Lineare Algebra I

Glossar
Lineare Algebra I
Kurs 1102 (WS 2000/2001)
26. Februar 2001
1

Inhaltsverzeichnis
i

Definition. Eine Menge ist eine „Zusammenfassung“ von Objekten, wobei immer klar ist, ob
ein Objekt zu dieser Menge gehört oder nicht. Die Objekte in einer Menge M heißen Elemente
von M
1

Definition. Eine Menge N heißt Teilmenge der Menge M, wenn jedes Element aus N auch
zu M gehört. Man schreibt dann N ⊆ M.
2

Definition. Zwei Mengen M und N sind gleich, falls M ⊆ N und N ⊆ M, wenn also M
und N die gleichen Elemente enthalten.
3

Definition. Die leere Menge ∅ ist diejenige Menge, die kein einziges Element besitzt.
4

Definition. Seien M und N Mengen.
• Die Vereinigung M ∪ N von M und N ist die Menge
M ∪ N := {x|x ∈ M oder x ∈ N},
• der Durchschnitt M ∩ N von M und N ist die Menge
M ∩ N := {x|x ∈ M und x ∈ N},
• und die Differenzmenge M \ N ist die Menge
M \ N := {x|x ∈ M und x ∉ N}.
5

Satz. Es gelten die folgenden Regeln:
• Assoziativgesetz:
• Distributivgesetz:
L ∪ (M ∪ N) = (L ∪ M) ∪ N
L ∩ (M ∩ N) = (L ∩ M) ∩ N
L ∪ (M ∩ N) = (L ∪ M) ∩ (L ∪ N)
L ∩ (M ∪ N) = (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)
• de Morgan’sche Regel:
L \ (M ∪ N) = (L \ M) ∩ (L \ N)
L \ (M ∩ N) = (L \ M) ∪ (L \ N)
• Differenzenregeln:
L \ (M \ N) = (L \ M) ∪ (L ∩ M ∩ N)
(L \ M) \ N = L \ (M ∪ N)
6

Definition. |M| heißt Mächtigkeit oder Kardinalität von M, mit
{
n falls M genau n Elemente besitzt, n ∈ N 0
|M| =
∞ falls M eine unendliche Menge ist
7

Definition. Sei M eine Menge. Mit P(M) bezeichnen wir die Menge aller Teilmengen von
M. Die Menge P(M) heißt die Potenzmenge von M. Ist |M| = n ∈ N, so ist |P(M)| = 2 n .
8

Definition. Sind M und N nichtleere Mengen, so definieren wir die Produktmenge von M
und N durch
M × N := {(m, n)|m ∈ M und n ∈ N}
9

Definition. Man definiert die Gleichheit von geordneten Paaren durch: (m, n) = (m ′ , n ′ ) ≡
m = m ′ und n = n ′ .
10

Definition. Seien M und N Mengen. Eine Abbildung von M nach N ist eine Teilmenge
f ⊆ M × N, so daß folgende Eigenschaften gelten:
• Für alle m ∈ M gibt es ein n ∈ N, so daß (m, n) ∈ f.
• Wenn (m, n) ∈ f und (m, n ′ ) ∈ f, so folgt n = n ′ .
11

Definition. Seien M, N Mengen, und sei f eine Abbildung. Sei m ∈ M. Das Element f(m)
bezeichnet man als das Bild von m unter f, und man schreibt auch m ↦→ f(m) (dies wird ’m
wird auf f(m) abgebildet’ ausgesprochen).
Die Teilmenge {n ∈ N|∃m ∈ M : f(m) = n} von N wird das Bild von f genannt und mit
Bild(f) bezeichnet. Wenn f(m) = n, so wird m ein Urbild von n unter f genannt. Man nennt
M auch den Definitionsbereich von f und N den Wertebereich von f. Zwei Abbildungen f
und g von M nach N heißen gleich, wenn f(m) = g(m) für alle m ∈ M gilt.
12

Definition. Sei f : M → N eine Abbildung.
• f heißt surjektiv, falls es zu jedem n ∈ N ein m ∈ M mit f(m) = n gibt.
• f heißt injektiv, falls für alle m, m ′ ∈ M gilt:
Wenn f(m) = f(m ′ ), so folgt m = m ′ .
• f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
13

Satz. Eine Abbildung f : M → N ist genau dann surjektiv, wenn Bild(f) = N ist.
14

Definition. Sei id M : M → M definiert durch id M (m) = m für alle m ∈ M. Die Abbildung
id M wird die identische Abbildung oder die Identität auf M genannt. id M ist sujektiv, injektiv
und bijektiv.
15

Definition. Seien L, M und N Mengen, und seien f : L → M und g : M → N Abbildungen.
Die Abbildung g ◦ f : L → N ist definiert durch (g ◦ f)(l) = g(f(l)) für alle l ∈ L. Sie wird
die Hintereinanderausführung oder die Komposition von f und g genannt.
16

Satz. Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, da heißt, für alle Mengen L, M, N, X
und alle Abbildungen f : L → M, g : M → N, und h : N → X gilt (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).
17

Definition. Sei f : M → N eine Abbildung. f heißt invertierbar, wenn es eine Abbildung
g : N → M gibt, so daß g ◦ f = id M und f ◦ g = id N ist.
18

Satz. Sei f : M → N eine Abbildung. f ist genau dann invertierbar, wenn f bijektiv ist.
19

Satz. Sei f : M → N eine invertierbare Abbildung. Dann gibt es genau eine Abbildung
g : N → M mit f ◦ g = id N und g ◦ f = id M .
20

Definition. Sei f : M → N bijektiv. Die eindeutig bestimmte Abbildung g : N → M mit
f ◦g = id N und g◦f = id M wird die zu f inverse Abbildung genannt und mit f −1 bezeichnet.
21

Definition. Sei M eine Menge. Eine Teilmenge R ⊆ M × M heißt Äquivalenzrelation auf
M, wenn für alle x, y, z ∈ M folgende Eigenschaften gelten:
1. Reflexivität: (x, x) ∈ R.
2. Symmetrie: Wenn (x, y) ∈ R, so folgt (y, x) ∈ R.
3. Transitivität: Wenn (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R, so folgt (x, z) ∈ R.
Ist R eine Äquivalenzrelation auf M, und ist (x, y) ∈ R, so schreiben wir meist x ∼ R y, oder
x ∼ y. Man sagt, daß x äquivalent zu y ist.
22

Definition. Sei n eine feste natürliche Zahl. Für a, b ∈ Z setzen wir a ∼ n b, wenn n die Zahl
a − b teilt, das heißt, wenn es ein x ∈ Z gibt, so daß nx = a − b ist. Dafür schreiben wir
n|(a − b).
23

Definition. Sei M eine Menge, und sei R eine Äquivalenzrelation auf M. Eine Teilmenge
C ⊆ M heißt Äquivalenzklasse bezüglich R, falls gilt:
1. C ≠ ∅, und
2. wenn x, y ∈ C, so folgt x ∼ y, und
3. wenn x ∈ C und y ∈ M mit x ∼ y, so folgt y ∈ C.
24

Satz. Sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Sei x ∈ M. Dann liegt x in genau
einer Äquivalenzklasse von M bezüglich R.
Sei M eine nicht leere Menge, und sei R eine Äquivalenzrelation auf M. Seien C und C ′
Äquivalenzklassen bezüglich R. Dann sind C und C ′ disjunkt oder gleich.
25

Definition. Jede Äquivalenzrelation R auf einer nicht leeren Menge M liefert eine Zerlegung
von M in disjunkte Äquivalenzklassen. Wir nennen dies eine Klasseneinteilung von M bezüglich
R. Ein Element y in einer Äquivalenzklasse C wird Repräsentant der Äquivalenzklasse C
genannt.
26

Satz. Sei M eine nicht leere Menge, und sei I eine Indexmenge. Sei M = ⋃ i∈I M i, wobei
M i ≠ ∅ für alle i ∈ I und M i ∩ M j = ∅ für alle i, j ∈ I mit i ≠ j. Dann gibt es eine
Äquivalenzrelation R auf M, so daß M = ⋃ i∈I M i die Klasseneinteilung von M bezüglich R
ist.
27

Satz. Wenn Klammern um Summen weggelassen und Summanden vertauscht werden dürfen,
so dürfen die Summensymbole in Doppelsummen vertauscht werden.
28

Satz. Wenn Klammern um Summen weggelassen werden und Summanden vertauscht werden
dürfen, so gilt:
∑
a i b i = ∑ ∑
a i b j = ∑ ∑
∑
a i b j =
a i b j
1≤i≤m,1≤j≤n
1≤i≤m 1≤j≤n
1≤j≤n 1≤i≤m
1≤j≤n,1≤i≤m
29

Definition. Angenommen, es kann gezeigt werden:
1. Induktionsanfang: A(m) ist richtig
2. Induktionsschritt: Für alle n ≥ m folgt: Ist A(n) richtig, so auch A(n + 1).
Das Prinzip der vollständigen Induktion besagt: Unter diesen Voraussetzungen ist A(n) für
alle n ≥ m richtig.
30

Satz. ∀n ∈ N 0 ist ∑ n
i=0 i = n(n+1)
2
.
31

Satz. Sei M eine endliche Menge. Wenn |M| = n ∈ N 0 , so gilt: |P(M)| = 2 n .
32

Satz. Seien M und N endliche, nicht leere Mengen mit |M| = |N| = n. Dann gibt es n!
bijektive Abbildungen von M nach N.
33

Definition.
A ⇒ B
34

Definition.
A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A
35

Satz. Seien M und N nicht leere, endliche Mengen, und sei f : M → N eine Abbildung.
Dann gilt:
1. Ist |N| < |M|, so ist f nicht injektiv.
2. Ist |N| > |M|, so ist f nicht surjektiv.
36

Definition. Es gelte: A ⇒ B. Beweisaufbau:
Es gelte A. Angenommen, B wäre falsch. Dann schließt man auf einen Widerspruch. Dieser
Widerspruch zeigt, daß die Annahme „B ist falsch“ selbst falsch war, und es folgt, daß B
richtig sein muß.
Ein Widerspruchsbeweis beruht auf der Tatsache, daß aus einer wahren Aussage mit den Gesetzen
der Logik nicht etwas Falsches geschlossen werden kann.
37

