Bergische Universität Wuppertal Übungsaufgaben Statistik I

Bergische Universität Wuppertal
FB B – Schumpeter School of Business and Economics
Lehrstuhl für Wirtschaftsstatistik
Prof. Dr. Gerhard Arminger
www.statistik.uni-wuppertal.de
Sommersemester 2012
Übungsaufgaben Statistik I
Autoren:
Prof. Dr. Gerhard Arminger und Mitarbeiter
c○ 2012 bei den Verfassern, überarbeitete Fassung

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1. Versuchen Sie die unten angeführten Merkmalsausprägungen den unterschiedlichen Skalierungsarten
(nominal, ordinal, quantitativ (diskret, stetig bzw. quasistetig)) zuzuordnen.
Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägung
Einwohner einer Stadt Haarfarbe braun, schwarz, ...
Haushalte einer Stadt Einkommen nichtnegative reelle Zahlen
Mitglieder eines Zugehörigkeit zu einer Unter-, Mittel-, Ober-
Vereins sozialen Schicht schicht
Schüler einer Schule Körpergröße positive relle Zahlen
Beschäftigte eines Beruf Elektriker, Mechaniker, ...
Unternehmens
Einwohner einer Stadt Vermögen nichtnegative reelle Zahlen
Einwohner einer Stadt Religionsbekenntnis evangelisch, katholisch, ...
Girokonten bei einer Zahl der Kontobewe- 0, 1, 2, 3, ...
Bank
gungen pro Monat
Abiturientenjahrgang Abiturnote in sehr gut, gut, ...
einer Schule
Deutsch
Produzierte Einheiten Abweichung von der reelle Zahlen
eines genormten Norm bei Fertigungs-
Produkts
prozessen
2. Bei der jährlichen Messung des Wasserverbrauchs [in m 3 ] von 10 Haushalten ergab eine Stichprobe die
folgenden Werte:
Berechnen Sie die folgenden Maßzahlen:
121, 140, 216, 84, 70, 104, 119, 208, 181, 137
a) empirischer Verteilungsfunktionswert an der Stelle 150
b) arithmetisches Mittel
c) Median
d) 75%-Quantil
e) Spannweite
f) Varianz und Standardabweichung
g) Variationskoeffizient
h) Interquartilsabstand.
3. In einer Landgemeinde gibt es n = 1 280 Haushalte. Diese sind in der unten aufgeführten Tabelle nach
der Anzahl der Haushaltsmitglieder unter 18 Jahren (X) aufgegliedert.
Anzahl der Haushaltsmitglieder
unter 0 1 2 3 4 5 6
18 Jahren (x m )
Anzahl der Haushalte (h m ) 420 423 211 146 78 – 2
a) Berechnen Sie den Verteilungsfunktionswert an der Stelle 2,5.
b) Wieviel % der Haushalte haben weniger als 2 Haushaltsmitglieder unter 18 Jahre?
c) Wieviel % der Haushalte haben mehr als 4 Haushaltsmitglieder unter 18 Jahre?
d) Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der Haushaltsmitglieder unter 18 Jahren.
e) Berechnen Sie die Lageparamter x 0.5
, x 0.25
und x 0.75
.
f) Berechnen Sie die Spannweite.
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g) Berechnen Sie die empirische Varianz.
h) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten.
4. Die Stundenlöhne (in EUR) von dreihundert Arbeitern wurden aus Datenschutzgründen klassifiziert
erfasst. Es kann von einer Gleichverteilung innerhalb der Klassen ausgegangen werden.
untere obere
Klassengrenze Klassengrenze
k a k a k
h k
1 [7,00 8,00] 50
2 (8,00 8,50] 80
3 (8,50 9,00] 60
4 (9,00 9,50] 70
5 (9,50 10,50] 40
∑
300
Berechnen Sie
a) den empirischen Verteilungsfunktionswert an der Stelle 8,25,
b) das arithmetisches Mittel,
c) den Median,
d) das 75%-Quantil,
e) die Spannweite,
f) die Varianz und die Standardabweichung,
g) den Variationskoeffizienten und
h) den Interquartilsabstand.
i) Nach einer Lohnerhöhung sind alle Stundenlöhne um 5,00 EUR gestiegen. Lösen Sie Aufgabe b)
und f) für die neuen Stundenlöhne erneut.
j) Erstellen Sie für die Daten ein Kreisdiagramm und ein Histogramm.
