Professor Dr. Friedrich Pukelsheim Institut für Mathematik der ...

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Professor Dr. Friedrich Pukelsheim
Lehrstuhl für Stochastik und ihre Anwendungen
Institut für Mathematik der Universität Augsburg
0821-5982204
Fax: 0821-5982280
Universitätsstraße 14
Postadresse:
D–86135 Augsburg
Germany
Herrn C. Schuhmacher
Leiter des Gesetzgebungsdienstes
Direktion der Justiz und des Innern
Kaspar Escher Haus
CH-8090 ZÜRICH
22. März 2003 FP/fp
Betr.: Neue Zürcher Zuteilungsmethode
Sehr geehrter Herr Schuhmacher:
Im Nachgang zu meinem Besuch bei Ihnen am 17. Februar 2003 und zu unserem
Gedankenaustausch in der letzten Woche möchte ich hiermit meine Überlegungen
darstellen, wie die Zuteilungsmethode für die Sitze als Teil des Wahlsystems für den
Kantonsrat Zürich neu gestaltet werden könnte, um dem Bundesgerichtsentscheid
(BGE) vom 18. Dezember 2002 (Az. 1P.267/2002/sta) zu genügen.
I
Ich gehe mit Ihnen einig, dass am Stimmgebungsverfahren nichts zu ändern ist. Aus
Sicht der Wähler bleibt damit der Wahlablauf bis zum Verlassen der Wahlkabine
unverändert. Zur Befriedigung der bundesgerichtlichen Vorgaben ist es absolut
ausreichend, die Zuteilungsmethode für die Sitze—das heißt das Verfahren zur
Verrechnung von Stimmen in Sitze—besser den kantonalen Gegebenheiten anzupassen.
II
Das Bundesgericht beurteilt das mit der derzeitigen Sitzzuteilungsmethode faktisch
einhergehende natürliche Quorum als bundesverfassungswidrig, da es dem Grundsatz
der proportionalen Repräsentation nicht genügend Rechnung trägt. Aus meiner Sicht
als Mathematiker, der sich seit einigen Jahren mit Problemen des Wahlrechts befasst,
teile ich die Einschätzung des Gerichts.
Jede Heilung des erkannten Mangels geht zu Gunsten der kleineren Parteien—dies ist ja
gerade der Tenor des Entscheids. Da nach wie vor die Gesamtsitzzahl 180 gleich bleibt,
geht jede Heilung andererseits notgedrungen auf Kosten der größeren Parteien. Die
von Ihrem Hause angestellten Beispielrechungen laufen auf eine solche Umverteilung
hinaus, wie auch meine nachfolgenden Rechnungen.
E-Mail: Pukelsheim@Math.Uni-Augsburg.De · Internet: www.uni-augsburg.de/pukelsheim

– 2 –
Angesichts dieser unausweichlichen Auswirkungen möchte ich betonen, dass mir eine
Geringschätzung der Mehrheitsparteien fern liegt. Ich bin mir bewußt, dass die
großen Parteien einen Großteil des politischen Lebens prägen und den größeren
Teil der politischen Entscheidungen zu verantworten haben. Überdies habe ich als
Deutscher die größte Hochachtung vor der eindrucksvollen demokratischen Tradition
Ihres Landes.
III
Bei aller Wertschätzung der Parteien für die Funktion einer repräsentativen Demokratie
sollte die Gestaltung eines Wahlsystems der proportionalen Repräsentation aber doch
primär an den Wählern ausgerichtet sein, nicht an den Parteien. Dies klingt auch beim
Bundesgericht an, wenn es Erfolgswertgleichheit einfordert (BGE Seite 13).
Der Erfolgswert eines Wähler ist nun nicht nur ein abstrakter Wert, sondern stellt sich
als konkrete Zahl dar. Ich führe dies an den aktuellen kantonsweiten Zahlen vor und
folge damit dem Diktum des Bundesgerichts (BGE Seite 8), dass “die Bedeutung einer
Partei . . . bezogen auf den ganzen Kanton ermittelt werden [muß] und nicht nur unter
Berücksichtigung eines einzelnen Wahlkreises.”
Allerdings können die Wähler ihre politische Willensäußerung je nach Wahlkreisgröße
unterschiedlich stückeln. (Mit “Wahlkreisgröße” bezeichne ich die Gesamtzahl
der im Wahlkreis zu vergebenen Sitze.) Die in den einzelnen Wahlkreisen
ausgezählten Parteistimmen sind deshalb für den Kantonszusammenzug nicht geeignet.
