Formelheft der 8C (pdf)

Formelheft
der 8C
('11/'12)
zuletzt geändert am 19.3.‘12
Fiona Aschenbrenner
Paul Brandauer
Alwin Dürrer
Angelina Eder
Konrad Estermann
Maximilian Heim
Katharina Höck
Christina Hörhager
Fabian Janiczek
Christina John
Christina Jurkeit
Maximilian Kimmel
Eva Knörnschild
Christina Kohl
Thomas Kriesche
Sarah Leitner
Julia Nageler
Sarah Neumann
Alena Paschke
Benedikt Pfeil
Felix Pfluger
Susanne Pleyer
Maximilian Radford
Julian Scheiblegger
Florian Schroll
Patrick Schwaighofer
Milan Stojanovic
Connor Troger
Claudia Tschallener
Shkurte Uka

Kap. 1 Potenzen; Kap. 2 Gleichungen S.2
1 Potenzen
a, b IR + ; r, s IR; k Z; m, n IN
a 0 = 1; a 1 = a a -n =
n
1 1 =
a
n
a
1
a
n
= n a
k
a
n
= n
a k = n a
k
a r · a s = a r+s
a r : a s = a r-s
(a r ) s = a r·s (a·b) r = a r · b r
a
b
r
=
a
b
r
r
n
k
a =
k
nm
km
n m n
m
a =
a
n a = n a k
n
a b = n a · n b
n
a a
n = b n
b
a
a, b, c IR
(a + b)² = a² + 2·a·b + b² (a – b)² = a² – 2·a·b + b²
(a + b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³ (a – b)³ = a³ – 3·a²·b + 3·a·b² – b³
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c
a² – b² = (a – b) · (a + b) a² + b² = nicht zerlegbar
a³ – b³ = (a – b) · (a² + a·b + b²) a³ + b³ = (a + b) · (a² – a·b + b²)
a 4 – b 4 = (a² + b²) · (a² – b²) = (a² + b²) · (a + b) · (a – b)
2 Gleichungen
quadratische Gleichungen
p, q, b, c IR; a IR \ {0}
p p
x² + p·x + q = 0 x 1/2 = q
2 4
b
a·x² + b·x + c = 0 x 1/2 =
b
2
2
2 a
4 a c

Kap. 2 Gleichungen; Kap. 3 Komplexe Zahlen S.3
Satz von Vieta:
x 1 , x 2 sind Lösungen einer quadratischen Gleichung x² + p·x + q = 0
Es gilt: 1. x² + p·x + q = (x – x 1 ) · (x – x 2 )
2. x 1 + x 2 = - p
3. x 1 · x 2 = q
Gleichungen dritten Grades (Cardan’sche Formel)
r, s, t
x³ + r·x² + s·x + t = 0 Substitution: x = y – 3
r
p
3
y³ + p·y + q = 0 y 1 = 3
3
3
q
2
2
q
2
p
3
3
q
2
2
q
2
andere Gleichungen (höheren Grades)
exakte Lösung durch:
Herausheben gemeinsamer Faktoren (x, x 2 , …)
Substitution (x 2 = u, x 3 = u, sin(x) = u, …)
Probieren (mit Wertetabelle)
… anschließend Polynomdivision
näherungsweise Lösung durch: Intervallschachtelung
3 Komplexe Zahlen
z = a + bi a, b und i² = -1
Regula falsi x n+1 = x n – f(x ) f(x ) ∙f(x n )
Newton’sches Näherungsverf. x n+1 = x n – f'(x )
x
n
n
x
n1
n1
f(x )
n
n
z = r =
2
a b
2
a = r cos
arg z = [0°;360°[
tan = a
b
b = r sin
z = r (cos + i sin ) = (r;)
(r 1 ; 1 ) · (r 2 ; 2 ) = (r 1 · r 2 ; 1 + 2 )
(r1;
1)
(r ; )
2
2
=
r 1
; 1
2
r2
(r;) n = (r n ; n·)
n
r
n
n
( r; ) = ;