5. Ein echter (fairer) Würfel wird zweimal ausgespielt. Es werden folgende Ereignisse betrachtet: A = „Die
Summe der beiden gewürfelten Zahlen ist gerade“, B = „Beide gewürfelten Zahlen sind gerade“, C =
„Die 6 erscheint bei keinem Wurf“, D = „Die 6 tritt höchstens einmal auf“.
a) Geben Sie die formale Beschreibung der angegebenen Ereignisse.
b) Bestimmen Sie für die angegebenen Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten.
6. Von den Studierenden einer Universität wird einer zufällig ausgewählt. Zeichnen Sie ein Venn–Diagramm
für folgende Ereignisse: A = „Er studiert Volkswirtschaftslehre“, B = „Er studiert eine Wirtschaftswissenschaft“
und C = „Er ist Studienanfänger“.
7. A und B seien Ereignisse mit P(A) = 0.4, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.25. Berechnen Sie
a) P(A ∪ B)
b) P(B c )
c) P(A ∩ B c )
d) P(A ∪ B c )
e) P(A c ∪ B c ).
8. Eine Stadt hat N Einwohner. In dieser Stadt erscheinen drei Tageszeitungen: a, b und c. Wir betrachten
die Ereignisse: A = {Leser von a}, B = {Leser von b}, C = {Leser von c}. Gegeben sei: P(A) = 0.4,
P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.1, P(B ∩ C) = 0.05, P(A ∩ C) = 0.15, P(A ∩ B ∩ C) = 0.04.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bewohner dieser Stadt:
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a) mindestens eine dieser Zeitungen liest.
b) ausschließlich a liest.
c) weder a noch b liest.
d) nur b und c liest.
e) höchstens zwei der drei Zeitungen liest.
f) keine der drei Zeitungen liest.
9. Für ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4,5} betrachte man folgende Ereignisse:
A 1 = {1}, A 2 = {4}, A 3 = {1,2}, A 4 = {3,5}, A 5 = {1,2,4}, A 6 = {2,4,6}. Welche der folgenden
Ereignissysteme sind Zerlegungen von Ω?
A : A 3 ,A 4 ,A 5
B : A 4 ,A 5
C : A 2 ,A 3 ,A 4
D : A 2 ,A 5 ,A 6
E : A 5 ,A 6
10. 5 Personen, 2 männliche m 1 und m 2 und 3 weibliche w 1 , w 2 und w 3 , bestreiten ein Schachturnier. Die
Personen gleichen Geschlechtes besitzen die gleichen Gewinnwahrscheinlichkeiten, und es ist doppelt so
wahrscheinlich, dass ein bestimmter Mann gewinnt, als dass eine bestimmte Frau gewinnt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt eine beliebige Frau das Turnier?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt m 1 oder w 1 das Turnier?
11. Beweisen Sie: Sind A und B unabhängige Ereignisse, dann sind auch A c und B c unabhängig.
12. Für zwei Ereignisse A und B gelte P(A) > 0 und P(B) > 0. Nehmen Sie Stellung zu den folgenden zwei
Aussagen und beweisen Sie ihre Aussage.
a) Sind A und B disjunkt, so sind sie voneinander unabhängig.
b) Sind A und B unabhängig, so sind sie nicht disjunkt.
13. Eine (faire,homogene) Münze wird dreimal geworfen. Wir betrachten die Ereignisse
A = {1. Wurf ist Z}, B = {2. Wurf ist Z}, C = {genau zweimal Z hintereinander}.
a) Stellen Sie den Ereignisraum dar.
b) Untersuchen Sie die Abhängigkeitsverhältnisse zwischen A und B, zwischen B und C und zwischen
A und C.
c) Was gilt es zu beachten, wenn mehr als zwei Ereignisse auf Unabhängigkeit überprüft werden?
14. Ein Handelsvertreter kauft in jedem Jahr einen PKW des Typs V oder des Typs M. Die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass er im folgenden Jahr den Typ auswählt, welchen er zur Zeit fährt, beträgt 0.6. Angenommen
er fährt zur Zeit den Typ V, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er im übernächsten Jahr den
Typ V kauft?
15. Es seien A und B Ereignisse mit P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 und P(A ∩ B) = 1/4. Bestimmen Sie
a) P(A | B)
b) P(B | A)
c) P(A ∪ B)
d) P(A c | B c )
e) P(B c | A c ).
