Mathematik Regelheft - Hattendoerfer.de
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<strong>Mathematik</strong><br />
<strong>Regelheft</strong><br />
Teile <strong>de</strong>r Inhalte aus Klasse 5 und 6<br />
Friedrich Hattendorf<br />
Bergstadt-Gymnasium Lü<strong>de</strong>nscheid<br />
2. September 2007
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Diese Seiten enthalten eine (noch nicht vollständige) Zusammenstellung <strong>de</strong>r<br />
- nach meiner Meinung - wichtigsten Inhalte <strong>de</strong>s <strong>Mathematik</strong>unterrichtes <strong>de</strong>r<br />
Klassen 5.und 6<br />
Kritik und Hinweise auf Fehler bitte an friedrich@hattendoerfer.<strong>de</strong><br />
Insbeson<strong>de</strong>re bitte ich auch um Rückmeldungen zu Fehlern und zu fehlenen<br />
Einträgen im In<strong>de</strong>x auf <strong>de</strong>n letzten Seiten<br />
1
Inhaltsverzeichnis<br />
5 Klasse5 5<br />
5.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
5.2 Zahlwörter für große Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
5.3 Run<strong>de</strong>n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
5.4 Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
5.4.1 Geldwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
5.4.2 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
5.4.3 Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
5.4.4 Zeitspannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
5.4.5 Rechnen mit Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
5.5 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
5.6 Ausführbarkeit von Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . 7<br />
5.7 Vorrang-regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
5.8 entgegengesetzte Rechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
5.9 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
5.9.1 Assoziativgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
5.9.2 Kommutativgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
5.9.3 Distributivgesetz für die Multiplikation . . . . . . . . . . 8<br />
5.9.4 Distributivgesetz für die Division . . . . . . . . . . . . . 8<br />
5.9.5 zu beachten! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
5.10 Überschlagsrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5.11 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5.12 Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5.13 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5.13.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5.13.2 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5.14 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
5.14.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
5.14.2 allgemeingültige Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
5.14.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
5.15 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
6 Klasse 6 11<br />
6.1 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
6.1.1 Teiler einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
6.1.2 Teilbarkeit von Summen und Produkten . . . . . . . . . . 11<br />
6.1.3 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
6.1.4 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
6.1.5 gemeinsame Teiler, ggT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
6.1.6 Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV . . . . . . . . . . 14<br />
6.1.7 Die Bestimmung <strong>de</strong>s ggT und <strong>de</strong>s kgV . . . . . . . . . . . 14<br />
6.1.8 Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
6.1.9 Das Sieb <strong>de</strong>s Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
6.1.10 Vielfache und Teile einer Größe . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
6.1.11 Bruchteile und -zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
Bruchteile einer Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
6.1.12 Erweitern und Kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
Kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
Hauptnenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
6.1.13 Anordnung <strong>de</strong>r Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
Bruchzahlen sind dicht angeordnet . . . . . . . . . . . . . 20<br />
6.1.14 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen . . . . . . . . 21<br />
Die Addition von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
Die Subtraktion von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
6.1.15 Vielfache und Teile eines Bruchteil es . . . . . . . . . . . 21<br />
Vielfache eines Bruchteil es . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
Teile eines Bruchteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
Bruchteile eines Bruchteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
6.1.16 MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN . . . . . . . 22<br />
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
ein weiterer wichtiger Hinweis: . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
6.1.17 Exkurs : Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
Permanenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
6.1.18 Division von Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
Umkehrung <strong>de</strong>r Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
eine etwas an<strong>de</strong>re Begründung : . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
Beachte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
6.1.19 Brüche in Dezimalschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
Dezimalschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
Umformen von <strong>de</strong>r Bruch- in die Dezimalschreibweise . . 25<br />
Verschie<strong>de</strong>ne Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
Umwandlungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
6.1.20 Ordnen von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
Ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
Dichte Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
6.1.21 Run<strong>de</strong>n von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
Rundungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
Genauigkeit, gelten<strong>de</strong> Ziffern . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
Regeln für die Anzahl an gelten<strong>de</strong>n Ziffern . . . . . . . . . 27<br />
3
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Technisches Run<strong>de</strong>n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
6.1.22 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen . . . . . 27<br />
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen . . . . . 27<br />
Addieren und Subtrahieren von Größen . . . . . . . . . . 28<br />
Addieren und Subtrahieren gerun<strong>de</strong>ter Dezimalbrüche . . 28<br />
6.1.23 Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen . . . . 28<br />
Multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
6.1.24 Multiplizieren von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Multiplizieren von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . 29<br />
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
6.1.25 gegensinnige Kommaverschiebung . . . . . . . . . . . . . 29<br />
6.1.26 Division von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
6.1.27 Begründung <strong>de</strong>r schriftlichen Division . . . . . . . . . . . 30<br />
6.1.28 Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen . . 30<br />
Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch . 30<br />
6.1.29 Periodische Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
Entstehen <strong>de</strong>r Perio<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
Perio<strong>de</strong>nlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
6.1.30 Brüche und (periodische) Dezimalzahlen . . . . . . . . . . 32<br />
Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) Dezimalzahl<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in<br />
einen Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen<br />
Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
4
Kapitel 5<br />
Klasse5<br />
5.1 Zahlen<br />
Wir nennen die Zahlen 0,1,2,3,... (d.h. die Zahlen, die wir zum Abzählen o<strong>de</strong>r<br />
zur Festlegung einer Reihenfolge benutzen) natürliche Zahlen.<br />
Man fasst die natürlichen Zahlen zu einer Menge N zusammen und schreibt<br />
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..} (5.1)<br />
Manchmal benötigt man die Menge <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen ohne die Null. Dann<br />
schreibt man:<br />
N ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ..} (5.2)<br />
Achtung: An<strong>de</strong>re benutzen statt <strong>de</strong>ssen oft N = {1,2,3,4,5,..} und N 0 = {0,1,2,3,4,5,..}<br />
(Vor allem )Bei Größen benutzen wir auch Bruchzahlen wie z.B. 1 2 und 3 4 o<strong>de</strong>r<br />
Kommazahlen wie z.B, 2,5 o<strong>de</strong>r 0,91<br />
5.2 Zahlwörter für große Zahlen<br />
1 Tausend = 1 T = 1000<br />
1 Million = 1 Mio. = 1000 T = 1000·1000 = 1 000 000<br />
1 Milliar<strong>de</strong> = 1 Mrd. = 1000 Mio. = 1 000 000 000<br />
1 Billion = 1 Bio. = 1000 Mrd. = 1 000 000 000 000<br />
1 Billiar<strong>de</strong> = 1000 Bio. = 1 000 000 000 000 000<br />
Es geht weiter mit Trillionen, Trilliar<strong>de</strong>n, Quadrillionen, ...,Quintillionen,...<br />
Achtung: Eine amerikanische billion“ ist eine <strong>de</strong>utsche Milliar<strong>de</strong> “. Eine<br />
” ”<br />
<strong>de</strong>utsche Billion “ ist eine amerikanische trillion “.<br />
” ”<br />
5.3 Run<strong>de</strong>n<br />
Wenn die erste wegfallen<strong>de</strong> Ziffer eine 0,1,2,3 o<strong>de</strong>r 4 ist, wird abgerun<strong>de</strong>t,<br />
wenn es eine 5,6,7,8 o<strong>de</strong>r 9 ist, aufgerun<strong>de</strong>t<br />
Abrun<strong>de</strong>n<br />
Die folgen<strong>de</strong>n Ziffern wer<strong>de</strong>n einfach weggelassen<br />
Aufrun<strong>de</strong>n<br />
5
