HWS 07/08

Matthias Krause
Dirk Stegemann
Siavash Vahdati
Klausur Theoretische Informatik, HWS 2007/2008
Musterlösung
Mannheim, den 7.2.2008
AUFGABE K.1: Für die folgenden Maschinenmodelle gib eine (möglichst große) Klasse von
Sprachen an, die durch das jeweilige Maschinenmodell akzeptiert werden. In welchen Fällen
ändert sich die Sprachklasse (bewiesenermaßen) nicht, wenn die nichtdeterministische Variante
der Maschinen benutzt werden darf
a) stets haltende Turingmaschinen,
REK (rekursive Sprachen), auch bei nichtdeterministischer Variante
b) polynomiell zeitbeschränkte Turingmaschinen,
P; bei nichtdeterministischer Variante N P, N P = P wird nicht angenommen
c) endliche Automaten.
REG (reguläre Sprachen), auch bei nichtdeterministischer Variante
AUFGABE K.2: Gib für die folgenden Grammatiken aus der Chomsky-Hierarchie die zugehörige
Sprachklasse und die in der Vorlesung besprochene Komplexität des Wortproblems
(also z.B. quadratische Zeit in der Wortlänge) an.
Chomsky-0: rekursiv aufzählbare Sprachen; Wortproblem nicht berechenbar
Chomsky-2: kontextfreie Sprachen; kubische Zeit
Chomsky-3: reguläre Sprachen; lineare Zeit
AUFGABE K.3: Wir definieren s e (n) als die maximale Anzahl von Schritten, die irgendeine
haltende Turingmaschine mit n Zuständen auf einer gegebenen Eingabe e ausführen kann. Ist
die Funktion s e für jede Eingabe e berechenbar Begründe deine Antwort.
Nein, sonst wäre das Halteproblem wie folgt entscheidbar: Für eine gegebene Turingmaschine
M mit n Zuständen und eine gegebene Eingabe e berechnen wir s e (n) und simulieren maximal
s e (n) Schritte von M; wenn sie bis dahin nicht gehalten hat, wird sie nie halten.
AUFGABE K.4: Definiere das Konzept der polynomiellen Reduzierbarkeit ≤ p . Welche der
folgenden Aussagen sind bewiesenermaßen wahr Dabei bezeichnet N PC die Klasse der N P-
vollständigen Sprachen.
a) L 1 ∈ N P ∧ L 2 ∈ N PC ∧ L 1 ∉ P ⇒ L 2 ∉ P,
b) L 1 ∈ N P ∧ L 2 ∈ N PC ∧ ¯L 2 ∈ N P ⇒ ¯L 1 ∈ N P,
c) L 1 ∈ N P ∧ L 2 ∈ N PC ∧ ¯L 2 ∈ N PC ⇒ L 1 ∈ P,
d) L 1 ∈ N P ∧ L 2 ∈ N PC ∧ ¯L 2 ∈ P ⇒ L 1 ∈ P.
Alle außer (c).

AUFGABE K.5: Bei dem folgenden Problem besteht die Eingabe aus einer Menge von m
Klauseln der Länge drei (wie bei 3-SAT) und einer Zahl k. Zu entscheiden ist, ob es eine
Belegung der Variablen gibt, die mindestens k Klauseln erfüllt. In jedem der folgenden Fälle
beschreibe einen polynomiellen Algorithmus für dieses Problem oder zeige, dass (falls N P ̸= P)
es einen solchen Algorithmus nicht geben kann.
a) k ist beliebig.
Mit einem solchen Algorithmus könnte man 3-SAT in polynomieller Zeit entscheiden,
indem man k = m wählt; was N P = P zur Folge hätte.
b) k ist eine Konstante.
Es ist festzustellen, ob es k Klauseln gibt, die gleichzeitig erfüllt werden können; dafür
gibt es ( m
k)
∈ O(m k ) (also polynomiell viele) Wahlen. In jeder Auswahl kommen maximal
3k (also konstant viele) Variablen vor, womit alle deren Belegungen in konstanter Zeit
getestet werden können. Insgesamt brauchen wir also nur polynomielle Zeit.
AUFGABE K.6: Zeige, dass das folgende Problem N P-vollständig ist: Gegeben ist ein System
C von Teilmengen einer endlichen Menge S. Gesucht ist eine möglichst kleine Teilmenge
S ′ ⊆ S, so dass aus jeder Menge in C mindestens ein Element in S ′ vorkommt. Bei der Entscheidungsvariante
ist zusätzlich eine Schranke L ∈ {1, . . .,|S|} gegeben; es soll entschieden
werden, ob ein solches S ′ mit |S ′ | ≤L existiert.
Offensichtlich gehört dieses Problem zu N P.
Das Problem ist N P-schwer, weil VERTEX COVER ein Spezialfall davon ist; nämlich wenn
jede Menge in C genau zwei Elemente besitzt. (Siehe die Übungsaufgabe 10.2, auch für eine
Reduktion von CLIQUE oder INDEPENDENT SET auf dieses Problem.)
AUFGABE K.7: In dieser Aufgabe betrachten wir die Sprache aller Wörter über {0, 1}, die
mit 111 enden.
a) Gib einen möglichst einfachen NFA an, der diese Sprache entscheidet.
0,1
q
1 1 1
0
q 1
q2 q3
b) Benutze die Potenzmengenkonstruktion unter Vermeidung überflüssiger Zustände, um
einen äquivalenten DFA zu konstruieren.
Als Datenstrukturen benutzen wir eine Queue Q und ein Dictionary D.
In jedem Schritt wird genau ein neuer Zustand in Q und D eingefügt, der im darauffolgenden
Schritt aus Q entnommen wird, und zwar (in dieser Reihenfolge): {q 0 },{q 0 , q 1 },
{q 0 , q 1 , q 2 },{q 0 , q 1 , q 2 , q 3 }. Danach findet kein Einfügen statt, womit Q leer und die Konstruktion
beendet ist.
0
0
0 0
1 1 1
{ q 0 } { q , q 1}
{ q , q , q 2
}{ q , q , q , q 3
}
1 1
0 0 0
2
1
c) Kann man den DFA aus (b) weiter minimieren Begründe deine Antwort.
Nein. Der Automat hat vier Zustände, was auch der Index der Nerode-Relation ist.
(Die Wörter ǫ, 1, 11, 111 sind paarweise nicht Nerode-äquivalent.)

