Basiswissen Lineare Algebra - Informatik an der FH Dortmund ...

Fachhochschule 

Dortmund 

Fachbereich 

Informatik 

1/70 

University of Applied 

Sciences and Arts 

Lineare Algebra 

Studiengang Informatik 

Ergänzendes Online-pdf-Training-Tool zum Buch 

Basiswissen Lineare Algabra 

Prof. Dr. Burkhard Lenze 

Fachhochschule Dortmund 

Fachbereich Informatik 

Postfach 105018 

44047 Dortmund 

Telefon: 0231-755-6729 

Telefax: 0231-755-6710 

e-mail: 

lenze@fh-dortmund.de 

w-home: 

www.fh-dortmund.de/lenze 

c⃝ Burkhard Lenze, 17. Januar 2014



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Tool-Typ-Generator Version 5.0 

Tool im Test-Modus starten!!! 

Tool im Lern-Modus starten!!! 

Beginn der Bearbeitung: : Uhr am . . 

Erreichbare Punktzahl: Maximale Bearbeitungszeit: Verbleibende Zeit? 

Matrikel: PIN: Mein Ergebnis: 

Bearbeitung-Ende-Button mit Erfolgsinfo 

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3/70 



VEKTOREN 




Fachbereich 


4/70 



1 Lineare (Un-)Abhängigkeit 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Vektoren 

(a,b,c,d) T , (e, f ,g,h) T , (i, j,k,l) T 

aus R 4 vorgegeben. Entscheiden Sie dann anhand der Lösbarkeit der Vektorgleichung 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

a e i 0 

α ⎜ b 

⎟ 

⎝ c ⎠ + β ⎜ f 

⎟ 

⎝ g ⎠ + γ ⎜ j 

⎟ 

⎝ k ⎠ = ⎜ 0 

⎟ 

⎝ 0 ⎠ , 

d h l 0 

ob die Vektoren linear unabhängig (1) oder linear abhängig (0) sind, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem 

korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 

Die Übung können Sie beliebig oft wiederholen, indem Sie die obigen Schritte erneut durchführen; Sie erhalten dann stets neue, 

zufällig generierte Zahlen! 

Generierung der Vektoren Linear (un-)abhängig? 2 




Fachbereich 


5/70 



2 Skalarprodukt 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei Vektoren (a,b,c) T und (d,e, f ) T aus R 3 vorgegeben. Berechnen 

Sie dann von Hand das Skalarprodukt 

(a,b,c) T · (d,e, f ) T := ad + be + c f , 

und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten 

Button erfahren können. 



Generierung der Vektoren Skalarprodukt der Vektoren 2 




Fachbereich 


6/70 



3 Länge und Winkel 


Sie dann unter Anwendung der Definition für das Skalarprodukt sowohl die Länge der beiden Vektoren gemäß 

√ 

|(a,b,c) T | := (a,b,c) T · (a,b,c) T 

und 

|(d,e, f ) T | := 

√ 

(d,e, f ) T · (d,e, f ) T 

als auch den nichtorientierten eingeschlossenen Winkel in Bogenmaß gemäß 

( 

∠((a,b,c) T ,(d,e, f ) T (a,b,c)T · (d,e, f ) T ) 

) := arccos 

|(a,b,c) T | |(d,e, f ) T , 

| 


Button erfahren können. Geben Sie im Test-Modus |(a,b,c) T | + |(d,e, f ) T | + ∠((a,b,c) T ,(d,e, f ) T ) an, wobei das Ergebnis 

auf eine ganze Zahl zu runden ist. 



Generierung der Vektoren Länge und Winkel 2 




Fachbereich 


7/70 



4 Vektorprodukt und Fläche 


Sie dann von Hand das Vektorprodukt 

sowie gemäß der Formel 

(a,b,c) T × (d,e, f ) T := (b f − ce,cd − a f ,ae − bd) T 

F := |(a,b,c) T × (d,e, f ) T | 

die Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms, wobei die Fläche im Test-Modus auf eine ganze Zahl 

zu runden ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den 

zweiten Button erfahren können. 



Generierung der Vektoren Vektorprodukt und Fläche 2 




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8/70 



5 Spatprodukt und Volumen 


(a,b,c) T , (d,e, f ) T , (g,h,i) T 

aus R 3 vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand das Spatprodukt 

⎡ ⎛ ⎞⎛ 

⎞⎛ 

⎞ ⎤ 

a d g 

⎣ ⎝ b ⎠⎝ 

e ⎠⎝ 

h ⎠ ⎦ := aei + dhc + gb f − gec − ah f − dbi 

c f i 

sowie gemäß der Formel 

V := |aei + dhc + gb f − gec − ah f − dbi| 

das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds), und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern- 

Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der Vektoren Spatprodukt und Volumen 2 




Fachbereich 


9/70 



6 Fläche eines Polygons 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig fünf Vektoren 

vorgegeben. Bestimmen Sie dann gemäß 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

1 

b 1 − a 1 c 1 − a 1 

⎝ 

2 

b 2 − a 2 

⎠ × ⎝ c 2 − a 2 

⎠ + ⎝ 

∣ 0 

0 

⃗a,⃗b,⃗c, ⃗d,⃗e ∈ R 2 

c 1 − a 1 

c 2 − a 2 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

d 1 − a 1 

d 2 − a 2 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ + ⎝ 

d 1 − a 1 

d 2 − a 2 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

e 1 − a 1 

e 2 − a 2 

0 

die Fläche des durch die Vektoren gegebenen Punkte entstehenden Polygons, wobei die Fläche im Test-Modus auf eine ganze 

Zahl zu runden ist (Punkte werden der Reihe nach verbunden und das Polygon am Ende geschlossen). Vergleichen Sie Ihr 

Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Vorgabe von ⃗a,⃗b,⃗c, ⃗d und⃗e Fläche des Polygons 2 

⎞ 

⎠ 

∣ 




Fachbereich 


10/70 



7 Konvexitäts-Test 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig fünf Vektoren 

⃗a,⃗b,⃗c, ⃗d,⃗e ∈ R 2 

vorgegeben. Entscheiden Sie dann anhand des Vorzeichenverhaltens der dritten Komponenten der Vektorprodukte aller benachbarten 

Kantenvektoren 

⎛ 

b 1 − a 1 

⎞ ⎛ 

c 1 − b 1 

⎞ ⎛ 

c 1 − b 1 

⎞ ⎛ 

d 1 − c 1 

⎞ ⎛ 

a 1 − e 1 

⎞ ⎛ 

b 1 − a 1 

⎞ 

⎝ b 2 − a 2 

0 

⎠ × ⎝ c 2 − b 2 

0 

⎠ , ⎝ c 2 − b 2 

0 

⎠ × ⎝ d 2 − c 2 

0 

⎠ , ... , ⎝ a 2 − e 2 

0 

⎠ × ⎝ b 2 − a 2 

0 

⎠ , 

ob das durch die Vektoren gegebenen Punkte entstehende Polygon (Punkte werden der Reihe nach verbunden und das Polygon 

am Ende geschlossen) konvex ist (1) oder nicht konvex ist (0). Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten 

Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Vorgabe von ⃗a,⃗b,⃗c, ⃗d und⃗e Konvexitäts-Test 2 




Fachbereich 


11/70 



MATRIZEN 




Fachbereich 


12/70 



8 (4x4)*(4x4)-Matrizenmultiplikation 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei Matrizen A und B, 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

b 11 b 12 b 13 b 14 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , B = ⎜ b 21 b 22 b 23 b 24 