Satz. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
38

Definition. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1. A
2. B
3. C
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)
39

Satz. Seien M und N nicht leere, endliche Mengen mit |M| = |N|. Sei f : M → N eine
Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. f ist injektiv
2. f ist surjektiv
3. f ist bijektiv
40

Definition (Verknüpfung). Sei M eine Menge. Eine Verknüpfung ∗ auf M ist eine Abbildung
∗ : M × M → M.
41

Definition (Halbgruppe). Eine Halbgruppe (M, ∗) ist eine Menge M mit einer Verknüpfung
∗, für die das Assoziativgesetzt gilt: (m 1 ∗m 2 )∗m 3 = m 1 ∗(m 2 ∗m 3 ) für alle m 1 , m 2 , m 3 ∈ M.
42

Definition (neutrales Element). Sei (M, ∗) eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ M heißt
neutrales Element in M, falls für alle m ∈ M gilt: m ∗ e = e ∗ m = m.
43

Satz. Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Dann ist dieses Element eindeutig
bestimmt.
44

Definition. Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Ein Element m ∈ M heißt
invertierbar, wenn es ein Element m ′ ∈ M gibt, so daß m ∗ m ′ = m ′ ∗ m = e. Ein Element
m ′ mit dieser Eigenschaft heißt invers zu m.
45

Satz. Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element e. Sei m ∈ M invertierbar. Dann
besitzt m genau ein inverses Element.
46

Definition (Abelsche Halbgruppe). Eine Halbgruppe (M, ∗) heißt kommutativ oder abelsch,
falls für alle m 1 , m 2 ∈ M das Kommutativgesetz gilt: m 1 ∗ m 2 = m 2 ∗ m 1 .
47

Definition. Eine Gruppe ist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in der jedes Element
invertierbar ist.
48

Satz. Sei M eine nicht leere Menge. Sei
S M := {f : M → M|f ist bijektive Abbildung},
also die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach M. Dann ist (S M , ◦) eine Gruppe.
49

Satz. Seien X, Y und Z nicht leere Mengen, und seien g : X → Y und f : Y → Z Abbildungen.
Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch f ◦ g bijektiv.
50

Satz. Die Komposition von Abbildungen ist eine Verknüpfung auf S M .
51

Definition. Sei M eine nicht leere Menge. Die Gruppe (S M , ◦) wird symmetrische Gruppe
auf M genannt.
52

Definition. Ist M = {1, ..., n}, so wird (S M , ◦) die symmetrische Gruppe in n Buchstaben
genannt und mit S n (oder (S n , ◦)) bezeichnet. Ein Gruppenelement σ ∈ S n wird Permutation
genannt.
53

Definition. Sei σ ∈ S n eine Permutation. Man setzt
{
1 Anzahl der Paare (i, j) mit i > j und σ(i) < σ(j) gerade
sgn(σ) =
−1 Anzahl der Paare (i, j) mit i > j und σ(i) < σ(j) ungerade
und nennt sgn(σ) das Signum oder die Signatur von σ. Ein Paar (i, j) mit i > j und σ(i) <
σ(j) wird Fehlstand von σ genannt.
54

Definition. Eine Permutation σ ∈ S n heißt Transposition, wenn σ genau zwei Elemente vertauscht
und die übrigen fest läßt. Formal ausgedrückt, eine Transposition σ ∈ S n ist eine
bijektive Abbildung σ : {1, ..., n} → {1, ..., n}, für die es Elemente i, j ∈ {1, ..., n} mit i ≠ j
gibt, so daß σ(i) = j, σ(j) = i und σ(r) = r für alle r ∈ {1, ..., n} mit r ≠ i, r ≠ j.
Eine Transposition heißt Nachbartransposition, wenn sie benachbarte Elemente i und i + 1
vertauscht.
55

Satz (Struktur von Permutationen). Zur Struktur von Permutationen gilt:
1. Für n ≥ 2 ist jede Permutation in S n Komposition von Transpositionen.
2. Jede Transposition ist Komposition einer ungeraden Anzahl von Nachbartranspositionen.
3. sgn(τ) = −1 für alle Nachbartranspositionen.
56

Satz. Jede Permutation in S n , n ≥ 2, ist eine Komposition von Nachbartranspositionen.
57

Satz (Signaturformel). Seien σ und σ ′ Permutationen in S n . Dann gilt sgn(σ ◦σ ′ ) = sgn(σ)◦
sgn(σ ′ ).
58

Satz (Signaturen von Transpositionen). Sei τ ∈ S n eine Transposition. Dann ist sgn(τ) =
−1.
59

Satz (Signaturen von inversen Permutationen). Sei σ ∈ S n . Dann gilt sgn(σ) = sgn(σ −1 )
60

Definition (Ring). Ein Ring (R, +, ·) ist eine nicht leere Menge R mit zwei Verknüpfungen
+ und · auf R, so daß folgende Axiome gelten:
1. Addition: (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
2. Multiplikation: (R, ·) ist eine Halbgruppe mit neutralem Element.
3. Distributivgesetze: Für alle a, b, c ∈ R gilt:
a · (b + c) = a · b + a · c, und
(a + b) · c = a · c + b · c.
61

Definition. Sei (R, +, ·) ein Ring. Ein Element r ∈ R heißt invertierbar, wenn r in der Halbgruppe
(R, ·) invertierbar ist. Ein invertierbares Element r ∈ R wird eine Einheit in R genannt.
Die Menge der invertierbaren Element in R bezeichnet man mit R × . Gesprochen wird dies „R
Kreuz“, oder auch „R Stern“.
62

Definition. Sei (R, +, ·) ein Ring. Wir bezeichnen das neutrale Element in (R, +) mit 0, das
neutrale Element in (R, ·) mit 1, und das zu einem a ∈ R bezüglich + inverse Element mit
−a. An Stelle von b + (−a) schreiben wir b − a. Wenn a ∈ R × , so bezeichnen wir das zu a
inverse Element mit a −1 .
63

Definition. Sei (R, +, ·) ein Ring. Dann ist (R × , ·) eine Gruppe und (R × , ·) wird die Einheitengruppe
von R genannt.
64

Definition. Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn (R, ·) abelsch ist.
65

Satz (Rechenregeln in Ringen). Sei (R, +, ·) ein Ring. Dann gilt:
1. 0 · a = a · 0 = 0 für alle a ∈ R.
2. (−1) · a = −a = a · (−1).
3. (−a) · b = −(a · b) = a · (−b) für alle a, b ∈ R.
4. a · ∑n
i=1 b i = ∑ n
i=1 a · b i für alle a, b 1 , ..., b n ∈ R, n ∈ N.
5. ( ∑ n
i=1 a i) · b = ∑ n
i=1 a i · b für alle a 1 , ..., a n , b ∈ R, n ∈ N.
66

Definition. Wir definieren Z/nZ := {0, 1, ..., n − 1}. Die Elemente der Menge Z/nZ sind
also die n disjunkten Mengen
0 = {0 + kn|k ∈ Z} = {z ∈ Z|z mod n = 0}
1 = {1 + kn|k ∈ Z} = {z ∈ Z|z mod n = 1}
.
n − 1 = {n − 1 + kn|k ∈ Z} = {z ∈ Z|z mod n = n − 1}
67

Satz. (Z/nZ, +, ·) ist ein kommutativer Ring.
68

Definition. Der Ring (Z/nZ, +, ·) wird Restklassierung von Z nach nZ oder Z modulo nZ
genannt.
69

Definition. Sei (R, +, ·) ein Ring. Wir definieren
R[T ] := {(a 0 , a 1 , a 2 , ...)|∀i ∈ N 0 : a i ∈ R, und ∃n ∈ N 0 : ∀i ≥ n : a i = 0}.
R[T ] ist also die Menge aller unendlichen Folgen mit Folgegliedern in R, wobei verlangt wird,
daß nur endlich viele Folgeglieder a i ≠ 0 sind. Hierbei bezeichnet wie immer 0 das neutrale
Element der Addition in R.
Auf R[T ] definieren wir zwei Verknüpfungen + und · wie folgt: Für zwei Folgen (a 0 , a 1 , a 2 , ...)
und (b 0 , b 1 , b 2 , ...) in R[T ] setzen wir:
und
wobei für alle k ∈ N 0 gilt:
(a 0 , a 1 , a 2 , ...) + (b 0 , b 1 , b 2 , ...) = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ...)
(a 0 , a 1 , a 2 , ...) · (b 0 , b 1 , b 2 , ...) = (c 0 , c 1 , c 2 , ...),
c k = ∑
i+j=k
a i · b j .
70

Satz. Sei (R, +, ·) ein Ring. Dann ist (R[T ], +, ·) ein Ring, und wenn (R, +, ·) kommutativ
ist, dann ist auch (R[T ], +, ·) kommutativ.
71

Definition. Sei (R, +, ·) ein Ring. Man nennt den Ring (R[T ], +, ·) den Polynomring in einer
Unbestimmten über R. Die Element in R[T ] werden Polynome genannt.
72

Definition. Sei p = (a 0 , a 1 , a 2 , ...) ein Polynom in R[T ], und sei p ≠ 0. Sei m der Index,
so daß a m ≠ 0 und a i = 0 für alle i > m ist. Dann wird m der Grad von p genannt und
mit Grad(p) bezeichnet. Wir definieren den Grad des Nullpolynoms als −∞ und schreiben
Grad(0) = −∞.
73

Satz. Sei (R, +, ·) ein Ring, und seien p, q ∈ R[T ] Polynome. Sei n der Grad von p, und sei
m der Grad von q. Dann ist der Grad von p · q maximal m + n.
74

Satz (Division mit Rest). Seien a, b ∈ Z, und sei a ≠ 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte
Zahlen q ∈ Z und r ∈ N 0 , so daß b = qa + r und 0 ≤ r < |a|.
75

Definition. Seien a, b ganze Zahlen, die nicht beide Null sind. Eine natürliche Zahl d heißt
größter gemeinsamer Teiler von a und b (abgekürzt ggT (a, b)), falls die folgenden beiden
Eigenschaften gelten:
1. d teilt a und d teilt b, und
2. wenn c eine ganze Zahl ist, die a und b teilt, dann teilt sie auch d.
76

Satz. Seien a, b ∈ Z ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind. Angenommen, a und b besitzen
einen größten gemeinsamen Teiler. Dann ist dieser eindeutig bestimmt.
77

