Scheiding

Seminar Logik SS2005
Ilka Scheiding
Thema: ROBDDs - Reduced Ordered Binary Decision Diagrams
Modelchecking kann man mit verschiedenen Datenstrukturen durchführen. Vorraussetzung
ist, dass mit der verwendeten Datenstruktur Mengen eindeutig dargestellt werden können. Seit
1990 werden Reduced Ordered Binary Decision Diagrams (ROBDDs), eine spezielle Form
von binären Entscheidungsdiagrammen, als Datenstruktur für Modelchecking verwendet.
Nutzt man ROBDDs als Datenstruktur für Modelchecking, so spricht man von Symbolic
Modelchecking.
Welche Vorteile es bringt, beim Modelchecking ROBDDs zu nutzen, möchte ich im
Folgenden erklären.
Boolsche Formeln sind eine uns bekannte Repräsentation von Mengen. Eine entscheidende
Frage beim Umgang mit boolschen Formeln ist die, in welcher Datenstruktur sie abgelegt
werden sollen. Einige Datenstrukturen, wie zum Beispiel Truth Tables, sind exponentiell in
der Anzahl der Variablen. Dies führt schon bei wenigen Variablen dazu, dass der
Speicherplatzbedarf unverhältnismäßig groß wird. Diesen Effekt nennt man „State Explosion
Problem“. Andere Datenstrukturen, zum Beispiel Disjunktive Normalform, lassen sich
kompakt speichern, haben aber bei manchen Operationen und Anwendungen, zum Beispiel
bei Überprüfung von Erfüllbarkeit (SAT), einen sehr hohen Rechenaufwand. Operationen und
Anwendungen, die für Modelchecking von Bedeutung sind, lassen sich sehr zeiteffizient auf
ROBDDs durchführen. Hierauf werde ich später näher eingehen. Auch benötigen ROBDDs
so wenig Speicherplatz, dass das State Explosion Problem erst bei sehr viel mehr Variablen
als bei Truth Tables auftritt.
Binäres Entscheidungsdiagramm (Engl.: Binary Decision Diagramm, kurz: BDD) ist ein sehr
allgemeiner Begriff, unter den viele Datenstrukturen fallen, die sehr unterschiedlich sein
können. Es gibt viele verschiedene Arten von BDDs. Die optimale Datenstruktur kann für
verschiedene Mengen (boolsche Formeln) unterschiedlich sein. Da die Ermittlung der
optimalen Datenstruktur sehr zeitaufwendig ist, suchen wir eine Datenstruktur, die im Mittel
sehr gut geeignet ist. ROBDDs sind für sehr viele Mengen eine gute Repräsentation.
Im Folgenden möchte ich erklären, wie ein ROBDD aufgebaut ist und welche Regeln für
ROBDDs gelten.
Zunächst möchte ich jedoch eine andere Form von BDDs, die Binary Decision Trees (BDTs)
einführen. Anhand von Veränderungen dieses BDTs und weiteren Regeln, die wir nach und
nach hinzunehmen werden, möchte ich mich schrittweise dem Aufbau von ROBDDs nähern.

