Dominik Lechler und Michael Hofmann Numerische Simulation ...

Dominik Lechler und Michael Hofmann
Numerische Simulation turbulenter Strömungen
Proseminar Numerik vom 07.08.06 - 09.08.06 im Kleinwalsertal
1. Einführende Beispiele und Bemerkungen
Wir wollen zunächst einige Beispiele nennen, um die Relevanz der Modellbildung
- insbesondere der Turbulenzmodellbildung - zu demonstrieren und zu motivieren.
Die angegebenen Beispiele können durchaus auch unter andere genannte Oberbegriffe
fallen beziehungsweise es gibt viele Querverbindungen.
• Allgemeine Idee von Simulation
– Simulationsrechnungen ersetzen teure Experimente.
– Veränderung von (z.B. Material-)Parametern oder (z.B. Schiffs-)Geometrien
können sehr schnell an wenigen Stellen im Code erfolgen, dadurch sind
schnellere Tests zur Optimierung ohne Versuchsumbauten möglich.
Durch hohen Speicherplatz ist auch mehr Datenspeicherung möglich.
– Es können Prozesse modelliert werden, bei denen Experimente zu lange
dauern oder zu schnell ablaufen, bei denen die Dimension zu klein
(Mikrochips) oder zu groß (Galaxiebildung) ist. Ebenso solche Prozesse
bei denen man keine Versuche machen darf (Tanker-/Reaktorunfälle).
• Strömungen in der Natur
– Wolkenbildung (Meteorologie/Klimatologie)
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– Luftströmung über Landschaften
– (Wild-)bach, Wasserfall, Meereswellen (Ozeanologie)
– Plattentektonik (Geologie)
– Durchströmung poröser Medien wie z.B. dem Erdboden (Erdölförderung,
Grundwassertransport)
– Sonnenwinde (Astrophysik)
– Lawinen (Katastrophenschutz)
• Strömungen im Alltag
– Milch im Kaffee
– Badewannenwirbel
– Zigarettenrauch
– Aerodynamik beim Segeln

• Strömungen in der Technik
– Abhören von Turbulenzgeräuschen des Blutes bei der Blutdruckmessung,
Herzklappengeräusche (Medizintechnik)
– Einfluss von Heizungen und Klimaanlagen auf Luftströmung im Zimmer
– Kaminplatzierung bei Gebäuden, Strömungen um Hochhäuser, in Häuserschluchten
(Relevanz wg. Abgasen, Emissionen,...)
– Schmelz-, Verfestigungs-, Verbrennungs- und Beschichtungsprozesse
(z.B. sogenannte Vorhangbeschichtung bei Produktion fotographischer
Filme)
– Fahrzeugtechnik (Umströmung von Karosserien, Tragflügelprofile)
– Flutwellensimulation bei brechenden Dämmen (typisches Testbeispiel
für neuentwickelte Programme)
– Schiffsbewegung (Beeinflussung des Gewässers oder durch das Gewässer)
– Durchströmung technischer Bauteile wie Filter oder Katalysatoren
– Kraftwerke, Kühltürme
– Trinkwasserspeicherkonstruktion (Vermeidung von stehendem Gewässer)
– Fluid-Festkörper-Wechselwirkungen (Auswirkungen sich bewegender
Körper auf Strömung, Transport und Verformung von Körpern durch
Strömung), Verhalten elastischer Körper
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2. Strömungstypen (laminar und turbulent)
Wir wenden uns nun turbulenten, d.h. chaotischen Strömungen zu. Ihre Analyse
und Simulation stellt schwierigste Anforderungen an die Strömungsmechanik.
2.1. Abhängigkeit von der Reynoldszahl.
Definition 2.1.1. Die Reynoldszahl gibt das Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft
in einem strömenden Fluid an.
• Stationäre Strömungen
– Re < 1: Da die Reibungskräfte im Fluid größer sind als die Trägheitskräfte,
werden Hindernisse eng umströmt.
– Re > 4: Es entstehen zeitlich unveränderte (=stationäre) Rückströmungsgebiete
hinter den Hindernissen.
