Darstellende Geometrie

Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie 

Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie 

Prof. Dr. H. Pottmann 

GEOMETRIE 

Lehrveranstaltungsinhalte 

GEOMETRIE 

Grundkurs 

Architektur & Darstellung: 

Darstellende Geometrie 

• Koordinatensysteme 

• Projektionen und Risse 

• Parametrische Grundkörper 

• Boolesche Operationen 

• Raumtransformationen 

• Schattenkonstruktion 

• Perspektive 

• Splines 

• Flächen im Bauwesen 

http://www.geometrie.tuwien.ac.at/student/arch/ 

www.geometrie.tuwien.ac.at 

1 


2 




Ebene kartesische Koordinaten 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Kugel/Zylinderkoordinaten 

Kartesische Normalkoordinaten 

Ebene, Raum 

Koordinatensysteme 

y 

e y 

x P 

E y 

E x 

P 

y P 

x-Achse, y-Achse: 

zwei (zueinander) orthogonale, 

im Gegenuhrzeigersinn 

orientierte Geraden (Strahlen) 

einer Ebene 

⇒ Ebenes kartesisches 

Rechtskoordinatensystem 

Welt/Benutzer 

Rechts/Links 

Polarkoordinaten 

e x 

x 

e x , e y ... Einheitsstrecken 

Damit können Punkte der Ebene 

durch Zahlenpaare (Koordinaten) 

festgelegt werden. 

E x , E y ... Einheitspunkte 

Bsp: P(x P 

= 3, y P 

= 2.3) 


3 


4

Räumliche kartesische Koordinaten 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

z 

P 

x-Achse, y-Achse, z-Achse: 

drei (zueinander) orthogonale, orientierte 

Geraden durch einen gemeinsamen Punkt 

U (Koordinatenursprung) 

y 

z 

z 

y 

x 

U 

y 

Räumliches kartesisches 


Rechte Hand Regel 

x 

- 

+ 

x 

Rechte Hand Regel: 

x-Achse, y-Achse und z-Achse eines 

Rechtskoordinatensystems sind orientiert wie Daumen, 

Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand 

Linkskoordinatensystem 



5 


6 

Räumliche kartesische Koordinaten 

Ebene Polarkoordinaten 

P‘‘‘ 

x 

z 

U 

P 

P‘ 

P‘‘ 

P’, P’’, P’’’ ... Grundriss, Aufriss, 

Kreuzriss des Punktes P 

Koordinatenweg: Ein in U beginnender 

und in P endender Streckenzug aus drei 

Kanten eines Koordinatenquaders, welcher 

alle drei Koordinaten von P zeigt 

y 

Koordinatenquader: 

Die Kantenlängen am Quader 

zeigen die Absolutbeträge der 

Koordinaten des Punktes P(x P 

, y P 

, z P 

) 


GEOMETRIE 

7 

Pol 

ϕ 

r 

Q (r; ϕ) 

positiver 

Drehsinn 

Bsp: Q(7,5; 39º) 

Nullrichtung 

Zusammenhang kartesische/Polarkoordinaten: 

x Q 

= r cos(ϕ) r 2 = x 

2 

Q 

+ y 

2 

Q 

Ein Punkt der Ebene kann auch in 

Polarkoordinaten festgelegt werden: 

Q(r; ϕ) 


GEOMETRIE 

r ... Abstand des Punktes zum Pol 

ϕ ... Winkel zwischen der Nullrichtung 

und dem Vektor Pol - Punkt 

y Q 

= r sin(ϕ) tan(ϕ) = y Q 

/ x Q ϕ 

x 

y 

r 

x Q 

Q 

y Q 

8

Zylinderkoordinaten 

Kugelkoordinaten 

z 

GEOMETRIE 

z 

GEOMETRIE 

P 

r 

x 

U 

ϕ 

r 

P 

z P 

P‘ 

y 

x 

U 

ϕ ψ P‘ 

P(r; ϕ; ψ) 

y 

• Kugelkoordinaten 

entsprechen der 

geographischen 

Länge und Breite 

auf der Erdkugel 

P(r; ϕ; z P ) 

Bsp: Tragen Sie den 

Punkt Q(r; 90; z p /2) ein! 

Bsp: Tragen Sie den Punkt 

Q(r; 100; 30) ein 


9 


10 

Welt / Benutzer- 


GEOMETRIE 

formZ Koordinatensystem 

GEOMETRIE 

BKS 

x 

y 

z 

z 

WKS 

x 

z 

y 

BKS 

• A … absolute/relative 

Koordinaten 

• W … Weltkoordinaten-/ 

Benutzerkoordinatensystem 

• C … Kartesische- 

/Polarkoordinaten 

Frank O. Gehry 

DESIGN MUSEUM 

Weil am Rhein, Germany 

x 

y 


11 


12

Tipp für CAD Konstruktionen 

GEOMETRIE 




GEOMETRIE 

Vereinfachung der CAD Konstruktion durch 

Verwendung geeigneter Koordinatensysteme 

Möglichkeit der Koordinateneingabe über 

Tastatur und Maus 

Projektionen 

und Risse 

passende Wahl von 

Benutzerkoordinatensystemen 

(in formZ über die Wahl der Referenzebene) 

Parallelprojektion 

Zentralprojektion 


13 


14 



O 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Zentralprojektion ist die Projektion aus einem Punkt (Zentrum) O 

auf eine zur Blickachse (optischen Achse) normale Bildebene ∏ 

(vgl. Filmebene in Fotografie) 

• ist dem einäugigen Sehen nachgebildet 

(Netzhaut ist jedoch gekrümmt; Projektion auf gekrümmte 

Flächen tritt bei Panoramabildern auf) 

• Bsp: Schattenwurf einer punktförmigen Lichtquelle 

Grundlegende Begriffe: 

• O … Projektionszentrum 

• π … Bildebene 

• s = OP … Sehstrahlen 

(Geraden durch O, werden 

projizierend abgebildet) 

Eigenschaften: 

• geradentreu 

• für allgemeine Geraden 

– speziell: nicht 

mittelpunktstreu 

– allgemein: nicht 

teilverhältnisstreu 

– nicht parallelentreu 

s 

P c =s c 

P 

Π 


15 


16

F 2 


GEOMETRIE 


• Parallelprojektion ist die Projektion mittels 

paralleler Geraden auf eine (Bild-)ebene 

GEOMETRIE 

• F i … Fluchtpunkt 

(Zentralriss des 

Fernpunktes einer 

Geraden g) 

• Parallele Geraden 

haben denselben 

Fluchtpunkt 

F 1 

• Bsp: Schattenwurf 

bei Sonnenschein 

P 

P s 

Q 

Q s 

Π 

Mario Botta 

EINFAMILIENHAUS RIVA SAN VITALE 

Tessin, Schweiz 

Nicholas Grimshaw 

SPORTHALLE FUER IBM 

Hampshire, England 


17 


18 



GEOMETRIE 

GEOMETRIE 


• teilverhältnistreu 

mittelpunktstreu 

• parallelentreu 

Π 

Π 


19 


20

Teilverhältnis 

Sind A, B, C drei verschiedene Punkte auf einer Geraden g, 

so bezeichnet man mit TV(A,B,C) das Teilverhältnis der Punkte A,B,C. 

|TV(A,B,C)| := AC / BC > 0 

TV(A,B,C) < 0 ⇔ C liegt zwischen A und B 

GEOMETRIE 

Um welches Objekt 

handelt es sich hier? 

Motivation für Normalrisse 

z 

GEOMETRIE 

A M B C 

Beispiel: TV(A,B,C) = 5:2 = 2,5 

Ist speziell M der Mittelpunkt der Strecke AB, so ist TV(A,B,M) = -1 

x 

Aus einem Bild kann die Raumsituation 

nicht eindeutig rekonstruiert werden! 

y 


21 


22 

Normalrisse 

formZ -- Views 

z 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Π 3 

Π 2 

P’’’ 

P 

P’’ 

Kreuzriss 

Axonometrie 

Aufriss 

Grundriss 

x 

y 

P’ 

Π 1 


23 


24

Projektionen in formZ 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Verwendung geeigneter 

Normalrisse als 

Konstruktionsprinzip im CAD 

• z.B.: Würfel auf eine 

Raumdiagonale stellen 


25 


26 


Axonometrie 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Verwendung geeigneter Snapfunktionen als 

Konstruktionsprinzip im CAD 

• Normale Axonometrie: 

Parallelprojektion mit 

zur Bildebene normalen 

Projektionsstrahlen 

∏ 

Würfel minus Kugel 

(welche die Kanten 

berührt) 

Würfel- und Kugelmittelpunkt 

identisch wählen, den Kugelradius 

über “Snap-Midpoint” interaktiv 

• Schiefe Axonometrie: 

Parallelprojektion mit 

zur Bildebene nicht parallelen 

Projektionsstrahlen 

eingeben 

www.geometrie.tuwien.ac.at 27 


∏

Abbildungsvorschrift 

Horizontalriss 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Axonometrische Methode: 

1. Das abzubildende Objekt wird mit einem 

kartesischen Koordinatensystem {U; E x ,E y ,E z } 

verbunden. 

z P 

spezielle 

schiefe 

Axonometrie 

2. Der Parallelriss des Koordinatensystems 

wird entweder durch Angabe von U p ,E xp ,E yp , 

E zp oder durch Angabe der orientierten 

Achsenbilder x P ,y P ,z P samt Verzerrungen v x , 

v y ,v z so festgelegt, dass keine der 

Koordinatenebenen projizierend ist (d.h. die 

Geraden x P ,y P ,z P müssen paarweise 

verschieden sein.) 

3. Die Risse von Objektpunkten werden über 

die Risse von Koordinatenwegen eingemessen 

(→ axonometrisches Aufbauverfahren). 

x P 

E 

P 

z 

E 

P 

x 

E 

P 

y 

P P 

P(2/5/3) 

y P 

Gustav Peichl 

ORF-Studio, Graz 

z P 

x P y P 

x P ⊥ y P 

v x =v y 


29 


30 

Frontalriss 

Isometrie 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

spezielle 

schiefe 

Axonometrie 

z n 

spezielle 

normale 

Axonometrie 

x n 

y n 

z P 

y P 

y P ⊥ z P 

Gustav Peichl 

Behördenzentrum, 

Frankfurt am Main 

x P 

v y =v z 

Christian de Portzamparc 

Cite de la Musique, Paris 

∠z n ,x n = ∠x n ,y n = ∠y n ,z n 

v x =v y =v z 


31 


32

Schlagschatten einer Kugel 

bei Parallelbeleuchtung 

GEOMETRIE 

Umriss einer Kugel 

GEOMETRIE 

Lichtstrahlen, welche die Kugel berühren, bilden 

einen Drehzylinder (berührt längs eines 

Großkreises). Der Schlagschatten auf eine Ebene 

(ebener Schnitt des Lichtzylinders) wird von einer 

Ellipse berandet (Kreis, falls die Lichtstrahlen 

normal zur Schirmebene) 


33 

axonometric 

Normale Axonometrie 

Umriss der Kugel = Kreis 

oblique 

Schiefe Axonometrie 

Umriss der Kugel = Ellipse 


34 

Aufbauverfahren 


GEOMETRIE 

z’’ 

GEOMETRIE 

z’’ 

z p 

z p 

y’’ 

y’’ 

y’ 

y’ 

Angabe 

y p 

x p v x 

= 1, v y 

=v z 

= 3/2 


x’ 

35 

Konstruktion v x 

= 1, v y 

=v z 

= 3/2 

x p 

y p 


x’ 

36


Einschneideverfahren 

z p 

GEOMETRIE 

z’’ 

P’’ 

GEOMETRIE 

Q’’ 

P n P’ 

Designertisch 

y’’ 

Q n 

y’ 

Ergebnis v x 

= 1, v y 

= v z 

= 3/2 

x p 

y p 


x’ 

37 

Q’ 


38 




Parametrische 

Grundkörper 

GEOMETRIE 

Was sind parametrische Grundkörper? 

