendes Gleichungssystem:
b 2
a 2
�
ρτ e i(φ11−φ21) i(φ12−φ22)
+ e �
�
ρτ e i(φ21−φ11) i(φ22−φ12)
+ e �
ρ 2 + τ 2 = 1, (3.8)
= 0, (3.9)
= 0. (3.10)
Die erste Bedingung wird durch die Annahme einer verlustfreien Komponente
erfüllt. Eine mögliche Lösung des Gleichungssystems der Phasenbeziehungen
besteht in der symmetrischen Verteilung auf die Transmission
(φ12 = φ21 = π
2 ), so dass in Reflexion kein Phasensprung (φ11 = φ22 = 0)
stattfindet. Die Streumatrix wird dann durch
S2 =
� ρ iτ
iτ ρ
�
. (3.11)
dargestellt. Eine andere Möglichkeit ordnet einer Reflexion einen Phasensprung
von φ11 = π zu, so dass für die anderen Übergänge φ12 = φ21 =
13

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
φ22 = 0 gilt und die Streumatrix gegeben ist durch:
S2 =
� −ρ τ
τ ρ
Strahlteiler als 4-Port Komponente
�
. (3.12)
Bei schrägem Einfall auf einen teildurchlässigen Spiegel erhält man einen
Strahlteiler mit vier Ein- und Ausgängen, wie in Abbildung 3.2 dargestellt.
Da jeder Eingang nur mit zwei Ausgängen verbunden ist vereinfacht sich die
a 1
b 1
ρ,τ
b 2
a 4
Abbildung 3.2: Amplituden am Strahlteiler als 4-Port Komponente.
Streumatrix zu
S4 =
⎛
⎜
⎝
a 2
b 4
b 3
a 3
0 ρe iφ12 τe iφ13 0
ρe iφ21 0 0 τe iφ24
τe iφ31 0 0 ρe iφ34
0 τe iφ42 ρe iφ43 0
⎞
⎟
⎠ . (3.13)
Die zu lösenden Gleichungen für eine unitäre Streumatrix lauten
�
ρτ e i(φ12−φ42) i(φ13−φ43)
+ e �
�
ρτ e i(φ21−φ31) i(φ24−φ34)
+ e �
�
ρτ e i(φ31−φ21) i(φ34−φ24)
+ e �
�
ρτ e i(φ42−φ12) i(φ43−φ13)
+ e �
ρ 2 + τ 2 = 1, (3.14)
= 0, (3.15)
= 0, (3.16)
= 0, (3.17)
= 0. (3.18)
Wegen der Analogie zu dem Spiegel unter 0 ◦ , stellen die gleichen Phasenbeziehungen
für die reflektierten und transmittierten Anteile eine Lösung dar.
14

3.1 Streumatrixformalismus
In dieser Arbeit wird für den Strahlteiler die zu (3.12) äquivalente Phasenwahl
bevorzugt, das bedeutet φ12 = φ21 = π und φ13 = φ31 = φ24 = φ42 =
φ34 = φ43 = 0, so dass die Streumatrix durch
S4 =
⎛
⎜
⎝
0 −ρ τ 0
−ρ 0 0 τ
τ 0 0 ρ
0 τ ρ 0
⎞
⎟
⎠
(3.19)
gegeben ist. Die gefundenen Streumatrizen (3.11) und (3.19) beschreiben
verlustfreie 2-Port und 4-Port Komponenten, bei denen jeweils nur 2 Ports
miteinander koppeln. Ein weiteres Beispiel für eine solche Komponente ist
der diffraktive Strahlteiler.
Rein-reflektiver Strahlteiler
Durch eine diffraktive Optik kann Licht in eine vorgegebene Anzahl diskreter
Beugungsordnungen aufgeteilt werden. Ein Gitter mit zwei Beugungsordnungen
ermöglicht die Realisierung von 2-Port und 4-Port Komponenten.
Wird die 1.Ordnung in Richtung des einfallenden Strahls gebeugt (Littrow-
Konfiguration), wie in Abbildung 3.3 dargestellt, liegt eine 2-Port-Komponente
vor, die auf gleiche Weise mit dem Streumatrixformalismus beschrieben
werden kann wie der Spiegel unter 0 ◦ . In der Streumatrix (3.11) oder (3.12)
a 1
b 1
η 0,η 1
Abbildung 3.3: Amplituden am Gitterstrahlteiler als 2-Port Komponente.
müssen lediglich die Amplitudenreflektivität ρ durch die Beugungseffizienz
in die 1. Ordnung η1 und die Amplitudentransmission τ durch die Beugungseffizienz
in die 0. Ordnung η0 ersetzt werden.
Für einen rein-reflektiven Strahlteiler mit vier Ports wird das gleiche
Gitter in einer nicht-Littrow Konfiguration verwendet, wie in Abbildung 3.4
dargestellt. Mit den Ersetzungen ρ durch η0 und τ durch η1 in (3.19) erhält
15
a 2
b 2

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
a 3
b 3
a 1
b 1
η 0,η 1
a 2
b2 a4 Abbildung 3.4: Amplituden am Gitterstrahlteiler als 4-Port Komponente
man eine Streumatrix des diffraktiven Strahlteilers, die gegeben ist durch
⎛
0
⎜ −η0
S4G = ⎜
⎝
−η0
0
η1
0
⎞
0
η1 ⎟
⎠ . (3.20)
η1 0 0 η0
0 η1 η0 0
Die Ergebnisse der nachfolgend beschriebenen optischen Systeme sind demnach
unabhängig davon, ob transmitierende oder rein-reflektierende Optiken
verwendet werden.
Länge
Propagiert Licht über eine endliche Länge L im Vakuum (Abbildung 3.5)
wird nur die Phase des Lichts verändert nicht aber die Amplitude. Dieser
a 1
b1
L
Abbildung 3.5: Eine Propagation als optische Komponente.
Zusammenhang wird durch die Streumatrix
�
0 eikL SL =
eikL �
0
b 4
a 2
b 2
(3.21)
ausgedrückt, wobei k = 2π/λ die Wellenzahl zur Wellenlänge λ ist. Die
Nullen auf der Hauptdiagonalen drücken aus, dass entgegengesetzt laufende
Wellen nicht miteinander koppeln.
16

3.2 Michelson-Interferometer
3.2 Michelson-Interferometer
Der schematische Aufbau eines Michelson-Interferometers ist in Abbildung 3.6
gezeigt. Das einfallende Licht wird an einem Strahlteiler in zwei Strahlen aufgeteilt.
Nach Propagation in den beiden Armen werden die Strahlen durch
hochreflektierende Spiegel in sich zurückreflektiert. Am Strahlteiler werden
sie erneut aufgeteilt und miteinander überlagert. Die in Abbildung 3.6 ge-
Laser
a in
b −
b 2
0
a2 ρ bs,τbs
b1 Abbildung 3.6: Modell eines Michelson-Interferometers
kennzeichneten Amplituden am Strahlteiler werden nach (3.19) durch die
Streumatrix
⎛ ⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
⎜
⎝
b−
b1
b2
b+
⎟
⎠ =
⎜
⎝
b +
ρ m
a 1
0 −ρbs τbs 0
−ρbs 0 0 τbs
τbs 0 0 ρbs
0 τbs ρbs 0
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
ain
a1
a2
0
ρ m
⎟
⎠
(3.22)
verknüpft, wobei ρbs die Amplitudenreflektivität und τbs die Amplitudentransmissivität
des Strahlteilers sind. Durch die Propagation im Interferometer
ergeben sich zusätzliche Phasenbeziehungen, die von den Armlängen
L1 und L2 abhängen. Unter der Annahme, dass die Endspiegel jeweils gleiche
Amplitudenreflektivitäten ρm haben, gilt
a1 = b1e i2kL1 ρm und a2 = b2e i2kL2 ρm. (3.23)
Die Kombination der Gleichungen (3.22) und (3.23) liefert die Amplituden
an den Ausgängen b+ und b−. Normiert auf die Eingangsamplitude ain sind
vom Laser aus gesehen die Amplitudenreflektivität rmi und Amplituden-
17

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
transmissivität tmi des Interferometers gegeben durch
rmi = b−
ain
tmi = b+
ain
=
�
ρ 2 bseikL2 2
+ τbse ikL1
�
ρm, (3.24)
= −ρbsτbs
�
e ikL2
�
ikL1 − e ρm. (3.25)
Die am symmetrischen Ausgang b+ interferierenden Felder wurden jeweils
einmal reflektiert und transmittiert, so dass ihre Amplituden unabhängig
vom Teilungsverhältnis des Strahlteilers gleich groß sind, während die Anteile
im asymmetrischen Ausgang b− zweimal reflektiert bzw. transmittiert
wurden. Die Betragsquadrate von (3.24) und (3.25) ergeben die entsprechenden
normierten Leistungen
�
�
I− = �
�
b−
ain
�
�
�
�
�
�
I+ = �
�
2
b+
ain
= � τ 4 bs + ρ4 bs + 2τ2 bs ρ2 bs cos(2k∆L)� ρ 2 m, (3.26)
�
�
�
�
2
= 2τ 2 bs ρ2 bs [1 − cos(2k∆L)] ρ2 m, (3.27)
wobei ∆L = L2 − L1 abgekürzt wurde. Eine Änderung der Armlängendifferenz
∆L ( differential mode“) führt zu einer relativen Phasenänderung
”
φmi = 2k∆L der interferierenden Strahlen, die als Leistungsänderung an den
Ausgängen detektiert werden kann, wie in Abbildung 3.7 dargestellt. Dabei
entspricht beispielsweise das angegebene Teilungsverhältnis 40/60 τ2 bs = 0.4
und ρ2 bs = 0.6. Eine gemeinsame Bewegung der Spiegel ( common mode“)
”
ändert ∆L und damit die Intensität in den Ausgängen nicht.
3.2.1 Arbeitspunkt
In laserinterferometrischen Experimenten können die Spiegelpositionen aktiv
auf einen konstanten Armlängenunterschied geregelt werden, um einen
kontinuierlichen Betrieb zu ermöglichen. Man unterscheidet im wesentlichen
drei verschiedene Arbeitspunkte, die in Abbildung 3.8 dargestellt sind. Ist
das Michelson-Interferometer bei φmi = ±π/2 auf einer Flanke der Intensitätskurve
( ” mid-fringe“) eingestellt führt eine Phasenänderung zu einer
maximalen Intensitätsänderung am Ausgang. Es muss dann aber die Hälfte
der im Interferometer umlaufenden Leistung detektiert werden, was auf
Grund der geplanten hohen Intensitäten in Gravitationswellendetektoren
technisch schwer handhabbar ist. Außerdem ist es günstiger kleine Signale
separiert von hohen Leistungen zu detektieren. Dafür bietet sich das Intensitätsminimum
( ” dark-fringe“) bei φmi = 0 im symmetrischen Ausgang an.
18

normierte Leistung [willk. Einheiten]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
3.2 Michelson-Interferometer
I + 50/50
I - 50/50
I + 40/60
I - 40/60
-6 -4 -2 0
φmi [rad]
2 4 6
Abbildung 3.7: Auf die Eingangsleistung normierte Leistungen am symmetrischen
Ausgang I+ und asymmetrischen Ausgang I− des Interferometers für zwei
verschiedene Teilungsverhältnisse des Strahlteilers und vollständig reflektierenden
Endspiegeln ρ 2 m = 1. Nur am symmetrischen Ausgang I+ kann unabhängig vom
Teilungsverhältnis des Strahlteilers das Licht vollständig destruktiv interferieren.
Im dunklen Ausgang ist allerdings die Intensität in erster Ordnung unempfindlich
gegen Phasenänderungen und nimmt unabhängig von der Richtung
der Verstimmung zu, so dass die Abweichung nicht direkt bestimmt werden
kann. Eine Möglichkeit ist, den Operationspunkt des Interferometers leicht
neben den ” dark-fringe“ zu setzen und das verbleibende Licht als Lokaloszillator
zu benutzen. Dies ist unter Homodyn-Detektion bekannt [24]. Eine
weitere Möglichkeit besteht darin Modulations- Demodulationstechniken
zu verwenden. In beiden Fällen lassen sich Phasenänderungen richtungsabhängig
nachweisen. Im letzen Fall ist es zudem möglich, die Messung zu
höheren Frequenzen zu verschieben, wo technisches Rauschen einen geringeren
Einfluss hat. In [25] finden sich ausführliche Beschreibungen zu den drei
sogenannten Heterodyn-Methoden: interne, externe und Schnupp Modulation.
Wenn das Michelson-Interferometer auf dem dunklen Ausgang betrieben
wird, ist im verlustfreien Fall |rmi| 2 = 1 und die gesamte Leistung läuft zum
Laser zurück. Durch einen Spiegel im Eingang kann dieses Licht wiederverwertet
werden, indem es für eine Leistungsüberhöhung resonant in das
Interferometer zurückgekoppelt wird, das sogenannte ” Power-Recycling“.
19

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
I + [willk. Einheiten]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
bright-fringe
mid-fringe
dark-fringe
-4 -3 -2 -1 0
φmi [rad]
1 2 3 4
Abbildung 3.8: Mögliche Arbeitspunkte eines Michelson-Interferometers. Gezeigt
ist die Leistung am symmetrischen Ausgang I+ über der Verstimmung φmi des
Interferometers durch den Armlängenunterschied.
3.2.2 Kontrast
In realen Interferometern wird ein perfekt dunkler Ausgang nicht erreicht.
Das Interferenzvermögen der Teilstrahlen bei Überlagerung am Strahlteiler
wird im Experiment durch folgende Faktoren vermindert:
• Unterschiedliche Verluste in den Interferometerarmen und an den Endspiegeln
führen zu unterschiedlichen Amplituden am Strahlteiler, die
sich am dunklen Ausgang des Interferometers nicht mehr vollständig
auslöschen können.
• Eine Verkippung der Teilstrahlen gegeneinander sowie unterschiedliche
Strahlprofile in den Armen führen zu einem geringeren Überlapp der
Lichtrahlen, so dass nicht das gesamte Licht miteinander interferieren
kann.
• Durch Modulationstechniken werden dem Licht Seitenbänder aufgeprägt,
die das Interferometer in den dunklen Ausgang verlassen, da die
Bedingung für destruktive Interferenz im Allgemeinen nicht gleichzeitig
für Träger und Seitenbänder erfüllt ist.
Der Kontrast ist eine charakteristische Größe für ein reales Interferometer,
der das Interferenzvermögen der Teilstrahlen ausdrückt, wie im folgenden
gezeigt wird. Ausgangspunkt ist die Überlagerung der Amplituden a1 und
a2 an einem 50/50-Strahlteiler. Die Intensität an einem Ausgang ist dann
20

gegeben durch
3.3 Fabry-Perot Resonator
Iideal = 1
2 |a1 + a2| 2 = 1 �
|a1|
2
2 + |a2| 2 + 2 |a1a ∗ 2| cos(∆φ) � , (3.28)
wobei die ersten beiden Terme die gemittelten Einzelintensitäten angeben,
während der dritte Term von der relativen Phase ∆φ abhängt und die Interferenz
beschreibt. Der Interferenzterm wird durch einen schlechteren Überlapp
der Teilstrahlen kleiner sein, was in
Ireal = 1 �
|a1|
2
2 + |a2| 2 + 2C0 |a1a ∗ 2|cos(∆φ) �
(3.29)
durch 0 ≤ C0 ≤ 1 repräsentiert wird [24]. Im Experiment wird der Kontrast
gemessen, der definiert ist als
C = Imax − Imin
Imax + Imin
= C0
2|a1a∗ 2 |
|a1| 2 + |a2| 2 = C0Cmax, (3.30)
wobei Imax und Imin die maximale bzw. minimale Intensität gemäß (3.29)
sind. Für den Fall gleicher Amplituden (a1 = a2) gilt Cmax = 1 und der
Kontrast entspricht der Kohärenz C0 [26]. Formt man den Kontrast um zu
C = Imax
Iges
− Imin
Iges
(3.31)
= 1 − 2 Imin
, (3.32)
Iges
dann ist das Verhältnis der minimalen Intensität zur Gesamtintensität gegeben
durch
Imin
Iges
= 1 − C
. (3.33)
2
Der Kontrast C ist damit ein qualitatives Maß für die Verluste im dunklen
Ausgang, die auf Grund von Asymmetrien in den Interferometerarmene entstehen.
Als Folge wird zum Einen die oben erwähnte Leistungsüberhöhung
durch diese Verluste limitiert und zum Anderen die Detektion von Signalen
im Ausgang erschwert.
3.3 Fabry-Perot Resonator
Ein optischer Resonator besteht aus zwei oder mehr Spiegeln, die so angeordnet
sind, dass Licht mehrfach denselben Weg durchläuft und unterschiedliche
Anteile des Lichts miteinander interferieren können. Im einfachsten Fall sind
zwei Spiegel in einem Abstand l angeordnet. Wird Licht am ersten Spiegel
eingekoppelt, kann es mehrfach zwischen den Spiegeln reflektiert werden,
21

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
wobei entsprechend der Spiegeltransmissivitäten ein Teil aus dem Resonator
ausgekoppelt wird. Je nach Phasenlage wird das Licht im Resonator
konstruktiv oder destruktiv interferieren und im ersten Fall ein starkes Feld
aufbauen. Im Model des Fabry-Perot Resonators aus Abbildung 3.9 sind die
beteiligten Amplituden eingezeichnet. An den Spiegeln werden die Ampli-
a 0
a 4
ρ 1 ,τ 1
a 1
a‘ 3
l
a‘ 1
a 3
ρ 2 ,τ 2
Abbildung 3.9: Model eines Fabry-Perot-Resonators
tuden mit der Streumatrix (3.11) durch
� � �
a4 ρ1 iτ1
=
a1 iτ1 ρ1
� a3
a2
� �
ρ2 iτ2
=
iτ2 ρ2
�� a0
a ′ 3
�� a ′ 1
0
a 2
0
�
, (3.34)
�
(3.35)
verknüpft. Die Länge l des Resonators bewirkt zusätzliche Phasenänderungen,
die gemäß (3.21) durch
� � �
a ′
3 0 eikl =
eikl �� �
a1
(3.36)
0
a ′ 1
bestimmt werden. Aus den linearen Gleichungen (3.34, 3.35 und 3.36) lassen
sich die gesuchten Amplituden zu
auflösen, wobei der Resonanzfaktor
a3
a1 = a0diτ1, (3.37)
a2 = −a0dτ1τ2e ikl , (3.38)
a3 = a0diρ2τ1e ikl , (3.39)
� � 2
a4 = a0d ρ1 − ρ2 ρ1 + τ 2� 2ikl
1 e �
(3.40)
d =
1
1 − ρ1ρ2e 2ikl
22
(3.41)