• Re > 40: Periodische Strömungen
Rückströmungsgebiete trennen sich vom Hindernis ab, fließen mit der
Strömung mit. Neue Rückströmungsgebiete bilden sich in periodischen Abständen.
• Re ≫ 40: Quasi-Periodische Strömungen
Die zeitliche Abfolge und Größe der Rückströmungsgebiete (Wirbel) wird
zunehmend unregelmäßig.
• Re > Rekrit ≈ 2340: Turbulente Strömungen
Die Strömung ist völlig irregulär und es ist keine Periodizität zu erkennen.

2.2. Vergleich von laminaren und turbulenten Strömungen.
In folgenden Eigenschaften unterscheiden sich laminare und turbulente Strömungen:
laminare Strömung turbulente Strömung
regelmäßig regellos
linear nichtlinear
geringe Diffusionsraten hohe Diffusionsraten
keine bis wenig Wirbel viele Wirbel
kein kontinuierliches Fourierspektrum kontinuierliches Fourierspektrum
weitgehende Erhaltung kinetischer Energie Umwandlung der kinetischen Energie
Bemerkung 2.2.1. Nichtlinearität: Da die Navier-Stokes-Gleichungen nichtlinearen
Charakter haben, können sich kleine Störungen unter Umständen zu großen
Störungen entwickeln, die über längere Zeit stabil sein können.
Also muss für die Wirbel zusätzliche kinetische Energie aufgebracht werden. Der
Strömungswiderstand ist nun nicht mehr wie im laminaren Fall proportional zur
Geschwindigkeit, sondern zu ihrem Quadrat.
Bemerkung 2.2.2. Da sich kleine und kleinste Wirbel isotrop, d.h. in alle Richtungen
unabhängig ausbreiten, sind Diffusionsraten von Impuls, Masse und Wärme
stark erhöht.
Bemerkung 2.2.3. Zur Wirbeligkeit: Es existieren verschieden große Wirbel, von
der Größenordnung des Strömungsgebietes Ω bis hinein in den mm-Bereich.
Der Transport von Energie von großen zu immer kleiner werdenden Wirbeln, die
in deren kompletter Umwandlung in Wärme mündet, nennt man Energiekaskade
oder abklingende Turbulenz. Man vermutet außerdem noch getriebene Turbulenz
oder inverse Kaskaden, das heißt die Abgabe kleinerer Energiemengen von kleinen
an größere Wirbel.
⇒ Turbulente Strömungen brauchen Energiezufuhr zur Aufrechterhaltung.
2.3. Veranschaulichung als Stabilitätsproblem.
Definition 2.3.1. Eine Stromlinie ist eine Kurve, die zur festen Zeit t in jedem
Punkt (x1, x2, x3) eine zum zugehörigen Geschwindigkeitsvektor (u1, u2, u3) parallele
Tangente besitzt. Die Höhenlinien der Stromfunktion sind gerade die Stromlinien
des Geschwindigkeitsfelds �u.
Weiter gilt: Bei laminaren Strömungen fließt zwischen 2 Stromlinien stets dieselbe
Masse.
• Zunächst sei eine Rohrströmung völlig laminar, also mit parallelen Stromlinien.
Die Geschwindigkeit sei u, die Dichte sei ρ und die dynamische Viskosität
sei µ. Sodann trete eine Störung der Größe r auf.
• Eine Stromlinie wird verbogen.
• Der Strömungsquerschnitt oberhalb der Störung wird kleiner und unterhalb
größer.
• Die Strömungsgeschwindigkeit steigt oberhalb und sinkt unterhalb der Störung.
• Ein Druckgefälle proportional zu ρu2 resultiert und somit auch eine Trägheitskraft.
Diese will die Strömung beschleunigen.
• Die viskose Reibungskraft (proportional zu u
r ) dagegen führt zu einem Abbau
des Geschwindigkeitsgefälles.
=⇒ Re = ρur
µ
bestimmt, ob die Störung Turbulenz verursacht oder nicht.
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3. Turbulenzmodellierung
3.1. Direkte numerische Simulation (DNS).
Motivation.