• Parametrische Grundkörper 

– sind als Grundelemente in CAD-Paketen 

enthalten 

– werden über die Festlegung der sie 

bestimmenden Parameter konstruiert 

– können nachträglich durch Veränderung der 

Parameter manipuliert werden 

• Parametrische Grundkörper in formZ 

– Quader (cube), Kegel (cone), Zylinder 

(cylinder), Kugel (sphere), Torus (torus),... 

Geodätische Kuppel (spheric geodesic 

sphere), Platonische Körper (spheric …) 

GEOMETRIE 


39 


40

Parametrische Grundkörper 

GEOMETRIE 

Quader (“Cube”) 

Drei verschiedene Angabemöglichkeiten 

GEOMETRIE 

Quader 

Höhe 

h 

1 

Breite 

2 

2 

3 

h 

Länge 

1 

1 

Sears Tower, Chicago, US 

Flächenmodell 

(Surface) 

Volumsmodell 

(Solid) 


41 


42 

Flächen- und Volumsmodelle 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Für die CAD Modellierung 

– Flächenmodell (surface) 

• stellt die Oberfläche (Haut) eines Objektes dar 

– Volumsmodell (solid) 

• Objekt als Vollkörper 

Kegel 

• Vor allem für Darstellungszwecke 

– Kantenmodell (wireframe) 

• repräsentiert Kanten und ausgewählte Kurven auf 

der Oberfläche eines Objektes 

Norman Foster 

Millenium Tower Tokyo, Japan 


43 


44

Kegel (Cone) 


GEOMETRIE 

Geometrie der Kegelflächen 

GEOMETRIE 

Höhe 

Mittelpunkt 

des Basiskreises 

Radius 

1 

2 

h 

1 

2 

h 

• Angabe durch Spitze S 

und Leitkurve l: 

– Die Kegelfläche besteht 

aus allen Geraden 

(Erzeugenden), welche 

durch die Spitze S gehen 

und die Leitkurve l 

treffen. 

S 

l 


Volumsmodell 

• Tangentialebenen 

– In allen Punkten einer 

Erzeugenden berührt 

dieselbe Tangentialebene 


45 


46 


GEOMETRIE 

Zylinder (Cylinder) 


GEOMETRIE 

Zylinder 

3 

3 

Höhe 

h 

h 

1 

1 

Mittelpunkt 

des Basiskreises 

Radius 

2 

2 

Hans Hollein 

HAAS-HAUS 

Wien, Oesterreich 


47 


Volumsmodell 


48

Geometrie der Zylinderflächen 

• Angabe durch 

Erzeugendenrichtung 

und Leitkurve: 

– Die Zylinderfläche 

besteht aus allen 

Geraden (Erzeugenden), 

welche die Leitkurve l 

treffen und die gegebene 

Richtung besitzen 

GEOMETRIE 

• Moderne CAD-Pakete speichern auch den 

Konstruktionsgang 

Dadurch wird die nachträgliche Manipulation 

eines fertigen Objektes durch die Variation der 

verwendeten Parameter einfach möglich 

• Beispiel: 

Parametrisches Konstruieren im CAD 

GEOMETRIE 

• Tangentialebenen 

– In allen Punkten einer 

Erzeugenden berührt 

dieselbe Tangentialebene 

Radius 

vergrößern 


49 


50 

Extrusion 

GEOMETRIE 

• paralleles Extrudieren 

– Eine Punktmenge der Ebene (Polygon, 

Kurve, Bereich, …) wird in Extrusionsrichtung 

stetig parallelverschoben und überstreicht 

dabei ein Extrusionsobjekt 

Extrusion 

• zentrales Extrudieren 

– alle Punkte einer Punktmenge der Ebene 

(Polygon, Kurve, Bereich, …) werden durch 

geradlinige Strecken mit dem 

Extrusionszentrum verbunden, diese bilden 

das Extrusionsobjekt 

GEOMETRIE 


51 


52

Extrusion als Konstruktionsprinzip 

• Erkennen von Extrusionskörpern im Objektaufbau 

vereinfacht die Modellierung 

• Bsp: Die Profile p 1 und p 2 werden parallel extrudiert, die 

beiden Extrusionskörper zum fertigen Objekt vereinigt 

GEOMETRIE 


Kugel 

GEOMETRIE 

p 1 

p 2 

54 

Adrian Fainsilber 

CITE DES SCIENCES ET DE'L INDUSTRIE, 

Paris, Frankreich 


53 


Mittelpunkt 

Kugel (Sphere) 


4 

GEOMETRIE 

Santiago Calatrava 

Funk - Fernsehturm 

Montjuic Spanien 


Torus 

GEOMETRIE 

1 

2 

1 

3 

Radius 

2 


Volumsmodell 


55 

Takasaki Masaharu 

ASTRONOMICAL MUSEUM 

Kihoku-cho, Japan 


56

Torus - Erzeugung 

GEOMETRIE 

Rotiert ein Kreis k um eine Achse a, die in der Kreisebene 

liegt, aber kein Kreisdurchmesser ist, so entsteht ein Torus. 

a...Achse 

Mittelpunkt 

Torus - Bezeichnungen 

GEOMETRIE 

Je nachdem ob die Anzahl der Schnittpunkte von k und a 

gleich 0,1, oder 2 ist, sprechen wir von einem Ringtorus, 

Dorntorus, oder Spindeltorus 

k...Meridiankreis 

m … Mittenkreis 

Ringtorus Dorntorus Spindeltorus 


57 


58 

Torus (Torus) 


GEOMETRIE 

Flächen/Volumsmodelle 

GEOMETRIE 

1 

3 

Mittenkreisradius 

Meridiankreisradius 

2 

Ringtorus Dorntorus Spindeltorus 

3 

1 2 


59 


60

Ebene Schnitte des Torus 

Villarceau-Kreise: 

• Jeder Schnitt eines Ringtorus mit 

einer Doppeltangentialebene 

zerfällt in zwei kongruente Kreise, 

welche von Y. Villarceau (1848) 

entdeckt wurden. Ein Ringtorus 

enthält mithin neben den Parallelund 

Meridiankreisen noch 

unendlich viele weitere Kreise. 

GEOMETRIE 

Konvexität 

• Konvexer Bereich: 

– Punktmenge welche die Verbindungsstrecke von je 

zwei beliebig in ihr gewählten Punkten zur Gänze 

enthält (in 2D, 3D, …) 

GEOMETRIE 

konvex 

nicht konvex 


61 

• Polyeder: 

– ebenflächig begrenztes Objekt in 3D 

• Konvexes Polyeder: 

– Polyeder, dessen Volumsmodell ein konvexer Bereich in 

3D ist 


62 

Konvexe und 

nichtkonvexe Polyeder 

• Topologisch äquivalente Körper sind durch 

stetige Deformation ineinander überführbar 

GEOMETRIE 

Tetraeder 

Platonische Körper 

Oktaeder 

Ikosaeder 

GEOMETRIE 

konvex 

(stets topologisch 

äquivalent zu Kugel, 

Quader, …) 

nicht konvex 

(topologisch verschieden) 

Würfel 

Pentagondodekaeder 


63 


64


GEOMETRIE 

Die konvexen Polyeder, deren sämtliche Seitenflächen von 

kongruenten regelmäßigen Polygonen berandet werden und bei 

denen von jeder Ecke gleich viele Kanten ausgehen sind genau 

die 5 Platonischen Polyeder (Platonische Körper). 

– Tetraeder: 4 gleichseitige Dreiecke, 4 Ecken, 6 Kanten 

– Hexaeder (Würfel): 6 Quadrate, 8 Ecken, 12 Kanten 

– Oktaeder: 8 gleichseitige Dreiecke, 6 Ecken, 12 Kanten 

– Pentagondodekaeder: 12 regelmäßige Fünfecke, 20 Ecken, 30 Kanten 

– Ikosaeder: 20 gleichseitige Dreiecke, 12 Ecken, 30 Kanten 

Dualität der 

Platonischen Körper 

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Platonischen 

Körpers (Polyeders) sind ebenfalls die Ecken eines 

Platonischen Körpers (Polyeders). 

• Tetraeder Tetraeder 

• Würfel Oktaeder 

GEOMETRIE 

Sie besitzen eine Umkugel, 

Inkugel und Kantenkugel. 

• Dodekaeder Ikosaeder 


65 


66 


im Bauwesen 

Tetraeder im 

Kunstturm Mito 

GEOMETRIE 

Eulersche Polyederformel 

GEOMETRIE 

Architekt Arata Isozaki 

• Unter der Voraussetzung, dass das 

Polyeder topologisch äquivalent zur 

Kugel ist (“kein Loch hat” ) gilt: 

Pentagondodekaeder in 

einer Wohnsiedlung 

Architekt Zvi Hecker 

e – k + f = 2 

e ............. 

k ............. 

f .............. 

Anzahl der Ecken 

Anzahl der Kanten 

Anzahl der Flächen 


67 


68


Geodesic Spheres 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Geodesic Sphere 

• Geodesic Spheres entstehen aus den 

platonischen Grundkörpern durch Teilung der 

Flächen in kleinere Dreiecke und Verlagern der 

eingefügten Punkte auf die den Grundkörper 

einhüllende Kugel 

• Verallgemeinerung dieses Prinzips führt uns 

später zu den Unterteilungsflächen 

(subdivision surfaces) 


69 


70 

Geodesic Spheres im CAD 

• In vielen CAD Paketen werden Geodesic Spheres 

aus dem Grundkörper Ikosaeder erzeugt 

• Seitenflächen einer Geodesic Sphere 

keine gleichseitigen Dreiecke! 