Ihrem Exposé über “Wahlkreisverbände” (24.01.03/JI/cs) folgend basiere ich die
kantonsweite Auswertung daher auf den “Wählerzahlen”. Dazu werden im Wahlkreis
die Parteistimmenzahlen durch die Wahlkreisgröße geteilt und das Ergebnis zur
nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet (“Standardrundung”). Zur kantonsweiten
Berechnung der Wählerzahl einer Partei werden ihre Wählerzahlen über alle achtzehn
Wahlkreise summiert. Die so gewonnene Kennzahl gibt also an, wie viele Wähler hinter
der Partei stehen.
Für die SVP (zusammen mit JSVPW und JSVP) beispielsweise gründet sich der Erfolg
von 60 Sitzen auf die Wählerzahl 81 658. Ein einzelner Wähler trägt also mit dem
Bruchteil
60
81 658
zum Erfolg bei. Dieser kleine Bruchteil hat noch wenig Aussagekraft. Eine
aussagekräftige Zahl erhält man erst, wenn man die Sitze zur Gesamtzahl aller Sitze
(180) in Bezug setzt und die SVP-Wählerzahl auf die Summe aller Wählerzahlen
bezieht (273 489). Denn ob 60 Sitze einen großen Erfolg darstellen oder einen kleinen,
erklärt sich erst aus dem Blickwinkel des Plenums, in dem sie zum Tragen kommen,
und für die Wählerzahlen gilt ähnliches.

– 3 –
Der Erfolgswert eines für die SVP stimmenden Wählers berechnet sich daher nicht
als Quotient von Sitzzahl und Wählerzahl, sondern als Quotient von Sitzanteil und
Wähleranteil:
60/180
= 1.116 = 111.6%.
81 658/273 489
Der ganze, hundertprozentige Erfolg wurde also um 11.6 Prozentpunkte übertroffen.
Am anderen Ende rangiert der Erfolgswert eines für die SD stimmenden Wählers mit
2/180
6 786/273 489
= 0.448 = 44.8%.
Hier wurde ein ganzer, hundertprozentiger Erfolg um 55.2 Prozentpunkte verfehlt.
Der Unterschied zwischen den Erfolgswerten eines für die SVP und eines für die SD
stimmenden Wählers beläuft sich somit auf 111.6 − 44.8 = 66.8 Prozentpunkte. Wenn
die sich hier abzeichnende Ungleichheit praktisch unvermeidbar wäre, müsste man sie
hinnehmen. Das Bundesgericht hat entschieden, dass die Wähler mehr Wahlgleichheit
beanspruchen dürfen, und das ist in der Tat durchaus machbar.
IV
Der verfassungsrechtlichen Anforderung, dass die Unterschiede zwischen den Erfolgswerten
je zweier Wähler so gering ausfallen mögen wie nur irgend möglich, wird genau
nur eine Sitzzuteilungsmethode gerecht, die Divisormethode mit Standardrundung
(Webster/Sainte-Laguë). Die Namenspatrone sind der US-Amerikaner Daniel Webster
(1782–1852), einer der großen Staatsmänner seiner Zeit, und der Franzose André
Sainte-Laguë [s˜εt la ′ gy] (1882-1950), Mathematikprofessor am Conservatoire national
des arts et métier in Paris (Anlage 1).
Ich zeige zunächst die Auswirkungen auf die Erfolgswerte. Nach der Divisormethode
mit Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë) hätte die SVP 54 Sitze bekommen,
woraus sich der Erfolgswert eines SVP-Wählers berechnet zu
54/180
81 658/273 489
= 1.005 = 100.5%.
Die SD hätten 4 Sitze bekommen, sodass ein SD-Wähler den Erfolgswert
4/180
6 786/273 489
= 0.896 = 89.6%
erzielt. Der Unterschied schrumpft jetzt also auf 100.5 − 89.6 = 10.9 Prozentpunkte,
eine enorme Minderung im Vergleich zur krassen Diskrepanz von 66.8 Prozentpunkten
oben.

– 4 –
Man könnte spekulieren, ob der Transfer eines Sitzes von der SVP zu den SD den
Unterschied der Erfolgwerte verkleinert. Das Gegenteil ist der Fall:
5/180
6 786/273 489 − 53/180
81 658/273 489
= 112.0% − 98.6% = 13.4%.
Ganz allgemein liefert die Divisormethode mit Standardrundung (Webster/Sainte-
Laguë) immer solche Sitzzahlen, dass jeder zusätzliche Transfer eines Sitzes von
einer Partei zu einer anderen Partei den Unterschied zwischen den Erfolgswerten
der für diese Parteien stimmenden Wähler größer macht und damit schlechter stellt.
Die kleinsten Unterschiede und damit die geringsten Ungleichheiten werden genau
dann erzielt, wenn die Divisormethode mit Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë)
benutzt wird. In diesem Sinn ist die Methode erfolgswertoptimal und besser als alle
anderen Sitzzuteilungsmethoden.
