Diskrete Mathematik 1 - Lehrstuhl Kryptologie & IT-Sicherheit - Ruhr ...
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<strong>Ruhr</strong>-Universität Bochum<br />
<strong>Lehrstuhl</strong> für <strong>Kryptologie</strong> und <strong>IT</strong>-<strong>Sicherheit</strong><br />
Prof. Dr. Alexander May<br />
M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer<br />
Lösungsblatt zur Vorlesung<br />
<strong>Diskrete</strong> <strong>Mathematik</strong> 1<br />
WS 2008/09<br />
Blatt 2 / 28. Oktober 2008 / Abgabe bis 03. November 2008, 14 Uhr, in die<br />
Kästen auf NA 02<br />
AUFGABE 1 (4 Punkte):<br />
Wieviele natürliche Zahlen n ≤ 10 8 sind weder von der Form x 2 , x 3 , x 5 noch x 7 für ein x ∈ N?<br />
Geben Sie den Rechenweg an.<br />
Lösungsvorschlag:<br />
Sei A i := {n ≤ 10 8 | n = x i für ein i ∈ N}. Dann ist |A i | = ⌊ i √<br />
108 ⌋.<br />
Damit gilt |A 2 | = 10 4 , |A 3 | = 464, |A 5 | = 39 und |A 7 | = 13.<br />
Es ist A i ∩ A j = A kgV(i,j)<br />
.<br />
Daraus folgt |A 2 ∩ A 3 | = |A 6 | = 21, |A 2 ∩ A 5 | = |A 10 | = 6, |A 2 ∩ A 7 | = |A 14 | = 3,<br />
|A 3 ∩ A 5 | = |A 15 | = 3, |A 3 ∩ A 7 | = |A 21 | = 2 und |A 5 ∩ A 7 | = |A 35 | = 1,<br />
|A 2 ∩ A 3 ∩ A 5 | = |A 30 | = 1, |A 2 ∩ A 3 ∩ A 7 | = |A 42 | = 1, |A 2 ∩ A 5 ∩ A 7 | = |A 70 | = 1,<br />
|A 3 ∩ A 5 ∩ A 7 | = |A 105 | = 1 und |A 2 ∩ A 3 ∩ A 5 ∩ A 7 | = |A 210 | = 1.<br />
Nach dem Prinzip der Inklusion-Exklusion gilt für die Menge aller Zahlen n ≤ 10 8 , für die<br />
gilt ”n ist von der Form x 2 , x 3 , x 5 oder x 7 für ein x ∈ N”:<br />
|A 2 ∪ A 3 ∪ A 5 ∪ A 7 | = |A 2 | + |A 3 | + |A 5 | + |A 7 |<br />
−(|A 2 ∩ A 3 | + |A 2 ∩ A 5 | + |A 2 ∩ A 7 | + |A 3 ∩ A 5 | + |A 3 ∩ A 7 | + |A 5 ∩ A 7 |)<br />
+(|A 2 ∩ A 3 ∩ A 5 | + |A 2 ∩ A 3 ∩ A 7 | + |A 2 ∩ A 5 ∩ A 7 | + |A 3 ∩ A 5 ∩ A 7 |) − |A 2 ∩ A 3 ∩ A 5 ∩ A 7 |<br />
= 10 4 + 464 + 39 + 13 − (21 + 6 + 3 + 3 + 2 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) − 1 = 10483.<br />
Die Anzahl der Zahlen, die weder von der Form x 2 , x 3 , x 5 noch x 7 für ein x ∈ N sind, beträgt<br />
daher<br />
10 8 − 10483 = 99989517.
AUFGABE 2 (6 Punkte):<br />
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:<br />
(a)<br />
(b)<br />
Sei n ∈ N. Unter n + 1 natürlichen Zahlen gibt es sicher zwei, deren Differenz durch n<br />
teilbar ist.<br />
Hinweis: Betrachten Sie die Restklassen modulo n.<br />
In einem Raum seien n ∈ N Personen. Zur Begrüßung schütteln sich alle Personen<br />
gegenseitig die Hände. Zu jedem Zeitpunkt gibt es mindestens zwei Personen, die genau<br />
gleich vielen Leuten die Hände geschüttelt haben.<br />
Lösungsvorschlag:<br />
(a)<br />
Es gibt n Restklassen modulo n repräsentiert durch Y = {0, 1, . . . , n − 1}. Bildet man<br />
nun die Menge X der n + 1 gegebenen natürlichen Zahlen auf ihre Restklassen ab, so<br />
existiert nach dem Schubfachprinzip mindestens eine Restklasse, in der zwei Elemente<br />
landen, da |X| = n + 1 > n = |Y |. Seien a, b die Elemente derselben Restklasse. Dann<br />
gilt a ≡ b (mod n). Dies ist äquivalent zu n|(a − b).<br />
(b)<br />
Seien X = {p 1 , p 2 , . . . , p n } die Menge der Personen und Y = {0, 1, . . . , n−1}. Betrachte<br />
f : X → Y mit f(p i ) = k, falls Person p i genau k Personen mit Handschlag begrüßt<br />
hat. Angenommen, zu einem Zeitpunkt gibt es eine Person p j , die noch niemandem<br />
die Hand geschüttelt hat. Dann kann keine Person existieren, die schon allen die Hand<br />
geschüttelt hat, da diese auch Person p j die Hand geschüttelt haben müsste. Daher<br />
betrachten wir f ′ : X → Y \ {n − 1} =: Y ′ . Dann gilt |Y ′ | = n − 1 < n = |X| und nach<br />
dem Schubfachprinzip existiert ein y ∈ Y mit |f ′−1 (y)| > 1. Also haben mindestens<br />