16. Bei einer Prüfung sind 25% der Prüflinge in Mathematik, 15% in Chemie und 10% in Mathematik und
Chemie durchgefallen. Einer der Prüflinge wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,
dass er in
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a) Mathematik durchfiel, wenn man weiß, dass er Chemie bestanden hat?
b) Chemie durchfiel, wenn man weiß, dass er Mathematik nicht bestanden hat?
c) Mathematik oder Chemie durchfiel?
17. Ein Test zur Diagnose von Tuberkulose (TB) fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% positiv aus,
wenn die Testperson an TB erkrankt ist und mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% positiv aus, wenn die
Testperson nicht an TB erkrankt ist. Es sei bekannt, dass in einer Bevölkerung der Anteil derjenigen
Personen, die an TB erkrankt sind 4% beträgt. Wie groß ist für einen Teilnehmer der Reihenuntersuchung,
bei dem der Test positiv ausgefallen ist, die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich an TB erkrankt ist?
18. Bei einer Meinungsumfrage zum Thema Aktien waren 40% der Befragten jünger als 25 Jahre, 35%
zwischen 25 und 50 Jahre, die restlichen Befragten älter als 50. Dabei ergab sich, dass 60% der unter
25-jährigen und 45% der zwischen 25 und 50-jährigen Aktien als Anlageform in Betracht ziehen. 54%
der Befragten würden ihr Geld nicht in Aktien anlegen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich bei einer zufällig befragten Person um eine Person,
die älter als 50 ist und Aktien als Anlageform in Betracht zieht?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die Aktien als Anlageform in Betracht zieht,
älter als 50 Jahre ist?
19. Die Glühbirnenproduktion ist in einer Fabrik auf 3 Maschinen A, B und C zu 50%, 30% bzw. 20% verteilt.
Die einzelnen Maschinen arbeiten mit einem Ausschußanteil von 3%, 4% bzw. 5%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Produktion ausgewählte Glühbirne
defekt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese defekte Birne von Maschine A hergestellt
wurde?
20. Herr Meier trifft in einer Hafenkneipe auf den ihm unbekannten Spieler K. Sie beschließen zu würfeln.
Wer eine Eins würfelt, erhält vom anderen Spieler eine Runde Bier spendiert. K würfelt eine Eins. Herr
Meier erinnert sich jetzt, dass der Wirt ihm anvertraut hat, dass 60% seiner Gäste Falschspieler sind. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit war K ein Falschspieler? (Ein Falschspieler würfelt mit Sicherheit eine Eins,
ansonsten wird von einem fairen Würfel ausgegangen.)
21. Die Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariable X lautet
⎧
0 für x < −2
⎪⎨ 2/10 für −2 ≤ x < −1
F(x) = 5/10 für −1 ≤ x < 1
6/10 für 1 ≤ x < 4
⎪⎩
1 für 4 ≤ x
Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion?
22. Eine faire Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ erscheint, höchstens jedoch
dreimal. Die Zufallsvariable X gebe an, wie oft die Münze geworfen wird. Wie lautet die Dichte– und
Verteilungsfunktion?
23. Die Zufallsvariable X soll nur die Werte 0, 2 und 4 annehmen.
Bekannt ist weiterhin : F(2.3) = 0.6, E(X) = 2.5
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
24. Zeigen Sie, dass gilt: V(a + bX) = b 2 V(X).
25. Wieviele Permutationen lassen sich aus den Buchstaben des Wortes STATISTICS bilden?
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26. Aus einer Produktionsserie mit insgesamt 50 verschiedenen Losen wird eine Stichprobe von 5 Losen
zwecks Qualitätskontrolle gezogen. Wie viele Möglichkeiten der Stichprobenzusammensetzung gibt es,
die 5 Lose aus der Produktionsserie auszuwählen, wenn
a) die Stichprobe mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge zusammengestellt wird?
b) die Reihenfolge der Lose nicht unterschieden und die Stichprobe ohne Zurücklegen zusammengestellt
wird?
27. Auf wieviele Arten kann man 7 Leute um einen runden Tisch setzen,
a) wenn sie irgendwo sitzen können?
b) wenn 2 bestimmte Personen nicht nebeneinander sitzen dürfen?
c) Auf wieviele Arten kann man die 7 Leute auf einer geraden Sitzbank anordnen?