Diese Optimalitätsaussage ist ein mathematisches Theorem und somit beweisbar
richtig. Sie geht zurück auf den Berliner Statistiker Ladislaus von Bortkiewicz (1868–
1931). Einen Beweis geben M.L. Balinski und H.P. Young in ihrem wegweisenden
und weitverbreiteten Buch Fair Representation—Meeting the Ideal of One Man, One
Vote (Zweite Auflage, Washington, DC 2001), Seite 101, das ich übrigens in der NZZ
besprochen habe (Anlage 2).
V
Die wählerorientierte Erfolgswertoptimalität ist das größte Juwel in der Krone der
Divisormethode mit Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë). Ich habe deshalb
versucht, dies so weit herauszuarbeiten, dass es von den Politikern weitergetragen
werden kann (mit allfälligen Vereinfachungen), um beim Wahlvolk für die anstehenden
Änderungen die notwendige Unterstützung zu finden.
Die Erfolgswertoptimalität erschließt sich nicht—jedenfalls nicht so ohne weiteres—aus
den Rechenvorschriften, die mit der Methode einhergehen und die ich deshalb bis jetzt
zurückgestellt habe. Aber auch aus dieser handwerklichen Sicht schneidet die Methode
am besten ab, sodass gleich zwei Juwelen in ihrer Krone funkeln.
Die Divisormethode mit Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë) verfährt nach dem
Motto
Teile und runde!
Alle Wählerzahlen sind durch einen gemeinsamen Divisor zu teilen und die sich
ergebenden Quotienten sind standardmäßig zu runden, um die Sitzzahlen zu erhalten;
dabei ist der Divisor so zu bestimmen, dass die vorgegebene Gesamtsitzzahl vollständig
ausgeschöpft wird.
Ich zeige dies für den amtierenden Kantonsrat, mit Divisor 1 510. Für die SVP (mit
JSVPW und JSVP) erhält man den Quotienten
81 658/1 510 = 54.1

– 5 –
und Standardrundung führt zu den 54 Sitzen, die ich oben zitiert habe. In derselben
Weise ergeben sich für die SD aus dem Quotienten
6 786/1 510 = 4.49
die erwähnten 4 Sitze. Jede Zahl zwischen 1 508.0 und 1 516.5 kann als Divisor
herhalten. Dabei ändern sich die Nachkommastellen der Quotienten nur so geringfügig,
dass die Standardrundung diese Änderungen nicht bemerkt und zu denselben
Sitzzahlen führt.
Ein öffentlich bekanntgegebenes Zuteilungsergebnis zu überprüfen wird also dann ganz
einfach gemacht, wenn gleichzeitig ein Divisor mitveröffentlicht wird. Dabei ist es
unerheblich, wenn verschiedene Quellen verschiedene Divisoren zitieren. Es ist das
Endergebnis, dass eindeutig ist und sein muss, nicht die Zwischenrechnungen, die
dorthin führen.
Die Divisormethode mit Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë) ist eng verwandt
mit der derzeit verwendeten Divisormethode mit Abrundung (d’Hondt/Hagenbach-
Bischoff). Letztere beruht auf “Höchstzahlen”, die aus den Wählerzahlen mittels
der Teilerfolge 1, 2, 3, usw. berechnet werden. Erstere lässt sich ebenfalls mittels
Höchstzahlen auswerten, dann aber mit der Teilerfolge 0.5, 1.5, 2.5, usw. Bei näherer
Untersuchung stellt man fest, dass zur Auswahl eines Divisors die angegebene untere
Grenze gerade die Höchstzahl ist, die den nächsten Sitz bekommen würde (SD:
6 786/4.5 = 1 508.0), während die obere Grenze die Höchstzahl ist, die den letzten
Sitz erhalten hat (FDP: 55 353/36.5 = 1 516.5).
VI
Die Divisormethode mit Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë) besticht aber auch
aus parteienorientierter Sicht. Bei wiederholter Anwendung teilt sie jeder Partei genau
so viele Sitze zu, wie ihr nach direkter Verhältnisrechnung (Dreisatz) zustehen. Die
im Einzelfall unvermeidlichen Schwankungen sind sehr gering; gelegentliche Vor- und
Nachteile gleichen sich langfristig aus. Diese Unverzerrtheit in der Sitzzuteilung kommt
bei dieser Methode eben jeder Partei zu Gute, den größeren wie auch den kleineren.
Bei Verwendung dieser Methode macht es deshalb einfach keinen Sinn, dass mehrere
Parteien eine Listenverbindung eingehen. Denn als Listenverbindung bekämen sie in
den meisten Fällen genau so viele Sitze wie einzeln, in einigen Fällen einen Sitz mehr, in
anderen Fällen einen weniger. Verzichtet der Gesetzgeber darauf, Listenverbindungen
zuzulassen, so erwächst den Parteien daraus kein Verlust. Für die Wähler ist ein solcher
Verzicht eher ein Gewinn, da die anstehenden Alternativen in klarerer Trennung zur
Wahl gestellt werden.