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Die letzte Ziffer, die bleibt, wird um 1 erhöht, die folgen<strong>de</strong>n Ziffern wer<strong>de</strong>n<br />
weggelassen<br />
Beispiele : (Run<strong>de</strong>n auf Hun<strong>de</strong>rter) 5123 ≈ 5100; 5149 ≈ 5100 ; 5150≈ 5200;<br />
5178 ≈ 5200<br />
5.4 Größen<br />
Zu je<strong>de</strong>r Größenangabe gehört eine Maßzahl und eine Maßeinheit. Dabei<br />
kann die Maßzahl eine natürliche Zahl, eine Kommazahl o<strong>de</strong>r eine Bruchzahl<br />
sein.<br />
5.4.1 Geldwerte<br />
1 ¤= 100 Cent ; 1 Cent = 0,01 ¤<br />
5.4.2 Längen<br />
1 cm = 10 mm<br />
1 dm = 10 cm = 100 mm<br />
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm<br />
1 km = 1000m<br />
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m<br />
1 cm = 0,1 dm = 0,01 m<br />
1 cm = 0,1 m<br />
1 m = 0,001 km<br />
5.4.3 Massen<br />
1 g = 1000 mg 1 mg = 0,001 g<br />
1 kg = 1000 g 1 g = 0,001 kg<br />
1 t = 1000 kg 1kg = 0,001 t<br />
5.4.4 Zeitspannen<br />
1 min = 60 s<br />
1 h = 60 min = 3600 s<br />
1 d = 24h = 1440 min<br />
5.4.5 Rechnen mit Größen<br />
ˆ<br />
Man kann nur Größen <strong>de</strong>r gleichen Größen-Art addieren(subtrahieren).<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Wenn die Größen in <strong>de</strong>rselben Maßeinheit gegeben sind, addiert (subtrahiert)<br />
man die Maßzahlen und behält die Maßeinheit bei. Beachte :<br />
Komma unter Komma!<br />
Wenn die Größen in verschie<strong>de</strong>nen Maßeinheiten gegeben sind (z.B. cm<br />
und m) rechnet man zuerst alle Werte in dieselbe Maßeinheit um.<br />
Man multipliziert eine Größe mit einer Zahl, in<strong>de</strong>m man die Maßzahl mit<br />
<strong>de</strong>r Zahl multipliziert und die Einheit beibehält.<br />
6
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
5.5 Grundrechenarten<br />
Addition 1.Summand + 2. Summand = Summe<br />
Subtraktion Minuend - Subtrahend = Differenz<br />
Multiplikation 1.Faktor · 2. Faktor = Produkt<br />
Division Divi<strong>de</strong>nd : Divisor = Quotient<br />
5.6 Ausführbarkeit von Addition und Subtraktion<br />
Die Addition zweier natürlicher Zahlen ist immer ausführbar, d.h. die Summe<br />
zweier natürlicher Zahlen ist wie<strong>de</strong>r eine natürliche Zahl.<br />
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist nur dann eine natürliche Zahl, wenn<br />
<strong>de</strong>r Minuend min<strong>de</strong>stens so groß ist wie <strong>de</strong>r Subtrahend.<br />
5.7 Vorrang-regeln<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Kommen in einem Term (Rechen-Ausdruck) Klammern vor, so ist zuerst<br />
das aus zurechnen, was in <strong>de</strong>n Klammern steht. Die Klammern wer<strong>de</strong>n<br />
durch ihren Wert ersetzt.<br />
Kommen in einem Term innere und äußere Klammern vor, so ist zuerst<br />
das aus zurechnen, was in <strong>de</strong>n inneren Klammern steht.<br />
ˆ<br />
Potenzen wer<strong>de</strong>n vor <strong>de</strong>n an<strong>de</strong>ren Rechen-Operationen ausgewertet<br />
ˆ<br />
Multiplikationen und Divisionen haben Vorrang vor Additionen und Subtraktionen<br />
( ”<br />
Punkt- vor Strichrechnung“)<br />
ˆ<br />
Wenn keine an<strong>de</strong>ren Regeln greifen, wird von links nach rechts gerechnet<br />
5.8 entgegengesetzte Rechenarten<br />
ˆ<br />
Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Je<strong>de</strong>r Subtraktionsgleichung<br />
entspricht eine Additionsgleichung und umgekehrt<br />
a − b = c ⇔ a = c + b (5.3)<br />
a + b = c ⇔ a = c − b ⇔ b = c − a (5.4)<br />
ˆ<br />
Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenarten. Je<strong>de</strong>r Divisionsgleichung<br />
entspricht eine Multiplikationsgleichung und umgekehrt<br />
a : b = c ⇔ a = c · b (5.5)<br />
a · b = c ⇔ a = c : b ⇔ b = c : a (5.6)<br />
7
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
5.9 Rechengesetze<br />
5.9.1 Assoziativgesetze<br />
In einer Summe (in einem Produkt) mit drei - o<strong>de</strong>r mehr - Summan<strong>de</strong>n (Faktoren)<br />
darf man die Summan<strong>de</strong>n (Faktoren) durch Klammern beliebig zusammenfassen.<br />
Für alle natürlichen Zahlen gilt:<br />
5.9.2 Kommutativgesetze<br />
(a + b) + c = a + (b + c) (5.7)<br />
(a · b) · c = a · (b · c) (5.8)<br />
In einer Summe (in einem Produkt) darf man die Reihenfolge <strong>de</strong>r Summan<strong>de</strong>n<br />
(Faktoren) vertauschen.<br />
Für alle natürlichen Zahlen gilt:<br />
(a + b) = b + a (5.9)<br />
a · b = b · a (5.10)<br />
5.9.3 Distributivgesetz für die Multiplikation<br />
Für alle natürlichen Zahlen gilt:<br />
a · (b + c) = a · b + a · c (5.11)<br />
a · (b − c) = a · b − a · c (5.12)<br />
5.9.4 Distributivgesetz für die Division<br />
Falls a und b Vielfache von c sind, gilt:<br />
5.9.5 zu beachten!<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
(a + b) : c = a : c + b : c (5.13)<br />
(a − b) : c = a : c − b : c (5.14)<br />
(5.15)<br />
Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht für die Subtraktion und<br />
die Division.<br />
Es gibt kein Distributivgesetz für die Division, falls <strong>de</strong>r Divisor eine Summe<br />
o<strong>de</strong>r eine Differenz ist.<br />
Im Bereich <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen N gilt:<br />
Subtraktionen sind nur ausführbar, wenn <strong>de</strong>r Minuend größer ist, als <strong>de</strong>r<br />
Subtrahend. Divisionen sind nur ausführbar, wenn <strong>de</strong>r Divi<strong>de</strong>nd ein Vielfaches<br />
<strong>de</strong>s Divisors ist. (Die bei<strong>de</strong>n letzten Einschränkungen wer<strong>de</strong>n mit <strong>de</strong>r<br />
Einführung <strong>de</strong>r Bruchzahlen B bzw. <strong>de</strong>r rationalen Zahlen Q wegfallen.)<br />
8
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
5.10 Überschlagsrechnungen<br />
Überschlagsrechnungen sind keine genauen Rechnungen. das Ziel ist es, die<br />
Größenordnung <strong>de</strong>s Ergebnisses zu erhalten.<br />
Man sollte versuchen, die Zahlen so zu run<strong>de</strong>n, dass man ein möglichst genaues<br />
Ergebnis erhält, die Rechnung aber noch ohne Probleme im Kopf ausführen<br />
kann. Ein<strong>de</strong>utige Regeln gibt es nicht.<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Beim Addieren und Multiplizieren sollte man möglichst einen Wert auf-,<br />
<strong>de</strong>n an<strong>de</strong>ren abrun<strong>de</strong>n.<br />
Beim Subtrahieren und Dividieren sollte man möglichst bei<strong>de</strong> Werte aufbzw.<br />
abrun<strong>de</strong>n.<br />
5.11 Potenzen<br />
Basis Exponent = P otenz<br />
Der Exponent (die Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (die Grundzahl) als<br />
Faktor auftritt.<br />
Potenzen mit <strong>de</strong>m Exponenten zwei nennen wir Quadratzahlen, solche mit <strong>de</strong>m<br />
Exponenten drei Kubikzahlen.<br />
5.12 Stellenwertsysteme<br />
In unserem Zahlensystem hängt <strong>de</strong>r Wert einer Ziffer von <strong>de</strong>r Stelle ab, an <strong>de</strong>r<br />
sie steht:<br />
vor <strong>de</strong>m Komma stehen die Einer, davor die Zehner usw.. Hinter <strong>de</strong>m Komma<br />
stehen die Zehntel, Hun<strong>de</strong>rtstel usw..<br />
Unser Zahlensystem basiert auf <strong>de</strong>r Zehn als Stufenzahl. Es sind an<strong>de</strong>re Stufenzahlen<br />
möglich.<br />
Gängig sind die Stufenzahlen zwei (Binärsystem), acht(Oktalsystem), zehn (Dezimalsystem)<br />
und Sechzehn (Hexa<strong>de</strong>zimalsystem).<br />
5.13 Aussagen<br />
5.13.1 Aussagen<br />
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebil<strong>de</strong> (Satz), das entwe<strong>de</strong>r wahr o<strong>de</strong>r falsch<br />
ist.<br />
Fragen und Auffor<strong>de</strong>rungen z.B. sind keine Aussagen.<br />
5.13.2 Aussageformen<br />
Aussageformen enthalten Platzhalter (Variablen). Sie selbst sind we<strong>de</strong>r falsch<br />
noch wahr. Wenn man für die Variablen geeignete Dinge einsetzt, wer<strong>de</strong>n sie zu<br />
Aussagen.<br />
9
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
5.14 Gleichungen und Ungleichungen<br />
5.14.1 Gleichungen<br />
Eine Aussageform, die aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen<br />
besteht, nennen wir eine Gleichung. Setzt man in die Gleichung Zahlen<br />
ein, so wird die Gleichung zu einer wahren o<strong>de</strong>r einer falschen Aussage.<br />
Die Zahlen, für die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird, fassen wir zur<br />
Lösungsmenge L zusammen.<br />
Wir sagen auch: Diese Zahlen erfüllen die Gleichung.<br />
Beispiel:<br />
(3x + 2)(x − 1) = 2x 2 + 3x − 5<br />
Diese Gleichung hat die Lösungsmenge L = {1; 3}<br />
5.14.2 allgemeingültige Gleichungen<br />
Es gibt Gleichungen, die wer<strong>de</strong>n von je<strong>de</strong>r Zahl erfüllt. Solche Gleichungen heißen<br />
allgemeingültig.<br />
5.14.3 Ungleichungen<br />
Das obige gilt auch für Ungleichungen, nur dass diese erfüllt sind, wenn die<br />
zwei Terme auf <strong>de</strong>n bei<strong>de</strong>n Seiten <strong>de</strong>s Ungleich-Zeichens (≠) beim Einsetzen<br />
<strong>de</strong>r Zahlen verschie<strong>de</strong>ne Werte annehmen.<br />
5.15 Geometrie<br />
Geometrie fehlt <strong>de</strong>rzeit in diesem Papier noch!<br />
10
Kapitel 6<br />
Klasse 6<br />
6.1 Bruchrechnung<br />
6.1.1 Teiler einer Zahl<br />
Bleibt beim Dividieren einer Zahl a durch eine Zahl b kein Rest, gibt es also<br />
eine natürliche Zahl n mit n = a : b, bzw. ist a = n · b, so nennen wir a ein<br />
Vielfaches von b o<strong>de</strong>r b einen Teiler von a<br />
Wir sagen auch : a ist teilbar durch b o<strong>de</strong>r b teilt a (geschrieben a | b).<br />
Bleibt bei <strong>de</strong>r Division a : b ein Rest, bzw. ist a = n · b + c, so ist a nicht teilbar<br />
durch b.<br />
Beispiel : Es ist 2 · 6 = 12, also ist 2 ein Teiler von 12; es ist 14 = 2 · 6 + 2, also<br />
ist 6 kein Teiler von 14.<br />
Wenn gilt : a teilt b, kann - außer wenn a und b gleich sind - nicht gelten : b<br />
