VORLESUNG MASSIVBAU I Gliederung Dehnungsbereiche (1)

1 

VORLESUNG MASSIVBAU I 

5 Biegung mit Längskraft (Teil 3) 

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Hegger 


Lehrstuhl und Institut für Massivbau 

Gliederung 

2 

Einführung 

Stoffgesetze 

Bemessungsgrundlagen 

Iterative Biegebemessung 

Bemessungshilfen 

Biegung mit Längskraft 



Dehnungsbereiche (1) 

3 


überwiegende 

Biegebeanspruchung 

überwiegende 

Druckbeanspruchung 

überwiegende 

Zugbeanspruchung 

überwiegende 



Lehrstuhl und Institut für Massivbau

Dehnung - überwiegend zugbeansprucht 

4 

h 

A s1 z s1 

d 1 

N Ed 

ε s2 

d 2 

ε s1 

A s2 

z s2 

M Ed 

b 

F s2d 

z s1 +z s2 

F s1d 

∑ H = 0 : 

∑ M = 0 : 

Fs1d 

+ Fs 

2d 

= NEd 

As1, 

As 

2 

NEd 

zs1 

M Ed Fs 

2d 

( zs1 

zs2) 

⎭ 

⎬ 

⎫ 

⋅ − = ⋅ + 



Überwiegende Zugbeanspruchung (1) 

5 

A s2 

A s1 

d 2 

z s1 

mittige Zugkraft : e = 0 

N Ed 

z s2 

Bemessungsgleichung 

h 

∑ 

∑ 

H = 0 ⎫ 

⎬ As1, 

A s 2 

M = 0⎭ 

1 N 

d Ed 

1 

A s1 

= As 

2 = ⋅ , mit σ s = f yd 

2 σ Sd 

b 




6 

A s2 

d 2 

einachsig ausmittige Zugkraft: e < z s1 

e 

N Ed 

z s2 

z s1 

h 


∑ H = 0 ⎫ 

⎬ As1, 

A s 2 

∑ M = 0⎭ 

A s1 

b 

d 1 

NEd 

zs2 

+ e 

As1 

= ⋅ 

σ s zs1 

+ zs2 

NEd 

zs1 

− e 

As 

2 = ⋅ , mit σ s = f yd 

σ s zs1 

+ zs2 




7 

d 2 

z s2 

h 

N Ed z s1 

A s11 

A s21 

e z 

y s1 y s2 

A s12 

A s22 

e y 

d 1 

zweiachsig ausmittige Zugkraft: 

e z < z s1 ; e y < y s2 


∑ H = 0 ⎫ 

⎬ As11,As12 

,As 

21, 

As 

22 

∑ M = 0⎭ 

NEd 

zs 

e ys 

− e 

2 + z 2 y 

As11 

= ⋅ ⋅ 

σ s zs1 

+ zs2 

ys1 

+ ys2 

NEd 

zs 

e y z s + e 

2 + 1 y 

As12 

= ⋅ ⋅ 

σ s zs1 

+ zs2 

ys1 

+ ys2 

N 

y 

Ed zs 

ez 

s − e 

1 − 2 y 

As 

21 = ⋅ ⋅ 

σ s zs1 

+ zs2 

ys1 

+ ys2 

N 

y 

Ed zs 

− ez 

s + e 

1 

1 y 

As 

22 = ⋅ ⋅ 

σ s zs1 

+ zs2 

ys1 

+ ys2 

mit σ s = f yd 




8 


überwiegende 


überwiegende 


überwiegende 


überwiegende 




Dehnung - überwiegend druckbeansprucht 

9 

h 

d 2 

A s1 

z s2 

A s2 z s1 

b 

d 1 

N Ed 

M Ed 

-3,5 ≤ε c2 < -2,0 f cd 

ε s1 

ε s2 

ε c1 

σ c 

F s2d 

F cd 

d 2 

a 

F s1d 

d 1 

d 



Überwiegende Druckbeanspruchung (1) 

10 

3,5‰ 

2,0‰ 

3/7·h 

P 

h 

- 

4/7·h 

b 

4 14 

3 

εc 1 = − εc2 

+ bzw. εc2 

= 3, 5 − ⋅ εc 

3 3 

4 

Fcd 

= F' cd −∆ 

F' cd 

1 4 

= h ⋅ b ⋅ fcd 

− ⋅ ⋅ h ⋅ b ⋅ ∆σ' 

c 

3 7 

ε c1 

ε c2 

ε c2u 

1 

∆σ' c f cd 

h/2 a 

F ' cd 

F cd 

f 

∆F' cd 




11 

Fcd 

= F' cd −∆ 

F' cd 

1 4 

= h ⋅ b ⋅ fcd 

− ⋅ ⋅ h ⋅ b ⋅ ∆σ' 

c 

3 7 

∆σ 

′ 

c = fcd 

⋅ [ 1− 

( εc 

2 1 − 0, 

25 ⋅εc 

)] 