Kap. 4 Logarithmus; Kap. 5 Folgen und Reihen S.4
4 Logarithmus
a IR + \ {1}; u, v IR + ; k IR; n IN; x IR
a x = u x = a log(u)
a log(a) = 1
a log(a 2 ) = 2
a log(
a 1 ) = -1
a log(1) = 0
a log(u·v) = a log(u) + a log(v)
a log(
v u ) = a log(u) – a log(v)
a log(u k ) = k·alog(u)
a log( n u ) =
n1 ·alog(u)
10 log(a) = lg(a) … am TI: „log(a)“
e log(a) = ln(a) … am TI: „ln(a)“
Berechnen von Logarithmen mit beliebiger Basis:
a log(u) =
1
ln(a)
·ln(u)
a log(u) =
1
10 ·10 log(u)
log(a)
5 Folgen, Reihen
Arithmetische Folge: a n = a n – 1 + k = a 1 + (n – 1)·k mit k IR
Arithmetische Reihe:
s n = a 1 + a 2 + … + a n = 2n
·(a 1 + a n ) = 2n
·[2·a 1 + (n – 1)·k]
Geometrische Folge: b n = b n – 1 · q = b 1 · q (n – 1) mit q IR \ {0}
Geometrische Reihe: s n = b 1 · b 2 · … · b n = b 1·
n
1 q
1 q
mit q 1
lim
n
s n =
b 1
1 q
mit q < 1
p
Jährliche Verzinsung: K n = K·(1 + 100
Vierteljährliche Verzinsung: K n = K·(1 + p
400
)
n
) 4n
Tägliche Verzinsung: K n = K·(1 +
pn
100
Augenblicksverzinsung: K n = K· e
p
36 000
) 360n
Wachstumsprozesse/Zerfallsprozesse:
Exponentielles Wachstum: P(t) = A ·
k t
e
Begrenztes Wachstum: P(t) = G – A ·
Logistisches Wachstum: P(t) =
Gkt
k t
e
Gkt
G A e
1 A e

Kap. 6 Funktionen S.5
6 Funktionen
Gerade:
Konstante Funktion:
f 1 (x) = d
Inhomogene lineare Funktion:
f 2 (x) = k·x+d
Homogene lineare Funktion:
f 3 (x) = k·x
Parabel:
Quadratische Funktion f 1 (x) = x²:
Scheitel S(0/0); nach oben offen
Allgemeine quadratische Funktion
f 2 (x) = a·x² + b·x + c
f 2 (x) = a·(x² + ab ·x) + c
2
b
4a
f 2 (x) = a·(x² + ab ·x +
2
) + c –
f 2 (x) = a· 2
b
x + b
c
2
2a
4a
2
b b
Scheitel: S
c
2a
4a
b 2
4a
a > 0 … nach oben offen; a < 0 … n. unten offen; a = 0 … keine Parabel! (Gerade)
Potenzfunktion:
f(x) = a·x n
f 1 (x) = x 4
f 2 (x) = x 3
mit a IR; n Z
ähnl. für n IN g
ähnl. für n IN u
f 3 (x) = x -1 ähnl. für n Z -
Wurzelfunktion:
f(x) = n x
f 4 (x) =
x
mit n IN
Exponentialfunktion:
f 5 (x) = e x Basis e = 2,718
gerade Funktion: f(-x) = f(x)
ungerade Funktion: f(-x) = -f(x)

Kap. 7 Aussagen und Mengen S.6
7 Aussagen und Mengen
Schreibweise für Aussagen:
Mengenschreibweise:
A, B ... Aussagen A, B ... Mengen:
A’ ... Negation von A A’ ... Komplement von A:
w.A., f.A. ... wahre bzw. falsche Aussagen G, { } ... Grundmenge bzw. leere Menge:
... und ... oder ... Vereinigung ... Durchschnitt:
A B = B A
A B = B A
A B = B A
A B = B A
(A B) C = A (B C) A B C = A B C
(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
A (A B) = A
A (A B) = A
A (A B) = A
A (A B) = A
A ( B c) = (A B) (A c) A (B C) = (A B) (A C)
A ( B c) = (A B) (A c) A (B C) = (A B) (A C)
A f.A. = A
A w.A. = A
A { } = A
A G = A
A A´ = w.A.
A A´ = G
A A´ = f.A. A A´ = { }
A A = A
A A = A
A A = A
A A = A
A w.A. = w.A.
A G = G
A f.A. = f.A. A { } = { }
( A´ )´ = A ( A´ )´ = A
f.A.´ = w.A.
{ } ´ = G
w.A.´ = f.A. G´ = { }
(A B)´ = A´ B´ (A B)´ = A´ B´
(A B)´ = A´ B´ (A B)´ = A´ B`

