Klausur zur Veranstaltung Analysis I - Abteilung für Mathematische ...

Albert-Ludwigs Universität Freiburg WS 2012/2013
Mathematisches Institut 23. März 2013
Prof. Dr. Peter Pfaffelhuber / Dr. Andrej Depperschmidt
Klausur zur Veranstaltung Analysis I
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Füllen Sie zuerst den Kopf vollständig und leserlich aus.
• Schreiben Sie auf jedes von Ihnen benutzte Blatt Papier als erstes Ihren Namen und Ihre
Matrikelnummer.
• Als Hilfsmittel dürfen Sie ein beidseitig beschriebenes DIN A4-Blatt benutzen. Es sind keine
weiteren Hilfsmittel zugelassen. Taschenrechner, Smartphones etc. dürfen nicht auf den
Tischen liegen.
• Notieren und begründen Sie alle Rechenwege zu Ihren Lösungen auf dem Abgabeblatt.
1 2 3 4 5 6 7 8
∑
Punkte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klausureinsicht: 03. April, 2013, 13–14 Uhr, im SR 232 in Eckerstraße 1
1. Aufgabe (3 Punkte)
Zeigen Sie: Für a, b, c, d ∈ R gilt
a + b ≤ c + d =⇒ ((a ≤ c) ∨ (b ≤ d)).
2. Aufgabe (3 Punkte)
Es seien a, b ∈ R mit a ≥ 0 und b ≥ 2 gegeben. Die Folge (x n ) n=0,1,... sei definiert durch
x 0 = a,
x n+1 = x n + a
, n ∈ N.
b
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Folge und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
3. Aufgabe (3 Punkte)
Es sei f : [0, 1] → [0, 1] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt, d.h. es gibt
ein x 0 ∈ [0, 1] mit f(x 0 ) = x 0 .
1

4. Aufgabe (3 Punkte)
Die Funktion f : R → R sei definiert durch f(x) = x 2 e −x . Beweisen Sie: Für n ∈ N ist die n-te
Ableitung von f gegeben durch
f (n) (x) = (−1) n( x 2 − 2nx + n(n − 1) ) e −x .
5. Aufgabe (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Reihe
∞∑
k=1
1
k 2 (k + 1) 2
konvergiert und berechnen Sie deren numerischen Wert.
∞∑ 1
π2
Hinweis: Die Reihe hat den numerischen Wert (das muss nicht gezeigt werden).
k2 6
k=1
6. Aufgabe (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Folge (x n ) n=1,2,... definiert durch
eine Cauchy-Folge ist.
x n :=
∫ n
1
7. Aufgabe (3 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr (Begründung!) und welche falsch (Begründung
bzw. ein Gegenbeispiel!) sind:
(a) Es seien f, g : [a, b] → R zwei stetig differenzierbare Funktionen mit f ′ (x) = g ′ (x). Dann gibt
es eine Konstante c mit
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
cos t
t 2
dt,
g(x) dx + c(b − a).
(b) Ist die Funktion f : R → R nicht stetig in 0, dann gilt: Für jede Nullfolge (x n ) n=1,2,... ist die
Folge (f(x n )) n=1,2,... divergent.
(c) Ist die Funktion f : [0, ∞) → R für jedes n ∈ N gleichmäßig stetig auf dem Intervall [0, n],
dann ist sie auch gleichmäßig stetig auf dem ganzen Definitionsbereich [0, ∞).
8. Aufgabe (4 Punkte)
Berechnen Sie folgende Integrale
∫ e 2
(a) x 3 ln x dx,
1
(b)
∫ e
1
(
1 +
cos(ln x)
)
dx.
x
2