schriftliche Arbeit (pdf, 1.8MB) - FSG Fellbach

Projekt mobilitas: Physiksimulationen am PC
Wie lässt sich das Verhalten von einfachen Körpern nach
Prinzipien der klassischen Mechanik vorausberechnen?
von Patrick Pietzonka (17 Jahre)

Physiksimulationen am PC
Patrick Pietzonka
Inhalt
1. Einleitung 2
2. Vorgehensweise 3
2.1. Hilfsmittel 3
2.1.1. Entwicklungsumgebung Borland C++ Builder 3
2.1.2. Graphikbibliothek OpenGL 3
2.1.3. Mathematikprogramm Maple 10 3
2.2. Arbeitsmethoden 4
3. Ergebnisse 5
3.1. Die Benutzeroberfläche 5
3.1.1. Bauteile 7
3.1.2. Auswertungsmöglichkeiten der Simulation 8
3.2. Simulationsmethoden 9
3.2.1. Bewegung der Massenpunkte 9
3.2.2. Kollisionen von Kugeln 10
3.2.3. Simulation von durch Stangen verbundenen
Massenpunkten. 11
a) Kollisions-Methode 12
b) Penalty method 12
c) Vergleich der beiden Methoden 14
3.3. Bisherige Anwendungsmöglichkeiten 15
4. Ausblicke 15
4.1. Interaktive Steuerung durch den Anwender
auch nach dem Start der Simulation 15
4.2. Astrophysik mit mobilitas 16
4.3. Einsatz des SmartBoard 16
5. Danksagungen 16
6. Quellen und Literaturverzeichnis 17
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Physiksimulationen am PC
Patrick Pietzonka
1. Einleitung
Aus nahezu allen naturwissenschaftlichen Disziplinen und der Technik sind
leistungsstarke, rechnergestützte Simulationen heute kaum mehr wegzudenken.
Nur Computer können den enormen Rechenaufwand vollbringen,
der nötig ist um mithilfe der Gesetze der Natur die Zukunft „vorherzusagen“.
Sie berechnen beispielsweise die Anfänge des Universums, Wirtschaftssysteme,
Völkerwanderungen und auch in unseren Alltag haben sie
in Form von Wettervorhersagen Einzug erhalten. In der Physik sind Computersimulationen
neben Experimenten und theoretischen Überlegungen
zu einer der wichtigsten Arbeitsmethoden geworden. Im Physikunterricht
an Schulen werden die Vorzüge von Simulationen dagegen nicht genutzt,
obwohl es sich die Fachschaft Physik meiner Schule zum Ziel erklärt hat,
den Schülern „physikalisches Arbeiten“ beizubringen. 1
Meiner Ansicht nach scheitert der Einsatz von Computern im Physikunterricht
an einem Mangel an passender Software: Professionelle Programme
benötigen zur Bedienung physikalische Kenntnisse die jene von Schülern
übersteigen und oftmals sind weitgehende Programmierkenntnisse erforderlich.
Einfachere Software, z.B. das auf den Rechnern meiner Schule
installierte Crocodile Clips 2 , sind im Bereich Mechanik nicht universell einsetzbar.
Crocodile Clips bietet hier nur vorgefertigte Bauteile wie
Zahnräder und Motoren an, einfachste Experimente wie beispielweise die
Betrachtung von Wurfbahnen sind jedoch unmöglich.
Aus meiner Interesse an Physik und Informatik und mit dem Ziel zur Anwendung
im Physikunterricht (siehe auch 4.4.) begann ich daher Mitte des
Jahres 2007 mit den Vorarbeiten für eine eigene Software mit dem Ziel,
die Gesetze der klassischen (newtonschen) Mechanik, die in Klasse 10
(G8) unterrichtet werden, zu simulieren.
Als Name für das Programm wählte ich beim Durchblättern eines Lateinwörterbuches
das lateinische Wort mobilitas, zu Deutsch Beweglichkeit,
also diejenige Eigenschaft, die die Software von langweiligen Skizzen an
der Schultafel im Physikraum unterscheidet.
1 http://www.fsg-fellbach.info > Fächer > Physik > Curriculum
2 Crocodile Clips Version 3.5c der Firma Crocodile Clips Ltd
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2. Vorgehensweise
2.1. Hilfsmittel
2.1.1. Entwicklungsumgebung Borland C++ Builder
Programmiert wird mobilitas in der Programmiersprache
C++. Dazu benutze ich die Entwicklungsumgebung C++
Builder der Firma Borland. Sie ermöglicht
das Erstellen von den aus Windows
bekannten Fenstern und
Steuerelementen sowie die Eingabe
von Quelltext und dessen Übersetzung
in Maschinensprache (Kompilierung).
Abb. 1: Logo und Screenshot des C++ Builders
2.1.2. Graphikbibliothek OpenGL
OpenGL (Open Graphics Library) stellt vorgefertigte
Funktionen zum „Einbau“ in das von mir programmierte
Programm bereit. Sie erleichtern die Graphikausgabe,
insbesondere im bezug auf 3D-Darstellungen.
Da mobilitas aber zum Zwecke einfacherer Bedienung nur auf
Abb. 2: Logo von OpenGL
zweidimensionaler Basis arbeitet, mache ich von dieser Möglichkeit eher
wenig Gebrauch (z.B. zur realistischen 3D-Darstellung von Kugeln).