28. Bei einem Glücksspiel hat der Spieler die Gewinnchance 1/2. Ist es wahrscheinlicher, das der Spieler
a) 3 von 4 oder 5 von 8 Partien gewinnt?
b) mindestens 3 von 4 oder mindestens 5 von 8 Partien gewinnt?
29. Von 20 Schülern einer Schulklasse haben 12 Schüler in den Sommerferien einen Auslandsurlaub gemacht.
5 zufällig ausgewählte Schüler sollen über ihre Urlaubserlebnisse berichten.
a) Berechnen Sie die Varianz für die folgende Zufallsvariable X: Anzahl der Schüler, die im Ausland
Urlaub gemacht haben.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 4 dieser Schüler ihren Urlaub im Ausland
verbracht haben.
30. Ein Student ist Besitzer einer Sammlung von 40 Schallplatten, die zu 40% aus Jazzplatten bestehen. Er
wählt die Platten, die er spielt, immer zufällig aus und stellt sie nach dem Abspielen zurück.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 5 Platten, die er täglich hört, 2 oder 3 Jazzplatten
sind?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 5 Schallplatten mindestens eine Jazzplatte ist.
c) Ein Freund bittet ihn, zu einer Fete 6 Platten mitzubringen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass er genau 2 Jazzplatten auswählt.
31. Eine Unfallversicherung nimmt an, dass die Anzahl der Beinbrüche X im Skiurlaub poissonverteilt ist
und die Wahrscheinlichkeit keines Beinbruches 0.997 beträgt.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von genau einem Beinbruch?
32. In der Telefonzentrale des Statistischen Landesamtes treffen in einer Minute durchschnittlich drei Anrufe
ein.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens drei Anrufe in einer Minute eintreffen?
Berechnen Sie das Ergebnis unter der Annahme, dass X poissonverteilt ist.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens ein Anruf in der Minute eintrifft?
Berechnen Sie das Ergebnis unter der Annahme, dass X poissonverteilt ist.
c) Bestimmen Sie den Intensitätsparameter λ für den Fall P(X = 0) = 0.6.
33. In einem Industriebetrieb fällt eine bestimmte Maschine an einem Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von
7.5% genau einmal aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Maschine in einem Zeitraum von
200 Arbeitstagen an mehr als 20 Tagen genau einmal ausfällt?
34. In einer Glühbirnenfabrik werden aus einem Fertigungslos mit 5 000 Glühbirnen 30 Stück entnommen
und einer Qualitätskontrolle unterzogen. Bei der Qualitätsprüfung werden die Glühbirnen zerstört.
Aus Erfahrung weiß man, dass der Anteil der defekten Glühbirnen 11% beträgt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass unter den 30 Glühbirnen höchstens 2 Glühbirnen einen Defekt aufweisen?
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35. Gegeben sei die folgende Gleichverteilung für die Zufallsvariable X:
{ 1 für 3 ≤ x ≤ 4
f (x) =
0 sonst
Zeichnen Sie die Dichte- und die Verteilungsfunktion.
36. Eine Zufallsvariable besitze folgende Dichte:
f (x) =
Berechnen Sie:
{ 1
32
x für 0 ≤ x ≤ 8
0 sonst
a) den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x = 7.
b) den Erwartungswert und den Median.
c) die Varianz.
d) den Momentkoeffizient der Schiefe.
37. Sind Funktionswerte größer als 1 für eine Dichtefunktion möglich? Wenn ja, definieren Sie eine entsprechende
Dichtefunktion.
38. Die Bearbeitungszeit eines Studenten für eine Statistikübungsaufgabe sei eine Zufallsvariable X mit dem
Wertebereich (0,∞). Ferner wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, für eine Aufgabe bis zu s
weitere Zeiteinheiten zu brauchen, wenn er bereits mindestens t Zeiteinheiten benötigt hat, gleich der
Wahrscheinlichkeit ist, insgesamt höchstens s Zeiteinheiten zu benötigen: P(X ≤ t + s | X ≥ t) = P(X ≤
s).
a) Zeigen Sie, dass die Exponentialverteilung diese Bedingung erfüllt.