teilt a .<br />
Zu je<strong>de</strong>m Teiler einer Zahl a gehört ein komplementärer Teiler. Das Produkt<br />
zweier komplementärer Teiler ist die Zahl a.<br />
Beispiel: 6|24; <strong>de</strong>r zu 6 komplementärer Teiler ist 4, <strong>de</strong>nn 6 · 4 = 24<br />
Bemerkung : Ist a = b 2 (also Quadratzahl) ist b komplementärer Teiler zu sich<br />
selbst.<br />
Die Menge <strong>de</strong>r Teiler einer Zahl a heißt Teilermenge T a von a.<br />
Beispiel: Die Zahlen 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 sind die Teiler <strong>de</strong>r Zahl 60;<br />
T 60 ={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Je<strong>de</strong> Zahl hat sich selbst als Teiler;<br />
1 ist Teiler je<strong>de</strong>r Zahl;<br />
Null ist durch je<strong>de</strong> Zahl teilbar.<br />
6.1.2 Teilbarkeit von Summen und Produkten<br />
ˆ<br />
Ist eine Zahl a durch eine Zahl b teilbar, dann ist auch je<strong>de</strong>s Vielfache von<br />
a durch b teilbar.<br />
Beispiel: 12 ist durch 4 teilbar; 60 ist ein Vielfaches von 12; also ist auch<br />
60 durch vier teilbar.<br />
11
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Lässt sich eine Zahl a in ein Produkt zerlegen und ist wenigstens einer <strong>de</strong>r<br />
Faktoren durch eine Zahl b teilbar, so ist auch a durch b teilbar.<br />
Beispiel: 182 lässt sich in das Produkt 2 · 91 zerlegen. Da 91 durch 13<br />
teilbar ist,ist auch 182 durch 13 teilbar.<br />
Ist in einer Summe a+b (Differenz a−b) sowohl a als auch b teilbar durch<br />
eine Zahl c, dann ist auch die Summe a+b (Differenz a−b) durch c teilbar.<br />
Beispiel : 65 und 39 sind bei<strong>de</strong> durch 13 teilbar; 39+65=104 und 65-39<br />
=26 sind auch durch 13 teilbar<br />
Ist dagegen nur eine <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Zahlen a und b durch c teilbar, die an<strong>de</strong>re<br />
aber nicht, so ist die Summe a + b (die Differenz a − b) nicht teilbar durch<br />
c.<br />
Beispiel : 65 ist durch 13 teilbar, 38 nicht; 38+65=103 und 65-38 =27<br />
sind bei<strong>de</strong> nicht durch 13 teilbar<br />
Eine Summe a + b ist genau dann teilbar durch eine Zahl c, wenn die<br />
Summe <strong>de</strong>r Reste, welche a und b bei <strong>de</strong>r Division durch c lassen, durch c<br />
teilbar ist.<br />
BBeispiel :3497 + 1743 ist durch 5 teilbar; 3497 hat <strong>de</strong>n Fünfer-Rest 2;<br />
1743 <strong>de</strong>n Fünfer-Rest 3; die Summe <strong>de</strong>r Reste ist 5 und durch 5 teilbar;<br />
dagegen haben 23 und 38 jeweils <strong>de</strong>n Fünfer-Rest 3; die Summe <strong>de</strong>r Reste<br />
ist 6 und nicht durch 5 teilbar; also ist auch 23+38=61 nicht durch fünf<br />
teilbar.<br />
Ist min<strong>de</strong>stens eine von zwei Zahlen a und b teilbar durch c, so ist auch<br />
ihr Produkt a · b teilbar durch c. ( siehe auch 4.5))<br />
Beispiel: 8 und 12 sind teilbar durch 4; also ist 8 · 12 = 96 teilbar durch 4;<br />
aber auch 8 · 13 = 104 ist durch vier teilbar, da es reicht, dass ein Faktor<br />
ein Vielfaches von vier ist.<br />
6.1.3 Teilbarkeitsregeln<br />
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
2 , wenn die Einer-Ziffer gera<strong>de</strong> ist.<br />
3 , wenn die Quersumme (d.i. die Summe aller Ziffern) durch 3 teilbar ist<br />
ˆ<br />
4 , wenn die aus <strong>de</strong>n letzten bei<strong>de</strong>n Ziffern gebil<strong>de</strong>te Zahl durch 4 teilbar<br />
ist.<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
5 , wenn sie die Einer-Ziffer 0 o<strong>de</strong>r 5 hat.<br />
6 , wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.<br />
8 , wenn die aus <strong>de</strong>n letzten drei Ziffern gebil<strong>de</strong>te Zahl durch 8 teilbar ist.<br />
9 , wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.<br />
10, wenn sie die Einer-Ziffer 0 hat.<br />
11, wenn die alternieren<strong>de</strong> Quersumme durch 11 teilbar ist.<br />
12, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.<br />
12
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
20, wenn die aus <strong>de</strong>n letzten bei<strong>de</strong>n Ziffern gebil<strong>de</strong>te Zahl durch 20 teilbar<br />
ist.<br />
25, wenn die aus <strong>de</strong>n letzten bei<strong>de</strong>n Ziffern gebil<strong>de</strong>te Zahl durch 25 teilbar<br />
ist.<br />
Zu 11 : alternieren<strong>de</strong> Quersumme: man addiert zuerst die an 1.,3.,5.,7.,... usw.<br />
Stelle stehen<strong>de</strong>n Ziffern ; dann die an 2.,4.,6.,8.,... usw. Stelle stehen<strong>de</strong>n Ziffern;<br />
die Ergebnisse subtrahiert man voneinan<strong>de</strong>r.<br />
Beispiel : 85976 ist durch 11 teilbar, <strong>de</strong>nn es ist: 8+9+6 =23; 5+7 =12; 23-12<br />
=11<br />
6.1.4 Primzahlen<br />
Zahlen mit genau zwei Teilern bezeichnet man als Primzahlen. Es sind dies die<br />
Zahlen (größer als 1), die nur sich selbst und die 1 als Teiler haben.<br />
Es gibt unendlich viele Primzahlen<br />
Die Primzahlen bis 200 sind : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,<br />
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,<br />
137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199<br />
Je<strong>de</strong> natürliche Zahl (größer als 1) ist entwe<strong>de</strong>r Primzahl o<strong>de</strong>r lässt sich aus<br />
Primzahlen durch Multiplizieren erzeugen. Die dazu notwendigen Primzahlen<br />
sind ein<strong>de</strong>utig bestimmt; zu je<strong>de</strong>r Zahl gehören ganz bestimmte Primfaktoren.<br />
Ein Primfaktor kann dabei mehrfach auftreten. Wenn man eine Zahl als Produkt<br />
von Primfaktoren darstellt spricht man von einer Primzahlzerlegung.<br />
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist (bis auf die Reihenfolge <strong>de</strong>r Faktoren)<br />
ein<strong>de</strong>utig.<br />
Beispiele :<br />
420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 2 2 · 3 · 5 · 7; 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2 3 · 3 2<br />
Ist eine Primzahl Teiler einer Zahl, sprechen wir von einem Primteiler<br />
Sind a und b Primteiler einer Zahl c, so ist auch das Produkt a · b Teiler von c .<br />
Dies gilt nur für Primteiler.<br />
Beispiel : 2 und 3 sind Teiler von 60, also auch 6; aber 4 und 6 sind zwar Teiler<br />
von 60, aber keine Primteiler; 4 · 6 = 24 ist kein Teiler von 60<br />
Bestimmen <strong>de</strong>r Primzahlzerlegung<br />
ˆ<br />
versuche, die Zahl in Faktoren zu zerlegen<br />
ˆ<br />
prüfe, ob die bisher ermittelten Faktoren Primfaktoren sind; sonst zerlege<br />
sie weiter<br />
ˆ<br />
wenn nur noch Primfaktoren auftreten, sind diese noch zu ordnen<br />
Beispiel : 1848 = 12·154 = 2·2·3·2·77 = 2·2·3·2·7·11 = 2·2·2·3·7·11 = 2 3·3·7·11<br />
6.1.5 gemeinsame Teiler, ggT<br />
Einen Teiler, <strong>de</strong>r sowohl eine Zahl a als auch eine Zahl b teilt, nennen wir einen<br />
gemeinsamen Teiler von a und b<br />
Wenn zwei Zahlen a und b einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben, heißen<br />
sie teilerverwandt; ist 1 <strong>de</strong>r einzige gemeinsame Teiler, so sagen wir: a und b<br />
sind teilerfremd.<br />
13
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Beispiele:<br />
gesucht wer<strong>de</strong>n die gemeinsamen Teiler von 48 und 56:<br />
T 48 = { 1; 2; 3; 4; 6; ; 8; 12; 16; 24;48};<br />
T 56 = { 1; 2;4;7; 8; 14; 28;56};<br />
T 48 ∩ T 56 ={ 1; 2;4;8 }<br />
sind 462 und 1001 teilerverwandt?<br />
462 =2 · 3 · 7 · 11<br />
1001 = 7 · 11 · 13<br />
also sind 1,7,11,77 gemeinsame Teiler<br />
Unter allen gemeinsamen Teilern zweier Zahlen a und b gibt es einen größten.<br />
Dieser größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt aller gemeinsamen<br />
Primteiler von a und b.<br />
Sind a und b teilerfremd, so ist die Zahl 1 ihr ggT.<br />
Alle gemeinsamen Teiler <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Zahlen sind Teiler <strong>de</strong>s ggT.<br />
Sind zwei Teiler a und b einer Zahl c teilerfremd, so ist auch a·b ein Teiler von<br />
c.<br />
6.1.6 Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV<br />
Unter <strong>de</strong>n gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen a und b gibt es ein kleinstes,<br />
das kgV.<br />
Die Vielfachen <strong>de</strong>s kgV von a und b sind Vielfache sowohl von a als auch von b.<br />
Das kgV von a und b erhält man, wenn man die Primfaktoren von a notiert<br />
und dann die Primfaktoren von b, die noch nicht (o<strong>de</strong>r weniger oft) notiert sind,<br />
hinzufügt.<br />
Sind a und b teilerfremd, so ist a · b das kgV von a und b.<br />
6.1.7 Die Bestimmung <strong>de</strong>s ggT und <strong>de</strong>s kgV<br />
Man ermittelt zuerst die Primfaktorzerlegungen von a und b. Dabei schreibt<br />
man die Primfaktoren von b, die schon in a auftraten unter diese.<br />
Der ggT ist nun das Produkt <strong>de</strong>r Primfaktoren, die in bei<strong>de</strong>n Zeilen auftreten.<br />
Man notiert alle Faktoren, die in einer Spalte überall stehen.<br />
Das kgV ist das Produkt <strong>de</strong>r Primfaktoren, die min<strong>de</strong>stens einmal auftreten.<br />
Man notiert in je<strong>de</strong>r Spalte <strong>de</strong>n Primfaktor einmal. Dieses Verfahren lässt sich<br />
auf mehrere Zahlen erweitern.<br />
Beispiel:<br />
gesucht sind ggT und kgV <strong>de</strong>r Zahlen 84,630,1050<br />
84 = 2 · 2 · 3 · 7<br />
630 = 2 · 3 · 7 · 3 · 5<br />
1050 = 2 · 3 · 7 · 5 · 5<br />
42 = 2 · 3 · 7<br />
6300 = 2 · 2 · 3 · 7 · 3 · 5 · 5<br />
Es ist: ggT(84,630,1050) = 42; kgV(84,630,1050)=6300<br />
Beispiel:<br />
Gesucht sind ggT und kgV <strong>de</strong>r drei Zahlen 76440, 5040, 2625<br />
Primzahlzerlegung:<br />
14
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
76440 76440 ist teilbar durch 20<br />
= 4 · 5 · 3822 3822 ist gera<strong>de</strong>, Quersumme 15, also teilbar durch 6<br />
= 4 · 5 · 2 · 3 · 637 637 = 630+7; teilbar durch 7<br />
= 4 · 5 · 2 · 3 · 7 · 91<br />
= 4 · 5 · 2 · 3 · 7 · 7 · 13<br />
= 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13<br />