2.1.3. Mathematikprogramm Maple 10
Für die mathematischen Vorarbeiten benutze ich das
Computeralgebrasystem (CAS) Maple 10. Es ermöglicht
algebraische Umformungen auch an langen, komplizierten
Formeln. Außerdem nutze ich häufig die
Möglichkeit, die Ergebnisse in C++ zu konvertieren.
2
mv
z.B.: F1 = double F[0]= m * pow(v, 2) / r
r
Abb. 3: Fenster beim Start
von Maple
Dies ist vor allem bei langen Formeln mit vielen Bruchstrichen, Klammern,
Potenzen usw. sehr hilfreich.
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2.2. Arbeitsmethoden
Die Arbeit an mobilitas lässt sich grob in zwei Teile untergliedern: Zum
einen das Erstellen einer Benutzeroberfläche und zum anderen die Entwicklung
von Algorithmen zur Simulation der physikalischen Vorgänge.
Beim Erstellen der Benutzeroberfläche, über die der Anwender mit der
Anwendung interagiert, versuche ich Wert auf ein logisches Gesamtkonzept
zu legen, welches sich im Design der Fenster, den Menüs und den
Eingabeschritten hin zum virtuellen Versuchsaufbau widerspiegeln sollte.
Stets ist dabei ein Kompromiss zwischen einer möglichst großen Zahl an
Bearbeitungsmöglichkeiten und einem Maximum an Benutzerfreundlichkeit
zu finden. Im Idealfall sind die verschiedenen Funktionen selbsterklärend
oder bereits von anderen Anwendungen her bekannt. Letzteres trifft dabei
besonders bei den Funktionen zum Bearbeiten der Objekte (z.B. Markieren,
Rückgängig, Kopieren, Einfügen, Löschen) oder zur Bedienung der
Dateien (z.B. Speichern (unter), Öffnen) zu. Am Zeitaufwendigsten ist bei
diesem ersten Teil die Programmierung von Abläufen im Hintergrund, die
im Normalfall dem Anwender nur dann auffallen, wenn sie einmal nicht
funktionieren sollten (z.B. andere Objekte nicht mehr markieren, sobald
der Anwender ein neues Objekt markiert, alte Position nicht mehr anzeigen,
nachdem ein Objekt verschoben wurde, Lücken im Arbeitsspeicher
nach dem Löschen eines Objekts schließen usw.). Die Ergebnisse dieser
Arbeit werde ich in Punkt 3.1. erläutern.
Die Umsetzung der physikalischen Sachverhalte in der Anwendung forderte
deutlich mehr z.T. sehr aufwendige Vorarbeiten. Die Vorkenntnisse
zu den einzelnen Themen aus der Schule erwiesen sich als weitgehend
unzureichend – mir fiel auf, dass die dort erarbeiteten mathematischen
Beziehungen meist nur für Spezialfälle gelten. Bezeichnend dafür ist die
Art und Weise, wie der elastische Stoß im [Dorn-Bader 11] behandelt
wird. Hier lautet die Fragestellung: Wie bewegen sich zwei Kugeln der Geschwindigkeiten
v 1 und v 2 =0 und gegebener Masse nach einem geraden 3
Stoß weiter? Für eine Simulation, bei der die Kugeln frei wählbare Startparameter
zugewiesen bekommen, ist die Antwort auf diese Frage nicht
ausreichend. Hier lautet die Fragestellung: Werden zwei Kugeln mit den
gegebenen Parametern Anfangsposition, einwirkende Kraft, Masse, Startgeschwindigkeit
und Radius kollidieren? Wenn ja, zu welchem Zeitpunkt?
Wie bewegen sie sich nach dem elastischen Stoß weiter? 4 Durch diese
neue Fragestellung erhöht sich die Zahl der zu berücksichtigenden Parametern
von drei auf sechzehn 5 ; die Lösungsformeln werden somit viel
länger und unüberschaubarer als im Physikunterricht.
Die erarbeiteten Lösungsformeln oder Näherungsmethoden füge ich zu
Algorithmen zusammen, die die Grundlage der Simulation bilden.
3 Der schiefe Stoß wird im Schulbuch nur kurz unter der Rubrik „Interessantes“ behandelt
4 Antwort siehe 3.2.2.a)
5 Kraft, Geschwindigkeit und Position sind Vektoren mit zwei Komponenten in der Ebene
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Programmierung der Physikalischen
Vorgänge
Theoretische
physikalische/mathematische Vorarbeiten
Vorarbeiten zur Benutzeroberfläche
Programmierung der Benutzeroberfläche
Abb. 4: Zeitaufwand für die verschiedenen Arbeitsschritte (Schätzung)
3. Ergebnisse
3.1. Die Benutzeroberfläche
6
5
2
1
4
Abb. 5: Screenshot mobilitas
7
3
- 5 -

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1 Zeichenoberfläche
Auf der Zeichenoberfläche erstellt der Anwender den virtuellen Versuchsaufbau.
Alle Objekte werden durch Mausklicks an bis zu drei verschiedenen
Stellen festgelegt. Über die Bezugspunkte (meist Mitteloder
Endpunkte) werden weitere Objekte an ein beliebiges Bauteil
„angebaut“.