Kap. 8 Ebene Figuren S.7
8 Ebene Figuren
A … Flächeninhalt
u … Umfang
Rechtwinkliges Dreieck:
A =
a b
2
a² + b² = c² [Satz d. Pythagoras]
h² = p·q [Höhensatz]
a² = p·c, b² = q·c [Kathetensatz]
Gleichseitiges Dreieck:
A =
a 2
4
3
a
h = 3
2
Allgemeines Dreieck:
A =
a h
2
a
b h
=
2
b
c h
=
2
c
Heron’sche Flächenformel: A = s (s a) (s
b) (s
c)
, wobei s =
a b c
A
Umkreisradius: r =
Inkreisradius: =
4 A
s
a b c
2
Kreis: A = r²· u = 2·r·
Kreissektor: A =
b r
2
=
r 2
360
Kreisbogen: b =
r
180
Ellipse:
A = a·b·

Kap. 8 Ebene Figuren S.8
Rechteck:
A = a · b u = 2·a + 2·b
Quadrat:
A = a² u = 4·a d = a· 2
Parallelogramm:
A =
a ha
= hb
b u = 2·a + 2·b
Raute (Rhombus):
A =
a h =
e f
2
u = 4·a
Trapez:
A =
( a c) h
2
Deltoid:
A =
e f
2

Kap. 9 Körper S.9
9 Körper
G … Inhalt der Grundfläche
M … Inhalt der Mantelfläche
O … Inhalt der Oberfläche
V … Volumen
h … Höhe
r … Radius
Gerades Prisma:
O = 2·G + M
V = G·h
Quader:
O = 2·(a·b + a·c + b·c)
V = a·b·c
Pyramide
(beliebige
Grundfläche):
O = G + M
G h
V =
3
Würfel:
O = 6·a²
V = a³
Raumdiagonale d = a· 3
Drehkegel:
O = r²· + r··s
r 2 h
V =
3
M = r··s
Drehzylinder:
O = 2·r²· + 2·r··h
V = r²··h
M = 2·r··h
Drehkegelstumpf:
O = r 1 ²+r 2 ²+(r 1 +r 2 )s
M = (r 1 +r 2 )s
h
V = ·(r 2 1 +r 1 r 2 +r 2 2 )
3
Kugel:
O = 4·r²·
3
4 r
V =
3
Kugelsegment:
(Kugelmütze)
O = 2·r··h + 2·
h 2
V = ·(3·r – h)
3
Querschnitt:
Kugelschichte:
O = 2rh + 2 1 + 2 2
h
V = ·(3 2 1 +3 2 2 +h 2 )
6