Ganz anders verhält es sich mit der bisherigen Divisormethode mit Abrundung
(d’Hondt/Hagenbach-Bischoff). An der proportionalen Repräsentation vorbei wird
hier Größe prämiert, weshalb für diese Methode Listenverbindungen sehr wohl Sinn
machen. Denn indem sich kleinere Parteien zusammenschließen, werden sie in der
Verhältnisrechnung als etwas größere Einheit geführt und mindern dadurch die Prämie,
die den ganz Großen in den Schoß gelegt wird.

– 6 –
Der Erste, der diese systematischen Sitzverzerrungen zahlenmäßig herausgearbeitet
hat, war Ihr Landsmann Georg Pólya (1887–1985), als er als Privatdozent an der
ETH Zürich am Beginn seiner akademischen Karriere stand (Anlage 3). Ich lege eine
demnächst erscheinende Arbeit bei, in der wir diese Pólyaschen Ergebnisse weiter
ausbauen und an Hand der Solothurner Kantonsratswahlen 1896–1997 illustrieren
(Anlage 4, Seite 9–12).
Aus unseren theoretischen Überlegungen und empirischen Beispielen ergibt sich,
dass unverzerrte Sitzzuteilungen erst dann realisiert werden können, wenn in den
Wahlkreisen mindestens doppelt so viele Sitze zur Zuteilung anstehen, als es Teilnehmer
am Zuteilungsprozess hat (Anlage 4, Seite 14, Punkt 1). Da es im gegenwärtigen
Kantonsrat Zürich zwölf Teilnehmer gibt (wenn man JSVPW und JSVP unter SVP
subsummiert, sonst 14), müssten aus meiner Sicht etwaige Wahlkreisverbände 24 (sonst
28) oder mehr Sitze aufweisen.
VII
Allerdings geht mir die gerade Linie verloren, wenn erst Listenverbindungen abgeschafft
und dann im selben Atemzug Wahlkreisverbände eingerichtet werden. Zudem würde
wohl ein Wähler in dem einen Wahlkreisverband sein Recht auf Wahlgleichheit genau
so realisiert sehen wollen wie ein anderer Wähler in einem anderen Wahlkreisverband.
Dieser Anspruch kann ohne weiteres befriedigt werden, wenn die Stimmenverrechnung
auf Kantonsebene vollzogen wird.
Ich hätte Schwierigkeiten, “ausreichende sachliche Gründe” (BGE Seite 5) zu
formulieren, um die Ungleichbehandlungen von Wählerstimmen zu rechtfertigen,
die zwangsläufig mit der Einführung von Wahlkreisverbänden einhergehen. In den
folgenden Rechnungen habe ich deshalb von der Einführung von Wahlkreisverbänden
abgesehen.
Werden nun als erstes auf Grund der kantonsweiten Wählerzahlen die Sitze den
Parteien zugeteilt, so sinkt das vom Bundesgericht bemängelte natürliche Quorum
auf eine so geringe Hürde, dass ersatzweise an die Einführung eines direkten
Quorums zu denken wäre. Damit eine gültige Stimme zuteilungsberechtigt wird
und zur Verhältnisrechnung beitragen kann, müsste sie also zusätzlichen, noch zu
formulierenden gesetzlichen Qualifikationen genügen. Zu diesem Punkt bin ich nicht
befragt und enthalte mich einer Stellungnahme.
Um trotzdem die nachfolgenden Rechnungen mit der derzeitigen Sitzverteilung
vergleichen zu können, behandle ich genau diejenigen Stimmen als zuteilungsberechtigt,
die für Parteien oder parteilose Kandidaten abgegeben wurden, die es bei dieser Wahl
in den Kantonsrat geschafft haben.

– 7 –
VIII
Nach diesen länglichen Vorreden komme ich nun zur eigentlichen Neuen Zürcher
Zuteilungsmethode, die ich für problemangemessen halte. Sie gliedert sich in eine
Oberzuteilung an die kantonsweiten Listengruppen, gefolgt von einer Unterzuteilung
an die Wahlkreise. Die Unterzuteilung wird auf der “doppeltproportionalen
Divisormethode mit Standardrundung” beruhen, die ich gleich erläutern werde. Zur
klareren sprachlichen Abgrenzung werde ich die bisher diskutierte “Divisormethode mit
Standardrundung (Webster/Sainte-Laguë)” fortan umbennen in “einfachproportionale
Divisormethode mit Standardrundung”und die Namenszusätze aufgeben. Denn zwar
sehe ich in den Namen einen immer wieder bedenkenswerten Hinweis darauf, dass
die Menschheit früher auch nicht dümmer war als heute. Aber für die Sache
sind Eigennamen wenig erhellend und verführen manchmal dazu, in der Tradition
frühmittelalterlicher Scholastiker sich hinter Autoritäten zu verstecken, anstatt sich
mit dem eigentlichen Problem selbst auseinander zu setzen.