GEOMETRIE 

2 Unterteilungsvarianten 

1 2 

2 

3 3 

3 

GEOMETRIE 

• Variante 1: Seitenflächen des Ausgangspolyeders werden immer 

feiner unterteilt (z.B. 3DSMax) 

2 

32 

3 

1 1 1 

3 

2 

2 

3 

• Variante 2: Seitenflächen aus dem vorigen Unterteilungsschritt 

werden nach demselben Schema weitergeteilt (z.B. formZ) 


71 


72

Geodesic Sphere Level 

Unterteilungsvariante 1 

GEOMETRIE 

Geodesic Sphere Level 

Unterteilungsvariante 2 

GEOMETRIE 

• Geodesic Spheres mit Basisobjekt Ikosaeder 

• Anzahl der Dreiecke im Level k … 20*(k+1)^2 

• Geodesic Spheres mit Basisobjekt Ikosaeder 

• Anzahl der Dreiecke im Level k … 20*4^k 

(oder rekursiv … 4 mal die Anzahl der Dreiecke 

aus dem vorigen Schritt) 

Level 1 

(20*4 = 

80 triangles) 

Level 2 

(20*9 = 

180 triangles) 

Level 3 

(20*16 = 


Level 1 

(20*4 = 

80 triangles) 

Level 2 

(20*16 = 

4*80 = 


Level 3 

(20*64 = 

4*320 = 


Level 4 

(20*256 = 

4*1280 = 



73 


74 

Geodesic Spheres in formZ 

Befehl “Spherical Object” 

GEOMETRIE 

Geodesic Spheres – 

weitere Ausgangskörper 

• Als Basisobjekte auch Tetraeder oder Oktaeder 

• Unterteilungsvarianten wie Ikosaeder 

GEOMETRIE 

Tetraeder 

Oktaeder 

Anzahl der Level definieren 


75 

Grundkörper 

Level 1 Level 2 Level 3 


76

Geodesic-Spheres in der Architektur 

GEOMETRIE 




Boolesche 

Operationen 

GEOMETRIE 

Durchschnitt 

Kugel ∩ Würfel 

Differenz 

Kugel \ Würfel 

Differenz 

Würfel \ Kugel 


77 


78 

Boolesche Operationen 

• Die Mengenoperationen Vereinigung, 

Durchschnitt und Differenz treten im 

computergestützten Konstruieren im 

Zusammenhang mit geometrischen 

Objekten auf. 

– Ebene: z.B. bei Vielecken 

– Raum: Volumenkörper 

GEOMETRIE 

2D 

Ausgangsobjekte 

A 

B 

Boolesche Operation 

Vereinigung (Union) 

Vereinigung 

A ∪ B 

A 

B 

GEOMETRIE 

3D 

Vereinigung 

A ∪ B 

Durchschnitt 

A ∩ B 

Differenz 

A \ B 

Differenz 

B \ A 


79 


80


Durchschnitt (Intersection) 

GEOMETRIE 


Differenz (Difference) 

GEOMETRIE 


Durchschnitt 

A ∩ B 


Differenz 

A \ B 

2D 

A 

A 

2D 

A 

A 

B 

B 

B 

B 

3D 

3D 


81 


82 


Differenz (Difference) 

GEOMETRIE 

Boolean Split 

GEOMETRIE 

2D 


A 

Differenz 

B \ A 

A 

• CAD Pakete stellen oft auch noch eine 

Zerlegung in die einzelnen 

Schnittelemente zur Verfügung 

B 

B 

3D 

One-way B-Split B / A 

One-way B-Split A / B 

Two-way B-Split 


83 


84

Boolean Operations in formZ 

GEOMETRIE 

Boolesche Operationen 

in der Architektur 

GEOMETRIE 

Union 

Intersection 

Difference 

Boolean split 

Ossarium im Friedhof von San Cataldo Modena, Italien 


85 


86 

Trim, Split für Flächenmodelle 


GEOMETRIE 

Übungsbeispiele 

zu den Booleschen Operationen 

• Kennzeichnen Sie (durch Anmalen) das Ergebnis nach 

Anwendung der angeführten Booleschen Operationen 

auf die Ausgangsobjekte (= Bereiche mit den 

gegebenen Linien als Rand) 

GEOMETRIE 

1 

Split both objects 

(Explosionsdarstellung) 

Trim first object 

Differenz: Ellipse minus Polygon 

Durchschnitt der drei Bereiche 


87 


88




GEOMETRIE 

Kongruenztransformation 

GEOMETRIE 

Schiebung 

Vektor 

Drehung 

Punkt / Gerade Spiegelung 

gleichsinnig / ungleichsinnig 

Schraubung 

Skalierung 

Achse 

Faktor 

Punkt / Gerade / Ebene 

Raumtransformationen 

• Wird ein Objekt aus einer Position des 

Raumes in eine andere Position so 

übergeführt, dass Längen erhalten 

bleiben, dann spricht man von einer 

Kongruenztransformation 

– Als Folge der Längentreue ergibt sich die 

Winkeltreue 

– Man unterscheidet zwischen gleichsinnigen 

und ungleichsinnigen Kongruenzen: 

• eine gleichsinnige Kongruenztransformation bildet 

ein Rechtssystem auf ein Rechtssystem ab 

• eine ungleichsinnige Kongruenztransformation 

bildet ein Rechtssystem auf ein Linkssystem ab 


89 


90 

Kongruenztransformationen 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Gleichsinnige Kongruenztransformationen: 

– Schiebung 

– Drehung um eine Gerade 

– Spiegelung an einer Geraden 

– Schraubung 

• Ungleichsinnige Kongruenztransformationen: 

– Spiegelung an einer Ebene 

– Punktspiegelung 

– Gleitspiegelung 

Schiebung 

(Translation) 

Eine Schiebung wird 

durch einen 

Schiebvektor 

festgelegt. 


91 


92

Schiebung (Translation) 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Drehung 

(Rotation) 

Eine Drehung wird 

durch eine Drehachse 

und den Drehwinkel 

bestimmt. 

Fa. Herold, 

Mödling, Austria 


93 


94 

Drehung (Rotation) 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Spiegelung an 

einer Geraden 

Eine Spiegelung an einer Geraden 

kann durch eine Drehung ersetzt werden 

(Drehwinkel 180°; Drehachse = Spiegelachse). 

Tower 

Dallas, US 

Bemerkung: Die Spiegelung an einer Geraden im Raum ist gleichsinnig! 


95 


96

Diskrete Schraubung 

• Je zwei gleichsinnig 

kongruente Lagen eines 

starren Körpers lassen sich 

im allgemeinen durch eine 

diskrete Schraubung 

ineinander überführen 

• Diese setzt sich zusammen 

aus einer Drehung um eine 

Achse a und einer 

Schiebung längs dieser 

Achse 

• In Sonderfällen hängen 

zwei gleichsinnig 

kongruente Lagen durch 

eine reine Schiebung oder 

eine reine Drehung 

zusammen 

a 


GEOMETRIE 

97 

Ein räumlicher Bewegungsvorgang, der aus 

einer gleichförmigen Drehung um eine 

Achse a und einer gleichförmigen 

Schiebung parallel zu a zusammengesetzt 

ist, heißt Schraubung. 

Der Drehwinkel φ (gemessen im 

Bogenmaß) und die zugehörige 

Länge s der Schiebstrecke sind 

direkt proportional: wird um den 

Winkel φ gedreht, so wird um die 

Strecke s = p⋅φ verschoben. 

Der konstante Quotient p = s / φ 

heißt Schraubparameter. 

Zu einer vollen Umdrehung 

(Drehwinkel 2π) gehört als 

Länge der Schiebstrecke die 

Ganghöhe h. 

Stetige Schraubung (Screw) 

φ 


GEOMETRIE 

a ... 

Schraubachse 

h ... 

Ganghöhe 

98 


Spiegelung (Reflection) 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Spiegelung 

(an einer Ebene) 

z 

z‘ 

x‘ 

Eine Spiegelung an 

einer Ebene wird durch 

die Spiegelebene 

angegeben. 

y‘ 

x 

y 

Die Spiegelung an einer Ebene ist gegensinnig! 


99 

Cesar Pelli 

PETRONAS TOWERS 

Kuala Lumpur, Malaysia 


100



z 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Punktspiegelung 

Gleitspiegelung 

Die Punktspiegelung im 

Raum kann auch durch 

drei Spiegelungen (an 

zueinander normalen 

Spiegelebenen) erzeugt 

werden und ist daher 

ungleichsinnig. 

x 

y* 

y 

x* 

P 

P’ 

P* 

Bemerkung: 

Die Punktspiegelung in der Ebene ist zugleich 

eine Drehung um 180 Grad und daher gleichsinnig. 

z* 

Eine Gleitspiegelung setzt sich aus einer 

Spiegelung an einer Ebene und einer 

Schiebung parallel zu dieser Ebene 

zusammen. 


101 


102 

Gleitspiegelung in der Ebene 

Skalierung (Scale) 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

M 1 = M 2 

A 2 

B 2 

C 2 

• Gegeben sind drei 

Skalierungsfaktoren s x , s y , s z 

• Die zugehörige Skalierung 

bildet dann einen Punkt 

P(x/y/z) auf den Punkt 

P’(s x x/s y y/s z z) ab 

z 

C 1 

A 1 

B 1 

+ Schiebung längs a 

a 

Spiegelung an a 

a 

• Bei gleichen Faktoren, 

s=s x =s y =s z , ergibt sich eine 

zentrische Ähnlichkeit mit 

dem Koordinatenursprung als 

Zentrum, diese Abbildung ist 

winkeltreu 

x 

y 

Die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken entsprechender Punkte X 1 

,X 2 

liegen auf a 


103 


104

Zusammensetzung von 


GEOMETRIE 

Zusammensetzung von 


GEOMETRIE 

• Durch Zusammensetzen (Hintereinanderausführen) 

von Kongruenztransformationen entsteht 

wieder eine Kongruenztransformation: 

1) gleichsinnig • gleichsinnig gleichsinnig 

2) ungleichsinnig • ungleichsinnig gleichsinnig 

3) gleichsinnig • ungleichsinnig ungleichsinnig 

• Zusammensetzung ist i.a. nicht 

kommutativ (auf die Reihenfolge 

kommt es an) 

Drehachse 

Drehachse 

• Beispiel: 

Gleitspiegelung = Spiegelung an Ebene • Schiebung 

(ungleichsinnig = ungleichsinnig • gleichsinnig) 

zuerst Schiebung, 

dann Drehung 

Schiebvektor 

zuerst Drehung, 

dann Schiebung 

Schiebvektor 


105 


106 




GEOMETRIE 

Grundbegriffe der 

Schattenkonstruktion 

GEOMETRIE 

Schatten bei 

Parallelbeleuchtung 

• Eigenschatten 

– Dem Licht abgewandte Teile eines Objektes 

(lokal zu entscheiden) liegen im Eigenschatten; 

–die Eigenschattengrenze trennt 

Eigenschattenbereiche von den 

dem Licht zugewandten Bereichen 

• Schlagschatten 

– Zur Konstruktion der 

Schlagschattengrenze 

brauchen nur die 

Schlagschatten für die 

Punkte der 

Eigenschattengrenze 

konstruiert zu werden 


107 


108

Grundbegriffe der 

Schattenkonstruktion 

GEOMETRIE 

Wichtige Schattenregeln 

GEOMETRIE 

• Bei Parallelbeleuchtung sind alle Lichtstrahlen 

zu einer orientierten Geraden parallel 

• Lichtstrahl s durch einen Punkt P schneidet 

eine Schirmebene im Schlagschattenpunkt P s 

• Die Lichtstrahlen, welche eine Gerade treffen 

sind Teil einer Ebene (Lichtebene) 

• Der Schlagschatten einer 

Geraden geht durch den 

Spurpunkt G der Geraden 

auf der Schirmebene. 

G 

P 

s 

P s 

• Bei Parallelbeleuchtung 

haben parallele Geraden 

parallele Schatten. 