Satz. Seien x, y ∈ Z, und sei x ≠ 0. Sei y = qx + r mit q ∈ Z und 0 ≤ r < |x| die Division
mit Rest. Falls ggT (r, x) = d, so existiert ggT (x, y) und ggT (x, y) = ggT (x, r) = d.
78

Satz. Zu zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide 0 sind, gibt es einen größten gemeinsamen
Teiler d. Ferner gibt es ganze Zahlen s und t, so daß d = sa + tb ist.
79

Satz. a ∈ Z/nZ ist genau dann invertiebar, wenn ggT (a, n) = 1 ist. Mit diesem Korollar
kennen wir die Einheitengruppe von Z/nZ.
80

Satz. Eine Umformulierung des vorhergehenden Korollars:
(Z/nZ) × = {a ∈ Z/nZ|ggT (a, n) = 1}.
81

Definition. Ein Körper (K, +, ·) ist ein kommutativer Ring, in dem (K \ {0}, ·) eine Gruppe
ist.
82

Satz. Sei (K, +, ·) ein Körper. Dann gilt:
1. K enthält mindestens zwei Elemente.
2. Es gilt 0 ≠ 1, und 1 ist das neutrale Element in (K \ {0}, ·).
3. Wenn a · b = 0 für a, b ∈ K, so folgt a = 0 oder b = 0.
83

Definition. Sei (R, +, ·) ein Ring oder ein Körper. Satt a·b schreiben wir ab, und wenn a ∈ R
bezüglich der Verknüpfung · invertierbar ist, so bezeichnen wir das zu a inverse Element mit
a −1 . Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, wie die Addition + und die Multiplikation ·
definiert sind, dann schreiben wir statt (R, +, ·) nur R.
84

Satz. (Z/nZ) ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.
85

Definition. Sei p eine Primzahl. Der Körper Z/pZ wird mit F p bezeichnet.
86

Definition. In der Regel läßt man die Querstriche über den Elementen von Z/nZ beziehungsweise
F p weg, schreibt also a an Stelle von a. Wir werden das hier auch tun. Damit
ist F p = {0, 1, ..., p − 1}.
Für a und b in Z/nZ berechnen wir a + b in Z/nZ, indem wir zunächst a + b in Z berechnen,
das Ergebnis durch n mit Rest teilen, und a + b ∈ Z/nZ ist dann gerade dieser eindeutig
bestimmte Rest. Analog verfahren wir mit der Multiplikation in Z/nZ beziehungsweise F p .
87

Definition. Auf R × R definieren wir Verknüpfungen + und · folgendermaßen:
Für (a, b), (c, d) ∈ R × R setzen wir:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Zu beachten ist, daß die Verknüpfungen rechts der Gleichheitszeichen, also in den Paaren, die
üblichen Verknüpfungen in R sind.
88

Satz. (R × R, +, ·) ist ein Körper. Das neutrale Element der Multiplikation ist (1, 0), das
a
inverse Element der Multiplikation ist (
a 2 +b 2 ,
−b
).
a 2 +b 2
89

Definition. Der Körper (R×R, +, ·) wird mit C, genauer, mit (C, +, ·) bezeichnet und Körper
der komplexen Zahlen genannt.
90

Definition. In der i-Schreibweise der komplexen Zahlen können wir die reellen Zahlen als
Teilmenge der komplexen Zahlen auffassen. Es gilt nämlich R = {a + i · 0|a ∈ R} ⊆ C.
91

Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Also etwa R = Z, R = Z/nZ, R = C[T ] oder R
irgendein Körper. Seien n, m ∈ N. Eine recheckige Anordnung
⎛
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
A = ⎜
⎝ . .
..
⎟ . . ⎠
a m1 a m2 · · · a mn
wird eine m × n-Matrix über R genannt.
92

Definition. Ein Element a ij heißt Eintrag an der Stelle (i, j) in A. Ist m = n, so nennen wir
A eine quadratische Matrix und wir nennen die Elemente a ii Diagonalelemente. An Stelle von
A schreiben wir auch A = (a ij ) oder A = (a ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n .
93

Definition. Wir bezeichnen mit M mn (R) die Menge aller m × n-Matrizen über R.
94

Definition. Auf M mn (R) definieren wir eine Verknüpfung + wie folt: Für
⎛
⎞ ⎛
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
b 11 b 12 · · · b 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
A = ⎜
⎝
.
. . ..
⎟ . ⎠ und B = b 21 b 22 · · · b 2n
⎜
⎝
.
. . ..
⎟ . ⎠
a m1 a m2 · · · a mn b m1 b m2 · · · b mn
in M mn (R) setzen wir
⎛
A + B = ⎜
⎝
⎞
a 11 + b 11 a 12 + b 12 · · · a 1n + b 1n
a 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · a 2n + b 2n
.
. . .
⎟
. . ⎠
a m1 + b m1 a m2 + b m2 · · · a mn + b mn
Es ist a ij + b ij die Summe in R.
95

Satz (Regeln der Matrizenrechnung). (M mn (R), +) ist eine abelsche Gruppe mit Nullelement
0 = (0) 1≤i≤m,1≤j≤n
96

Definition. Die Abbildung
· : R × M mn (R) → M mn (R)
(r, (a ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n ) → (ra ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n
für alle (r, (a ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n ) ∈ R × M mn (R) wird Skalarmultiplikation genannt, und die
Elemente r ∈ R bezeichnet man als Skalare.
97

Satz (Regeln der Skalarmultiplikation). Seien A = (a ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n , B = (b ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n ∈
M mn (R), und seien r, s ∈ R. Dann gilt:
1. (rs)A = r(sA)
2. (r + s)A = rA + sA
3. r(A + B) = rA + rB
4. 1A = A
98

Definition (Matrizenmultiplikation). Wir definieren eine Multiplikation von Matrizen
⎛
A =
⎜
⎝
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
. . .
a i1 a i2 · · · a in
∈ M mn (R)
⎟
. . . ⎠
a m1 a m2 · · · a mn
und
als
⎛
B = ⎜
⎝
⎞
b 11 · · · b 1k · · · b 1s
b 21 · · · b 2k · · · b 2s
⎟
. . .
b n1 · · · b nk · · · b ns
AB =
( n∑
j=1
a ij b jk
)
⎠ ∈ M ns(R)
1≤i≤m,1≤k≤s
99

Definition. Die Matrix I m = (a ij ) 1≤i≤m,1≤j≤m ∈ M mm (R) mit a ii = 1 für alle 1 ≤ i ≤ m
und a ij = 0 für alle i ≠ j wird die m × m-Einheitsmatrix gennant.
100

Satz (Regeln der Matrizenmultiplikation). Seien A = (a ij ) ∈ M mn (R), B = (b ij ) ∈
M ns (R), C = (c ij ) ∈ M st (R). Dann gilt:
1. Assoziativgesetz: (AB)C = A(BC).
2. Eins: I m A = A.
3. Eins’: AI m = A.
101

Satz (Gemischte Rechenregeln für Matrizen). Seien A = (a ij ), A ′ = (a ′ ij) ∈ M mn (R), B =
(b ij ), B ′ = (b ′ ij) ∈ M ns (R) und sei r ∈ R. Dann gilt:
1. Distributivgesetz: (A + A ′ )B = AB + A ′ B.
2. Distributivgesetz: A(B + B ′ ) = AB + AB ′ .
3. (rA)B = r(AB) = A(rB).
4. (−1)A = −A.
102

Satz. Sei n ∈ N, und sei R ein kommutativer Ring. Dann ist M mn (R) mit der Addition und
der Multiplikation von Matrizen ein Ring.
103

Definition. A ∈ M nn (R) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix A −1 ∈ M nn (R) gibt, so daß
AA −1 = I n = A −1 A ist. Die Matrix A −1 wird die zu A inverse Matrix genannt.
104

⎛
⎞
a 11 · · · a 1n
⎜
Definition. Sei A ∈ M mn (R), A = (a ij ) = ⎝
.
. ..
⎟ . ⎠. Die Matrix A T = (a ji ) =
a m1 · · · a
⎛
⎞
mn
a 11 · · · a m1
⎜
⎝
.
. ..
⎟ . ⎠ wird die zu A transponierte Matrix genannt.
a 1n · · · a mn
105

Satz (Rechenregeln für transponierte Matrizen). Seien A, A ′ ∈ M mn (R), B ∈ M ns (R),
und sei r ∈ R. Dann gilt:
1. (A + A ′ ) T = A T + A ′T .
2. (rA) T = rA T .
3. (A T ) T = A.
4. (AB) T = B T A T .
106

Satz. Sei A ∈ M mn (R) invertierbar. Dann ist auch A T invertierbar, und (A T ) −1 = (A −1 ) T .
107

Definition. Die folgenden Manipulationen an A nennen wir elementare Zeilenumformungen:
• Z ij : Vertausche die i-te Zeile mit der j-ten Zeile.
• Z i (r): Multipliziere die i-te Zeile mit einem invertierbaren Skalar r ∈ R.
• Z ij (s): Addiere das s-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile, wobei s ∈ R und i ≠ j sind.
108

Definition. Seien P ij , D i (r), T ij (s) in M mm (R), so daß
• P ij A die Matrix ist, die wir erhalten, indem wir Z ij auf A anwenden.
• D i (r)A die Matrix ist, die wir erhalten, indem wir Z i (r) auf A anwenden.
• T ij (s)A die Matrix ist, die wir erhalten, indem wir Z ij (s) auf A anwenden.
109

Definition. Sei E ij ∈ M mn (R) die Matrix, die an der Stelle (i, j) den Eintrag 1 hat, und deren
übrige Einträge 0 sind.
110

Satz. Sei E ij ∈ M mm (R), und sei A = (a ij ) ∈ M mn (R). Die i-te Zeile von E ij A ist die j-te
Zeile von A, und die übrigen Einträge von E ij A sind 0.
111

Satz (Multiplikation von Matrizen der Form E ij ). Seien E ij , E kl ∈ M mm (R). Dann gilt
{
0 ∈ M mm (R), falls k ≠ j
E ij E kl =
E il ,
falls k = j
112