b) Berechnen Sie unter Annahme einer Exponentialverteilung für X und mit
P(X ≤ 2) = 0.25 die Dichte- und die Verteilungsfunktion.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Bearbeitungszeit von mindestens 4 Stunden zu erreichen?
d) Was sagt die Annahme der Exponentialverteilung für die Bearbeitungszeit der Übungsaufgaben
über den Studenten aus?
e) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
39. Eine Metallhobelmaschine bearbeitet Platten. Material und Maschine bedingen eine gewisse Variabilität,
die als zufällig angesehen wird. So lässt sich die Plattendicke X [in mm] als Zufallsvariable auffassen, die
von Platte zu Platte etwas andere Werte annimmt. X sei normalverteilt und habe bei einer bestimmten
Maschineneinstellung den Mittelwert µ = 10 [mm] und die Standardabweichung σ = 0.02 [mm]. Wieviel
Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten
a) mindestens 9.97 [mm] stark sein sollen?
b) höchstens 10.05 [mm] stark sein dürfen?
c) um maximal +/− 0.03 [mm] vom Sollwert 10 [mm] abweichen dürfen?
d) Wie muss die Toleranzgrenze 10 − c und 10 + c gewählt werden, damit man nicht mehr als 5%
Ausschuss erhält.
e) Wie ändert sich der Ausschussprozentsatz für die in Frage (d) bestimmten Toleranzgrenzen, wenn
sich µ nach 10.01 verschiebt?
f) Berechnen Sie das 0.8- und 0.25-Quantil.
40. Eine Firma benötigt Zylinder mit einem Durchmesser von 20 [mm]. Sie akzeptiert Abweichungen von
maximal +/ − 0.5 [mm]. Der Hersteller produziert diese Zylinder mit einem zufälligen Durchmesser X,
der einer N(20,σ 2 ) folgt.
a) Wieviel Prozent der Zylinder lehnt die Firma ab, wenn σ = 0.8 [mm] ist?
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b) Wie groß ist σ, wenn die Firma durchschnittlich 20% der Zylinder ablehnt?
41. a) Sei X ∼ N(µ,σ 2 ) verteilt. Zeige: aX + b ist N(aµ + b,a 2 σ 2 ) verteilt.
b) Sei X ∼ N(µ,σ 2 ) verteilt. Zeige: X−µ
σ
ist N(0,1) verteilt.
42. Lösen sie die Aufgaben 33 und 34, indem Sie als Näherungsverteilung die Normalverteilung verwenden.
43. X 1 und X 2 haben folgende gemeinsame Verteilung:
a) Ergänzen Sie die Tabelle.
b) Berechnen Sie E(X 1 ), E(X 2 ), Cov(X 1 ,X 2 ).
X 1 \ X 2 1 2 3 4 p 1
(x 1
)
1 0.25 0.02 0 0
2 0.05 0 0.36
3 0 0.05 0.12
p 2
(x 2
) 0.37 0.25 0.12
c) Berechnen Sie Cov(Y 1 ,Y 2 ), mit Y 1 = 10 + 5X 1 und Y 2 = 1 000 + 2X 2 .
d) Berechnen Sie die Korrelationen ρ x1 ,x 2
und ρ y1 ,y 2
.
44. Ein Personenwagen-Hersteller untersucht den Zusammenhang zwischen Haushaltsgröße (Anzahl der
Personen älter als 18 Jahre) und Anzahl der PKW im Haushalt. Dazu wurden 40 Haushalte befragt:
σ 2 (PKW)= 0.7, σ 2 (Haushaltsgröße)= 1.69.
Anzahl der PKW
Haushaltsgröße
in Personen
1 2 3 4 5
0 2 1 0 0 1
1 7 4 3 2 1
2 1 6 4 2 1
3 0 0 1 3 1
a) Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der PKW in den untersuchten Haushalten.
b) Berechnen Sie die Korrelation zwischen der Haushaltsgröße und der Anzahl der PKW.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein 4-Personen-Haushalt zwei oder drei PKW besitzt.
45. Eine Schachtel enthalte 100 Perlen, von denen 50 rot, 30 grün und 20 schwarz gefärbt seien. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, zufällig 6 Perlen, und zwar 3 rote, 2 grüne und 1 schwarze, auszuwählen (mit
Zurücklegen)?