Jede inkompressible Strömung - laminar oder turbulent - wird mathematisch vollständig
beschrieben durch die Navier-Stokes-Gleichungen in dreidimensionaler Form. Also
wird man zunächst auf einem genügend feinen Gitter (so fein, dass auch die kleinsten
Wirbel erfasst werden) diese Gleichungen diskretisieren und dann numerisch
lösen.
Problem.
Die Größe der kleinsten Wirbel ist proportional zu ν −3/4 nach dem k −5/3 -Gesetz
von Kolmogorov (1942).
⇒ Wirbelauflösung durch 3D-Gitter erfordert N = O(ν −9/4 ) Gitterpunkte.
Beispiel zur Verdeutlichung.
Die Aerodynamik von Autos und Flugzeugen ist ein relevantes Problem. Dabei gilt
meist νLuft ≤ 10 −6 ⇒ N = O((10 −6 ) −9/4 ) = O(10 27/2 )
=⇒ Man bräuchte mehr als 10 13 = 10.000.000.000.000 (10 Billionen) Gitterpunkte.
Speicherplatz und Rechenleistung sind heute und in näherer Zunkunft dafür nicht
aufzubringen.
Fazit.
Die DNS eignet sich nur für Probleme mit kleinen Reynoldszahlen (also mit höherer
Viskosität) oder aber für Probleme, bei denen man Effekte nicht aufzulösender
kleinster Wirbel vernachlässigen kann. Die bisher höchste erreichte Auflösung
(Stand Buch 1995) ist 1024 x 1024 x 1024 Gitterpunkte. Im Allgemeinen ist die
DNS bis etwa Re = 10.000 sinnvoll.
Das Dilemma besteht also darin, dass die direkte Simulation turbulenter Strömungen
mit hohem Re auf genügend feinem Gitter technisch unmöglich ist, die Verwendung
von groberem Gitter verfälscht dagegen das Resultat bis zur Unbrauchbarkeit.
3.2. Grundidee der Modellierung.
Kleinste Details einer turbulenten Strömung sind in der Praxis oft weder messbar
noch von Interesse. Vielmehr bilden bei Strömungswiderstand oder Durchfluss
Mittelwerte die Berechnungsgrundlage. Daher liegt es nahe, die Strömung und die
beschreibenden Größen aufzuteilen:
• Die Hauptteile � U, P und � G der Größen der turbulenten Strömung werden
direkt durch ein umströmtes Hindernis hervorgerufen.
• Die Störungen �u ′ , p ′ und �g ′ werden durch die turbulente Anströmung hervorgerufen,
d.h. durch die Anfangs- und Randbedingungen.
Dabei gelten folgende additiven Zerlegungen:
�u = � U + �u ′ , p = P + p ′ ,�g = � G + �g ′
Die Hauptteile � U, P und � G werden durch einen Filter gebildet.
Definition 3.2.1. Ein Filter 〈·〉 auf eine Größe angewendet erzeugt einen statistischen,
zeitlichen oder räumlichen Mittelwert. Bei vektoriellen Größen wird der Filter
komponenenweise angewendet. Unser Filter verfügt über folgende Eigenschaften
(dabei seien q und r Größen und α, β ∈ R):

(F1) Linearität:
〈αq + βr〉 = α〈q〉 + β〈r〉
(F2) Kommutativität mit Ableitungen:
� �
∂q
=
∂t
∂〈q〉
∂t
und � �
∂q
(F3) Idempotenz:
∂xi
= ∂〈q〉
∂xi
〈〈q〉〉 = 〈q〉
(F4) Multiplikativität mit gefilterten Größen:
(F5) Verschwinden von Störungen:
〈r〈q〉〉 = 〈r〉〈q〉
〈q ′ 〉 = 0
Definition 3.2.2. Einen Tensor können wir uns als geometrisches Objekt vorstellen,
das aus Vektoren aufgebaut ist. Tensoren der Ordnung Null sind Skalare,
Tensoren erster Ordnung sind Spaltenvektoren. Tensoren zweiter Stufe sind quadratische
Matrizen. Für zwei Tensoren erster Ordnung ist das Tensorprodukt ⊗ eine
Verknüpfung mit folgenden Eigenschaften (dabei seien q1, q2 und q3 Tensoren der
Stufe 1 und α ∈ R):
(T1) Distributivgesetze:
(q1 + q2) ⊗ q3 = q1 ⊗ q3 + q2 ⊗ q3
q1 ⊗ (q2 + q3) = q1 ⊗ q2 + q1 ⊗ q3
(T2) Assoziativität mit reellen Zahlen:
(αq1) ⊗ q2 = α(q1 ⊗ q2) = q1 ⊗ (αq2)
3.3. Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen.