Definition. Seien E ii , E ij , E jj , E ji ∈ M mm (R). Sei i ≠ j. Sei P ij = I m −E ii +E ij −E jj +E ji .
P ij ist also die Matrix, die man erhält, indem man in der Einheitsmatrix I m die i-te und die
j-te Zeile vertauscht.
113

Satz. Die i-te Zeile von P ij A ist die j-te Zeile von A, die j-te Zeile von P ij A ist die i-te Zeile
von A, und die übrigen Einträge von P ij A entsprechen den Einträgen von A.
114

Satz (Invertierbarkeit von Matrizen vom Typ P ij ). Sei P ij ∈ M mm (R). Dann ist P ij invertierbar,
und P −1
ij = P ij .
115

Definition. Sei r ∈ R. Sei D i (r) = I m + (r − 1)E ii ∈ M mm (R). Die Matrix D i (r) entsteht
also aus der Einheitsmatrix I m , indem wir die 1 im Schnittpunkt der i−ten Zeile und der i−ten
Spalte von I m durch r ersetzen.
116

Satz. Sei A ∈ M mn (R). Die i-te Zeile von D i (r)A ist das r-fache der i-ten Zeile von A, hat
also die Form (ra i1 ra i2 · · · ra in ). Die übrigen Einträge von D i (r)A entsprechen den Einträgen
von A.
117

Satz (Invertierbarkeit von Matrizen vom Typ D i (r)). Es gilt:
• D i (r) ∈ M mm (R) ist genau dann invertierbar, wenn r in R invertierbar ist.
• Wenn r in R invertierbar ist, dann ist D i (r) −1 = D i (r −1 ).
118

Definition. Sei i ≠ j, s ∈ R und
(
sei T
) ij (s) = I m + sE ij ∈ M mm (R). T ij (s) ist für i = j nicht
1 0
definiert. Es ist zum Beispiel ∈ M
4 1 22 (Z) eine Matrix vom Typ T 21 (4).
119

Satz. Sei A ∈ M mn (R), und sei T ij (s) ∈ M mm (R). Die i-te Zeile von T ij (s)A ist die Summe
der i-ten Zeile von A und dem s-fachen der j-ten Zeile von A, also von der Form (a i1 +
sa j1 · · · a in + sa jl ). Die übrigen Einträge von T ij (s)A entsprechen denen von A.
120

Satz (Invertierbarkeit von Matrizen vom Typ T ij (s)). T ij (s) ∈ M mm (R) ist invertierbar,
und T ij (s) −1 = T ij (−s).
121

Definition. Matrizen der Form P ij , i ≠ j und D i (r) ∈ M mm (R) mit r ∈ R invertierbar und
T ij (s) mit s ∈ R und i ≠ j werden Elementarmatrizen genannt.
122

Satz. Elementarmatrizen sind invertierbar, und ihre inversen Matrizen sind wieder Elementarmatrizen.
123

Definition. Seien A, B ∈ M mn (R). Wir nennen A und B zeilenäquivalent und schreiben
A ∼ Z B, wenn es endlich viele Elementarmatrizen E i , ..., E r gibt, so daß
( r∏
)
A = E i B = E 1 E 2 ...E r B
i=1
ist.
124

Satz. Zeilenäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge M mn (R).
125

Definition. Sei K ein Körper, und sei A = (a ij ) ∈ M mn (K). Wir sagen, daß A in Treppennormalform
ist, wenn A die Nullmatrix in M mn (K) ist, oder wenn es Spaltenindizes
j 1 < j 2 < ... < j r so gibt, daß für alle 1 ≤ i ≤ r gilt:
• a iji = 1, und
• a lji = 0 für alle l ≠ i, und
• a il = 0 für alle l < j i , und
• a kl = 0 für alle k > r und alle 1 ≤ l ≤ n.
Die Indizes j 1 , ..., j r einer Matrix in Treppennormalform nennen wir ausgezeichnete Spaltenindizes.
126

Definition. Sei A eine Matrix in Treppennormalform mit ausgezeichneten Spaltenindizes j 1 <
j 2 < ... < j r . Die Paare (1, j 1 ), (2, j 2 ), ..., (r, j r ) nennt man Pivot-Positionen.
127

Satz (Existenz von Treppennormalformen). Sei A ∈ M mn (K). Dann gibt es Elementarmatrizen
E 1 , ..., E s , so daß
E s E s−1 ...E 2 E 1 A
eine Matrix in Treppennormalform ist.
128

Satz. Seien T, T ′ ∈ M mn (K) Matrizen in Treppennormalform. Sei G eine invertierbare Matrix
in M mm (K) mit GT = T ′ . Dann gilt T = T ′ .
129

Satz (Eindeutigkeit der Treppennormalform). Sei A ∈ M mn (K), und seien T, T ′ ∈ M mn (K)
Matrizen in Treppennormalform, die beide aus A durch elementare Zeilenumformungen hervorgehen.
Dann gilt T = T ′ .
130

Definition (Rg(A)). Sei A ∈ M mn (K), und sei T ∈ M mn (K) die Matrix in Treppennormalform,
die aus A durch elementare Zeilenumformungen hervorgeht. Wir sagen, daß T die
Treppennormalform zu A ist. Die Anzahl der Pivot-Positionen in der Treppennormalform zu
A nennt man den Rang von A und bezeichnet ihn mit Rg(A).
131

Satz. In jeder Äquivalenzklasse bezüglich ∼ Z auf M mn (K) liegt genau eine Matrix in Treppennormalform.
132

Satz (Invertierbare Matrizen). Sei A ∈ M mm (K). Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
• A ist invertierbar.
• Es gibt eine invertierbare Matrix C ∈ M mn (K) mit CA = I m .
• Die Treppennormalform zu A ist I m .
• Rg(A) = m.
• A ist ein Produkt von Elementarmatrizen.
133

Satz. Sei A ∈ M mm (K), und sei C ∈ M mn (K) mit CA = I m . Dann ist C invers zu A, das
heißt, es gilt AC = I m .
134

Satz (Ränge von Matrizen). Sei A ∈ M mn (K). Dann gilt:
• Wenn P ∈ M mm (K) invertierbar ist, so gilt Rg(A) = Rg(P A).
• Wenn Q ∈ M nn (K) invertierbar ist, so gilt Rg(A) = Rg(AQ).
• Genau dann ist Rg(A) = r, wenn es invertierbare Matrizen P ∈ M mm (K) und Q ∈
M nn (K) gibt, so daß
• Rg(A) = Rg(A T ).
⎛
⎞
| 0 · · · 0
. I r | . . .
.
( r∑
)
| 0 · · · 0
A = P E ii Q = P
Q.
i=1 0 · · · 0 | 0 · · · 0
⎜
⎝ .
. .. . ⎟
. | . .. . ⎠
0 · · · 0 | 0 · · · 0
• Wenn A = A ′ A ′′ , so gilt Rg(A) ≤ Rg(A ′ ) und Rg(A) ≤ Rg(A ′′ ).
135

Definition. Sei K ein Körper. Ein lineares Gleichungssystem über K mit m Zeilen und n
Unbestimmten x 1 , ..., x n hat die Form
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
.
. . . . . .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m
mit a ij , b i ∈ K für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n. Wir nennen A = (a ij ) ∈ M mn (K) die
Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems und setzen
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x 1
b 1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x = ⎝ . ⎠ ∈ M n1 (K) und b = ⎝ . ⎠ ∈ M m1 (K).
x n b m
Das lineare Gleichungssystem schreiben wir als Matrizenprodukt Ax = b.
136

⎛ ⎞
⎜ ⎟
Definition. Ist b = ⎝
0. ⎠, die Nullspalte in M m1 (K), so nennen wir das lineare Gleichungssystem
Ax = b
0
homogen.
137

Definition. Ist b ≠
⎛
⎜
⎝
0.
0
⎞
⎟
⎠, so nennen wir das lineare Gleichungssystem Ax = b inhomogen.
138

Definition. Zu jedem linearen Gleichungssystem Ax = b gibt es das zugeordnete homogene
Gleichungssystem Ax = 0 ∈ M m1 (K).
139

Definition. Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist ein
⎛ ⎞
λ 1
⎜ ⎟
λ = ⎝ . ⎠ ∈ M n1 (K) mit Aλ = b.
λ n
140

Definition. Wir nennen die m × (n + 1)-Matrix
⎛
⎞
a 11 · · · a 1n b 1
A ′ ⎜
= ⎝
.
. ..
⎟ . . ⎠
a m1 · · · a mn b m
die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems Ax = b.
141

Satz (Regeln zum Lösen linearer Gleichungssysteme). Sei A ∈ M mn (K), und sei Ax = b
ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix A ′ . Sei L die Menge aller
Lösungen von Ax = b, und sei U die Menge aller Lösungen des zugeordneten homogenen
Gleichungssystems Ax = 0.
• Sei λ eine Lösung von Ax = b. Setze λ + U := {λ + u|u ∈ U} ⊆ M n1 (K). Dann gilt
L = λ + U.
• Sei P ∈ M mm (K) invertierbar, und sei L ′ die Menge aller Lösungen von (P A)x = P b.
Dann gilt L = L ′ .
• Das lineare Gleichungssystem Ax = b besitzt genau dann mindestens eine Lösung,
wenn Rg(A) = Rg(A ′ ) ist.
142

Satz (Eindeutige Lösung von linearen Gleichungssystemen). Sei Ax = b mit A ∈ M mn (K)
ein lineares Gleichungssystem, das eine Lösung λ besitzt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
• λ ist die einzige Lösung von Ax = b.
• Rg(A) = n.
143

Satz. Merkregel zum Lösen homogener linearer Gleichungssysteme T x = 0 mit T in Treppennormalform:
1. Streiche alle Nullzeilen von T .
2. Füge Nullzeilen so ein, daß die Matrix quadratisch wird, und die Pivot-Elemente Diagonalelemente
werden.
3. Ersetze die Nullelemente auf der Diagonalen durch −1.
4. Betrachte die Spalten S 1 , ..., S n−r , in denen wir −1 eingefügt haben.
5. U = {a 1 S 7 + ... + a n−r S n−r |a 1 , ..., a n−r ∈ K}.
144

