Übungsaufgaben Teil 7

Elektrodynamik, SS 2013
Prof. Dr. Michael Bonitz
Übungszettel 7, Abgabe 28.5 16:00
1. Wiederholung (mündlich 1 ):Multipol-Entwicklung
(a) Erläutern Sie die Methode der Greenschen Funktion zur Lösung einer inhomogenen
Differentialgleichung und diskutieren Sie die Anwendung auf die
Poissongleichung.
(b) Machen Sie sich mit den Greenschen Identitäten vertraut (s. Skript, S. 49)
und leiten Sie die Lösung der Poisson-Gleichung mit Randwert-Beiträgen ab.
(c) Wiederholen Sie die Multipolentwicklung des elektrostatischen Potentials und
diskutieren Sie die zugrunde liegenden Annahmen.
(d) Definieren Sie das Dipol- und Quadrupolmoment und diskutieren Sie die
dabei vorhandene Willkür.
2. Aufgaben:Lösung der Poisson-Gleichung. Multipolentwicklung
(a) Für eine geladene Kugel (Radius R) mit einer beliebigen sphärisch symmetrischen
Ladungsdichte ρ(r) = ρ(r) berechne man das elektrostatische Potential
im Innen- und Außenraum durch direkte Integration der allgemeinen
Lösung der Poissongleichung (Integralformel für φ). Bei r = R habe ρ einen
Sprung und falle auf 0 ab. Hinweis: Man verwende Kugelkoordinaten und
führe nacheinander die Winkelintegrationen aus. Man betrachte anschließend
den Grenzfall ρ(r) = ρ 0 = const und führe auch die Radialintegration aus
und vergleiche mit dem bekannten Ergebnis (s. Vorlesung, 15 Punkte).
(b) Quadrupol-Moment von Punktladungen
Man ordne 4 Punktladungen ±q auf den Ecken eines Rechteckes (Seitenlängen
a,b) so an, dass das elektrostatische Potential φ durch den Quadrupolbeitrag
dominiert wird.
i. Berechnen Sie φ und bestimmen Sie das Quadrupolmoment durch Vergleich
mit der Multipolentwicklung (Vorlesung).
ii. Berechnen Sie das elektrische Feld eines Quadrupol-Potentials und stellen
Sie es graphisch dar.
iii. Vergleichen Sie das elektrische Feld mit dem einer Punktladung bzw.
eines Dipols (Formel und graphische Darstellung der Feldlinien). Diskutieren
Sie insbesondere die Winkelabhängigkeit.
(20 Punkte)
1 ohne Abgabe, aber Vorrechnen an der Tafel mit Benotung

3. Zusatzaufgabe 2 : Yukawa-Plasma
Man löse Aufgabe 2.a) für eine beliebige isotrope Ladungsverteilung ρ(r), die
bei r = R auf Null abfällt. Die Ladungen seien durch das umgebende Plasma
abgeschirmt, so dass das Gesamtpotential gegeben ist durch
∫
φ YU (r) =
d 3 r ′ ρ(r ′ ) e−κ|r−r′ |
|r − r ′ | . (1)
Man berechne φ YU and finde die Differentialgleichung, die φ YU erfüllt (die im Fall
verschwindender Abschirmung in die Poissongleichung übergeht).
2 fakultativ