Ubungsblatt 8 (8.6.2007) - qoqi.physik.uni-erlangen.de

Experimentalphysik für Physiker IV: Atom- und Molekülphysik
Universität Erlangen–Nürnberg
SS 2007
Übungsblatt 8 (8.6.2007)
Vorlesungen: Mi und Fr, jeweils 08:15 - 09:55 HH
Übungen: Mi 10:15 - 11:45, HD, SR 00.732, SR 01.332, SRTP 0.179, TL 2.140
Mi 12:15 - 13:45, SRTP 0.179 ; Fr 10:15 - 11:45, TL 2.140
Webpage der Vorlesung: http://www.optik.uni-erlangen.de/jvz/ → ”teaching”
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Achtung: Alle Übungen finden in der kommenden Woche (13.06. bzw. 15.06.) statt. In
der darauffolgenden Woche (20.06. bzw. 22.06.) fallen sie ersatzlos aus. Am Mittwoch,
20.06., finden zwei Vorlesungen statt, von 08:00-10:00 in HH und von 10:00-12:00 in HD.
1) Compton-Effekt
Ein Röntgenquant der Wellenlänge 0,102 nm wird an einem Elektron um den Winkel θ = 77 ◦ gestreut.
a) Welchen Energiebetrag nimmt das Elektron auf?
b) Unter welchem Winkel φ gegenüber der ursprünglichen Bewegungsrichtung des Röntgenphotons bewegt
sich das Elektron?
2) Das Neutroneninterferometer
Thermische Neutronen werden per Bragg-Reflexion an einem Kristall reflektiert. Dieser hat einen Netzebenenabstand
von d = 543 pm und der Einfallswinkel α sei 4 ◦ .
a) Neutronen welcher Wellenlänge werden damit ausgewählt? Welcher kinetischen Energie und Geschwindigkeit
entspricht das?
b) Die so monochromatisierten Neutronen können nun in einem Neutroneninterferometer (siehe Zeichnung)
genutzt werden. Welchen Vorteil hat die Verwendung von Neutronen gegenüber Elektronen und Photonen?
c) Welche Größe ist ausschlaggebend für den Phasenversatz, den der Neutronenstrahl beim Durchlaufen der
Probe erfährt.
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3) Die Heisenbergsche Unschärferelation
Die untere Grenze der Heisenbergschen Unschärferelation kann zurückgeführt werden auf die Vertauschungsrelation
zweier zueinander konjugierter Observablen A und B, welche auf eine beliebige Wellenfunktion |ψ〉 wirken.
a) Wie ist die Standardabweichung (bzw. Varianz) des Erwartungswertes eines Operators A definiert?
b) Das Produkt zweier Varianzen lässt sich mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (〈g|g〉〈f|f〉 ≥
|〈f|g〉| 2 ) und der Tatsache, dass für alle komplexen Zahlen gilt: |z| 2 = Re{z} 2 + Im{z} 2 ≥ Im{z} 2 =
( 1
2i (z − z∗ ) ) 2
, weiter vereinfachen. Wählt man nun als Operatoren ˆx und ˆp und setzt die aus der Quantenmechanik
bekannte Vertauschungsrelation zwischen den beiden ein [ˆx, ˆp] = i, so erhält man die Heisenbergsche
Unschärferelation.
Tip: Beachten Sie, dass Observable immer hermitesch sind, dass also gilt:〈ψ|Aψ〉 = 〈Aψ|ψ〉
c) In der Vorlesung wurde schon die Unschärferelation für ein rechteckiges Wellenpaket hergeleitet. Hier soll
dies für ein gaußförmiges Wellenpaket geschehen. Das Wellenpaket hat die Amplitudenverteilung:
ψ(x) = π −1/4 a −1/2 e − x2
2a 2
Berechnen Sie die Standardabweichung für den Ortsoperator ˆx = x und den Impulsoperator ˆp = −i ∂
∂x ,
und zeigen Sie damit, dass die Heisenbergsche Unschärferelation für ein gaußförmiges Wellenpaket zu
einer Gleichung wird.
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4) Gaußstrahlen in der Optik
a) Bei einer Abbildung durch eine Linse entsteht im Brennpunkt die Fouriertransformierte der Amplitudenverteilung
des elektromagnetischen Feldes am Ort der Linse (siehe z.B. Eugene Hecht, Optics, Kapitel
11). Gaußstrahlen sind eine gute Annäherung an die Strahlcharakteristik vieler Laser. In einem Gaußstrahl
hat die Amplitude des elektrischen Feldes senkrecht zur Ausbreitungsrichtung das Profil einer Gaußkurve,
während es in Ausbreitungsrichtung einem Lorentzprofil entspricht. Ein Gaußstrahl ist in Zylinderkoordinaten
bestimmt durch die Gleichung:
w 0
E(r,z) = E 0
w(z) e−
r2
w(z) 2 r2
−ik
e
2R(z) e
−i(kz+ζ(z))
( ) 2
z
Hier beschreibt w(z) = w 0
√1 +
z 0
das Lorentzprofil in z-Richtung, sowie den Radius des Strahls am
Ort z. Dabei ist der Radius definiert als der Abstand von der optischen Achse bis zu dem Ort, an dem die
Intensität auf 1 ihres Maximalwertes abgefallen ist. w
e 2 0 beschreibt den minimalen Durchmesser des Strahls
an seiner Taille, R(z) ist die Krümmung der Wellenfronten und ζ(z) die sogenannte Gouy-Phase. Wie groß
ist die zu dieser Feldstärke gehörende Intensität?
b) Berechnen Sie die Fouriertransformierte bezüglich der räumlichen Frequenzen k r = k r f
der Linse, k = 2π und λ Wellenlänge des Lasers)
λ
(mit f Brennweite
c) Welchen Durchmesser d hat das Beugungsbild eines monochromatischen Gaußstrahls der Wellenlänge λ,
der am Ort der Linse einen Radius R hat (Die Linse sei viel größer als w(z))?
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