Definition. Sei R ein kommutativer Ring, und sei A ∈ M nn (R).
145

Definition (Leibnizformel). Die Determinante von A = (a ij ) ∈ M nn (R) ist das Ringelement
∑
σ∈S n
sgn(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) · · · a nσ(n) ∈ R.
Die Determinante von A wird mit det(A) oder |A| bezeichnet, und man nennt die Formel auch
Leibnizformel. (Zur Definition der Signatur sgn(σ) vgl. Kapitel ??, Seite ??.)
146

Satz. Merkregel: Schreiben Sie A und die ersten beiden Spalten von A in eine Matrix. Sie
erhalten
⎛
⎞
a 11 a 11 a 13 | a 11 a 12
⎝ a 21 a 22 a 24 | a 21 a 32
⎠ .
a 31 a 32 a 33 | a 31 a 32
Sie Summe der Produkte auf den Diagonalen Minus Summe der Produkte auf den Gegendiagonalen
ergibt den Wert der Determinante (Sarrus-Regel).
147

Satz (Determinante von Transponierten). Sei A ∈ M nn (R). Dann gilt det(A) = det(A T ).
148

Definition. Eine Matrix A = (a ij ) ∈ M nn (R) heißt obere Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0
für alle i > j. A heißt untere Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für alle j > i. Bei einer oberen
Dreiecksmatrix sind also alle Einträge unterhalb der Diagonalen 0, und bei einer unteren
Dreiecksmatrix sind alle Einträge oberhalb der Diagonalen 0.
149

Satz (Determinante von Dreiecksmatrizen). Sei A = (y ij ) ∈ M nn (R) eine obere oder
untere Dreiecksmatrix. Dann gilt
det(A) = a 11 a 22 · · · a nn .
150

Satz (Determinante von Matrizen mit Nullzeile oder -spalte). Sei A eine Matrix mit einer
Nullzeile oder einer Nullspalte. Dann ist det(A) = 0.
151

Satz (Determinanten von Matrizen mit gleichen Zeilen oder Spalten). Sei A eine Matrix,
bei der zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich sind. Dann ist det(A) = 0.
152

Satz (Determinanten von Elementarmatrizen). Die folgenden Matrizen seien Elementarmatrizen
in M nn (R). Dann gilt:
1. det(P ij ) = −1
2. det D i (r) = r
3. det T ij (s) = 1
153

Satz. Sei R ein kommutativer Ring. Seien
⎛
B =
⎜
⎝
⎞ ⎛
a 11 · · · a 1n
.
. . .
.
a s−1,1 · · · a s−1,n
b s1 · · · b sn
, C =
a s+1,1 · · · a s+1,n
. ⎟ ⎜
. .. . ⎠ ⎝
a n1 · · · a nn
⎛
⎞
a 11 · · · a 1n
. . .. .
a s−1,1 · · · a s−1,n
D =
b s1 + c s1 · · · b sn + c sn
.
a s+1,1 · · · a s+1,n
⎜
⎝ . ⎟
. .. . ⎠
a n1 · · · a nn
⎞
a 11 · · · a 1n
.
. . .
.
a s−1,1 · · · a s−1,n
c s1 · · · c sn
, und
a s+1,1 · · · a s+1,n
. ⎟
. .. . ⎠
a n1 · · · a nn
Seien B, C und D wie oben. Dann gilt det(D) = det(B) + det(C).
154

Satz (Determinanten und elementare Zeilenumformungen). Seien r, s ∈ R, r sei invertierbar,
und sei A ∈ M nn (R). Seien D i (r), T ij (s) und P ij Elementarmatrizen in M nn (R). Dann
gilt:
1. det(P ij A) = − det(A) = det(P ij ) det(A).
2. det(D i (r)A) = r det(A) = det(D i (r)) det(A).
3. det(T ij (s)A) = det(A) = det(T ij (s)) det(A).
155

Satz. Seien E 1 , . . . , E s Elementarmatrizen in M nn (R), und sei A ∈ M nn (R). Dann gilt
det(E s · · · E 1 A) = det(E s ) · · · det(E 1 )det(A).
156

Satz (Zusammenfassung). Sei A ∈ M nn (R).
1. Wenn wir zwei Zeilen (Spalten) von A vertauschen, dann ändert sich die Determinante
um den Faktor −1.
2. Wenn wir genau eine Zeile (Spalte) von A mit einem Element r ∈ R multiplizieren, so
ändert sich die Determinante um den Faktor r.
3. Wenn wir Vielfache von Zeilen (Spalten) von A zu Zeilen (Spalten) von A addieren,
ändert sich die Determinante nicht.
157

Satz (Algorithmus zur Berechnung von Determinanten von Matrizen über K). Sei A =
(a ij ) ∈ M nn (K). Überführe A durch elementare Zeilen- oder Spaltenoperationen vom Typ
’Addiere Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte)’ (T ij (s)) und vom Typ
’Vertausche zwei Zeilen (Spalten)’ (P ij ) in eine Dreiecksmatrix à = (ã ij). Sei k die Anzahl
der Zeilen- und Spaltenvertauschungen. Dann gilt
det(A) = (−1) k det(Ã) = (−1)k ã 11 · ã 22 · · · ã nn = (−1) k
n
∏
i=1
ã ii .
158

Satz. Sei X ∈ M nn (K). Wenn X nicht invertierbar ist, dann ist det(X) = 0.
159

Satz. Sei K ein Körper, und sei A ∈ M nn (K). Genau dann ist A invertierbar, wenn det(A) ≠
0 ist.
160

Satz (Determinantenmultiplikationssatz). Seien A, B ∈ M nn (K). Dann gilt det(AB) =
det(A) det(B).
161

Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Die Einheitengruppe von M nn (R) wird allgemeine
lineare Gruppe von R genannt und mit Gl n (R) bezeichnet. (Gl steht dabei für ’General linear
group’.)
162

Satz. Sei K ein Körper. Dann ist Gl n (K) = {A ∈ M nn (K)| det(A) ≠ 0}.
163

Satz. Sei A ∈ M nn (K) invertierbar. Dann ist det(A −1 ) = det(A) −1 .
164

Definition. Sei A = (a ij ) ∈ M nn (R). Seien s, t mit 1 ≤ s, t ≤ n vorgegeben. Wir bezeichnen
mit A st die (n − 1) × (n − 1)−Matrix, die aus A durch Streichung der s−ten Zeile und der
t−ten Spalte hervorgeht. A st nennt man eine Untermatrix von A.
165

Definition. Sei R ein kommutativer Ring, und sei A ∈ M nn (R). Jeder n × n− Matrix A =
(a ij ) über R ordnen wir eine Matrix A Ad ∈ M nn (R) wie folgt zu:
A Ad = (a ′ ij) mit a ′ ij = (−1) i+j det(A ji ).
Der Eintrag an der Stelle (i, j) in A Ad ist also (−1) i+j det(A ji ). Vorsicht: Die Indizes werden
vertauscht.
166

Definition. Die Matrix A Ad wird die Adjunkte zu A genannt. Es ist auch üblich, A Ad die zu
A adjungierte Matbix zu nennen.
167

Satz. Seien s, t mit 1 ≤ s, t ≤ n gegeben, und sei A = (a ij ) ∈ M nn (R), so daß a sj = 0 für
alle j ≠ t. Dann gilt det(A) = (−1) s+t a st det(A st ).
168

Satz (Adjunktensatz). Sei R ein kommutativer Ring, und sei A ∈ M nn (R). Dann gilt
AA Ad = A Ad A = det(A)I n .
169

Satz. Sei R ein kommutativer Ring, und sei A ∈ M nn (R). Wenn det(A) in R invertierbar ist,
dann ist A invertierbar, und es ist A −1 = det(A) −1 A Ad .
170

Satz. Sei A ∈ M nn (Z). Wenn det(A) = −1 oder det(A) = 1, dann ist A invertierbar, und
A −1 = det(A) −1 A Ad .
171

Satz. Sei A ∈ M nn (Z/mZ), m ∈ N. Wenn ggT (det(A), m) = 1, dann ist A invertierbar, und
A −1 = det(A) −1 A Ad .
172

Satz. Sei K ein Körper, und sei A ∈ M nn (K). Wenn det(A) ≠ 0, dann ist A invertierbar.
173

Satz (Determinantenmultiplikationssatz für Matrizen über R). Sei R ein kommutativer
Ring, und seien A, B ∈ M nn (R). Dann gilt
det(AB) = det(A) det(B).
174

Satz. Sei R ein kommutativer Ring, und sei A ∈ M nn (R). Wenn A invertierbar ist, dann ist
det(A) invertierbar.
175

Satz. Gl n (Z) = {A ∈ M nn (Z)| det(A) = 1 oder det(A) = −1}.
176

Satz. Gl n (Z/mZ) = {A ∈ M nn (Z/mZ)|ggT (det(A), m) = 1}.
177

Definition (Kryptosystem). Ein Kryptosystem ist gegeben durch P, C, K, E, D, so daß die
folgenden Regeln gelten:
1. P ist eine endliche Menge von Klartexten.
2. C ist eine endliche Menge von Geheimtexten.
3. K ist eine endliche Menge von Schlüsseln.
4. Für jedes K ∈ K gibt es eine Chiffrierungsregel e K ∈ E und eine Dechiffrierungsregel
d K ∈ D. Dabei sind e K : P → C und d K : C → P Abbildungen, so daß für alle x ∈ P
gilt: d K (e K (x)) = x.
178

Definition (Hill-Kryptosystem). Das Hill-Kryptosystem ist durch folgende Daten gegeben:
Sei n eine natürliche Zahl.
1. Es ist P = C = M 1n (Z/26Z).
2. Es ist K = Gl n (Z/26Z).
3. Für ein K ∈ K sei
a) e K : M 1n (Z/26Z) → M 1n (Z/26Z), mit e K (x) = xK, und
b) d K : M 1n (Z/26Z) → M 1n (Z/26Z), mit d K (y) = yK −1 .
179

Satz (Laplace’scher Entwicklungssatz). Sei R ein kommutativer Ring, und sei A = (a ij ) ∈
M nn (R). Dann gilt für alle 1 ≤ i, j ≤ n:
det(A) =
det(A) =
n∑
(−1) i+j a ij det(A ij ) (Entwicklung nach der i−ten Zeile)
j=1
n∑
(−1) i+j a ij det(A ij ) (Entwicklung nach der j−ten Spalte)
i=1
180