Aufbau von Binary Decision Trees (BDTs)
Es gibt mehrere Arten, eine Boolsche Formel durch Binarbäume darzustellen. Für unsere
Zwecke ist folgende Art der Repräsentation nötig:
Graphisch ist unser BDT ein Binärbaum mit je einer soliden und einer gestrichelten
ausgehenden Kante von jedem Non Terminal Node. Jeder innere Knoten repräsentiert eine
Variable und trägt sowohl den Namen (=Label) dieser Variable als auch den boolschen Wert
(1 oder 0), welcher dem Wahrheitswert seiner Variable entspricht. Die Blattknoten (Terminal
Nodes) entsprechen nicht Variablen, sondern Wahrheitswerten. Wir benennen sie daher
schlicht „0“ oder „1“, entsprechend ihrer boolschen Belegung. Im Gegensatz zu anderen
gängigen Repräsentationen werden Operatoren (Λ, V, etc.) nicht durch Knoten dargestellt.
Operatoren nehmen Einfluss darauf, wie der Graph aufgebaut wird. Hierzu kommen wir
jedoch später.
BDT für Formel f(x,y,z) = -y Λ (x V -z)
Zu einer boolschen Formel gibt es meist viele Möglichkeiten, ein BDT dieser Art aufzubauen.
Reihenfolge und Anzahl der Vorkommnisse der Variablen sind beliebig.
Um den Wahrheitswert einer Funktion f bei einer bestimmten Belegung der in f verwendeten
Variablen zu ermitteln, beginnen wir mit der Betrachtung an der Wurzel. Dem Wurzelknoten
ist eine Variable zugeordnet, in diesem Fall die Variable x. x hat nun die Belegung 1 oder 0.
Ist die Belegung 0, folgen wir dem gestrichelten Pfad zu einem der Kinderknoten von x.
Diesen nennt man auch lo(x). Ist die Belegung von x = 1, so bewegen wir uns zu dem Kind
von x, zu dem man über die solide Kante gelangt (hi(x)).
Als nächstes betrachten wir das Kind von x, zu dem wir gelangt sind. Wir tun dies auf die
selbe Weise wie bei x: Ist die Variablenbelegung dieses Kindes von x = 0, so folgen wir der
gestrichelten Kante, ist sie 1, der soliden Kante. Auf diese Weise bewegen wir uns stetig
abwärts in unserem BDT, bis wir zu einem Blattknoten gelangen. Am Blattknoten können wir
den Wahrheitswert für f mit der benutzten Variablenbelegung ablesen. Sind wir bei einem
Blattknoten „0“ angelangt, so ist der Wahrheitswert der Boolschen Formel mit dieser
benutzen Variablenbelegung „0“ (false), sind wir bei einem Blattknoten „1“ angelangt, so ist
er ebenfalls „1“ (true). Es ist nicht möglich, dass wir zwei Knoten, die mit der selben Variable
gelabelt sind, einmal über die solide und einmal über die gestrichelte Kante verlassen, da eine
Variable nicht sowohl =1 als auch =0 sein kann.
In obigem Beispiel wäre die Formel für die Belegung f( x = 0, y = 0, z = 0) = 1 (true) ,
ebenso wäre sie = 1 (true) für (x = 1, y = 0), hierbei beeinflusst z den Wert des Ergebnisses
nicht, z kann also sowohl = 1 als auch = 0 sein, um die Belegung wahr zu machen. Für alle
anderen Belegungen wird f = 0 (false).

Aufbau von RBDDs
BDTs haben nicht unbedingt einen geringeren Speicherplatzbedarf als Truth Tables, die
Anzahl der Knoten kann ebenfalls exponentiell werden. Um den Speicherplatz zu optimieren
überführen wir den BDT nun in ein Reduced Binary Decision Diagram (RBDD), indem wir
drei Optimierungen vornehmen.
Diese drei Optimierungen sind:
C1: Redundante Terminale entfernen
Alle Pfade die in Blattknoten mit der Belegung 0 führen, werden in einem einzigen
Blattknoten „0“ zusammengeführt. Mit Pfaden zu Blattknoten 1 wird analog
verfahren. Blattknoten, in die nun kein Pfad mehr führt, werden gelöscht. Hatten schon
im BDT alle Blattknoten den selben boolschen Wert, werden alle Pfade in einem
einzigen Knoten mit diesem Wert zusammengeführt.
Redundante Terminale entfernen
C2: Redundante Entscheidungsknoten löschen
Enden beide von einem beliebigen Knoten x ausgehenden Pfade (der solide und der
gestrichelte) im selben Knoten (hi(x) = lo(x)), so wird x gelöscht, da die Belegung von
x keinen Einfluss auf den weiteren Verlauf des Pfades und somit der Überprüfung, hat.
Alle Pfade, die vorher in x reinführten, führen nun in das Kind von x. Hierbei ist es
unerheblich, ob das Kind von x ein innerer Knoten oder ein Blattknoten ist.
Redundante Entscheidungsknoten löschen