⎟ 

⎝ b 31 b 32 b 33 b 34 

⎠ ∈ R4×4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 b 41 b 42 b 43 b 44 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand das Matrizenprodukt A·B sowie im Test-Modus die Summe aller Komponenten von 

A · B. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten 




Generierung der Matrizen Produkt der Matrizen 2 




Fachbereich 


13/70 





⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

b 

a 11 a 12 a 13 a 11 b 12 b 13 

14 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎠ ∈ R 3×4 , B = ⎜ b 21 b 22 b 23 

⎟ 

⎝ b 

a 31 a 32 a 33 a 31 b 32 b 33 

⎠ ∈ R4×3 , 

34 

b 41 b 42 b 43 










Fachbereich 


14/70 





⎛ 

( ) 

a11 a 

A = 12 a 13 a 14 

∈ R 2×4 , B = ⎜ 

a 21 a 22 a 23 a 24 

⎝ 

⎞ 

b 11 b 12 b 13 

b 21 b 22 b 23 

b 31 b 32 b 33 

b 41 b 42 b 43 

⎟ 

⎠ ∈ R4×3 , 










Fachbereich 


15/70 





⎛ 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎠ ∈ R 3×4 , B = ⎜ 

⎝ 

a 31 a 32 a 33 a 34 

b 11 b 12 

b 21 b 22 

b 31 b 32 

b 41 

b 42 

⎞ 

⎟ 

⎠ ∈ R4×2 , 










Fachbereich 


16/70 



12 (4x4)-Gauß-Algorithmus 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine Matrix A, 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand mit dem Gaußschen Algorithmus für Matrizen die Endmatrix A △ ∈ R 4×4 , 

⎛ 

a △ ⎞ 

11 a△ 12 a△ 13 a△ 14 

A △ 0 a △ = ⎜ 

22 a△ 23 a△ 24 

⎝ 0 0 a △ ⎟ 

33 a△ ⎠ ∈ R4×4 

34 

0 0 0 a △ 44 

von A sowie im Test-Modus die Summe aller Komponenten von A △ . Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem 




Generierung der (4 × 4)-Matrix Ausgabe der (4 × 4)-Endmatrix 2 




Fachbereich 


17/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

⎠ ∈ R 3×5 , 

a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 


⎛ 

a △ ⎞ 

A △ 11 

⎜ 

a△ 12 a△ 13 a△ 14 a△ 15 

= ⎝ 0 a △ ⎟ 

22 a△ 23 a△ 24 a△ 25 

⎠ ∈ R 3×5 

0 0 a △ 33 a△ 34 a△ 35 









Fachbereich 


18/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

a 

A = ⎜ 21 a 22 a 23 

⎝ a 31 a 32 a 33 

⎟ 

a 41 a 42 a 

⎠ ∈ R5×3 , 

43 

a 51 a 52 a 53 


⎛ 

a △ ⎞ 

11 a△ 12 a△ 13 

0 a △ A △ 22 a△ 23 

= 

⎜ 

0 0 a △ ∈ R 5×3 

33 ⎟ 

⎝ 0 0 0 ⎠ 

0 0 0 


korrekten Ergebnis, das Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 







Fachbereich 


19/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

a 

A = ⎜ 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 

⎟ 

a 41 a 42 a 43 a 44 a 

⎠ ∈ R5×5 , 

45 

a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 


⎛ 

⎞ 

a △ 11 a△ 12 a△ 13 a△ 14 a△ 15 

A △ 0 a △ 22 a△ 23 a△ 24 a△ 25 

= 

0 0 a △ 33 

⎜ 

a△ 34 a△ 35 

∈ R 5×5 

⎝ 0 0 0 a △ 44 a△ ⎟ 

45 ⎠ 

0 0 0 0 a △ 55 









Fachbereich 


20/70 



DETERMINANTEN 




Fachbereich 


21/70 



16 (2x2)-Determinanten 


( ) 

a11 a 

A = 12 

∈ R 2×2 , 

a 21 a 22 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Determinante det A auf möglichst viele verschiedene Art und Weisen (Gaußscher 

Algorithmus, direkte Berechnungsformel, Laplacescher Entwicklungssatz), und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus 

mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der (2 × 2)-Matrix Determinante der (2 × 2)-Matrix 2 




Fachbereich 


22/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , 

a 31 a 32 a 33 


Algorithmus, Regel von Sarrus, Laplacescher Entwicklungssatz), und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem 








Fachbereich 


23/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 


Algorithmus, Laplacescher Entwicklungssatz), und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, 

welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 







Fachbereich 


24/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 

⎟ 

⎝ a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 

⎠ ∈ R5×5 , 

a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 


Algorithmus, Laplacescher Entwicklungssatz), und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, 

welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 







Fachbereich 


25/70 



20 (2x2)-Inverse 


( ) 

a11 a 

A = 12 

∈ R 2×2 , 

a 21 a 22 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Inverse A −1 auf möglichst viele verschiedene Art und Weisen (vollständiger 

Gaußscher Algorithmus, erweiterte Cramersche Regel), und geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe 

der Komponenten von A −1 an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch 

Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der (2 × 2)-Matrix Inverse der (2 × 2)-Matrix 2 




Fachbereich 


26/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , 

a 31 a 32 a 33 


Gaußscher Algorithmus, erweiterte Cramersche Regel), und geben Sie im Test-Modus die Summe der Komponenten von A −1 

an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button 

erfahren können. 







Fachbereich 


27/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 


Gaußscher Algorithmus, erweiterte Cramersche Regel), und geben Sie im Test-Modus die Summe der Komponenten von A −1 

an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button 








Fachbereich 


28/70 



LINEARE 

GLEICHUNGS- 

SYSTEME 




Fachbereich 


29/70 



23 (3x3)-Gleichungssysteme 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine Matrix A und ein Vektor⃗b, 

⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 

b 1 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , ⃗b = ⎝ b 2 

⎠ ∈ R 3 , 

a 31 a 32 a 33 b 3 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Lösung des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b auf möglichst viele verschiedene 

Art und Weisen ((vollständiger) Gaußscher Algorithmus, Cramersche Regel, Inversion von A), und geben Sie im Test-Modus 

die Summe der Komponenten von⃗x an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie 

durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der (3 × 3)-Matrix und der rechten Seite Lösung des (3 × 3)-Gleichungssystems 2 




Fachbereich 


30/70 





⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

b 1 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , ⃗b = ⎜ b 2 

⎟ 

⎝ b 3 

⎠ ∈ R4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 b 4 











Fachbereich 


31/70 





⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 

b 1 

a 21 a 22 a 23 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 

⎟ 

⎝ a 41 a 42 a 43 

⎠ ∈ b 2 

R5×3 , ⃗b = 

⎜ b 3 

⎟ 

⎝ b 4 

⎠ ∈ R5 , 

a 51 a 52 a 53 b 5 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Lösung des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, 

und geben Sie Im Test-Modus im Fall einer eindeutigen Lösung die Summe der Komponenten des Lösungsvektors 

an, im Fall unendlich vieler Lösungen notieren Sie als Ergebnis 1000 und im Fall, dass keine Lösung existiert, notieren Sie 

als Ergebnis 0. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den 

zweiten Button erfahren können. Bitte beachten Sie: Im Fall von unendlich vielen Lösungen können die Darstellungen der Lösungsmenge 

i.a. je nach Wahl der freien Parameter sehr verschieden aussehen! 







