StrÃ¶mung und Transport in der ungesÃ¤ttigten Zone - Institut fÃ¼r ...

Modellieren in der 

Angewandten Geologie 

Sebastian Bauer 

Geohydromodellierung 

Institut für Geowissenschaften 

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel 


Hydrogeomodellierung 

Modellieren in der Angewandten Geologie 

CAU 5-1

Ungesättigte Zone 

Wasserbewegung in der ungesättigten Zone 

Als erster Fall einer Mehrphasenströmung wird nun die Wasserströmung 

in der ungesättigten Bodenzone betracht. Die 

ungesättigte Bodenzone ist eine Zone, die durch 3 Phasen 

eingenommen wird: 

- Festphase (poröses Medium) 

- wässrige Fluidphase 

- Gasphase 

Fluidphase (Wasser) 

Festphase (Boden) 

Gasphase (Luft) 

Helmig (1997) 




CAU 5-2

Allgemeine Bilanzgleichung 

Allgemeine Bilanzgleichungen 

Wiederholung: Die Bilanzgleichung für eine extensive Ψ Größe: 

Ω: Bilanz- Volumen Ω 

S: Oberfläche des Bilanzvolumens Ω 

n: Normalenvektor auf der Oberfläche S 

S 

Ω 

Rate der 

Akkumulation 

von Ψ in Ω 

Netto- Zufluss 

= von Ψ in Ω + 

durch S 

Netto Produktionsrate 

von Ψ in Ω 

(a) 



(b) 


CAU 5-3 

(c)

Allgemeine Bilanzgleichung 

In integraler Form: 

In differentieller Form: 




CAU 5-4

Bilanzgleichung für die ungesättigte Zone 

Massenbilanzgleichung einer Phase: 

Zur Ableitung der Massenbilanzgleichung einer Phase setzt man: 

Ψ ist die Masse der Phase im Bilanzvolumen Ω 

ψ = ρ S ist die Massendichte (Erhaltungsgröße) im 

Mehrphasenkontext. Für die Einphasenströmung gilt ψ = ρ (siehe 

letztes Semester), im Mehrphasenfall muss noch berücksichtigt 

werden, dass nur ein Teil des Porenraums für die Fluidphase 

Wasser zur Verfügung steht. Dies geschieht über die Sättigung S 

der Fluidphase Wasser. Dichte und Sättigung beziehen sich im 

Folgenden immer auf die Fluidphase Wasser (Index l wird 

weggelassen). 

Nach Übergang Mikro- zu Makroskala (dabei kommt die Porosität 

herein) ergibt sich: 




CAU 5-5


Partielles Ableiten und die Annahme, dass das poröse Medium starr 

(unbeweglich: dn/dt = 0) ist, ergibt: 

Der Fluss-Term kann durch die Darcy- Gleichung in der 

Mehrphasenformulierung ausgedrückt werden: 




CAU 5-6


Die Kompressibilität von Wasser ist: 

Die Vereinfachungen für die Richards Gleichung für Strömung in 

der ungesättigten Bodenzone sind: 

- unbewegliche Gasphase (v Luft 

= 0) => d ρ gas 

/dt=0 

- Vernachlässigung des Luftdrucks 

Vereinfachte Kapillardruck- Sättigungbeziehung 




CAU 5-7


Damit ergibt sich: 

Nutzen der Kapillardruckbeziehung p c 

= -p w 

: 

Unter der Annahme konstanter Fluiddichte (β p 

=0) und mit: 

(Speicherkoeffizient: oft auch als C bezeichnet) 

und Einsetzen der Darcy-Gleichung (siehe oben) ergibt sich: 




CAU 5-8


Dies ist die Richards-Gleichung in der sogenannten Druck- 

Formulierung. 

