HWS 07/08

AUFGABE K.8: Sei L eine endliche Sprache, die durch eine Grammatik G mit der Variablenmenge
V erzeugt wird. In jedem der folgenden Fälle stelle fest, wie lang (als Funktion von
|V |) ein Wort aus L maximal sein kann (mit Begründung).
Hinweis: Benutze die Beobachtung aus dem Beweis des Pumping-Lemmas, dass bei jeder
Ableitung eines hinreichend langen Wortes eine Variable wiederholt vorkommen muss.
a) G ist eine reguläre (rechtslineare) Grammatik.
Für ein beliebiges Wort z ∈ L(G) betrachten wir eine Ableitung für z. Falls dabei eine Variable
wiederholt vorkommt, so folgt mit dem Argument im Beweis des Pumping-Lemmas,
dass für eine Zerlegung uvw von z beliebig viele Wörter uv i w ebenfalls zu L(G) gehören;
d.h. L(G) ist unendlich. Wenn also L(G) endlich sein soll, so kann ein Wort aus L(G)
höchstens die Länge |V |−1 haben; und so lange Wörter können offensichtlich vorkommen.
b) G ist eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform.
Für ein beliebiges Wort z ∈ L(G) betrachten wir einen zugehörigen Syntaxbaum ohne die
Terminalzeichen; dieser Baum ist binär. Wenn die Tiefe dieses Baumes mindestens |V |
beträgt, so muss auf einem Pfad von der Wurzel zu einem Blatt eine Variable wiederholt
vorkommen. Damit folgt mit der gleichen Argumentation wie oben, dass L(G) unendlich
ist. Wenn also L(G) endlich sein soll, so kann ein Wort aus L(G) höchstens die Länge
2 |V |−1 haben; und so lange Wörter können offensichtlich vorkommen.
AUFGABE K.9: In dieser Aufgabe betrachten wir Sprachen L über einem einbuchstabigen
Alphabet wie {0}.
a) Kann es sein, dass L mit Hilfe des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen als nicht
regulär identifiziert wurde, aber trotzdem kontextfrei ist Begründe deine Antwort.
Nein. Für die Anwendung des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen beobachten
wir, dass für eine beliebige Zerlegung uvwxy mit l := |vx| ≥ 1 das gleiche i wie bei der
Anwendung des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen bezüglich der Zerlegung u ′ v ′ w ′
mit |v ′ | = l zum Erfolg führt.
b) Ist die Sprache {0 p | p ist eine Primzahl} kontextfrei Begründe deine Antwort.
Nein. Wie in der Übungsaufgabe 3.1 für den Beweis der Nichtregularität dieser Sprache
können wir das Pumping-Lemma anwenden (siehe auch die vorige Teilaufgabe). Im Detail
treffen wir für ein Wort 0 p die Wahl i = p+1; das resultierende Wort hat die Form 0 p(l+1)
und ist damit nicht aus der Sprache.
AUFGABE K.10: Gegeben ist die kontextfreie Grammatik G mit folgenden Regeln:
S → AB, BA; A → BC, CB; B → CA, 0; C → BA, 1.
Stelle mit Hilfe des CYK-Algorithmus fest, ob w := 01010 ∈ L(G). Gib dazu die vom Algorithmus
ausgefüllte Tabelle an.
Die Felder der Tabelle V werden in der folgenden Reihenfolge besucht:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (1, 4), (2, 5), (1, 5).
In das Feld (Menge) V ii , 1 ≤ i ≤ n = 5, werden alle
Variablen X eingetragen, für die eine Regel X → w i
existiert.
In das Feld (Menge) V ij , 1 ≤ i < j ≤ n = 5, werden alle
Variablen X eingetragen, für die für eine Regel X →
Y Z ein k, i ≤ k < j, mit Y ∈ V ik und Z ∈ V k+1,j
existiert.
Da S ∉ V 1n (= V 1,5 ), gilt: w ∉ L(G).
w = 0 1 0 1 0
j | i 1 2 3 4 5
1 B
2 A C
3 C, S A B
4 ∅ B A C
5 B ∅ C, S A B