C3: Gleiche Teilgraphen löschen
Gibt es in einem BDD zwei exakt identische Teilgraphen deren Wurzelknoten wir x
und y nennen, so werden alle eingehenden Pfade in den Knoten x auf den Knoten y
umgeleitet, x und der gesamte Untergraph von x werden gelöscht.
Gleiche Teilgraphen löschen
Die Reihenfolge in der wir die Optimierungen durchführen spielt keine Rolle. Sie können
auch beliebig oft hintereinander durchgeführt werden, denn es kann passieren, dass z.B. durch
Anwendung von C3 und der daraus folgenden Umleitung eines Pfades ein redundanter
Blattknoten entsteht, der erst danach (durch C2) gelöscht werden kann.
Ein BDD ist reduziert (= RBDD), wenn C1, C2 oder C3 nicht mehr angewendet werden
können.
Ein reduzierter BDD ist auch wieder ein BDD, d.h. alle Eigenschaften eines BDD bleiben bei
der Reduzierung erhalten. Da es nun vorkommen kann, dass ein Knoten mehr als einen
Eingangspfad hat, sprechen wir von nun an nicht mehr über einen Binärbaum, sondern über
ein Diagramm oder Graph.
Die Reduzierungen dienen hier nur der Veranschaulichung. In guten Implementierungen wird
durch dynamisches Programmieren ein nicht reduziertes BDD gar nicht erzeugt. Alle Knoten
werden bei ihrer Erzeugung in einer Hash Table abgespeichert. Dabei wird auch überprüft, ob
der gerade zu erzeugende Knoten sich bereits in der Hash Table befindet (unerheblich wo im
Diagramm er sich befindet). Ist ein identischer Knoten bereits vorhanden, so wird der aktuelle
Knoten nicht erzeugt, sondern seine eingehenden Pfade werden auf den bereits vorhandenen
umgelenkt. Auf diese Weise entstehen nur reduzierte BDDs, also RBDDs.
Durch die Reduzierungen kann es passieren, dass ein ganzes Diagramm auf einen einzigen
Blattknoten reduziert wird. Ist dies der Fall und der Blattknoten ist ein Knoten mit dem Wert
„0“, so nennen wir das Diagramm „B 0 “. Analog nennen wir es „B 1 “, wenn es nur aus dem
Knoten mit dem Wert „1“ besteht.
Ordnung und Größe von RBBDs
Wie anfangs erwähnt gibt es viele Möglichkeiten ein BDD, so auch ein RBDD, aufzubauen.
Ein wichtiger Aspekt hierbei ist die Anordnung von Variablen.
Eine „Variablenordnung“ ist die Reihenfolge von Variablen, wie sie von der Wurzel zu den
Blättern hin in ein (R)BDD eingefügt werden.

ROBDDs
ROBDDs sind RBDDs für die eine Variablenordnung gilt. Hierbei gelten folgende Regeln:
- Jede Variable darf in der Variablenordnung genau einmal vorkommen.
- Jede Variable, die in einem ROBDD vorkommt, muss (!) in die Variablenordnung
aufgenommen werden.
- Nicht jede Variable der Variablenordnung muss in jedem ROBDD einen Knoten
bekommen.
Alle ROBDDs, die in einem Kontext miteinander stehen, müssen sich einer gemeinsamen
Variablenordnung bedienen. Dies gilt insbesondere für ROBDDs, die miteinander verglichen
oder durch Operatoren (V, Λ, XOR) miteinander verknüpft werden sollen.
Bauen wir einen RBDD auf, so ist die Variablenordnung entscheidend für die Größe des
RBDDs. Die optimale Variablenordnung zu finden ist ein komplexes Problem und hat einen
hohen Rechenaufwand, es gibt jedoch Heuristiken, die zeiteffizient recht gute
Variablenordnungen berechnen. Einen wichtigen Ansatz für die heuristische Betrachtung
dieses Problems möchte ich im Folgenden nennen und an einem Beispiel verdeutlichen.
Ansatz: Was in logischem Zusammenhang steht, sollte auch zusammen betrachtet werden
Beispiel:
f = ((a1=b1) Λ (a2=b2) Λ (a3=b3))
Der Wahrheitswert des gesamten Ausdrucks f, hängt davon ab, ob die geklammerten
Teilausdrücke wahr sind. Diese Teilausdrücke können aber erst einen Wahrheitswert
zugeordnet bekommen, wenn alle darin vorkommenden Variablen betrachtet wurden. Daher
ist es sinnvoll, jeweils die Variablen eines Teilausdrucks im ROBDD in räumlicher Nähe
anzuordnen, z.B. auf einem Pfad direkt untereinander, wie im Beispiel links, um sie somit
beim Durchlaufen des Graphen auch kurz nacheinander zu betrachten. Dadurch kann
gegebenenfalls recht schnell entschieden werden, ob ein Ausdruck noch wahr (oder falsch)
werden kann.