Fachbereich 


32/70 





⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

b 1 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

⎠ ∈ R 3×5 , ⃗b = ⎝ b 2 

⎠ ∈ R 3 , 

a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 b 3 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Lösung des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, 

und notieren Sie im Test-Modus im Fall unendlich vieler Lösungen als Ergebnis 1000 und im Fall, dass keine Lösung 

existiert, notieren Sie als Ergebnis 0. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie 

durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. Bitte beachten Sie: Im Fall von unendlich vielen Lösungen können die 

Darstellungen der Lösungsmenge i.a. je nach Wahl der freien Parameter sehr verschieden aussehen! 







Fachbereich 


33/70 





⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

b 1 

a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 

⎟ 

⎝ a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 

⎠ ∈ b 2 

R5×5 , ⃗b = 

⎜ b 3 

⎟ 

⎝ b 4 

⎠ ∈ R5 , 

a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 b 5 











Fachbereich 


34/70 



28 (3x3)-LR-Zerlegungen 


⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 

b 1 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , ⃗b = ⎝ b 2 

⎠ ∈ R 3 , 

a 31 a 32 a 33 b 3 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die LR-Zerlegung A = L · R, 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

a 11 a 12 a 13 1 0 0 

⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ = ⎝ l 21 1 0 ⎠ · ⎝ 

a 31 a 32 a 33 l 31 l 32 1 

⎞ 

r 11 r 12 r 13 

0 r 22 r 23 

⎠, 

0 0 r 33 

von A sowie die Lösung ⃗x des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b durch Lösung der beiden einfacheren Systeme L⃗y =⃗b und 

R⃗x =⃗y. Geben Sie im Test-Modus die Summe der Komponenten von ⃗x und ⃗y an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus 




Generierung der (3 × 3)-Matrix und der rechten Seite LR-Zerlegung der (3 × 3)-Matrix sowie⃗y und⃗x 2 




Fachbereich 


35/70 



29 (4x4)-LR-Zerlegungen 


⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

b 1 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , ⃗b = ⎜ b 2 

⎟ 

⎝ b 3 

⎠ ∈ R4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 b 4 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die LR-Zerlegung A = L · R, 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

a 11 a 12 a 13 a 14 1 0 0 0 

⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ = ⎜ l 21 1 0 0 

⎟ 

⎝ l 31 l 32 1 0 ⎠ · 

⎜ 

⎝ 

a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 42 l 43 1 

⎞ 

r 11 r 12 r 13 r 14 

0 r 22 r 23 r 24 

⎟ 

0 0 r 33 r 34 

⎠ , 

0 0 0 r 44 

von A sowie die Lösung ⃗x des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b durch Lösung der beiden einfacheren Systeme L⃗y =⃗b und 

R⃗x =⃗y. Geben Sie im Test-Modus die Summe der Komponenten von ⃗x und ⃗y an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus 




Generierung der (4 × 4)-Matrix und der rechten Seite LR-Zerlegung der (4 × 4)-Matrix sowie⃗y und⃗x 2 




Fachbereich 


36/70 



30 (3x3)-QR-Zerlegungen 


⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 

b 1 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , ⃗b = ⎝ b 2 

⎠ ∈ R 3 , 

a 31 a 32 a 33 b 3 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die QR-Zerlegung A = Q · R, 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

a 11 a 12 a 13 q 11 q 12 q 13 

⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ = ⎝ q 21 q 22 q 23 

⎠ · ⎝ 

a 31 a 32 a 33 q 31 q 32 q 33 

⎞ 

r 11 r 12 r 13 

0 r 22 r 23 

⎠, 

0 0 r 33 

von A sowie die Lösung ⃗x des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b durch Lösung der beiden einfacheren Systeme Q⃗y =⃗b und 

R⃗x =⃗y. Geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von⃗x und⃗y an. Vergleichen Sie 

Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der (3 × 3)-Matrix und der rechten Seite QR-Zerlegung der (3 × 3)-Matrix sowie⃗y und⃗x 2 




Fachbereich 


37/70 



31 (4x4)-QR-Zerlegungen 


⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

b 1 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , ⃗b = ⎜ b 2 

⎟ 

⎝ b 3 

⎠ ∈ R4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 b 4 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die QR-Zerlegung A = Q · R, 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

a 11 a 12 a 13 a 14 q 11 q 12 q 13 q 14 

⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ = ⎜ q 21 q 22 q 23 q 24 

⎟ 

⎝ q 31 q 32 q 33 q 34 

⎠ · 

⎜ 

⎝ 

a 41 a 42 a 43 a 44 q 41 q 42 q 43 q 44 

⎞ 

r 11 r 12 r 13 r 14 

0 r 22 r 23 r 24 

⎟ 

0 0 r 33 r 34 

⎠ , 

0 0 0 r 44 

von A sowie die Lösung ⃗x des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b durch Lösung der beiden einfacheren Systeme Q⃗y =⃗b und 

R⃗x =⃗y. Geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von⃗x und⃗y an. Vergleichen Sie 




Generierung der (4 × 4)-Matrix und der rechten Seite QR-Zerlegung der (4 × 4)-Matrix sowie⃗y und⃗x 2 




Fachbereich 


38/70 



KOMPLEXE 

ZAHLEN 




Fachbereich 


39/70 



32 Komplexe Multiplikation 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei komplexe Zahlen 

a + b j 

und 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand das Produkt 

c + d j 

(a + b j) · (c + d j) , 

und geben Sie im Test-Modus die Summe von Real- und Imaginärteil des Ergebnisses an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 

Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der Zahlen Produkt der Zahlen 2 




Fachbereich 


40/70 



33 Komplexe Division 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei komplexe Zahlen 

a + b j 

und 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand den Quotient 

c + d j 

(a + b j) 

(c + d j) , 

und geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe von Real- und Imaginärteil des Ergebnisses an. Vergleichen 

Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren 

können. 



Generierung der Zahlen Quotient der Zahlen 2 




Fachbereich 


41/70 



34 Komplex nach Exponentiell 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine komplexe Zahl 

a + b j 

mit Realteil a und Imaginärteil b vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die exponentielle Darstellung 

re jφ 

mit Modul r und Phase φ, und geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe von r und φ an. Damit die 

Phase eindeutig bestimmt ist, beschränken Sie φ auf das halboffene Intervall (−π,π]. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern- 

Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 

Die Übung können Sie beliebig oft wiederholen, indem Sie die obigen Schritte erneut durchführen; Sie erhalten dann stets eine 

neue, zufällig generierte Zahl! 

Generierung der Zahl Modul und Phase der Zahl 2 




Fachbereich 


42/70 



35 Exponentiell nach Komplex 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine komplexe Zahl 

mit Modul r und Phase φ vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die komplexe Darstellung 

re jφ 

a + b j 

mit Realteil a und Imaginärteil b, und geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe von a und b an. 

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button 


Die Übung können Sie beliebig oft wiederholen, indem Sie die obigen Schritte erneut durchführen; Sie erhalten dann stets eine 

neue, zufällig generierte Zahl! 