IX
Die Oberzuteilung an die Listengruppen benutzt die einfachproportionale Divisormethode
mit Standardrundung, deren Erfolgswertoptimalität ich in Abschnit IV
herausgearbeitet habe. Sie geht von den Wählerzahlen aus, die aus dem Kantonszusammenzug
resultieren. Für die von mir als zuteilungsberechtigt hergenommenen
Stimmen ergibt sich folgende Rechnung:
Kantonsratswahl vom 18. April 1999: Oberzuteilung an die Listengruppen
(auf der Basis der kantonsweiten Wählerzahlen)
Listengruppe Wählerzahl Quotient Sitze
01+25 FDP+JFZ 55 353 36.66 37
02 SP 62 378 41.31 41
03+22+27 SVP+JSVPW+JSVP 81 658 54.08 54
04 Grüne 15 964 10.57 11
05 CVP 18 806 12.46 12
06 EVP 14 054 9.31 9
07 LdU 6 745 4.48 4
09 SD 6 785 4.49 4
14 SaS 4 688 3.09 3
19 BD 791 0.52 1
20 AL 1 147 0.76 1
28 EDU 5 116 3.39 3
Summe 273 489 (Divisor 1 510 ) 180
Einfachproportionale Divisormethode mit Standardrundung, mit Divisor 1 510. Die
Wählerzahlen werden durch 1 510 geteilt und die sich ergebenden Quotienten standardmäßig—das
heißt zur nächstgelegenen ganzen Zahl—gerundet. Zum Beispiel
errechnet man für die FDP den Quotienten 55 353/1 510 = 36.66 und rundet ihn zu
37 Sitzen. Die EDU erhält mit Quotient 5 116/1 510 = 3.39 nach Rundung 3 Sitze.

– 8 –
Auf Kantonsebene ist damit der Erfolgswertgleichheit der Wähler in bestmöglicher
Weise Rechnung getragen. Aus Wählersicht ist das Ideal der Wahlgleichheit soweit
angenähert, wie es die Wirklichkeit erlaubt.
Zudem erhält auf Kantonsebene jede Listengruppe genau das, was eine Dreisatzrechnung
für sie als Idealanspruch ergibt, abgesehen von unumgänglichen Rundungseffekten.
Somit ist auch aus parteienorientierter Sicht das Ideal der proportionalen
Repräsentation in größtmöglicher Weise befriedigt.
Die so berechneten Listengruppensitze werden in der folgenden Unterzuteilung an
die Wahlkreise nicht mehr angetastet. Sie gelten als vorgegeben, so wie auch die
Wahlkreisgrößen vorgegeben sind. Dass die Wahlkreisgrößen a priori vor der Wahl
festliegen und die Listengruppensitze a posteriori nach der Wahl herauskommen, ist
aus Sicht der Zuteilungsrechnung unerheblich.
X
Die Unterzuteilung an die Wahlkreise muß damit eine doppelte Bedingung erfüllen,
nämlich in die eine Richtung die vorgegebenen Wahlkreisgrößen treffen und in
die andere Richtung die in der Oberzuteilung berechneten Listengruppensitze
genau ausschöpfen. Eben dies leistet die doppeltproportionale Divisormethode mit
Standardrundung (Anlage 5, Kasten auf Seite 74; der erklärende Text beginnt dort
mit dem letzten Absatz auf Seite 73).
Die Methode arbeitet für jeden Wahlkreis mit einem Wahlkreisdivisor und für
jede Listengruppe mit einem Listengruppendivisor. Die Divisoren werden dabei
so ausgerechnet, dass den Nebenbedingungen in beide Richtungen Genüge getan
wird. Das Zuteilungsergebnis ist auf Seite 9f ausgedruckt, einschließlich der von mir
errechneten Divisoren.
Wenn nun Sie eine Proberechnung anstellen wollen, um sicher zu gehen, dass ich Ihnen
aus dem fernen Augsburg das richtige Ergebnis auf den Schreibtisch lege, so haben
Sie es denkbar einfach. Pro Wahlkreis und Listengruppe werden die Parteistimmen
durch beide Divisoren geteilt, die dazu gehören, und der sich ergebende Quotient wird
standardmäßig gerundet. Das Ergebnis ist die ausgedruckte Sitzzahl.
Jemand Zweites, der anders rechnet als ich, mag wohl mit anderen Divisoren
daherkommen. Diese können sich aber nur sowenig von den meinigen unterscheiden,
dass die Rundung der Quotienten zu denselben Sitzzahlen führt. Mit anderen Worten:
Es gibt zwar unterschiedliche Wege, wie man zum Ergebnis gelangen kann, aber das
Zuteilungsergebnis selbst ist eindeutig bestimmt.