AUFGABE K.8: Sei L eine endliche Sprache, die durch eine Grammatik G mit der Variablenmenge
V erzeugt wird. In jedem der folgenden Fälle stelle fest, wie lang (als Funktion von
|V |) ein Wort aus L maximal sein kann (mit Begründung).
Hinweis: Benutze die Beobachtung aus dem Beweis des Pumping-Lemmas, dass bei jeder
Ableitung eines hinreichend langen Wortes eine Variable wiederholt vorkommen muss.
a) G ist eine reguläre (rechtslineare) Grammatik.
Für ein beliebiges Wort z ∈ L(G) betrachten wir eine Ableitung für z. Falls dabei eine Variable
wiederholt vorkommt, so folgt mit dem Argument im Beweis des Pumping-Lemmas,
dass für eine Zerlegung uvw von z beliebig viele Wörter uv i w ebenfalls zu L(G) gehören;
d.h. L(G) ist unendlich. Wenn also L(G) endlich sein soll, so kann ein Wort aus L(G)
höchstens die Länge |V |−1 haben; und so lange Wörter können offensichtlich vorkommen.
b) G ist eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform.
Für ein beliebiges Wort z ∈ L(G) betrachten wir einen zugehörigen Syntaxbaum ohne die
Terminalzeichen; dieser Baum ist binär. Wenn die Tiefe dieses Baumes mindestens |V |
beträgt, so muss auf einem Pfad von der Wurzel zu einem Blatt eine Variable wiederholt
vorkommen. Damit folgt mit der gleichen Argumentation wie oben, dass L(G) unendlich
ist. Wenn also L(G) endlich sein soll, so kann ein Wort aus L(G) höchstens die Länge
2 |V |−1 haben; und so lange Wörter können offensichtlich vorkommen.
AUFGABE K.9: In dieser Aufgabe betrachten wir Sprachen L über einem einbuchstabigen
Alphabet wie {0}.
a) Kann es sein, dass L mit Hilfe des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen als nicht
regulär identifiziert wurde, aber trotzdem kontextfrei ist Begründe deine Antwort.
Nein. Für die Anwendung des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen beobachten
wir, dass für eine beliebige Zerlegung uvwxy mit l := |vx| ≥ 1 das gleiche i wie bei der
Anwendung des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen bezüglich der Zerlegung u ′ v ′ w ′
mit |v ′ | = l zum Erfolg führt.
b) Ist die Sprache {0 p | p ist eine Primzahl} kontextfrei Begründe deine Antwort.
Nein. Wie in der Übungsaufgabe 3.1 für den Beweis der Nichtregularität dieser Sprache
können wir das Pumping-Lemma anwenden (siehe auch die vorige Teilaufgabe). Im Detail
treffen wir für ein Wort 0 p die Wahl i = p+1; das resultierende Wort hat die Form 0 p(l+1)
und ist damit nicht aus der Sprache.
AUFGABE K.10: Gegeben ist die kontextfreie Grammatik G mit folgenden Regeln:
S → AB, BA; A → BC, CB; B → CA, 0; C → BA, 1.
Stelle mit Hilfe des CYK-Algorithmus fest, ob w := 01010 ∈ L(G). Gib dazu die vom Algorithmus
ausgefüllte Tabelle an.
Die Felder der Tabelle V werden in der folgenden Reihenfolge besucht:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (1, 4), (2, 5), (1, 5).
In das Feld (Menge) V ii , 1 ≤ i ≤ n = 5, werden alle
Variablen X eingetragen, für die eine Regel X → w i
existiert.
In das Feld (Menge) V ij , 1 ≤ i < j ≤ n = 5, werden alle
Variablen X eingetragen, für die für eine Regel X →
Y Z ein k, i ≤ k < j, mit Y ∈ V ik und Z ∈ V k+1,j
existiert.
Da S ∉ V 1n (= V 1,5 ), gilt: w ∉ L(G).
w = 0 1 0 1 0
j | i 1 2 3 4 5
1 B
2 A C
3 C, S A B
4 ∅ B A C
5 B ∅ C, S A B