Kapitel 5. Kontinuierliche LTI-Systeme Beispiel 5–4: Bodediagramm ...

Kapitel 5. Kontinuierliche LTI-Systeme
Beispiel 5–4: Bodediagramm
Konstruieren Sie das Bodediagramm der folgenden Übertragungsfunktion.
H(s) =
(s + 5)
s(s + 2)
Lösung: Diese Übertragungsfunktion besteht aus zwei Lineartermen in Zähler und Nenner, sowie
einem Integrator. Im ersten Schritt wird die Übertragungsfunktion wieder normiert:
(s + 5)
H(s) =
s(s + 2)
5( s 5
=
+ 1)
s · 2( s 2 + 1)
= 5 2 · 1 s
s · 5 + 1
s
2 + 1
Die interessierenden Knickfrequenzen liegen also bei 2 rad/s und 5 rad/s. Für die erste Betrachtung
wird der Integrator weggelassen und das Bodediagramm von
H 1 (s) = 5 2
s
5 + 1
s
2 + 1
gezeichnet. Mit 20 log 10 V = 20 log 10
( 5
2)
≅ 7, 96 hat das Bodediagramm für H1 (s) folgende
Gestalt:
8
Bode Diagram
7
6
Phase (deg) Magnitude (dB)
5
4
3
2
1
0
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3
Frequency (rad/sec)
76

Kapitel 5. Kontinuierliche LTI-Systeme
Nun betrachten wir den Integrator separat, d.h die Übertragungsfunktion
H 2 (s) = 1 s .
Bestimmt man Betrags- und Phasengang analytisch,
H(s = jω) = 1
jω
∣
∣H(jω) ∣ =
1
∣jω
∣ = |1|
|jω| = 1 ω
oder in dB
( ) 1
20 log 10 = 20 log
ω
10 (1) − 20 log 10 (ω) = −20 log(ω),
so ist das Verhalten dieses Termes relativ einfach ersichtlich: ein Integrator erzeugt im Betragsgang
einen konstanten Abfall von 20 dB/Dekade und tritt bei 1 rad/s durch die 0 dB-Linie. Für
den Phasengang gilt
arg ( H(jω) ) ( ) ( ( )
1
1 0
= arg = arctan − arctan = arctan(1) = −
jω
1)
π ω 2 ˆ= − 90◦ .
Der Integrator bewirkt also eine Phasendrehung um den konstanten Wert −90 ◦ . Das sieht im
Bodediagramm folgendermaßen aus:
40
Bode Diagram
20
Phase (deg) Magnitude (dB)
0
−20
−40
−60
−89
−89.5
−90
−90.5
−91
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3
Frequency (rad/sec)
77

Kapitel 5. Kontinuierliche LTI-Systeme
Durch Superposition (Addition) ergibt sich das Bodediagramm der gesamten Übertragungsfunktion
H(s) = H 1 (s)H 2 (s):
60
Bode Diagram
40
Phase (deg) Magnitude (dB)
20
0
−20
−40
−60
−90
−95
−100
−105
−110
−115
−120
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3
Frequency (rad/sec)
78