Kap. 10 Trigonometrie - Winkelfunktionen S.10
10 Trigonometrie - Winkelfunktionen
Gegenkathete
sin() = Hy potenuse
Bogen-/Winkelmaß:
Ankathete
cos() = Hy potenuse
[rad] =
180
grad
tan() =
Gegenkathete
Ankathete
sin 2 () + cos 2 () = 1 tan() =
sin( )
cos( )
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte besonderer Winkel:
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin() 0
cos() 1
tan() 0
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
2
2
2
1
2
1 2 3
0 - - - 2 2 2
1 3 ∞ - 3 -1 -
3
3
1 2 3
0 - - - 2 2 2
-1 -
0
3 1 - -
2 22
2
3
3
-1 -
0
3 1 - -
2 22
2
1
2
2
2
1 3 ∞ - 3 -1 -
3
2
3
3
0
1
0
sin(180° – ) = sin()
sin(180° + ) = - sin()
sin(360° – ) = - sin()
sin(360° + ) = sin()
sin(- ) = - sin()
sin(90° – ) = cos()
sin( + 90°) = cos()
cos(180° – ) = - cos()
cos(180° + ) = - cos()
cos(360° – ) = cos()
cos(360° + ) = cos()
cos(- ) = cos()
cos(90° – ) = sin()
cos( + 90°) = sin()
tan(180° – ) = - tan()
tan(180° + ) = tan()
tan(360° – ) = - tan()
tan(360° + ) = tan()
tan(- ) = - tan()
1. Summensatz:
sin( ) = sin() cos() cos() sin()
cos( ) = cos() cos() sin() sin()
sin(2) = 2 sin() cos()
cos(2) = cos 2 () – sin 2 ()
tan( ) =
tan( )
tan( )
1 tan( ) tan( )
tan(2) =
2tan( )
1 tan
2 ( )
Sinussatz:
Kosinussatz:
a
= b
= c
sin( ) sin( ) sin( )
a 2 = b 2 + c 2 – 2·b·c·cos()
b 2 = a 2 + c 2 – 2·a·c·cos()
c 2 = a 2 + b 2 – 2·a·b·cos()
Flächeninhalt: A =
b c sin( )
2
=
a c sin( )
2
=
a b sin( )
2
Heron’sche Flächenformel: A = s (s a) (s
b) (s
c)
, wobei s =
a b c
2

Kap. 11 Vektorrechnung S.11
11 Vektorrechnung
Ortsvektoren in Ebene und Raum:
OA = a =
ax
ay
OA = a =
ax
ay
az
Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation (k IR):
geg.: a =
a b =
ax
ay
ax
ay
k · a = k ·
; b =
bx
by
ax
ay
=
bx
by
=
a
a
x
y
k
a
k a
x
y
b
b
Skalarprodukt, Betrag, Einheitsvektor, Winkel:
x
y
a =
a b =
k · a = k ·
ax
ay
az
ax
bx
ay
by
a
z bz
ax
ay
az
; b =
=
bx
by
bz
ax
bx
ay
by
az
bz
k
ax
k
ay
k
az
=
a · b = a x · b x + a y · b y
a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z
ax
ax
2 2
2 2 2
a =
= ax
ay
a = ay
= ax
ay
az
ay
az
a
a 0 =
cos() =
a
b
IaIIbI
IaI
insbesondere: a · b = 0 ( a ,b ) = 90°
Vektorprodukt (nur im Raum):
a b =
ax
ay
az
bx
by
bz
a
=
a
b a b
a
y
x
b
x
b
z
y
z
a
a
z
y
b
z
b
y
x
x

Kap. 12 Analytische Geometrie S.12
12 Analytische Geometrie
Punkte:
a , b , c ... Ortsvektoren der Punkte A, B, C (in der Ebene oder im Raum)
Vektor von A nach B:
AB = OB – OA = b – a
Abstand zweier Punkte A und B: AB = AB = b – a =
(b a)
2
Mittelpunkt der Strecke AB: OM = 21 ·( a + b )
Schwerpunkt eines Dreiecks ABC: OS = 31 ·( a + b + c )
Teilungspunkt einer Strecke AB im Verhältnis p zu q:
OT = a +
p
p q
·(b – a ) =
q
p q
· a +
p
p q
·b
Flächeninhalt - Rauminhalte:
Parallelogramm:
2
2
A = a b (ab)
2
2
Dreieck:
2
A = 21 · a b (ab)
2
Parallelepiped:
V = ( a b )· c
Tetraeder:
V = 61 ·( a b )· c
Geraden (in der Ebene):
g … Gerade
g … Richtungsvektor von g
n … Normalvektor von g
OA , OB … Ortsvektoren der Punkte A, B
Parameterdarstellung: g: OX = OA + s· g (A g)
oder: g: OX = OA + s· AB (A, B g)
parameterfreie Form/Normalvektorform: g: n · OX = n · OA (A g)
(nur für Geraden im IR ², also in der Ebene)