2 Bauteile-Explorer
Der Bauteile-Explorer, der der in Windows üblichen Ordnerstruktur
(Tree View) nachempfunden ist, stellt die verschiedenen Bauteile zur
Verfügung. Nach dem Auswählen eines Bauteils kann dieses direkt auf
der Zeichenoberfläche gezeichnet oder durch Eingabe der Objekteigenschaften
erstellt werden.
3 Werkzeuge
Mit den sechs verschiedenen Werkzeugen können Objekte nachträglich
bearbeitet werden oder die Ansicht verändert werden.
Objekte markieren, dabei sind auch Mehrfachauswahlen möglich.
Objekte durch Verschieben der Bezugspunkte bewegen.
Bauteile durch einfaches Klicken löschen.
Den gesamten Versuchsaufbau bewegen.
Zoom vergrößern Zoom verkleinern
4 Objekteigenschaften
In diesem Bereich lassen sich die Eigenschaften der markierten Objekte
ändern. So lässt sich z.B. eine Geschwindigkeit viel genauer einstellen
als durch bloßes Zeichnen des Vektors.
5 Hauptmenü
Die Menüs Datei und Bearbeiten bieten gleiche Funktionen wie in jeder
gewöhnlichen Windows-Anwendung. Messung bietet Möglichkeiten zur
Aufzeichnung von Diagrammen und Wertetabellen; die Menüs
Simulation und Ansicht beinhalten gleiche bzw. ähnliche Funktionen
wie die Simulations-Toolbox und die Werkzeuge.
Unter Einstellungen lassen sich unter anderem die Fallbeschleunigung
einstellen.
6 Simulations-Toolbox
Die Simulations-Toolbox ist den allgemeinverständlichen Bedienelementen
zur Medien-Wiedergabe nachempfunden. Mit ihr kann die Simulation
gestartet, angehalten oder gestoppt werden.
Über das -Symbol gelangt man zu den Simulations-Einstellungen,
dort lässt sich z.B. die Abspielgeschwindigkeit ändern
7 Statusleiste
Anzeige der Cursorposition, des Zoomfaktors, Hinweise zur Bedienung
und während der Simulation Zeit t und Dauer eines Zeitschrittes ∆t.
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Alle Bauteile
- Name(String)
- Name anzeigen(bool)
- Sichtbar bei der Simulation (bool)
- programminterne Nummer (int)
- Funktion Zeichnen
- Funktion Löschen
Punkt
- x-Position (double)
- y-Position (double)
(x-Achse nach rechts, y-
Achse nach unten
gerichtet)
- fest im Raum, d.h.
unbeweglich (bool)
Kugel
- Radius (double)
- Masse (double)
- Einheit der Masse
(g/kg/t) (String)
- Name/Nummer des
Mittelpunktes (String
/int)
Vektor
- Bezugspunktnummer/-
name (String /int)
- Betrag
- Richtung (Winkel)
- Betrag, der in der
Pfeildarstellung einer
Längeneinheit entspricht.
Stange
- Anfangspunktnummer/-
name (String/int)
- Endpunktnummer/-name
(String/int)
- Masse (double)
- Einheit der Masse
(g/kg/t) (String)
Kraft
- Einheit (cN/N/kN)
(String)
Geschwindigkeit
- Einheit
(cm s -1 / km h -1 / m s -1 )
(String)
Abb. 6: Objektstruktur von mobilitas (Auszug)
Datentypen: double Gleitkommazahl 64-Bit
int Ganzzahl
String Text
bool Boolesche Variable (wahr / falsch)
3.1.1. Bauteile
Die Bauteile haben verschiedenerlei Aufgaben und Funktionen im Programmablauf.
Punkte dienen, wie bereits erwähnt, als Bezugspunkte bzw.
Anknüpfpunkte aller anderen Objekte. „Feste Punkte“ haben eine feste
Position im Raum, sie eignen sich daher als Aufhängepunkte, Dreh- oder
Angelpunkte. „Lose Punkte“ dagegen werden als frei bewegliche Gelenke
aufgefasst.
Durch das Zeichnen eines Geschwindigkeitsvektors wird einem losen
Punkt eine Anfangsgeschwindigkeit verliehen. Solche Vektoren können
Betrag und Richtung während der Simulation ändern. Kraftvektoren dagegen
wirken während der Simulation stets gleichartig auf den ihnen zugewiesenen
Angriffspunkt.
Als idealer Körper sind auch Kugeln im Grundsortiment von Bauteilen vorhanden,
sie erhalten beim Zeichnen automatisch eine Masse, die proportional
zum Radius ist 6 (diese automatisch zugewiesene Masse kann selbstverständlich
nachträglich unabhängig vom Radius geändert werden).
Stangen sind die in dem Programm am vielseitigsten einsetzbaren Körper.
Aus ihnen können alle erdenklichen weiteren Körper aufgebaut werden:
Seile werden bei der Simulation durch eine „Kette“ sehr vieler kurzer
Stangen ersetzt, starre Körper setzen sich aus vielen zu Dreiecken angeordneten
Stangen zusammen. In den nächsten Monaten wird das Erstellen
einer größeren Auswahl an solchen zusammengesetzten Bauteilen wichtiger
Bestandteil der Arbeit an mobilitas sein.
6 Proportionalität zur dritten Potenz des Radius wäre zwar physikalisch korrekter, eine
Kugel der Masse von beispielsweise genau 2 kg lässt sich jedoch auf die von mir
gewählte Art und Weise viel leichter erstellen.