46. Die Dichte f (x,y) einer zweidimensionalen stetigen Zufallsvariablen (X,Y) sei gegeben durch:
f (x,y) =
{ x
30
(y + 1) für 1 ≤ x ≤ 4 und 0 ≤ y ≤ 2
0 sonst
a) Zeigen Sie, dass es sich bei f (x,y) um eine gültige Dichtefunktion handelt.
b) Geben Sie die Randdichten von X und Y an.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für X ≥ 3.
e) Berechnen Sie P(X ≥ 2, Y ≤ 1).
f) Geben Sie F(3,1) an.
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47. Bei Geschwindigkeitskontrollen werden zwei Radarmessungen vorgenommen. Die beiden Messfehler X
und Y seien beide standardnormalverteilt (σ x = σ y = 1 [km/h]; µ x = µ y = 0 [km/h]). Ein Test ergab, dass
die Kovarianz von X und Y gleich Null angenommen werden darf.
a) Geben Sie die gemeinsame Dichtefunktion von (X,Y) an.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben beide Radargeräte für einen mit 60 [km/h] fahrenden Automobilisten
je eine Geschwindigkeit von über 62 [km/h] an?
48. Ein Spekulant besitzt Aktien zum Nennwert von 50 Euro, und zwar 20 Stück von Unternehmen 1 und 10
Stück von Unternehmen 2. Die Kurswerte K 1 und K 2 der Aktien seien unabhängige Zufallsvariable mit
E(K 1 ) = 150, V(K 1 ) = 36, E(K 2 ) = 200 und V(K 2 ) = 64. Welchen Erwartungswert und welche Varianz
besitzt der Gesamtkurswert K des Aktienpaketes?
49. Ein durchschnittlicher Besuch bei einem Zahnarzt (Wartezeit + Behandlung) dauert 120 Minuten.
a) Wie groß ist die maximale Wahrscheinlichkeit, dass man länger als 150 Minuten in der Praxis ist?
b) Beantworten Sie die Aufgabe a), wenn zusätzlich bekannt ist, dass die Standardabweichung 15
Minuten beträgt.
c) Wie groß ist die maximale Wahrscheinlichkeit, dass man sich weniger als 50 Minuten in der Praxis
aufhält?
d) Berechnen Sie (b) und (c) unter der Annahme, dass die Aufenthaltsdauer bei diesem Arzt normalverteilt
ist.
50. Der Nennwert der Kapazität von Kondensatoren einer Lieferung beträgt entsprechend der Vorbestellung
300 [µF]. Die tatsächlichen (zufälligen) Kapazitäten X der Kondensatoren streuen mit einer Standardabweichung
von σ = 12 [µF]. Berechnen Sie eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
A, dass die Kapazitäten eines Kondensators dem Betrage nach um mehr als 4.96% vom Nennwert
abweichen.
Zusatzaufgaben
53. Die Filialen eines großen Kaufhauskonzerns unterteilen sich auf die Verkaufsbezirke Süddeutschland,
Westdeutschland und Norddeutschland. Die Berechnung der einzelnen Filialumsätze (in Mill. Euro)
ergab folgende Tabelle:
Verkaufsbezirk
Süddeutschland Westdeutschland Norddeutschland
Filiale Umsatz Filiale Umsatz Filiale Umsatz
S1 1.0 W1 2.8 N1 1.7
S2 2.7 W2 1.8 N2 1.1
S3 1.9 W3 2.9 N3 2.0
S4 1.7 N4 1.2
S5 3.2
a) Berechnen Sie die durchschnittlichen Filialumsätze der drei Verkaufsbezirke.
b) Welcher Durchschnittswert ergibt sich für den gesamten Kaufhauskonzern?
54. Ein Handelsreisender hat in den 220 Arbeitstagen des Jahres 1999 seine tägliche Fahrleistung notiert und
die folgende Tabelle zusammengefasst:
Anzahl der
gefahrenen Kilometer
Anzahl der
Tage
0 — 10 20
10 — 30 100
30 — 50 60
50 — 70 30
70 — 100 10
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a) Wie hoch war die durchschnittliche Kilometerleistung je Arbeitstag?
b) Berechnen Sie die Standardabweichung.
c) Der Arbeitgeber zahlt dem Handlungsreisenden 0.30 Euro pro gefahrenem Kilometer und zusätzlich
an jeden Arbeitstag eine Pauschale von 15,- Euro. Wie groß sind Mittelwert und Standardabweichung
der pro Arbeitstag entstandenen Fahrtkosten?
d) Stellen Sie in einem Koordinatensystem die sich aus der Tabelle ergebende empirische Verteilungsfunktion
dar.