Kap. 12 Analytische Geometrie S.13
Geraden (im Raum):
Es gibt keine Normalvektorform.
g … Gerade g … Richtungsvektor von g OA , OB … Ortsvektoren der Punkte A, B
Parameterdarstellung: g: OX = OA + s· g (A g)
Ebenen:
oder: g: OX = OA + s· AB (A, B g)
… Ebene
a , b … Richtungsvektoren von
n … Normalvektor von
OA , OB, OC … Ortsvektoren der Punkte A, B, C
Parameterdarstellung: : OX = OA + s·a + t·b (A )
oder: : OX = OA + s· AB + t· AC (A, B, C )
Kugel:
parameterfreie Form/Normalvektorform: : n · OX = n · OA (A )
Kreis und Kugel:
Kreis:
(x – x m ) 2 + (y – y m ) 2 = r 2 (x – x m ) 2 + (y – y m ) 2 + (z – z m ) 2 = r 2
k = { X IR 2 | XM = r = konst.}
k = { X IR 3 | XM = r = konst.}
Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel):
Ellipse: ell = { X IR 2 | XF 1 + XF 2 = 2a = konst.}
F 1 , F 2 IR 2 (Brennpunkte)
1. Hauptlage: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e 2 = a 2 – b 2
2. Hauptlage: a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 e 2 = a 2 – b 2
Hyperbel: hyp = { X IR 2 | l XF 1 – XF2
l = 2a = konst.} F 1 , F 2 IR 2 (Brennpunkte)
1. Hauptlage: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 e 2 = a 2 + b 2
2. Hauptlage: -a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 e 2 = a 2 + b 2
Parabel: par = { X IR 2 | XF = Xl } F, l IR 2 (l = Leitgerade)
1. Hauptlage: y 2 = 2px p = 2e
2. Hauptlage: x 2 = 2py bzw. y =
x 2
2p
p = 2e

Kap. 12 Analytische Geometrie; Kap. 13 Differentialrechnung S.14
Für den TI-Voyage definierte Befehle:
Betrag eines Vektors:
( dotp(vek, vek)) betrag(vek)
Einheitsvektor:
vek/betrag(vek) einh(vek)
Von Punk1 in Richtung Punkt2 einen bestimmten Abstand abtragen:
vek1+disteinh(vek2-vek1) abtr(vek1,vek2,dist)
Winkel zwischen zwei Vektoren:
cos -1 (dotP(vek1,vek2)/(betrag(vek1)betrag(vek2))) winkel(vek1,vek2)
Ebene durch drei Punkte:
dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),xyzvek)=dotP(crossP(vek2-vek1,vek3-vek1),vek1)
ebene3p(vek1,vek2,vek3)
Ebene durch Punkt und Normalvektor:
dotP(vek1,xyzvek)=dotP(vek1,vek2) ebenenp(vek1,vek2)
Schnitt Ebene,Gerade → man erhält Parameter:
solve(ebene,param)x=dotP(gerade,[[1][0][0]]) and y=dotP(gerade,[[0][1][0]]) and z=dotP(gerade,[[0][0][1]])
schnegs(ebene,gerade,param)
Halbierungspunkt :
(vek1+vek2)/2 halbp(vek1,vek2)
Symmetrieebene:
ebenenp(vek2-vek1,halbp(vek1,vek2)) sym(vek1,vek2)
xyz-Vektor (ist reserviert):
[[x][y][z]] xyzvek
Kreuzprodukt:
crossP(vek1,vek2)
Skalarprodukt:
dotP(vek1,vek2)
13 Differentialrechnung
Ableitungsfunktionen:
konstante Funktion f(x) = c f’(x) = 0
lineare Funktion f(x) = k∙x + d f’(x) = k
Potenzfunktion f(x) = x n f’(x) = n∙x n-1
Exponentialfunktion f(x) = e x f’(x) = e x
Exponentialfunktion (Basis a) f(x) = a x f’(x) = a x ∙ln(a)
natürlicher Logarithmus f(x) = ln(x)
1
f’(x) = x
Logarithmus (Basis a) f(x) = a log(x) f’(x) =
1
x ln(a)