Bei der doppeltproportionalen Divisormethode mit Standardrundung passt die
Auswertung zudem auf eine Seite. Um das Wahlergebnis zu dokumentieren, sind dann
vielleicht achtzehn Seiten nötig für die Wahlkreise, eine für die Oberzuteilung an die
Listengruppen und eine für die Unterzuteilung an die Wahlkreise. Die Drucklegung im
Amtsblatt würde zwanzig Seiten brauchen, statt derzeit über 130!

Kantonsratswahl vom 18. April 1999: Unterzuteilung an die Wahlkreise
(auf der Basis der Parteistimmen in den Wahlkreisen)
01+25 02 03+22+27 04 05 06 07 09 14 19 20 28
FDP+ SP SVP+ Grüne CVP EVP LdU SD SaS BD AL EDU
37 41 54 11 12 9 4 4 3 1 1 3
I Stadt Zürich, Kr. 1+2 5 8 994-1 10 759-1 6 917-1 3 028-0 2 487-0 650-0 3 318-1 1 092-0 3 116-1 352-0 43
II Stadt Zürich, Kr. 3+9 13 23 760-1 65 841-4 51 106-3 10 457-1 14 443-1 10 532-1 4 630-0 11 515-1 17 834-1 100
III Stadt Zürich, Kr. 4+5 5 1 641-0 7 764-2 4 231-1 2 064-1 1 237-0 389-0 524-0 813-0 1 104-0 1 759-1 22
IV Stadt Zürich, Kr. 6+10 9 28 122-2 41 111-3 27 742-2 8 703-1 7 898-1 4 737-0 4 446-0 3 719-0 7 048-0 2 108-0 1433-0 98
V Stadt Zürich, Kr. 7+8 7 28 613-3 22 557-2 13 228-1 6 715-1 4 569-0 2 695-0 2 820-0 1 349-0 3 017-0 1 047-0 60
VI Stadt Zürich, Kr. 11+12 12 20 883-2 45 739-3 49 406-4 6 079-0 12 619-1 6 212-0 6 236-0 8 297-1 15 101-1 2 587-0 2119-0 85.8
VII Dietikon 11 32 486-3 33 876-3 56 346-4 6 965-0 18 462-1 3 779-0 5 615-0 3 248-0 1394-0 80
VIII Affoltern 6 15 345-2 12 615-1 22 078-3 3 399-0 2 421-0 1 778-0 2 959-0 278-0 1924-0 52
XI Horgen 16 107 621-4 84 518-3 107 222-4 18 071-1 37 517-2 23 678-1 10 830-1 6 973-0 4381-0 148
X Meilen 13 94 653-4 56 487-2 99 618-4 15 327-1 19 545-1 17 349-1 2 033-0 6477-0 150
XI Hinwil 11 32 360-2 35 806-2 62 938-3 15 004-1 19 263-1 16 870-1 8 167-0 8735-1 120
XII Uster 15 71 530-3 78 139-3 95 358-4 16 863-1 22 062-1 14 837-1 9 694-1 11 382-1 1 184-0 6282-0 133.15
XIII Pfäffikon 7 15 850-1 15 724-1 32 416-3 6 168-0 3 720-0 7 529-1 4013-1 75
XIV Stadt Winterthur 13 46 568-2 78 293-4 58 511-3 18 377-1 20 377-1 21 149-1 11 201-1 6 111-0 4885-0 120
XV Winterthur-Land 7 15 883-2 15 345-1 34 081-3 5 512-0 4 063-0 7 306-1 3 263-0 2049-0 64
XVI Andelfingen 4 4 733-1 5 656-1 16 223-2 2 255-0 1 040-0 1 231-0 1122-0 50
XVII Bülach 16 59 210-2 72 907-3 130 701-5 19 814-1 24 622-1 20 016-1 8 788-0 11 546-1 12 660-1 8071-1 148
XVIII Dielsdorf 10 22 166-2 22 995-2 49 381-4 8 276-1 7 391-1 3 231-0 6 405-0 3195-0 85
162 167.7 163 176 160 170 145.58 154 144 100 100 100
– 9 –
Doppeltproportionale Divisormethode mit Standardrundung, mit (kursiv gesetzten) Wahlkreisgrößen links, kantonsweiten
Listengruppensitzen oben, Wahlkreisdivisoren rechts und Listengruppendivisoren unten. Pro Wahlkreis
und Listengruppe werden die Parteistimmen durch beide zugehörigen Divisoren geteilt und der Quotient
standardgerundet zur Sitzzahl. Der Eintrag 8 994-1 (Wahlkreis I, FDP) besagt, dass mit Quotient 8 994/(43 · 162) =
1.3 dorthin ein Sitz entfällt. In Wahlkreis XVIII erhält die EDU mit Quotient 3 195/(85 · 100) = 0.4 keinen Sitz.