Generierung der Zahl Real- und Imaginärteil der Zahl 2 




Fachbereich 


43/70 



36 Polynomfaktorisierung 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig die reellen Koeffizienten α,β,γ,δ ∈ R des Polynoms p ∈ Π 4 , 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Faktorisierung 

p(z) := z 4 + δz 3 + γz 2 + βz + α , 

p(z) = (z − (a + b j))(z − (c + d j))(z − (e + f j))(z − (g + h j)) , 

und geben Sie im Test-Modus als Ergebnis die Summe aller Real- und Imaginärteile der vier Nullstellen an. Vergleichen Sie Ihr 



zufällig generierte Polynomkoeffizienten. 

Generierung der Polynomkoeffizienten Faktorisierung des Polynoms 2 




Fachbereich 


44/70 



GERADEN 

UND 

EBENEN 




Fachbereich 


45/70 



37 Gerade-Gerade-Test 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei Geraden G 1 und G 2 im R 3 vorgegeben. Entscheiden Sie dann 

mit dem Gerade-Gerade-Test anhand der Lösbarkeit der Vektorgleichung 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

a 1 d 1 a 2 d 2 

⎝ b 1 

⎠ + α ⎝ e 1 

⎠ = ⎝ b 2 

⎠ + γ ⎝ e 2 

⎠ , 

c 1 f 1 c 2 f 2 

welche Schnittmenge die Geraden besitzen. Geben Sie im Test-Modus im Fall eines eindeutigen Schnittpunkts die Summe seiner 

Komponenten an, und notieren Sie im Fall unendlich vieler Schnittpunkte als Ergebnis 1000 und im Fall keiner Schnittpunkte 0. 


erfahren können. Beachten Sie bitte auch, dass die Spezialfälle von Schnittmengen mit Punkten automatisch mit erfasst sind, 

falls ein Richtungsvektor einer Gerade mit dem Nullvektor identisch ist. 



Geradengleichungen von G 1 und G 2 Schnittmenge von G 1 und G 2 2 




Fachbereich 


46/70 



38 Gerade-Ebene-Test 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Gerade G und eine Ebene E im R 3 vorgegeben. Entscheiden 

Sie dann mit dem Gerade-Ebene-Test anhand der Lösbarkeit der Vektorgleichung 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

a 1 d 1 a 2 d 2 g 2 

⎝ b 1 

⎠ + α ⎝ e 1 

⎠ = ⎝ b 2 

⎠ + γ ⎝ e 2 

⎠ + δ ⎝ h 2 

⎠ , 

c 1 f 1 c 2 f 2 i 2 

welche Schnittmenge die Gerade und die Ebene besitzen. Geben Sie im Test-Modus im Fall eines eindeutigen Schnittpunkts die 

Summe seiner Komponenten an, und notieren Sie im Fall unendlich vieler Schnittpunkte als Ergebnis 1000 und im Fall keiner 

Schnittpunkte 0. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den 

zweiten Button erfahren können. Beachten Sie bitte auch, dass die Spezialfälle von Schnittmengen mit Punkten automatisch mit 

erfasst sind, falls ein oder mehrere Richtungsvektoren mit dem Nullvektor identisch sind. 



Geraden- und Ebenengleichungen von G und E Schnittmenge von G und E 2 




Fachbereich 


47/70 



39 Ebene-Ebene-Test 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei Ebenen E 1 und E 2 im R 3 vorgegeben. Entscheiden Sie dann 

mit dem Ebene-Ebene-Test anhand der Lösbarkeit der Vektorgleichung 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

a 1 d 1 g 1 a 2 d 2 g 2 

⎝ b 1 

⎠ + α ⎝ e 1 

⎠ + β ⎝ h 1 

⎠ = ⎝ b 2 

⎠ + γ ⎝ e 2 

⎠ + δ ⎝ h 2 

⎠ , 

c 1 f 1 i 1 c 2 f 2 i 2 

welche Schnittmenge die Ebenen besitzen. Notieren Sie Im Test-Modus im Fall, dass die Ebenen identisch sind als Ergebnis 

1000, im Fall, dass sich die Ebenen in einer Geraden schneiden 500, und schließlich im Fall keiner Schnittpunkte 0. Vergleichen 

Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren 

können. Beachten Sie bitte auch, dass die Spezialfälle von Schnittmengen mit Punkten und Geraden automatisch mit erfasst 

sind, falls ein oder mehrere Richtungsvektoren der Ebenen mit dem Nullvektor identisch sind. 



Ebenengleichungen von E 1 und E 2 Schnittmenge von E 1 und E 2 2 




Fachbereich 


48/70 



40 Drei-Punkte-Test 


⃗a,⃗b,⃗c ∈ R 3 

vorgegeben. Entscheiden Sie dann mit dem Drei-Punkte-Test anhand des Vektorprodukts 

⎛⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎞ 

⎛⎛ 

⎞ ⎛ ⎞⎞ 

b 1 a 1 

c 1 a 1 

⎝⎝ 

b 2 

⎠ − ⎝ a 2 

⎠⎠ × ⎝⎝ 

c 2 

⎠ − ⎝ a 2 

⎠⎠ , 

b 3 a 3 c 3 a 3 

ob die durch die Vektoren gegebenen Punkte auf einer Gerade liegen. Notieren Sie im Test-Modus als Ergebnis 1, falls sie auf 

einer Gerade liegen, und 0, falls nicht. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie 




Vorgabe von ⃗a,⃗b und⃗c Drei-Punkte-Test 2 




Fachbereich 


49/70 



41 Vier-Punkte-Test 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig vier Vektoren 

⃗a,⃗b,⃗c, ⃗d ∈ R 3 

vorgegeben. Entscheiden Sie dann mit dem Vier-Punkte-Test anhand der Determinante 

⎛⎛ 

⎞⎛ 

⎞⎛ 

⎞⎞ 

b 1 − a 1 c 1 − a 1 d 1 − a 1 

det⎝⎝ 

b 2 − a 2 

⎠⎝ 

c 2 − a 2 

⎠⎝ 

d 2 − a 2 

⎠⎠ , 

b 3 − a 3 c 3 − a 3 d 3 − a 3 

ob die durch die Vektoren gegebenen Punkte auf einer Ebene liegen. Notieren Sie im Test-Modus als Ergebnis 1, falls sie auf 

einer Ebene liegen, und 0, falls nicht. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie 




Vorgabe von ⃗a,⃗b,⃗c und ⃗d Vier-Punkte-Test 2 




Fachbereich 


50/70 



EIGENWERTE 

UND 

EIGENVEKTOREN 




Fachbereich 


51/70 



42 (2x2)-EW/EV-Probleme 


( ) 

a11 a 

A = 12 

∈ R 2×2 , 

a 21 a 22 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Eigenwerte λ 1 und λ 2 von A (Eigenwerte dürfen mehrfach auftauchen) sowie 

eine mögliche Eigenvektor-Matrix 

⎛ ⎞ 

. . 

⎜ 

R := ⎝ ⃗r (1) ⃗r (2) ⎟ 

⎠ ∈ R 2×2 

. . 

von A, und notieren Sie im Test-Modus die Summe der Beträge der Eigenwerte. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus 




Generierung der (2 × 2)-Matrix Lösung des (2 × 2)-EW/EV-Problems 2 




Fachbereich 


52/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , 

a 31 a 32 a 33 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Eigenwerte λ 1 ,λ 2 ,λ 3 von A (Eigenwerte dürfen mehrfach auftauchen) sowie 


⎛ 

⎞ 

. . . 

⎜ 

R := ⎝ ⃗r (1) ⃗r (2) ⃗r (3) ⎟ 

⎠ ∈ R 3×3 

. . . 