Satz (Cramer’sche Regel). Sei A ∈ M nn (K) invertierbar, und sei Ax = b ein lineares
Gleichungssystem mit n Zeilen und n Unbekannten. Sei A i die Matrix, die aus A entsteht,
indem wir die i−te Spalte von A durch b ersetzen. Sei λ = (λ 1 , . . . , λ n ) ′ die Lösung von
Ax = b. Dann gilt für alle 1 ≤ i ≤ n:
λ i = det(A) −1 det(A i ).
181

Definition. Sei K ein Körper. Ein K−Vektorraum V ist eine Menge V mit einer Verknüpfung
+ : V × V → V
und einer Abbildung
· : K × V → V,
genannt Skalarmultiplikation,
(a, v) → a · v,
so daß folgende Axiome gelten:
1. Addition: (V, +) ist eine abelsche Gruppe.
2. Skalarmultiplikation: Für alle a, b ∈ K und alle v ∈ V gilt
(ab) · v = a · (b · v),
und für 1 ∈ K und alle v ∈ V gilt
1 · v = v.
3. Distributivgesetze: Für alle a, b ∈ K und alle v 1 , v 2 ∈ V gilt
a · (v 1 + v 2 ) = a · v 1 + a · v 2 ,
und
(a + b) · v 1 = a · v 1 + b · v 1 .
182

Statt K−Vektorrraum V sagt man auch Vektorraum über K. Die Elemente in V werden Vektoren
genannt, die in K Skalare.
183

Satz (Rechenregeln in Vektoren). Sei V ein K−Vektorraum. Dann gilt:
1. 0v = 0 für alle v ∈ V .
2. a0 = 0 für alle a ∈ K und für 0 ∈ V .
3. (−a)v = −av = a(−v) für alle a ∈ K und alle v ∈ V .
184

Definition. Eine Teilmenge U ≠ ∅ eines K−Vektorraums V heißt Unterraum von V , wenn
U mit der Addition und der Skalarmultiplikation in V einen Vektorraum bildet.
185

Satz (Unterraumkriterium). Sei U eine Teilmenge eines Vektorraums V über K. Folgende
Aussagen sind äquivalent:
1. U ist ein Unterraum von V .
2. Es gelten die folgenden Regeln:
a) Das Nullelement von V liegt in U, und
b) für alle u 1 , u 2 ∈ U gilt u 1 + u 2 ∈ U, und
c) für alle a ∈ K und alle u ∈ U gilt au ∈ U.
186

Satz (Durchschnitt von Unterräumen). Sei V ein K−Vektorraum, und sei I eine Indexmenge.
Für alle i ∈ I sei U i ein Unterraum von V . Sei
⋂
U i = {u ∈ V |u ∈ U i für alle i ∈ I}.
i∈I
Dann ist ⋂ i∈I U i ein Unterraum von V .
187

Definition (Summe von Unterräumen). Sei V ein K−Vektorraum, und seien U 1 und U 2
Unterräume von V . Wir definieren
U 1 + U 2 := {u 1 + u 2 |u 1 ∈ U 1 und u 2 ∈ U 2 }
Man nennt U 1 + U 2 die Summe von U 1 und U 2 .
188

Satz (Summe von Unterräumen). Seien U 1 und U 2 zwei Unterräume eines K−Vektorraums
V . Dann ist U 1 + U 2 ein Unterraum von V .
189

Satz. Sei n ∈ N und seien U 1 , . . . , U n Unterräume eines K-Vektorraums V . Dann ist U 1 +
· · · + U n ein Unterraum von V .
190

Definition. Sei U ein Unterraum eines K−Vektorraums V . Für einen Vektor v ∈ V sei
v + U := {v + u|u ∈ U}.
Wir nennen v+U die Nebenklasse von U durch v und v einen Repräsentanten der Nebenklasse
v + U. Die Nebenklasse v + U ist also eine Menge, und zwar die Menge derjenigen Vektoren
von V , die wir erhalten, wenn wir jedes Element aus U zu v addieren.
191

Satz. Eine Nebenklasse v + U ist genau dann ein Unterraum (und dann gleich U), wenn v in
U liegt.
192

Satz (Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen). Sei V ein K−Vektorraum, und sei
U ein Unterraum von V . Seien v, v ′ ∈ V . Dann gilt
v + U = v ′ + U ⇔ v − v ′ ∈ U.
193

Definition. Sei V ein K−Vektorraum, und sei U ein Unterraum von V . Die Menge
V/U = {v + U|v ∈ V }
wird Faktorraum von V nach U oder Quotientenraum V modulo U genannt.
194

Definition (Wohldefiniertheit von Nebenklassen). Eine Verknüpfung von Nebenklassen heißt
wohldefiniert, wenn die definierte Verknüpfung von Nebenklassen nicht von dem Repräsentanten
der Nebenklasse abhängt.
195

Satz. Sei V ein K−Vektorraum, und sei U ein Unterraum von V . Dann ist V/U ein K−Vektorraum.
196

Definition. Sei V ein K−Vektorraum, seien v 1 , . . . , v m ∈ V , und a 1 , . . . , a m ∈ K. Dann
heißt
m∑
a 1 v 1 + · · · + a m v m = a i v i
eine Linearkombination der Vektoren v 1 , . . . , v m . Die Skalare a 1 , . . . , a m werden Koeffizienten
der Linearkombination genannt.
i=1
197

Definition (Lineare Hülle). Sei S eine nicht leere Teilmenge von V . Die Menge aller Linearkombinationen
von endlich vielen Vektoren in S wird die lineare Hülle von S oder Erzeugnis
von S genannt, und mit 〈S〉 bezeichnet. Für S = ∅ definieren wir das Erzeugnis von ∅ durch
〈∅〉 := {0}.
198

Satz (Struktur linearer Hüllen). Wenn S Teilmenge eines K−Vektorraums V ist, dann ist
〈S〉 ein Unterraum von V . 〈S〉 ist der kleinste Unterraum von V , der S enthält, das heißt, wenn
U ein Unterraum von V ist, der S enthält, dann gilt 〈S〉 ⊆ U.
199

Definition. 〈S〉 wird der durch S erzeugte Unterraum von V genannt.
200

Definition. Sei V ein K−Vektorraum, und sei S ⊆ V , so daß 〈S〉 = V ist. Dann wird S ein
Erzeugendensystem von V genannt.
201

Definition. Sei V ein K−Vektorraum. V heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge
{v 1 , . . . , v m } von Vektoren in V gibt, so daß V = 〈v 1 , . . . , v m 〉 ist. In unserer Terminologie
oben sind die endlich erzeugten Vektorräume also gerade diejenigen, die ein endliches Erzeugendensystem
besitzen.
202

Definition. Eine Linearkombination ∑ n
i=1 a iv i = 0 heißt triviale Darstellung des Nullvektors
durch v 1 , . . . , v n , wenn a i = 0 für alle 1 ≤ i ≤ n. Falls mindestens ein a i ≠ 0 ist, so nennen
wir ∑ n
i=1 a iv i = 0 eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors durch v i , . . . , v n .
203

Definition. Sei V ein K−Vektorraum. Vektoren v 1 , . . . , v n ∈ V heißen linear unabhängig,
falls aus ∑ n
i=1 a iv i = 0 folgt, daß die Koeffizienten a i Null sind für alle 1 ≤ i ≤ n, d.h. es
gibt nur die triviale Darstellung des Nullvektors. Die Vektoren v 1 , . . . , v n ∈ V heißen linear
abhängig, falls es eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors durch v 1 , . . . , v n gibt.
204

Satz (Charakterisierung linear abhängiger Vektoren). Sei V ein K−Vektorraum, und seien
v 1 , . . . , v n ∈ V . Genau dann sind v 1 , . . . , v n linear abhängig, wenn es ein i mit 1 ≤ i ≤ n
gibt, so daß v i ∈ 〈v 1 , . . . , v i−1 , v i+1 , . . . , v n 〉.
205

Definition. Sei V ein endlich erzeugter K−Vektorraum, V ≠ {0}. Die Vektoren v 1 , . . . , v n ∈
V heißen eine Basis von V , falls v 1 , . . . , v n ein Erzeugendensystem von V ist, und falls
v 1 , . . . , v n linear unabhängig sind.
206

Satz (Charakterisierung von Basen). Sei V ein K−Vektorraum, V ≠ {0}, und seien v 1 , . . . , v n ∈
V . Dann sind äquivalent:
1. v 1 , . . . , v n ist eine Basis von V .
2. Jedes v ∈ V läßt sich eindeutig als Linearkombination der Vektoren v 1 , . . . , v n schreiben.
207

Satz (Existenz von Basen endlich erzeugter Vektorräume). Sei V ein K−Vektorraum,
V ≠ {0}, und seien v 1 , . . . , v n ∈ V . Dann gilt:
1. Ist v 1 , . . . , v n ein Erzeugendensystem von V , und ist v i ∈ 〈v 1 , . . . , v i−1 , v i+1 , . . . , v n 〉,
so ist v 1 , . . . , v i−1 , v i+1 , . . . , v n ein Erzeugendensystem von V .
2. Wenn v 1 , . . . , v n ein Erzeugendensystem von V ist, dann gibt es Vektoren v i1 , . . . , v it ∈
{v 1 , . . . , v n }, so daß v i1 , . . . , v it eine Basis von V ist.
208

Satz. Sei V ein K−Vektorraum, und seien v 1 , . . . , v n ∈ V .
1. Sind v 1 , . . . , v n linear unabhängig, und gilt v n+1 ∉ 〈v 1 , . . . , v n 〉, so sind v 1 , . . . , v n , v n+1
linear unabhängig.
2. Wenn v 1 , . . . , v n ein Erzeugendensystem von V ist, dann sind v 1 , . . . , v n , v n+1 für alle
v n+1 ∈ V linear abhängig.
209

Satz (Austauschlemma). Sei V ein K−Vektorraum, und sei v ∈ V, v ≠ 0. Sei u 1 , . . . , u n , n ∈
N, eine Basis von V . Dann gibt es ein 1 ≤ i ≤ n, so daß
eine Basis von V ist.
u 1 , . . . , u i−1 , v, u i+1 , . . . , u n
210