Variablenordnung:
a1, b1, a2, b2 , a3 , b3
Variablenordnung: a1, a2 , a3, b1 , b2 , b3
Eine Variablenordnung in der jede Variable nur einmal vorkommen darf, wie es bei ROBDDs
der Fall ist, hat den positiven Effekt, dass auf einem Pfad von der Wurzel zu einem
Blattknoten keine Variable mehrmals betrachtet wird.
Folgendes Beispiel soll verdeutlichen, warum dies so ist:
Haben wir einen Ausschnitt aus einem Graphen wie links zu sehen, so
ist die zugehörige Variablenordnung „..a…b...a…“ , da es einen Pfad
gibt, auf dem a sowohl vor b als auch nach b betrachtet wird. Dies ist
jedoch nach der Definition von ROBDDs nicht zulässig. Hierbei ist
unerheblich, ob zwischen a und b bzw. b und a noch andere Variablen
liegen.
Eine Struktur dieser Art ist in einem ROBDD ebenfalls nicht möglich,
da einer der beiden Knoten als redundanter Entscheidungsknoten
gelöscht bzw. nicht erstellt werden würde.
Dies führt zu folgender Beobachtung: Betrachten wir zwei beliebige aber feste Variablen x
und y. Steht x in der Variablenordnung vor y, so kommen x und y im RBDD entweder nicht
auf dem selben Pfad vor oder x steht vor (= näher an der Wurzel als) y.

Gibt es keine Variablenordnung, so kann man für die selbe boolsche Formel viele BDDs mit
verschiedenen Strukturen erzeugen. Durch die Variablenordnung aber haben ROBDDs eine
eindeutige (kanonische) Repräsentation. Das heißt wenn zwei ROBDDs R 1 und R 2 die selbe
boolsche Funktion repräsentieren, dann ist ihre Struktur identisch. Zu einer Boolschen Formel
kann man also unter Berücksichtigung einer bestimmten Variablenordnung genau ein
ROBDD aufbauen.
Die kanonische Repräsentation ist einer der größten Vorteile von ROBDDs. Hierdurch
können für boolsche Formeln folgende Tests sehr schnell durchgeführt werden:
• Test auf redundante Variablen : Hängt das Ergebnis nicht von Variable x i ab, enthält
das ROBDDs x i nicht.
• Test auf Tautologie: Eine Formel ist immer = 1(true), wenn das zugehörige ROBDDs
= B 1 ist. Besteht das zugehörige ROBDD nicht nur aus dem Blattknoten „1“, so ist es
falsifizierbar.
• Test auf Erfüllbarkeit (SAT) : Ist ein ROBDD = B 0, so ist es nicht erfüllbar, es wird
immer 0 (false). Ist es nicht = B 0, dann gibt es mindestens eine Variablenbelegung, die
diese Formel wahr macht, sie ist also erfüllbar.
Anmerkung zur Laufzeit:
Der Test auf Erfüllbarkeit kann in konstanter Zeit durchgeführt werden. Trotzdem ist SAT
auch mit ROBDDs ein NP-vollständiges Problem, da der Aufbau eines ROBDDs im
Worst Case NP-vollständig ist.
Im Average Case erfolgt die Umwandlung jedoch recht effizient, wodurch ROBDDs in
der Praxis oft vorteilhaft sind.
• Test auf semantische Äquivalenz zweier ROBDDs: Haben zwei oder mehrere
ROBDDs die selbe Struktur, so sind sie semantisch äquivalent. Haben sie
verschiedene Strukturen, sind sie nicht semantisch äquivalent.
Wie viele Belegungen gibt es, die ein ROBDD wahr machen?
Die Anzahl der Belegungen, die ein ROBDD wahr machen, muss für jedes ROBDD einzeln
berechnet werden. Man beginnt die Rechnung von den Blattknoten aus und arbeitet sich zur
Wurzel hin vor. Dabei wird sich für jeden besuchten Knoten gemerkt, wie viele Belegungen
von ihm ausgehend einen Weg zum Blattknoten „1“ ermöglichen. Diese Anzahl kann größer
sein, als die Anzahl der Pfade, die von dem jeweiligen Knoten zum Blattknoten „1“ führen, da
nicht auf jedem Pfad jede Variable der boolschen Formel vorkommt, jedoch auch diese
Variablen berücksichtigt werden.
Beispiel:
Der Knoten „0“ bekommt den Wert 0 zugeordnet, der
Knoten „1“ den Wert 1.
e : 0 + 1 =1
1, da der Knoten „1“ Kinderknoten von e ist
0, da der Knoten „0“ Kinderknoten von e ist
e ist die letzte Variable in dieser Variablenordnung, die in
der Formel vorkommt, daher gibt es keine
Multiplikationen.

