Algorithmus von Tonelli und Shanks - CITS

Kettenbrüche
Definition Kettenbruch
Ein endlicher Kettenbruch ist eine Sequenz[a 0 ,..., a n ] mit a i ∈ R und
Wert [a 0 ] := a 0 und [a 0 ,..., a n ] := [a 0 ,...,a n−1 + 1 a n
] für n ∈ N.
Der Wert ist eines unendlichen Kettenbruchs [a 0 , a 1 ,...] ist definiert
als lim n→∞ [a 0 ,...,a n ].
Anmerkung: Aus der Definition folgt
[a 0 ,..., a n ] = a 0 +
1
1
a 1 +
a 2 +...+
an
1
Ziel: Konstruiere [a 0 , a 1 ,...] mit a 0 ∈ Z und a i ∈ N für i ≥ 1.
Bsp:
43 13
30
= 1+
30 = 1+ 1 30
13
= 1+ 1
2+ 4
13
= 1+ 1 = 1+ 1
2+ 1
13
4
.
2+ 1
3+
4
1
= [1, 2, 3, 4].
Sei Φ = [1, 1,...]. Für den Grenzwert muss gelten Φ = 1+ 1
1+Φ .
Die positive Lösung von Φ 2 −Φ−1 ist der goldene Schnitt 1+√ 5
2
.
Zahlentheorie - V16 - 04.06.2012 Kettenbruch, Kettenbruch-Algorithmus, Näherungsbrüche 140 / 180