109 


110 

z 

Schatten bei 

Parallelbeleuchtung 

GEOMETRIE 

z 

Eigenschatten 

GEOMETRIE 

P 

l 

l’’ 

l 

l’’ 

l’ 

Q 

l’ 

x 

y 

x 

y 

Angabe: Objekt & Lichtrichtung 


111 


112

z 

Schlagschatten 1.Teil 

GEOMETRIE 

z 


GEOMETRIE 

l 

l’’ 

l 

l’’ 

l’ 

l’ 

x 

y 

x 

y 


113 


114 

z 


GEOMETRIE 

z 

Ergebnis 

(mit Lichtstrahlen) 

GEOMETRIE 

l 

l’’ 

l 

l’’ 

l’ 

l’ 

x 

Doppelschattenpunkt 

y 

x 

y 


115 


116

z 

Ergebnis 

(ohne Lichtstrahlen) 

l 

GEOMETRIE 

l’’ 

l 

Übungsbeispiel 

Schatten bei Parallelbeleuchtung 

l’’ 

GEOMETRIE 

• Konstruieren Sie für die Parallelbeleuchtung mit 

Lichtrichtung l alle am Objekt auftretenden Schlagund 

Eigenschatten, sowie den Schlagschatten des 

Objektes in die xy-Ebene 

z 

l’ 

l’ 

x 

y 

y 

x 


117 


118 




GEOMETRIE 


O 

GEOMETRIE 

Perspektive 

Grundlegende Begriffe: 

• O … Projektionszentrum 

• π … Bildebene 

• s = OP … Sehstrahlen 

(Geraden durch O, werden 

projizierend abgebildet) 

s 

P 

π 

Eigenschaften: 


• für Geraden allgemeiner 

Lage gilt: 

– nicht teilverhältnistreu 

(speziell: 

nicht mittelpunktstreu) 

– nicht parallelentreu 

P c =s c 


119 


120

Fluchtpunkt einer Geraden 

Fluchtpunkt einer Geraden 

GEOMETRIE 

F 2 

GEOMETRIE 

Fluchtpunkt F g der Geraden g: 

O 

Verschiebe g durch O und 

schneide mit der Bildebene π 

g 

F 1 

F g 

π 

• Parallele Geraden 

haben denselben 

Fluchtpunkt F i 

g c 122 

π 


121 


Hauptgeraden 

Hauptgerade = Gerade h parallel zur Bildebene 

GEOMETRIE 

Perspektive 

bei lotrechter Bildebene 

GEOMETRIE 

In der Aufnahmesituation 

ist das Bild h c einer 

Hauptgeraden zur 

Raumlage h parallel. 

⇒ Parallele Hauptgeraden 

haben parallele Zentralrisse 

h 

O 

π 

π 

Horizont 

O 

• Wir beziehen das Objekt 

im folgenden auf ein 

kartesisches x,y,z- 

Koordinatensystem, 

dessen z-Achse lotrecht 

und nach oben orientiert 

ist. 

• Die Koordinatenebene π 1 

ist dabei horizontal. 

h c 

π 1 

• Der Horizont enthält die 

Fluchtpunkte aller 

horizontalen Geraden. 


123 


124

1. 

Perspektive 

bei horizontaler Blickachse 

GEOMETRIE 

Durchschnittverfahren 

GEOMETRIE 

π 

a 

d 

π 1 

• Der Abstand zwischen Augpunkt O und der 

Koordinatenebene π 1 heißt Aughöhe a 

• Der Abstand zwischen Augpunkt O und der Bildebene Π 

heißt Distanz d 


125 


126 



GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

1. Wahl des 

• Augpunktes O 

• der horizontalen 

Blickachse 

(Hauptsehstrahl) 

• und der lotrechten 

Bildebene π 

O’’ 

O’ 

π’ 

2. In Grund- und 

Aufriss: 

Ermittlung der 

Schnittpunkte der 

Sehgeraden durch 

den Augpunkt O 

mit der 

erstprojizierenden 

Bildebene π 

O’’ 

O’ 

π’ 

P c ’’ 

P’’ 

P c ’ 

P’ 


127 


128

1. 

2. 


3. Wir legen in die 

Bildebene ein 

kartesisches Rechtskoordinatensystem 

ξ,η 

• Hauptpunkt H als 

Ursprung 

• Horizont als ξ-Achse 

GEOMETRIE 

η’’ 

H’’ ξ’’ 

H’=η’ 

ξ’ 


1. 

2. 

3. 

4. Die ξ- bzw. η-Koordinate des Zentralrisses P c eines 

Objektpunkts P oder eines Fluchtpunkts Y uc kann im 

Grundriss bzw. im Aufriss unverzerrt abgelesen werden 

P c ’’ 

5. Im Zeichenfeld können die 

unverzerrte ξ- bzw. η-Koordinate 

η des Zentralrisses P c ins (ξ,η)- 

Koordinatensystem eingetragen 

werden 

ξ 

P c ’ 

η 

H 

ξ 

P c 

GEOMETRIE 

η 

ξ 


129 


130 

z’’ 

C’’ 

L’’=P’’ 

A’’ 


Beispiel aus den Übungen 

GEOMETRIE 

Vervollständigen 

einer vorliegenden Perspektive 

Vervollständigen Sie von dem im 

axonometrischen Riss gegebenen 

Objekt die vorliegende Perspektive! 

z p 

GEOMETRIE 

J’’ 

I’’ 

1’’ 

z c 

x p 

y p 

K’’=N’’ 

F’’ 

D’’=M’’ 

y’’ 

B’=E’=G’ 

C c 

A c 

F’ 

J’ 

x’ 

M’ 

P’=N’ 

C’=I’ 

K’=L’ 

D’ 

G’ y’ 

H‘ 

A’=B’=1’ 

E’ 

Y u 

c 

H 

L c 

P c 

J c 

K c N c 

π , 132 

G c 

B c 

D c E c 

a=2,5 

X u 

c 

a 

a 

x c 

y c 


2a 

131 

www.geometrie.tuwien.ac.at

Übungsbeispiel: Vervollständigen 

einer vorliegenden Perspektive 

GEOMETRIE 




GEOMETRIE 

Vervollständigen Sie von dem im 

axonometrischen Riss gegebenen 

Objekt die vorliegende Perspektive! 

z c 

x p 

z p 

y p 

Splines 

x c 

y c 

Schiffbau 

Automobilbau 

Architektur 


133 


134 

Interpolierende 

Kurve 

Interpolation & Approximation 

GEOMETRIE 

• Geg: Menge von Punkten 

• Ges: Kurve, welche die Punkte interpoliert (d.h. die Kurve 

enthält die gegebenen Punkte) 

oder approximiert (d.h. der Verlauf der Punkte wird durch 

die Kurve nur angenähert) 

• Es gibt unendlich viele interpolierende oder 

approximierende Kurven. 

CAD-Pakete bieten verschiedene Lösungen an, 

die Auswahl hängt vom Designzweck ab 

Approximierende 

Kurve 

Beispiel zur Approximation 

Geg: Datenpunkte 

Ges: Linearer Ausgleich, sodass die Punkte von der 

Ausgleichsgerade “möglichst wenig” abweichen 

f(x) 

GEOMETRIE 

f(x) = 1.37 + 0.70*x 

x 

Methode (Gauß): 

Minimierung der Summe 

der Fehlerquadrate 

Fehler eines Punktes: 

Abstand zur 

Ausgleichsgeraden in 

Richtung parallel zur 

y-Achse 


135 


136

Bézier-Kurven 

Grad einer Bézier-Kurve 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Bézier-Kurven wurden aus dem Bedarf für Freiformkurven 

in der CAD/CAM/CAE-Technik entwickelt: 

P. de Casteljau (1959) bei Citroën, 

P. Bézier (1962) bei Renault 

• Standardmäßig sind Bézier-Kurven in vielen CAD-Paketen 

enthalten 

• Bézier-Kurven werden durch Angabe eines Polygons 

gesteuert. Dieses Polygon heisst Kontrollpolygon, seine 

Ecken werden Kontrollpunkte genannt 

• Eine Bézier-Kurve mit n+1 

Kontrollpunkten besitzt den Grad n 

(= Grad der in der mathematischen 

Beschreibung auftretenden Polynome) 

• 2 Kontrollpunkte Grad 1 Bezier- 

Kurve ist Verbindungsstrecke der 

beiden Kontrollpunkte 

• 3 Kontrollpunkte Grad 2 Bezier- T 0 

Kurve ist Parabelbogen; Kontrollpunkte: 

Endpunkte b 0 b 2 und Schnittpunkt b 1 

T 2 

der Tangenten T 0 

, T 2 

in den Endpunkten b 0 b 2 


137 


138 

Grad einer Bézier-Kurve 

GEOMETRIE 

Geometrischer Algorithmus 

zur Konstruktion von Bezier-Kurven 

GEOMETRIE 

• Grad 1 

– lineare Bézier-Kurve 

• Grad 2 

– quadratische Bézier- 

Kurve 

• Grad 3 

– kubische Bézier-Kurve 

• Für eine quadratische Bezier-Kurve 

(Parabelbogen) ist der 

verwendetet Algorithmus die 

Fadenkonstruktion einer Parabel 

• Dieser wird später auf höhere 

Grade verallgemeinert 

(Algorithmus von de Casteljau) 


139 


140



GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Geg: 2 Linienelemente (b 0 , T 0 ), 

(b 2 , T 2 ) einer Parabel 

Ges: weitere Linienelemente 

(d.h. Punkte mit Tangenten) 

T 2 

T 0 

Konstruktion für t = 0.25, 0.5, 

0.75 

b 01 (0.25) 

b 0 

2 

(0.25) 

Kurvenpunkt 

Methode: Übertragen von Teilverhältnissen 

b 11 (0.25) 

b 0 

b 1 

b 2 

b 0 

b 1 

b 2 

0 t 1 


141 

TV(b 0 , b 1 , b 0 1 ) = TV(b 1 , b 2 , b 1 1 ) = TV(b 0 1 , b 1 1 , b 0 2 ) 


142 

b 01 (0.75) 

b 01 (0.5) 


b 11 (0.25) 

b 01 (0.25) 

b 0 

b 02 ... 

Kurven 

punkt 

b 11 (0.5) 

b 11 (0.75) 

b 2 

GEOMETRIE 

Algorithmus von de Casteljau 

GEOMETRIE 

Ist eine Verallgemeinerung der Fadenkonstruktion der Parabel. 

1) Teilverhältnis TV(0,1,t) auf die Strecken des Polygons übertragen 

2) Verbinden der erhaltenen Teilungspunkte zu einem neuen Polygon 

Wiederholtes Anwenden von 1 und 2 liefert schrittweise (oberer Index) 

Polygone mit absteigender Eckenzahl bis schließlich nur noch der 

Kurvenpunkt übrigbleibt. 

b 

1 

1 

Geg: Kontrollpunkte b 0 ,...,b n 

Ges: Punkte der Bezier-Kurve 

n-ten Grades 

Jeder Punkt ist genau 

einem “Parameter” t aus 

dem Intervall [0,1] zugeordnet: 

b 1 

b 2 

b 0 

1 

b 0 

2 

b 0 

3 

b 1 

2 

b 3 

b 2 

1 


143 

t=0 entspricht b 0 

t=1 entspricht b n 

b 0 

0 t 1 


144

Algorithmus von de Casteljau 

Beispiele von Bézier-Kurven 

GEOMETRIE 

Kurven vom Grad 3 

GEOMETRIE 

de Casteljau-Schema: 

b 0 

b 1 b 

1 

0 

b 2 b 

1 

1 b 

2 

0 

b 3 b 

1 

2 b 

2 

1 b 

3 

0 

b 1 

1 

b 1 

b 2 

b 

2 

0 

b 

2 

1 

b 

3 

0 

b 

1 

0 b 

1 

2 

Kurven vom Grad 4 

b 3 

0 t 1 

b 0 


145 


146 

Linienelement 

Bézier-Kurven – Eigenschaften 

Endpunktinterpolation + Tangenteneigenschaft 

(endpoint interpolation): 

Eine Bézier-Kurve interpoliert den ersten und den 

letzten Punkt des Kontrollpolygons und besitzt dort 

die erste bzw. letzte Strecke des Kontrollpolygons 

als Tangente. 