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Physiksimulationen am PC
Patrick Pietzonka
Die Bauteile Stange und Kugel haben die Eigenschaft Material. Sie hat bisher
noch keine Auswirkungen auf die Simulation, mein Ziel ist es jedoch,
eine Datenbank mit materialspezifischen Größen (Elastizität des Stoßes,
Federhärte, Bruchfestigkeit usw.) zu erstellen und die darin gespeicherten
Werte bei der Simulation zu berücksichtigen
3.1.2. Auswertungsmöglichkeiten der Simulation
a) Dynamik
Bis zu drei Ortskurven von Punkten kann man während dem Ablauf der
Simulation aufzeichnen und so die Bahn von Punkten auswerten. Optional
können diese Kurven als Reihe von Punkten dargestellt werden,
deren Dichte ein Maß für die Geschwindigkeit des beobachteten Punktes
auf einem Kurvenabschnitt ist.
Abb. 7: Aufzeichnung dreier Zykloiden (bewegtes, rotierendes Dreieck)
b) Statik
Abb. 8
Bei Statikexperimenten eignet sich
besonders die Auswertung der
inneren Kräfte in Stangen – entweder
durch farbige Markierung belasteter
Stangen (um sich einen Überblick zu
verschaffen) oder durch Ablesen
einer Anzeige neben der jeweiligen
Stange (optional einzustellen)
In der Abbildung wurden Zugkräfte
blau und Druckkräfte rot markiert.
Der abgebildete Kran bedarf evtl.
eines größeren Gegengewichtes oder
einer geringeren Belastung.
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3.2. Simulationsmethoden
Bei der Simulation ist es stets nötig, die Realität in Modellen so zu vereinfachen,
dass der Computer physikalische Vorgänge berechnen kann. Zu
diesen Vereinfachungen gehören immer Idealbedingungen (z.B. kein Luftwiderstand).
Ungenauigkeiten entstehen auch dadurch, dass mir die
Schulmathematik nur eine sehr beschränkte Auswahl an mathematischen
Verfahren bietet. 7 Außerdem gibt es nur selten exakte algebraische Lösungen
für die auftretenden Probleme; die Genauigkeit der numerischen Lösungen
hängt stark von der Rechenleistung und der Auslastung des benutzten
Computers ab.
3.2.1. Bewegung der Massenpunkte
Bei der Simulation werden die für das Erstellen des Versuchsaufbaus nötigen
Bezugspunkte zu Massenpunkten. Nach meiner Modellvorstellung ist
in ihnen die Masse aller Objekte konzentriert, sie haben jedoch keine
räumliche Ausdehnung.
Jedem Massenpunkt wird zu Beginn der Simulation die entsprechende
Position r zugewiesen 8 , allen losen Massenpunkten wird die Summe der
Massen der an ihnen „befestigten“ Objekte (bei Stangen wird nur die
Hälfte der Masse berücksichtigt) als Masse zugeordnet, die Masse der
festen Punkte dagegen geht gegen unendlich, d.h. sie sind unendlich
träge. Außerdem wird den losen Punkten die Anfangsgeschwindigkeit v r
r r
zugewiesen, als Kraft erfahren sie die Gravitation F = mg
(Betrag der nach
unten gerichteten Fallbeschleunigung g r kann vom Benutzer gewählt werden;
Standard: 9,81 m s -2 ). Dazu werden evtl. an den Punkt gezeichnete
Kraftvektoren addiert.
Während der Simulation wird die Zeit in möglichst kleine 9 Zeitschritte ∆t
unterteilt. Nach jedem Zeitschritt wird eine komplexe Routine durchlaufen,
die zur Aktualisierung von r und v r dient. Im einfachsten Falle geschieht
dies durch diesen Ablauf:
r r
valt
= v
r
Für alle losen r r F
vneu
= v + ∆t
(1)
Massenpunkte
m
r r
r r valt
+ vneu
neu
=
+ ∆t
(2)
2
24 Mal pro Sekunde werden die neu errechneten Positionen auch auf dem
Bildschirm aktualisiert.
7 Das Lösen von Differenzialgleichungen, auf die ich bei meinen Recherchen oft stoße,
wird in der Schule nicht behandelt.
8 Bei Vektoren werden stets vertikale und horizontale Komponente gespeichert
9 Die „Winzigkeit“ dieser Zeitschritte ist ausschlaggebend für die Qualität der Simulation.
Mit mobilitas werden i.d.R. Zeitschritte um 17ms erreicht. Kleinere Zeitschritte werden
durch Abspielen in Zeitlupe erreicht.
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3.2.2. Kollisionen von Kugeln 10
Um das Verhalten zweier Kugeln bei einer
Kollision zu beschreiben, ist es hilfreich,
zunächst folgenden Spezialfall zu betrachten:
Der gerade elastische Stoß einer
Kugel der Masse m 1 mit der Geschwindigkeit
v 1 auf eine ruhende Kugel der Masse m 2 .
Nach der Kollision bewegen sich die Kugeln
mit den Geschwindigkeiten u 1 und u 2 weiter.