55. Gegeben sind die beiden folgenden Zahlenreihen:
Reihe 1: 12 13 15 17 19
Reihe 2: 2 3 4 5 6
Es bezeichne σ i die Standardabweichung und v i den Variationskoeffizienten für die Reihe i mit i = 1,2.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
A: σ 1 = σ 2 B: σ 1 > σ 2 C: σ 1 < σ 2
D: v 1 = v 2 E: v 1 > v 2 F: v 1 < v 2
56. A und B seien unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten 0.65 und 0.35. Wie groß ist dann
P(A ∪ B)?
57. Es gilt A c = B und A ∪ B = Ω. Wie groß ist dann A ∩ B?
58. Eine Klasse besteht aus 10 Schülern und 20 Schülerinnen. Jeweils die Hälfte davon hat braune Augen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Schüler ist oder
braune Augen hat.
59. Folgt aus P(A) = 0, dass das Ereignis A ein unmögliches Ereignis ist?
60. Bei der Fabrikation von Einzelteilen treten die Fabrikationsfehler „nicht maßhaltig“ und „nicht funktionstüchtig“
mit den Wahrscheinlichkeiten 0.1 bzw. 0.12 auf. Das gleichzeitige Auftreten der beiden Fehler
besitzt die Wahrscheinlichkeit 0.02. Ein Einzelteil ist nur dann verkäuflich, wenn es keinen der beiden
Fehler besitzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstehen bei der Produktion verkäufliche Einzelteile?
61. Was ist wahrscheinlicher: Bei einem Wurf von vier Würfeln mindestens eine Sechs zu erhalten oder bei
24 Würfen von zwei Würfeln mindestens einmal zwei Sechsen zu erhalten?
62. Für eine binomialverteilte Zufallsvariable ergab sich mit einer Stichprobengröße von n = 5: µ = 1. Wie
groß ist dann die Varianz der Zufallsvariable?
63. Ein Angeklagter steht vor einem Schwurgericht. Vier von dem Gericht zufällig ausgewählte Geschworene
sollen das Urteil fällen. Der Angeklagte wird für schuldig befunden, wenn mehr als die Hälfte der
Geschworenen für schuldig stimmen. Eine Umfrage ergab, dass 75% der Bevölkerung den Angeklagten
verurteilen würden.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Angeklagte freigesprochen wird?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Schuldspruch, wenn statt vier Geschworenen acht
Geschworene ausgewählt werden?
64. Dem Gericht aus der vorherigen Aufgabe stehen 30 Personen zur Verfügung, die als Geschworene in
Frage kommen. Für den Prozess hat der Rechtspfleger R genau vier von ihnen zufällig ausgwählt.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass bei 10 Frauen und 20 Männern unter den auszuwählenden Personen
alle vier Geschworenen Frauen sind?
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Geschworenen mindestens zwei Männer sind?
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c) Unter den 30 verfügbaren Personen befindet sich auch die Studentin B. Wie wahrscheinlich ist es,
dass der Rechtspfleger R gerade sie als Geschworene auswählt?
65. In einer Bevölkerung seien im Durchschnitt 3% Linkshänder. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
unter 100 Menschen 3 oder mehr Linkshänder sind.
66. Beim Skatspiel erhält jeder der drei Spieler von den 32 Karten des Skatblattes 10 zufällig ausgewählte
Karten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält bei einem Skatspiel
a) ein bestimmter Spieler alle vier Buben?
b) einer der Spieler alle vier Buben?
c) Wie oft gelangen im Durchschnitt bei 20 Skatspielen alle Buben in eine Hand?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 20 Skatspielen wenigstens einmal alle Buben in
eine Hand gelangen?
67. 10% der Werkzeuge, die in einem bestimmten Herstellungsprozeß produziert werden, erweisen sich als
unbrauchbar. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 10 zufällig ausgewählten
Werkzeugen genau 2 unbrauchbar sind, indem Sie
a) die Binomialverteilung anwenden.
b) die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung annähern.
68. Eine stetige Zufallsvariable X besitzt folgende Dichtefunktion:
f (x) = 1.5 · (1 − x + 0.25x 2 ); für x ɛ (0, 2)
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(t).