Bézier-Kurve 

Kontrollpolygon 


GEOMETRIE 

Linienelement 

147 

Wiederholung: 

Konvexe Hülle 

konvexer Bereich ist eine Punktmenge, welche die 

Verbindungsstrecken aller ihrer Punktepaare enthält 


GEOMETRIE 

konvexe Hülle ist 

der “kleinste” 

konvexe Bereich, 

welcher eine 

gegebene (Punkt-) 

Menge enthält 

b 0 

b n 

148


Konvexe Hülle Eigenschaft (convex hull property): 

Eine Bézier-Kurve liegt in der konvexen Hülle ihres 

Kontrollpolygons. 

GEOMETRIE 


GEOMETRIE 

Variationsreduzierende Eigenschaft in der Ebene [im Raum] 

(variation diminishing property): 

Geg: Bézier-Kurve, beliebige Gerade [Ebene] 

Eine Bézier-Kurve wechselt die Seite jeder beliebigen Gerade 

[Ebene] nicht öfter als das Kontrollpolygon. 

2 

Testgeraden 

1 

3 

3 

1 

2 

1 

3 

2 

1 


149 


150 


Lineare Präzision (linear precision): 

Liegen die Kontrollpunkte b 0 ,...,b n einer Bézier- 

Kurve kollinear (= auf einer Geraden), dann liegt 

die Bézier-Kurve auf der Strecke b 0 b n 

Kontrollpolygon 

Bézier-Kurve 

GEOMETRIE 

Unterteilung (subdivision): 

Gegeben sei eine Bézier- 

Kurve mit Kontrollpolygon 

(b 0 ,...,b n ) bzgl. [0,1]. 

Manchmal ist es notwendig, 

eine einzelne Bézier-Kurve 

so in zwei Teilstücke zu 

zerlegen, dass sie 

gemeinsam identisch sind 

zur Ausgangskurve. 

1. Unterteilungsalgorithmus 

von de Casteljau liefert auch 

die Kontrollpolygone 

(c 0 ,...,c n ) und (d 0 ,...,d n ) der 


b n 

b 0 

Bézier-Kurve bzgl. der 

Intervalle [0,t] bzw. [t,1]. 



GEOMETRIE 

b 1 

b 2 

c 2 

c 3 

d 1 

d 0 

c 1 

d 3 

d 2 

b 3 

c 0 

b 0 

Beispiel: n=3



GEOMETRIE 

GEOMETRIE 





(b 0 ,...,b n ) 

b 1 

b 2 



(b 0 ,...,b n ) 

b 1 

b 2 

2. Wiederholte Unterteilung 

mit de Casteljau liefert eine 

rasch gegen die Kurve 

konvergierende 

Polygonfolge. 

3. Durch Eckenabschneiden 

entstehen keine zusätzlichen 

Seitenwechsel 

⇒ Variationsreduzierende 

Eigenschaft gilt 

b 3 

b 3 

b 0 

b 0 


153 


154 

Übungsbeispiele zu Freiformkurven 

Übungsbeispiel zu Bézier-Kurven 

• Begründen Sie, warum es sich bei den folgenden Kurven 

jeweils nicht um eine Bézier Kurve mit zugehörigem 

Kontrollpolygon handelt: 

GEOMETRIE 

• Gegeben ist das Kontrollpolygon einer Bézier-Kurve 

– Konstruieren Sie mit dem Algorithmus von de Casteljau 

zum Parameterwert t=1/3 einen Punkt der Bézier-Kurve 

– Skizzieren Sie die zugehörige Bézier-Kurve 

GEOMETRIE 


155 


156

3D-Bézier-Kurven 

Spline-Kurven 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Geg: Kontrollpunkte 

im 3-Raum 

Ges: Bézier-Kurve 

Bézier- 

Kurve 

Bézier-Kurven sind durch das 

Kontrollpolygon bestimmt. 

Damit bewirkt die Änderung eines 

Kontrollpunktes eine Veränderung des 

gesamten Kurvenverlaufes (global). 

⇒ ungünstig für Designzwecke 

b 2 

b 3 

158 

b 0 

b 1 

Die Bézier-Kurve liegt in der konvexen Hülle Kontrollpolygon 

ihres Kontrollpolygons (hier: Tetraeder) 


157 

Eine mögliche Abhilfe: Kurven niedrigen 

Grades zu einer Kurve zusammensetzen 

⇒ Spline-Kurve, lokale Kontrolle, an den 

Segmenttrennstellen geeignete 

Übergangsbedingung (z.B. gemeinsame 

Tangente). 


Grad und Kontrollpunkte von Splines 

GEOMETRIE 

Grad und Kontrollpunkte 

von B-Spline Kurven 

GEOMETRIE 

• Viele Splinetypen (B-Spline, 

NURBS, “continuous Bezier” 

in FormZ, interpolierende 

kubische Splines) sind aus 

Bezierkurven 

zusammengesetzt 

• Der Grad der Bezier- 

Segmente heißt Grad der 

Splinekurve 

• Die Kontrollpunkte des 

Splines sind oft von den 

Kontrollpunkten der 

Beziersegmente verschieden 

• kubische B-Spline Kurve 

mit B-Spline Kontrollpolygon 

• kubische B-Spline Kurve 

mit Kontrollpolygonen der 

kubischen Beziersegmente 


159 


160

Spline-Kurven 

Beispiel: 2 mögliche Kurven zum selben Kontrollpolygon 

GEOMETRIE 

B-Spline Kurven, NURBS 

B-Spline-Kurven wurden ins Computer Aided Design von J. Ferguson 

(1964) bei Boeing eingeführt. In CAD-Systemen taucht auch oft der 

Name NURBS (= Non-Uniform Rational B-Splines) auf. 

GEOMETRIE 

Bézier-Kurve 

(Grad 13) 

B-Spline-Kurve 

Grad 2 


Grad 3 

Kurve ist aus Parabelsegmenten mit 

tangentenstetigem Übergang zusammengesetzt. 

B-Spline 

(Grad 2) 


161 


Grad 7 

(= Bézier) 


162 

B-Spline Kurven 

• Eine B-Spline-Kurve vom Grad n besteht aus 

Bezier-Kurven vom Grad n, welche mit 

optimaler Glattheit zusammengesetzt sind: 

• Grad 2: stetige Tangente 

• Grad 3: stetige Krümmung 

... 

• Angabe: Kontrollpolygon, Grad, Knoten (hängt 

mit mathematischer Beschreibung zusammen, 

für Design kaum verwendbar) 

GEOMETRIE 

B-Spline Kurven 

• B-Spline-Kurven können offen oder geschlossen sein: 

– Bei einer geschlossenen B-Spline-Kurve wird ein 

geschlossenes Kontrollpolygon zur Gänze geglättet 

– Im offenen Modus hat ein geschlossenes Polygon 

einen Anfangspunkt und einen damit identischen 

Endpunkt; dort wird nicht geglättet 

GEOMETRIE 

geschlossen 

offen 

offen 


163 


164

B-Spline-Kurven 

Eigenschaften 

GEOMETRIE 

NURBS – Gewichte (weights) 

GEOMETRIE 

• Bei offenen B-Spline Kurven: Endpunkte mit Tangenten 

werden durch das Kontrollpolygon angegeben 

• Kurve liegt in der konvexen Hülle des Kontrollpolygons 

• Es gilt die variationsreduzierende 

Eigenschaft 

• B-Spline-Kurven und somit auch die 

Bézier-Kurven sind Spezialfälle von 

NURBS (= Non-Uniform Rational B- 

Splines) 

• NURBS haben einen zusätzlichen 

Designparameter ⇒ Gewichte. 

• Standardmäßig sind alle Gewichte 

gleich 1, dann stimmt die NURBS- 

Kurve mit der gewöhnlichen B-Spline- 

Kurve überein 

• Das Erhöhen des Gewichtes eines 

Kontrollpunktes bewirkt, dass die 

Kurve zu diesem Kontrollpunkt 

hingezogen wird 

Multipliziert man die Gewichte aller 

Punkte mit demselben Faktor, so 

erhält man die ursprüngliche Kurve 


165 


166 

Kegelschnitte als NURBS 

GEOMETRIE 

Tipps zum CAD Konstruieren 

mit Splinekurven 

GEOMETRIE 

b 1 

w 1 

> 1 

w 1 

= 1 

0 < w 1 

< 1 

Von den Kegelschnitten (Kreis, Ellipse, 

Parabel, Hyperbel) kann nur die Parabel 

als Bézier-Kurve (vom Grad 2) 

repräsentiert werden. 

Durch das Verwenden von Gewichten 

können alle Kegelschnittstypen als 

NURBS vom Grad 2 erhalten werden. 

Komplexe Kurvenformen mittels 

NURBS modellieren, und 

Feinabstimmungen durch 

Veränderung der Kontrollpunkte und 

der Gewichte vornehmen. 

w 1 > 1 Hyperbelbogen 

w 1 = 1 Parabelbogen 

0 < w 1 < 1 Ellipsenbogen 

b 0 b 2 


167 


168

Splines in der Architektur 

GEOMETRIE 

Unterteilungskurven 

(Subdivision curves) 

GEOMETRIE 

Grundideen der Unterteilung gehen 

zurück in die 40er Jahre als 

G. Rahm „corner cutting“ dazu 

verwendete glatte Kurven zu beschreiben 

Anwendungen im CAD, geometrischen 

Modellieren und in der Computergraphik 

Grand Arbour, 

Brisbane, Australia 


169 


170 

Chaikins Algorithmus 


GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• stationäres Unterteilungsschema, d.h. in jedem 

Iterationsschritt k=1,2,… wird dieselbe Methode 

(corner cutting) angewendet 

• für k ∞ erhält man so eine quadratische 

B-Spline Kurve 

P 1 P 2 

P 3 

P 4 

Q 1 R 1 R 3 

R 0 

Q 2 

Q 0 

Q 3 

R 

P 

2 

0 

In jedem 

Iterationsschritt 

werden die 

einzelnen Strecken 

bei ¼ bzw. ¾ 

geteilt und die 

neuen Punkte 

verbunden. 


171 


172


Unterteilungskurven 

GEOMETRIE 

• Weitere Unterteilungsalgorithmen für Kurven (und auch 

Flächen) werden im Wahlpflichtfach “CAAD und 

Geometrie” vorgestellt 

• Bsp: Interpolierender Unterteilungsalgorithmus 

GEOMETRIE 

k = 0 k = 1 k = 2 

0 1 2 

3 

4 

5 

5 

k = 3 k = 4 

k = 5 


173 


174 

Übungsbeispiel Unterteilungskurven 

• Konstruieren Sie für das gegebene Polygon den ersten 

Verfeinerungsschritt im Chaikin Algorithmus 

– In welchem Verhältnis werden die Seiten jeweils 

unterteilt? 