3.3 Fabry-Perot Resonator
als Abkürzung eingeführt wurde. Alle Amplituden sind proportional zum
Resonanzfaktor, der mit der Abstimmung φres = 2kl periodisch ist. Durch
Normierung auf die Eingangsamplitude erhält man die komplexe Transmissivität
tres und komplexe Reflektivität rres des Resonators zu
tres = a2
a0
rres = a4
a0
= −
φres
i τ1τ2e 2
, (3.42)
iφres 1 − ρ1ρ2e
= ρ1
�
− ρ2 ρ2 1 + τ2 �
iφres
1 e
1 − ρ1ρ2eiφres . (3.43)
Wenn Verluste A im Resonator auftreten, können sie der Transmission des
zweiten Spiegels τ2 2 zugerechnet werden. Impedanzanpassung wird dann erreicht,
wenn die Transmission des Einkoppelspiegels und die verlustbehaftete
. Der Betrag
Transmission des zweiten Spiegels identisch sind τ2 1 = 1 − ρ22 |rres| und die Phase ϕres der am Resonator reflektierten Lichtamplitude sind
in Abbildung 3.10 für einen impedanzangepassten Resonator dargestellt. Auf
Betrag [a.u.]
1
180
0.9
160
0.8
140
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
120
100
80
60
0.2
0.1
0
|ρres |
ϕres 40
20
0
-1 -0.5 0
φres [rad]
0.5 1
Abbildung 3.10: Betrag und Phase der an einem impedanzangepassten Fabry-
Perot-Resonator reflektierten Amplitude in Abhängigkeit von der Resonatorabstimmung
φres mit den Spiegelparametern ρ1 = ρ2 = 0.9 und τ1 = τ2 = 0.1
Resonanz (φres = 0) wird bei Impedanzanpassung die Leistung vollständig
transmittiert. Die Phase ändert sich bei Verstimmung um die Resonanz im
impedanzangepassten Fall um 180 ◦ . Dieser Phasensprung ist wichtig für die
Regelung des Resonators und kann mit einer Modulationstechnik (Pound-
Drever-Hall-Verfahren) detektiert werden. Die Größe des Phasensprungs ist
abhängig von den Resonatorparametern und nimmt vom überkoppelten Fall
23
Phase [deg]

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
(τ2 1 > 1 − ρ22 ) zum unterkoppelten Fall (τ2 1 < 1 − ρ22 ) ab.
Die Überhöhung innerhalb des Resonator ist gemäß (3.37) gegeben durch
� �
�a1
�2
G = � �
� � =
a0
und maximal auf Resonanz
Gmax =
und minimal auf Antiresonanz
Gmin =
τ2 1
1 + (ρ1ρ2) 2 , (3.44)
− 2ρ1ρ2 cos(φres)
τ 2 1
(1 − ρ1ρ2) 2 ⇔ φres = 0 mod(2π) (3.45)
τ 2 1
(1 + ρ1ρ2) 2 ⇔ φres = π mod(2π). (3.46)
3.3.1 Charakteristische Größen
Eine Änderung des Parameters φres um 2π entspricht dem Abstand zweier
Resonanzen, den man freien Spektralbereich nennt. Bei festem Spiegelabstand
l ist die Resonanzbedingung für verschiedene Wellenzahlen im Abstand
∆k erfüllt wenn
2(k + ∆k)l − 2kl = 2π (3.47)
gilt. Rechnet man die Wellenzahl durch die Beziehung k = 2πν/c mit der
Lichtgeschwindigkeit c in optische Frequenzen ν um, ist der Abstand zweier
benachbarter Resonanzfrequenzen gegeben durch
∆νFSR = c
. (3.48)
2l
Eine zweite charakteristische Größe eines Resonators ist die Bandbreite
∆νFWHM. Sie ist definiert durch die gesamte Breite bei der die Leistung
auf die Hälfte abgefallen ist ( Full Width at Half Maximum“). Die Abstim-
”
mung für die halbe Breite berechnet sich mit (3.44) zu
φ 1/2 = arccos
�
1 −
(1 − ρ1ρ2) 2
2ρ1ρ2
�
. (3.49)
Die Finesse ist als Verhältnis von freiem Spektralbereich zu Bandbreite
F = ∆νFSR
∆νFWHM
= 2π
2φ 1/2
=
π
�
arccos 1 −
� (3.50)
(1−ρ1ρ2) 2
2ρ1ρ2
definiert. Die Finesse ist damit im verlustfreien Fall nur von dem Produkt
der Spiegelreflektivitäten abhängig. Verluste L können der Transmission des
zweiten Spiegels zugerechnet werden, so dass dieser eine effektive Reflektivität
von ρ2 2 = 1−τ2 2 −L hat. In Abbildung 3.11 ist die mit (3.44) berechnete
24

G [a.u.]
12
10
8
6
4
2
F=10
F=20
F=30
3.4 ” Power-Recycling“
0
-2 0 2 4 6 8
φres [rad]
Abbildung 3.11: Leistungsüberhöhung im Inneren eines impedanzangepassten
Resonators für verschiedene Werte der Finesse über einen freien Spektralbereich.
Überhöhung von Resonatoren verschiedener Finesse über einem freien Spektralbereich
dargestellt. Die Überhöhung steigt mit der Finesse, während die
Breite der Resonanz abnimmt. Hohe Reflektivitäten und damit hohe Werte
für die Finesse werden wesentlich durch Verluste im Resonator und an den
Spiegeln limitiert. Die Bestimmung der Finesse liefert damit eine präzise
Methode auf Verluste von Resonatorkomponenten zurückzuschließen.
3.4 ” Power-Recycling“
Ist das Michelson-Interferometer auf den dunklen Ausgang eingestellt, reflektiert
es, bis auf Verluste, die gesamte Leistung zum Laser. Dieses Licht kann
wiederverwendet werden, um die Leistung im Interferometer zu erhöhen.
Dafür wird ein halbdurchlässiger Spiegel in den Eingang des Interferometers
gestellt (vgl. Abbildung 3.12), der zusammen mit dem Michelson-Interferometer
einen Fabry-Perot-Resonator bildet, in dem die Leistung resonant überhöht
werden kann. Als Verluste des Michelson-Interferometers werden alle Anteile
bezeichnet, die nicht zur Reflexion beitragen. Diese entstehen durch
eine Abweichung vom Arbeitspunkt, eine nicht perfekte Kohärenz C0 der
Teilstrahlen und eine Resttransmission an den Endspiegeln 1 − ρ 2 m mit der
Amplitudenreflektivität ρm. Unter Berücksichtigung dieser Punkte sind Amplitudenreflektivität
ρmi und Amplitudentransmissivität τmi des Michelson-
Interferometers nach (3.26), (3.27) und (3.29) gegeben durch
��τ ρmi = 4
bs + ρ4 bs + 2τ2 bsρ2 bsC0 cos(2k∆L) � ρ2 m, (3.51)
25

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
Laser
ρ ,τ 1
1
l
ρ m
ρ ,τ bs
bs
Abbildung 3.12: Schematische Darstellung eines Michelson-Interferometers mit
” Power-Recycling “.
τmi =
�
2τ 2 bs ρ2 bs [1 − C0 cos(2k∆L)] ρ 2 m. (3.52)
Damit können die im vorherigen Abschnitt gewonnenen Ergebnisse für Amplitudenreflektivität
(3.42) und Amplitudentransmissivität (3.43) eines Fabry-
Perot-Resonators übernommen werden, indem die Amplitudenreflektivität
und Amplitudentransmissivität des zweiten Spiegels durch die des Interferometers
ersetzt werden:
tpr = −
φpr
i
τ1τmie 2
L
ρ m
, (3.53)
iφpr 1 − ρ1ρmie
rpr = ρ1
�
− ρmi ρ2 1 + τ2 �
iφpr
1 e
1 − ρ1ρmieiφpr . (3.54)
Dabei wurde die Abstimmung φpr = 2klpr mit der Länge des PR-Resonators
lpr = L + l eingeführt, die sich zusammensetzt aus der mittleren Armlänge
des Interferometers L und dem Abstand des PR-Spiegels zum Interferometer
l. Die Leistungsüberhöhung auf Resonanz ist dann gemäß (3.44) gegeben
durch
Gpr =
τ 2 1
(1 − ρ1ρmi) 2.
26
(3.55)

3.4 ” Power-Recycling“
Im Experiment wird ein perfekter Kontrast nicht erreicht. Die Auswirkungen
auf das ” Power-Recycling“ wurden im Experiment genutzt, um Information
darüber zu erhalten, wie gut der Modenüberlapp am Strahlteiler
ist, da eine direkte Bestimmung des Kontrasts nicht mehr durchgeführt werden
kann. Mit Hilfe dieser Kenntnis konnte der Aufbau auf geringe Verluste
in den dunklen Ausgang optimiert werden.
Ein nicht perfekter Kontrast in einem Michelson-Interferometer hat zur
Folge, dass gemäß (3.52) eine gewisse Leistung in den dunklen Ausgang gelangt.
Der Kontrast ist damit ein entscheidender Faktor für die erreichbare
Leistungsverstärkung und bestimmt im Zusammenspiel mit den Spiegelparametern
wie dunkel der Ausgang wird [27]. In Abbildung 3.13 ist dieser
Zusammenhang für feste Spiegelparameter dargestellt, sowie die maximale
Leistungsverstärkung im Resonator nach (3.55). Dafür wurde die Phase des
Michelson-Interferometers durchgestimmt, während der Resonator gleichzeitig
auf Resonanz gehalten wurde. Bei perfekter Kohärenz C0 = 1 wird wie
|τ mi | 2 [a.u.]
G [a.u.]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
80
60
40
20
C 0 =1
C 0 =0.999
C 0 =0.99
C 0 =0.9
C 0 =0.5
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
-3 -2 -1 0
φmi [rad]
1 2 3
Abbildung 3.13: Oben: Die berechnete normierte Leistung im dunklen Ausgang
eines Michelson-Interferometers mit Power-Recycling als Funktion der Abstimmung
φmi, während der Resonator gleichzeitig auf Resonanz gehalten wird. Unten: Die
Leistungsverstärkung im Interferometer. Variiert wurden Verluste durch eine nicht
perfekte Kohärenz C0. Die Reflektivitäten sind mit ρ 2 1 = 0.95 und ρ 2 m = 0.9999 für
Einkoppelspiegel bzw. Endspiegel ähnlich denen im Experiment gewählt.
zu erwarten keine Leistung bei φmi = 0 transmittiert. Durch Verluste steigt
die Leistung im dunklen Ausgang, bleibt aber solange die Transmission des
27

3 Grundlagen der verwendeten optischen Systeme
Einkoppelspiegels größer ist als die Verluste durch Kontrast und Endspiegel
minimal im Arbeitspunkt (überkoppelt). Bei Impedanzanpassung tritt der
Extremfall ein, dass beinahe die gesamte Leistung in den dunklen Ausgang
gelangt. Noch größere Verluste führen zu einer Unterkopplung, so dass die
Intensität wieder sinkt, aber maximal im Arbeitspunkt ist.
Im Experiment lag insbesondere der überkoppelte Fall vor. Das Verhältnis
der Leistung im dunklen Ausgang |τmi| zu der Verstärkung G ist bei perfekter
Kohärenz C0 = 1 minimal. Dies stellte, wie später beschrieben wird,
einen guten Anhaltspunkt im Experiment dar, um den ” Power-Recycling“
Resonator zu justieren.
28

KAPITEL 4
Michelson-Interferometer mit
diffraktivem Strahlteiler
In diesem Kapitel werden zunächst ein konventioneller Fensterstrahlteiler
und ein Reflexionsgitter mit Blick auf ihre strahlverformenden Eigenschaften
verglichen. Die rein-reflektive Topologie eines Michelson-Interferometers mit
Gitterstrahlteiler bedingt, dass die in 0. und 1.Ordnung gebeugten Strahlprofile
prinzipiell voneinander verschieden sind. Es wird gezeigt, dass es nicht
ausreichend ist eine symmetrische Interferometeranordnung zu wählen, um
einen hohen Kontrast zu erreichen, sondern dass zusätzlich das Strahlprofil
des einfallenden Strahls berücksichtigt werden muss. Anschließend wird eine
analytische Lösung für das Design eines Michelson-Interferometers mit diffraktivem
Strahlteiler vorgestellt, das sphärische Spiegel verwendet und die
Implementierung von ” Power-Recycling “ erlaubt.
4.1 Fenster- und Gitterstrahlteiler
Wie in Kapitel 3 gezeigt, lässt sich der Streumatrixformalismus gleichermaßen
auf einen teildurchlässigen Spiegel und einen diffraktiven Strahlteiler
anwenden. Das Amplitudenverhalten eines Michelson-Interferometers ist
deshalb unabhängig von der Art des Strahlteilers. Unter anderem existiert
in beiden Topologien ein symmetrischer und ein asymmetrischer Ausgang
bezüglich der Amplitudenkoeffizienten (vgl.Abbildung 4.1). Am symmetrischen
Ausgang sind die Amplituden identisch und unabhängig vom Teilungs-

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
verhältnis des Strahlteilers und von der Reihenfolge in der sie reflektiert und
transmittiert (rt, tr) bzw. in die 0. und 1. Ordnung gebeugt (01, 10) wurden,
sofern gleiche Verluste in den Armen angenommen werden.
Die Symmetrie des Ausgangs ist im Allgemeinen nicht auf die räumlichen
Laser
rr
tt
rt tr
Abbildung 4.1: Analogie der Interferometertopologien mit transmitierendem und
diffraktivem Strahlteiler bezüglich der Amplitudenkoeffizienten.
Strahleigenschaften übertragbar. Wenn sich die aufgeteilten Strahlprofile unterscheiden,
werden sie sich während der Propagation im Interferometer auf
unterschiedliche Weise verändern. Bei erneuter Aufteilung und anschließender
Überlagerung am Strahlteiler wird dieser Unterschied im Allgemeinen
nicht wieder kompensiert, was einen verminderten Kontrast des Interferometers
zur Folge hat. Ein hoher Kontrast wird nur erreicht, wenn die strahlformenden
Eigenschaften der optischen Komponenten berücksichtigt werden
und das Interferometer entsprechend designt wird. Die Berechnung erfolgt
mit dem bekannten ABCD-Matrixformalismus, der auf Gaußsche Strahlen
angewendet wird.
Transformation Gaußscher Strahlen
Strahlen mit einem Gaußschen Intensitätsprofil erfüllen die Wellengleichung
in paraxialer Näherung. Sie stellen ebenso die transversalen Eigenmoden
von Resonatoren dar und sind deshalb geeignet zur Beschreibung von realen
Laserstrahlen. Eine charakteristische Eigenschaft Gaußscher Strahlen ist
die beugungsbedingte Aufweitung des Strahls während der Propagation, wodurch
sich der Strahlradius w(z) und der Krümmungsradius der Wellenfront
R(z) gemäß (A.22) und (A.23) verändern. Optische Elemente verändern das
Strahlprofil durch Reflexion, Brechung oder Beugung ebenfalls in definierter
Weise. Die Transformation Gaußscher Strahlen lässt sich mit dem ABCD-
Matrixformalismus beschreiben [23]. Ein Gaußscher Strahl kann vollständig
durch den ortsabhängigen, komplexen Strahlparameter
q0 = izR − z0
30
Laser
11
00
01
10
(4.1)

4.1 Fenster- und Gitterstrahlteiler
beschrieben werden, wobei z0 den Ort der Strahltaille mit Größe w0 =
� zRλ/π auf der optischen Achse markiert, wobei λ die Wellenlänge des
Lichts ist. Im Abstand z von der Strahltaille gilt dann
q(z) = q0 + z. (4.2)
Jedes strahlverändernde Element wird durch eine 2 × 2 Matrix
M =
� A B
C D
repräsentiert, die einen Strahlparameter q1 vor der Komponente gemäß
q2 = Aq1 + B
Cq1 + D
�
(4.3)
(4.4)
in einen Strahlparameter q2 nach der Komponente überführt. Diese Definition
bringt den Vorteil, dass die Aneinanderreihung von strahlverändernden
Elementen leicht ausgeführt werden kann. Durchläuft ein Gaußscher Strahl
ein System aus mehreren Komponenten, so kann dieses System durch eine
kombinierte Matrix beschrieben werden, die sich aus dem Produkt der
Einzelmatrizen nach
� A B
C D
�
=
� An Bn
Cn Dn
� �
A2 B2
. . .
C2 D2
�� A1 B1
C1 D1
�
(4.5)
berechnet.
Neben einfachen Abbildungen, die durch Abstände, herkömmliche Linsen
oder sphärische Spiegel erzeugt werden, ist es auch möglich, Abbildungseigenschaften
verkippter Komponenten und toroidischer Oberflächen zu beschreiben
[28]. Mit toroidisch wird hier eine Fläche bezeichnet, die durch
zwei unterschiedliche, senkrecht zueinander angeordnete Krümmungsradien
entsteht. Die entsprechende Überlagerung der zwei sphärischen Oberflächen
wird durch ein Segment der Außenhülle eines Torus beschrieben.
Der Strahlparameter wird dafür in zwei Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
aufgeteilt. Beschränkt sich der optische Aufbau auf eine horizontale
Ebene, dann liegt die Tangentialebene parallel und die Saggitalebene
senkrecht dazu. Die Saggitalebene ist dadurch ausgezeichnet, dass sich ihre
Lage bei Richtungsänderung des Strahls mitverändert, während die Tangentialebene
erhalten bleibt. Zur Unterscheidung dieser Orientierungen werden
die ABCD-Matrizen und Strahlparameter im Folgenden mit einem hochgestellten
Index t(tangential) oder s(saggital) versehen.
Eine Übersicht allgemein gehaltener Matrizen ist mit Verweisen im Anhang
zu finden. Die im Folgenden angewendeten Matrizen sind einfachere Spezialfälle
davon.
31

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
Fensterstrahlteiler
An einem Fensterstrahlteiler haben reflektierter und transmittierter Strahl
annähernd das gleiche Strahlprofil. Eine kleine Asymmetrie entsteht, weil ein
Strahl direkt reflektiert wird, während der andere das Substrat durchquert,
wie in Abbildung 4.2 schematisch dargestellt. Um den Strahlparameter zu
n 1
θ 1
d
n 2
θ 2
n 1
Abbildung 4.2: Strahlengang durch ein Strahlteilersubstrat.
bestimmen, der den Strahl nach Durchgang des Substrats charakterisiert,
müssen der Eintritt in das Substrat, die Strecke im Material und der Austritt
berücksichtigt werden. Bei schrägem Einfall auf eine planparallele Platte
wird der Strahl zunächst in das Medium gebrochen. Das Snellius’sche Gesetz
liefert den Zusammenhang von Eintritts- und Brechungswinkel Θ1 bzw. Θ2
beim Übergang zwischen den Medien mit den Brechungsindizes n1 und n2.
Der geometrische Weg im Substrat der Dicke d ist gegeben durch
l =
l
θ 2
θ 1
d
. (4.6)
cos (θ2)
Abschließend tritt der Strahl wieder unter dem ursprünglichen Winkel aus
der Platte aus. Die drei aufgeführten Schritte entsprechen den ABCD-Matrizen
für einen Spiegel in Transmission (A.35) mit unendlichem Krümmungsradius
und der Strecke (A.30) in einem Medium. In tangentialer Ebene erhält
man die Abbildungsmatrix des gesamten Strahlteilers durch Hintereinanderschaltung
der Elemente nach
M t bs = Mt TMLM t T (4.7)
=
�
1 l cos2 (Θ1)
cos2 n1
(Θ2) n2
0 1
�
. (4.8)
Da nur in tangentialer Ebene eine Winkeländerung auftritt, nimmt die Matrix
in saggitaler Ebene mit den Matrizen (A.37) und (A.30) die einfachere
32

