Tutorium 1 - Theoretische Physik IV

Mathematische Übung
Klassische Theoretische Physik I Blatt 1
Christopher Körber
Dmitrij Siemens
(1) Summennotation in der Vektorrechnung
(1.1) Kreuzprodukt in Summennotation
Beschreibe das Kreuzprodukt mithilfe des Levi-Civita Symbols.
Tipp:
⎛
a × b = ⎝
a 2 b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3
a 1 b 2 − a 2 b 1
⎞
⎠ .
(1.2) Tensor Identitäten I
Vereinfache für i,j,k ∈ { 1,2,3 }
(a) δ ij δ jk (b) δ ij δ j1 (c) δ ij δ ij
∑
(d) δ i1 δ j1 (e) ɛ ijk δ kl (f) ɛ ijk δ ki ,
i,j
und transformiere
(g) ɛ ijk zu ɛ jki und (h) ɛ ijk zu ɛ ikj .
(1.3) Tensor Identitäten II - Levi-Civita Symbol (optional)
Das Levi-Civita Symbol lässt sich im Allgemein auch durch eine Determinante beschreiben
∣ δ 1i1 δ 1i2 · · · δ 1in ∣∣∣∣∣∣ ɛ i1i 2···i n
=
.
. .
∣ δ ni1 δ ni2 · · · δ nin
(a) Beweise nun:
Tipp:
ɛ ijk ɛ lmn =
∣
δ il δ im δ in
δ jl δ jm δ jn
δ kl δ km δ kn
∣ ∣∣∣∣∣
.
det(A)det(B) = det(A T )det(B) = det(A T B) .
(b) Beweise im Folgenden die Relation:
ɛ ijk ɛ imn = δ jm δ kn − δ jn δ km
Tipp: Führe zunächst eine Entwicklung nach einer Spalte bzw. Zeile aus!
(1.4) Bac-Cab Regel
Vereinfache a × (b × c).
1

(2) Kurvenintegrale
(2.1) Arbeit im Kraftfeld
Sei F eine Kraft, die gegeben ist durch
F : R 2 ↦→ R 2 ; x ↦→ x2
L e x + y e y .
Weiterhin sind c 1 bis c 3 Kurven ( c i : R ↦→ R 2 ) entlang der folgenden Wege:
(1) Entlang einer Geraden vom Ursprung zum Punkt (L,0),
(2) entlang einer Geraden vom Ursprung zum Punkt (L,L) und
(3) entlang eines Viertelkreises vom Ursprung bis zum Punkt (L,L) mit Kreiszentrum (0,L).
Aufgabe:
(a) Skizziere die Wege (1) bis (3) ,
(b) parametrisiere die Kurven c 1 bis c 3 und
(c) berechne die Arbeit entlang der Wege (1) bis (3):
W (c) = ∫ F(s) · ds
c
2