7644 vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet<br />
5040 5040 ist teilbar durch 20<br />
= 4 · 5 · 252 252 ist teilbar durch 4 und 9, also durch 36<br />
= 4 · 5 · 4 · 9 · 7<br />
= 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7<br />
5040 vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet<br />
2625 2625 ist teilbar durch 25<br />
= 25 · 105 105 teilbar durch 5 und 3, also 15<br />
= 25 · 15 ·7<br />
= 3 · 5 · 5 · 5 · 7<br />
2625 vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet<br />
kgV und ggT bestimmen<br />
76440 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13<br />
5040 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 2 · 3<br />
2625 =3 · 5 · 7 · 5 · 5<br />
ggT : 3 · 5 · 7=105<br />
kgV : 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13 · 2 · 3 · 5 · 5 =11466000<br />
Beispiel: Wie viele 24 cm lange, 10 cm breite und 5 cm hohe Ziegelsteine braucht<br />
man min<strong>de</strong>stens, um einen massiven Würfel aufzuschichten ?<br />
Die Kantenlänge <strong>de</strong>s Würfels muss ein vielfaches <strong>de</strong>r drei Seitenlängen eines<br />
Ziegelsteins sein. Also muss ich das kgV bestimmen.<br />
24 = 2 · 2 · 2 · 3<br />
10 = 2 · 5<br />
5 = 5<br />
kgV : 2 · 2 · 2 · 3 · 5 =120<br />
d.h. <strong>de</strong>r Würfel muss 120 cm Kantenlänge haben; es ist120 =5 · 24; 20 = 12 ·<br />
10; 120 =24 · 5;<br />
also wer<strong>de</strong>n 5 · 12 · 24 =1440 Steine benötigt.<br />
6.1.8 Der Euklidische Algorithmus<br />
Die nach Euklid benannte Vorschrift zur Bestimmung <strong>de</strong>s ggT zweier ganzer<br />
Zahlen lautet wie folgt:<br />
1. man nimmt die größere Zahl als Divi<strong>de</strong>nd , die kleinere als Divisor und<br />
führt die Division mit Rest aus.<br />
2. ist <strong>de</strong>r Rest Null, so ist <strong>de</strong>r letzte Divisor <strong>de</strong>r ggT<br />
sonst nimmt man <strong>de</strong>n letzten Divisor als neuen Divi<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n und <strong>de</strong>n letzten<br />
Rest als Divisor und wie<strong>de</strong>rholt das Verfahren.<br />
15
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Beispiel<br />
Gesucht wird <strong>de</strong>r ggT von 1870 und 2415<br />
2415 : 1870 = 1 Rest 545<br />
1870 : 545 = 1 Rest 235<br />
545 : 235 = 2 Rest 75<br />
235 : 75 = 3 Rest 10<br />
75 : 10 = 7 Rest 5<br />
10 : 5 = 2 Rest 0<br />
Also ist ggT(2415;1870) =5<br />
Beispiel<br />
Gesucht wird <strong>de</strong>r ggT von 12 und 35<br />
35 : 12 = 2 Rest 11<br />
12 : 11 = 1 Rest 1<br />
11 : 1 = 11 Rest 0<br />
Also ist ggT(12,35) =1 ; d.h. 12 und 35 sind teilerfremd.<br />
Begründung <strong>de</strong>s Verfahrens:<br />
Wenn a und b die bei<strong>de</strong>n Zahlen sind, die wir untersuchen, ergibt sich zuerst:<br />
dies können wir auch so schreiben<br />
a : b = f 1 Restr 1 ( f wie Faktor; r wie Rest)<br />
a = f 1 · b + r 1<br />
ist r 1 = 0 so ist b Teiler von a, also ggT(a,b) =b;<br />
sonst gilt: <strong>de</strong>r ggT(a,b) ist Teiler von a und von b, also auch (vgl. 2.1) von<br />
a − f1 · b = r 1<br />
also ist<br />
ggT(b,r 1 ) =ggT(a,b).<br />
Nun ist b < a und r 1 < b . Wenn wir das Verfahren wie<strong>de</strong>rholen, wird <strong>de</strong>r<br />
jeweilige Rest immer kleiner.<br />
Das Verfahren muss also irgendwann abbrechen - wenn <strong>de</strong>r Rest 0 ist.<br />
6.1.9 Das Sieb <strong>de</strong>s Eratosthenes<br />
Sollen alle Primzahlen unter 100 gefun<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n, so schreibt man die Zahlen<br />
von 2 bis 100 auf.<br />
Die erste Primzahl ist 2 ; man streicht alle (außer 2 selbst) durch 2 teilbaren<br />
Zahlen durch.<br />
(hier durch rote Schriftgekennzeichnet)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50<br />
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80<br />
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90<br />
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100<br />
16
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Dasselbe mit 3; also: alle Vielfachen von 3 (außer <strong>de</strong>r 3 selbst!) streichen.<br />
hier durch blaue Schriftgekennzeichnet; beim Streichen sollte man auch schon<br />
gestrichene noch einmal streichen; es gibt weniger Fehler)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50<br />
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80<br />
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90<br />
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100<br />
Die 4 ist schon gestrichen, also keine Primzahl. Damit sind auch schon alle<br />
Vielfachen <strong>de</strong>r 4 gestrichen. Nun wer<strong>de</strong>n also die Viel fachen von 5 gestrichen.<br />
Beachte, dass das zwei-, drei- und vierfache von fünf bereits gestrichen ist. Die<br />
erste neu zu streichen<strong>de</strong> Zahl ist also 5 · 5 = 25.<br />
hier durch grüne Schriftgekennzeichnet)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50<br />
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80<br />
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90<br />
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100<br />
Die 6 ist schon gestrichen; nun dasselbe mit 7; die erste neu zu streichen<strong>de</strong> Zahl<br />
ist 7 · 7 = 49.<br />
hier durch unterstrichene Zahlen gekennzeichnet)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50<br />
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80<br />
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90<br />
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100<br />
Die 8,9,10 sind schon gestrichen.<br />
Die nächste Primzahl ist 11. Nun sind das 1,2,3...10-fache von 11 aber schon<br />
gestrichen; die erste neu zu streichen<strong>de</strong> Zahl wäre erst 11 · 11 = 121; diese Zahl<br />
ist aber größer als 100.<br />
Alle noch nicht gestrichenen Zahlen - d.h<br />
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,<br />
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97<br />
17
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
- sind Primzahlen.<br />
6.1.10 Vielfache und Teile einer Größe<br />
Vielfache einer Größe<br />
Eine Größe besteht aus Maßzahl und Maßeinheit. Beispiel : 4m, 3kg, 23min<br />
Gleichartige Größen (d.h.Größen mit <strong>de</strong>rselben Einheit) lassen sich zu einer<br />
neuen Größe zusammensetzen :<br />
3kg + 5kg =8kg.<br />
Wer<strong>de</strong>n gleiche (d.h. gleiche Maßzahl und Einheit) Größen zusammengesetzt,<br />
so schreiben wir statt<br />
kürzer<br />
o<strong>de</strong>r gleich<br />
2kg +2kg +2kg +2kg +2kg +2kg + 2kg<br />
(2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2)kg<br />
5 · (2kg) = (5 · 2)kg =10kg.<br />
Eine Größe wird vervielfacht, d.h. mit einer natürlichen Zahl multipliziert, in<strong>de</strong>m<br />
man ihre Maßzahl mit dieser Zahl multipliziert und die Einheit beibehält.<br />
Teile einer Größe<br />
Größen lassen sich auch teilen; um einen Teile einer Größe anzugeben, wan<strong>de</strong>ln<br />
wir ihn i.a. in eine kleinere Einheit um, z.B. ist :<br />
3 kg : 4 =3000 g : 4 =750 g<br />
Dabei erhalten wir jedoch nicht immer eine natürliche Zahl als Maßzahl - z.B<br />
wenn wir 1 kg in drei gleiche Teile teilen wollen.<br />
Wir brauchen dann für die Teilgrößen einen neuen Namen: Brüche<br />
Wird z. B. das Gewicht 1 kg in n gleiche Teile geteilt, so schreiben wir für eines<br />
<strong>de</strong>r entstan<strong>de</strong>nen Teilgewichte :<br />
1<br />
n kg<br />
6.1.11 Bruchteile und -zahlen<br />
Bruchteile einer Größe<br />
Teilt man z. ein Gewicht in gleiche Teile, kann man die entstan<strong>de</strong>nen Teilgewichte<br />
wie<strong>de</strong>r zu neuen Gewichten zusammensetzen:<br />
so ergeben z.B zwei Teile <strong>de</strong>s in drei gleiche Teile geteilten Gewichtes 1kg das<br />
neue Gewicht .<br />
2<br />
3 kg<br />
z<br />
n kg 18
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ist <strong>de</strong>rjenige Bruchteil <strong>de</strong>s Gewichtes 1 kg, <strong>de</strong>n man erhält, wenn man 1 kg<br />
in n gleiche Teile teilt und danach z solcher Teile zu einem neuen Gewicht<br />
zusammensetzt. nennen wir einen Bruch, mit <strong>de</strong>m Zähler z und <strong>de</strong>m Nenner<br />
n .<br />
Der Bruch 3 4 bezeichnet <strong>de</strong>n Anteil am Ganzen, z.B 3 4m dreiviertel vom ganzen<br />
Meter. Die Anteile z n<br />
bil<strong>de</strong>n eine ’unbenannte’ Skala.<br />
Die Brüche z n mit z ∈ Z und n ∈ N 1 sind Namen (Kennzeichen) für Bruchzahlen.<br />
Je<strong>de</strong> Bruchzahl hat verschie<strong>de</strong>ne Namen.<br />
Beispiel: 2 3 = 4 6 = 10<br />
15 = 20<br />
30 = 1482<br />
2223 = · · ·<br />
Die Menge B 0 <strong>de</strong>r Bruchzahlen umfasst die Menge <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen N<br />
Beispiel: Die natürliche Zahl n lässt sich als Bruchzahl n 1 schreiben.<br />
Der Quotient zweier natürlicher Zahlen z und n ist die Bruchzahl z n<br />
Die Bruchzahl nennt man <strong>de</strong>n Kehrwert <strong>de</strong>r natürlichen Zahl n.<br />
0 hat keinen Kehrwert , weil man durch 0 nicht dividieren kann.<br />
Wegen 14 : 3 = (12 + 2) : 3 = 12 : 3 + 2 : 3 = 4 + 2 3 schreibt man auch 4 2 3 .<br />
Dies nennt man die gemischte Schreibweise für die Bruchzahl 1 3 und bezeichnet<br />
4<br />
als gemischte Zahl.<br />
4 2 3<br />
6.1.12 Erweitern und Kürzen<br />
Beispiele<br />
Man hat 3 4<br />
einer Torte. Teilt man nun je<strong>de</strong>s <strong>de</strong>r Viertel in fünf gleiche Teile,<br />
entstehen Zwanzigstel; man hat davon 3·5 =15 Stück.<br />
Also ist . 3 4 = 15<br />
20<br />
Entsprechend kann man zeigen, dass 3 4 = 6 8 = 9 12 = 12<br />
24 = · · · ist.<br />
Man hat eine Torte in Zwölftel geschnitten; davon sind noch acht Stück über.<br />
Legt man nun immer zwei Stück zusammen, so entstehen Sechstel; davon hat<br />
man dann 4 Stück.<br />
Also ist 8 12 = 4 6 = 8:2<br />
12:2<br />
Entsprechend kann man zeigen, dass 8 12 = 2 3 ist.<br />
Erweitern<br />
16 = 15<br />