Form
4.1 Fenster- und Gitterstrahlteiler
M s bs = Ms TMLM s T (4.9)
=
� 1 l n1
n2
0 1
an. Mit einem runden Eingangsstrahl q t 0 = qs 0
Strahlparameter nach obiger Definition (4.4) zu
�
(4.10)
berechnen sich die neuen
q t bs = qt 0 + l n1 cos
n2
2 (Θ1)
cos2 , (4.11)
(Θ2)
q s bs = qs 0 + l n1
. (4.12)
n2
Da nur der Realteil verändert wird, bleibt die Größe der Strahltaille und damit
die Divergenz des Strahls erhalten. Die Lage der Strahltaille in saggitaler
und tangentialer Ebene ist aber zueinander versetzt. Sind Einfallswinkel und
Substratmaterial vorgegeben, so skaliert der Unterschied der Strahlparameter
mit der Dicke des Substrats. In großem Abstand zur Strahltaille gilt für
den Krümmungsradius der Wellenfront R(z) ≈ z, so dass die Differenz der
Strahltaillelagen nur einen kleinen Unterschied bezüglich der Wellenfrontkrümmung
in saggitaler und tangentialer Ebene zur Folge hat.
Diffraktiver Strahlteiler
Ein Reflexionsgitter mit zwei Beugungsordnungen ist ebenfalls ein Strahlteiler.
Eine räumliche Trennung von einfallendem Strahl und gebeugten
Strahlen wird in einer nicht-Littrow-Konfiguration realisiert. Die 0. und
1. Ordnung werden dann unter verschiedenen Winkeln gebeugt und unterscheiden
sich in ihren Strahlprofilen. Insbesondere gilt, dass der Einfallswinkel
Θin und der Beugungswinkel der 1. Ordnung Θ1 in tangentialer Ebene
nicht übereinstimmen, wie in Abbildung 4.3 dargestellt ist. Die Verzerrung
des Strahls in der Beugungsebene ist durch die geometrische Beziehung
w1 = cos(Θ1)
cos(Θin) win
(4.13)
gegeben, mit den Strahlradien win und w1 für einfallenden bzw. ausgehenden
Strahl am Gitter. Der Strahlparameter in saggitaler Ebene bleibt dagegen
erhalten, da effektiv nur an einer planen Oberfläche reflektiert wird. Als
Konsequenz wird ein runder Eingangsstrahl elliptisch in 1.Ordnung und
bleibt rund in 0.Ordnung. Die ABCD-Matrix eines Reflexionsgitters [29]
mit planer Oberfläche für die Beugungsebene lautet
M t �
cos(Θ1)
cos(Θin)
G(Θin,Θ1) =
0
0
�
. (4.14)
33
cos(Θin)
cos(Θ1)

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
w in
θ in
Abbildung 4.3: Strahlverformung an einem Reflexionsgitter in tangentialer Ebene.
Die beugungsbedingte Aufweitung des Strahls ist nicht dargestellt.
Ein in die 1.Ordnung gebeugter runder Eingangsstrahl (qt 0 = qs 0 ) wird dann
durch die Strahlparameter
θ 1
cos 2 (Θ1)
q t G = q t 0
cos2 ,
(Θin)
(4.15)
q s G = q s 0 (4.16)
beschrieben. Je näher Einfalls- und Beugungswinkel beieinander liegen, desto
geringer ist erwartungsgemäß die Verzerrung. Durch die Transformation
wird aber, im Gegensatz zum oben beschriebenen Fensterstrahlteiler, neben
dem Realteil auch der Imaginärteil des Strahlparameters verändert, was
zusätzlich zur toroidischen Wellenfrontkrümmung eine unterschiedliche Divergenz
des Strahlprofils in saggitaler und tangentialer Ebene zur Folge hat.
Beides wird im Folgenden mit der Bezeichnung elliptische Strahlen zusammengefasst.
4.2 Interferometerdesign
In einem Interferometer mit Fensterstrahlteiler haben transmittierter und
reflektierter Strahl das gleiche Strahlprofil, wenn der Durchgang durch das
Substrat vernachlässigt wird. Für gleiche Armlängen des Interferometers und
Krümmungsradien der Endspiegel wird unabhängig vom Eingangsstrahl ein
perfekter Überlapp der Teilstrahlen am Strahlteiler erreicht.
34
w 1

4.2 Interferometerdesign
Bei einem diffraktiven Strahlteiler unterscheiden sich die Strahlprofile
prinzipiell voneinander. Ein runder Eingangsstrahl bleibt in der 0. Beugungsordnung
rund, wird jedoch elliptisch in 1.Beugungsordnung. Nach Durchlaufen
der Interferometerarme werden sich beide Teilstrahlen im Allgemeinen
unterschiedlich verändert haben und am Strahlteiler nur unvollständig
interferieren. In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie durch Anpassung des
Eingangsstrahls an das Interferometer dennoch ein perfekter Kontrast erreicht
werden kann. Dafür wurde sich auf ein planes Reflexionsgitter und
sphärische Endspiegel beschränkt. Die Einbeziehung asphärischer Spiegeloberflächen
würde eine gezielte Anpassung an die Strahlveränderung ermöglichen
und das Design vereinfachen. Beispiele dafür sind toroidisch geschliffene
Spiegel oder die Korrektur von Krümmungsradien durch thermisch adaptive
Optik [30].
Die verbleibenden Parameter für die Berechnung der Strahlveränderungen
im Interferometer sind in Abbildung 4.4 eingezeichnet und gegeben durch
die Armlängen des Interferometers L1, L2, die Krümmungsradien der Endspiegel
Rc0, Rc1 sowie die Gitterperiode d, die bei gegebener Wellenlänge λ
und Einfallswinkel k den Beugungswinkel 1. Ordnung g gemäß der Gittergleichung
(2.1) festlegt. Mit Blick auf eine Leistungsüberhöhung im Interfe-
R c1
Laser
L 1
g
k
Abbildung 4.4: Parameter eines Michelson-Interferometers mit diffraktivem
Strahlteiler. Gekennzeichnet sind die Armlängen L0, L1, der Einfallswinkel k, der
Beugungswinkel in die 1. Ordnung g, die Gitterperiode d, sowie die Krümmungsradien
der Endspiegel Rc0 und Rc1.
rometer durch einen zusätzlichen, ebenfalls sphärischen Spiegel im Eingang
des Interferometers wird von einem runden Eingangsstrahl mit
q0 = q t in = q s in
35
L 0
d
R c0
(4.17)

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
ausgegangen. Daraus folgt, dass bei gleicher Armlänge
L = L0 = L1
auch gleiche Krümmungsradien der Endspiegel
Rc = Rc0 = Rc1
(4.18)
(4.19)
gewählt werden müssen, damit in saggitaler Ebene die Strahlparameter von
0. und 1. Ordnung übereinstimmen.
4.2.1 Berechnung eines Eingangstrahls
Ein perfekter Kontrast wird erreicht, wenn an einem Ausgang des Interferometers
die Strahlparameter der Teilstrahlen nach Propagation durch das Interferometer
übereinstimmen. Aus Energieerhaltungsgründen sind dann die
Strahlparameter am anderen Ausgang ebenfalls identisch. Die Strahlparameter
werden zum Einen nach saggitaler und tangentialer Ebene unterschieden
und zum Anderen nach der Reihenfolge in der die Strahlen am Strahlteiler in
0. und 1. Ordnung gebeugt werden (vgl. Abbildung 4.1). Durch den symmetrischen
Aufbau gemäß (4.18) und (4.19) ist festgelegt, dass alle saggitalen
Strahlparameter (q s 00 ,qs 11 ,qs 01 ,qs 10 ) und der tangentiale Parameter qt 00 übereinstimmen,
da sie am Strahlteiler nicht verändert werden. Die äquivalenten
Bedingungen für einen perfekten Kontrast sind deshalb durch
q t 00 = q t 11
q t 01 = q t 10
(4.20)
(4.21)
gegeben. In Abbildung 4.5 ist schematisch ein aufgeklapptes Interferometer
dargestellt um zu verdeutlichen, wie die Strahlparameter berechnet werden.
Nacheinander trifft der Strahl auf das Gitter (z = 0), propagiert über eine
Länge, wird an einem sphärischen Endspiegel (z = L) reflektiert, durchläuft
die gleiche Länge wie zuvor und wird erneut am Gitter (z = 2L) aufgeteilt.
Es werden die Abbildungsmatrizen für eine Länge ML und die Reflexion
an einem Spiegel Mt R mit Krümmungsradius Rc gemäß (A.30) bzw. (A.32)
verwendet. Die Gittermatrix Mt G (g,k) enthält nach (4.14) zwei Parameter,
wobei in diesem Beispiel die Stelle von k den Einfallswinkel und die Stelle
von g den Beugungswinkel bezeichnet. Durch Kombination aller Segmente
erhält man die abbildende Wirkung des gesamten Interferometers auf den
einfallenden Strahl. Die Matrizen für die Transformationen in tangentialer
Ebene lauten
M t 00 = MG(k,k)MLMRMLMG(k,k) (4.22)
�
Rc−2L 2L(Rc−L)
= Rc Rc
− 2
�
Rc−2L , (4.23)
Rc Rc
36

Gitter Endspiegel Gitter
0 L 2L
4.2 Interferometerdesign
Abbildung 4.5: Propagation durch das Interferometer. Bezugspunkt ist das Gitter
bei z = 0.
M t 11 = MG(g,k)MLMRMLMG(k,g) (4.24)
�
Rc−2L 2L(Rc−L) cos
Rc Rc
=
2 (k)
cos2 (g)
− 2 cos
Rc
2 (g)
cos2 �
, (4.25)
Rc−2L
(k) Rc
M t 01 = MG(k,g)MLMRMLMG(k,k) (4.26)
�
Rc−2L cos(g) 2L(Rc−L) cos(g)
Rc cos(k) Rc cos(k)
=
− 2
�
cos(k) Rc−2L cos(k) , (4.27)
Rc cos(g) Rc cos(g)
M t 10 = MG(g,g)MLMRMLMG(k,g) (4.28)
�
Rc−2L cos(g) 2L(Rc−L) cos(k)
Rc cos(k) Rc cos(g)
=
− 2
�
cos(g) Rc−2L cos(k) . (4.29)
Rc cos(k) Rc cos(g)
In saggitaler Ebene sind die Matrizen mit (4.23) identisch. Die gesuchten
Strahlparameter berechnen sich nach Definition (4.4) zu
q t 01 = 2 cos2 (g) � L2 + L(q0 − Rc) − 1
2q0Rc �
cos2 , (4.30)
(k)(2q0 − Rc + 2L)
q t 10 = 2L(L − Rc)cos2 (k) + 2 cos2 (g)q0(L − 1
(2L − Rc)cos2 (k) + 2 cos2 (g)q0
z
2Rc) , (4.31)
q t 00 = 2L2 + 2L(q0 − Rc) − q0Rc
, (4.32)
2q0 − Rc + 2L
37

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
q t 11 = L(L − Rc)cos2 (k) + q0 cos2 (g) � L − 1
�
cos2 (k) + q0 cos2 (g)
� L − 1
2 Rc
2 Rc
�
cos2 (k)
cos2 , (4.33)
(g)
wobei q0 der Eingangsstrahlparameter ist. Gleichsetzen der Strahlparameter
gemäß (4.20) oder (4.21) und Auflösen zu
±
q0 = L(Rc − L)(cos 2 (g) + cos 2 (g))
(2L − Rc)cos 2 (g)
(4.34)
� L(L − Rc)[(Rc − L)cos 2 (k) + Lcos 2 (g)][(L − Rc)cos 2 (g) − Lcos 2 (k)]
(2L − Rc)cos 2 (g)
ergibt den Eingangsstrahlparameter für den in Abhängigkeit der Größen
L, Rc, g, k ein perfekter Kontrast erreicht wird. Das Ergebnis (4.34) enthält
die möglichen Anordnungen eines Michelson-Interferometers mit diffraktivem
Strahlteiler und wird im Folgenden ausführlich diskutiert.
Aus dem Real- und Imaginärteil von (4.34) lassen sich die Lage und Größe
der Taille des Eingangsstrahls nach
�
Im(q0)λ
z0 = −Re(q0) und w0 =
(4.35)
π
berechnen. Aus (4.35) folgt, dass nur Lösungen mit Im(q0) > 0 physikalisch
sinnvoll sind. Im Folgenden wird sich ergeben, dass der Krümmungsradius
Rc deshalb unter anderem immer kleiner sein muss als die Armlänge L. Damit
ist der Nenner in (4.34) immer größer Null und im zweiten Term nur
das positive Vorzeichen relevant. Mit Hilfe der angegebenen Lösung (4.34)
kann für eine Interferometeranordnung mit diffraktivem Strahlteiler der Eingangsstrahl
berechnet werden, mit dem ein perfekter Kontrast erreicht wird.
Planung eines Experiments
Bisher wurde ein allgemeines Design beschrieben, das durch die Forderung
Im(q0) > 0 eingeschränkt wird. Für die Planung eines experimentellen Aufbaus
können daraus die möglichen Parameter der optischen Komponenten
bestimmt werden.
In Gleichung (4.34) können die Nullstellen abgelesen werden, die Bereiche
gültiger Strahlparameter eingrenzen. Für die Krümmungsradien Rc der
Endpiegel gilt
�
cos2 (g) − cos2 (k)
Rc <
cos2 �
L konvex, (4.36)
(g)
�
cos2 (k) − cos2 (g)
cos2 �
L < Rc < L konkav, (4.37)
(k)
38

4.2 Interferometerdesign
wenn Armlänge L und Beugungswinkel k < g vorgegeben sind. Für die Wahl
k > g ändern sich die Relationen entsprechend und ergeben die gleichen
Bereiche. Im Folgenden wird dies an einem Interferometer mit einer vorgegebenen
Armlänge von L = 1 m illustriert. Es wurden weiterhin ein Einfallswinkel
und ein Beugungswinkel der 1.Ordnung von k = 30 ◦ bzw. g = 60 ◦
gewählt, was einer Interferometeranordnung mit senkrecht zueinander stehenden
Armen entspricht. In Abbildung 4.6 sind die Größe der Taille des
Eingangsstrahls w0 und Lage z0 bezüglich des Gitters in Abhängigkeit des
Krümmungsradius Rc dargestellt. Es ergeben sich zwei Bereiche möglicher
Krümmungsradien: ein Bereich für den unüblichen Fall konvexer Endspiegel
Rc < −2 m und ein Bereich für konkave Endspiegel mit 0,75 m < Rc < 1 m.
w 0 [µm]
1000
800
600
400
200
0
-4 -3 -2 -1
Rc [m]
0 1
z 0 [m]
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-4 -3 -2 -1 0 1
Rc [m]
Abbildung 4.6: Größe w0 und Lage z0 der Strahltaille als Funktion des
Krümmungsradius Rc, bei einer Armlänge von L = 1m und Beugungswinkeln
von k = 30 ◦ und g = 60 ◦ . Krümmungsradien Rc < 0 entsprechen vom Interferometer
aus gesehen konvexen Spiegeln, Rc > 0 konkaven Spiegeln. In dem Bereich
−2m < Rc < 0.75m kann kein perfekter Kontrast des Interferometers erreicht
werden.
Um zu verdeutlichen wie sich der Strahl im Interferometer verändert,
können der Strahlradius w(z) und der Krümmungsradius der Wellenfront
R(z) an jeder Stelle z des Interferometers berechnet werden. In Abbildung
4.7 ist ein Ergebnis für den üblicheren Fall eines konkaven Endspiegels
Rc > 0 dargestellt. Der Strahl trifft das Gitter bei z = 0 m und wird am
Endspiegel bei z = 0,55 m reflektiert. Bei z = 1,1 m trifft der Strahl erneut
auf das Gitter. Die Taille des Eingangsstrahls liegt in diesem Beispiel im
Interferometer. Durch die Endspiegel werden die divergenten Teilstrahlen so
fokussiert, dass sie bei Überlagerung am Gitter übereinstimmen. Die Wel-
39

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
lenfrontkrümmungen der Teilstrahlen in tangentialer und saggitaler Ebene
entsprechen bei z = L den Krümmungsradien der Endspiegel, so dass ein
konfokaler Aufbau realiert ist und der vom Interferometer reflektierte Strahl
nicht nur rund ist sondern exakt dem Eingangsstrahl entspricht. Im dunklen
Ausgang sind saggitaler und tangentialer Strahlparameter verschieden, so
dass ein elliptischer Strahl austritt, wie im rechten Teil von Abbildung 4.7
dargestellt.
Im Fall konvexer Endspiegel R < 0 liegt die Strahltaille hinter den Endspiegeln,
die den Strahl in Reflexion aufweiten.
Wahl der Armlänge
Bei vorgegebenem Krümmungsradius Rc der Endspiegel, sowie Einfallswinkel
k und Beugungswinkel in 1.Ordnung g am Gitter kann der Eingangsstrahl
in Abhängigkeit von der Armlänge L berechnet werden. Die Relationen
Rc < L < Rc
0 < L < Rc
cos 2 (k)
cos 2 (k) − cos 2 (g)
cos 2 (g)
cos 2 (g) − cos 2 (k)
falls Rc > 0 , (4.38)
falls Rc < 0, (4.39)
grenzen die möglichen Armlängen ein, wobei k < g gilt. Im Experiment
standen Endspiegel mit Rc = 0,5 m zur Verfügung und ein Gitter, dass
annähernd unter den Winkeln k = 30 ◦ und g = 60 ◦ das beste Teilungsverhältnis
aufwies. Innerhalb des dadurch beschränkten Bereichs bezüglich
der Armlänge lassen sich die Strahleigenschaften weiter untersuchen. In Abbildung
4.8 ist dargestellt, mit welchen Strahlgrößen eine Anpassung an das
Interferometer in Abhängigkeit von der Armlänge erreicht wird. Mit den
kleinen Strahltaillen an den Bereichsgrenzen ist eine große Divergenz des
Strahls verbunden. Die Größe des Strahls auf dem Gitter und den Endspiegeln
ist ein weiteres Kriterium bei der Wahl der Armlänge. Die berechneten
Werte werden in Abbildung 4.8 gezeigt.
40

w [µm]
R [m]
w [µm]
R [m]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
1
0.5
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
4.2 Interferometerdesign
-0.5 0 0.5 1 1.5
z [m]
s
t 00
t 11
0
-0.5
-1
s
t 00
t 11
-0.5 0 0.5 1 1.5
1
0.5
z [m]
-0.5 0 0.5 1 1.5
z [m]
s
t 01
t 10
0
s
-0.5
-1
-0.5 0 0.5
t 01
t 10
1 1.5
z [m]
Abbildung 4.7: Veränderung des Strahlradius w und Krümmungsradius der Wellenfront
R in saggitaler (s) und tangentialer (t) Ebene in Abhängigkeit von der
Position z im Interferometer mit L = 0,55m, Rc = 0.5m, k = 30 ◦ und g = 60 ◦ . 0
und 1 geben die Ordnungen und Reihenfolge an in denen der Strahl gebeugt wird.
Der Eingangstrahl hat eine Strahltaille von w0 = 273,5µm bei z = 0.184m. Der
Strahl trifft bei z = 0m auf das Gitter. Bei z = 0,55m wird er am Endspiegel
reflektiert und trifft bei z = 1,1m ein zweites mal auf das Gitter. Am Ausgang des
Interferometers stimmen die Strahlparameter der interferierenden Teilstrahlen in
tangentialer Ebene überein.
41