Für manche Fälle ist eine gemischte Formulierung geschickter. Dabei 

wird der Speicherterm als Funktion der Sättigung geschrieben: 

Richards-Gleichung in Druckhöhe h [m]: 




CAU 5-9

Strömung in der ungesättigte Zone 

Experiment von Warrick et al. (1971): Set-up 




CAU 5-10


Experiment von Warrick et al. (1971): Ergebnisse 




CAU 5-11


Experiment von Abeele et al. (1981) und Modell Forsyth (1993) 

Van Genuchten Parameter: 




CAU 5-12

Bilanzgleichung für eine Komponente 

Zur Ableitung der Bilanzgleichung einer Komponente im gesättigten 

Grundwasser setzt man: 

Ψ = M (Tracer~, gelöste ~, Schadstoff~) Masse: 

Einheit: [M] 

Massendichte (Masse pro Einheitsvolumen): M/V = C 

Einheit: [ML -3 ] 

Im Gegensatz zum Grundwasser sind zwei mikroskopische Flüsse zu 

berücksichtigen: 

Advektiver Fluss j Adv 

: 

Einheit: [ML -2 T -1 ] 

Diffusiver Fluss j Diff 

: 

Einheit: [ML -2 T -1 ] 

Dabei ist v [LT -1 ] die Abstandsgeschwindigkeit und D D 

[L 2 T -1 ] der 

Diffusionskoeffizient der molekularen Diffusion einer skalaren Substanz 




CAU, Wintersemester 2007/2008

Bilanzgleichung für eine Komponente 

Daraus konnte die Bilanzgleichung hergeleitet werden. 

Zur Ableitung der Bilanzgleichung einer Komponente im ungesättigten 

Grundwasser setzt man: 

Ψ = M (Tracer~, gelöste ~, Schadstoff~) Masse 

Einheit: [M] 

Massendichte mikroskopisch (Masse pro Einheitsvolumen): M/V = S C 

Massendichte makroskopisch: M/V = n S C 

Makroskopischer advektiver Fluss j Adv 

: 

Makroskopischer diffusiver Fluss j Diff 

: 




CAU, Wintersemester 2007/2008

Transport in der ungesättigte Zone 

Damit ergibt sich die Transportgleichung zu: 

Durch bilden der partiellen Ableitungen erkennt man die neuen Terme: 

Speicherung aufgrund 

von Sättigungsänderungen 

Term aufgrund von räumlichen 

Änderungen der Sättigung 




CAU 5-15


Messen der Drücke im Boden und Grundwasser 

Messung Grundwasser über Piezometer (Fig 2a). Dieses funktioniert nicht für 

ungesättigte Strömung (Fig. 2b). Daher Messung über ein Tensiometer 

(Lysimeter), das über einen Keramikaufsatz das eindringen von Luft in das 

Manometer verhindert (Fig. 3a). Wasser wird in die Bodensäule gezogen, bis 

Gleichgewicht herrscht, der Unterdruck (Kapillardruck) zeigt sich nun im 

Manometer (Fig. 3b). 




CAU 5-16 

Yeh (2006)


Druckterme bei ungesättigter Strömung 

Der Gesamtdruck H ergibt sich als Addition von Kapillardruck 

(Wasserdruck) und Höhe über Datum 

Yeh (2006) 




CAU 5-17


Druckterme bei gesättigter Strömung 

freie 

Wassersäule 

(hydrostatisch) 

poröses 

Medium mit 

Wasser 

Durch eine Säule, die im oberen Teil fries Wasser, im unteren Teil poröses Medium 

enthält, fliesst Wasser mit dem Durchfluss Q. Es stellt sich der Druckgradient ein, 

der benötigt wird, das Wasser durch das poröse Medium zu treiben. Darüber 

entsteht ein hydrostatischer Druckgradient im freien Wasser (Annahme: Fliessen 

ohne Widerstand). 




CAU 5-18






CAU 5-19






CAU 5-20


Durchflussraten: Infiltration - Evaporation 




CAU 5-21


Sättigungs-Anisotropie 




CAU 5-22


Vergleich von Druck und 

Sättigung für 

geschichtete 

heterogene Medien 

(gefüllte Kontourlinien) 

und einem homogenen 

Modell (Linien) 




CAU 5-23





CAU 5-24

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