20 = 18<br />
Wenn man <strong>de</strong>n Zähler z und <strong>de</strong>n Nenner n eines Bruchs z n<br />
mit <strong>de</strong>rselben<br />
natürlichen Zahl k multipliziert, so erhält man <strong>de</strong>n Bruch z·k<br />
n·k<br />
; er stellt dieselbe<br />
Bruchzahl dar, wie z n .<br />
Diese Umformung <strong>de</strong>s Bruchs z z·k<br />
n<br />
in <strong>de</strong>n Bruch<br />
n·k<br />
nennt man Erweitern von<br />
mit k.<br />
z<br />
n<br />
Kürzen<br />
Wenn Zähler z und Nenner n eines Bruchs z n<br />
einen gemeinsamen Teiler k<br />
haben, so ist z n = z:k<br />
n:k<br />
. Diesen Übergang nennt man Kürzen mit k.<br />
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs teilerfremd sind, so heißt <strong>de</strong>r Bruch<br />
vollständig gekürzt .<br />
1 N ist die Menge <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen (einschließlich Null); Z die <strong>de</strong>r ganzen Zahlen; Z<br />
besteht aus <strong>de</strong>n natürlichen und ihren negativen Gegenzahlen<br />
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(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Hauptnenner<br />
Wir erweitern 3 10 und 1 6<br />
so, dass zwei nennergleiche Brüche entstehen. Wir<br />
probieren die verschie<strong>de</strong>nen Möglichkeiten aus und schreiben die Ergebnisse in<br />
einer Tabelle auf:<br />
Erweitert mit: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20<br />
3<br />
10<br />
1<br />
6<br />
6<br />
20<br />
2<br />
12<br />
9<br />
30<br />
3<br />
18<br />
12<br />
40<br />
4<br />
24<br />
15<br />
50<br />
5<br />
30<br />
18<br />
60<br />
6<br />
36<br />
21<br />
70<br />
7<br />
42<br />
24<br />
80<br />
8<br />
48<br />
27<br />
90<br />
9<br />
54<br />
30<br />
100<br />
10<br />
60<br />
36<br />
120<br />
15<br />
90<br />
60<br />
200<br />
20<br />
120<br />
wir sehen, dass es viele Möglichkeiten gibt, gemeinsame Nenner zu fin<strong>de</strong>n. Wir<br />
wählen unter diesen allen <strong>de</strong>n kleinsten (hier 30) aus .<br />
Man nennt 30 <strong>de</strong>n Hauptnenner <strong>de</strong>r Brüche mit <strong>de</strong>n Nennern 10 und 6.<br />
Der Hauptnenner ist das kgV <strong>de</strong>r Nenner <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Bruchzahlen.<br />
6.1.13 Anordnung <strong>de</strong>r Bruchzahlen<br />
Es ist einfach, zwei natürliche Zahlen <strong>de</strong>r Größe nach anzuordnen. Bei zwei<br />
Bruchzahlen ist es wesentlich schwieriger anzugeben, welche die größere ist.<br />
Beispiel : ist 5 21 größer o<strong>de</strong>r kleiner als 7 30 ?<br />
Einfach ist es, zwei Bruchzahlen, die <strong>de</strong>n gleichen Nenner haben,zu vergleichen<br />
: diejenige mit <strong>de</strong>m größten Zähler ist die größere.<br />
Ebenso kann man Brüche mit <strong>de</strong>m gleichen Zähler gut vergleichen: diejenige<br />
mit <strong>de</strong>m kleineren Nenner ist die größere.<br />
Um beliebige Brüche zu vergleichen, macht man sie durch Erweitern nennergleich.<br />
Beispiel:<br />
5<br />
21 und 7 30<br />
sollen verglichen wer<strong>de</strong>n.<br />
zuerst bestimmen wir das kgV(21;30).<br />
21 = 3 · 7<br />
30 = 3 · 2 · 5<br />
kgV : 3 · 7 · 2 · 5 = 210<br />
5<br />
21 müssen wir mit 2 · 5 = 10 erweitern, also 5 21 = 50<br />
7<br />
30 müssen wir mit 7 erweitern, also 7 30 = 49<br />
210 . Damit gilt : 5<br />
Bruchzahlen sind dicht angeordnet<br />
210<br />
21 > 7 30 .<br />
Es ist . 4 7 > 5 7 .<br />
Erweitert man diese Brüche mit 2 erhält man 8 10<br />
14<br />
und .<br />
14<br />
9<br />
Dazwischen liegt noch die Bruchzahl<br />
14 . Erweitern wir 8 14 und 9 14<br />
mit 1000, so<br />
erhalten wir 8000 9000<br />
14000<br />
und<br />
14000 .<br />
Nun ist:<br />
4<br />
7 = 8 14 = 8000<br />
14000 < 8001<br />
14000 < 8002<br />
14000 < · · · < 8998 8999<br />
14000 14000 < 9000<br />
14000 = 9 14 < 10<br />
14 = 5 7 .<br />
Erweitern wir 8346 8347<br />
25038 42041<br />
14000<br />
und<br />
14000<br />
mit 3 , so erhalten wir<br />
42000<br />
und<br />
14000 , zwischen<br />
<strong>de</strong>nen wie<strong>de</strong>r die Bruchzahlen 25039 25040<br />
42000<br />
und<br />
42000 liegen.<br />
Dies kann man beliebig fortsetzen. Wenn wir zwei Bruchzahlen haben, können<br />
wir immer noch weitere Bruchzahlen angeben, die zwischen diesen bei<strong>de</strong>n angeordnet<br />
sind.<br />
Wir sagen :<br />
Die Menge B <strong>de</strong>r Bruchzahlen ist dicht angeordnet .<br />
Im Gegensatz zu <strong>de</strong>n natürlichen Zahlen hat eine Bruchzahl keinen Nachfolger.<br />
20
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
6.1.14 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen<br />
Zwei Bruchteile einer Größe G kann man zu einem neuen Bruchteil von G zusammensetzen.<br />
Mit Hilfe einer genügend feinen Unterteilung von G erkennen wir, um welchen<br />
Bruchteil es sich han<strong>de</strong>lt.<br />
Beispiel : Wenn wir einen drittel Meter und einen halben Meter durch sechstel<br />
Meter ausdrücken, erhalten wir:<br />
1<br />
3 m + 1 2 m = 2 6 m + 3 6 m = 5 6 m<br />
Man kann nennergleiche Brüche addieren:<br />
a<br />
c + b c = a + b<br />
c<br />
Die Zähler wer<strong>de</strong>n addiert,<strong>de</strong>r gemeinsame Nenner wird beibehalten.<br />
Die Addition von Brüchen<br />
Sind die Nenner <strong>de</strong>r zu addieren<strong>de</strong>n Brüche verschie<strong>de</strong>n, so machen wir die<br />
Brüche zuerst nennergleich.<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Wir bestimmen das kgV aller Nenner.<br />
Dies ist <strong>de</strong>r Hauptnenner (HN)<br />
Die Brüche wer<strong>de</strong>n so erweitert, dass <strong>de</strong>r Hauptnenner zum Nenner wird.<br />
Die Zähler wer<strong>de</strong>n addiert<br />
ggf. wird das Ergebnis noch gekürzt.<br />
Beispiel:<br />
5<br />
8 + 4 9 + 11<br />
24 = 45<br />
72 + 32<br />
72 + 33<br />
72 = 45+32+33<br />
72<br />
= 110<br />
72 = 55<br />
36 = 1 19<br />
36<br />
Die Subtraktion von Brüchen<br />
Bei Differenzen verfährt man entsprechend.<br />
6.1.15 Vielfache und Teile eines Bruchteil es<br />
Vielfache eines Bruchteil es<br />
Das k-fache <strong>de</strong>s Bruch es 1 a ist <strong>de</strong>r Bruch k a ;<br />
Um das k-fache <strong>de</strong>s Bruch es z n<br />
zu bestimmen, müssen wir (k · z) mal <strong>de</strong>n Bruch<br />
1<br />
k·z<br />
n<br />
nehmen; wir erhalten damit <strong>de</strong>n Bruch<br />
n<br />
Teile eines Bruchteils<br />
Der k-te Teil <strong>de</strong>s Bruchs 1 1<br />
a<br />
ist <strong>de</strong>r Bruch<br />
Der k-te Teil <strong>de</strong>s Bruchs z n<br />
ist <strong>de</strong>r Bruch<br />
z<br />
k·a<br />
k·n . 21
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Bruchteile eines Bruchteils<br />
Beispiel: 3 4<br />
einer Zahl be<strong>de</strong>utet, dass zuerst <strong>de</strong>r vierte Teil dieser Zahl gebil<strong>de</strong>t<br />
wird, und dann das Zwischenergebnis dreimal genommen wird.<br />
also : 3 4 von 5 7 erhält man, in<strong>de</strong>m man zuerst ein Viertel von 5 5<br />
7<br />
bil<strong>de</strong>t. d.h<br />
7·4<br />
= 5 28<br />
. (vgl.16.2) und dies dann mit 3 multipliziert , d.h.<br />
5·3<br />
28 .<br />
Um <strong>de</strong>n Bruchteil eines Bruchteils zu bestimmen, müssen wir nur die bei<strong>de</strong>n<br />
Zähler und die bei<strong>de</strong>n Nenner <strong>de</strong>r Bruchteile miteinan<strong>de</strong>r multiplizieren.<br />
6.1.16 MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN<br />
Wenn wir ganze Zahlen als Brüche mit <strong>de</strong>m Nenner 1 auffassen, stellen wir (<br />
vergl. 16.3 ) fest, dass die Bildung von ”<br />
Bruchteilen“von ”<br />
Bruchteilen“in diesem<br />
Fall genau die Multiplikation ganzer Zahlen ergibt.<br />
Multiplikation von Bruchzahlen zu <strong>de</strong>uten.<br />
Zwei Brüche wer<strong>de</strong>n multipliziert, in<strong>de</strong>m man Zähler mit Zähler und Nenner<br />
mit Nenner multipliziert.<br />
Beispiel<br />
3<br />
5 · 1<br />
2 = 3 10<br />
o<strong>de</strong>r in Worten : Die Hälfte von 3 5 ist 3 10<br />
ein weiterer wichtiger Hinweis:<br />
Bevor man - entsprechend <strong>de</strong>r Regel -multipliziert, sollte man immer prüfen,<br />
ob man kürzen kann!<br />
Beispiel:<br />
3<br />
8 · 20<br />
9 = 3·20<br />
8·9 = 31·❩20 ✄ 5 1·5<br />
=<br />
93 2·3<br />
❈8 2·✄ = 1 6 ;<br />
ungeschickt wäre die Rechnung :<br />
3<br />
8 · 20<br />
9 = 3·20<br />
8·9 = 60<br />
72<br />
hier kann man zwar noch relativ leicht erkenne, dass man durch 12 - o<strong>de</strong>r nacheinan<strong>de</strong>r<br />
durch 3 und durch 4 - kürzen kann, aber das nächste Beispiel stellt<br />
uns bei ungeschicktem Vorgehen vor - fast - unlösbare Probleme:<br />
17<br />
23 · 46<br />
51 = 782<br />
1173<br />
Ohne Anwendung <strong>de</strong>s euklidischen Algorithmus wird wohl kaum jemand - im<br />
Ergebnis! - auf die Möglichkeit stoßen, dass man durch 391 = 23 · 17 kürzen<br />
kann<br />
Wählt man dagegen das geschicktere Vorgehen - zuerst kürzen und dann multiplizieren,<br />
erhält man die folgen<strong>de</strong> Rechnung:<br />
17<br />
23 · 46<br />
51 = 17·46<br />
23·51 = ✚17 1·❩46 2<br />
❩23 1·✚51 = 1·2<br />
3 1·3 = 2 3 ;<br />
6.1.17 Exkurs : Rechengesetze<br />
Für das Rechnen mit ganzen Zahlen gelten (u.a.) folgen<strong>de</strong> Gesetze :<br />
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Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze)<br />
Assoziativgesetze (Verbindungsgesetze)<br />
Neutrales Element<br />
a + b = b + a<br />
a · b = b · a<br />
a + (b + c) = (a + b) + c<br />
a · (b · c) = (a · b) · c<br />
a + 0 = a<br />
a · 1 = a<br />
Umkehrung<br />
Die Umkehrung <strong>de</strong>r Addition ist die Subtraktion; die Umkehrung <strong>de</strong>r Multiplikation<br />
ist die Division.<br />
a + b = c ⇔ c − a = b ⇔ c − b = a<br />
c<br />
a · b = c ⇔<br />
a = b ⇔ c<br />
b = a<br />
Die Subtraktion a - b ist aber (falls die negativen Zahlen noch unbekannt sind)<br />