Dabei gilt der Energieerhaltungssatz (EES)
im Bezug auf die kinetischen Energien der
beiden Kugeln und der Impulserhaltungssatz
(IES):
1 2 1 2 1 2
EES: m
1v1
+ 0 = m1u
1
+ m2u2
2 2 2
IES: m
1v1
+ 0 = m1u
1
+ m2u2
1
Setzen von m2 = k ⋅ m1
und Teilen durch m
1 bzw. m
1
:
2
2
1
1
2
1
1
2
2
v = u + k ⋅ u Subtrahieren der u 1
-Terme und
2 2
v = u + k ⋅ u Setzen von v − u = v − u )( v + )
2
1 1 ( 1 1 1 u1
v v =
1
2
0
m1
m2
u1
u2
Abb. 9: Der elastische Stoß
( v
= k ⋅u
1
− u1)(
v1
+ u1)
v1 − u1
= k ⋅u2
2
2
Teilen jeder Seite der ersten Gleichung
durch die der zweiten:
v + u
1
1
1
v − u
1
= u
2
= k ⋅u
1− k
u1 = v1
und 1 + k
2
u
2
Lösen des LGS liefert:
2v
= 1
1 + k
Wenn sich bei diesem geraden Stoß auch noch die rechte Kugel anfangs
mit beliebigem Geschwindigkeitsbetrag v 2 bewegt, kann das Verhalten der
Kugeln in einem Bezugssystem betrachtet werden, welches sich ebenfalls
mit der Geschwindigkeit v 2 bewegt. In ihm gilt dann:
v 1 ' = v 1 − v 2 und v ' 0 2 =
1−
k
u ' = u − v = v1 '
2v1
'
1 1 2 und u2' = u2
− v2
=
1+
k
1+
k
Rückschluss auf ruhendes Bezugssystem:
1−
k
2( v1
− v2)
u 1 = ( v1
− v2)
+ v2
und u
2
= + v2
1+
k
1+
k
In den meisten Fällen liegt jedoch kein gerader, sondern ein schiefer Stoß
vor. Dabei kann man nicht mehr die Gesamtbeträge der Geschwindigkeit
10 Kollisionen, an denen Stangen beteiligt sind wurden kurz vor Einsendeschluss dieses
Berichtes realisiert; die zugehörige Physik ist komplex und würde diesen Rahmen
sprengen. Auf Anfrage gebe ich gerne auch darüber Auskunft.
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und v r
2
nach obigen Formeln verändern, sondern muss die Geschwindigkeiten v r
1
jeweils in zueinander orthogonale Komponenten zerlegen. Maßgebend
für diese Zerlegung ist der Vektor r 12
, der vom Mittelpunkt der einen
werden so zer-
Kugel zum Mittelpunkt der anderen Kugel zeigt. v r 1
und v r
2
legt, dass jeweils eine Komponente parallel, die andere orthogonal zu r 12
ist. Nur die Beträge der parallelen Komponenten werden für v 1
und v 2 in
den oben hergeleiteten Formeln eingesetzt. Die daraus resultierenden Beträge
werden den jeweiligen parallelen Komponenten neu zugewiesen. Die
orthogonalen Komponenten bleiben beim Stoß unverändert. Schließlich
berechnen sich die Geschwindigkeiten der jeweiligen Kugeln nach dem
Stoß aus dem durch Vektoraddition der unveränderten orthogonalen und
der neuen parallelen Komponente.
Um diesen Algorithmus während dem Ablauf der Simulation anwenden zu
können, muss vorerst noch der Zeitpunkt einer Kollision berechnet werden.
Für alle möglichen Kombinationen zweier Kugeln wird daher der zeitliche
Verlauf des Abstandes d r der beiden Mittelpunkte an den Positionen
r 1
und r 2
betrachtet:
r r r
d ( t)
=
1
( t)
−
2
( t)
r 1 r 2 r r 1 r 2 r r
d ( t)
= ( a1t
+ v1t
+
1)
− ( a2t
+ v
2t
+
2)
2
2
Bedingung
r
für Kollision:
| d ( t) | = dmin
, wobei d
min
die Summe der Radien der beiden Kugeln ist. Werden
obige Gleichungen in Komponenten formuliert so ergibt sich für die
Abstandsfunktion d r 2 ( t)
eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Die
Zeitpunkte, für die die Bedingung erfüllt wird, lassen sich mithilfe des
Newton-Verfahrens numerisch berechnen.
Relevant für die Simulation ist nur jeweils der kleinste Zeitpunkt t 1 der Lösungsmenge,
der sich innerhalb des soeben betrachteten Zeitschrittes
befindet. Wenn das Programm einen solchen Zeitpunkt ermittelt, wird der
aktuelle Zeitschritt so in zwei Teile untergliedert, dass der zweite Teil zu t 1
beginnt und dadurch die Kollision zur richtigen Zeit berechnet werden
kann.
3.2.3. Simulation von durch Stangen verbundenen Massenpunkten.
Eine der Hauptanwendungsmöglichkeiten von mobilitas ist die Simulation
von sowohl statischen als auch dynamischen Systemen aus durch Gelenke
verbundenen Stangen. Dafür erarbeitete ich zwei unterschiedliche Modelle,
die das Verhalten solcher Systeme beschreiben. Gemeinsamkeit
beider Modelle ist die Vereinfachung, das gesamte System auf eine endliche
Zahl von Massenpunkten zu reduzieren, die durch masselose, unendlich
steife Stangen verbunden sind (engl. „constrained particles“).
Die tatsächliche Masse einer Stange wird je zur Hälfte zur Punktmasse von
Anfangs- und Endpunkt addiert.
