Matchings in Graphen - Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen

Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 5) 14.11.2005 4
Nachbarkante e = {v, w} betrachtet: falls w noch nicht besucht wurde, setzt man
level[w] = level[v] + 1 und fügt w hinten an die Queue an; am Ende der Phase besteht
die Queue aus Knoten, die in V 1 sind.
Die Breitensuche terminiert, wenn die Queue nach einer Phase vom Typ 1 einen freien Knoten
w enthält (dann gibt es einen augmentierenden Pfad der Länge level[w], der bei w endet, und
es wird die anschließende Tiefensuche gestartet) oder wenn die Queue leer wird (dann gibt es
keinen augmentierenden Pfad und das aktuelle Matching hat bereits maximale Kardinalität).
1.2 Tiefensuche nach augmentierenden Pfaden
Wenn bei der simultanen Breitensuche nach l Phasen ein freier Knoten aus V 2 erreicht wurde,
so wissen wir jetzt, dass es mindestens einen kürzesten augmentierenden Pfad der Länge l
gibt, und wollen nun mittels Tiefensuche eine maximale Menge solcher kürzester augmentierender
Pfade berechnen. Genauer werden wir dazu nicht eine einzige Tiefensuche verwenden,
sondern für jeden freien Knoten v aus V 1 eine eigene Tiefensuche starten, um von v aus (falls
möglich) einen augmentierenden Pfad der Länge l zu finden. Bei diesen Tiefensuchen betrachten
wir ausschließlich Kanten, die den folgenden Bedingungen genügen (andere Kanten
werden ignoriert):
• Ist der aktuelle Knoten u ∈ V 1 , so betrachten wir von u aus Kanten e = {u, w} mit
e ∈ E \ M und level[w] = level[u] + 1.
• Ist der aktuelle Knoten u ∈ V 2 , so betrachten wir von u aus Kanten e = {u, w} mit
e ∈ M und level[w] = level[u] + 1.
Erreicht eine solche Tiefensuche von einem freien Knoten v aus V 1 einen freien Knoten w aus
V 2 , so ist der zugehörige Pfad von v nach w ein kürzester augmentierender Pfad. In diesem
Fall wird der Pfad sofort invertiert (Kanten, die in M waren, werden aus M herausgenommen,
und Kanten, die noch nicht in M waren, werden in M eingefügt), alle Knoten u auf dem Pfad
werden durch Setzen von level[u] = −1 für weitere Tiefensuchen gesperrt, und die nächste
Tiefensuche wird beim nächsten freien Knoten aus V 1 gestartet. Läuft eine Tiefensuche in eine
Sackgasse, d.h. es wurde noch kein augmentierender Pfad gefunden und es gibt vom aktuellen
Knoten u aus keine den obigen Bedingungen genügende Kante mehr, so wird level[u] = −1
gesetzt und die Tiefensuche am Vorgänger von u fortgesetzt. Die Level-Werte der Knoten
werden während der Tiefensuchen nur dann verändert, wenn ein augmentierender Pfad oder
eine Sackgasse gefunden wurde: in diesem Fall wird durch Setzen des Level-Wertes auf −1
erreicht, dass die betroffenen Knoten für den Rest der Tiefensuche ignoriert werden.
1.3 Beispiel des Ablaufs einer Iteration
Der bipartite Graph G = (V 1 ∪ V 2 , E) mit V 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und V 2 = {a, b, c, d, e, f}
und das aktuelle Matching M seien wie folgt gegeben (gematchte Kanten sind fett gezeichnet,
freie Knoten sind dick umrandet):