Fachbereich 


53/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , 

a 41 a 42 a 43 a 44 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Eigenwerte λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ,λ 4 von A (Eigenwerte dürfen mehrfach auftauchen) sowie 


⎛ 

⎞ 

. . . . 

⎜ 

R := ⎝ ⃗r (1) ⃗r (2) ⃗r (3) ⃗r (4) ⎟ 

⎠ ∈ R 4×4 

. . . . 









Fachbereich 


54/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 

⎟ 

⎝ a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 

⎠ ∈ R5×5 , 

a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 

vorgegeben. Geben Sie nur aufgrund einfach zu überprüfender Eigenschaften der Matrix (symmetrisch, diagonaldominant, orthogonal) 

an, welche Eigenschaften die Eigenwerte und Eigenvektoren der jeweiligen Matrix haben müssen, und notieren Sie im 

Test-Modus als Ergebnis 1, falls die Matrix mit Sicherheit nur reelle positive Eigenwerte hat, 2, falls die Matrix mit Sicherheit 

nur reelle nichtnegative Eigenwerte hat, 3, falls die Matrix mit Sicherheit nur reelle Eigenwerte hat, und schließlich 4, falls die 

Matrix mit Sicherheit nur Eigenwerte vom Betrag 1 besitzt. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten 




Generierung der (5 × 5)-Matrix Informationen zum (5 × 5)-EW/EV-Problem 2 




Fachbereich 


55/70 



46 (2x3)-Pseudoinverse 


( ) 

a11 a 

A = 12 a 13 

∈ R 2×3 , 

a 21 a 22 a 23 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Pseudoinverse A + von A, und geben Sie im Test-Modus die mit 100 multiplizierte 

Summe der Komponenten von A + an, wobei das Ergebnis auf eine ganze Zahl zu runden ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 




Generierung der (2 × 3)-Matrix Pseudoinverse der (2 × 3)-Matrix 2 




Fachbereich 


56/70 



47 (3x2)-Pseudoinverse 


⎛ ⎞ 

a 11 a 12 

A = ⎝ a 21 a 22 

⎠ ∈ R 3×2 , 

a 31 a 32 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Pseudoinverse A + von A, und geben Sie im Test-Modus die mit 100 multiplizierte 

Summe der Komponenten von A + an, wobei das Ergebnis auf eine ganze Zahl zu runden ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 




Generierung der (3 × 2)-Matrix Pseudoinverse der (3 × 2)-Matrix 2 




Fachbereich 


57/70 



TRANS- 

FORMATIONEN 




Fachbereich 


58/70 



48 Kartesische Koordinatentransformationen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei linear unabhängige Vektoren⃗a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) T ,⃗b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) T 

und ⃗c = (c 1 ,c 2 ,c 3 ) T aus R 3 vorgegeben sowie ein durch die kartesischen Koordinaten α,β,γ ∈ R bezüglich dieses Vektorsystems 

eindeutig bestimmter Vektor 

⃗x = α⃗a + β⃗b + γ⃗c . 

Ferner werden Ihnen auch noch drei weitere linear unabhängige Vektoren ⃗p = (p 1 , p 2 , p 3 ) T ,⃗q = (q 1 ,q 2 ,q 3 ) T und⃗r = (r 1 ,r 2 ,r 3 ) T 

aus R 3 vorgegeben. Bestimmen Sie dann die kartesischen Koordinaten ˜α, ˜β, ˜γ ∈ R bezüglich der neuen Basis 

⃗x = ˜α⃗p + ˜β⃗q + ˜γ⃗r , 

und geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe von ˜α + ˜β + ˜γ an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 




Generierung von ⃗a,⃗b,⃗c und α,β,γ sowie ⃗p,⃗q,⃗r Berechnung von ˜α, ˜β, ˜γ 2 




Fachbereich 


59/70 



49 Baryzentrische Koordinatentransformationen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei nicht kollineare Vektoren ⃗a = (a 1 ,a 2 ) T , ⃗b = (b 1 ,b 2 ) T und 

⃗c = (c 1 ,c 2 ) T aus R 2 vorgegeben sowie ein durch die baryzentrischen Koordinaten α,β,γ ∈ R bezüglich dieses Vektorsystems 

eindeutig bestimmter Vektor 

⃗x = α⃗a + β⃗b + γ⃗c 

mit α + β + γ = 1. Ferner werden Ihnen auch noch drei weitere nicht kollineare Vektoren ⃗p = (p 1 , p 2 ) T , ⃗q = (q 1 ,q 2 ) T und⃗r = 

(r 1 ,r 2 ) T aus R 2 vorgegeben. Bestimmen Sie dann die baryzentrischen Koordinaten ˜α, ˜β, ˜γ ∈ R bezüglich der neuen Vektoren 

⃗x = ˜α⃗p + ˜β⃗q + ˜γ⃗r 

mit ˜α + ˜β + ˜γ = 1, und geben Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe von ˜α + ˜β an. Vergleichen Sie Ihr 




Generierung von ⃗a,⃗b,⃗c und α,β,γ sowie ⃗p,⃗q,⃗r Berechnung von ˜α, ˜β, ˜γ 2 




Fachbereich 


60/70 



50 Zentralprojektionen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Vektoren⃗a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) T ,⃗b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) T und⃗c = (c 1 ,c 2 ,c 3 ) T 

aus R 3 vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Zentralprojektion ⃗p = (p 1 , p 2 , p 3 ) T des Testvektors (1,2,3) T auf die von 

⃗a und⃗b aufgespannte Ebene durch das Projektionszentrum⃗c gemäß der zunächst nach α, β und γ aufzulösenden Formel 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

p 1 

p 2 

p 3 

⎛ 

⎠ = α ⎝ 

⎞ 

a 1 

a 2 

a 3 

⎛ 

⎠ + β ⎝ 

⎞ 

b 1 

b 2 

⎠ = 

b 3 

⎛ 

⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎛⎛ 

⎠ + γ ⎝⎝ 

⎞ 

c 1 

c 2 

c 3 

⎛ 

⎠ − ⎝ 

1 

2 

3 

⎞⎞ 

⎠⎠ , 

und notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von ⃗p, falls eine Projektion 

möglich war, und 0 sonst. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken 

auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der Vektoren ⃗a,⃗b,⃗c Zentralprojektion des Testvektors (1,2,3) T 2 




Fachbereich 


61/70 



51 Parallelprojektionen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Vektoren⃗a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) T ,⃗b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) T und⃗c = (c 1 ,c 2 ,c 3 ) T 

aus R 3 vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Parallelprojektion ⃗p = (p 1 , p 2 , p 3 ) T des Testvektors (1,2,3) T auf die von 

⃗a und⃗b aufgespannte Ebene in Projektionsrichtung⃗c gemäß der zunächst nach α, β und γ aufzulösenden Formel 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

p 1 

p 2 

p 3 

⎛ 

⎠ = α ⎝ 

⎞ 

a 1 

a 2 

a 3 

⎛ 

⎠ + β ⎝ 

⎞ 

b 1 

b 2 

⎠ = 

b 3 

⎛ 

⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎛ 

⎠ + γ ⎝ 

⎞ 

c 1 

c 2 

⎠ , 

c 3 

und notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von ⃗p. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis 

im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung der Vektoren ⃗a,⃗b,⃗c Parallelprojektion des Testvektors (1,2,3) T 2 