- 11 -

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a) „Kollisions-Methode“
Eine meiner Ideen zu Simulation solcher verbundenen Massenpunkte, im
folgenden Kollisions-Methode genannt, bedient sich in der Umsetzung
weitgehend der selben Algorithmen wie die Kollision von Kugeln. Einzelne
Stangen werden ähnlich wie Paare von Kugeln untersucht. Lediglich die
Bedingung, deren Erfüllung zur Berechnung der Geschwindigkeitsänderungen
von Massenpunkten führt, ändert sich: Statt nur eines
minimalen Abstandes zweier Punkte d min , berechnet aus der Summe der
Radien der mit ihnen assoziierten Kugeln, gibt es nun zwei solche kritischen
Werte d min
und d max , wobei d min = (Länge der Stange)− ∆s
und
d max = (Länge der Stange)+ ∆s . Erreicht der Abstand der Endpunkte der Stange, die
sich ansonsten wie jeder andere Massenpunkt unbeeinflusst nach dem
Algorithmus von 3.2.1. bewegen würden, einen der Werte d min
und d
max
,
so wird ein „Stoß“ dieser beiden Punkte berechnet. Dieser zwingt sie nach
einer erheblichen Vergrößerung ihres Abstandes wieder zur Konvergenz
und nach einer erheblichen Verkleinerung desselben zur Divergenz. Auf
diese Art und Weise bleibt die Länge einer Stange stets mit einer Toleranz
von ± ∆s
konstant, d.h. das wichtigste Postulat eines Systems aus durch
unendlich steifen Stangen wird (näherungsweise) erfüllt. Aus dem Wert
für die Toleranz wird ersichtlich, dass für höchstmögliche Genauigkeit der
Simulation möglichst kleines ∆ s gewählt werden muss. Dies zieht jedoch
einen höheren Bedarf an Rechenkapazität mit sich, da es bei kleinem ∆s
häufiger zu Stößen kommt.
Nebenbei kann bei der Kollisions-Methode die innere Kraft in Stangen berechnet
werden: Addiert man während ∆ t alle bei den Stößen auftretenden
Impulsübertragungen und dividiert diese Summe durch ∆ t , so erhält
man nach dem Prinzip des Kraftstoßes (eine Näherung 11 für) die innere
Kraft in der Stange.
b) „penalty-method“
Mit dem englischen Begriff „penalty-method“ bezeichnet man üblicherweise
ein mathematisches Verfahren zum Lösen von Differenzialgleichungen.
Eine anschauliche, gebräuchliche Methode zur Simulation
von durch Stangen verbundenen Massenpunkten wird gleich genannt, weil
es mit diesem Verfahren einige Ähnlichkeiten aufweist. Als eine der wenigen
mit der Schulmathematik verständlichen Quellen beschreibt
[Jakobsen] auf seiner Internetseite diese Simulationsmethode.
(Beim Recherchieren auf dieser Seite war stets zu beachten, dass dort die
Physik in Computerspielen beschrieben wird, bei der gewöhnlich
realistisches Aussehen über Genauigkeit geht.)
11 Bei nur wenigen Stößen während ∆ t ist die berechnete Kraft starken Schwankungen
unterworfen, daher ist der Mittelwert über einen längeren Zeitraum hinweg zu bilden.
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Physiksimulationen am PC
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d
∆s 1
∆s 2
m 1
l
m 2
Abb. 10
Abstand zu groß –
Zugbelastung
Bei der penalty-method bewegen sich die einzelnen Massenpunkte während
eines Zeitschrittes zunächst ohne Berücksichtigung der Stangen nach
dem Algorithmus von 3.2.1, d.h. auf Parabeln oder Geraden. Am Ende
jedes Zeitschrittes jedoch wird für jede Stange deren zugewiesene Länge
l (Soll-Wert) mit dem tatsächlichen Abstand d (Ist-Wert) ihrer Endpunkte
verglichen. Sollte es zwischen diesen Werten einen Unterschied geben, so
werden die Positionen beider Endpunkte so entlang der durch sie
verlaufenden Geraden verschoben, dass sie den gewünschten Abstand d
wieder erhalten (siehe Abb. 11). Dabei muss gelten:
Wegen actio F 1=reactio F 2:
F = F
1
1 1
1
1
2
m a = m a
m ∆s
= m ∆s
2
2
2
2
|Grundgl. d. Mechanik
1
| a∆t
2
2
= ∆s
d.h. a ~ ∆s
mit ∆t
= const.
- 13 -
Abstand zu klein –
Druckbelastung
F = m ⋅ a
An Knotenpunkten, d.h. Massenpunkten mit mehr als einer angrenzenden
Stange geschieht es meist, dass die für eine Stange ausgeführte Positionskorrektur
die zuvor abgeschlossene Positionskorrektur für eine andere
Stange zunichte macht. Der daraus entstehende Fehler kann durch
Wiederholung (Iteration) des Algorithmus zur Längenanpassung der Stangen
verkleinert werden. Nach jedem Iterationsschritt verkleinert sich dabei
der Gesamtfehler, d.h. die Summe aller Beträge | d − l | . Die Iteration
wird beendet, sobald der Gesamtfehler einen vernachlässigbar kleinen
Wert unterschreiten oder ein Fortsetzen der Iteration den Programmfluss
zum Stocken bringen würde. Anschließend muss den veränderten Massenpunkten
auch noch jeweils eine neue Geschwindigkeit v r
neu zugewiesen
werden.
r r
Sie berechnet sich zu r
neu −
alt
vneu
= , wobei r alt die Position des betrachteten
∆t
Massenpunktes zum Ende des vorigen Zeitschrittes und r neu die aktuelle
Position des selben Punktes darstellt.