1 

4 14 

mit εc1 

= − εc2 

+ 

3 3 

⎡ ⎛ 4 14 ⎞ ⎛16 

2 112 196 ⎞⎤ 

∆σ 

′ 

c = fcd 

⋅ ⎢1− 

⎜− 

⋅εc 

2 + ⎟ + 0, 

25 ⋅ ⎜ εc 

2 − εc2 

+ ⎟ 

3 3 9 9 9 ⎥ 

⎣ ⎝ 

⎠ ⎝ 

⎠⎦ 

⎛16 

2 64 64 4 

= f 

⎞ ( ) 2 

cd ⋅ ⎜ ⋅εc 

2 − εc2 

+ ⎟ = ⋅ fcd 

⋅ εc2 

− 2 

⎝ 36 36 36 ⎠ 9 

1 4 4 

2 

Fcd 

= h ⋅ b ⋅ fcd 

− ⋅ h ⋅ b ⋅ ⋅ fcd 

⋅ ( εc2 

− 2) 

3 7 9 

⎛ 16 

2 

= h ⋅ b ⋅ fcd 

⎜1− 

⋅ ( εc 

− ) ⎞ 2 2 ⎟ = h ⋅ b ⋅ fcd 

⋅α 

R 

⎝ 189 ⎠ 

16 

2 

α R = 1− 

( εc2 − 2) 

bis C50/60 

189 




12 

∑M = 0: 

⎛ 16 

2 ⎞ h 4 4 

2 ⎛ 4 ⎞ ⎧ 

16 

2⎫ 

⎜1− 

( εc2 

− 2) ⎟⋅ a = − ⋅ ⋅( εc2 

− 2) ⋅⎜h 

− h⎟ 

⎨mit 

αR 

= 1− 

( εc2 

− 2) 

⎬ 

⎝ 189 ⎠ 2 21 9 ⎝ 28 ⎠ ⎩ 189 ⎭ 

⎛ 16 

2 ⎞ h 16 

2 16 

2 

⎜1− 

( εc2 

− 2) ⎟⋅ a = − ⋅( εc2 

− 2) ⋅ h − ⋅( εc2 

− 2) 

⋅ h 

⎝ 189 ⎠ 2 189 

1323 

1 96 

2 

− ⋅( εc2 

− 2) 

a = h ⋅ 2 1323 = h ⋅ ka 

16 

2 

1− 

⋅( εc2 

− 2) 

189 

k a 

F' cd 

′ h ′ 

F 

( ) 

f 

cd ⋅ a = Fcd 

⋅ − ∆ Fcd 

h − f 

2 

∆F' cd 

∆σ' 

h 4 4 

c 

2 

h ⋅b 

⋅ fcd 

⋅α 

R ⋅ a = h ⋅b 

⋅ fcd 

⋅ − ⋅ h ⋅b 

⋅ ⋅ fcd 

⋅( εc2 − 2) ⋅( h − f ) 

2 21 9 

2 

6 441− 

64 ⋅ ( εc2 

− 2) 

= ⋅ 

7 756 − 64 ⋅ ( ε − 2) 2 

c2 

f cd 

h/2 

F cd 

a 



Hilfsgrößen α R und k a 

(Diagramm) 

13 

Vollständig überdrückter Rechteckquerschnitt 

mit –3,5‰ ≤ε c2 ≤ –2,0 ‰ bis C50/60 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

α R , 10⋅e c /h, ε c1 /10 

ε c2 

αR 

ε c1 

16 

= 1- h/2(ε 

c2 

189 

h/2 

− 

f cd 

2)² 

a 

F cd 

h 

b 

α R =σ cm / f cd 

10 ·e c /h 

ε c1 [‰] 

Nulllinie 

0,81 

F cd = b · h · α R · f cd 

16 

αR 

= 1− 

(εc2 

− 2 ) 

189 

e c 

2 

2 

6 441− 

64 ⋅(εc2 

− 2 ) 

ka 

= ⋅ 

2 

7 756 − 64 ⋅(εc2 

− 2 ) 

-2,0 -2,5 -3,0 -3,5 

ε c2 [‰] 



Interaktionsdiagramme 

14 

Interaktionsdiagramm (mit d 1 

/ h = 0,10) 

A s2 

d 2 

h 

Symmetrische 

Bewehrung: 

A s1 = A s2 

d 1 = d 2 

d 1 

A s1 

NEd 

υEd 

= 

b ⋅ h ⋅ fcd 

M Ed 

µ Ed = 

b ⋅ h² ⋅ fcd 

b ⋅ h 

As,tot 

= As1 

+ As 

2 = ωtot 

⋅ 

f yd /fcd 



5. Berechnungsbeispiel 

15 

Interaktionsdiagramm 

Gegeben: 