Navier-Stokes-Gleichungen.
Für instationäre laminare Strömungen inkompressibler viskoser Fluide gelten folgende
Impulsgleichung und Kontinuitätsgleichung (mit Dichte ρ ≡ const):
∂�u
∂t
+ div(�u ⊗ �u)
� �� �
(�u·∇)�u
+∇p = 1
∆�u + �g
Re
div �u = 0,
wobei �u das Geschwindigkeitsfeld, p den Druck, ∇ = ( ∂
∂x
, ∂
∂y
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∂ , ∂z ) den Gradient,
�g = (gx, gy, gz) äußere Kräfte (Erdanziehung etc.) und ∆ den Laplace-Operator
bezeichne.
Zur besseren Veranschaulichung wollen wir hier noch alles in 3D explizit angeben:
∂u ∂p 1
+ =
∂t ∂x Re · (∂2 u
∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 ) − ∂(u2 ) ∂uv ∂uw
− − + gx
∂x ∂y ∂z
∂v ∂p 1
+ =
∂t ∂y Re · ( ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2 + ∂2v ∂(uv)
) −
∂z2 ∂x − ∂(v2 )
∂y
− ∂vw
∂z
+ gy

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∂w
∂t
∂p 1
+ =
∂z Re · (∂2 w
∂x2 + ∂2w ∂y2 + ∂2w ∂(uw)
) −
∂z2 ∂x
Impulsgleichungen
∂u ∂v ∂w
+ + = 0
∂x ∂y ∂z
Kontinuitätsgleichung
∂(vw)
−
∂y − ∂(w2 )
+ gz
∂z
Nun versehen wir diese die Strömung beschreibenden Gleichungen mit dem Filter:
(F 1)
⇔
wobei für * gilt:
� � � �
∂�u
1
+ div(�u ⊗ �u) + ∇p = ∆�u + �g
∂t Re
� �
∂�u
+ 〈div(�u ⊗ �u)〉 + 〈∇p〉 =
∂t
1
〈∆�u〉 + 〈�g〉
Re
(F 2)
⇔ ∂〈�u〉
∂t
+ div〈�u ⊗ �u〉
� �� �
∗
+∇〈p〉 = 1
∆〈�u〉 + 〈�g〉
Re
〈q〉=Q
⇔ ∂ � U
∂t + div(� U ⊗ � U) + div(�u ′ ⊗ �u ′ ) + ∇P = 1
Re ∆� U + � G,
〈�u ⊗ �u〉 = 〈( � U + �u ′ ) ⊗ ( � U + �u ′ )〉
(T 1)
= 〈 � U ⊗ � U〉 + 〈 � U ⊗ �u ′ 〉 + 〈�u ′ ⊗ � U〉 + 〈�u ′ ⊗ �u ′ 〉
(F 5)
= � U ⊗ � U + 〈�u ′ ⊗ �u ′ 〉
Bei der Kontinuitätsgleichung verfahren wir analog:
〈div �u〉 = 〈0〉
(F 2)
⇔ div〈�u〉 = 0
〈q〉=Q
⇔ div � U = 0
Die so erhaltenen Gleichungen ensprechen fast den Navier-Stokes-Gleichungen
mit gemittelten Größen. Sie heißen Reynoldsgleichungen. Allerdings haben wir
in der Impulsgleichung den zusätzlichen Term R(�u ′ ) = −〈�u ′ ⊗ �u ′ 〉, den wir als
Reynoldsschen Spannungstensor bezeichnen.