Kap. 13 Differentialrechnung; Kap. 14 Kosten-/Preistheorie; Kap. 15 Integralrechnung S.15
Sinusfunktion f(x) = sin(x) f’(x) = cos(x)
Kosinusfunktion f(x) = cos(x) f’(x) = -sin(x)
Tangensfunktion f(x) = tan(x) f’(x) =
Ableitungsregeln:
1
2
cos (x)
Summen-/Differenzenregel f(x) = g(x) ± h(x) f’(x) = g’(x) ± h’(x)
konstante Faktoren (k IR) f(x) = k∙g(x) f’(x) = k∙g’(x)
Produktregel f(x) = g(x)∙h(x) f’(x) = g’(x)∙h(x) + g(x)∙h’(x)
Quotientenregel f(x) =
g(x)
h(x)
g'(x)
h(x)
g(x) h'(x)
f’(x) =
2
[h(x)]
Kettenregel f(x) = g(h(x)) f’(x) = g’(h(x))∙h’(x)
14 Kosten-/Preistheorie
Kosten:
degressive Kosten lineare Kosten progressive Kosten
K’’(x) < 0 K’’(x) = 0 K’’(x) > 0
Stückkosten = Kosten einer Mengeneinheit: K (x)
=
Erlös/Gewinn:
p … Stückpreis (fixer Preis)
Erlösfunktion: E(x) = x∙p(x)
Elastizität: =
15 Integralrechnung
Stammfunktionen:
K(x)
x
p(x) … Nachfragefunktion (variabler Stückpreis)
Gewinnfunktion: G(x) = E(x) – K(x)
p(x)
x p' (x)
konstante Funktion f(x) = d F(x) = d∙x + C
lineare Funktion f(x) = k∙x + d F(x) =
kx
2
2
+ d∙x + C
Potenzfunktion f(x) = x n F(x) =
n1
x
n1
+ C
Sonderfall: f(x) = x
1
F(x) = ln |x| + C
Exponentialfunktion f(x) = e x F(x) = e x + C
Exponentialfunktion (Basis a) f(x) = a x F(x) =
a x
ln(a)
+ C
natürlicher Logarithmus f(x) = ln(x) F(x) = x∙ln(x) – x + C
Logarithmus (Basis a) f(x) = a log(x) F(x) =
xln(x)
x
ln(a)
+ C
Sinusfunktion f(x) = sin(x) F(x) = - cos(x) + C

Kap. 15 Integralrechnung; Kap. 16 Kombinatorik S.16
Kosinusfunktion f(x) = cos(x) F(x) = sin(x) + C
Tangensfunktion f(x) = tan(x) F(x) = - ln |cos(x)| + C
Integrationsregeln:
Summen-/Differenzenregel f(x) = g(x) ± h(x) F(x) = G(x) ± H(x)
konstante Faktoren (k IR) f(x) = k∙g(x) F(x) = k∙G(x)
bestimmtes Integral:
b
f (x)dx = F(b) – F(a)
a
Anwendungen der Integralrechnung:
Q(x) … Querschnittsfunktion
Rotationskörper (um die x-Achse)
Rotationskörper (um die y-Achse)
b
V = Q (x)dx
a
b
V = ∙ [
f(x)] 2 dx
a
f(b)
V = ∙
f(a)
1
2
[ f (y)] dy (f -1 =Umkehrfunkt.)
Länge eines Kurvenbogens von f(x): l = 1 [f' (x)] 2 dx
Länge eines Kurvenbogens von
x(t)
y(t)
2
2
: l = [ x' (t)] [y' (t)]
Mantelfläche eines Rotationskörpers um die x-Achse: M = 2 f (x)
Schwerpunkt bei Rotation um die x-Achse: =
Schwerpunkt eines Flächenstücks: =
16 Kombinatorik
t
t
1
b
a
b
2
dt
1 [f' (x)] 2 dx
a
b
2
x [f(x)] dx
a
b
2
[f(x)] dx
a
b
b
2
x f(x) dx [f(x)] dx
a
=
a
b
b
f(x) dx
2 f(x) dx
a
a
n! = n∙(n-1)∙(n-2)∙ … ∙3∙2 0! = 1 n IN\{0}, k IN, n≥k
n n!
=
k k! (nk)!
=
n (n1)
(n2)
...(n
k1)
k(k1)
(k2)
...
32
n
=
n
n
=1
0 (a ± b) n =
n
∙a n ∙b 0 ±
0
n ∙a n-1
∙b 1 +
1
n
=
n
n 1
=n 1
n ∙a n-2
∙b 2 ±
2
n = n
k n k
n ∙a n-3
∙b 3 + … 3 +/±
n ∙a 0
∙b n
n