nur möglich, wenn a ¿ b ist.<br />
Die Division a : b ist in <strong>de</strong>r Menge <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen nur dann umkehrbar,<br />
wenn b ein Teiler von a ist. Nach Einführung <strong>de</strong>r Bruchzahlen lässt sich <strong>de</strong>r<br />
Quotient a : b immer bil<strong>de</strong>n, er ist die Bruchzahl a b .<br />
Nur die Division durch ’Null’ ist weiterhin nicht durchführbar.<br />
Permanenzprinzip<br />
Die Bruchzahlen wur<strong>de</strong>n eingeführt, um je<strong>de</strong> Division in <strong>de</strong>r Menge <strong>de</strong>r natürlichen<br />
Zahlen ausführen zu können.<br />
Die natürlichen Zahlen bil<strong>de</strong>n eine Teilmenge <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen, sie lassen<br />
sich als Bruchzahlen mit <strong>de</strong>m Nenner ’eins’ auffassen : n = n 1 .<br />
Das Permanenzprinzip führt zur For<strong>de</strong>rung, die Regeln für das Bruchrechnen<br />
so zu fassen, dass alle Rechnungen mit natürlichen Zahlen das gleiche Ergebnis<br />
haben,<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
wenn wir wie bisher rechnen, o<strong>de</strong>r aber,<br />
schreiben und die Rechen-<br />
wenn wir die natürlichen Zahlen in <strong>de</strong>r Form n 1<br />
regeln für Bruchzahlen anwen<strong>de</strong>n.<br />
ˆ<br />
weiter sollen die obigen Rechengesetze möglichst uneingeschränkt auch für<br />
Bruchzahlen gelten.<br />
Dass diese Bedingungen erfüllt. sind, müsste eigentlich bewiesen wer<strong>de</strong>n.<br />
6.1.18 Division von Bruchzahlen<br />
Umkehrung <strong>de</strong>r Multiplikation<br />
Wenn ich beim Rechnen mit natürlichen Zahlen eine Zahl p zuerst mit einer<br />
Zahl q multipliziere, und dann das Ergebnis wie<strong>de</strong>r durch q dividiere, erhalte<br />
ich als Ergebnis wie<strong>de</strong>r <strong>de</strong>n Wert p :<br />
(p · q) : q = p<br />
Dieses soll nach <strong>de</strong>m Permanenzprinzip auch für Brüche gelten :<br />
Es sei p = a b und q = c d<br />
23
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Also soll sein:<br />
Nun muss gelten :<br />
(p · q) : q = p (6.1)<br />
( a<br />
b · c )<br />
: c = a (6.2)<br />
d d b<br />
( a · c<br />
)<br />
: c b · d d<br />
= a b<br />
(6.3)<br />
Wir bemerken, dass wir das Ergebnis auf <strong>de</strong>r rechten Seite erhalten können,<br />
wenn wir statt durch c d zu dividieren, mit d c multiplizieren:<br />
( a · c<br />
)<br />
· d<br />
b · d c<br />
= a · c · d<br />
b · d · c = a b<br />
Durch Vergleich erhalten wir die Regel für das Dividieren durch Brüche:<br />
(6.4)<br />
a<br />
b : c d = a b · d<br />
c<br />
(6.5)<br />
Durch einen Bruch wird dividiert, in<strong>de</strong>m man mit <strong>de</strong>m Kehrwert multipliziert.<br />
eine etwas an<strong>de</strong>re Begründung :<br />
Zu <strong>de</strong>r Multiplikations-Gleichung p · q = r gehört bei <strong>de</strong>n ganzen Zahlen die<br />
Divisions-Gleichung r : q = p.<br />
Es sei nun p = a b , q = c d und r = e f ; ,<br />
Wir vergleichen:<br />
p · q = r mit r : q = p<br />
a<br />
b · c<br />
d = e f<br />
e<br />
f : c d = a b<br />
Um die Division auf <strong>de</strong>r rechten Seite ein Ergebnis zu erhalten, suchen wir<br />
geeignete Ausdrücke für a und b auf <strong>de</strong>r linken Seite:<br />
Offensichtlich wird die Gleichung zu einer wahren Aussage, wenn wir a = d · e<br />
und b = c · f setzen:<br />
a<br />
b · c<br />
d = d·e<br />
c·f · c e<br />
e<br />
d f<br />
f : c d = a b<br />
Das gleiche muss auch auf <strong>de</strong>r rechten Seite richtig sein:<br />
a<br />
b · c<br />
d = d·e<br />
c·f · c<br />
d<br />
Beachte<br />
e<br />
f<br />
e<br />
f : c d = a b = d·e<br />
c·f = e f · d<br />
c<br />
Bei Divisionen gelten we<strong>de</strong>r das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz!<br />
d.h. : man darf die Zahlen nicht vertauschen und Klammern nicht umsetzen!<br />
6.1.19 Brüche in Dezimalschreibweise<br />
Stellenwertsysteme<br />
Wenn die Zahl zweitausendvierhun<strong>de</strong>rtdreiundsiebzig in <strong>de</strong>r Form 2473 geschrieben<br />
wird, ist dies eine Kurzfassung von<br />
2473 :=2 Tausen<strong>de</strong>r + 4 Hun<strong>de</strong>rter + 7 Zehner + 3 Einer<br />
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<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
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Unser Zahlensystem basiert auf <strong>de</strong>r Zahl Zehn ( zehn Finger, an <strong>de</strong>nen man<br />
zählen kann !); Hun<strong>de</strong>rt ist 10·10, Tausend 10·10·10.<br />
Denkbar ist es, dass man an<strong>de</strong>re Zahlen als die Zehn zur Basis einer Zahlenschreibweise<br />
macht.<br />
Wir <strong>de</strong>nken uns z. ein Volk, das ein Fünfer-System benutzt ; dieses wür<strong>de</strong> nur die<br />
Ziffern 0 5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 benötigen, da die Fünf bereits in <strong>de</strong>r Form 10 5 geschrieben<br />
wür<strong>de</strong>. (Die kleine ”<br />
5“ <strong>de</strong>utet an, dass es eine Zahl in Fünfer-Schreibweise<br />
ist.)<br />
Die Zahl 198 10 wür<strong>de</strong> dann dargestellt als :1 Hun<strong>de</strong>rtfünfundzwanziger + 2<br />
Fuenfundzwanziger + 4 Fünfer + 3 Einer, d.h. 1243 5<br />
Dezimalschreibweise<br />
Mit <strong>de</strong>r Stellenwertschreibweise kann man nicht nur ganze, son<strong>de</strong>rn auch (manche)<br />
Bruchzahlen gut darstellen:<br />
Beispiel : 3 Zehner + 4 Einer + 2 Zehntel + 5 Hun<strong>de</strong>rtstel + 7 Tausendstel<br />
schreibt man kürzer als 34,257<br />
man schreibt die Zahlen also in <strong>de</strong>r Form<br />
... ¡Hun<strong>de</strong>rter¿¡Zehner¿¡Einer¿,¡Zehntel¿¡Hun<strong>de</strong>rtstel¿¡Tausendstel¿ ...<br />
Das Komma steht zwischen <strong>de</strong>n Einern und <strong>de</strong>n Zehnteln.<br />
Die Ziffern hinter <strong>de</strong>m Komma heißen Dezimalen.<br />
Beispiele<br />
Die Zahl 3 Tausen<strong>de</strong>r + 4 Zehner + 5 Einer schreibt man 3045<br />
Man muss die nicht aufgeführten 0 Hun<strong>de</strong>rter berücksichtigen.<br />
Entsprechend muss man bei 3 Einer + 2 Hun<strong>de</strong>rtstel die Zehntel berücksichtigen:<br />
3 Einer + 0 Zehntel + 2 Hun<strong>de</strong>rtstel - also 3,02<br />
Umformen von <strong>de</strong>r Bruch- in die Dezimalschreibweise<br />
Auch <strong>de</strong>r Bruch 3 4<br />
lässt sich als Dezimalbruch schreiben; hierzu erweitern wir<br />
ihn zuerst so, dass <strong>de</strong>r Nenner eine Potenz von 10 wird :<br />
3<br />
4 = 75<br />
100 = 70<br />
100 + 5<br />
100 = 0 + 7 10 + 5<br />
100<br />
= 0, 75<br />
Verschie<strong>de</strong>ne Darstellungen<br />
Es ist 3 10 = 30<br />
100 = 300<br />
1000 = 3000<br />
10000<br />
= · · · , also ist 0, 3 = 0, 30 = 0, 300 = 0, 3000 =<br />
· · · .<br />
Wir dürfen hinter einem Komma am Schluss <strong>de</strong>s Dezimalbruchs beliebig viele<br />
Nullen anfügen bzw. weglassen.<br />
Umwandlungsprobleme<br />
Der Bruch 1 3<br />
lässt sich nicht so erweitern, dass <strong>de</strong>r Zähler eine Potenz von 10<br />
wird, da Potenzen von Zehn nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten können,<br />
aber nicht die 3.<br />
1<br />
3 können wir also (vorläufig) nicht in eine Dezimalzahl umwan<strong>de</strong>ln. 25
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
6.1.20 Ordnen von Dezimalbrüchen<br />
Ordnen<br />
Stehen bei einer Dezimalzahl vor <strong>de</strong>m Komma verschie<strong>de</strong>ne Zahlen, ist diejenige<br />
die größere, bei <strong>de</strong>r die größere Zahl vor <strong>de</strong>m Komma steht.<br />
Stehen vor <strong>de</strong>m Komma die gleichen Zahlen, so wer<strong>de</strong>n die Ziffern hinter <strong>de</strong>m<br />
Komma von links nach rechts verglichen. Diejenige ist dann die größere Zahl,<br />
bei <strong>de</strong>n zuerst eine höhere Ziffer steht.<br />
Beispiele<br />
98,76 ¡ 123,4 , da 98 ¡ 123<br />
6,97599 ¡ 6,9760123 , da (von links!) in <strong>de</strong>r dritten Dezimalen zum ersten mal<br />
ein Unterschied auftritt; dabei sind die dann noch folgen<strong>de</strong>n Dezimalen völlig<br />
uninteressant<br />
Dichte Ordnung<br />
Es ist 1 ¡ 2<br />
1,1¡ 1,2<br />
1,13 ¡ 1,17<br />
1,132 ¡ 1,133<br />
.......<br />
1,1328759 ¡ 1,1328760<br />
1,13287595¡ 1,13287596<br />
usw.<br />
Bei ganzen Zahlen kann man immer <strong>de</strong>n ’Nachfolger’ angeben. So folgt nach<br />
<strong>de</strong>r Zahl 165 die Zahl 166. Es gibt keine ganze Zahl, die ’zwischen’ 165 und 166<br />
liegt.<br />
Zwischen zwei verschie<strong>de</strong>nen Dezimalbrüchen kann man immer weitere (sogar<br />
unendlich viele) Dezimalbrüche angeben, die dazwischen liegen.<br />
Die Dezimalbrüche sind dicht angeordnet.<br />
6.1.21 Run<strong>de</strong>n von Dezimalbrüchen<br />
Rundungen<br />
Enthält ein Dezimalbruch überflüssige (o<strong>de</strong>r ungenaue) Dezimalen, so muss gerun<strong>de</strong>t<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
Vor <strong>de</strong>m Run<strong>de</strong>n muss man wissen, wie viele Stellen die gerun<strong>de</strong>te Zahl haben<br />
soll. Die überflüssigen Ziffern lässt man weg.<br />
Lautet die erste wegzulassen<strong>de</strong> Ziffer 0;1;2;3 o<strong>de</strong>r 4, so wird abgerun<strong>de</strong>t, d.h.<br />
von dieser Ziffer an wer<strong>de</strong>n die nachfolgen<strong>de</strong>n weggelassen.<br />
Lautet die erste wegzulassen<strong>de</strong> Ziffer 5;6;7;8 o<strong>de</strong>r 9, so wird aufgerun<strong>de</strong>t,d.h.<br />
die letzte stehen bleiben<strong>de</strong> Ziffer wird um 1 erhöht.<br />
Ein gerun<strong>de</strong>tes Ergebnis wird durch ”<br />
≈“gekennzeichnet.<br />
26
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Beispiele<br />
104,465421968 ≈ 104,46542197 ≈ 104,4654220 ≈ 104,465422 ≈ 104,46542<br />
≈ 104,46542 ≈ 104,4654 ≈ 104,465 ≈ 104,47 ≈ 104,5 ≈ 104<br />
Vorsicht!!!:Bei mehrfachem Run<strong>de</strong>n aufpassen;möglichst immer vom ursprünglichen<br />