– Welche Art von Freiformkurve erhält man so bei 

fortgesetzter Unterteilung? 

GEOMETRIE 




Flächen im Bauwesen 

GEOMETRIE 

SECC Conference Center, 

Glasgow, Scotland 

Office Building, 

Prague, Czech Republic 

Reorganized Church of Jesus Christ 

of Latter Day Saints Temple, 

Independance, Missouri, USA 


175 


176

a 

Drehflächen 

(Rotational Surfaces) 

Eine Drehfläche entsteht durch stetige Drehung einer erzeugenden 

Kurve e um eine feste Achse a. 

e 

GEOMETRIE 

Drehflächen 

Die einzelnen Punkte der 

Erzeugenden e beschreiben dabei 

der Fläche angehörende Kreise, die 

ihre Parallelkreise heißen, weil sie 

in parallelen, zu a normalen Ebenen 

liegen. 

Jede durch die Achse gelegte 

Ebene schneidet die Drehfläche Meridian 

nach einem Meridian. Alle 

Meridiane einer Drehfläche sind 

untereinander kongruent, weil sie 

durch Drehung auseinander 

hervorgehen. 

a 

GEOMETRIE 

Flachkreis 

Kehlkreis 

Äquatorkreis 

Spezielle Parallelkreise: 

Äquatorkreis, Kehlkreis, Flachkreis 


177 


178 

Spezielle Drehflächen 

Gebaute Drehflächen 

Drehzylinder 

Kugel 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Drehkegel 

Torus 

Bonaventure Hotel, 

Los Angeles, USA 

Melbourne Central, 

Melbourne, Australia 

Oriental Pearl Tower, 

Shanghai, China 


179 


180

Drehquadriken 

Drehparaboloid 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Eine Drehfläche, die bei stetiger Drehung eines Kegelschnittes um eine 

seiner Achsen entsteht, heißt Drehquadrik. Ebene Schnitte dieser 

Flächen sind Kegelschnitte. 

Außer den Kugeln gibt es folgende Typen: 

Ein Drehparaboloid entsteht bei Drehung einer Parabel um ihre Achse. 

Eigenschaft: Strahlen parallel zur Achse werden in den Brennpunkt 

reflektiert (Anwendung: Satelliten-Parabolspiegel) 

Drehellipsoid 


Drehhyperboloide 



181 


182 

Drehparaboloide im Bauwesen 

Drehellipsoid 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Ein eiförmiges bzw. abgeplattetes Drehellipsoid entsteht durch 

Drehung einer Ellipse um ihre Hauptachse bzw. Nebenachse. 

Very Large Array 

Plains of San Augustin, 

New Mexico 

Erdefunkstelle Aflenz (Steiermark) 

Gustav Peichl, 1980 (Antennen ∅ 32m) 

Kirche, 

Oklahoma City, USA 

Quelle: Telekom Austria 

Planetarium, 

Bochum, Deutschland 


eiförmiges 

Drehellipsoid 

abgeplattetes 

Drehellipsoid 


184

Drehellipsoide im Bauwesen 

Drehhyperboloid 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Ein zweischaliges bzw. einschaliges Drehhyperboloid entsteht bei 

Drehung einer Hyperbel um ihre Hauptachse bzw. Nebenachse. 

Rockhalle im Gasometer B 

(Durchschnitt von 2 Drehellipsoiden) 

Fukui Prefectural Museum of Dinosaurs, 

Katsuyama, Fukui, Japan 

Museum of Ftuit, 

Yamanashi, Itsuko Hasegawa 

‘Atomei’ 

(Forschungsreaktor) 

Garching, Deutschland 


185 

zweischaliges 


einschaliges 



186 

Regeldrehflächen 

Eine Drehfläche, deren erzeugende Kurve e eine Gerade ist, 

heißt Regeldrehfläche. 

Die einzelnen Lagen von e heißen Erzeugenden der Fläche. 

Ist die Gerade e zur Drehachse parallel bzw. schneidet e die 

Drehachse in einem Punkt S, so ist die Regeldrehfläche ein 

Drehzylinder bzw. ein Drehkegel mit der Spitze S. 

GEOMETRIE 

Drehhyperboloide im Bauwesen 

Kühltürme Atomkraftwerk 

Temelin, Tschechien 

GEOMETRIE 

Ist die Erzeugende e 

zur Achse windschief 

(aber nicht normal), 

dann erhalten wir ein 

einschaliges 

Drehhyperboloid. In 

einer solchen Fläche 

liegen zwei 

Drehscharen von 

Erzeugenden. e-Schar f-Schar e- und f-Schar 


187 

Kathedrale Sacre-Coeur, 

Algier, Algerien 


188

Rohrflächen (Pipe Surfaces) 

Rohrflächen (Pipe Surfaces) 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

m 

• Eine Rohrfläche ist bestimmt durch die 

Ortslinie m der Kugelzentren (Mittellinie der 

Rohrfläche) und den Kugelradius r. 

•Eine Rohrfläche kann auf zwei Arten 

erzeugt werden: 

1. als das Hüllgebilde einer Schar 

kongruenter Kugeln 

2. indem ein Kreis in einer Ebene normal 

zur Mittellinie bewegt wird 

• Beispiele: Drehzylinder, Torus, ... 


189 


190 

Rohrflächen 

GEOMETRIE 

Kanalflächen 

GEOMETRIE 

Als Verallgemeinerung der Rohrflächen sind jene Flächen anzusehen, die 

das Hüllgebilde einer Schar von Kugeln sind, deren Radius von der Lage 

des Kugelmittelpunktes abhängt. Sie werden Kanalflächen genannt. 

Sonderfälle der Kanalflächen sind die Rohr-, und Drehflächen. Eine 

Drehfläche ist eine Kanalfläche mit gerader Mittellinie. 

Wasserrutsche 

Spielgerät: 

Teil einer Rohrfläche 


191 


192

Wiederholung Schraubung 

Schraublinie/Schraubzylinder 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Schraubung = räumlicher 

Bewegungsvorgang, der durch 

Zusammensetzen einer 

gleichförmigen Drehung um 

eine Achse a mit einer 

gleichförmigen Schiebung 

parallel zu a entsteht 

• Begriffe: 

– Drehwinkel ϕ 

– Schraubparameter p 

– Ganghöhe h 

• Jede Schraublinie liegt 

auf einem sogenannten 

Schraubzylinder mit der 

Schraubachse als Achse. 

In diesem Beispiel ist die 

Säule der Schraubzylinder. 

• Schraublinie = Bahnkurve 

eines Punktes, der einer 

Schraubung unterworfen wird 

Pestsäule, Karlskirche in Wien, 1716-1733 


193 


194 

Rechts-/Linksschraubung 

Rechts-/Linksschraubung 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Rechtsschraubung 

Linkssschraubung 

• Besitzen Drehung und Schiebung in Bezug auf ein 

Rechtskoordinatensystem, dessen z-Achse die 

Schraubachse a ist, gleiches Vorzeichen, dann spricht 

man von einer Rechtsschraubung, andernfalls von einer 

Linksschraubung 

• Betrachtet man die 

Säulen der Karlskirche, 

so sieht man, dass die 

rechte Säule eine 

Rechtsschraublinie, die 

linke eine 

Linksschraublinie trägt. 

• Durch eine Bewegung 

kann eine 

Rechtsschraublinie nicht 

in eine Linksschraublinie 

übergeführt werden! 


195 


196

Abwicklung einer Schraublinie 

GEOMETRIE 

Schraubflächen 

(Helical Surfaces) 

GEOMETRIE 

• Die Tangenten längs 

einer Schraublinie 

schließen mit einer zur 

Achse normalen Ebene 

einen konstanten Winkel 

ein 

• Schneidet man den 

Schraubzylinder längs 

einer Erzeugenden auf 

und wickelt man diesen 

Mantel in eine Ebene ab, 

dann ist die Abwicklung 

der Schraublinie eine 

Gerade 

ϕ 

ϕ 

α 

ϕ 

α 

Unterwirft man eine Kurve e einer stetigen Schraubung, wobei e keine 

Bahnkurve dieser stetigen Schraubung ist, so heißt die Menge der 

Punkte der dabei entstehenden, zu e kongruenten Kurven eine 

Schraubfläche. 

Die Schnittkurven mit Ebenen normal zur Schraubachse bzw. durch die 

Schraubachse heißen Querschnitte bzw. Meridiane der Schraubfläche. 

Doppelwendeltreppe, Grazer Burg, 1499 

DNA 

Beispiele: 

• Regelschraubflächen 

(z.B. Wendelfläche) 

• Kreisschraubflächen 

• Schraubtorsen 


197 


198 

Wendelflächen 

Gebaute Wendelflächen 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Die Geraden durch die Punkte 

einer Schraublinie, welche die 

Schraubachse orthogonal 

schneiden, bilden eine 

Wendelfläche. 

Wendelflächen treten als 

Unterseiten von Wendeltreppen, 

als Wendelrampen und als 

flachgängige Schrauben auf. 


199 

Solomon R. Guggenheim Museum von 

Frank Lloyd Wright (1867-1959), N.Y. City. 

Eine langläufig gewendelte Rampe zieht 

sich über sechs Geschosse durch den 

gesamten Innenraum des Museums und 

stellt nicht nur die Erschließung der daran 

angrenzenden Ausstellungsräume bzw. 

Nebenräume dar, sondern ist zugleich 

Ausstellungsbereich für Bilder und/oder 

Skulpturen. Das Museum wurde 1959 

fertiggestellt und beinhaltet seither 

Wechselausstellungen Moderner Kunst. 


200

Doppelwendeltreppe 

GEOMETRIE 

Der Stiegenaufgang im Vatikanischen Museum in Rom ist als Doppelwendeltreppe 

ausgeführt. So werden die Besucherströme beim Betreten bzw. Verlassen des 

Gebäudes auf getrennten Treppen geführt. Weitere Anwendungen finden sich bei 

den Auf-/Abfahrtsrampen in Parkhäusern. 

Anwendungen der Schraubung 

Bei Treppen gehen Stufen oft durch Schraubung auseinander hervor. 

GEOMETRIE 

Stiegenaufgang des Vatikanischen Museums 

Rom, Italien 


201 


202 

Auftreten von Schraubflächen 

im Bauwesen 

GEOMETRIE 

Kreisschraubflächen 

GEOMETRIE 

Parkhaus …... 

Grundriss Parkhaus…... 