Dieses Verfahren eignet sich nur bedingt zum Einbau in mein Programm,
da sich nach ihm keine stetigen Ortskurven der einzelnen Massenpunkte
ergeben, die Punkte werden nämlich am Ende eines Zeitschrittes an eine
andere Position „gebeamt“. Diese Tatsache führt zu Fehlern bei der Kollisionserkennung.
Um dies zu vermeiden strukturierte ich den Ablauf der

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penalty-method um: Statt am Ende eines Zeitschrittes die falsche Position
eines Punktes zu korrigieren, berechne ich zu Beginn jedes Iterationsschrittes
die künftigen Positionen der Endpunkte der betrachteten Stange.
Anstelle der Positionskorrektur werden nun die Geschwindigkeiten der
betreffenden Massenpunkte so verändert, dass sie am Ende des Zeitschrittes
den Abstand d erreichen. Weiterer Vorteil dieser Version der penalty-method
ist die einfachere Berechnung der inneren Kräfte in der
Stange: Die Geschwindigkeitsänderung einer der Endpunkte wird durch ∆t
geteilt und mit der Punktmasse multipliziert. Die errechnete Kraft wird zur
inneren Kraft der Stange addiert.
c) Vergleich beider vorgestellter Methoden
Kollisions-Methode
Vorteil:
Kein Verlust an mechanischer Energie oder
Impuls des Gesamtsystems, da alle Vorgänge
strikt nach den Formeln von 3.2.2,
d.h. auf Grundlage von Impuls- und Energieerhaltungssatz
berechnet werden.
Nachteile:
- Bei großen Geschwindigkeiten müssen
zu viele Stöße berechnet werden –
Überlastung des Rechners
- Komplexere Systeme (mehr als drei
verbundene Stangen) brechen fast immer
aus diversen Gründen (zu viele
Stöße, drastische Auswirkungen winziger
Ungenauigkeiten) zusammen.
Statikexperimente (meist) unmöglich
- Die durch Stangen verbundenen
Massenpunkte bewegen sich auf „Zickzack-Bahnen
(Schwankungen nicht
sichtbar, da kleiner als ein Pixel). Ihre
Geschwindigkeiten sind bei der Betrachtung
kleiner Zeitabschnitte starken
Schwankungen unterworfen. Die Auswertung
der Momentangeschwindigkeit
gestaltet sich dadurch schwierig – die
eingezeichneten Geschwindigkeitsvektoren
„zappeln“ während der Simulation
schnell hin und her.
Lösungsansatz:
Quadratische Regression der Ortskurven
und Ableitung zur gewünschten Zeit für
Momentangeschwindigkeit – immer
noch etwas ungenau
penalty-method
Vorteile:
Zuverlässige, schnelle Berechnung komplexer
Systeme (Statik oder Dynamik)
Genaue Auswertungsmöglichkeiten
Nachteile:
Energie- und Impulsverluste treten auf, dies
zeigt sich besonders am Beispiel der Kreisbewegung
eines Massenpunktes um einen
festen Punkt (Punkte durch eine Stange
verbunden; Schwerelosigkeit)
v r
r
v′
∆s
Abb. 11: Energieverlust
bei der penalty-method
| v r | > | v
r ′ |
Energieverlust
Dies ist teilweise realistisch, da Energieverlust
als Reibung interpretiert werden kann,
physikalisch aber nicht korrekt.
Lösungsansatz (noch nicht verwirklicht):
Zur Berechnung der zukünftigen Position
eines Massenpunktes bei der Iteration der
penalty-method keine Parabelbahn 12 des
Punktes sondern Rotation um den Schwerpunkt
der betrachteten Stange, der sich
tatsächlich auf einer Parabelbahn bewegt
annehmen 13 .
r
12 Form 1
r 2 r r
( t)
= at + vt +
2
0
r
13 Form ( )
1 r 2 r r
t = at + vt +
0 + r(cosωt,sinω
t )
2
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Physiksimulationen am PC
Patrick Pietzonka
Ich entschied mich nach Abwägung dieser Vor- und Nachteile für die
penalty-method als standardmäßige Simulationsmethode. Der Benutzer
kann bei Bedarf auch die Kollisions-Methode manuell einstellen. Denkbar
wäre auch eine automatische Entscheidungsfindung seitens des
Programms anhand verschiedener Kriterien (z.B. Anzahl der verbundenen
Stangen > 3? Dann Kollisions-Methode!)
3.3. Bisherige Anwendungsmöglichkeiten
• Betrachtung von Wurfbahnen
• Überprüfung mechanischer Gesetze unter Idealbedingungen (z.B.
Zentripetalkraft)
• Statik: Auswertung von Kräfteverteilungen, Überprüfung der Stabilität
• Experimente zu deterministischem Chaos (z.B. Dreikörperprobleme)
• Veranschaulichungen der Gasgesetze (Kugeln als Moleküle, Geschwindigkeit
als Temperatur etc.)