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
w 0 [µm]
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0.5 0.6 0.7
L [m]
z 0 [m]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5 0.6 0.7
L [m]
Abbildung 4.8: Größe w0 und Lage z0 der Strahltaille des Eingangsstrahls als
Funktion der Interferometerarmlänge L für Endspiegel mit Krümmungsradius Rc =
0.5m, Einfallswinkel k = 30 ◦ und Beugungswinkel in 1. Ordnung g = 60 ◦ .
w(z=0) [µm]
2000
1500
1000
500
t
s
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
L [m]
w(z=L) [µm]
2000
1500
1000
500
t
s
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
L [m]
Abbildung 4.9: Strahlgrößen in tangentialer (t) und saggitaler (s) Ebene auf dem
Gitter w(z = 0) und auf dem Endspiegel w(z = L) im Arm der 1. Beugungsordnung
als Funktion der Armlänge L für Endspiegel mit Rc = 0.5m, Einfallswinkel k = 30 ◦
und Ausfallswinkel g = 60 ◦ .
42

4.2 Interferometerdesign
4.2.2 ” Power-Recycling“ im diffraktiven Interferometer
Bei einem Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler definiert
die in (4.34) gegebene Lösung für den Eingangsstrahl eine Mode des Interferometers,
für die ein perfekter Kontrast möglich ist. Jede Abweichung von
diesem Strahlparameter verschlechtert den Kontrast im Gegensatz zu einem
konventionellen Michelson-Interferometer mit Fensterstrahlteiler. Die Erweiterung
des Interferometers durch optische Resonatoren zur Leistungsüberhöhung,
wie das ” Power-Recycling“ in dieser Arbeit, muss dies berücksichtigen.
Andere Resonatormoden führen, auch wenn sie der Stabilitätsbedingung
für Resonatoren [31] genügen, zu einem geringeren Kontrast und
würden sich selbst in ihrer Verstärkung limitieren. Der zusätzliche Spiegel
im Eingang des Interferometers muss also konfokal sein zur Mode, die das
Michelson-Interferometer reflektiert. Der berechnete Strahlparameter kann
direkt benutzt werden, um die Position des Spiegels l zu berechnen, bei der
Wellenfrontkrümmung des auslaufenden Strahls R(z) und der Krümmungsradius
des Spiegels Rcp übereinstimmen. Aus der Gleichung für die Änderung
des Krümmungsradius der Wellenfront (A.23) folgt
l = z0 + 1
2 Rcp
�
± R2 cp − 4z2 R , (4.40)
wobei sich die Größen auf das Gitter bei z = 0 beziehen. Ein vom Interferometer
aus gesehener konkaver Spiegel wird dann durch Rcp < 0 richtig beschrieben.
In Abbildung 4.10 ist l bezüglich der Gitterposition in Abhängigkeit
von der Interferometerarmlänge L gezeigt. Positive Werte für l geben eine
Position im Interferometer an, so dass für den ” Power-Recycling“-Spiegel
nur die negativen Werte benutzt werden können.
43

4 Michelson-Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler
l [m]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
L [m]
Abbildung 4.10: Position des Power-Recycling Spiegels l bezüglich des Strahlteilers
als Funktion der Armlänge L, wobei l < 0m eine Position vor dem Interferometer
angibt. Parameter waren der Krümmungsradius Rc2 = −0.6m eines Einkoppelspiegels
und der Krümmungsradius des Endspiegels Rc1 = 0.5, die vom Strahlteiler
aus gesehen beide konkav sind. Einfallswinkel ist k = 30 ◦ und Beugunsgwinkel in
1. Ordnung g = 60 ◦ .
44

KAPITEL 5
Experiment
In diesem Kapitel wird die experimentelle Umsetzung eines Michelson-Interferometers
mit ” Power-Recycling“ auf Basis eines Gitterstrahlteilers präsentiert.
Mit dem Aufbau wurden zwei Gitter auf ihre Gesamtverluste untersucht.
Die Voraussetzungen dafür werden detailliert erläutert und die experimentellen
Ergebnisse dargestellt.
5.1 Experimentelle Grundlagen
Im ersten Teil des Aufbaus wird eine definierte Lasermode für die Experimente
hergestellt. Als kohärente Lichtquelle stand ein stabiles Lasersystem
zur Verfügung. Ein optischer Resonator wurde mit Hilfe des Pound-Drever-
Hall Verfahrens auf den Laser geregelt. Das räumlich und spektral gefilterte
Laserlicht ist Ausgangspunkt für die weiteren Experimente.
Das Lasersystem
Als kohärente Lichtquelle stand ein Nd:YAG-Laser der Firma InnoLight aus
der Produktreihe Mephisto mit einer Ausgangsleistung von 1,2 W bei einer
Wellenlänge von 1064 nm zur Verfügung. Das Lasersystem ist als nicht planarer
Ringoszillator (NPRO) aufgebaut. Ein Nd:YAG-Kristall dient dabei als
laseraktives Medium, das mit Dioden bei einer Wellenlänge von 808 nm gepumpt
wird, und gleichzeitig durch Totalreflexion an den Oberflächen einen
Resonator bildet. Die Umlaufrichtung wird durch die nicht-planare Kristallgeometrie
und einem extern angelegten Magnetfeld vorgegeben. Durch den

5 Experiment
monolithischen Aufbau besitzt der NPRO eine hohe mechanische Stabilität.
Das Modenfilter
Das Modenfilter im Experiment ist ein quasimonolithischer Ringresonator
aus drei Spiegeln, dessen Entwicklung ausführlich in [32] beschrieben ist.
Zwei plane Spiegel dienen als Ein- und Auskoppelspiegel. Ein hochreflektierender
Spiegel mit Krümmungsradius 1 m legt zusammen mit der Resonatorlänge
420 mm die optischen Eigenmoden des Resonators fest. Um die
mechanische Stabilität zu erhöhen, sind die drei Spiegel fest über einen Abstandshalter
aus Aluminium verbunden, dessen Innenvolumen staubdicht
verschlossen wurde. Zwischen dem sphärischen Spiegel und dem Halter ist
ein ringfömiger Piezokristall angebracht. Durch Anlegen einer Spannung an
den Piezokristall kann die Resonatorlänge variiert und an die Laserfrequenz
angepasst werden. Unter entsprechend gewählten Bedingungen kommt nur
die fundamentale TEM00-Mode zur Resonanz. Hinter dem Modenfilter steht
dann ein beugungsbegrenzter Strahl in der Fundamentalmode zur Verfügung,
dessen Strahltaille von 372µm zwischen den beiden planen Spiegeln liegt. Eine
Möglichkeit das Modenfilter resonant zur Laserfrequenz zu halten, bietet
das nachfolgend beschriebene Pound-Drever-Hall Verfahren.
5.1.1 Pound-Drever-Hall Verfahren
Das Pound-Drever-Hall (PDH) Verfahren ist eine Methode zur Stabilisierung
einer Laserfrequenz auf einen optischen Resonator [33]. In dieser Arbeit wurde
es genutzt, um optische Resonatoren (Modenfilter, ” Power-Recycling“)
auf die Frequenz eines stabilen Lasersystems zu regeln. In abgewandelter
Form wurde das PDH-Verfahren ebenfalls angewendet, um die Linienbreite
einer Resonanz zu vermessen. Die Grundlagen sind identisch und werden an
dieser Stelle beschrieben. Anschließend folgt die Beschreibung der experimentellen
Umsetzung.
Das Ziel des PDH-Verfahrens ist es, ein Signal zu gewinnen, das angibt in
welche Richtung die Resonatorlänge verändert werden muss, damit die Laserfrequenz
resonant ist. Auf Resonanz ist die reflektierte Intensität minimal
und nimmt bei Verstimmung zu beiden Seiten zu. Die Phase des reflektierten
Lichts zeigt dagegen einen Vorzeichenwechsel, kann aber nicht direkt detektiert
werden. Beim PDH-Verfahren werden dem Laserlicht der Frequenz
ω, auch Träger genannt, durch eine Phasenmodulation der Frequenz Ω Seitenbänder
bei ω ±Ω aufgeprägt. Die Phasenmodulation wird im Experiment
zum Beispiel durch einen elektro-optischen Modulator (EOM) geleistet. In
Reflexion vom Resonator wird dann die Überlagerung der Seitenbänder mit
dem Träger durch eine Photodiode detektiert. Abseits der Resonanz erfahren
die Seitenbänder und der Träger eine Phasenverschiebung zueinander,
so dass bei der Überlagerung ein Anteil Amplitudenmodulation bei der Mo-
46

5.1 Experimentelle Grundlagen
dulationsfrequenz auftritt, der mit der Photodiode detektiert werden kann.
Durch elektronische Demodulation mit einem Oszillator gleicher Frequenz
kann dieser Anteil extrahiert werden. Die Form des demodulierten Signals
hängt von der Phase des Oszillators zum detektierten Signal ab. In Abbildung
5.1 ist das demodulierte Signal für zwei unterschiedliche Demodulationsphasen
dargestellt. Die rote Kurve zeigt das typische Pound-Drever-Hall
Signalamplitude [willk. Einheiten]
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
f [MHz]
Abbildung 5.1: Dispersionssignal (rot) und Absorptionssignal (grün) des Pound-
Drever-Hall Verfahrens um die Resonanzfrequenz des Trägers für eine Modulationsfrequenz
von 8MHz.
Fehlersignal, auch Dispersionssignal genannt, dass einen Nulldurchgang auf
Resonanz zeigt und damit als Fehlersignal für die Regelung des Resonators
verwendet werden kann. Bei Änderung der Demodulationsphase um
90 ◦ erhält man das sogenannte Absorptionssignal. Dies zeigt ein Minimum
und ein Maximum bei der Modulationsfrequenz. Das Absorptionssignal wird
in dieser Arbeit verwendet um Frequenzmarker für die Vermessung einer Resonanz
zu setzen.
5.1.2 Aufbau des Modenfilters
Einen Überblick des Aufbaus zur Filterung des Laserlichts zeigt Abbildung
5.2. Unmittelbar hinter dem Laser folgt ein Faraday-Isolator als optische
Diode, um Rückreflexe in den Laser zu unterdrücken. Er besteht aus
zwei polarisierenden Strahlteilern und einem Kristall an dem ein permanentes
Magnetfeld anliegt. Linear polarisiertes Licht erfährt in dem Kristall eine
nicht-reziproke Drehung der Polarisation. Durch geeignete Orientierung
der polarisierenden Strahlteiler zueinander, können hin-und rücklaufender
47

5 Experiment
0,9 W
mc
PD
λ/2
HV-Verstärker Servo Mischer
EOM
λ/2
10 Mhz
Isolator
λ/2
λ/4
Laser
Abbildung 5.2: Aufbau zur Filterung des Laserlichts durch einen Ringresonator
(mc) mit dem Pound-Drever-Hall Verfahren.
Strahl getrennt werden. Mit einer λ/4 Scheibe wird die Polarisation des Lasers
linearisiert und mit einer λ/2 Scheibe die Polarisation auf den Faraday-
Isolator angepasst.
Die Seitenbänder für das PDH-Verfahren wurden mit einem breitbandigen
EOM durch Phasenmodulation bei 10 MHz erzeugt. Mit einer Photodiode
wird das am Ringresonator reflektierte Licht detektiert. Um möglichst
viel Leistung in den Resonator einzukoppeln, wurde der Strahl nach dem
EOM mit einem Strahlanalysegerät vermessen und mit zwei ausgesuchten
Linsen auf den Resonator angepasst. Mit einer weiteren λ/2 Scheibe vor dem
Resonator wurde das Licht auf p-Polarisation gedreht. Die grob bestimmte
Finesse betrug F= 340. Die nach dem Modenfilter zur Verfügung stehende
Leistung von 0,9 W wurde auf meherer Experimente aufgeteilt, wobei das
hier vorgestellte Experiment mit ausreichenden 60 mW bedacht wurde.
Der elektronische Regelkreis für das Modenfilter ist ebenfalls in Abbildung
5.2 skizziert. Der von der Photodiode detektierte frequenzabhängige
Teil der Intensität wird in einem Mischer bei 10 MHz phasenrichtig demoduliert
und elektronisch tiefpassgefiltert. Das so gewonnene Fehlersignal wurde
in einem Servo weiterverarbeitet und mit einem Hochspannungsverstärker
auf das Piezoelement des Resonators zurückgeführt. Eine gute Einführung
in Regelungstechnik geben [35, 36].
48

Temperaturnachführung des Modenfilters
5.1 Experimentelle Grundlagen
Im Experiment stellte sich heraus, dass über den Piezo nicht genügend
Hub aufgebracht werden konnte, um temperaturbedingte Ausdehnungen des
Aluminiumhalters über einen Zeitraum in der Größenordnung von 10 min
zu kompensieren. Der Hochspannungsverstärker erreichte dann seine maximale
Spannung und die Regelung fiel aus. Mit dem Piezo wurde zu diesem
Zeitpunkt nur noch eine Durchstimmung des Resonators kleiner als
ein freier Spektralbereich erreicht. Da durch die Offsetspannung des Servostellsignals
direkt ein Fehlersignal zur Verfügung stand, wurde entschieden,
das Modenfilter mit einer Temperaturnachführung zu versehen. Dazu
wurde symmetrisch an den Seiten des Resonators jeweils ein Peltierelement
und Kühlkörper mit Wärmeleitkleber befestigt, wie in Abbildung 5.3 zu sehen.
Mit einer Spannung von 0.3 V konnte etwa 1 FSR durchgestimmt wer-
Abbildung 5.3: Modenfilter mit Peltierelementen und Kühlkörpern zur Temperaturnachführung.
den. Das Stellsignal für die Peltierelemente wurde deshalb, im Vergleich
zum Piezo, um einen Faktor abgeschwächt. Für einen zusätzlichen Integrator
wurde die Zeitkonstante des Systems auf 2 min abgeschätzt, indem
die Zeit bestimmt wurde, die das Modenfilter brauchte, um sich nach einer
Erwärmung wieder im Gleichgewicht zu befinden. Eine Spannungsbegrenzung
vervollständigte diesen einfachen PI-Regler. Die langzeitigen Temperaturdrifts
konnten so kompensiert werden. Der mechanische Einfluss der
Nachrüstung auf den Resonator wurde in vorher und nachher aufgenommenen
Transferfunktionen vom Regelkreis des Modenfilters kontrolliert und
war vernachlässigbar.
49

5 Experiment
5.2 Michelson-Interferometer
Ein Michelson-Interferometer besteht aus einem Strahlteiler und zwei hochreflektierenden
Endspiegeln. In dieser Arbeit wurden zwei rein-reflektive
Michelson-Interferometer aufgebaut, wobei dielektrische Reflexionsgitter als
Strahlteiler verwendet wurden. Von vornherein wurde die Leistungsüberhöhung
durch ” Power-Recycling“ eingeplant, wofür ein teildurchlässiger Spiegel
vor dem Interferometer verwendet wird. In diesem Abschnitt werden
zunächst die verwendeten Gitter und Spiegel für das anschließende Interferometerdesign
charakterisiert. Eine Regelung des Michelson-Interferometers
mit interner Modulation wurde umgesetzt und der Kontrast bestimmt.
5.2.1 Die verwendeten Gitterstrahlteiler
Es standen in dieser Arbeit im wesentlichen zwei Gitterstrahlteiler zur Verfügung,
die am Institut für Angewandte Physik (IAP) in Jena im Rahmen
einer Diplomarbeit [22] berechnet und hergestellt wurden. Nach einer kurzen
Beschreibung der Gitter wird die experimentelle Bestimmung der winkelabhängigen
Beugungseffizienzen und der Gitterperiode erläutert.
Abbildung 5.4 zeigt eine Aufnahme der Substrate mit Gittern. Die Git-
Abbildung 5.4: Mit einer Infrarotkamera aufgenommene Bilder der Gitter, als
das jeweilige Interferometer justiert war. Zu sehen sind die runden Zoll Substrate
auf denen sich die Gitterstrukturen befinden und der Auftreffpunkt des Lasers
ter befinden sich jeweils auf einem runden Zoll Substrat, dass von der Firma
Layertec mit einem hochreflektierenden Schichtsystem aus Quarz (SiO2) mit
Brechungsindex 1,44 und Tantalpentoxid (Ta205) mit Brechungsindex 2,048
beschichtet wurde. Da das Licht unter verschiedenen Winkeln auf den Strahlteiler
einfällt, wurde ein Schichtsystem gewählt, dass für einen breiten Winkelbereich
hochreflektierend ist. Mit der Elektronenstrahl-Belichtungsanlage
LION LV-1 wurde eine binäre Gitterstruktur geschrieben und anschließend
durch Ionenstrahlätzen in die oberste Lage des Schichtsystems übertragen.
50

Folgende Gitter wurden untersucht [37]:
5.2 Michelson-Interferometer
• Substrat 1: Zu Testzwecken wurden vier Gitterstrahlteiler mit den Abmaßen
3 × 3 mm hergestellt. Die Belichtungszeit lag bei 10 Stunden
pro Gitter. Durch Variation der Füllfaktoren wurden unterschiedliche
Beugungseffizienzen erreicht, wie später in Abbildung 5.6 gezeigt wird.
• Substrat 2: Auf diesem Substrat wurde ein Gitter mit den Abmaßen
5 × 5 mm hergestellt. Die Belichtung dauerte 14 Stunden. In [22] wird
das Design und die Herstellung dieses Gitters ausführlich beschrieben.
Winkelabhängige Charakterisierung von Gittern
Zwei wichtige Eigenschaften eines diffraktiven Strahlteilers sind die Beugungseffizienzen
und die Winkel der Beugungsordnungen zueinander, die
durch die Gitterperiode bestimmt werden. In diesem Abschnitt werden die
Gitter auf diese winkelabhängigen Beugungseigenschaften untersucht, wobei
zunächst die Durchführung dieser Messung beschrieben wird.
Damit die Winkel von Eingangs- und Ausgangsstrahlen vernünftig zueinander
in Beziehung gesetzt werden können, muss der Auftreffpunkt des
Strahls auf der Gitteroberfläche gut bekannt sein. Bei feststehendem Eingangsstrahl
erfolgt dann die Winkeländerung des Gitters um diesem festen
Punkt. Eine Schablone mit radial verlaufenden um jeweils 2 Grad gedrehten
Linien und zwei Blenden in Richtung 0.Ordnung wurden, wie in Abbildung
5.5 skizziert, genutzt, um die Position des Gitters für jeden neuen Winkel zu
finden. Der Autreffpunkt auf dem Gitter wurde zudem mit einer Infrarotkamera
beobachtet. Die Winkel konnten auf diese Weise mit einer Genauigkeit
λ/2
Abbildung 5.5: Aufbau für winkelabhängige Messungen.
51

