Algorithmus von Tonelli und Shanks - CITS

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Kettenbruchalgorithmus Algorithmus KETTENBRUCH EINGABE: x ∈ R 1 Berechne a 0 = ⌊x⌋ und t 0 := x − a 0 ∈ [0, 1[. Setze n = 0. 2 Solange t n ≠ 0 1 Berechne r n := 1 t n > 1, a n+1 := ⌊r n ⌋ ∈ N und t n+1 := r n − a n+1 ∈ [0, 1[. 2 Setze n := n+1. AUSGABE: x = [a 0 ,...,a n ] mit a 0 ∈ Z, a 1 ...,a n ∈ N. Bsp: KETTENBRUCH FÜR 43 30 : i a i t i r i 13 30 0 1 30 13 4 13 1 2 13 4 1 2 3 4 4 3 4 0 − Zahlentheorie - V16 - 04.06.2012 Kettenbruch, Kettenbruch-Algorithmus, Näherungsbrüche 141 / 180
Korrektheit von KETTENBRUCH Satz Korrektheit von KETTENBRUCH Bei Terminierung liefert KETTENBRUCH bei Eingabe x ∈ R Ausgabe x = [a 0 ,..., a n ] mit a 0 ∈ Z und a 1 ,..., a n ∈ N. Beweis: Wir beweisen die Invariante x = [a 0 ,..., a n , r n ] per Induktion. IA für n = 0: Es gilt x = [x] = [a 0 + t 0 ] = [a 0 + 1 r 0 ] = [a 0 , r 0 ]. IS n → n+1: Es gilt [x] IV = [a 0 ,...,a n , r n ] = [a 0 ,..., a n , a n+1 + t n+1 ] = [a 0 ,...,a n , a n+1 + 1 r n+1 ] = [a 0 ,..., a n , a n+1 , r n+1 ]. Zahlentheorie - V16 - 04.06.2012 Kettenbruch, Kettenbruch-Algorithmus, Näherungsbrüche 142 / 180
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Seite 3: Kettenbrüche Definition Kettenbruc
Seite 7 und 8: Terminierung von KETTENBRUCH Beweis
Seite 9 und 10: Näherungsbrüche Lemma Näherungsb

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