Satz (Austauschsatz von Steinitz). Sei u 1 , . . . , u n , n ∈ N, eine Basis eines endlich erzeugten
Vektorraums V , und seien v 1 , . . . , v m linear unabhängige Vektoren in V. Dann gibt es
u im+1 , . . . , u in ∈ {u 1 , . . . , u n }, so daß v 1 , . . . , v m , u im+1 , . . . , u in eine Basis von V ist.
211

Satz (Basisergänzungssatz). Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und seien w 1 , . . . , w m
linear unabhängige Vektoren in V . Dann läßt sich w 1 , . . . , w m zu einer Basis von V ergänzen,
das heißt, es gibt Vektoren v m+1 , . . . , v n , so daß w 1 , . . . , w m , v m+1 , . . . , v n eine Basis von V
ist.
212

Satz. Sei v 1 , . . . , v n eine Basis von V , und seien w 1 , . . . , w m ∈ V linear unabhängig. Dann ist
m ≤ n.
213

Satz. Je zwei Basen eines endlich erzeugten Vektorraums V haben die gleiche Anzahl von
Vektoren.
214

Satz (Charakterisierung endlich erzeugter Vektorräume). Ein K−Vektorraum V ist genau
dann endlich erzeugt, wenn jede Menge linear unabhängiger Vektoren endlich ist.
215

Definition. Sei V ein K−Vektorraum.
1. Wenn V nicht endlich erzeugt ist, so sagen wir, daß die Dimension von V über K
unendlich ist, und schreiben dim K (V ) = ∞.
2. Wenn V endlich erzeugt und V ≠ {0} ist, so sagen wir, daß V über K die Dimension n
hat, und schreiben dim K (V ) = n, falls jede Basis von V aus n Vektoren besteht.
3. Wenn V = {0}, so definieren wir die Dimension von V über K als 0 und schreiben
dim K (V ) = 0.
216

Satz (Ränge von Matrizen und Vektoren in K n ). Für alle 1 ≤ j ≤ n sei v j = (a 1j , . . . , a mj ) ′ ∈
K m . Sei
⎛
⎞
a 11 · · · a 1n
⎜
A = ⎝ .
..
⎟ . . ⎠
a m1 · · · a mn
die Matrix, deren Spalten die Vektoren v 1 , . . . , v n sind. Dann gilt:
1. v 1 , . . . , v n sind genau dann linear unabhängig, wenn Rg(A) = n ist.
2. dim K 〈v 1 , . . . , v n 〉 = Rg(A).
3. v 1 , . . . , v n sind genau dann ein Erzeugendensystem von K m wenn Rg(A) = m ist.
217

Satz. v 1 , . . . , v n ist genau dann eine Basis von K n , wenn die Determinante der Matrix, die
v 1 , . . . , v n als Spalten enthält, nicht Null ist.
218

Satz. Sei dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
1. n linear unabhängige Vektoren in V sind schon eine Basis von V .
2. Ein Erzeugendensystem von V mit n Vektoren ist schon eine Basis von V .
219

Satz (Dimensionsformel für Unterräume). Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und
sei U ein Unterraum. Dann gilt dim(U) ≤ dim(V ), und es gilt dim(U) = dim(V ) genau dann,
wenn U = V ist.
220

Satz (Dimensionsformel für Faktorräume). Sei dim(V ) = n < ∞, und sei U ein Unterraum
von V . Sei dim(U) = m. Dann gilt dim(V/U) = n − m.
221

Satz (Dimensionsformel für Summe und Durchschnitt). Sei V ein K−Vektorraum, und
seien U und W endlichdimensionale Unterräume von V . Dann gilt
dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W ).
222

Definition. Sei V ein K−Vektorraum, und seien U und W Unterräume von V . Der Unterraum
W heißt Komplement zu U, wenn der Durchschnitt U ∩W so klein wie möglich, also U ∩W =
{0}, und wenn die Summe so groß wie möglich, also U + W = V , ist. Wir nennen U und W
dann komplementär.
223

Satz (Existenz und Charakterisierung komplementärer Unterräume). Sei V ein endlich
erzeugter K−Vektorraum, und sei U ein Unterraum von V . Dann gilt:
1. Es gibt ein Komplement W zu U.
2. W ist genau dann ein Komplement zu U, wenn sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig in der
Form v = u + w mit u ∈ U und w ∈ W schreiben läßt.
3. Wenn W ein Komplement zu U ist, dann ist dim(W ) = dim(V ) − dim(U).
224

Definition. Sei V ein K−Vektorraum, und seien U und W Unterräume von V . Wir sagen,
daß V die direkte Summe von U und W ist, wenn V = U + W und wenn U ∩ W = {0} ist,
d.h. wenn W ein Komplement zu U ist. Wenn V die direkte Summe von U und W ist, dann
schreiben wir V = U ⊕ W .
225

Definition. Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V → W
heißt Vektorraumhomomorphismus oder K−lineare Abbildung, falls
f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) für alle v 1 , v 2 ∈ V und
f(av) = af(v) für alle a ∈ K und für alle v ∈ V
Falls klar ist, über welchem Körper K die Verktorräume V und W definiert sind, sagt man an
der Stelle von K−lineare Abbildung nur lineare Abbildung.
226

Satz. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei K−Vektorräumen V und W .
Dann gilt:
1. f(0) = 0.
2. f(−v) = −f(v) für alle v ∈ V .
227

Satz. Seien f : U → V und g : V → W lineare Abbildungen zwischen K−Vektorräumen
U, V und W . Dann ist g ◦ f : U → W linear.
228

Definition. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Wenn f bijektiv ist, dann wird f ein Isomorphismus
genannt. Ist f : V → W ein Isomorphismus, so nennen wir V und W isomorph
und schreiben V ≃ W .
229

Satz. Sei f : V → W ein Isomorphismus. Dann ist f −1 ein Isomorphismus.
230

Definition. Eine lineare Abbildung f : V → V wird ein Endomorphismus von V genannt.
Ein bijektiver Endomorphismus heißt ein Automorphismus von V .
231

Definition. Sei V ein K−Vektorraum, und seien f und g Automorphismen von V . Dann ist
auch g ◦ f ein Automorphismus von V , das heißt, ◦ ist eine Verknüpfung auf der Menge
der Automorphismen von V . Die Abbildung id V ist ein Automorphismus, und wenn f ein
Automorphismus ist, dann ist auch f −1 ein Automorphismus. Da die Komposition von Abbildungen
assoziativ ist, folgt, daß die Automorphismen von V mit der Komposition von Abbildungen
eine Gruppe bilden. Diese Gruppe wird allgemeine lineare Gruppe von V genannt,
und man bezeichnet sie mit Gl(V ).
232

Definition. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Das Bild von f ist die Menge
Bild(f) := {w ∈ W |∃v ∈ V : f(v) = w}
233

Satz. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist Bild(f) ein Unterraum von W .
234

Satz. Genau dann ist f : V → W surjektiv, wenn Bild(f) = W ist. Wenn f nicht surjektiv
ist, dann ist Bild(f) nur eine Teilmenge von W .
235

Definition. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Der Kern von f ist die Menge
Kern(f) := {v ∈ V |f(v) = 0}
Genau dann ist Kern(f) = V , wenn f alle Elemente in V auf den Nullvektor in W abbildet.
Andernfalls ist Kern(f) nur eine Teilmenge von V .
236

Satz. Der Kern einer linearen Abbildung f : V → W ist ein Unterraum von V .
237

Satz. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Genau dann ist f injektiv, wenn Kern(f) =
{0} ist.
238

Satz (Beschreibung linearer Abbildungen durch die Bilder einer Basis). Seien V und W
Vektorräume über einem Körper K. Sei v 1 , . . . , v n eine Basis von V , und seien w 1 , . . . , w n
beliebige Vektoren in W . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung f : V → W mit f(v i ) =
w i für alle 1 ≤ i ≤ n.
239

Satz. Sei f : V → W eine lineare Abbildung, und sei v 1 , . . . , v n eine Basis von V . Sei
w i = f(v i ) für alle 1 ≤ i ≤ n. Dann gilt:
1. w 1 , . . . , w n sind genau dann linear unabhängig, wenn f injektiv ist.
2. w 1 , . . . , w n ist genau dann ein Erzeugendensystem von W , wenn f surjektiv ist.
3. w 1 , . . . , w n ist genau dann eine Basis von W , wenn f bijektiv ist.
240

Satz. Sei f : V → W eine lineare Abbildung, und sei v 1 , . . . , v n eine Basis von V . Sei
w i = f(v i ) für alle 1 ≤ i ≤ n. Dann gilt:
1. w 1 , . . . , w n ist ein Erzeugendensystem von Bild(f).
2. w 1 , . . . , w n ist genau dann eine Basis von Bild(f), wenn f bijektiv ist.
241

Satz. Seien V und W Vektorräume über K. Sei dim(V ) = n < ∞. Wenn V und W isomorph
sind, dann ist dim(W ) = n.
242

Satz. Seien V und W Vektorräume über K. Sei dim(V ) = dim(W ) = n < ∞. Dann gibt es
zu jeder Basis v 1 , . . . , v n von V und jeder Basis w 1 , . . . , w n von W genau eine lineare Abbildung
f : V → W mit f(v i ) = w i für alle 1 ≤ i ≤ n. Diese Abbildung ist ein Isomorphismus.
243

Satz. Je zwei Basen eines Vektorraumes V können durch genau eine lineare Abbildung ineinander
überführt werden. Diese Abbildung ist ein Automorphismus.
244

Definition. Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und seien B und B ′ zwei Basen von V .
Sei f der Automorphismus, der B in B ′ überführt. Dann wird f Basistransformation oder
Basiswechsel von B nach B ′ genannt.
245

Satz (Fundamentalsatz für endlich erzeugte Vektorräume). Seien V und W endlich erzeugte
K−Vektorräume. V und W sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension
haben.
246

Satz (Klassifikationssatz endlich erzeugter Vektorräume). Sei V ein K−Vektorraum, und
sei dim(V ) = n < ∞. Dann ist V isomorph zu K n .
247

Satz. Sei f : V → W linear, und sei w ∈ Bild(f). Sei v w ein Vektor in V mit f(v w ) = w.
Dann gilt v w + Kern(f) = {v ∈ V |f(v) = w}.
248

Satz (Homomorphiesatz). Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen K−Vektorräumen.
Dann sind V/Kern(f) und Bild(f) isomorph. Genauer, es ist
ein Isomorphismus.
f : V/Kern(f) → Bild(f), mit f(v + Kern(f)) = f(v)
249