5 Experiment
von etwa ±0,5 ◦ abgelesen werden. Die Gittereigenschaften wurden für TM-
Polarisation berechnet. Mit einer λ/2 Scheibe und einem polarisierenden
Strahlteiler wurde das Licht deshalb so eingestellt, dass bei Entfernen des
polarisierenden Strahlteilers p-polarisiertes Licht auf das Gitter trifft.
Die Beugungseffizienzen wurden für verschiedene Winkel mit einem Leistungsmessgerät
bestimmt. In Abbildung 5.6 sind die gemessenen Beugungseffizienzen
für die 0. und 1. Ordnung für die vier Gitter des ersten Substrats
dargestellt. Die Messungen zeigen deutlich den Einfluss des variierten Füll-
Beugungseffizienz [%]
Beugungseffizienz [%]
100
75
50
25
100
G1a
0
25 30 35 40
75
50
25
G1c
0
25 30 35 40
Einfallswinkel [°]
100
75
50
25
100
G1b
0.Ordnung
1.Ordnung
0
25 30 35 40
75
50
25
G1d
0
25 30 35 40
Einfallswinkel [°]
Abbildung 5.6: Gemessene Beugungseffizienzen in Abhängigkeit des Einfallswinkels
für die vier Gitter G1a-G1d des Substrats 1.
faktors. Nur ein Gitter (G1a) zeigte ein 50/50 Teilungsverhältnis und wurde
im weiteren verwendet.
Für das später erhaltende zweite Substrat mit Gitter G2 wurde diese
Messung mit breiterem Winkelbereich durchgeführt. Zum besseren Ver-
52

5.2 Michelson-Interferometer
gleich wurde auch G1a nochmal vermessen. Die Ergebnisse zeigt Abbildung
5.7. Bei den Aussparungen handelt es sich um Konfigurationen nahe
Beugungseffizienz [%]
Beugungseffizienz [%]
100
75
50
25
100
0
20 30 40 50 60 70
75
50
25
G1a
G2
0.Ordnung
1.Ordnung
0.Ordnung
1.Ordnung
0
20 30 40 50 60 70
Einfallswinkel [°]
Abbildung 5.7: Gemessene Beugungseffizienzen in Abhängigkeit des Einfallswinkels
für Gitter G1a oben und Gitter G2 unten.
dem Littrow-Winkel, bei denen eine direkte Leistungsmessung nicht möglich
war. Die äußeren Winkel waren wegen des streifenden Lichteinfalls nicht
mehr messbar. Die Winkel αbs1,αbs2 bei denen ein 50/50-Teilungsverhältnis
besteht sind in Tabelle 5.1 aufgelistet.
Eine weitere Größe für das Interferometerdesign mit diffraktivem Strahlteiler
ist die Gitterperiode. Sie bestimmt die geometrische Aufteilung der
Strahlen und damit die Strahlverformung bei gegebenem Einfallswinkel. Die
Messung des Littrow-Winkels αLit, bei dem Einfallswinkel und Beugungswinkel
in die 1.Ordnung übereinstimmen, ist eine einfache Möglichkeit auf
53

5 Experiment
die Gitterperiode zu schließen. Aus der Gittergleichung (2.1) folgt
d =
mλ
, (5.1)
2 sin(αLit)
so dass die Gitterperiode durch eine einzige Winkelmessung bestimmt werden
kann. Die gemessenen Littrow-Winkel und die daraus abgeleiteten Gitterperioden
sind in Tabelle5.1 aufgelistet. Aus der Gitterperiode lässt sich
der Einfallswinkel α⊥ berechnen, der eine Interferometerkonfiguration mit
senkrecht zueinander angeordneten Armen erlaubt. Die Winkel α⊥ und dazu
gehörigen Teilungsverhältnisse von 0. zu 1. Ordnung sind für beide Gitter
ebenfalls in Tabelle 5.1 zu finden.
αbs1[ ◦ ] αbs2[ ◦ ] αLit[ ◦ ] d[nm] α⊥[ ◦ ] Tv. bei α⊥[%]
G1a 33,5 56,0 43 780,1 29,7 58/42
G2 29,0 61,0 42,5 787,5 27,8 53/47
Tabelle 5.1: Experimentell bestimmte Beugungseigenschaften der Gitter G1a und
G2. Bei den Einfalsswinkeln αbs1 und αbs2 wird ein 50/50 Teilunsgverhältnis in
0. und 1. Beugungsordnung erreicht, αLit und d sind der Littrow-Winkel und die
daraus abgeleitete Gitterperiode. Mit dem Einfallswinkel α⊥ ist eine Interferometeranordnung
mit senkrecht zueinander stehenden Armen möglich, wobei ein Teilungsverhältnis
Tv. von 0. zu 1. Ordnung besteht.
5.2.2 Die verwendeten Spiegel
Das im Interferometer am Gitterstrahlteiler in 0. und 1.Ordnung aufgeteilte
Licht, propagiert im jeweiligen Arm und wird durch hochreflektierende
Endspiegel M0 bzw. M1 zurückreflektiert (vgl. Abbildung 5.8). Das Interferometer
wird beim ” Power-Recycling“ um einen halbdurchlässigen Spiegel
Mp im Eingang erweitert. Dieser bildet mit dem Interferometer einen Resonator
und dient als Einkoppelspiegel. Für das vorliegende Experiment und
die Auswertung der Ergebnisse ist die genaue Kenntnis der optischen Spiegeleigenschaften
essentiell. Da durch die rein-reflektive Toplogie die Interferometeranordnung
auf bestimmte Sets von Parametern beschränkt wird,
sind insbesondere die Krümmungsradien der Endspiegel für das Interferometerdesign
wichtig. Die erreichbare Leistungsüberhöhung wird durch die
Reflektivitäten bestimmt.
Im Experiment standen zwei hochreflektierende Endspiegel mit einem
Krümmungsradius von 0,5 m zur Verfügung. Sie wurden vom Hersteller
(REO) mit einer Transmission von (300±30)ppm und Verlusten von 30 ppm
spezifiziert. Der verwendete Einkoppelspiegel hat einen Krümmungsradius
von 0,6 m und eine angegebene Reflektivität von (95 ± 1)%.
54

5.2 Michelson-Interferometer
Dennoch wurde das Reflexions- und Transmissionsverhalten der Spiegel
charakterisiert, da die genaue Kenntnis dieser Werte wichtig für die spätere
Bestimmung der Gitterverluste ist.
Für die Bestimmung der Reflektivität wurden aus den drei Spiegeln, drei
Resonatoren aufgebaut und jeweils die Finesse ermittelt, wobei eine Methode
mit Frequenzmarkern angewendet wurde, die in einem späteren Abschnitt
erläutert wird. Die Resonatorlänge wurde so gewählt, dass sie dem späteren
Aufbau des Interferometers mit ” Power-Reycling“ entspricht und somit als
Referenz benutzt werden kann. Aus der Finesse F eines Resonators lässt sich
auf das Produkt der Spiegelreflektivitäten schließen. Durch Kombination der
Ergebnisse für die drei Resonatoren
Fp0 = 119,4 ± 2,9, (5.2)
Fp1 = 119,9 ± 2,4, (5.3)
F01 = 5400 ± 500, (5.4)
wobei die Indizes auf die jeweils verwendeten Spiegel hinweisen, lässt sich
die Reflektivität jedes einzelnen Spiegels bestimmen.
Die Transmission der Spiegel wurde zusätzlich mit einem Leistungsmessgerät
ermittelt, wobei das Wechseln des Messkopfes bei den hochreflektierenden
Spiegeln durch einen größeren Fehler berücksichtigt wurde. Die Reflektivitäten
und Transmissivitäten für die Einzelkomponenten sind durch
ρ 2 0 = 0,9993 ± 0,0012 τ 2 0 = (265 ± 27)ppm (5.5)
ρ 2 1 = 0,9995 ± 0,0012 τ 2 1 = (264 ± 26)ppm, (5.6)
ρ 2 p = 0,9494 ± 0,0012 τ 2 p = 0,0502 ± 0,0025, (5.7)
gegeben, was innerhalb der Messungenauigkeiten den Spezifikationen entspricht.
Für die spätere Bestimmung der Gitterverluste werden die Resonatorkombinationen
mit Mp als Referenz verwendet.
5.2.3 Design und Aufbau des Interferometers
Das Design des Michelson-Interferometers basiert auf der in Kapitel4 gegebenen
analytischen Lösung (4.34) für ein Michelson-Interferometer mit
diffraktivem Strahlteiler. Sie beschreibt wie bei einer vorgegebenem Interferometeranordnung
der Eingangsstrahl gewählt werden muss, um einen hohen
Kontrast zu erreichen.
Zunächst wurden die Strahleigenschaften im Interferometer für verschiedene
Einfallswinkel auf den jeweiligen Gitterstrahlteiler um 30 ◦ untersucht.
Dazu gehörten die Strahlgrößen auf dem Gitter und den Endspiegeln, die
Elliptizität des Strahls an einem Endspiegel und die Länge des ” Power-
Recycling“ Resonators. Die Unterschiede waren für die Realisierung des Interferometers
unbedeutend, so dass sich für einen Einfallswinkel mit einem
50/50 Teilungsverhältnis entschieden wurde.
55

5 Experiment
Die Armlänge L des Interferometers hat dagegen einen sehr viel entscheideneren
Einfluss. In Anhang 2 finden sich einige Abbildungen in denen
die genannten Strahleigenschaften über der Armlänge aufgetragen sind. Die
Vorteile, wie geringe Elliptizität und Strahlgrößen auf den optischen Komponenten
können eher den kürzeren Armlängen zugeordnet werden. Nachteilig
wirkt sich aus, dass mit kleineren Armlängen die Länge l von ” Power-
Recycling“ Spiegel zu Gitter sehr schnell größer wird, was die Entscheidung
für eine Armlänge maßgeblich beeinflusste. Die gewählten Parameter
für beide Aufbauten sind in Tabelle5.2 zusammengefasst. Jede Abweichung
αin[ ◦ ] α1[ ◦ ] L[m] w0[µm] z0[m] l[m]
G1a 34 53,6 0,58 271,6 0,208 0,299
G2 29 60 0,55 274,6 0,186 0,315
Tabelle 5.2: Designparameter für die experimentellen Aufbauten mit den Gittern
G1a und G2. Aus dem gewählten Einfallswinkel αin resultierte der Beugungswinkel
α1 in 1. Ordnung. Aus der Armlänge L folgte die Größe w0 und Lage z0 der
Strahltaille, die damit im Interferometer liegt. Der Abstand l vom Einkoppelspiegel
des ” Power-Recycling“ Resonators zum Gitterstrahlteiler vervollständigt den
Parametersatz.
einer dieser Größen führt zu einem neuen Satz von Parametern, so dass
beim Aufbau des Michelson-Interferometers eine Vielzahl an Freiheitsgraden
bewältigt werden musste.
Experimentelle Umsetzung
Eine Übersicht des Aufbaus ist in Abbildung 5.8 gezeigt. Der durch den Modenfilter
(mc) gereinigte Strahl wurde auf mehrere Experimente aufgeteilt,
wobei der Strahl für dieses Experiment an den verwendeten Strahlteilern
konsequent nur reflektiert wurde, um mögliche Strahlverformungen beim
Durchgang durch die planparallen Strahlteilersubstrate zu vermeiden. Eine
λ/2 Scheibe und ein polarisierender Strahlteiler wurden benutzt, um die Leistung
für das Experiment variieren zu können. Mit Hilfe einer weiteren λ/2
Scheibe wurde die Polarisation auf das Experiment angepasst. Der darauf
folgende Strahlteiler wurde eingebaut, um die vom Interferometer reflektierte
Leistung mit der Photodiode PD− zu detektieren.
Die Modenanpassung an das Interferometer begann an dem Punkt (S),
der 0,762 m vom Tailienradius w0 = 372µm im Modenfilter entfernt war.
Nun wurden alle Längen bis zum Interferometer festgelegt, wobei mehrere
Kriterien erfüllt werden sollten. Die Modenanpassung sollte über zwei
Linsen realisiert werden, zwischen denen der Strahl fokussiert ist, um den
nachträglichen Einbau eines EOM zu ermöglichen. Die Winkeleinstellung
von Gitter und einfallendem Strahl erfolgte so, dass ein Arm parallel zur
56

PD +
Servo
HV
M 0
Mischer
GS
M p
213 kHz
M 1
PD t
5.2 Michelson-Interferometer
S
λ/2
PD -
λ/2
PBS
Abbildung 5.8: Skizzierter Aufbau für das Michelson-Interferometer mit Regelkreis
zur internen Modulation.
Tischkante lag, was leicht kontrolliert werden kann. Dadurch lässt sich die
Gitteroberfläche wieder sehr genau positionieren und es muss nur der Winkel
zum einlaufenden Strahl eingestellt werden. Aus diesem Grund wurden die
zwei Umlenkspiegel nötig, die die Strecke (S) zum Interferometer aufteilten.
Auf Basis dieser Längenvorgaben wurden mit dem Programm Mode-
Matcher [38] mögliche Linsenkombinationen gefunden, die anschließend mit
der Software Finesse [39] auf Justagetoleranzen getestet wurden, wobei eine
empfindliche Abhängigkeit bevorzugt wurde. Im Aufbau wurden die Linsenpositionen
durch das Verfahren von Mikrometertischen verändert.
Nachdem Linsen, Umlenkspiegel und Gitter justiert waren, wurden die
Endspiegel positioniert. Der Endspiegel M0 war mit einem Piezokristall gehaltert,
um die Länge des Armes durchzustimmen. Der andere Spiegel war
auf einer sehr gut justierbaren Halterung (Lees) befestigt. Am dunklen Ausgang
wurde die Leistung mit der Photodiode PD+ detektiert.
Der langwierige Teil des Aufbaus bestand nun darin einen hohen Kontrast
zu erreichen, indem Armlängen und Linsenpositionen systematisch,
Strahllagen und Winkel probeweise verändert wurden. Die Tendenz der
57
mc

5 Experiment
Veränderungen wurde am Verhältnis von maximaler und minimaler Intensität
an PD+ auf einem Oszilloskop abgelesen.
Bei einem feststehenden Endspiegel wurde systematisch die Position des
anderen angepasst. Danach wurde mit den Linsen eine Modenanpassung
analog zu Resonatoren durchgeführt. Anschließend wurde der feste Endspiegel
um etwa einen Millimeter verschoben und alles erneut durchgeführt.
Wenn sich keine Verbesserung mehr einstellte, wurden die weiteren Freiheitsgrade,
wie Strahllagen und Einfallswinkel geändert. Dies führte entweder zu
Verbesserungen oder zu einem Neuanfang. Die typischen Interferenzstreifen
in dunklem und reflektierten Ausgang bei mikroskopischer Durchstimmung
einer Armlänge des Michelson-Interferometers sind in Abbildung 5.9 dargestellt.
normierte Photospannung [V]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
Zeit [s]
PD +
PD -
Abbildung 5.9: Normierte Photospannung am dunklen Ausgang (PD+) und in
Reflexion (PD−) des Interferometers beim Durchstimmen der Piezospannung.
Interne Modulation
Der Kontrast des Interferometers ist definiert über die maximale und minimale
Intensität am dunklen Ausgang. Für eine exakte Bestimmung dieser
Werte wurde eine Regelung für das Interferometer aufgebaut, um es auf minimaler
und maximaler Intensität zu stabilisieren. Für die Regelung gibt es
verschiedene Methoden die unter den Namen interne, externe und Schnupp
Modulation bekannt sind. Eine ausführliche Darstellung ist in [25] zu finden.
In dieser Arbeit wurde die interne Modulation benutzt, da sie einfacher
umzusetzen ist als die externe Modulation und keine Armlängendifferenz
benötigt wie die Schnupp Modulation.
58

5.2 Michelson-Interferometer
Der Regelkreis für die interne Modulation ist in Abbildung 5.8 skizziert.
Die interne Modulation beruht auf Phasenmodulationen, die dem Licht innerhalb
des Interferometers aufgeprägt werden und am dunklen Ausgang
detektiert werden. Durch Demodulation erhält man ein richtungsabhängiges
Stellsignal für einen Endspiegel. Für die Phasenmodulation kann ein EOM
in einen Arm gestellt werden, der aber die Strahlprofile entscheidend stört,
so dass kein ganz hoher Kontrast erreicht werden würde. In dieser Arbeit
wurde die Phasenmodulation über einen Endspiegel (M0) mit Piezokristall
auf das Licht aufgeprägt. Dafür wurde eine sinusförmige Schwingung mit
der Modulationsfrequenz an den Kristall angelegt.
Impedanz [Ω]
10000
1000
100
10
1
0.1
Imp
Pha
-45
-90
-135
-180
10000 100000 1e+006 1e+007
Frequenz [Hz]
Abbildung 5.10: Impedanzmessung des Endspiegelpiezos. Für die Regelung des
Interferometers mit interner Modulation wurde eine Modulationsfrequenz von
213kHz gewählt.
Die Modulation wurde vor dem Hochspannungsverstärker (HV) auf das
Stellsignal des Piezos addiert. Es wurde eine Frequenz von 213 kHz gewählt,
weil die Impedanzmessung (Abb.5.10) des Piezos in dieser Umgebung keine
Resonanzen zeigte, die unter Umständen von Temperaturänderungen oder
mechanischen Einflüssen abhängig sind. Als Phasenschieber wurde bei dieser
niedrigen Frequenz ein Allpass mit Kapazitätsdiode (BB112) verwendet und
in ein vorahandenens Mischerdesign integriert. Das Fehlersignal ist in Abbildung
5.11 zu sehen. Die deutlich unterschiedliche Ausprägung der Fehlersignale
ist ebenfalls in Nahaufnahmen bei den Intensitätsminima zu erkennen
und zeigt womöglich eine geringe Dejustage durch die Piezoausdehnung.
59
180
135
90
45
0
Phase [°]