203 

Meridiankreisschraubfläche: 

Entsteht durch 

Verschraubung eines Kreises 

in einer durch die 

Schraubachse gehenden 

Ebene 

Schichtenkreisschraubfläche: 

Entsteht durch 

Verschraubung eines Kreises 

in einer zur Schraubachse 

normalen Ebene 


204

Kreisschraubflächen 

Rohrschraubflächen 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Schneidet der erzeugende 

Kreis die Schraubachse, 

dann entstehen die für den 

Barock typischen Säulen 

1. Art der Erzeugung: 

Man bewegt einen Kreis, 

welcher in einer zur 

Bahnschraublinie m 

seines Mittelpunktes M 

normalen Ebene liegt, 

entlang m 

Innenansicht der Jesuitenkirche (ehemalige 

Universitätskirche, Wien I, zwischen 1623 

und 1631) mit gewundenen Barocksäulen 


205 

Rutsche Ravenna von 

Grünzig Spielgeräte 

2. Art der Erzeugung: 

Rohrschraubfläche ist 

eine Einhüllende einer 

Kugel, die längs einer 

Schraublinie bewegt wird 


206 

Regelflächen 

• Wird eine Gerade im Raum bewegt so überstreift 

sie im Laufe dieser Bewegung eine Regelfläche 

(außer die Gerade wird nur in sich verschoben) 

• Durch jeden Punkt einer Regelfläche geht 

mindestens eine Flächengerade, die Erzeugende 

genannt wird 

GEOMETRIE 

Tangentialebenen von Regelflächen 

• Berührt in allen Punkten 

einer Erzeugenden dieselbe 

Tangentialebene, so 

spricht man von einer 

torsalen Erzeugenden 

(z.B. Kegel, Zylinder) 

GEOMETRIE 

• Sind alle Erzeugenden 

einer Regelfläche torsal, 


torsalen Regelfläche 

(einfach gekrümmte 

Regelfläche) 

City Link 

Melbourne, Australia 


207 


208

Tangentialebenen von Regelflächen 


GEOMETRIE 

• Sind die Tangentialebenen in 

den einzelnen Punkten einer 

Erzeugenden verschieden, so 


nichttorsalen Erzeugenden. 

Jede Ebene durch eine solche 

Erzeugende ist in genau einem 

Punkt der Erzeugenden 

Tangentialebene. 

• Regelflächen, deren 

Erzeugende nichttorsal sind, 

heißen windschiefe 

Regelflächen (zweifach 

gekrümmte Regelflächen) 

209 

A 

g 

Erzeugung von Regelflächen 


GEOMETRIE 

Die Bewegung einer Geraden im Raum kann durch zwei Leitkurven samt 

einer Punktkorrespondenz zwischen den Kurven angegeben werden: 

X 

• Die Gerade muss stets beide Leitkurven treffen 

• Die Punktkorrespondenz gibt an, welche Punkte der zwei 

Kurven gleichzeitig von der Geraden durchlaufen werden 

(z.B. Durchlaufgeschwindigkeit auf jeder Kurve). 

A* 

X* 

l 1 

l 2 

B* 

B 

Beispiel: 

Gegeben sind zwei Leitkurven l 1 ,l 2 

sowie die Gerade g in ihrer 

Startlage AA* und Endlage BB*. 

Korrespondierende Punkte 

werden durch Abtragen von 

Bogenlängen mit einem fixem 

Ähnlichkeitsfaktor λ gefunden: 

(hier: λ = ½ ) 

* * 

AX=λ ⋅ AX 

210 

Beispiele zur Erzeugung von 

Regelflächen durch Leitkurven 

GEOMETRIE 

Die HP-Fläche 

GEOMETRIE 

Zylinder: 

•Leitkurven: 

Zwei kongruente Kreise 

in parallelen Ebenen 

•Die Zuordnung 

erfolgt durch 

Bogenlängenähnlichkeit 

Drehkegel: 

•„Leitkurven“: 

Punkt und Kreis in 

geeigneter Lage 

•Treffgeradenmenge 

aus der Spitze an den 

Basiskreis 

Betrachten wir nun zwei 

Geraden als Leitkurven: 

• Parallele Leitgeraden ⇒ 

ebenes Flächenstück 

(trivialer Fall) 

Drehhyperboloid: 


Zwei kongruente Kreise 

in geeigneter Lage 


erfolgt durch 


Wendelfläche: 


Schraublinie und 

deren Achse 


erfolgt durch 


windschiefe Leitgeraden 

• Windschiefe Leitgeraden 

hyperbolisches Paraboloid 

oder kurz HP-Fläche 

Bemerkung: Zu jeder Regelfläche kann eine Schar von geeigneten Leitkurven gefunden werden. 


211 

Erzeugenden 


212

Teilverhältnisregel für HP-Flächen 

HP-Flächen als zweifache Regelflächen 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

B 

ε‘ 

X 

A 

z‘‘ 

x‘ 

B* 

X* 

y‘‘ 

y‘ 

A* 

Die Zuordnung zwischen den Leitgeraden 

erfolgt nun durch Abtragen von Teilstrecken 

(analog zur Bogenlänge bei Leitkurven): 

Die Leitgeraden werden durch die 

Erzeugenden teilverhältnisgleich 

aufeinander bezogen 

TV(A,B,X) = TV(A*,B*,X*) 

Es gibt einen Parallelriss, in dem 

die Erzeugenden als untereinander 

parallele Geraden erscheinen. 

D.h. die Erzeugenden sind alle parallel 

zu einer Ebene, der sogenannten 

Richtebene ε (hier: erstprojizierend). 


213 

z‘‘ 

x‘ 

y‘‘ 

y‘ 

• Es gibt eine Schar von Leitgeraden 

welche auf der Fläche liegen. 

Bezüglich je zwei dieser Leitgeraden 

gilt die Teilverhältnisregel. 

• Auf der Fläche gibt es zwei 

gleichberechtigte Scharen von 

Erzeugenden 

– je zwei Geraden derselben Schar 

sind windschief 

– je zwei Geraden verschiedener 

Scharen schneiden in einem 

Flächenpunkt 

• Durch jeden Flächenpunkt gehen 

zwei Erzeugende, welche die 

Tangentialebene in diesem Punkt 

aufspannen 


214 

D 

HP-Fläche durch windschiefes Vierseit 

C 

A 

B 

• Eine HP-Fläche ist durch ein 

windschiefes 

Erzeugendenvierseit 

eindeutig festgelegt. 

• Das windschiefe Vierseit ist 

durch 4 nicht in einer Ebene 

liegende Punkte A, B, C, D 

festgelegt 


GEOMETRIE 

• Eine Schar von Erzeugenden 

besitzt AB und DC als 

Leitgeraden. Konstruktion 

mittels Teilverhältnisregel 

• Die andere Schar von 

Erzeugenden besitzt 

AD und BC als Leitgeraden. 

Konstruktion von Erzeugenden 

mittels Teilverhältnisregel 

215 

x 

Optimale Aufstellung von HP-Flächen 

z 

• In dieser besonderen 

Aufstellung gibt es genau einen 

Punkt S mit horizontaler 

Tangentialebene. Dieser heißt 

Scheitel S der HP-Fläche. 

• Die Flächennormale im Scheitel 

(lotrecht in der besonderen 

Aufstellung) heißt Achse a der 

HP-Fläche 

y 

• Jede der beiden Erzeugendenscharen 

besitzt eine Richtebene 


GEOMETRIE 

• Werden die Richtebenen beide lotrecht 

gewählt, so hat die HP-Fläche besonders 

günstige statische Eigenschaften (große 

Spannweite bei geringer Schalendicke) 

S 

a 

216

Ebene Schnitte von HP-Flächen 

Gebaute HP-Flächen 

• Der Schnitt einer HP-Fläche mit einer Ebene 

– parallel zur Achse ist eine Parabel (oder eine 

Erzeugende falls die Ebene eine Richtebene ist) 

– schräg zur Achse ist eine Hyperbel 

(Ausnahme: Ist die Ebene eine Tangentialebene so 

schneidet sie die Fläche nach 2 Erzeugenden) 

GEOMETRIE 

Philips-Pavillon (Le Corbusier) 

Weltausstellung 1958 Brüssel 

Aufbahrungshalle, Wien 21 

Dachkonstruktion: HP-Schale aus Holz 

GEOMETRIE 

Restaurant Los Manantiales 

(Felix Candela) 

1958, Xochimilco, Mexico 

Entertainment Center 

(Felix Candela) 


217 


218 

Konoidale Regelflächen 

Wendelflächen 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

x 

z 

Leitgerade 1 

y 

Richtebene 

Richtebene 

• Regelflächen, deren 

Erzeugende zu einer Ebene ε 

parallel sind, heißen 

konoidale Regelflächen. 

Beispiel: HP-Fläche 

• Die Ebene ε und jede zu ihr 

parallele Ebene heißt 

Richtebene der Fläche. 

• Durch Angabe der 

Richtebene und zweier 

Leitkurven ist eine konoidale 

Regelfläche bestimmt. 

• Die Geraden durch die 

Punkte einer Schraublinie, 

welche die Schraubachse 

orthogonal schneiden, 

bilden eine Wendelfläche. 

• Die Wendelfläche ist eine 

konoidale Regelfläche, 

die eine Schraublinie und 

deren Achse als Leitkurven 

besitzt. Die Richtebenen 

sind zur Schraubachse 

normale Ebenen. 

Leitkurve 2 


219 


220

Erzeugende 

parallel zur 

Richtebene 

Leitkurven 

e 

Olympic Train Station, Homebush, 

Sydney, Australia 

Sheddächer 


GEOMETRIE 

• Sheddächer sind häufig 

Ausschnitte von 

konoidalen Regelflächen 

mit lotrechten 

Richtebenen 

• Meist ist eine Richtebene 

gemeinsame 

Symmetrieebene der 

Leitkurven und somit 

auch Symmetrieebene 

der Fläche. 

lotrechte Richtebene 

221 

Wird eine Kurve k (Profilkurve) 

entlang einer Kurve l (Leitkurve) 

zu sich parallel verschoben, so 

heißt die Menge der Punkte der 

dabei entstehenden zu k 

kongruenten Kurven eine 

Schiebfläche. 

Halle 26, Deutsche Messe 

Hanover, Germany 

Schiebflächen 

Dulles Airport von Eero Saarinen, 

Chantilly, Virginia, 1958-1962 


GEOMETRIE 

Wird speziell eine Gerade k längs 

einer Leitkurve l verschoben, so 

ist diese Schiebfläche eine 

allgemeine Zylinderfläche. 

222 

Schiebflächen 

• Gegeben sind eine Leitkurve l und eine Profilkurve k, die 

einen Punkt O gemeinsam haben: 

Wir wenden auf k Schiebungen an, welche O in Punkte 

der Leitkurve l überführen. Dadurch entstehen neue 

Lagen der Profilkurve, welche eine Schiebfläche bilden. 

GEOMETRIE 

Zweifache Erzeugung 

von Schiebflächen 

GEOMETRIE 

Die Rollen von Profil- und Leitkurve können vertauscht werden: 

• Bei Verschiebung von k längs l entsteht dieselbe Fläche wie bei 

Verschiebung von l längs k. 

• Die Fläche trägt demnach zwei Scharen von Kurven, welche zu 

k bzw. l schiebungsgleich sind 

L 

Leitkurve l 

P 

K 

Profilkurve k 

K 

Profilkurve k 

P 

Leitlinie l 

L 

0 


223 

O 


224

HP-Flächen als Schiebflächen 

HP-Fläche als Schiebfläche 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

p 2 

p 1 

226 

Bei Verschiebung einer Parabel p 1 längs einer Parabel p 2 entsteht eine HP-Fläche, 

sofern die beiden Parabeln parallele Achsen besitzen. 


225 


• als Schiebfläche 

HP-Flächen im CAD 

• Schiebparabeln als 

Bezierkurven 2. Grades 

modellieren 

• HP-Fläche durch sweepen 

(verschieben) einer Parabel 

längs der anderen erzeugen 

GEOMETRIE 

Abwickelbare Flächen 

Unter der Abwicklung oder Verebnung einer krummen Fläche versteht 

man, anschaulich gesprochen, ihre längentreue (und somit auch 

winkeltreue) Ausbreitung in eine Ebene. 