Kap. 16 Kombinatorik; Kap. 17 Wahrscheinlichkeitsrechnung S.17
Ermitteln der Anzahl möglicher Stichproben:
n Elemente werden angeordnet:
n! Möglichkeiten
Von n Elementen werden k Elemente mit Zurücklegen ausgewählt:
Es gibt n k geordnete und
n
k 1
k
ungeordnete Stichproben.
Von n Elementen werden k Elemente ohne Zurücklegen ausgewählt:
Es gibt
n!
(nk)!
geordnete und
n
k
ungeordnete Stichproben.
17 Wahrscheinlichkeitsrechnung
E, E 1 , E 2 … Ereignisse E’ … Gegenereignis … Ereignisraum
E 1 E 2 … E 1 oder E 2 E 1 E 2 … E 1 und E 2
P(E) = W(E) … Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E
P(E 1 |E 2 ) … Wahrscheinlichkeit von E 1 , wenn E 2 eingetreten ist
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten:
P(E’) = 1 – P(E) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) – P(E 1 E 2 )
P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 )
, wenn E 1 und E 2 einander ausschließen
P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )∙ P(E 2 |E 1 ) = P(E 2 )∙ P(E 1 |E 2 )
P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )∙P(E 2 )
, wenn E 1 und E 2 voneinander unabhängig sind
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
X … Zufallsvariable
V(X), 2 … Varianz
E(X), … Erwartungswert
, V … Standardabweichung
E(X) = a 1 ∙P(X=a 1 ) + a 2 ∙P(X=a 2 ) + a 3 ∙P(X=a 3 ) + … + a k ∙P(X=a k )
V(X) = (a 1 – E(X)) 2 ∙P(X=a 1 ) + (a 2 – E(X)) 2 ∙P(X=a 2 ) + … + (a k – E(X)) 2 ∙P(X=a k )
Binomialverteilung:
P(X=k) = b n;p (k) =
n ∙p k
∙(1–p) (n–k) = E(X) = n∙p ² = V(X) = n∙p∙(1–p)
k
Hypergeometrische Verteilung:
P(X=k) =
K
N
K
k n k
N
n
Normalverteilung:
E(X) = n∙ N
K
V(X) = n∙ N
K ∙
K N n
1 ∙
N N 1

Kap. 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung S.18
1
x 2
(x) = e
2
2
(z) =
1
2
z
e
2
x
2
dx
(-z) = 1 – (z)
P(X≤a) =
a
P(X≥a) = 1 –
a
P(a≤X≤b) =
b
–
a
Stetigkeitskorrektur bei Approximation der
Binomialverteilung durch die Normalverteilung:
Lineare Interpolation zur
Berechnung von Zwischenwerten:
P(a≤X≤b) =
(z) = ( z ) +
b 0,5 a 0,5
–
z z
0,01
(( z ) – ( z ))
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586
0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535
0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409
0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173
0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793
0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240
0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490
0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524
0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327
0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891
1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214
1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298
1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147
1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774
1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189
1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408
1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449
1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327
1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062
1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670
2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169
2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574
2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899
2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158
2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361
2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520
2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643
2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736
2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807
2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861
3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99897 .99900
3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929
3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950
3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965
3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976
3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983
3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989
3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992
3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995
3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997
4.0 .99997 .99997 .99997 .99997 .99997 .99997 .99998 .99998 .99998 .99998
p = 0.5000 0.7500 0.8000 0.9000 0.9500 0.9750 0.9900 0.9950 0.9975 0.9990
z p = 0.0000 0.6745 0.8416 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758 2.8070 3.0902