5 Experiment
normierte Photospannung [V]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
PD +
demod. PD +
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
Zeit [s]
Abbildung 5.11: Normierte Photospannung am dunklen Ausgang (PD+) und das
demodulierte Signal für die Regelung des Interferometers beim Durchstimmen der
Piezospannung.
5.2.4 Bestimmung des Kontrasts
Der Kontrast wurde gemäß (3.30) aus maximaler und minimaler Intensität
Imax bzw. Imin am dunklen Ausgang bestimmt. Dazu wurde das Interferometer
abwechselnd auf diese Arbeitspunkte stabilisiert. Aus zwanzig Wertepaaren
wurde dann der Wert des Kontrasts C gemittelt. und der Verlustanteil
Ac in den dunklen Ausgang nach (3.33) berechnet. Für den ersten Aufbau
ergab sich
C1 = 0,99937 ± 0,00063 ⇒ Ac1 = (316 ± 315)ppm. (5.8)
Beim zweiten Aufbau wurde mit
C2 = 0,99887 ± 0,00042 ⇒ Ac2 = (564 ± 213)ppm (5.9)
ein geringerer, aber noch sehr guter Kontrast erreicht. In Abbildung 5.12
ist die auf Imax normierte Intensität Imin am dunklen Ausgang dargestellt.
Das justierte Michelson-Interferometer ist Ausgangspunkt für die nächsten
Experimente. Es wurden im Folgenden weder Armlängen noch Linsenpositionen
verändert. Ein leicht verringerter Kontrast wurde gegebenfalls über
Stahllagekorrekturen auf den Ausgangswert verbessert.
60

normierte Photospannung PD +
0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
Aufbau 1
-0.02 0 0.02
Zeit [s]
0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
5.3 ” Power-Recycling“
Aufbau 2
-0.0002
-0.02 0 0.02
Zeit [s]
Abbildung 5.12: Normierte Photospannung am dunklen Ausgang über der Detektonszeit.
Dargestellt ist das Dunkelrauschen der Photodiode (rot), die Intensitätsminima
bei Verstimmung des Michelson-Interferometers (blau) und die auf
dunklen Ausgang stabilisierte Intensität (grün). links: der erste Aufbau mit einem
Kontrast von C = 0,99937 rechts: der zweite Aufbau mit geringerem Kontrast von
C = 0,99887.
5.3 ” Power-Recycling“
In diesem Abschnitt wird die experimentelle Realisierung von ” Power-Recycling
“ für ein Interferometer mit diffraktivem Strahlteiler vorgestellt. Dieser
Aufbau wurde weiterhin benutzt, um den Gitterstrahlteiler als Teil eines Resonators
auf seine optischen Gesamtverluste zu untersuchen. Eine Übersicht
des um den Einkoppelspiegel Mp erweiterten Aufbaus zeigt Abbildung 5.13.
Eine Voraussetzung für das Experiment ist die Regelung des Michelson-
Interferometers mit ” Power-Recycling“. Der dazugehörige Regelkreis ist in
Abbildung 5.13 skizziert und wird als erstes beschrieben. Anschließend wird
gezeigt wie die Spiegelposition des Einkoppelspiegels Mp optimiert wurde,
um Verluste in den dunklen Ausgang zu minimieren. Die Messung der Finesse
und die Bestimmung der Gitterverluste schließen das Kapitel ab.
Da ein sehr hoher Kontrast des Interferometers erzielt wurde, war es sinn-
61

5 Experiment
PD +
Servo
BS +
HV
M 0
Mischer
GS
M p
213 kHz
M 1
EOM
PD t
f marker
S
PD p
10 MHz
λ/2
PD -
λ/2
PBS
Abbildung 5.13: Aufbau des Michelson-Interferometers mit ” Power-Recycling“
und den Regelkreisen für die interne Modulation (213kHz) und den ” Power-
Recycling“ Resonator (10MHz). Zudem ist die Erzeugung von Frequenzmarkern
schematisch dargestellt. Über den EOM werden Seitenbänder auf das Laserlicht
moduliert. In Reflexion von dem ” Power-Recycling“ Resonator werden sie mit PD−
detektiert und anschließend demoduliert.
voll alle weiteren Komponenten an den vorhandenen Aufbau anzupassen.
Der Einkoppelspiegel für den ” Power-Recycling“ Resonator (PR-Resonator)
wurde mit einem Ringpiezo montiert. Die Halterung (Thorlabs: K6X) wurde
so gewählt, dass neben der Verkippung des Spiegels auch eine horizontale
und vertikale Verschiebung möglich war. Dadurch ließ sich die Lage des
Spiegels auf den Eingangsstrahl justieren. In Abbildung 5.14 ist ein freier
Spektralbereich gezeigt, bei manuell auf dunklem Ausgang gehaltenen
Michelson-Interferometer. Neben der Grundmode des Resonators ist noch
eine vertikale TEM02-Mode im Spektrum zu sehen, die sich allein über den
Einkoppelspiegel Mp nicht wegjustieren ließ.
5.3.1 Längenregelung des ” Power-Recycling“ Resonators
Das Stellsignal für die Regelung des PR-Resonators wurde mit dem Pound-
Drever-Hall Verfahren gewonnen. Dazu wurden die 10 MHz Seitenbänder aus
der Transmission des Modenfilters benutzt. Diese konnten in Reflexion am
62
mc

normierte Photospannung [V]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.001 0 0.001
Zeit [s]
5.3 ” Power-Recycling“
Abbildung 5.14: Freier Spektralbereich des ” Power-Recycling“ Resonators, gemessen
hinter einem Endspiegel. Das Michelson-Interferometer wurde manuell auf
dunklem Ausgang gehalten. Neben der Fundamentalmode ist noch eine TEM02 im
Spektrum zu sehen, die allein über den Einkoppelspiegel nicht wegjustiert werden
konnte.
PR-Resonator mit einer bei 10 MHz resonanten Photodiode PDp detektiert
werden.
Ein praktisches Problem besteht darin, dass die Regelung von Michelson-Interferometer
und PR-Resonator nicht unabhängig voneinander sind.
Ist der PR-Resonator nicht auf Resonanz, gelangt nur wenig Licht in das
Interferometer, wodurch die Regelsignale im Ausgang des Interferometers
entsprechend klein sind. Umgekehrt hängt die Regelung des Resonators von
Verlusten in den dunklen Ausgang ab. In diesem Experiment wurde deshalb
das Michelson-Interferometer zunächst manuell auf dem Intensitätsminimum
gehalten und die Regelung des Resonators eingeschaltet. Danach konnte
das Interferometer ebenfalls stabilisiert werden. Die Regelkreisverstärkungen
wurden gegebenfalls über ihren jeweiligen Proportionalanteil angepasst.
Die Regelung des Resonators funktionierte ebenfalls noch, wenn das Interferometer
um seinen Arbeitspunkt verstimmt wurde. Abbildung 5.15 zeigt
die gemessenen Intensitäten hinter einem Endspiegel (PDt) und im dunklen
Ausgang (PD+). Das Fehlersignal für die Regelung des Interferometers ist
ebenfalls dargestellt.
63
PD t

5 Experiment
Spannung [V]
3
2
1
0
-1
-2
-3
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
Zeit [s]
PD +
demod. PD +
PD t
Rampe
Abbildung 5.15: Durchstimmung des Michelson-Interferometers während der
” Power-Recycling“ Resonator auf Resonanz geregelt wurde. Dargestellt sind normierte
Leistungen im dunklen Ausgang PD+, in Transmission eines Endspiegels
PD− und das Fehlersignal (demod. PD+) für die interne Modulation.
5.3.2 Position des ” Power-Recycling“ Spiegels
Im oben beschriebenen Aufbau des Interferometers wurde durch die Anpassung
von Eingangsstrahl und Interferometer aufeinander ein hoher Kontrast
erreicht. Theoretisch entspricht dies einer konfokalen Anordnung, die
den Strahl exakt in sich zurück abbildet. Jede Abweichung des Strahls bei
feststehendem Aufbau führt zu einem schlechteren Kontrast. Aus diesem
Grund muss der Einkoppelspiegel vor dem Interferometer ebenfalls konfokal
für diese Mode sein, so dass Resonatormode und Interferometermode
identisch sind.
In Kapitel 3 wurde der Einfluss des Kontrasts auf ein Michelson-Interferometer
mit ” Power-Recycling“ diskutiert. Die Resultate können verwendet
werden, um die optimale Position des Einkoppelspiegels zu finden. Ein hoher
Kontrast bedeutet eine hohe interne Leistung auf Resonanz, die bis auf
einen Faktor in Transmission der Endspiegel gemessen werden kann. Im
dunklen Ausgang sind die Verluste messbar. Wenn der Kontrast besser ist,
misst man bei mehr interner Leistung verhältnismäßig weniger am dunklen
Ausgang.
Das Verhältnis von Verlusten zu Verstärkung wurde für verschiedene
Entfernungen l des Einkoppelspiegels vom Gitter gemessen. An jeder Spiegelposition
wurde zuerst auf maximale Überhöhung justiert, wobei das Michelson-Interferometer
manuell auf dunklen Ausgang gestellt wurde. An-
64

5.3 ” Power-Recycling“
schließend konnte bei geregeltem Gesamtsystem durch leichten Druck auf
die Spiegelhalterungen festgestellt werden, ob das Verhältnis der Photospannungen
U+ zu Ut der Photodioden PD+ bzw. PDt minimal war. Das Ergebnis
dieser Messungen ist in Abbildung 5.16 für beide Aufbauten gezeigt.
Demnach war die Spiegelpositionen für die beste Anpassung an die Mode
norm. Photospannung U + /U t
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Aufbau 1
Aufbau 2
28 30 32 34 36
lpr [cm]
38 40 42 44
Abbildung 5.16: Normiertes Verhältnis der Photospannungen am dunklen Ausgang
(PD+) und in Transmsission eines Endspiegel (PDt) für verschiedene Entfernung
l des ” Power-Recycling“ Spiegels von dem Gitterstrahlteiler für zwei unterschiedliche
Aufbauten. Die geringsten Verluste in den dunklen Ausgang werden bei
minimalen Verhältnis erreicht.
des Interferometers im ersten Aufbau bei 0,341 m. Die Abweichung von dem
Designwert 0,299 m ist konsistent damit, dass eine Armlänge von 0,566 m
statt 0,58 m realisiert wurde, was in Abbildung B.2 zu sehen ist. Ähnliches
gilt für den zweiten Aufbau, bei dem statt einer Armlänge von 0,55 m
0,538 m aufgebaut wurde. Der Unterschied in der Position des Einkoppelspiegels
von den geplanten 0,315 m zu den gemessenen 0,398 m ist ebenfalls
konsistent mit den berechneten Werten, die in Abblidung B.4 gezeigt sind.
5.3.3 Bestimmung der Finesse
Es werden zwei Methoden zur Bestimmung der Finesse erläutert und die
Ergebnisse vorgestellt. Im darauf folgenden Abschnitt werden die Ergebnisse
verwendet, um die Verluste des Gitters zu bestimmen.
65

5 Experiment
Kalibration des Piezos
Um die Länge des Resonators mikroskopisch zu verändern, ist der Einkoppelspiegel
auf einem Ringpiezo befestigt, der mit einer Dreiecksspannung angesteuert
wird. Da die Spannungs-Ausdehnung-Kennlinie eines Piezos nicht
linear ist, werden als Resultat die Abstände der Transmissionmaxima sowie
die Breite der Resonanzen mit steigender Spannung verzerrt. Dies muss
bei Bestimmung der Finesse, die das Verhältnis beider ist, beachtet werden.
Neben der Nichtlinearität weist die Kennlinie eine Hysterese auf und
ist zudem abhängig von der angelegten Offsetspannung und Frequenz. Um
diese Effekte zu berücksichtigen kann der Piezo für verschiedene Arbeitspunkte
kalibriert werden, so dass aus der angelegten Rampenspannung auf
die Längenänderung geschlossen werden kann [40].
Eine andere Kalibration, die unabhängig von einzelnen Arbeitspunkten
ist, wurde für den ersten Aufbau durchgeführt. Dafür wurden mit einer
Rampenflanke mehrere freie Spektralbereiche aufgenommen. Das Michelson-
Interferometer wurde auf den dunklen Ausgang eingestellt, was am Photodiodensignal
PD+ kontrolliert wurde, und sich über Zeiträume von wenigen
Sekunden als genügend stabil erwies. Der Verlauf der Rampenspannung und
die transmittierte Intensität, die hinter einem Endspiegel detektiert wurde,
sind in Abbildung 5.17 gezeigt. Die Intensitätsmaxima benachbarter TEM00-
normierte Spannung [V]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0
Zeit [s]
PD t
Rampe
Abbildung 5.17: Aufnahme von fünf freien Spektralbereichen des PR-Resonators.
Dargestellt sind die gemessene Leistung in Transmission eines Endspiegels (PDt)
und die Rampenspannung am Piezo. Die unterschiedlichen Abstände der Resonanzen
sind auf die Nichtlinearität des Piezos zurückzuführen.
Moden markieren Punkte die genau einen freien Spektralbereich (FSR) aus-
66

5.3 ” Power-Recycling“
einanderliegen. Aus diesen wird eine Kalibrationsfunktion νFSR(Upz) gebildet,
die die angelegte Spannung in Frequenzen umrechnet.
Die Daten wurden mit einem Oszilloskop von Agilent aufgenommen und
über einen Rechner mit entsprechender Software ausgelesen. Auf diese Weise
wurden mehrere freie Spektralbereiche mit einer Auflösung von einer Million
Datenpunkte aufgenommen. In Abbildung 5.18 ist oben dargestellt, wie sich
die Spannungsdifferenz ∆U benachbarter Transmissionsmaxima für aufeinanderfolgende
freie Spektralbereiche unterscheidet. In diesem Bild entspricht
ein lineares Piezoverhalten einer horizontalen Linie. Das untere Bild zeigt die
∆ U [willk. Einheiten]
ν [FSR]
8
6
4
2
0
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0 1 2 3 4 5 6
FSR
Messung
1.Ordnung
2.Ordnung
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Upiezo [willk. Einheiten]
Abbildung 5.18: Das obere Bild zeigt die Spannungsdifferenz ∆U benachbarter
Transmissionsmaxima für fünf freie Spektralbereiche des ” Power-Recycling“ Resonators.
Unten sind Kalibrationspolynome 1. und 2. Ordnung für den Piezo dargestellt.
Kalibrationsfunktion ν(Upiezo) für Polynome 1. und 2. Ordnung. Mit einem
Polynom 3. Ordnung wurde keine sichtbare Verbesserung erzielt. Die Daten
aus zehn Messungen mit je fünf freien Spektralbereichen wurden kalibriert
und ergaben für den Aufbau mit Gitter G1 eine Finesse von
F = ∆νFSR
∆νFWHM
= 1,0019 ± 0,097
= 103,2 ± 5,2, (5.10)
0,0097 ± 0,0004
67

5 Experiment
wobei die Standardabweichungen der Messwerte angeben sind. Die Höhe der
Standardabweichung wird durch die Messung der Linienbreite dominiert,
was auf die Anzahl der Messwerte zurückgeführt werden kann. Ein weiterer
Grund für die Streuung der Messwerte könnte eine leichte Dejustage durch
die Ausdehnung des Piezokristalls sein, weshalb im zweiten Aufbau diese
Methode nicht weiter verfolgt wurde.
Frequenzmarker
Die Finesse eines Resonators setzt sich zusammen aus der Linienbreite und
dem freien Spektralbereich. Bei der vorherigen Methode wurden diese Größen
aus einer Messung zueinander in Bezug gesetzt. Dabei wurde insbesondere
die Bestimmung der Bandbreite durch die Auflösung limitiert. Alternativ
können beide Größen unabhängig voneinander bestimmt werden. Nach
(3.48) ist der freie Spektralbereich durch die Resonatorlänge festgelegt. Die
Linienbreite eines Resonators lässt sich mit Hilfe von Frequenzmarkern vermessen.
Dazu werden dem Laserlicht durch eine Phasenmodulation der Frequenz
Ω Seitenbänder vor dem Resonator aufgeprägt. Analog zum Pound-
Drever-Hall Verfahren wird das vom Resonator reflektierte Licht detektiert
und über einen Mischer bei der gleichen Frequenz demoduliert. Bei richtiger
Einstellung der Demodulationsphase zeigt das Ausgangssignal ein Maximum
und ein Minumum bei den Frequenzen ±Ω, die symmetrisch um die Resonanz
liegen. Der Abstand dieser Frequenzen wird benutzt, um die Achse
der Resonatorverstimmung zu kalibrieren. Wenn die Frequenzmarker nahe
der Resonanz gesetzt werden, kann die oben beschriebene Nichtlinearität
des Piezos vernachlässigt werden und man erhält eine gute Auflösung der
Datenpunkte.
Im Experiment wurden die Seitenbänder über einen breitbandigen EOM
erzeugt, der nachträglich zwischen die Linsen zur Modenanpassung gestellt
wurde. Dadurch war zuvor eine optimale Justage von Michelson-Interferometer
und Einkoppelspiegel an einem ungestörten Strahl möglich. Durch den
Einbau des EOM verschlechterte sich zwar die einfallende Mode auf das
Interferometer, da aber der Resonator den Strahl räumlich filtert, wurde
effektiv nur eine geringere Leistung eingekoppelt.
Für die Modulation des EOM wurde ein Frequenzgenarator (Stanford)
benutzt. Ein zweiter gleicher Bauart wurde phasenestarr gekoppelt und als
Lokaloszillator für die Demodulation eingesetzt. Die Phasenanpassung konnte
dann über einen der Frequenzgeneratoren erfolgen. Die Signale wurden
in Reflexion des Einkoppelspiegels an PD− detektiert und über einen Mischer
demoduliert. Die Phase wurde so eingestellt, dass das demodulierte
Signal einen flachen Verlauf auf Resonanz zeigte. Dies ist in Abbildung 5.19
für den Aufbau mit Gitter G1 oben und den Aufbau mit Gitter G2 unten
gezeigt, wobei eine Modulationsfrequenz von fmod = 8 ± 0,08 MHz verwendet
wurde. Der Fehler der Markerposition resultiert aus der Einstellung der
68

5.3 ” Power-Recycling“
Demodulationsphase und wurde aus simulierten Fehlersignalen abgeleitet.
normierte Photospannung
normierte Photospannung
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1.Aufbau
PD t
dem. PD -
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01
2.Aufbau
-0.0002 -0.0001 0 0.0001 0.0002
Zeit [s]
PD t
dem. PD -
Abbildung 5.19: Dargestellt sind 8MHz Frequenzmarker (grün) für die Bestimmung
der Linienbreite der Resonanz (rot) des ” Power-Recycling“ Resonators. oben:
Messung zum Aufbau mit Gitter G1a, unten: Messung zum Aufbau mit Gitter G2
Für die Bestimmung der Linienbreite ∆ν wurden mindestens 20 Aufnahmen
ausgewertet und ergaben
∆ν1 = (1,63 ± 0,10)MHz (5.11)
∆ν2 = (1,41 ± 0,02)MHz (5.12)
für ersten bzw. zweiten Aufbau, wobei die Standardabweichungen angegeben
sind. Die deutlich kleineren Schwankungen beim zweiten Aufbau sind auf
gewonnene Erfahrungen mit dem Experiment zurückzuführen. Insbesondere
wurde darauf geachtet, dass die Spannungen an den Piezos von Endspiegel
und Einkoppelspiegel optimal gewählt wurden.
Die Länge der Interferometerarme L0 und L1 und der Abstand von Gitter
zu Einkoppelspiegel lp wurde für jeden Aufbau von mehreren Personen
gemessen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 5.3 zusammengefasst, wobei die
Resonatorlänge mit lres = lp + L = lp + (L0 + L1)/2 berechnet wurde. Die
69