Fachbereich 


62/70 



52 Rotationen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Winkel α, β und γ aus [−2π,2π] vorgegeben. Um die Rechnung 

etwas zu vereinfachen, werden lediglich spezielle Winkel generiert, nämlich nur Vielfache von 

2 π = 1.570796.... Berechnen Sie 

dann von Hand die Rotation⃗r = (r 1 ,r 2 ,r 3 ) T des Testvektors (1,2,3) T zunächst um den Winkel α um die x-Achse, dann um den 

Winkel β um die y-Achse sowie schließlich um den Winkel γ um die z-Achse im Sinne einer Hintereinanderausführung gemäß 

der Formel ⎛ ⎞ ⎛ 

⎞⎛ 

⎞⎛ 

⎞⎛ 

⎞ 

r 1 cosγ −sinγ 0 cosβ 0 sinβ 1 0 0 1 

⎝ r 2 

⎠ = ⎝ sinγ cosγ 0 ⎠⎝ 

0 1 0 ⎠⎝ 

0 cosα −sinα ⎠⎝ 

2 ⎠ , 

r 3 0 0 1 −sinβ 0 cosβ 0 sinα cosα 3 

und notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von⃗r. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis 




Generierung der Winkel α, β, γ Gesamtrotation des Testvektors (1,2,3) T 2 




Fachbereich 


63/70 



53 Skalierungen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Skalierungsparameter sx, sy und sz vorgegeben. Berechnen Sie 

dann von Hand den skalierten Vektor⃗s = (s 1 ,s 2 ,s 3 ) T des Testvektors (1,2,3) T im Sinne der Formel 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ 

⎞ 

s 1 sx 0 0 1 

⎝ s 2 

⎠ = ⎝ 0 sy 0 ⎠⎝ 

2 ⎠ , 

s 3 0 0 sz 3 

und notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von⃗s. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis 




Generierung der Skalierungsparameter sx, sy, sz Skalierung des Testvektors (1,2,3) T 2 




Fachbereich 


64/70 



54 Scherungen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei Scherungsparameter sx 1 und sx 2 für Scherung in x-Richtung, 

zwei Scherungsparameter sy 1 und sy 2 für Scherung in y-Richtung sowie zwei Scherungsparameter sz 1 und sz 2 für Scherung in 

z-Richtung vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand den dreimal gescherten Vektor⃗s = (s 1 ,s 2 ,s 3 ) T des Testvektors (1,2,3) T 

im Sinne einer Hintereinanderausführung der Scherungsmatrizen gemäß der Formel 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

s 1 

s 2 

⎠ = 

s 3 

⎛ 

⎝ 

1 sx 1 sx 2 

0 1 0 

0 0 1 

⎞⎛ 

⎠⎝ 

1 0 0 

sy 1 1 sy 2 

0 0 1 

⎞⎛ 

⎠⎝ 

1 0 0 

0 1 0 

sz 1 sz 2 1 

und notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von⃗s. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis 




Generierung der Parameter sx 1 , sx 2 , sy 1 , sy 2 , sz 1 , sz 2 Gesamtscherung des Testvektors (1,2,3) T 2 

⎞⎛ 

⎠⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎠ , 




Fachbereich 


65/70 



55 Householder-Transformationen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei linear unabhängige Vektoren ⃗a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) T und ⃗b = 

(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T aus R 3 vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand den an der von ⃗a und ⃗b aufgespannten Ebene gespiegelten 

Vektor⃗s = (s 1 ,s 2 ,s 3 ) T des Testvektors (1,2,3) T gemäß der Formel 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

s 1 

s 2 

s 3 

⎛ 

⎠ = (E − 2⃗w⃗w T ) ⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎛⎛ 

⎠ = ⎝⎝ 

1 0 0 

0 1 0 

0 0 1 

⎞ 

⎛ 

⎠ − 2⎝ 

⎞ 

w 1 

w 2 

w 3 

⎞⎛ 

⎠(w 1 ,w 2 ,w 3 ) ⎠⎝ 

wobei ⃗w = (w 1 ,w 2 ,w 3 ) T ein zu bestimmender, auf der Spiegelungsebene senkrecht stehender Vektor der euklidischen Länge 1 

ist (Normalenvektor), also zum Beispiel 

⃗w := ⃗a × ⃗b 

|⃗a ×⃗b| . 

Notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Komponenten von ⃗s. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis 




Generierung der Vektoren ⃗a und⃗b Spiegelung des Testvektors (1,2,3) T 2 

1 

2 

3 

⎞ 

⎠ , 




Fachbereich 


66/70 



56 Orthonormalentwicklungen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei orthonormale Vektoren 

⃗r (1) = (r (1) 

1 ,r(1) 2 ,r(1) 3 )T , ⃗r (2) = (r (2) 

1 ,r(2) 2 ,r(2) 3 )T , ⃗r (3) = (r (3) 

1 ,r(3) 2 ,r(3) 3 )T 

sowie ein beliebiger Vektor ⃗a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) T aus R 3 vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Orthonormalentwicklung 

des Vektors ⃗a nach der gegebenen Orthonormalbasis⃗r (1) ,⃗r (2) und⃗r (3) gemäß der Formel 

⃗a = α 1 ⃗r (1) + α 2 ⃗r (2) + α 3 ⃗r (3) , 

wobei sich die zu bestimmenden Koeffizienten der Orthonormalentwicklung aus den Skalarprodukten 

α i := ⃗a T ⃗r (i) , 1 ≤ i ≤ 3 , 

ergeben. Notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe von α 1 +α 2 +α 3 . Vergleichen Sie Ihr Ergebnis 




Generierung der Vektoren⃗r (1) ,⃗r (2) ,⃗r (3) und ⃗a Ausgabe der Koeffizienten α 1 , α 2 und α 3 2 




Fachbereich 


67/70 



57 Karhunen-Loève-Transformationen 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig vier Vektoren⃗x (1) ,⃗x (2) ,⃗x (3) und⃗x (4) aus R 3 vorgegeben. Bestimmen 

Sie nun zunächst das Zentrum⃗z ∈ R 3 dieser Vektoren, ⃗z := 

4 

1 4 

∑ ⃗x (s) , die zugehörigen zentrierten Vektoren⃗z (s) :=⃗x (s) −⃗z für 

s=1 

1 ≤ s ≤ 4, die aus ihnen gebildete Kovarianzmatrix 

Z := 

4 

∑ 

s=1 

⃗z (s) ⃗z (s)T ∈ R 3×3 

sowie die der Größe nach geordneten Eigenwerte λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 ≥ 0 von Z mit einem zugehörigen Satz orthonormierter Eigenvektoren⃗r 

(1) ,⃗r (2) ,⃗r (3) ∈ R 3×3 . Berechnen Sie dann von Hand die Orthonormalentwicklungen der Vektoren⃗z (s) , 1 ≤ s ≤ 4, nach 

der gegebenen Orthonormalbasis⃗r (1) ,⃗r (2) und⃗r (3) gemäß der Formel 

⃗z (s) = α s,1 ⃗r (1) + α s,2 ⃗r (2) + α s,3 ⃗r (3) , 1 ≤ s ≤ 4 , 

wobei sich die zu bestimmenden Koeffizienten der Orthonormalentwicklung wieder aus den Skalarprodukten α s,i := 

⃗z (s)T ⃗r (i) , 1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ s ≤ 4 , ergeben (Karhunen-Loève-Transformation). Notieren Sie im Test-Modus den auf eine 

ganze Zahl gerundeten Wert des größten Eigenwerts von Z. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten 

Ergebnis, welches Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. Die Übung können Sie beliebig oft wiederholen, 

indem Sie die obigen Schritte erneut durchführen; Sie erhalten dann stets neue, zufällig generierte Zahlen! 