3.4. Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung.
Der Reynoldsspannungstensor ist von den zusätzlichen Unbekannten �u ′ (Fluktuationen
der Geschwindigkeit) abhängig. Wir benötigen deswegen weitere Gleichungen
um das Differentialgleichungssystem lösen zu können. Aufgrund von Hypothesen
und Näherungen entwickelt man verschiedene Modelle für den Spannungstensor R.

Die Reynoldssche Hypothese.
Da Turbulenz meist in Gebieten mit hohen Geschwindigkeitsgradienten ∇ � U auftritt,
nahm Reynolds an, dass die Approximation des Tensors nur von diesen großen
Gradienten abhängt, genauer:
R(�u ′ ) ≈ R(∇ � U + ∇ � U T )
Ein Gegenbeispiel zu dieser Hypothese ist die laminare Strömung mit hoher Geschwindigkeit
an der Vorderseite von Flugzeugflügeln.
Der Smagorinsky-Ansatz.
Die Gestalt von R ist so zu wählen, dass das Turbulenzmodell genau wie die Navier-
Stokes-Gleichungen und die Reynoldsgleichungen gegenüber Verschiebungen und
Drehungen invariant ist. Folgender funktionaler Zusammenhang ist beispielsweise
in 2D denkbar:
R(∇ � U + ∇ � U T ) = η · Id + χ · (∇ � U + ∇ � U T )
wobei Id die Einheitsmatrix bezeichne. Smagorinsky schlug
χ = 0.01h 2
�
tr((∇� U + ∇� U T ) · (∇� U + ∇� U T ) T )
vor, wobei h die Feinheit des Gitters bezeichne (1963).
Dieser Ansatz ist nicht ausreichend für zu grobe Gitter oder Modellierung in 3D.
3.5. Das k-ɛ-Modell.
Das Innere des Strömungsgebiets.
Zur genaueren Modellierung des Reynoldsschen Spannungstensors werden zwei weitere
Größen eingeführt, nämlich:
• die turbulente kinetische Energie k := 1
2 〈|�u′ |〉 und
• deren Dissipationsrate ɛ := 1
2Re 〈|∇�u′ + ∇(�u ′ ) T | 2 〉.
Für die Modellbildung treffen wir folgende Annahmen:
• Wir erweitern die Reynoldssche Hypothese zu R(�u ′ ) ≈ R(∇ � U + ∇ � U T , k, ɛ).
• −R(�u ′ ) und ∇ � U + ∇ � U T sind proportional zueinander. Der Proportiona-
litätsfaktor ist die turbulente Wirbelviskosität νT := cµ k2
ɛ .
• Die Turbulenz wirkt in alle Richtungen gleich.
Wir wählen nun als Approximation
R(�u ′ ) ≈ 2
3 k · Id + νT · (∇ � U + ∇ � U T )
und erhalten aus den Reynoldsgleichungen
∂ � U
∂t + div(� U ⊗ � U) + ∇P + 2
�� �
1
�
∇k − div + νT ∇
3 Re � U + ∇� ��
T
U = � G.
Zur Bestimmung von k und ɛ benutzt man die folgenden beiden Transportgleichungen.
Sie schließen auch das Differentialgleichungssystems der Reynoldsglei-
chungen.
und
∂k
∂t + � U∇k − νT
2
�
�
�∇� U + ∇� U T
�
�
∂ɛ
∂t + � U∇ɛ − c1k
�
�
�∇
2
� U + ∇� U T
�
�
� 2
� 2
− div(νT ∇k) + ɛ = 0
− div( cɛ
cµ
ɛ
νt∇k) + c2
2
= 0
k
9

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Die dabei verwendeten Konstanten cµ, cɛ, c1 und c2 werden empirisch, d.h. über
experimentelle Daten gewählt. Oft verwendet man dann 2-3 Grundtypen von Problemen
und hofft dann, ähnliche Probleme über diese Konstanten auch möglichst
gut simulieren zu können. Man verwendet oft die Turbulenz hinter einem Gitter,
die turbulente Scherströmung und die turbulente Strömung über eine Platte.