Raumkurve 

P 

GEOMETRIE 

• als Regelfläche 

– durch Einspannen einer 

Bezierfläche vom Grad (1,1) 

in ein windschiefes Vierseit 

Abwickelbare krumme Flächen: 

τ 

• Zylinderflächen, Kegelflächen,Tangentenflächen von Raumkurven 

• Kennzeichnende Eigenschaft: 

Regelflächen die nur torsale Erzeugenden besitzen 

(Tangentialebene berührt jeweils längs der gesamten Erzeugenden) 


227 


228


GEOMETRIE 

• Zylinderfläche entsteht durch Verfeinerung einer Prismenfläche 

• Kegelfläche entsteht durch Verfeinerung einer Pyramidenfläche 


GEOMETRIE 

• Tangentenfläche einer Raumkurve entsteht durch 

Verfeinerung eines Torsenpolyeders: 

• Die Kanten des Torsenpolyeders sind die Seitengeraden eines 

räumlichen Polygons. Die Seitenflächen werden von jeweils zwei 

aufeinanderfolgenden Polygonseiten aufgespannt. 

• Durch Verfeinerung entsteht aus einem räumlichen Polygon eine 

Raumkurve. Die Polygonseiten gehen dabei in Kurventangenten 

über. Aus dem Torsenpolyeder des Polygons entsteht die 

Tangentenfläche der Raumkurve. 

• Das erzeugende Polygon bildet eine Rückkehrkante auf dem 

Torsenpolyeder ↔ Die erzeugende Raumkurve ist eine scharfe 

Kante (Gratlinie) der Tangentenfläche 


229 


230 

Abwickelbare Flächen im Bauwesen 

Abwickelbare Flächen sind für das 

Bauwesen interessant, weil sie ... 

• eine Schar von Geraden tragen 

und daher leichter zu bauen sind 

als ganz freie Formen 

(z.B. Verschalungen, 

Stahlbeton, Holzbau, …) 

• mit Blech leicht zu 

verkleiden sind 

GEOMETRIE 

Abwicklungen 

• Die Animation zeigt die Abwicklung eines Drehzylinders 

bzw. eines Drehkegels in eine Ebene 

GEOMETRIE 

Weisman Art Museum 

http://hudson.acad.umn.edu/ 


231 


232

Abwicklung eines Kegels 

Netz eines Polyeders 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Ein Polyeder, also ein aus lauter ebenen Flächenstücken begrenzter 

Körper, lässt sich mit verhältnismäßig geringem Aufwand nachbilden, 

indem man die einzelnen Oberflächenteile aus Karton oder Blech 

ausschneidet und aneinanderheftet. 

Die in einer Ebene möglichst zusammenhängend aneinandergereihten 

Flächenstücke bilden das Netz des Polyeders 

Fußball = Ikosaederstumpf 


233 

In FormZ kann für die Abwicklung von Flächen 

der Befehl “Unfold” verwendet werden. 


234 

Übungsbeispiele Netze von Polyedern 

Abwicklung - Netz 

• Skizzieren Sie 

• die 11 verschiedenen Netze eines Würfels 

• Netze von Tetraeder, Oktaeder, 

Pentagondodekaeder und Ikosaeder 

• ein Netz des untenstehenden Objektes 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Von jeder Fläche kann man ein Näherungspolyeder 

bilden und für dieses ein Netz konstruieren 

• Dabei entstehen zwischen den verebneten 

Seitenflächen Lücken, welche auch bei noch so 

feiner Approximation auftreten 

• Dieser Vorgang kann also nicht als Beweis für die 

Abwickelbarkeit beliebiger Flächen dienen 

Beispiel: 

Eine Kugel ist nicht in die Ebene abwickelbar, 

daher gibt es keine verzerrungsfreien Landkarten 


235 


236

Freiformflächen 

Bézier-Flächen 

Karin Zeitlhuber, Reinhard Bernsteiner; 

Die Welle: Berufsschule Villach 

Preston Scott Cohen; 

Torus House; Old Chatham 

Frank O. Gehry; 

Experience Music Project 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

• Bezier-Kurven werden von einem Kontrollpolygon 

ausgehend konstruiert. Es liegt also nahe für Bezier-Flächen 

ein Kontrollnetz zu verwenden. 

• Allgemein wird eine Bézier-Fläche vom Grad (m,n) durch ein 

Vierecksnetz mit Eckpunkten P i,j (i = 0,...,m; j = 0,...,n) 

angegeben. Das Bézier-Flächenstück besitzt i.a. 4 

Randkurven. Diese sind Bézier-Kurven mit den 

Randpolygonen des Netzes als Kontrollpolygonen 

Freiformflächen sind wegen ihrer großen 

Bedeutung im industriellen Design entwickelt 

worden (z.B. Automobilindustrie, Schiffbau). 

Sie finden inzwischen auch großes Interesse bei 

repräsentativer Architektur 

Freiformmodule findet man in allen CAD-Systemen 


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Zur Konstruktion eines 

Flächenpunktes kann man jede der 

m+1 “Zeilen” (verbinden jeweils n+1 

Punkte mit festem Index i) als 

Kontrollpolygone auffassen und zum 

selben Teilverhältnis Kurvenpunkte 

konstruieren. Dies liefert m+1 

Punkte, welche die Kontrollpunkte 

einer Bézier-Kurve m-ten Grades 

sind, die ganz auf der Fläche liegt. 

GEOMETRIE 


• Randkurven eines Bézier-Flächenstücks sind 

Bézier-Kurven 

• Eckpunkte des Kontrollnetzes sind Punkte des 

zugehörigen Bézier-Flächenstücks 

GEOMETRIE 

Damit sieht man, dass auf einer 

Bézier-Fläche vom Grad (m,n) eine 

Schar von Bézier-Kurven vom Grad 

m liegt. Analog erhält man über die 

Spalten des Kontrollnetzes eine Schar 

von Bézier-Kurven vom Grad n, die 

ganz auf der Fläche liegen. 


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Bézier-Regelflächen 

HP-Fläche als Bezier-Fläche 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Eine Bézier-Kurve ersten Grades ist eine 

geradlinige Strecke. 

Daher ist eine Bézier-Fläche vom Grad 

(1,n) oder (m,1) ein Regelflächenstück. 

Sind bei einer Bézier-Fläche vom Grad 

(1,n) die n+1 Spaltenstrecken parallel, so 

erhält man ein Stück einer Zylinderfläche. 

Die Randkurven sind die Bézier-Kurven 

zu den Randpolygonen des Netzes. 

• Eine Bézierfläche vom Grad (1,1) ist eine HP-Fläche 

B 1 , 0 

B 1 , 1 

B 0 , 0 

B 0 , 1 

• Eine Bézier-Fläche vom 

Grad (1,1) ist durch vier 

Kontrollpunkte B 0,0 

, B 0,1 

, B 1,0 

, 

B 1,1 

gegeben, welche zu 

einem Kontrollvierseit 

verbunden werden. 

• Falls dieses Vierseit nicht 

in einer Ebene liegt, ist die 

Bézier-Fläche das 

HP-Flächenstück mit dem 

Kontrollvierseit als 

Erzeugendenvierseit 


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B-Spline-Flächen 

GEOMETRIE 

• Die Bézier-Methode ist zum Design 

komplizierterer Formen kaum 

geeignet, weil bei höherem Grad die 

Bezier-Fläche die Form der 

Eingabefigur nicht gut wiedergibt. 

• Oft ist auch der globale Einfluss der 

Kontrollpunkte unerwünscht: 

Änderung eines einzigen Punktes 

beeinflusst das gesamte Flächenstück. 

B-Spline-Flächen 

• Die mathematische Beschreibung einer B-Spline-Fläche 

basiert auf einem Vierecksnetz. Dieses besitzt im 

allgemeinen vier Randpolygone und beschreibt demnach 

ein Flächenstück, dass von vier Randkurven begrenzt wird. 

• Fallen ein oder zwei Paare gegenüberliegender 

Randpolygone des Vierecksnetzes zusammen, so 

entstehen schlauchförmige bzw. torusförmige Flächen. 

GEOMETRIE 

• In der Praxis verwendet man daher oft 

B-Spline-Flächen. Auf dieselbe Art wie 

man von Bezier-Kurven auf Bezier- 

Flächen erweitert gelangt man von 

B-Spline-Kurven auf B-Spline-Flächen. 


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NURBS-Flächen 

• So wie bei den NURBS-Kurven kann man die Form 

einer NURBS-Fläche durch Gewichte, die den 

Kontrollpunkten zugeordneten sind, steuern. 

• Effekt der Gewichte wie bei NURBS-Kurven 

GEOMETRIE 

• Das Bild zeigt eine NURBS-Fläche mit einem 

Kontrollnetz bestehend aus 5*7 = 35 Kontrollpunkten 

Gebaute Freiformflächen 

GEOMETRIE 


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246 

Ausblick: 

Geometrie & CAAD 

Vorlesung 

• Vertiefung Freiformflächen 

• Subdivision Surfaces 

• Sweep- und Skinflächen 

• Spiralung 

• Netze und Modellbau 

• Animation 

Übung 

• Modellierung gebauter 

Objekte 

• Durchführung eines 

umfangreicheren 

CAD-Projektes 

GEOMETRIE 

Unterteilungsflächen 

(Subdivision Surfaces) 

• Können im Gegensatz zu 

klassischen Freiformflächen 

(NURBS-Flächen, …) Flächen 

beliebiger Topologie darstellen 

• Methode: 

Ausgehend von einem Mesh 

wird dieses nach gegebenen 

Unterteilungsregeln verfeinert 

bis man eine hinreichend 

glatte Fläche erhält 

GEOMETRIE 


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Sweepflächen entstehen, indem 

eine erzeugende Kurve längs einer 

oder mehrerer beliebiger Kurven 

bewegt wird. Lage und Form der 

erzeugenden Kurve kann sich 

während der Bewegung ändern 

Sweepflächen 

GEOMETRIE 

Skinning 

GEOMETRIE 

• Skinning eignet sich besonders zur Erstellung von 

organischen und komplexen 3D-Formen 

• Skin ist gegenüber Sweep die mächtigere Operation 

City Link, Melbourne, Australia 


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Guggenheimmuseum (Bilbao) 


250 

Ausblick: 

Erschließung neuer Geometrien 

GEOMETRIE 

3D Photographie 

„Wiener Trio“ 

GEOMETRIE 

• 3D-Photographie & 3D-Druck 

• Visualisierung und Analyse 

von geometrischen Objekten 

• Geometrische Topologie 

• Minimalflächen 

• Fraktale 

• Mathematische Morphologie 

Kunstwerk am Schottenring 

3D-Scannen 

CAD-Modell 

Rekonstruktion 

3D-Drucken 


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Einseitige Flächen 

Fraktale Geometrie 

GEOMETRIE 

GEOMETRIE 

Möbiusband 

Kleinsche 

Flasche 

Euklidische Geometrie 

• 2000 Jahre alt 

• verwendbar für künstliche 

Objekte 

• glatte Oberflächen 

• analytische Gesetzmäßigkeiten 

Fraktale Geometrie 

~ 30 Jahre alt 

verwendbar für natürliche 

Objekte 

rauhe Oberflächen 

Algorithmen 


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Darstellende Geometrie

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