d : 0 + 1*2 1 = 2
0, da der Knoten „0“ Kinderknoten von d ist
1, da der Knoten „1“ Kinderknoten von d ist
2 1 , denn genau eine Variable, die in der Formel vorkommt liegt in der Ordnung hinter d,
wurde aber auf diesem Pfad nicht betrachtet.
*2 1 , denn dieser Pfad führt bei e=1 und auch bei e=0 zu einer erfüllenden Belegung.
c : 2*2 0 + 1*2 1 = 4
2*2 0 : die erste 2 wird von d übernommen, *2 0 denn es liegen keine, also 0, Variablen
zwischen c und d.
1*2 1 : 1 wird von e übernommen, *2 1 denn zwischen c und e liegt d, d wurde aber nicht
betrachtet. Dieser Pfad führt also für d = 1 und d = 0 zur 1.
b : 0 + 1*2 3 = 8
0, da der Knoten „0“ Kinderknoten von b ist
1, da der Knoten „1“ ein Kinderknoten von b ist,
*2 3 , denn in diesem Pfad haben wir 3 Variablen der Formel (c,d,e,) nicht betrachtet. Für jede
Kombination aus c=0/1, d=0/1 und e=0/1 führt dieser Pfad also zur 1.
a : 8 + 4 *2 1 = 16
8 wird von b übernommen, es gibt keine Variablen zwischen a und b, daher wird nicht
multipliziert,
4 wird von c übernommen und *2 1 , da wir auf diesem Pfad b, also genau eine Variable, nicht
betrachtet haben.
Da a der Wurzelknoten ist und es von a aus 16 Belegungen gibt, die die Formel wahr machen,
wissen wir, dass es insgesamt 16 Belegungen gibt, die die Formel wahr machen.
Zur Erinnerung:
lo(x) ist der Kinderknoten von x, zu dem wir gelangen, wenn x = 0 ist.
hi(x) ist der Kinderknoten von x, zu dem wir gelangen, wenn x = 1 ist.
Allgemein:
Sei x der Knoten, den wir aktuell betrachten.
Sei A(x) die Anzahl der Belegungen, die die Formel für Variablen ab x wahr macht.
Sei j = A(lo(x)).
Sei h = A(hi(x)).
Sei dl die Anzahl der Variablen, die in der boolschen Formel vorkommen und in der
Variablenordnung zwischen x und lo(x) liegen.
Sei dh die Anzahl der Variablen, die in der boolschen Formel vorkommen und in der
Variablenordnung zwischen x und hi(x) liegen.
Für die Blattknoten gilt A(„0“)=0 , A(„1“)=1
Dann ist A(x) = j * 2 dl + h * 2 dh

Algorithmus apply zur Verknüpfung durch Operatoren
Wollen wir zwei ROBDDs durch einen Operator verknüpfen, wenden wir den Algorithmus
apply an. Dieser Algorithmus bekommt als Input die beiden ROBDDs R1 und R2 und den
Operator und liefert ein ROBDD zurück, welches der Variablenordnung entspricht und genau
für (R1 Op R2) den Wahrheitswert 1 zurückliefert und sonst den Wahrheitswert 0.
Die beiden bisherigen Diagramme werden nicht verändert, sondern ein drittes Diagramm
B f_Op_g wird erstellt.
Der Algorithmus ist rekursiv und beginnt bei dem Wurzelknoten. Er arbeitet wie an
folgendem Beispiel demonstriert:
Zunächst Labeln wir jeden Knoten. Die Blattknoten bekommen nach ihrer Belegung dabei die
selben Werte, da wir einen Blattknoten „0“ („1“) als den selben Knoten betrachten, ganz
gleich in welchem Diagramm er vorkommt. Alle anderen Knotenbezeichnungen vergeben
wir nur ein Mal. Hierdurch entsteht nun dieses Diagramm:
Wie oben schon erwähnt wird auch das neue Diagramm B f_Op_g in der Regel durch Hashing
als ROBDD erzeugt. Im Folgenden wird jedoch nur der Basisalgorithmus erklärt, so dass das
Ergebnis zunächst ein nicht reduziertes Diagramm sein wird.
Wir beginnen bei beiden Diagrammen B f und B g mit der Betrachtung bei den Wurzelknoten
(S2 und S5). Wir bilden einen neuen Wurzelknoten (S2,S5) und labeln ihn mit a. Könnten wir
einem Knoten theoretisch zwei Variablen zuordnen (wie hier a und b), so wählen wir immer
die Variable, die in der Variablenordnung weiter vorne steht. Nun fügen wir zwei Kanten
hinzu, grafisch eine solide und eine gestrichelte. Von (S2,S5) gehen nun zwei Kanten aus, die
zu je einem weiteren Knoten führen sollen. Verfolgen wir zunächst die solide Kante: Von S2
im Diagramm f ausgehend führt die solide Kante zu S1. In g bleiben wir zunächst in S5, da
(S2,S5) mit a gelabelt wurde und a in g nicht vorkommt. In g befinden wir uns daher noch im
Wurzelknoten S5. Daher erzeugen wir als Kind von (S2,S5) einen Knoten (S1,S5), diesen