Generierung der Vektoren⃗x (1) ,⃗x (2) ,⃗x (3) und⃗x (4) Ausgabe der wesentlichen Größen 2 




Fachbereich 


68/70 



58 DFT und IDFT 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig ein Vektor ⃗f ∈ C 8 , 

⃗f = ( f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 ) T , 

vorgegeben. Berechnen Sie den zu diesem Vektor gehörenden diskreten Fourier-transformierten Vektor (DFT)⃗c ∈ C 8 , 

c n := √ 1 7 

2π jkn 

8 

∑ 

− 

f k e 8 , 0 ≤ n < 8 , 

k=0 

sowie zur Probe aus⃗c ∈ C 8 auch wieder den inversen diskreten Fourier-transformierten Vektor (IDFT) ⃗f ∈ C 8 gemäß 

f n = √ 1 7 

2π jkn 

8 

∑ c k e 8 , 0 ≤ n < 8 . 

k=0 

Notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der Realteile der acht Komponenten des Vektors ⃗c. 





Generierung des zu transformierenden Vektors Transformierter und zurücktransformierter Vektor 2 




Fachbereich 


69/70 



59 DCT und IDCT 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig ein Vektor ⃗f ∈ R 8 , 

⃗f = ( f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 ) T , 

vorgegeben. Berechnen Sie den zu diesem Vektor gehörenden diskreten Cosinus-transformierten Vektor (DCT)⃗c ∈ R 8 , 

c n := ε 7 

( ) 

n π(2k + 1)n 

2 

∑ f k cos 

, 0 ≤ n < 8 , 

k=0 

16 

sowie zur Probe aus⃗c ∈ R 8 auch wieder den inversen diskreten Cosinus-transformierten Vektor (IDCT) ⃗f ∈ R 8 gemäß 

7 

( ) 

ε 

f n = ∑ 

k π(2n + 1)k 

k=0 

2 c k cos 

, 0 ≤ n < 8 . 

16 

Dabei sei ε 0 := 1/ √ 2 und ε n := 1 für 1 ≤ n < 8. Notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der 

acht Komponenten des Vektors⃗c. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie durch 

Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 







Fachbereich 


70/70 



60 DHWT und IDHWT 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig ein Vektor ⃗f ∈ R 8 , ⃗f = ( f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 ) T , vorgegeben. 

Berechnen Sie den zu diesem Vektor gehörenden diskreten Haar-Wavelet-transformierten Vektor (DHWT) ⃗c ∈ R 8 gemäß ⃗c := 

W ⃗f sowie zur Probe aus ⃗c ∈ R 8 auch wieder den inversen diskreten Haar-Wavelet-transformierten Vektor (IDHWT) ⃗f ∈ R 8 

gemäß ⃗f = W T ⃗c, wobei die Transformationsmatrix W ∈ R 8×8 definiert ist als 

⎛ 

W := 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

1 

2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 2 

1 

2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ 1 

2 2 √ − 1 

2 2 √ − 1 

2 2 √ − 1 

2 2 √ − 1 

2 2 √ 2 

1 1 

2 2 

− 1 2 

−2 1 0 0 0 0 

1 1 

0 0 0 0 2 2 

− 1 2 

− 1 2 

1√ −√ 1 0 0 0 0 0 0 

2 2 1 

0 0 √2 −√ 1 0 0 0 0 

2 1 

0 0 0 0 √2 −√ 1 0 0 ⎟ 

2 ⎠ 

1 

0 0 0 0 0 0 √2 −√ 1 2 

Notieren Sie im Test-Modus die auf eine ganze Zahl gerundete Summe der acht Komponenten des Vektors ⃗c. Vergleichen Sie 





. 




Fachbereich 


71/70 



VEKTORRAEUME UND 

LINEARE ABBILDUNGEN 




Fachbereich 


72/70 



61 Lineare Abbildungen von (3x3)-Matrizen 

Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine Matrix A und eine durch sie induzierte lineare Abbildung L, 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ R 3×3 , L : R 3 → R 3 , ⃗x ↦→ A⃗x , 

a 31 a 32 a 33 

vorgegeben. Bestimmen Sie mit Hilfe von elementaren Gauß-Zeilen- oder -Spalten-Umformungen dimBild(L) = Rang(L) und 

dimKern(L), und geben Sie im Test-Modus die Differenz (dimBild(L) − dimKern(L)) an. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 




Generierung der (3 × 3)-Matrix A dimBild(L) und dimKern(L) 2 




Fachbereich 


73/70 




Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine Matrix A und und eine durch sie induzierte lineare Abbildung L, 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 

A = ⎜ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎟ 

⎝ a 31 a 32 a 33 a 34 

⎠ ∈ R4×4 , L : R 4 → R 4 , ⃗x ↦→ A⃗x , 

a 41 a 42 a 43 a 44 










Fachbereich 


74/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

a 21 a 22 a 23 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 

⎟ 

⎝ a 41 a 42 a 43 

⎠ ∈ R5×3 , L : R 3 → R 5 , ⃗x ↦→ A⃗x , 

a 51 a 52 a 53 










Fachbereich 


75/70 





⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

⎠ ∈ R 3×5 , L : R 5 → R 3 , ⃗x ↦→ A⃗x , 

a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 










Fachbereich 


76/70 




Durch Klicken auf den ersten Button wird Ihnen zufällig eine Matrix A und und eine durch sie induzierte lineare Abbildung L, 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 

a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 

A = 

⎜ a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 

⎟ 

⎝ a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 

⎠ ∈ R5×5 , L : R 5 → R 5 , ⃗x ↦→ A⃗x , 

a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 










Fachbereich 


77/70 



ENDLICHE 

VEKTORRAEUME 




Fachbereich 


78/70 



66 Addieren in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Zahlen 

p ∈ N ∗ (Primzahl), a ∈ N , 0 ≤ a 

vorgegeben. Berechnen Sie im Test-Modus die Summe a ⊕ b in Z p , also 

a + b mod p , 





Generierung der Zahlen p, a und b Ausgabe der Summe 2 




Fachbereich 


79/70 



67 Multiplizieren in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig drei Zahlen 

p ∈ N ∗ (Primzahl), a ∈ N , 0 ≤ a 

vorgegeben. Berechnen Sie im Test-Modus das Produkt a ⊙ b in Z p , also 

a · b mod p , 





Generierung der Zahlen p, a und b Ausgabe des Produkts 2 




Fachbereich 


80/70 



68 Primitive Wurzeln in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei Zahlen 

p ∈ N ∗ (Primzahl) , w ∈ Z p , 

vorgegeben. Überprüfen Sie, ob w eine primitive Wurzel in Z p ist, also ob 

Z ∗ p := Z p \ {0} = {w 1 ,w 2 ,...,w i ,...,w p−1 } 

gilt, wobei natürlich alle Potenzbildungen in Z p durchzuführen sind, also stets modulo p zu rechnen ist. Geben Sie im Test- 

Modus die Zahl i ∈ N ∗ an, für die erstmals w i ≡ 1 mod p gilt, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem 




Generierung der Zahlen p und w Überprüfung auf primitive Wurzel 2 




Fachbereich 


81/70 



69 Polynommultiplikation in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Primzahl p ∈ N ∗ sowie zwei Komponentenvektoren 

vorgegeben, die die beiden formalen Polynome 

(p 0 , p 1 ,..., p 4 ) T ∈ Z 5 p und (q 0 ,q 1 ,...,q 4 ) T ∈ Z 5 p 

p(X) := p 0 + p 1 X + p 2 X 2 + p 3 X 3 + p 4 X 4 und q(X) := q 0 + q 1 X + q 2 X 2 + q 3 X 3 + q 4 X 4 

aus Z p,4 [X] definieren. Bestimmen Sie das Produktpolynom pq(X) := p(X) · q(X) ∈ Z p,8 [X], 

pq(X) := pq 0 + pq 1 X + pq 2 X 2 + pq 3 X 3 + pq 4 X 4 + pq 5 X 5 + pq 6 X 6 + pq 7 X 7 + pq 8 X 8 . 