Satz (Dimensionsformel für lineare Abbildungen). Sei f : V → W eine lineare Abbildung.
Sei dim(V ) = n < ∞. Dann gilt
dim(Bild(f)) + dim(Kern(f)) = dim(V ).
250

Definition. Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Die Dimension von Bild(f) wird der
Rang von f genannt und mit Rg(f) bezeichnet.
251

Satz (Dimensionen von Lösungsräumen linearer Gleichungssysteme). Sei A ∈ M mn (K)
eine m × n− Matrix über einem Körper K. Sei U die Lösungsmenge des homogenen linearen
Gleichungssystems Ax = 0. Dann gilt dim(U) = n − Rg(A).
252

Satz. Sei f : V → W eine lineare Abbildung, und sei dim(V ) = dim(W ) < ∞. Die
Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist.
253

Definition. Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Wir bezeichnen mit Hom K (V, W )
die Menge der linearen Abbildungen von V nach W . Seien f, g ∈ Hom K (V, W ). Wir definieren
die Summe von f und g durch
f + g : V → W, (f + g)(v) = f(v) + g(v), ∀v ∈ V.
Sei f ∈ Hom K (V, W ), und sei a ∈ K. Wir definieren eine Abbildung af durch
af : V → W, (af)(v) = af(v)∀v inV.
Hom K (V, W ) wird Homomorphismenraum von V nach W genannt.
254

Satz. Hom K (V, W ) ist ein K−Vektorraum.
255

Definition. Sei B eine Basis von V und C eine Basis von W , dann können wir jeder linearen
Abbildung eine Matrix zuordnen und wir definieren
durch
BM C : Hom K (V, W ) → M mn (K)
f ↦→ B M C (f).
BM C (f) wird die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen B und C genannt. Die Matrix
berechnet sich wie folgt: Stelle zunächst jedes Bild von v j ∈ B, 1 ≤ j ≤ n als Linearkombination
der w i ∈ C, 1 ≤ i ≤ m dar:
f(v 1 ) = a 11 w 1 + · · · + a m1 w m
.
. . .. .
f(v n ) = a 1n w 1 + · · · + a mn w m
Die mn Koeffizienten fassen wir zu einer m × n−Matrix B M C (f) zusammen:
⎛
⎞
a 11 · · · a 1n
⎜
BM C (f) = ⎝
.
. .
⎟
. . ⎠ ∈ M mn (K).
a m1 · · · a mn
Dann bilden die Koeffizienten in der Linearkombination des Bildes von v i die i−te Spalte der
Darstellungsmatrix.
256

Definition. Jeder m × n−Matrix A = (a ij ) können wir eine lineare Abbildung B f C (A) zuordnen,
und wir definieren
durch
Diese Abbildung ist eindeutig definiert durch:
Bf C : M mn (K) → Hom K (V, W )
A ↦→ B f C (A).
( B f C (A))(v j ) = a 1j w 1 + a 2j w 2 + · · · + a mj w m , 1 ≤ j ≤ n
mit v j ∈ B, 1 ≤ j ≤ n und w i ∈ C, 1 ≤ i ≤ m als Basen von V und W . B f C (A) wird die
Abbildung zu A bezüglich der Basen B und C genannt.
257

Satz (Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen). Seien V und W endlich erzeugte
K−Vektorräume, sei v 1 , . . . , v n eine Basis B von V , und sei w 1 , . . . , w m eine Basis C von
W . Dann ist Hom K (V, W ) isomorph zu M mn (K). Genauer, die Abbildung B M C , die jeder linearen
Abbildung f die Matrixdarstellung von f bezüglich der vorgegebenen Basen zuordnet,
ist ein Isomorphismus.
258

Definition (Basis von Hom K (V, W )). Wir erhalten die Basis von Hom K (V, W ) als Bilder
der E ij unter B f C . Sei B f C (E ij ) : V → W . Diese Abbildungen sind definiert durch:
{
w i k = j
Bf C (E ij )(v k ) =
0 k ≠ j
259

Satz (Dimensionsformel für Homomorphismenräume). Seien V ein K−Vektorraum der
Dimension n < ∞, und sei W ein K−Vektorraum der Dimension m < ∞. Dann ist dim(Hom K (V, W )) =
mn.
260

Satz (Ränge von Abbildungen und Matrizen). Seien V und W endlich erzeugte K−Vektorräume,
und sei f : V → W linear. Sei B M C (f) die Matrixdarstellung von f bezüglich einer Basis B
von V und einer Basis C von W . Dann gilt Rg(f) = Rg( B M C (f)).
261

Satz. Seien V ein n−dimensionaler und W ein m−dimensionaler Vektorraum, und sei f :
V → W linear. Sei A ∈ M mn (K) eine Matrixdarstellung von f bezüglich Basen von V und
von W . Genau dann ist f surjektiv, wenn Rg(A) = m ist.
262

Satz. Seien V und W endlich erzeugte Vektorräume der Dimension n. Sei f : V → W linear,
und sei A eine Matrixdarstellung von f bezüglich Basen von V und W . Genau dann ist f ein
Isomorphismus, wenn A invertierbar ist.
263

Satz (Matrizenmultiplikation und Komposition linearer Abbildungen). Seien V, W und
X endlich erzeugte Vektorräume, und seien f : V → W und g : W → X lineare Abbildungen.
Sei B eine Basis von V , C eine Basis von W , und sei D eine Basis von X. Dann
gilt
BM D (g ◦ f) = C M D (g) B M C (f).
264

Satz (Matrixdarstellungen bei Basiswechsel). Seien B und B ′ Basen von V und C und C ′ Basen
von W . Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Seien A = B M C (f) und A ′ = B ′M C ′(f)
die entsprechenden Matrixdarstellungen von f. Dann gibt es eine invertierbare Matrix T und
eine invertierbare Matrix S, so daß T AS = A ′ ist.
265

Definition. Zwei Matrizen M, M ′ ∈ M nn (K) heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare
Matrix S in M nn (K) gibt, so daß M ′ = S −1 MS ist.
266

Satz (Ähnlichkeit von Matrixdarstellungen von Endomorphismen). Seien B und B ′ Basen
von V , und sei dim(V ) = n. Sei f : V → V ein Endomorphismus. Seien A = B M B (f) und
A ′ = B ′M B ′(f) die entsprechenden Matrixdarstellungen von f. Dann sind A und A ′ ähnlich.
267

Definition. Sei V ein K−Vektorraum. Hom K (V, K) wird der Dualraum zu V genannt, und
mit V ∗ bezeichnet (und ’V Stern’ ausgesprochen). Die Elemente von V ∗ werden Linearformen
genannt.
268

Definition (Duale Basis). Sei dim(V ) = n, dann ist mit der Dimensionsformel für Homomorphismenräume
dim(V ∗ ) = n. Für Basen B von V und C von K ist
BM C : V ∗ → M 1n mit f → B M C (f), ∀f ∈ V ∗
ein Isomorphismus, und der zu B M C inverse Isomorphismus B f C ist
Bf C : M 1n → V ∗ mit A → B f C (A), ∀A ∈ M 1n (K).
Sei die Standardbasis C von K das Element 1. Sei v 1 , . . . , v n eine Basis B von V . Sei E 11 , . . . , E 1n
die Standardbasis von M 1n (K). Dann ist B f C (E 11 ), . . . , B f C (E 1n ) eine Basis von V ∗ , und für
alle 1 ≤ i ≤ n ist
{
1 i = j
Bf C (E 1i ) : V → K mit B f C (E 1i )(v j ) =
0 i ≠ j.
269

Definition. Die Basis B f C (E 11 ), . . . , B f C (E 1n ) wird die zu v 1 , . . . , v n duale Basis genannt und
mit v ∗ 1, . . . , v ∗ n bezeichnet. Für die zu v 1 , . . . , v n duale Basis v ∗ 1, . . . , v ∗ n gilt also v ∗ i (v j ) = 1
für i = j und v ∗ i (v j ) = 0 für i ≠ j. Dafür gibt es eine Standardabkürzung, das sogenannte
Kronecker-Symbol δ ij .
270

Definition. Sei I eine Menge, und seien i, j ∈ I. Das Kronecker-Symbol δ ij ist definiert durch
{
1 für i = j
δ ij =
0 für i ≠ j
271

Satz. Sei w ∗ 1, . . . , w ∗ n eine Basis von V ∗ . Dann gibt es eine Basis w 1 , . . . , w n von V , so daß
w ∗ 1, . . . , w ∗ n die zu w 1 , . . . , w n duale Basis ist.
272

Definition (Duale Abbildung). Seien V und W zwei Vektorräume über K, und sei f : V →
W eine lineare Abbildung. Wir definieren eine Abbildung
f ∗ = W ∗ → V ∗ durch f ∗ (w ∗ ) = w ∗ ◦ f für alle w ∗ ∈ W ∗ .
f ∗ wird die zu f duale Abbildung genannt.
273

Satz (Duale Abbildungen und Transponierte). Seien V und W Vektorräume über K, und
sei f : V → W linear. Sei v 1 , . . . , v n eine Basis B von V , und sei w 1 , . . . , w n eine Basis
C von W . Seien v ∗ 1, . . . , v ∗ n und w ∗ 1, . . . , w ∗ n die zu B und C dualen Basen B ∗ und C ∗ von V ∗
und W ∗ . Wenn A = B M C (f) die Matrixdarstellung von f bezüglich B und C ist, dann ist
A T = C ∗M B ∗(f ∗ ) die Matrixdarstellung zu f ∗ bezüglich der dualen Basen C ∗ und B ∗ .
274

Satz. Seien V und W endlich erzeugte K−Vektorräume. Dann ist
D : Hom K (V, W ) → Hom K (W ∗ , V ∗ ),
mit
ein Isomorphismus.
D(f) = f ∗ , ∀f ∈ Hom K (V, W )
275

Definition. (a 1 , . . . , a n ) ′ heißt Koordinatenvektor von v = ∑ n
i=1 a iv i bezüglich der Basis B.
Der Skalar a i heißt die i−te Koordinate von v bezüglich dieser Basis, und man nennt den
Isomorphismus f B : V → K n das zur Basis B gehörige Koordinatensystem.
276