5 Experiment
Aufbau L0[m] L1[m] L[m] lp[m] lres[m]
Gitter1 0,566 0,565 0,566 0,341 0,906 ± 0,004
Gitter2 0,537 0,538 0,538 0,398 0,936 ± 0,004
Tabelle 5.3: Gemessene Armlängen L0, L1, gemittelte Armlänge L, Abstand von
Einkoppelspiegel zu Strahlteier lp und Resonatorlänge des ” Power-Recycling“ Resonators
lres.
Messungenauigkeit betrug dabei ±2 mm pro Längenmessung. Aus den angegebenen
Werten berechnet sich die Finesse F gemäß (3.50) zu
F1 = 101,4 ± 6,6 (5.13)
F2 = 113,8 ± 2,0. (5.14)
Die unterschiedlich hohen Standardabweichungen wurden oben begründet.
Vor der jeweiligen Messung der Linienbreite wurden die Verluste in den
dunklen Ausgang am justierten Aufbau gemessen. Diese wurden für die Bestimmung
der Verluste des Gitterstrahlteilers gebraucht. Dafür wurden bei
stabilisiertem Gesamtsystem die Leistungen hinter den Endspiegeln M0, M1
und nach dem Strahlteiler BS+ im dunklen Ausgang mit einem Leistungsmessgerät
bestimmt. Aus der gemessenen Leistung hinter einem Endspiegel
bekannter Transmissivität konnte auf die Leistung im jeweiligen Arm
geschlossen werden. Aus dieser wurde dann, über das Teilungsverhältnis
des Gitterstrahlteilers, die interne Gesamtleistung des Resonators bestimmt.
Aus dem Verhältnis von gemessener Leistung im dunklen Ausgang zu interner
Resonatorleistung ergab sich der Verlustanteil Ac des Resonators durch
einen nicht perfekten Modenüberlapp am Strahlteiler. Die Ergebnisse für
ersten und zweiten Aufbau sind
Ac1 = (232 ± 37)ppm (5.15)
Ac2 = (548 ± 88)ppm (5.16)
und im Bezug zu den oberen Werten der Finesse zu sehen, da sie direkt
nacheinander aufgenommen wurden. Die Verluste ohne ” Power-Recycling “
durch einen nicht perfekten Kontrast (5.8) und (5.9) waren beinahe identisch,
was ein zusätzlicher Anhaltspunkt dafür ist, dass der Einkoppelspiegel
sehr gut positioniert und justiert war. Die experimentellen Ergebnisse dieses
Abschnitts werden zur Bestimmung der Gitterverluste verwendet.
5.3.4 Verluste des Gitterstrahlteilers
In den vorherigen Abschnitten wurde die experimentelle Realisierung eines
Michelson-Interferometers mit ” Power-Recycling “ gezeigt. Der Gitterstrahlteiler
ist in dem Versuch Teil eines Resonators, der sich aus dem Einkoppelspiegel
und dem Interferometer bildet. Die Bestimmung der Gitterverluste
70

5.3 ” Power-Recycling“
kann über die gemessene Finesse erfolgen, wenn die anderen Komponenten
und Verluste gut bekannt sind.
Im verlustfreien Fall kann aus der Finesse F eines Resonators auf das
Produkt der Spiegelreflektivitäten
�
π
�
R = ρ1ρ2 = 2 − cos −
F
�
� �
π
� �2 cos − 2 − 1 (5.17)
F
geschlossen werden, wobei ρ1 die Amplitudenreflektivität des Einkoppelspiegels
und ρ2 die Amplitudenreflektivität des zweiten Spiegels sind. Durch
einen Verlust A bezüglich der Lichtleistung, der dem zweiten Spiegel zugerechnet
werden kann, wird das Produkt (5.17) um den Faktor a = √ 1 − A
kleiner sein, so dass RA = √ 1 − AR gilt und der Verlust aus
A = 1 −
� RA
R
� 2
(5.18)
berechnet werden kann.
Aus den Endspiegeln M0, M1 und dem Einkoppelspiegel Mp wurden in einem
vorherigen Abschnitt Resonatoren aufgebaut, die annähernd die gleiche
Länge hatten wie der ” Power-Recycling “ Resonator. Die gemittelte Finesse
Fref der Resonatoren, die aus den Kombinationen Mp-M0 und Mp-M1 gebildet
wurden, stellt eine ideale Referenz für den Aufbau mit Gitter dar,
weil sowohl die Reflektivitäten der Spiegel als auch Verluste des Aufbaus,
wie Lichtstreuung, in die Messung eingehen. Durch die Interferometeranordnung
werden dann zwei zusätzliche Verluste eingeführt. Dies ist zum einen
der Gesamtverlust des Gitters AG durch Transmission, Überordnungen und
Streulicht, der bestimmt werden soll. Daneben wird ein Verlustanteil Ac
durch eine nicht perfekte Interferenz am Strahlteiler auftreten, der, wie oben
beschrieben, gemessen werden konnte.
Ausgehend vom Referenzwert Rref, der gemäß (5.17) mit der Finesse
Fref bestimmt wurde, berechnen sich die zusätzlichen Gesamtverluste des
Aufbaus mit Gitter zu
� �2 RG
A = 1 − , (5.19)
Rref
mit dem noch zu bestimmenden Wert RG für den jeweils untersuchten
” Power-Recycling“ Resonator. In A sind dann sowohl die Verluste in den
dunklen Ausgang Ac enthalten, als auch der doppelte Gitterverlust 2AG ,
da das Gitter als Strahlteiler zweimal getroffen wird. Der Gesamtverlust des
Gitters berechnet sich demnach zu
A − Ac
AG = . (5.20)
2
Die gemessenen Lininienbreiten ∆ν und freien Spektralbereiche FSR der
untersuchten Resonatoraufbauten sind in Tabelle 5.4 mit der jeweils berechneten
Finesse F zusammengestellt.
71

5 Experiment
Aufbau ∆ν[MHz] FSR[GHz] F
Ref. 1,39 ± 0,03 0,167 ± 0,003 119,7 ± 2,7
G1a 1,63 ± 0,10 0,165 ± 0,006 101,4 ± 6,6
G2 1,41 ± 0,02 0,160 ± 0,006 113,8 ± 2,0
Tabelle 5.4: Gemessene Werte der Linienbreite ∆ν, Resonatorlänge L und die
daraus berechnete Finesse von drei Experimenten. Die Referenz wurde aus Fabry-
Perot-Resonatoren mit den Spiegelkombinationen Mp-M0 und Mp-M1 gemittelt.
Bei den Experimenten mit den Gittern G1a und G2 handelt es sich um Michelson-
Interferometer mit ” Power-Recycling“, wobei die gleichen Spiegel M0 und M1 als
Endspiegel und Mp als Resonatoreinkoppelspiegel verwendet wurden.
Die Gesamtverluste des ersten Aufbaus wurden, wie oben beschrieben,
zu A1 = (0,94 ± 0,41)% berechnet. Für den zweiten Aufbau ergab sich
A2 = (0,27 ± 0,16)%. Die Fehler wurden über eine Fehlerfortpflanzung und
anschließender Bildung des quadratischen Mittelwerts (qmw) bestimmt, wobei
die Messabweichungen von ∆ν, L, fmarker und der Referenz eingegangen
sind. Dafür wurde jeder Fehler einzeln in den entsprechenden Fehler des Verlusts
umgerechnet. Diese Projektion der Einzelfehler ist in in Tabelle 5.5 für
beide Gitterexperimente zusammengefasst Die Gesamtverluste des Gitters
Aufbau 1 Aufbau 2
Größe Fehler Ai Fehler Ai
L ±4 mm ±225 ppm ±4 mm ±205 ppm
∆ν ±6,1% ±3850 ppm ±1,4% ±780 ppm
fmarker ±80 kHz ±620 ppm ±80 kHz ±550 ppm
Referenz - ±1230 ppm - ±1230 ppm
qmw ±0,41 % ±0,16 %
Tabelle 5.5: Analyse der Messfehler bei der Verlustbestimmung von Aufbau 1 mit
Gitter G1a und Aufbau 2 mit G2. Dargestellt sind die Fehler der Einzelmessungen
für Armlänge L, Linienbreite ∆ν, Position der Frequenzmarker fmod und durch den
Referenzresonator. Durch Fehlerfortpflanzung wurden sie einzeln auf den Fehler
für den Verlust Ai projiziert. Der Gesamtfehler bei der Verlustbestimmung ist als
quadratischer Mittelwert qmw angegeben.
durch Streuung, Absorbtion, Transmission und Überordnungen erhält man
nach Abzug der Verluste in den dunklen Ausgang (5.15, 5.16) gemäß (5.20)
zu
AG1a = (0,46 ± 0,21)% (5.21)
AG2 = (0,11 ± 0,08)%. (5.22)
Die Genauigkeit der Messung wurde durch die Fehler bei der Linienbreiten-
72

5.3 ” Power-Recycling“
bestimmung dominiert, was unter anderem auf mechanische und akustische
Störungen zurückzuführen ist, da das Experiment an Luft aufgebaut wurde
und immerhin eine Resonatorlänge von ≈ 0,9 m hatte, wodurch sich Störungen
über die Entfernung stärker auswirken, als bei einem kleineren Aufbau.
Zudem wurde das Interferometer nicht aktiv stabilisiert, sondern manuell
auf dunklen Ausgang eingestellt. Dies erwies sich zwar als recht stabil, da
Lufströmungen durch Abdeckungen reduziert wurden, ist aber sicher nicht
optimal. Eine noch offene Option ist die Verwendung eines Einkoppelspiegels
höherer Reflektivität, so dass die Verluste des Gitters dominierend werden.
Zusätzlich muss dann versucht werden, die Störungen auf das System weiter
zu verringern.
73

5 Experiment
74

KAPITEL 6
Zusammenfassung
Für zukünftige Generationen hochpräziser Laserinterferometer zur Gravitationswellendetektion,
die durch thermische Effekte limitiert sein werden,
bieten rein-reflektive Topologien auf Basis von Reflexionsgittern einen vielversprechenden
Ansatz zur Steigerung der Empfindlichkeit. Dafür sollten
diffraktive Optiken eine vergleichbar hohe Qualität und geringe Verluste wie
die konventionell verwendeten Optiken aufweisen. Dielektrische Reflexionsgitter
könnten diese Anforderungen erfüllen. Die Entwicklung und Herstellung
der verwendeten Gitter ist Gegenstand aktueller Forschung und ist von
unserem Projektpartner dem IAP in Jena durchgeführt worden.
Zusammenfassung der Arbeit
Gegenstand dieser Arbeit war die Untersuchung eines speziell angefertigten
dielektrischen Reflexionsgitters als zentraler 50/50-Strahlteiler in einer Interferometeranordnung.
Dafür wurde erstmalig ein Design für ein Michelson-
Interferometer mit ” Power-Recycling“ auf Basis eines strahlteilenden Reflexionsgitters
entwickelt und experimentell realisiert. Mit diesem Aufbau war
es möglich die optischen Gesamtverluste der Gitter zu bestimmen, wobei
insbesondere das Streulicht mit erfasst wird.
Es wurde zunächst erläutert, dass die rein-reflektive Topologie eines
Michelson-Interferometers zwei unterschiedliche Strahlprofile in den Armen
bedingt. Trotz der Beschränkung auf sphärische Spiegel konnte gezeigt werden,
dass ein perfekter Kontrast des Interferometers möglich ist, wenn der
einfallende Strahl an das Interferometer angepasst wird. Das Design war

6 Zusammenfassung
weiterhin darauf ausgelegt die Leistungsüberhöhung im Interferometer durch
” Power-Recycling“ zu ermöglichen, um über die Finesse des ” Power-Recycling“
Resonators auf die Gesamtverluste des Gitters zu schließen.
Die experimentellen Ergebnisse von zwei nacheinander durchgeführten
Aufbauten mit unterschiedlichen Gittern, bestätigten das gefundene Design
und die Vorgehensweise. Es konnte ein hoher Interferometerkontrast von
0,99936 im ersten und 0,99887 im zweiten Aufbau erreicht werden. Der Einfluss
der Position des Einkoppelspiegels auf die Verluste in den dunklen
Ausgang war ebenfalls konsistent mit den Überlegungen, dass das Interferometer
eine Mode für den Eingangsstrahl festlegt. Die gemessenen Gitterverluste
von (0,46±0,21)% für ein Testgitter und ein bisher unerreicht niedriger
Verlust von (0,11 ±0,08)% für ein optimiertes Gitter zeigen die Fortschritte
auf dem Gebiet der Herstellung und Design von diffraktiven Komponenten.
Die Messergebnisse zeigen ebenfalls, dass die vorgestellte Methode zur
Messung der Gesamtverluste eines Gitterstrahlteilers geeignet ist.
Ausblick
Im Vergleich mit früheren Arbeiten zeigt sich eine stetige Verbesserung der
Qualität diffraktiver Komponenten, die noch viel Potential beinhaltet. Das
Streulicht stellt den wohl dominierenden Verlustanteil dar und könnte zum
Beispiel durch überbeschichtete Strukturen reduziert werden. Ein weiterer
Ansatz stellen neue Herstellungsverfahren dar. Derzeit wird am IAP in Jena
eine neue Belichtungsanlage (SB350 OS) in Betrieb genommen, mit der
die Qualität der Komponenten sicher weiter verbessert werden kann. Ebenso
muss untersucht werden, in welcher Größe und mit welchen Materialien
Beugungsgitter herstellbar sind, um die Anforderungen von großen Laserinterferometern
zu erfüllen.
Es kann weiterhin untersucht werden inwieweit die vorgestellte Messmethode
verfeinert werden kann, um Gitter mit weit weniger Verlusten zu charakterisieren.
Eine andere Möglichkeit ist die vorgestellte Topologie, um weitere
Interferometertechniken wie ” Signal-Recycling“zu erweitern.
Die Skalierung auf größere Aufbauten kann Aufschluss darüber bringen,
wie die dispersiven und diffraktiven Eigenschaften der Gitter in hochpräzisen
Interferometern kontrolliert werden können.
76

ANHANG A
Gauß Strahlen
Die experimentell gewonnenen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik
für das elektrische und das magnetische Feld entkoppeln im ladungs- und
stromfreien Vakuum zur Wellengleichung für das elektrische Feld E (und
analog für das magnetische Feld B) gegeben durch
∆E(r,t) − 1
c2 ∂2 ∂t2E(r,t) = 0, (A.1)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Ein allgemeiner Ansatz für das elektrische
Feld mit den Bezeichnungen für komplexe Amplitude α, optische
Frequenz ν und der Polarisation P als Einheitsvektor lautet
� � i2πνt
E(r,t) = E0 α(r,t)e + c.c. P. (A.2)
Wird nur eine Polarisation betrachtet, erhält man für die zeitunabhängige
Amplitude α(r) die skalare Differentialgleichung
wobei k = 2π
λ
∆α(r) + k 2 α(r) = 0, (A.3)
die Wellenzahl zur Wellenlänge λ = c
ν ist.
Näherung für ebene Wellen
Transversal zur Ausbreitungsrichtung (z-Richtung) verschwinden bei ebenen,
unendlich ausgedehnten Wellen die zweiten Ableitungen, so dass sich
die skalare Wellengleichung in kartesischen Koordinaten zu
∂ 2 α
∂z 2 + k2 α = 0 (A.4)

A Gauß Strahlen
vereinfacht. Eine mögliche Lösung sind die periodischen, ebenen Wellen
mit konstanter Amplitude α0.
Paraxiale Näherung
α(z) = α0e −ikz
(A.5)
Die paraxiale Näherung geht von einer in z-Richtung propagierenden Welle
aus, deren Amplitudenverteilung sich auf Grund von z. B. Beugungs- und
Streueffekten verändert. Die Amplituden- und Phasenänderungen transversal
zur Ausbreitungsrichtung sind deshalb von der zurückgelegten Distanz
abhängig. Diese Forderungen lassen sich zusammenfassen in
α(x,y,z) = u(x,y,z)e −ikz . (A.6)
Eingesetzt in die skalare Wellengleichung (A.3) führt dieser Ansatz auf
∂ 2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y2 + ∂2u − 2ik∂u = 0. (A.7)
∂z2 ∂z
Unter der Annahme, dass nur langsame Veränderungen in Ausbreitungsrichtung
stattfinden kann die zweite Differentiation nach z vernachlässigt
werden: �
��� ∂2u ∂z2 �
�
�
� ≪
�
�
�
�2k∂u �
�
�
∂z � ,
�
�
�
∂
�
2u ∂x2 �
�
�
� ,
�
�
�
∂
�
2u ∂y2 �
�
�
� . (A.8)
Mit dieser sogenannten paraxialen Näherung vereinfacht sich die exakte Wellengleichung
(A.7) zu
∂2u ∂x2 + ∂2u − 2ik∂u = 0. (A.9)
∂y2 ∂z
Ein Ansatz, der die Strahlprofile in den zwei Raumdimensionen senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung unterscheidet, lautet mit den noch unbekannten
Funktionen A(z), qx(z) und qy(z)
x2 y2
−ik
u(x,y,z) = A(z)e qx(z)e
−ik qy(z) . (A.10)
Einsetzen von (A.10) in (A.7) führt auf folgende Differentialgleichung
0 =
�
k
q2 �2 � �
dqx
− 1 x
x(z) dz 2 �
k
+
q2 �2 � �
dqy
− 1 y
y(z) dz 2
(A.11)
�
1
−ik +
qx
1
�
qy
�
�
1 2 dA
1 +
. (A.12)
A(z) dz
1 1 + qy qy
78

Damit Lösungen für alle x und y existieren, müssen folgende Gleichungen
separat gelöst werden
dqx
dz
dqy
dz
dA
dz
Die dazugehörigen Lösungen lauten
= 1, (A.13)
= 1, (A.14)
�
1
= −A(z) +
2 qx
1
�
.
qy
(A.15)
qx(z) = z + q0x, (A.16)
qy(z) = z + q0y, (A.17)
A(z) =
A0
√ . (A.18)
qxqy
Die Lösung der Wellengleichung in paraxialer Nähererung mit dem Ansatz
(A.10) lautet demnach
A0
u(x,y,z) = �
(z + q0x)(z + q0y) e−ik
x 2
y
−ik
(z+q0x ) e 2
(z+q0y ) (A.19)
und wird als Fundamentalmode oder TEM00-Mode bezeichnet. Durch die
Zerlegung des Strahlparameters in Real- und Imaginärteil gemäß
q(z) = z − z0 + izR
(A.20)
und der Rayleigh-Länge zR = πw2 0
λ lässt sich die gefundene Lösung leichter
interpretieren, wobei im folgenden qx(z) = qy(z) angenommen wird und
r 2 = x 2 + y 2 gilt. Die Strahlparameter in den Argumenten der Exponentialfunktionen
aus (A.19) lassen sich dann umschreiben zu
1 1 1
= − i2 , (A.21)
q(z) R(z) k w(z)
wobei w(z) den Radius des Strahls und R(z) den Krümmungsradius der
Wellenfront darstellen:
� � � �
2
z − z0
1 + , (A.22)
w 2 (z) = w 2 0
R(z) = z
�
1 +
� zR
zR
z − z0
� 2 �
. (A.23)
Der Radius ist damit definiert durch den Abstand von der Strahlachse in
dem die Amplitude auf 1/e abgefallen ist. Der minimale Strahlradius der
79