Unter den Annahmen für das k-ɛ-Modell ergeben sich beispielsweise folgende Werte:
cµ ≈ 0.09, cɛ ≈ 0.07, c1 ≈ 0.126 und c2 ≈ 1.92
Randbedingungen.
Das k-ɛ-Modell besitzt keine Gültigkeit in der Nähe fester Wände, da
• die Geschwindigkeit der Strömung durch Reibung gebremst ist (d.h. niedrigere
Re-Zahlen) und
• sich die turbulenten Schwankungen nicht in Wandrichtung ausbreiten können.
Wir betrachten daher im Wandbereich drei Schichten:
• Direkt an der Wand ist die Strömungsgeschwindigkeit sehr gering und die
Strömung laminar.
• Darüber ist die Strömung lokal instabil und besitzt ein logarithmisches
Geschwindigkeitsprofil.
• Weiter weg von der Wand ist die Strömung dann turbulent.
Man ermittelt empirisch sogenannte Wandfunktionen, mit denen sich der laminare
und logarithmische Bereich im k-ɛ-Modell simulieren lassen.
In Niedrig-Reynolszahl-Modellen multipliziert man die Konstanten cµ, c1 und c2
noch mit diesen Wandfunktionen und setzt als Randwerte
• an festen Wänden die beweglichen Größen sowie ihre Ableitungen in Nomralenrichtung
gleich Null,
• am Einströmrand konkrete problemabhängige Einströmgrößen und
• am Ausströmrand die Ableitungen der beweglichen Größen in Normalenrichtung
gleich Null, was tangentiales Ausströmen bedeutet.
Man hat Zwei-Schicht-Modelle entwickelt, in denen wandnahe und wandferne
Gebiete mit unterschiedlichen Modellen simuliert werden. Zum Beispiel mit einem
Ein-Gleichungs-Modell in Wandnähe kombiniert mit einem Zwei-Gleichungs-Modell
wie dem k-ɛ-Modell im turbulenten Zentrum.
Diskretisierung.
Diskretisierung ist nichts anderes als Gewinnung von Information in ausgewählten
Punkten aus einer kontinuierlichen Information. Dabei wird ein Gitter über das
Beobachtungsgebiet gelegt und Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt.
Die Diskretisierung des k-ɛ-Modells gestaltet sich sehr ähnlich zu der Diskretisierung
der Navier-Stokes-Gleichungen.
3.6. Weitere Turbulenzmodelle.
Die bisher besprochenen Modelle vereinfachen das Problem stark, um Rechenkapazität
zu sparen. Daher muss man sich eventuell mit ungenaueren Ergebnissen
begnügen. Moderne Modelle liefern mit höherem Rechenaufwand genauere Resultate.

Large-Eddy-Simulationen (LES).
Durch die Verfügbarkeit verhältnismäßig großer Rechenkapazitäten kann in jüngster
Zeit auf eine Modellierung aller Turbulenzbereiche verzichtet werden. Bei großen
Wirbeln, den sogenannten Large Eddies, mischt man Modellierung und DNS. Durch
die Wahl spezifischer Filter kann der Aufwand stufenlos zwischen kompletter Vereinfachung
durch das Modell und genauer aber aufwendiger Simulation gewählt
werden.
Die feineren Strukturen der Strömung werden weiterhin modelliert, z.B. wieder
durch die k-ɛ-Methode.
Die LES sind Grundlage für sogenannte Feinstrukturmodelle, in denen nur die kleinen
Wirbel modelliert werden:
• Smagorinsky-Ansatz
• dynamische Subgrid-Scale-Techniken
Seit einiger Zeit werden auch Wavelet-Methoden verstärkt zur Simulation von
Strömungen eingesetzt.
Fazit.
Mehr und mehr werden in der Zukunft also Verfahren angewendet werden, die
nicht stur eine Methode verfolgen. Vielmehr werden adaptiv und problemspezifisch
verschiedene Modellierungen kombiniert. Diese Flexibilität wird von der heutigen
Komplexität der Anwendungen gefordert.
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