Geben Sie im Test-Modus die gewöhnliche Summe der neun Zahlen pq i , 0 ≤ i ≤ 8, an, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 




Generierung von p, p(X) und q(X) Berechnung des Produktpolynoms pq(X) 2 




Fachbereich 


82/70 



70 Polynomdivision in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Primzahl p ∈ N ∗ sowie zwei Komponentenvektoren 

vorgegeben, die die beiden formalen Polynome 

(p 0 , p 1 ,..., p 8 ) T ∈ Z 9 p und (d 0 ,d 1 ,...,d 4 ) T ∈ Z 5 p \ {⃗0} 

p(X) := p 0 + p 1 X + p 2 X 2 + p 3 X 3 + p 4 X 4 + p 5 X 5 + p 6 X 6 + p 7 X 7 + p 8 X 8 und d(X) := d 0 + d 1 X + d 2 X 2 + d 3 X 3 + d 4 X 4 ≠ 0 

aus Z p,8 [X] bzw. Z p,4 [X] \ {0} definieren. Bestimmen Sie die eindeutig bestimmten formalen Polynome v(X) ∈ Z p,8 [X] und 

r(X) ∈ Z p,3 [X] mittels Polynomdivision (mit Rest), so dass gilt 

p(X) = v(X) · d(X) + r(X) , 

wobei der genaue Grad von r(X) kleiner zu sein hat als der genaue Grad von d(X). Geben Sie im Test-Modus die gewöhnliche 

Summe der Koeffizienten von r(X) an, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches 

Sie durch Klicken auf den zweiten Button erfahren können. 



Generierung von p, p(X) und d(X) Berechnung von v(X) und r(X) 2 




Fachbereich 


83/70 



71 Polynomfaktorisierung in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Primzahl p ∈ N ∗ sowie ein Komponentenvektor 

vorgegeben, der ein formales Polynom 

(p 0 , p 1 ,..., p 5 ) T ∈ Z 6 p 

p(X) := p 0 + p 1 X + p 2 X 2 + p 3 X 3 + p 4 X 4 + p 5 X 5 ∈ Z p,5 [X] 

definiert, welches vollständig faktorisierbar ist. Bestimmen Sie die in diesem speziellen Fall existierenden fünf, eventuell mehrfachen 

Nullstellen z 1 ,z 2 ,...,z 5 ∈ Z p von p(X), und stellen Sie p(X) in faktorisierter Form dar gemäß 

p(X) = (X − z 1 ) · (X − z 2 ) · (X − z 3 ) · (X − z 4 ) · (X − z 5 ) . 

Geben Sie im Test-Modus die gewöhnliche Summe der fünf Nullstellen z i , 1 ≤ i ≤ 5, an, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im 




Generierung von p und p(X) Faktorisierung von p(X) 2 




Fachbereich 


84/70 



72 Matrizenmultiplikation in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Primzahl p ∈ N ∗ und zwei Matrizen A und B, 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

b 

a 11 a 12 a 13 a 11 b 12 b 13 

14 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 a 24 

⎠ ∈ Z 3×4 

p , B = ⎜ b 21 b 22 b 23 

⎟ 

⎝ b 

a 31 a 32 a 33 a 31 b 32 b 33 

⎠ ∈ Z4×3 p , 

34 

b 41 b 42 b 43 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand das Matrizenprodukt A · B in der Z p -Arithmetik. Geben Sie im Test-Modus die 

gewöhnliche Summe aller Komponenten von A · B an, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten 




Generierung von p, A und B Produkt der Matrizen 2 




Fachbereich 


85/70 



73 (3x3)-Determinanten in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Primzahl p ∈ N ∗ und eine Matrix A, 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ Z 3×3 

p , 

a 31 a 32 a 33 

vorgegeben. Berechnen Sie im Test-Modus von Hand die Determinante det A in der Z p -Arithmetik auf möglichst viele verschiedene 

Art und Weisen (Gaußscher Algorithmus, Regel von Sarrus, Laplacescher Entwicklungssatz), und vergleichen Sie Ihr 




Generierung von p und A Determinante der (3 × 3)-Matrix 2 




Fachbereich 


86/70 



74 Invertieren in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig zwei kleine Zahlen 

p ∈ N ∗ (Primzahl) , a ∈ N ∗ , 1 ≤ a 

vorgegeben. Bestimmen Sie durch Ausprobieren das Inverse a −1 zu a bzgl. ⊙ in Z p , also ein Element mit 

a ⊙ a −1 = 1 in Z p , 


Button erfahren können. Zusätzlich wird Ihnen im Lern-Modus auch noch das einfach zu bestimmende inverse Element −a zu 

a bzgl. ⊕ mit angegeben. 



Generierung der Zahlen p und a Ausgabe von −a und a −1 2 




Fachbereich 


87/70 



75 (3x3)-Inverse in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine kleine Primzahl p ∈ N ∗ und eine Matrix A, 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 a 13 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ Z 3×3 

p , 

a 31 a 32 a 33 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Inverse A −1 in der Z p -Arithmetik auf möglichst viele verschiedene Art und Weisen 

(vollständiger Gaußscher Algorithmus, erweiterte Cramersche Regel). Geben Sie im Test-Modus die gewöhnliche Summe 

der neun Komponenten von A −1 an, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus mit dem korrekten Ergebnis, welches Sie 




Generierung von p und A Inverse der (3 × 3)-Matrix 2 




Fachbereich 


88/70 



76 (3x3)-Gleichungssysteme in Z p 

Durch Klicken auf den ersten Button werden Ihnen zufällig eine Primzahl p ∈ N ∗ , eine Matrix A und ein Vektor⃗b, 

⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

a 11 a 12 a 13 

b 1 

A = ⎝ a 21 a 22 a 23 

⎠ ∈ Z 3×3 

p , ⃗b = ⎝ b 2 

⎠ ∈ Z 3 p , 

a 31 a 32 a 33 b 3 

vorgegeben. Berechnen Sie dann von Hand die Lösung des linearen Gleichungssystems A⃗x =⃗b in der Z p -Arithmetik auf möglichst 

viele verschiedene Art und Weisen ((vollständiger) Gaußscher Algorithmus, Cramersche Regel, Inversion von A). Geben 

Sie im Test-Modus die gewöhnliche Summe der drei Komponenten von ⃗x an, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Lern-Modus 




Generierung von p, A und⃗b Lösung des (3 × 3)-Gleichungssystems 2

Basiswissen Lineare Algebra - Informatik an der FH Dortmund ...

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