30 

5 

40 50 

5 

Beton: C30/37 

Betonstahl: BSt 500S 

d 1 / h = 5 / 50 = 0,1 

Schnittgrößen: 

N Ed = -2550 kN 

M Ed = 510 kNm 

⇒ 

N 

Ed 

− 2, 

55 

υEd 

= = 

= −10 

, 

b ⋅ h ⋅ f 

30 ⋅0, 

85 

cd 0, 

3 ⋅0, 

5⋅ 

15 , 

M 

Ed 

0, 

51 

µ = = 

= 0 4 

⋅ 

2 ⋅ 

2 30 ⋅0, 

85 

, 

Ed 

b h fcd 

0, 

3⋅0, 

5 ⋅ 

15 , 



5. Berechnungsbeispiel 

16 

Interaktionsdiagramm mit d 1 / h = 0,10 

υ Ed = -1,0 

Ablesung: 

ωtot 

= 11 , 

b ⋅ h 30 ⋅50 

2 

⇒ As 

= ωtot 

⋅ = 11 , ⋅ = 64, 

5cm 

f yd 435 

f 17 

cd 

mit : 

f yk N 

f yd = = 435 

11 , 

2 

mm 

0, 

85 N 

fcd 

= fck 

⋅ = 17 2 

15 , mm 

µ Ed = 0,4 

Gewählt: 2 x 6 ∅ 28 

⇒ vorh. A s = 2 ⋅ 36,9 

= 73,8 cm 2 > 64,5 cm 2 




17 


überwiegende 


überwiegende 


überwiegende 


überwiegende 




Dehnungsbereiche nach DIN 1045-1 

18 

εs2 

ε c 

D 

B 

C 

1 

2 

3 

4 5 

A 

ε s1 

ε ε ε ε ε 

uk 

yd 0 

c2 c2u 

25 ‰ - 2,0 ‰ - 3,5 ‰ 

Bereich 1: Mittiger Zug und Zugkraft mit kleiner Ausmitte 

Bereich 2: Biegung (mit Längskraft) bei Ausnutzung der größten Dehnung 

der Bewehrung 

Bereich 3: Biegung (mit Längskraft) bei Ausnutzung der größten Stauchung des 

Betons und einer Stahldehnung oberhalb der Streckgrenze 

Bereich 4: Biegung (mit Längskraft) bei Ausnutzung der größten Stauchung des 

Betons 

Bereich 5: Längsdruckkraft mit kleiner Ausmitte und zentrischer Druck 



Auswahl von Bemessungshilfen 

19 

Aufteilung von N 

nach Hebelgesetz 

Verfahren mit 

dimensionslosen Beiwerten 

(ω - Tafeln) 

allgemeines 

Bemessungsdiagramm 

Interaktionsdiagramme 



Veränderliche Querschnitte (1) 

20 

Ansatz einer gemittelten Querschnittsbreite 

h 

M Eds 

d 

b gemittelt 

a 

F cd 

z 

d 1 

ε s1 

σ c 

F s1d 

N Ed 

A s1 

ε s2 

σ s1 




21 

Schrittweise Integration des Parabel-Rechteck-Diagramms 

ε c2 

F c1d 

A 1 

z 1 

2,0 ‰ 

σ c1d 

F c2d 

F c3d 

c4d 

-3,5 ‰ < ε c < -2 ‰: σ c =f cd 4 

A 5 

σ 

σ c5d 

F c5d 

h d z 

z 2 

z 3 

4 

M Eds 

M Rds 

d A 1 s1 ε s1 

σ s1 F s1d 

A 3 σ c3d 

A 2 σ c2d 

N Ed 

-2 ‰ ≤ ε c ≤ 0 ‰: σ c = (ε c - 0,25 ·ε c ²) · f cd 

z 5 

F c4d 

M = ∑ 

n 

Rds Fcid 

⋅ zi 

i= 

0 




22 

Ansatz eines rechteckigen Spannungsblocks 

reduzierte Fläche 

ε cu2 

h d 

M Eds 

d 1 As1 ε s1 

N Ed 

k⋅ x 

x 

σ s1 

χ ⋅ f cd 

z 

F cd 

F s1d 

f ck ≤ 50 N/mm²: χ ≈ 0,95 

k = 0,80 

f ck > 50 N/mm²: χ ≈ 1,05 -f ck / 500 

k = 1,0 -f ck / 250 




23 

Ansatz einer gemittelten Druckzonenbreite 

b gemittelt 

ε c2 σ c 

a 

x 

h d 

M Eds 

d 1 

N 

ε c2 σ s1 Ed 

b 1 

z 

F cd 

F s1d 

! b gemittelt = 0,5 ⋅ b 1 auf der unsicheren Seite ⇒ Ansatz eines Teilquerschnitts

VORLESUNG MASSIVBAU I Gliederung Dehnungsbereiche (1)

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