Wert ausgehen !<br />
4,4545 ≈ 4,455 ≈ 4,45 ≈ 4,5 ≈ 4<br />
und nicht4,4545 ≈ 4,455 ≈ 4,46 ≈ 4,5 ≈ 5<br />
Genauigkeit, gelten<strong>de</strong> Ziffern<br />
In <strong>de</strong>r <strong>Mathematik</strong> wer<strong>de</strong>n Ergebnisse exakt (nach einem Gleichheitszeichen, =)<br />
o<strong>de</strong>r gerun<strong>de</strong>t (nach einem ”<br />
Ungefähr-Zeichen“, ≈) angegeben.<br />
In <strong>de</strong>r Physik und <strong>de</strong>r Technik gibt man alle Ergebnisse (Messwerte o<strong>de</strong>r daraus<br />
berechnete Werte) mit einer sinnvollen Anzahl an sog. gelten<strong>de</strong>n Ziffern (an<strong>de</strong>re<br />
Bezeichnung: gültige Ziffern) an.<br />
Im Rahmen <strong>de</strong>r Messgenauigkeit bei z.B. Streckenlängen ist es je nach Messanordnung<br />
nur möglich, eine Genauigkeit z.B. im Zentimeterbereich anzugeben,<br />
z.B. 12 cm. Dies be<strong>de</strong>utet, die tatsächliche Länge kann im Bereich von [11,5 cm;<br />
12,5 cm[ liegen. Gibt man dagegen <strong>de</strong>n Messwert mit 12,0 cm an, so heißt dies,<br />
dass <strong>de</strong>r tatsächliche Wert im Bereich von [11,95 cm; 12,05 cm[ liegt. im ersten<br />
Fall wur<strong>de</strong> auf <strong>de</strong>n Zenti-, im zweiten auf <strong>de</strong>n Milli-Meter genau gemessen.<br />
Also:<br />
Die ”<br />
physikalische“ Angabe 12 cm ist gleichbe<strong>de</strong>utend mit <strong>de</strong>m Intervall [11,5<br />
cm; 12,5 cm[, die Angabe 12,0 cm ist gleichbe<strong>de</strong>utend mit <strong>de</strong>m Intervall [11,95<br />
cm; 12,05 cm[. In <strong>de</strong>r Physik und <strong>de</strong>r Technik be<strong>de</strong>uten 12 und 12,0 also nicht<br />
das selbe!<br />
Wenn nach <strong>de</strong>m Run<strong>de</strong>n die letzte Ziffer eine Null ist, wird sie nicht weggelassen.<br />
Regeln für die Anzahl an gelten<strong>de</strong>n Ziffern<br />
Beim Zählen <strong>de</strong>r gelten<strong>de</strong>n Ziffern wer<strong>de</strong>n (ohne Rücksicht auf das Komma)<br />
alle von Null verschie<strong>de</strong>nen Ziffern, sowie Zwischen- und Endnullen gezählt.<br />
Vornullen zählen nicht!<br />
Technisches Run<strong>de</strong>n<br />
Die obigen Regeln gelten genau genommen nur im kaufmännischen Bereich; bei<br />
wissenschaftlich-technischen Fragestellungen wird geringfügig an<strong>de</strong>rs vorgegangen,<br />
wenn nur eine ’5’ wegzulassen ist. Dies wer<strong>de</strong>n wir nicht behan<strong>de</strong>ln.<br />
6.1.22 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen<br />
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen<br />
Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen schreiben wir diese<br />
zunächst so auf, dass Komma unter Komma steht; danach addieren (subtrahieren)<br />
wir stellenweise; die Stellung <strong>de</strong>s Komma bleibt.<br />
27
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
2 1 0 7, 3 4<br />
+ 2 2, 5 1 7<br />
+ 7 8 1, 1<br />
= 2 9 1 1, 9 5 7<br />
2 1 0 7, 3 4<br />
- 2 2, 5 1 7<br />
- 7 8 1, 1<br />
= 1 3 0 3, 7 2 3<br />
Addieren und Subtrahieren von Größen<br />
Sollen Größen (z. Längen o<strong>de</strong>r Gewichte ) addiert o<strong>de</strong>r subtrahiert wer<strong>de</strong>n, so<br />
müssen wir sie zuerst in <strong>de</strong>r gleichen Einheit ausdrücken.<br />
1073,4 dm + 2251,7 cm + 2,7811 km<br />
=107,34 m + 22,517 m + 2781,1 m<br />
Addieren und Subtrahieren gerun<strong>de</strong>ter Dezimalbrüche<br />
Beim Addieren (Subtrahieren) gerun<strong>de</strong>ter Dezimalbrüche rechnet man zuerst<br />
genau. Dann run<strong>de</strong>t man das En<strong>de</strong>rgebnis stets auf die Anzahl <strong>de</strong>r Dezimalen<br />
<strong>de</strong>s ungenauesten Dezimalbruchs.<br />
1073,4 dm + 2251,7 cm + 2,7811 km<br />
= 107,34 m + 22,517 m + 2781,1 m<br />
= 2910,957 m<br />
≈ 2912,0 m<br />
6.1.23 Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen<br />
Multiplizieren<br />
Ein Dezimalbruch wird mit 10 ( 100; 1000; ... ) multipliziert, in<strong>de</strong>m man das<br />
Komma um 1 ( 2; 3; ... ) Stelle(n) nach rechts rückt.<br />
Dividieren<br />
Ein Dezimalbruch wird durch 10 ( 100; 1000; ... ) dividiert, in<strong>de</strong>m man das<br />
Komma um 1 ( 2; 3; ... ) Stelle(n) nach links rückt.<br />
Beispiele<br />
0,005 · 10 = 0,05 130 : 10 = 13<br />
0,005 · 100 = 0,5 130 : 100 = 1,3<br />
0,005 · 1000 = 5 130 : 1000 = 0,13<br />
0,005 · 10000 = 50 130 : 10000 = 0,01<br />
6.1.24 Multiplizieren von Dezimalbrüchen<br />
Beispiel<br />
Wie ein Dezimalbruch mit einem an<strong>de</strong>ren multipliziert wird, erkennt man am<br />
einfachsten mit Hilfe <strong>de</strong>r Bruchstrich-Schreibweise:<br />
Bei<strong>de</strong> Faktoren haben in <strong>de</strong>r Dezimalschreibweise eine Ziffer hinter <strong>de</strong>m Komma.<br />
In <strong>de</strong>r Bruchstrich-Schreibweise haben sie also bei<strong>de</strong> <strong>de</strong>n Nenner 10 (die Zähler<br />
sollen ganze Zahlen sein). Für das Produkt ergibt sich damit <strong>de</strong>r Nenner 100;<br />
das Produkt hat also in Dezimalschreibweise zwei Dezimalen.<br />
Entsprechend ergibt sich : Hat einer <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Faktoren eine Dezimale, <strong>de</strong>r<br />
an<strong>de</strong>re zwei Dezimalen, so hat das Produkt drei Dezimalen.<br />
28
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Multiplizieren von Dezimalbrüchen<br />
Dezimalbrüche wer<strong>de</strong>n multipliziert, in<strong>de</strong>m man zunächst ohne Rücksicht auf<br />
das Komma multipliziert. Das Produkt hat dann so viele Dezimalen , wie die<br />
Faktoren zusammen.<br />
Beispiele<br />
0,37 · 8,1537<br />
3 7 · 8 1 5 3 7<br />
2 5 9<br />
1 1 1<br />
1 8 5<br />
3 7<br />
2 9 6<br />
3 0 1 6 8 6 9<br />
37·81537 ergibt 3016869. Die Zahl<br />
0,37 hat zwei, die Zahl 8,1537 hat<br />
sechs Dezimalen. Das Ergebnis muss<br />
also sechs Dezimalen haben. Es ist<br />
damit:<br />
0,37 · 8,1537 = 3,016869<br />
Ein Überschlagsrechnung sollte<br />
zusätzlich gemacht wer<strong>de</strong>n: 0,37 ist<br />
etwa ein drittel; ein Drittel von 8 ist<br />
knapp 3. Damit muss das Ergebnis<br />
3,016869 und nicht 30,16869 o<strong>de</strong>r<br />
0,3016869 sein.<br />
0,25 · 6,4<br />
2 5 · 6 4<br />
1 0 0<br />
1 5 0<br />
1 6 0 0<br />
Die bei<strong>de</strong>n Zahlen haben zusammen<br />
drei Dezimalen, also ist das Ergebnis<br />
0,25 · 6,4 = 1,600 =1,6.<br />
Hier ist zu beachten, dass die Nullen<br />
am En<strong>de</strong> erst weggelassen wer<strong>de</strong>n<br />
dürfen, wenn die Stellung <strong>de</strong>s Komma<br />
bestimmt wor<strong>de</strong>n ist !<br />
Aus hier empfiehlt sich die Überschlagsrechnung:<br />
Ein Viertel von<br />
sechs ist etwa ein einhalb!<br />
6.1.25 gegensinnige Kommaverschiebung<br />
Nach <strong>de</strong>r obigen Multiplikationsregel ergeben die bei<strong>de</strong>n Produkte<br />
0, 0429 · 76, 9 und 4, 29 · 0, 769<br />
das gleiche Ergebnis.<br />
Die Ziffernfolgen sind gleich und in bei<strong>de</strong>n Produkten gibt es zusammen 5 Dezimalen.<br />
Ein Produkt än<strong>de</strong>rt sich nicht, wenn man das Komma bei <strong>de</strong>n bei<strong>de</strong>n Faktoren<br />
um gleich viele Stellen im entgegengesetzten Sinn verschiebt.<br />
Dies lässt sich für Überschlagsrechnungen benutzen:<br />
Im obigen Beispiel lässt sich die Größenordnung <strong>de</strong>r Produktes 0, 0429·76, 9 nur<br />
schwer abschätzen.<br />
Beim Produkt 4, 29 · 0, 769 kann man dagegen schnell und einfach nähern :<br />
4, 29 · 0, 769 ≈ 4 · 0, 8 = 3, 2<br />
Erhält man dann z.B durch eine Rechnung <strong>de</strong>n Wert 32,298 o<strong>de</strong>r 0,32298, so<br />
sollte man seine Rechnung noch einmal genau prüfen.<br />
29
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
6.1.26 Division von Dezimalbrüchen<br />
6.1.27 Begründung <strong>de</strong>r schriftlichen Division<br />
Soll man 1134 im Kopf durch 7 dividieren, kann man so vorgehen:<br />
- in 1134 ist die 7 100-mal enthalten; es bleibt ein Rest von448<br />
- in 434 ist die 7 60-mal enthalten; es bleibt ein Rest von 14<br />
- in 14 ist die 7 4-mal enthalten; es bleibt kein Rest<br />
also ist die 7 in 1148 insgesamt (100+60+4)-mal enthalten.<br />
Das - bekannte - Verfahren <strong>de</strong>r schriftlichen Division lässt sich damit ganz einfach<br />
so erklären:<br />
T H Z E T H Z E<br />
1 1 3 4 : 7 = 0 1 6 2<br />
- 0 1T :7 = 0T Rest 1<br />
1 1<br />
- 7 11H:7 = 1H Rest 4<br />
4 3<br />
- 4 2 43Z:7 = 6Z Rest 1<br />
1 4<br />
- 1 4 14E:7 = 2E Rest 0<br />
0<br />
6.1.28 Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen<br />
Das Verfahren wird entsprechend angewandt, wenn <strong>de</strong>r Divi<strong>de</strong>nd ein Dezimalbruch<br />
ist. ( T:Tausen<strong>de</strong>r; H:Hun<strong>de</strong>rter; Z:Zehner; E:Einer; z:Zehntel; h:Hun<strong>de</strong>rtstel,<br />
t : tausendstel)<br />
H Z E , z h t E , z h t<br />
1 6 1 , 4 9 : 42 = 3 , 8 4 5<br />
- 1 2 6 161E:42=3R+35E:42<br />
3 5 4<br />
- 3 3 6 354z:42=8z+18z:42<br />
1 8 9<br />
- 1 6 8 189h:42=4h+21h:42<br />
2 1 0<br />
- 2 1 0 210t:42=5t<br />
Wir nutzen hier im vorletzten Schritt aus, dass 21 hun<strong>de</strong>rtstel in 210 tausendstel<br />
umgewan<strong>de</strong>lt wer<strong>de</strong>n können.<br />
Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei natürlichen<br />
Zahlen.<br />
Beim Überschreiten <strong>de</strong>s Kommas im Divi<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n ist auch im Ergebnis ein<br />
Komma zu setzen..<br />
Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei natürlichen<br />
Zahlen. Beim Überschreiten <strong>de</strong>s Kommas im Divi<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n ist auch im Ergebnis<br />
ein Komma zu setzen.<br />
Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch<br />
Die Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch lässt sich durch<br />