– 10 –
Kantonsratswahl vom 18. April 1999: Oberzuteilung an die Listengruppen
(auf der Basis der kantonsweiten Wählerzahlen)
Listengruppe Wählerzahl Quotient Sitze
01+25 FDP+JFZ 55 353 36.66 37
02 SP 62 378 41.31 41
03+22+27 SVP+JSVPW+JSVP 81 658 54.08 54
04 Grüne 15 964 10.57 11
05 CVP 18 806 12.46 12
06 EVP 14 054 9.31 9
07 LdU 6 745 4.48 4
09 SD 6 785 4.49 4
14 SaS 4 688 3.09 3
19 BD 791 0.52 1
20 AL 1 147 0.76 1
28 EDU 5 116 3.39 3
Summe 273 489 (Divisor 1 510 ) 180
Einfachproportionale Divisormethode mit Standardrundung, mit Divisor 1 510.
Die Wählerzahlen
werden durch 1 510 geteilt und die sich ergebenden Quotienten standardmäßig—das heißt zur
nächstgelegenen ganzen Zahl—gerundet. Zum Beispiel errechnet man für die FDP den Quotienten
55 353/1 510 = 36.66 und rundet ihn zu 37 Sitzen. Die EDU erhält mit Quotient 5 116/1 510 = 3.39
nach Rundung 3 Sitze.
Kantonsratswahl vom 18. April 1999: Unterzuteilung an die Wahlkreise
(auf der Basis der Parteistimmen in den Wahlkreisen)
01+25 02 03+22+27 04 05 06 07 09 14 19 20 28
FDP+ SP SVP+ Grüne CVP EVP LdU SD SaS BD AL EDU
37 41 54 11 12 9 4 4 3 1 1 3
I Stadt Zürich, Kr. 1+2 5 8 994-1 10 759-1 6 917-1 3 028-0 2 487-0 650-0 3 318-1 1 092-0 3 116-1 352-0 43
II Stadt Zürich, Kr. 3+9 13 23 760-1 65 841-4 51 106-3 10 457-1 14 443-1 10 532-1 4 630-0 11 515-1 17 834-1 100
III Stadt Zürich, Kr. 4+5 5 1 641-0 7 764-2 4 231-1 2 064-1 1 237-0 389-0 524-0 813-0 1 104-0 1 759-1 22
IV Stadt Zürich, Kr. 6+10 9 28 122-2 41 111-3 27 742-2 8 703-1 7 898-1 4 737-0 4 446-0 3 719-0 7 048-0 2 108-0 1433-0 98
V Stadt Zürich, Kr. 7+8 7 28 613-3 22 557-2 13 228-1 6 715-1 4 569-0 2 695-0 2 820-0 1 349-0 3 017-0 1 047-0 60
VI Stadt Zürich, Kr. 11+12 12 20 883-2 45 739-3 49 406-4 6 079-0 12 619-1 6 212-0 6 236-0 8 297-1 15 101-1 2 587-0 2119-0 85.8
VII Dietikon 11 32 486-3 33 876-3 56 346-4 6 965-0 18 462-1 3 779-0 5 615-0 3 248-0 1394-0 80
VIII Affoltern 6 15 345-2 12 615-1 22 078-3 3 399-0 2 421-0 1 778-0 2 959-0 278-0 1924-0 52
XI Horgen 16 107 621-4 84 518-3 107 222-4 18 071-1 37 517-2 23 678-1 10 830-1 6 973-0 4381-0 148
X Meilen 13 94 653-4 56 487-2 99 618-4 15 327-1 19 545-1 17 349-1 2 033-0 6477-0 150
XI Hinwil 11 32 360-2 35 806-2 62 938-3 15 004-1 19 263-1 16 870-1 8 167-0 8735-1 120
XII Uster 15 71 530-3 78 139-3 95 358-4 16 863-1 22 062-1 14 837-1 9 694-1 11 382-1 1 184-0 6282-0 133.15
XIII Pfäffikon 7 15 850-1 15 724-1 32 416-3 6 168-0 3 720-0 7 529-1 4013-1 75
XIV Stadt Winterthur 13 46 568-2 78 293-4 58 511-3 18 377-1 20 377-1 21 149-1 11 201-1 6 111-0 4885-0 120
XV Winterthur-Land 7 15 883-2 15 345-1 34 081-3 5 512-0 4 063-0 7 306-1 3 263-0 2049-0 64
XVI Andelfingen 4 4 733-1 5 656-1 16 223-2 2 255-0 1 040-0 1 231-0 1122-0 50
XVII Bülach 16 59 210-2 72 907-3 130 701-5 19 814-1 24 622-1 20 016-1 8 788-0 11 546-1 12 660-1 8071-1 148
XVIII Dielsdorf 10 22 166-2 22 995-2 49 381-4 8 276-1 7 391-1 3 231-0 6 405-0 3195-0 85
162 167.7 163 176 160 170 145.58 154 144 100 100 100
Doppeltproportionale Divisormethode mit Standardrundung, mit (kursiv gesetzten) Wahlkreisgrößen links, kantonsweiten
Listengruppensitzen oben, Wahlkreisdivisoren rechts und Listengruppendivisoren unten. Pro Wahlkreis
und Listengruppe werden die Parteistimmen durch beide zugehörigen Divisoren geteilt und der Quotient
standardgerundet zur Sitzzahl. Der Eintrag 8 994-1 (Wahlkreis I, FDP) besagt, dass mit Quotient 8 994/(43 · 162) =
1.3 dorthin ein Sitz entfällt. In Wahlkreis XVIII erhält die EDU mit Quotient 3 195/(85 · 100) = 0.4 keinen Sitz.