zwei Personen derselben Anzahl Menschen schon die Hand gegeben.<br />
Angenommen, obiger Fall tritt nicht ein, es gibt also keine Person, die noch niemandem<br />
die Hand geschüttelt hat. Betrachte dann ˜f : X → Y \{0} =: Ỹ . Analog zum vorherigen<br />
Fall gilt |Ỹ | = n − 1 < n = |X|, also folgt mit dem Schubfachprinzip, dass mindestens<br />
zwei Personen derselben Anzahl an Leuten die Hand gegeben haben.<br />
AUFGABE 3 (4 Punkte):<br />
Es findet ein Pferderennen mit 30 Teilnehmern statt.<br />
(a)<br />
(b)<br />
Wieviele mögliche Konstellationen gibt es auf dem Siegertreppchen?<br />
Für eine Olympiaqualifikation genügt es, unter die besten 6 zu gelangen. Wieviele mögliche<br />
Zusammenstellungen derjenigen Teilnehmer, die sich für Olympia qualifiziert haben,<br />
gibt es?<br />
Lösungsvorschlag:<br />
(a)<br />
Die Auswahl der Teilnehmer für das Siegertreppchen entspricht dem geordneten Ziehen<br />
ohne Zurücklegen, da die Positionen und Teilnehmer unterscheidbar sind und keiner<br />
zwei Positionen in der Rangfolge einnehmen kann. Gezogen werden k = 3 Elemente aus<br />
n = 30. Es gibt also n k = 30 3 = 24360 mögliche Konstellationen.
(b)<br />
Die Auswahl der Teilnehmer für die Olympiaqualifikation entspricht dem ungeordneten<br />
Ziehen ohne Zurücklegen, da es nicht auf die Reihenfolge der ersten sechs Teilnehmer<br />
ankommt. Es gibt also ( (<br />
n<br />
k)<br />
=<br />
30<br />
)<br />
6 = 593775 mögliche Gruppen an qualifizierten Teilnehmern.<br />
AUFGABE 4 (6 Punkte):<br />
Eine Permutation π, für die gilt ππ = id (id ist die identische Permutation (1)(2) · · · (n))<br />
heißt Involution.<br />
(a)<br />
(b)<br />
Zeigen Sie: π ist Involution genau dann, wenn die Anzahl b i (π) der Zyklen der Länge i<br />
gleich 0 ist für alle i > 2.<br />
Zeigen Sie die Rekursionsformel für die Gesamtzahl I(n) der Involutionen auf n Zahlen<br />
(I(0) = 1, I(1) = 1):<br />
Lösungsvorschlag:<br />
(a)<br />
I(n) = I(n − 1) + (n − 1)I(n − 2), für n ≥ 2<br />
Zeige zunächst b i (π) = 0∀i > 2 ⇒ π ist Involution:<br />
Nach Voraussetzung besteht π nur aus Zyklen der Länge eins oder zwei. Betrachte das<br />
Bild eines Elementes x unter ππ. Im ersten Fall liegt x in einem Zyklus der Länge eins.<br />
Dann ist π(x) = x und damit auch ππ(x) = x. Im zweiten Fall liegt π in einem Zyklus<br />
der Länge zwei mit einem Element y ≠ x. Dann gilt π(x) = y und π(y) = x. Zweifaches<br />
Anwenden von π ergibt ππ(x) = π(y) = x. ππ beschreibt also die Identitätsabbildung,<br />
damit ist π Involution.<br />
Den Fall “π ist Involution ⇒ b i (π) = 0∀i > 2” zeigen wir über die Kontraposition<br />
“ ∃i > 2 mit b i (π) ≠ 0 ⇒ π ist keine Involution”:<br />
Sei xyz eine Folge von verschiedenen Elementen in einem Zyklus der Länge größer oder<br />
gleich drei. Dann gelten π(x) = y und π(y) = z. Damit ist ππ(x) = π(y) = z ≠ x. Damit<br />
ist das Bild von x unter ππ verschieden von x, ππ ist also nicht die Identitätsabbildung.<br />
Also ist π keine Involution.<br />
(b)<br />
Sei I n := {π ∈ G n | b i (π) = 0∀i > 2} die Menge der Involutionen auf n Elementen mit<br />
|I n | = I(n). Wir betrachten die Zyklenschreibweise von π ∈ I n .<br />
Erster Fall: n liegt in π in einem Zyklus der Länge 1. Dann müssen die restlichen n − 1<br />
Elemente ebenfalls eine Involution bilden. Dazu gibt es I(n − 1) Möglichkeiten.<br />
Zweiter Fall: n liegt in π in einem Zyklus der Länge 2. Für das zweite Element des<br />
Zyklus gibt es n − 1 Möglichkeiten. Die restlichen n − 2 Elemente müssen wieder eine<br />
Involution bilden. Dazu gibt es I(n − 2) Möglichkeiten.<br />
Der erste und der zweite Fall sind disjunkt, so dass wir die Summenregel anwenden<br />
können. Insgesamt gilt daher:<br />
I(n) = I(n − 1) + (n − 1)I(n − 2).