Erweitern auf <strong>de</strong>n schon bekannten Fall <strong>de</strong>r Division eines Dezimalbruchs durch<br />
30
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
eine ganze Zahl zurückführen: Beispiel :<br />
16,149<br />
4,2<br />
= 16,149·10<br />
4,2·10<br />
= 161,49<br />
42<br />
= 3, 845<br />
ˆ Bei Divi<strong>de</strong>nd und Divisor wird das Komma um gleich viele Stellen soweit<br />
nach rechts geschoben, dass <strong>de</strong>r Divisor ganzzahlig wird.<br />
ˆ<br />
Dann wird - wie bei natürlichen Zahlen - dividiert.<br />
ˆ<br />
Beim Überschreiten <strong>de</strong>s Kommas im Divi<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n wird im Ergebnis ein<br />
Komma gesetzt<br />
6.1.29 Periodische Dezimalbrüche<br />
Berechnet man nach <strong>de</strong>m obigen Verfahren <strong>de</strong>n Quotienten 100 : 88 , so erhält<br />
man :<br />
1 0 0 : 8 8 = 1 , 1 3 6 3 6 3 · · ·<br />
- 8 8<br />
1 2 0<br />
- 8 8<br />
3 2 0<br />
- 2 6 4<br />
5 6 0<br />
- 5 2 8<br />
3 2 0<br />
- 2 6 4<br />
5 6 0<br />
- 5 2 8<br />
3 2 0<br />
- 2 6 4<br />
5 2<br />
Die Zifferngruppe 36 wie<strong>de</strong>rholt sich im Ergebnis immer wie<strong>de</strong>r, da auch die<br />
Reste 32 und 56 immer wie<strong>de</strong>r auftreten. Die Zifferngruppe 36 nennen wir Perio<strong>de</strong>.<br />
Dezimalbrüche mit einer Perio<strong>de</strong> heißen periodische Dezimalbrüche<br />
Statt 1,1363636363636... schreiben wir kürzer 1, 136<br />
Der Strich zeigt die erste vollständige Perio<strong>de</strong> nach <strong>de</strong>m Komma an.<br />
Gelesen wird so: Eins Komma eins Perio<strong>de</strong> drei sechs“<br />
”<br />
Entstehen <strong>de</strong>r Perio<strong>de</strong><br />
Wir wissen schon, dass sich Bruchzahlen, in <strong>de</strong>ren Nenner - nach ggf. erfolgtem<br />
Kürzen - nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, in endliche Dezimalbrüche<br />
umwan<strong>de</strong>ln lassen.<br />
Alle an<strong>de</strong>ren Bruchzahlen führen auf periodische Brüche.<br />
Weshalb tritt eine Perio<strong>de</strong> auf?<br />
Wir betrachten die Reste, die auftreten, wenn alle im Divi<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n vorhan<strong>de</strong>nen<br />
Ziffern bereits berücksichtigt wur<strong>de</strong>n. D.h., wir müssen nun immer eine ’0’<br />
” herunterholen“ und an <strong>de</strong>n jeweiligen Rest ” anhängen“.<br />
Tritt nun ein Rest ein weiteres mal auf, wie<strong>de</strong>rholt sich <strong>de</strong>r ganze Rechenweg<br />
dazwischen immer wie<strong>de</strong>r.<br />
31
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Im obigen Beispiel ergab sich: 320 : 88 =3 Rest 56;<br />
Dann folgte: 560 : 88 =6 Rest 32;<br />
Und dann wie<strong>de</strong>r:<br />
320 : 88 =3 Rest 56; usw. usw.<br />
Dies kann nie aufhören.<br />
Perio<strong>de</strong>nlänge<br />
Im folgen<strong>de</strong> sind einige periodische Dezimalbrüche (nur Stammbrüche) aufgeführt:<br />
1<br />
3<br />
= 0, 3<br />
1<br />
6<br />
= 0, 16<br />
1<br />
7<br />
= 0, 142857<br />
1<br />
9<br />
= 0, 1<br />
1<br />
11<br />
= 0, 09<br />
1<br />
12<br />
= 0, 083<br />
1<br />
13<br />
= 0, 076923<br />
1<br />
17<br />
= 0, 0588235294117647<br />
1<br />
21<br />
= 0, 047619<br />
1<br />
29<br />
= 0, 0344827586206896551724137931<br />
1<br />
37<br />
= 0, 027<br />
1<br />
41<br />
= 0, 02439<br />
1<br />
61<br />
= 0, 01639344262295081967213114754098360655737049180327868852459<br />
Es lässt sich zwar nicht einfach beantworten, wie lang die Perio<strong>de</strong> eines beliebigen<br />
Bruchs wird. Wir können aber ganz einfach ermitteln, wie lang sie höchstens<br />
sein kann:<br />
Der Grund für das Auftreten <strong>de</strong>r Perio<strong>de</strong> liegt im wie<strong>de</strong>rholten Auftreten <strong>de</strong>r<br />
Reste. Nun können aber nicht beliebig viele verschie<strong>de</strong>ne Reste auftreten.<br />
Bei <strong>de</strong>r Division 1/17 sind z.B. nur die Zahlen 1,2,...,15,16 als Rest möglich.<br />
Damit kann die Perio<strong>de</strong> von 1/17 nicht länger als 16 sein.<br />
Entsprechen<strong>de</strong>s gilt für an<strong>de</strong>re Brüche, wobei die Perio<strong>de</strong> auch <strong>de</strong>utlich kürzer<br />
sein kann. Bei 1/37 z.B. kann sie nicht länger als 36 sein; sie ist sogar nur 3<br />
Stellen lang.<br />
Dagegen hat 1/61 mit 60 Stellen eine Perio<strong>de</strong> mit maximaler Länge<br />
6.1.30 Brüche und (periodische) Dezimalzahlen<br />
Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) Dezimalzahl<br />
Nun können wir je<strong>de</strong>n Bruch als Dezimalbruch darstellen; dabei müssen wir nur<br />
- nach <strong>de</strong>m Verfahren für die Division durch Dezimalbrüche - <strong>de</strong>n Zähler durch<br />
<strong>de</strong>n Nenner teilen.<br />
Je<strong>de</strong>r Bruch lässt sich damit als endlicher Dezimalbruch o<strong>de</strong>r als periodischer<br />
Dezimalbruch schreiben.<br />
Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in einen Bruch<br />
Wir schreiben die Dezimalzahl in <strong>de</strong>n Zähler eines Bruchs mit <strong>de</strong>m Nenner 1.<br />
Dann erweitern wir diesen Bruch mit <strong>de</strong>r Zehnerpotenz, die dazu führt, dass im<br />
Zähler gera<strong>de</strong> keine Ziffer mehr hinter <strong>de</strong>m Komma steht.<br />
Beispiel:<br />
1, 234 = 1,234<br />
1<br />
= 1234<br />
1000<br />
32
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Erweitert wur<strong>de</strong> mit 1000.<br />
Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch<br />
Zuerst als Beispiel, wie sich die Umwandlung <strong>de</strong>s periodischen Dezimalbruchs<br />
1, 184 in einen Bruch durchführen lässt:<br />
1000 · 1, 184 = 1184, 84<br />
- 10 · 1, 184 = 11, 84<br />
990 · 1, 184 = 1173, 00<br />
Damit gilt: 1, 184 = 1173<br />
990 = 391<br />
330 = 1 61<br />
330<br />
Das Verfahren läuft so:<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Wir multiplizieren die periodische Dezimalzahl mit <strong>de</strong>r Zehnerpotenz<br />
Z 1 , so dass das Komma hinter <strong>de</strong>r ersten Perio<strong>de</strong> steht.<br />
Dann multiplizieren wir die Zahl mit <strong>de</strong>r Zehnerpotenz Z 2 , so dass das<br />
Komma vor <strong>de</strong>r Perio<strong>de</strong> steht<br />
Die Differenz <strong>de</strong>r Ergebnisse bil<strong>de</strong>t <strong>de</strong>n Zähler, die Differenz <strong>de</strong>r Zehnerpotenzen<br />
<strong>de</strong>n Nenner <strong>de</strong>s zugehörigen Bruchs.<br />
Der Bruch muss dann eventuell noch gekürzt und in eine gemischte Zahl<br />
umgewan<strong>de</strong>lt wer<strong>de</strong>n.<br />
33
In<strong>de</strong>x<br />
Überschlagsrechnungen, 9<br />
Division<br />
Bruchzahlen, 23<br />
Quotient, 7<br />
Abrun<strong>de</strong>n, 5<br />
abrun<strong>de</strong>n, 26<br />
addieren, 6<br />
Addition, 7<br />
Bruchzahlen, 21<br />
Dezimalbruch, 27<br />
Algorithmus, Euklidischer, 15<br />
Anordnung<br />
Bruchzahlen, 20<br />
Assoziativgesetz, 8<br />
Aufrun<strong>de</strong>n, 5<br />
aufrun<strong>de</strong>n, 26<br />
Aussageformen, 9<br />
Aussagen, 9<br />
Basis, 9<br />
Binarsystem, 9<br />
Bruch, 19<br />
Bruchrechnung, 11<br />
Bruchteil<br />
eines Bruchteils, 22<br />
Bruchteile, 18<br />
Bruchzahlen, 18<br />
Anordnung, 20<br />
Dezimalbruch<br />
Division, 30<br />
Multiplikation, 28<br />
periodisch, 31<br />
Dezimalschreibweise, 24, 25<br />
Dezimalsystem, 9<br />
dicht angeordnet, 20<br />
Differenz, 7<br />
Distributivgesetz, 8<br />
Divi<strong>de</strong>nd, 7<br />
Division, 7, 8<br />
Dezimalbruch, 30<br />
Divisor, 7<br />
Eratosthenes, Sieb <strong>de</strong>s, 16<br />
Erweitern, 19<br />
Euklidischer Algorithmus, 15<br />
Exponent, 9<br />
Faktor, 7<br />
gekürzt<br />
vollständig, 19<br />
Geldwerte, 6<br />
gelten<strong>de</strong> Ziffern, 27<br />
gemischte Zahl, 19<br />
Geometrie, 10<br />
ggT, 13<br />
Bestimmung <strong>de</strong>s, 14, 15<br />
Gleichung, 10<br />
allgemeingültig, 10<br />
erfullen, 10<br />
Größe<br />
Teile einer, 18<br />
Vielfache einer, 18<br />
Größen, 6<br />
Grundzahl, 9<br />
Hauptnenner, 20<br />
Hexa<strong>de</strong>zimalsystem, 9<br />
Hochzahl, 9<br />
Kürzen, 19<br />
kürzen, 22<br />
Kehrwert, 19, 24<br />
kgV, 14, 20<br />
Bestimmung <strong>de</strong>s, 14<br />
Kommutativgesetz, 8<br />
Kubikzahlen, 9<br />
Längen, 6<br />
Lösungsmenge, 10<br />
34
<strong>Mathematik</strong> Klasse 5/6<br />
(ht) <strong>Regelheft</strong> 2. September 2007<br />
Maßeinheit, 6<br />
Maßzahl, 6<br />
Massen, 6<br />
Minuend, 7<br />
Multiplikation, 7<br />
Bruchzahlen, 22<br />
Dezimalbruc, 28<br />
multiplizieren, 6<br />
Nenner, 19<br />
Oktalsystem, 9<br />
Ordnung<br />
dicht, 26<br />
Perio<strong>de</strong>nlänge, 32<br />
Periodische Dezimalbruch, 31<br />
Permanenzprinzip, 23<br />
Platzhalter, 9<br />
Potenz, 9<br />
Primfaktoren, 13<br />
Primteiler, 13<br />
Primzahlen, 13<br />
Primzahlzerlegung, 13<br />
Produkt, 7<br />
Quadratzahlen, 9<br />
Rechenarten<br />
entgegengesetzte, 7<br />
Rechengesetze, 8<br />
Rechengesetze , 22<br />
Rest, 11<br />
Run<strong>de</strong>n, 5<br />
Dezimalbruch, 26<br />
teilbar, 11<br />
Teilbarkeitsregeln, 12<br />
Teiler, 11<br />
gemeinsamer, 13<br />
komplementärer, 11<br />
teilerfremd, 13<br />
Teilermenge, 11<br />
teilerverwandt, 13<br />
teilt, 11<br />
Ungleichung, 10<br />
Variable, 9<br />
Vielfaches, 11<br />
eines Bruchteil es, 21<br />
kleinstes gemeinsames, 14<br />
Vorrang-regeln, 7<br />
Zähler, 19<br />
Zahlen, 5<br />
Bruch-, 5, 8<br />
gemischte, 19<br />
Komma-, 5<br />
natürliche, 5<br />
rationale, 8<br />
Zahlwörter, 5<br />
Zeitspannen, 6<br />
Ziffern<br />
gelten<strong>de</strong>, 27<br />
Schreibweise<br />
gemischte, 19<br />
Stellenwertsystem, 9<br />
Stellenwertsysteme, 24<br />
Stufenzahl, 9<br />
Subtrahend, 7<br />
subtrahieren, 6<br />
Subtraktion, 7, 8<br />
Bruchzahlen, 21<br />
Dezimalbruch, 27<br />
Summand, 7<br />
Summe, 7<br />
Teil<br />
eines Bruchteil es, 21<br />
35