4. Ausblicke
4.1. Interaktive Steuerung durch den Anwender auch
nach dem Start der Simulation
Ein Vorteil von Echtzeitsimulationen ist die Möglichkeit, auch während des
Ablaufes als Benutzer in das Geschehen eingreifen zu können. Sie wird
bisher in mobilitas nicht genutzt, ich plane aber in künftigen Versionen
dem Anwender die Möglichkeit zu geben, selbst einfachste
Ereignisbehandlungsroutinen zu entwerfen, dies könnte in der Praxis wie
folgt aussehen: In einem Benutzerdialog bestimmt der Anwender im
Voraus, welche Eigenschaft eines beliebigen Bauteils beim Drücken einer
frei wählbaren Taste geändert werden soll. Diese Einstellung wird
selbstverständlich mit dem Versuchsaufbau gespeichert. Auch ein Eingriff
in das Geschehen der laufenden Simulation über die Maus dürfte leicht zu
realisieren sein. Mit diesen Erweiterungen werden sich einige neue
Möglichkeiten ergeben, denkbar wären z. B. Geschicklichkeitsspiele, die
die Attraktivität von mobilitas auch bei „Nicht-Physikern“ erhöhen würden.
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4.2 Astrophysik mit mobilitas
Um den einen weiteren Bereich der newtonschen Mechanik abzudecken,
plane ich in dem Programm einen „Astrophysik-Modus“ einzubauen. Bauteile
wären dann beispielsweise Planet, Sonne, Raumschiff oder Komet.
Anhand der dadurch neu möglich werdenden Versuche könnte z.B. die
Stabilität einer Anordnung von Himmelskörpern überprüft und Bahnen von
Raumschiffen nachvollzogen werden. Der Anwender kann hier Erfahrungen
in einem Bereich der Physik sammeln, der bei üblichen, praktischen Versuchen
verschlossen bleibt.
4.3. Einsatz des SmartBoard
Ein langfristiges Ziel der Programmierung von mobilitas ist der Einsatz einer
elektronischen Schultafel, die nun schon seit längerer Zeit unbenutzt
im Physikvorbereitungsraum unserer Schule steht. Gekoppelt mit einem
Beamer lassen sich an diesem sog. SmartBoard Aufschriebe oder Zeichnungen
direkt an der als Leinwand funktionierenden Tafel erstellen.
Für mobilitas stelle ich mir vor, Objekte statt mithilfe der Maus zu erstellen
direkt am SmartBoard zu zeichnen. Das Programm erkennt dann
automatisch, was der Anwender gezeichnet hat und erstellt aus diesen
Informationen den virtuellen Versuchsaufbau.
Zeichnet der Physiklehrer nun seine Skizzen aus dem Bereich der Mechanik
ans SmartBoard statt an die Schultafel, können die sonst eher langweiligen
Zeichnungen zum Leben erweckt werden.
5. Danksagung
An dieser Stelle möchte ich besonders meinem Mathe- und Physiklehrer
Herrn Walker danken, der mir stets bei fachlichen Fragen zur Seite gestanden
hat (und steht) und mich in der Idee bestärkt hat, diese Arbeit
bei Jugend forscht einzureichen.
Mein Dank gilt auch meinem langjährigen Mathe-, Physik- und Naturwissenschaft
und Technik(NWT)-Lehrer Herrn Luft. Letztes Jahr gab er mir
im Physikunterricht einen Großteil der Ideen für mein Projekt; ein Exkurs
über Statik im NWT-Unterricht (2006) weckte mein Interesse für dieses
Thema.
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Patrick Pietzonka
6. Literaturverzeichnis
[Dorn-Bader 11]
[Schulz]
[Martz]
[Sieber]
[Lambacher-
Schweizer]
Bader, F., Dorn, F.
Physik 11 Ausgabe A Gymnasium Sek. II
besonders S. 83 und 93
(Schroedel, Hannover 2006)
Schulz, H
Physik mit Bleistift Das analytische Handwerkszeug der Naturwissenschaftler
Kap. 1
(Verlag Harry Deutsch, Frankfurt, 6. Auflage2006)
Martz, P.
OpenGL Distilled
(Addison-Wesley, Boston, First printing 2006)
Sieber, H.
Mathematische Formelsammlung
(Klett-Verlag, Stuttgart, 2002)
Lambacher, Schweizer
Kursstufe
S. 54ff, S.56ff
(Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2004)
Webadressen
[Sonar]
http://www.mathematik.tu-bs.de/FA-Workgroup/tsonar/VWProjekt/skript23.htm
…/skript24.htm
05.01.2008
Prof. Dr. Thomas Sonar, Lineare/Quadratische Regression
[Witkin] 14
http://www.cs.cmu.edu/~baraff/pbm/pbm.html 05.01.2008
Witkin, Andrew and Baraff, David
An Introduction to Physically Based Modeling
[Jakobsen]
http://www.teknikus.dk/tj/gdc2001.htm 05.01.2008
Thomas Jakobsen
Advanced Character Physics
Zusätzliche Quelle: Hilfedatei des Borland C++ Builders
Bildnachweis:
Alle Bilder und Zeichnungen wurden von mir selbst erstellt, allein Abb. 2 (S.3) stammt
von der Seite http://www.opengl.org/img/opengl_logo.jpg (28.12.2007); Abb. 3 ist ein
Screenshot des Fensters, das beim Start von Maple erscheint.
14 Große Teile dieser Seite sind nur schwer mit der Schulmathematik verständlich
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