– 11 –
Papier hat natürlich kein Gewicht, es ist die gewonnene Transparenz, die schwer
wiegt. Jeder Wähler kann für seine Listengruppe in seinem Wahlkreis die Sitzzuteilung
überprüfen, indem er drei Zahlen in den Taschenrechner tippt und den Quotienten, den
er sieht, im Kopf zur nächstgelegenen ganzen Zahl rundet. Das geltende System ist
weit davon entfernt, den Wählern einen ähnlichen Einblick zu gestatten.
Die Neue Zürcher Zuteilungsmethode mit der Zweistufigkeit von Ober- bzw.
Unterzuteilung gemäß einfach- bzw. doppeltproportionaler Divisormethode mit
Standardrundung bringt in jeder Hinsicht Verbesserungen mit sich. Vor allem trägt
sie dem verfassungsrechtlichen Grundsatz der Wahlgleichheit besser Rechnung. Und
als Zugabe erleichtert sie den Wählern das Nachrechnen des Wahlergebnisses.
Wenn man das Zuteilungsergebnis auf Seite 9f vergleicht mit dem, was nach
geltendem Recht vollzogen wurde, so empfinde ich persönlich die Übereinstimmung
als sensationell. Auch wenn die Neue Zürcher Zuteilungsmethode besser ist als die
alte—und das Bundesgericht die alte kassieren zu müssen glaubte—: so schlecht war
die alte Methode nun auch wieder nicht.
XI
Aber alles hat seinen Preis, hier wird der Preis bei der Unterzuteilung an die Wahlkreise
gezahlt. Denn zwar ist das Nachrechnen des Zuteilungsergebnisses denkbar einfach und
braucht weder Papier noch Bleistift, sondern nur einen Taschenrechner. Dagegen ist
das Ausrechnen der Divisoren aufwändig und Papier und Bleistift oder Taschenrechner
würden nicht genügen.
Zur Berechnung der Listengruppen- und Wahlkreisdivisoren ist wohl ein (kleines) PC-
Programm unverzichtbar. Unter Statistikern ist das zu programmierende Verfahren
bekannt als “alternierende Skalierung” (engl. alternating scaling) oder auch “iterative
proportionale Anpassung” (engl. iterative proportional fitting). Die einzelnen
Rechenschritte sind überhaupt nicht schwierig und können leicht im gymnasialen
Mathematikunterricht erarbeitet werden, es sind nur ziemlich viele. (Irgendwo muß die
langweilige Rechenarbeit, die bisher über 130 Seiten füllt, halt doch geleistet werden.
Ein Computer erscheint mir als Ablageort geeigneter als das Amtsblatt.) Für die
nicht mehr schulpflichtigen Wähler sollte ein entsprechendes Computerprogramm vom
Statistischen Amt im Internet bereit gestellt und gepflegt werden.

– 12 –
Sehr geehrter Herr Schuhmacher, dieser Brief gibt Ihnen vielleicht mehr Hausaufgaben
auf, als Ihnen lieb ist. Sollte ich in irgendeiner Art weiter helfen können, so zögern
Sie bitte nicht, mich anzufragen. Unser deutsches Wahlsystem hat auch seine Tücken.
Mit diesen beschäftige ich mich in dem gerade gedruckten Report 449, den ich zu Ihrer
gelegentlich Entspannung ebenfalls beilege.
Mit freundlichen Grüßen!
Professor Dr. Friedrich Pukelsheim
Anlagen:
1. Namenspatrone (2002g)
2. Buchbesprechung (2002i)
3. Pólya (2001b)
4. Seat biases (2003c)
5. Wahlen in Mexiko (Balinski)
6. Report 449 (2003b)
Anlagen 1–4 und 6 sind im Internet abrufbar unter
www.uni-augsburg.de/pukelsheim/publikationen.html
reproduziert am 6. April 2004/tk
www.uni-augsburg.de/pukelsheim/2003f.pdf