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert µ.
c) Bestimmen Sie die Varianz σ 2 .
69. Für eine Speicherzelle sei die Zeit X (Betriebsstunden) bis zum Auftreten des ersten Fehlers exponentialverteilt
mit dem Parameter λ = 0.01.
a) Wie groß ist die mittlere Zeitdauer bis zum Auftreten des ersten Fehlers?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der erste Fehler innerhalb von 100 Stunden auf?
c) Wie groß ist λ zu wählen, wenn bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des
ersten Fehlers innerhalb der ersten 100 Betriebsstunden 80% beträgt?
d) Wie groß ist die Varianz der Zeitdauer?
70. Autos eines amerikanischen Fabrikates verbrauchen im Durchschnitt 18 Liter Benzin für eine Fahrstrecke
von 100 km. Die Varianz des als normalverteilt unterstellten Verbrauches betrage 2.25 [Liter 2 ]. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei unveränderter Fahrweise ein Verbrauchswert von:
a) über 17 Liter
b) exakt 17 Liter
c) zwischen 17 Litern und 20 Litern pro 100 km Fahrstrecke realisiert wird?
d) Welcher Verbrauch wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht unterschritten?
71. Gegeben seien X und Y mit folgender gemeinsamen Verteilung:
X\Y -3 2 4
∑
1 0.1 0.2 0.2 0.5
3 0.3 0.1 0.1 0.5
∑ 0.4 0.3 0.3 1
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X und Y.
G. Arminger u. Mitarbeiter Studienjahr 2012/13

BU Wuppertal - Lehrstuhl für Statistik - Übungsaufgaben Statistik I 12
b) Bestimmen Sie Cov(X,Y).
c) Bestimmen Sie ρ(X,Y).
d) Bestimmen Sie E(X + Y).
e) Bestimmen Sie Var(X + Y).
f) Sind X und Y unabhängig?
72. Zehn Personen sollen sich für einen von drei Kandidaten (A, B, C) entscheiden.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 8 Personen sich für Kandidat A, eine Person sich für B
und eine Person sich für C entscheidet?
b) Wieviel wahrscheinlicher ist das Ergebnis: 3 × A, 3 × B und 4 × C?
G. Arminger u. Mitarbeiter Studienjahr 2012/13

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73. Die Dichte f (x,y) einer zweidimensionalen Zufallsvariablen sei gegeben durch:
f (x,y) =
Berechnen Sie:
{ 12
−
8 1 x für 0 ≤ x ≤ 4 und 0 ≤ y ≤ 1
0 sonst
a) den Wert der Dichtefunktion der Randverteilung von X an der Stelle x = 3.
b) den Erwartungswert von Y.
c) die Varianz von Y.
74. X und Y haben folgende gemeinsame Dichtefunktion:
f (x,y) =
{
( 1
20 − 1
200 y)e− 1 4 x für 0 ≤ x und 0 ≤ y ≤ 10
0 sonst
Berechnen Sie die Randdichten f (x) und f (y).
75. Aus langjähriger Erfahrung ist dem Hersteller einer bestimmten Schraubensorte bekannt, dass die
Schraubenlänge einen Erwartungswert von µ = 20 [mm] besitzen.
a) Es wird zusätzlich von einer Varianz σ 2 = 0.0225 [mm] 2 ausgegangen. Mit wieviel Prozent Ausschuss
muss man höchstens rechnen, wenn die Schraubenlänge größer als 19.7 [mm] und kleiner als
20.3 [mm] sein soll?
b) Eine Untersuchung bei einem anderen Schraubenhersteller ergab, dass bei 5% der Schrauben eine
Länge von 18 [mm] unterschritten und bei 10% eine Länge von 22 [mm] überschritten wurde. Es ist
wiederum bekannt, dass die Schraubenlänge einen Erwartungswert von µ = 20 [mm] besitzt. Was
lässt sich aus diesen Aussagen über die Varianz der Schrauben sagen?
76. Die Ergebnisse eines in Punkten gemessenen Leistungstests haben erfahrungsgemäß das arithmetische
Mittel 100 und die Standardabweichung 20. Wieviel von 1 000 Studenten werden höchstens von dieser
mittleren Punktzahl um mehr als 50 Punkte abweichen?
G. Arminger u. Mitarbeiter Studienjahr 2012/13