labeln wir mit b. Solange es möglich ist, einen Knoten mit einer Variable zu labeln, tun wir
dies (auch wenn ein Teil des Tupels S1 oder S0 ist). Auch in B f_Op_g gilt, dass nur Blattknoten
keiner Variable zugeordnet sind.
Von hier aus wird der Graph nach selbem Prinzip rekursiv weiter aufgebaut, ebenso die
andere Hälfte des Graphen ausgehend von der gestrichelten Kante der Wurzelknoten.
Erreicht ein Pfad in f oder g S1 oder S0, so bleiben wir in diesem Blattknoten stehen.
Aus (S1,S5) ausgehend führt die solide Kante zu (S1,S1). Da wir bei beiden Graphen f und g
in Blattknoten angekommen sind, wird auch der Knoten (S1,S1) zu einem Blattknoten.
Daher erstellen wir nun den Kinderknoten an der gestrichelten Kante von (S1,S5).
Folgen wir von S5 aus der gestrichelten Kante, so gelangen wir zu S6. In f bleiben wir in S1.
Daher wird als zweites Kind von (S1,S5) der Knoten (S1,S6) erstellt.
Bisher haben wir folgenden Graphen für B f_ Op_g erstellt:
Verfahren wir wie oben weiter bis wir auf jedem Pfad in f und g einen Blattknoten erreicht
haben, also bis der Algorithmus terminiert, erhalten wir folgenden Graphen:
Von nun an sind die Bezeichnungen der inneren Knoten irrelevant. Sie dienten nur dem
Aufbau des Graphen.
Bis zu diesem Punkt hatte der Operator, mit dem die beiden Graphen f und g verknüpft
werden, keinen Einfluss auf den Aufbau des neuen Graphen. Mit dem Operator wird jetzt
lediglich festgelegt, welche Werte die Blattknoten bekommen.

Hierzu ersetzen wir alle S0 wieder mit 0 und alle S1 mit 1. Auf diese 0en und 1en wenden wir
nun den Operator an. Da wir in diesem Beispiel Und-verknüpfen, werden alle Paare (1,1)
durch einen Knoten „1“ ersetzt, alle anderen Paare durch einen Knoten „0“.
Würden wir Oder-verknüpfen, würden wir alle Paare (1,1), (1,0) und (0,1) durch einen
Knoten „1“ ersetzen und nur (0,0) durch einen Knoten „0“. Mit Xor würde entsprechend
verfahren.
Um den Graphen B f_ Op_g als ROBDD zu erhalten, müssen wir ihn noch reduzieren:
Shannon Expansion – Hintergrund zum Algorithmus apply
Einschub: Restriktion einer Formel:
Die Schreibweise f[1/x] bedeutet, dass alle in einer Formel f auftretenden Variablen x
durch 1 (true) ersetzt werden. Analog bedeutet f[0/x], dass alle in f auftretenden
Variablen x durch 0 (false) ersetzt werden. Dies nennt man Restriktion von f.
Die Shannon Expansion besagt: Für alle boolschen Formeln und boolschen Variablen, selbst
die, welche nicht in f vorkommen, gilt f ≡ -x Λ f[0/x] V x Λ f[1/x].
Die Shannon Expansion für (f op g) lautet:
f op g ≡ -x i Λ ( f[0/x i ] Λ g[0/x i ] ) V x Λ ( f[1/x i ] Λ g[1/x i ] )

Für den Algorithmus apply wird die Shannon Expansion für f op g als Kontrollfunktion
genutzt. Sei x i jeweils die aktuell betrachtete Variable. Dann werden aus x i heraus zwei
Unterbäume erzeugt, je einer für ([0/x i ] Λ g[0/x i ]) und einer für ( f[1/x i ] Λ g[1/x i ] ).