A Gauß Strahlen
Größe w0 liegt bei z = z0 und wird Strahltaille genannt. Die normierte
Lösung lautet dann
�
2 1 q0
kr2
u(x,y,z) = e−i2q(z). (A.24)
π q(z)
w0
Eine übliche Umformung des Vorfaktors führt auf
u(x,y,z) =
� 2
π
wobei die longitudinale oder Gouy-Phase durch
� �
z
φL = arctan
1 r2
e− w
w(z) 2 (z)e −i
�
kr
2
2R(z) −arctan
� ��
z
zR , (A.25)
zR
gegeben ist und die transversale Phase durch
(A.26)
φT = kr2
. (A.27)
2R(z)
Die Gouy-Phase hat unter anderem zur Folge, dass höhere Moden, die in [23]
besprochen werden, in Resonatoren fester Länge nicht gleichzeitig resonant
sind.
A.1 Transformation Gaußscher Strahlen
In Kapitel 4 wurde der ABCD-Matrixformalismus für die Transformation
Gaußscher Strahlen erläutert und angewendet. Die Matrizen, die den Berechnungen
zu Grunde liegen, werden hier aufgeführt und die Notation kurz
wiederholt.
Ein paraxiales otisches Element führt einen Gaußschen Strahl mit Strahlparameter
q1 wieder in einen Gaußschen Strahl mit einem neuen Strahlparameter
q2 über. Die Transformation wird durch eine Koeffizientenmatrix
� �
A B
M =
(A.28)
C D
geleistet und ist durch
q2 = Aq1 + B
Cq1 + D
(A.29)
definiert. Die ABCD-Matrizen sind die gleichen, wie in der Strahlenoptik,
das heißt ein Gaußscher Strahl transformiert sich durch ein paraxiales optisches
System nach der selben Regel wie der Krümmungsradius einer Kugelwelle
in geometrischer Optik [23].
Zwei einfache Beispiele sind die Propagation des Lichts durch ein homogenes
Medium der Länge L und eine Linse, die nützlich für die Berechnung von
Modenanpassungen sind.
80

A.1 Transformation Gaußscher Strahlen
• Propagation durch ein homogenes Medium der Länge L:
ML =
� 1 L
0 1
• Durchgang durch eine dünne Linse mit Brennweite f:
Mf =
� 1 0
− 1
f 1
�
. (A.30)
�
. (A.31)
Die Reflexion und Brechung an sphärischen Oberflächen wird in saggitale
und tangentiale Ebene unterschieden [28]. Trifft das Licht unter einem
Winkel auf eine gewölbte Oberfläche führt die Projektion auf einen effektiven
Krümmungsradius. In Transmission durch eine Oberfläche wird dann
gemäß dem Snelliusschen Gesetz die Brechung berücksichtigt. In [29] wird
der Formalismus auf die strahlverformende Eigenschaft eines Beugungsgitters
erweitert. Im Folgenden werden die Abbildungsmatrizen durch einen
Index (s) saggital oder (t) tangential gekennzeichnet.
• Die Reflexion an einem Spiegel mit Krümmungsradius R mit Einfallswinkel
Θ wird durch folgende Matrizen beschrieben
M t � �
R =
, (A.32)
M s R =
�
1 0
− 2
R cos(Θ) 1
1 0
1
− 2cos(Θ)
R
�
, (A.33)
wobei R < 0 für konvexe und R > 0 für konkave Wölbung gilt.
• Die Transmission durch eine Oberfläche mit Krümmungsradius R, Einfallswinkel
Θ1 und Beugungswinkel Θ2 wird beschrieben durch
M t �
�
cos(Θ2)
cos(Θ1) 0
T =
(A.34)
=
⎛
⎜
⎝
M s T =
=
n2 cos(Θ2−n1 cos(Θ1))
Rn2 cos(Θ1) cos(Θ2)
√ n 2 r−sin 2 (Θ1)
nr cos(Θ1)
cos(Θ1)− √ n 2 r −sin2 (Θ1)
R cos(Θ1) √ n 2 r −sin2 (Θ1)
�
�
cos(Θ1)
nr cos(Θ2)
0
cos(Θ1)
√ n 2 r −sin 2 (Θ)1
1 0
n2 cos(Θ2)−n1 cos(Θ1)
Rn2
1
nr
1 0
cos(Θ1)− √ n 2 r −sin2 (Θ1)
81
Rnr
1
nr
�
�
⎞
⎟
⎠ (A.35)
(A.36)
, (A.37)

A Gauß Strahlen
wobei nr = n2/n1 abgekürzt wurde. Die Matrizen für Transmission in
tangentialer und saggitaler Ebene sind in zwei Formen angegeben, die
über das Snelliussche Brechungsgesetz n1 sin(Θ1) = n2 sin(Θ2) ineinander
umgerechnet werden können.
• Die ABCD-Matrizen für ein Reflexionsgitter mit Krümmungsradius R,
Einfallswinkel Θ1 und Beugungswinkel Θ2 lauten
M t g =
�
M s g =
cos(Θ2)
cos(Θ1)
− (cos(Θ1)+cos(Θ2))
R cos(Θ1)cos(Θ2)
�
0
cos(Θ1)
cos(Θ2)
1 0
1
− (cos(Θ1)+cos(Θ2))
R
�
, (A.38)
�
. (A.39)
Die Winkel Θ1 und Θ2 sind über die Gittergleichung (2.1) verknüpft. Wenn
Θ1 = Θ2 gilt (Litrrow-Konfiguration), sind die Gittermatrizen mit denen
eines gekrümmten Spiegels identisch.
82

ANHANG B
Interferometerdesign
In dieser Arbeit wurden zwei Michelson-Interferometer mit ” Power-Recycling“
und diffraktivem Strahlteiler designt und experimentell umgesetzt. Dafür
wurden Endspiegel mit einem Krümmungsradius von 0,5 m und ein Einkoppelspiegel
mit Krümmungsradius von 0,6 m verwendet. Der Einfallswinkel
lag im ersten Aufbau mit Gitter G1 bei 34 ◦ und im zweiten Aufbau mit
Gitter G2 bei 29 ◦ . Die daraus berechneten Abstände der Spiegel zum Gitter
sind in TabelleB.1 zusammen mit den experimentell realisierten Werten
aufgelistet.
Ldes[m] Lexp[m] ldes[m] lexp[m]
G1a 0,58 0,566 0,299 0,341
G2 0,55 0,538 0,315 0,398
Tabelle B.1: Übersicht der geplanten und experimentell realisierten Interferometerarmlängen
Ldes bzw. Lexp und Abstände vom Einkoppelspiegel des ” Power-
Recycling“ Resonators zum Gitter ldes bzw. lexp für die Aufbauten mit Gitter G1a
und Gitter G2.
Die folgenden Abbildungen zeigen berechnete Strahlparameter für beide
Aufbauten, basierend auf den oben genannten Parametern. Die Abweichungen
der Größen im experimentellen Aufbau von den Designwerten sind
konsistent mit den gezeigten Berechnungen.

B Interferometerdesign
W 0 [µm]
W end [µm]
l pr [m]
500
400
300
200
100
0
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2000
1500
1000
500
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
s
t
0
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.6
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
L [m]
z 0 [m]
w gr [m]
w t /w s an M 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2000
1500
1000
10
500
8
6
4
2
s
t
0
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
L [m]
Abbildung B.1: Aufbau 1: Darstellung berechneter Strahlparameter über dem
möglichen Bereich der Armlänge L. Dargestellt sind Lage z0 und Größe w0 der
Taille des Eingangsstrahls, die Strahlradien in saggitaler (s) und tangentialer (t)
Ebene auf dem Gitter wgr und auf einem Endspiegel wend, der Abstand von Gitter
zu Einkoppelspiegel l bezüglich des Gitters, und das Verhältnis der Strahlradien in
tangentialer und saggitaler Ebene am Endpiegel wt/ws.
84

W 0 [µm]
W end [µm]
l pr [m]
300
280
260
240
220
200
180
160
450
400
350
300
250
200
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
0.56 0.58 0.6
s
t
0.56 0.58 0.6
0.56 0.58 0.6
L [m]
z 0 [m]
w gr [m]
w t /w s an M 1
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
1000
900
800
700
600
500
400
1.8
1.75
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
0.56 0.58 0.6
s
t
0.56 0.58 0.6
0.56 0.58 0.6
L [m]
Abbildung B.2: Aufbau 1: Darstellung berechneter Strahlparameter um den im
Experiment realisierten Bereich der Armlänge L. Dargestellt sind Lage z0 und
Größe w0 der Taille des Eingangsstrahls, die Strahlradien in saggitaler (s) und
tangentialer (t) Ebene auf dem Gitter wgr und auf einem Endspiegel wend, der Abstand
von Gitter zu Einkoppelspiegel l bezüglich des Gitters, und das Verhältnis
der Strahlradien in tangentialer und saggitaler Ebene am Endpiegel wt/ws.
85

B Interferometerdesign
W 0 [µm]
W end [µm]
l pr [m]
500
400
300
200
100
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
2000
1500
1000
500
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
s
t
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
-0.6
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
L [m]
z 0 [m]
w gr [m]
w t /w s an M 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
2000
1500
1000
10
500
8
6
4
2
s
t
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
0
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
L [m]
Abbildung B.3: Aufbau 2: Darstellung berechneter Strahlparameter über dem
möglichen Bereich der Armlänge L. Dargestellt sind Lage z0 und Größe w0 der
Taille des Eingangsstrahls, die Strahlradien in saggitaler (s) und tangentialer (t)
Ebene auf dem Gitter wgr und auf einem Endspiegel wend, der Abstand von Gitter
zu Einkoppelspiegel l bezüglich des Gitters, und das Verhältnis der Strahlradien in
tangentialer und saggitaler Ebene am Endpiegel wt/ws.
86

W 0 [µm]
W end [µm]
l pr [m]
300
250
200
150
100
0.52 0.54 0.56 0.58
500
450
400
350
300
250
200
150
100
s
t
0.52 0.54 0.56 0.58
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
-0.45
-0.5
0.52 0.54 0.56 0.58
L [m]
z 0 [m]
w gr [m]
w t /w s an M 1
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
1400
1200
1000
800
600
0
0.52 0.54 0.56 0.58
s
t
400
0.52 0.54 0.56 0.58
2.4
2.2
2
1.8
1.6
0.52 0.54 0.56 0.58
L [m]
Abbildung B.4: Aufbau 2: Darstellung berechneter Strahlparameter um den im
Experiment realisierten Bereich der Armlänge L. Dargestellt sind Lage z0 und
Größe w0 der Taille des Eingangsstrahls, die Strahlradien in saggitaler (s) und
tangentialer (t) Ebene auf dem Gitter wgr und auf einem Endspiegel wend, der Abstand
von Gitter zu Einkoppelspiegel l bezüglich des Gitters, und das Verhältnis
der Strahlradien in tangentialer und saggitaler Ebene am Endpiegel wt/ws.
87

B Interferometerdesign
88

Literaturverzeichnis
[1] J.H. Taylor, J.M. Weissberg
A new test of general relativity: gravitational radiation and the binary
pulsar PSR1913+16
Astrophys. J. 253, 908 (1982).
[2] P.R. Saulson
Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detectors
World Scientific, Singapore (1994).
[3] H. Lück, et al.
Status of the GEO600 detector
Class. Quantum. Grav. 23, (2006).
[4] S. Hild, et. al.
Measurement of a low-absorption sample of OH-reduced fused silica
Appl. Opt. 45, No.28 (2006).
[5] W.Winkler, K.Danzmann, A.Rüdiger and R.Schilling
Heating by optical absorption and the performance of interferometric
gravitational-wave detectors
Phys. Rev. A 44, 11 (1991).
[6] R.W.P. Drever
Concepts for Extending the Ultimate Sensitivity of Interferometric
Gravitational Wave Detectors Using Non-Transmissive Optics with
Diffractive or Holographic Coupling
Proceedings of the Seventh Marcel Grossman Meeting on General
Relativity World Scientific, Singapore (1995).
[7] S.Rowan, et. al.
Test Mass Materials for a new generation of gravitational wave de-
89

LITERATURVERZEICHNIS
tectors
Proc. of SPIE 4856, 292 (2003).
[8] O. Burmeister
Fabry-Perot Resonatoren mit diffraktiven Einkopplern
Diplomarbeit, Hannover (2005).
[9] K.-X. Sun, R.L. Byer
All-reflective Michelson, Sagnac, and Fabry-Perot interferometers
based on grating beam splitters
[10] R.D. Boyd, J.A. Britten, D.E. Decker, B.W. Shore, B.C.
Stuart, M.D.Perry, and L. Li
High-efficiency metallic diffraction gratings for laser applications
Appl. Opt. 34, 1697 (1995).
[11] K. Hehl, J. Bischoff, U. Mohaupt, M. Palme, B. Schnabel,
L. Wenke, R. Bödefeld, W. Theobald, E. Welsch, R. Sauerbrey,
H. Heyer
High-efficiency dielectric reflection gratings: design, fabrication, and
analysis
Appl. Opt. 38, 6257 (1999).
[12] C. Palmer
Diffraction Gratings Handbook
Thermo RGL, Rochester (2002).
[13] J. Turunen, F. Wyrowski
Diffractive Optics for industrial and commercial applications
Akademie Verlag, Berlin (1997).
[14] M. Nevière, E. Popov
Light propagation in periodic media
Marcel Dekker, New York (2003).
[15] http://www.gratingsolver
[16] http://www.unigit
[17] http://www.pcgrate
[18] G. Rempe, R.J. Thompson, H.J. Kimble, R. Lalezari
Measurement of ultralow losses in an optica interferometer
Opt. Lett. 17, 363 (1992).
[19] M.D. Perry, R.D. Boyd, J.A. Britten, D. Decker, and B.W.
Shore, C. Shannon and E.Shults
90

LITERATURVERZEICHNIS
High-efficiency multilayer dielectric diffraction gratings
Opt. Lett. 20, 940 (1995).
[20] L. Li, J. Hirsch
All-dielectric high-efficiency reflection gratings made with multilayer
thin-film coatings
Opt. Lett. 20, 1349 (1995).
[21] T. Clausnitzer, E.-B. Kley, A. Tünnermann, A. Bunkowski,
O. Burmeister, K. Danzmann, S. Gliech, A. Duparre
Ultra low-loss low-efficiency diffraction gratings
Opt. Expr. 13, 4370 (2005).
[22] S. Fahr
Gitter für die interferometrische Gravitationswellendetektion
Diplomarbeit, Jena (2006).
[23] A.E. Siegman
Lasers
University Science Books, Sausalito (1986).
[24] J. Mizuno
Comparison of optical configurations for laser-interferometric
gravitational-wave detectors
Dissertation, Hannover (1995).
[25] G. Heinzel
Advanced optical techniques for laser-interferometric gravitationalwave
detectors
Dissertation, Hannover (1999).
[26] H.-A. Bachor, T.C. Ralph
A Guide to Experiments in Quantum Optics
WILEY-VCH Verlag, Weinheim (2004).
[27] D. Schnier, J. Mizuno, G. Heinzel, H. Lück, A. Rüdiger, R.
Schilling, M. Schrempel, W. Winkler, K. Danzmann
Power recycling in the Garching 30 m prototype interferometer for
gravitational-wave detction
Phy. Lett. A 225, 210 (1997).
[28] G.A. Massey, A.E. Siegman
Reflection and Refraction of Gaussian Light Beams at Tilted Ellipsoidal
Surfaces
Appl. Opt. 8, 5 (1969).
91

LITERATURVERZEICHNIS
[29] A.E. Siegman
ABCD-matrix elements for a curved diffraction grating
J. Opt. Soc. Am. A. 2, 10 (1985).
[30] S. Hild
Thermisch durchstimmbares Signal-Recycling für den Gravitationswellendetektor
GEO 600
Diplomarbeit, Hannover (2003).
[31] H. Kogelnik, T. Li
Laser Beams and Resonators
Appl. Opt. 5, 10 (1966).
[32] B. Wilke et al.
Spatial and temporal filtering of a 10-W NdYAG laser with a Fabry-
Perot ring-cavity premode cleaner.
Opt. Lett. 23, 21 (1998)
[33] R.W.P. Drever, J.L. Hall, F.V. Kowalski, J. Hough, G.M.
Ford, A.J. Munley, H. Ward
Laser Phase and Frequency Stabilization using an Optical Resonator
Appl. Phys. B. 31, 97 (1983).
[34] E.D. Black
An introduction to Pound-Drever-Hall laser frequency stabilization
Am. J. Phys. 69, 79 (2001).
[35] H. Vahlbruch
Gequetschtes Licht bei kleinen Seitenbandfrequenzen
Diplomarbeit, Hannover (2004).
[36] G. Heinzel
Resonant Sideband Extraction - Neuartige Interferometrie für Gravitationswellendetektoren
Diplomarbeit, Hannover (1995)
[37] Stephan Fahr
Persönliche Mitteilung.
[38] Patrick Kwee
Persönliche Mitteilung.
[39] http://www.rzg.mpg.de/ adf
[40] P. Kwee
Charakterisierung von Lasersystemen für Gravitationswellendetektoren
Diplomarbeit, Hannover (2005)
92

Danksagung
Zunächst danke ich Prof. Dr. Karsten Danzmann für die Ermöglichung dieser
Arbeit. Besonderer Dank gebührt Jun. Prof. Dr. Roman Schnabel für die
engagierte und lehrreiche Betreuung.
Für die angenehme Arbeitsatmosphäre danke ich allen Institutsmitgliedern.
Alexander Bunkowski und Oliver Burmeister danke ich, dass sie mir über
das letzte Jahr zur Seite gestanden und wesentlich zum Gelingen der Arbeit
beigetragen haben. Danke auch für hilfreiche Korrekturen der Arbeit.
Neben vielen anderen, die mir auf vielfältige Weise geholfen haben, möchte
ich Henning Vahlbruch, Boris Hage, Simon Chelkowski, Alexander Franzen,
Andre Thüring und Stephan Fahr danken.
Frank Seifert danke ich dafür, dass er immer noch eine Minute Zeit gehabt
hat.
Auch auf die Unterstützung derjenigen, die mich während des Studiums
begleitet haben, konnte ich immer zählen. Vielen Dank.
Meinen lieben Eltern möchte ich hiermit ganz besonders danken, dass sie
mich und meine Interessen jederzeit unterstützt haben.
Von ganzem Herzen danke ich Caroline für ihre unschätzbare Unterstützung
und Liebe.