Hans Walser, [20130725], [20130728] DIN, Dreieck und Sechseck ...
Hans Walser, [20130725], [20130728] DIN, Dreieck und Sechseck ...
Hans Walser, [20130725], [20130728] DIN, Dreieck und Sechseck ...
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<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>, [<strong>20130725</strong>], [<strong>20130728</strong>]<br />
<strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong><br />
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen<br />
1 Im <strong>DIN</strong>-Raster<br />
In einen <strong>DIN</strong>-Raster zeichnen wir ein regelmäßiges <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> ein regelmäßiges<br />
<strong>Sechseck</strong> gemäß Abbildung 1.<br />
Abb. 1: Im <strong>DIN</strong>-Raster<br />
Das <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> das <strong>Sechseck</strong> sind flächengleich.<br />
2 Rechnerischer Beweis<br />
Ein regelmäßiges <strong>Dreieck</strong> mit dem Umkreisradius 2 <strong>und</strong> ein regelmäßiges <strong>Sechseck</strong> mit<br />
dem Umkreisradius 2 haben beide den Flächeninhalt 3 3 .
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: <strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong> 2/7<br />
3 Zerlegungsgleichheit<br />
Die Abbildungen 2 <strong>und</strong> 3 zeigen eine Zerlegungsgleichheit in zwei Schritten.<br />
Erster Schritt: Umformung der äußeren <strong>Dreieck</strong>e <strong>und</strong> Trapeze in Parallelogramme.<br />
Abb. 2: Parallelogramme<br />
Zweiter Schritt: Gemeinsame Zerlegungen der Parallelogramme.<br />
Abb.3: Zerlegung
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: <strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong> 3/7<br />
4 Faltgeometrie<br />
Ausgehend von je einem <strong>DIN</strong> A4-Papier können wir das rote <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> das blaue<br />
<strong>Sechseck</strong> auch mit Faltgeometrie herstellen. Zunächst falten wir den Raster (Abb. 4).<br />
Die Präzision wir größer, wenn wir nicht zu viele Papierlagen übereinander falten.<br />
Abb. 4: Falten des Rasters<br />
Für das <strong>Dreieck</strong> falten wir nun von links her ein gemäß Abbildung 5.<br />
Abb. 5: Erster Faltschritt für das <strong>Dreieck</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: <strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong> 4/7<br />
Dieser Schritt ist entscheidend. Es entsteht oben in der Blattmitte ein Winkel von 60°.<br />
Wir können <strong>und</strong> von rechts her auch einfalten <strong>und</strong> schließlich von unten her auf die unterste<br />
Faltlinie einfalten. Vorstehende Teile verstauen wir. Die Abbildung 6 zeigt das<br />
Faltdreieck.<br />
Abb. 6: Faltdreieck<br />
Für das <strong>Sechseck</strong> falten wir zunächst auf das Viertel rechts unten <strong>und</strong> fügen eine zusätzliche<br />
Faltlinie ein (Abb. 7).<br />
Abb. 7: Vorbereitung für das <strong>Sechseck</strong>
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: <strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong> 5/7<br />
Nun geht es im Prinzip weiter wie in der Abbildung 5 mit dem <strong>Dreieck</strong> (Abb. 8). Pedanten<br />
mögen nachprüfen, ob die grau-weiß-Färbung des <strong>DIN</strong>-Rasters korrekt wiedergegeben<br />
ist. Eine schöne Übung im räumlichen Vorstellungsvermögen.<br />
Abb. 8: Zwischenschritt für das <strong>Sechseck</strong><br />
Vollständiges Auffalten liefert die Figur der Abbildung 9.<br />
Abb. 9: Auffalten
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: <strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong> 6/7<br />
Es fehlen noch der obere <strong>und</strong> der untere Abschluss des <strong>Sechseck</strong>es. Dazu falten wir<br />
zunächst die Mittelparallelen der schrägen Faltlinien (Abb. 10). Der Rest ist dann klar.<br />
Abb. 10: Kontur des <strong>Sechseck</strong>s<br />
Die Abbildung 11 zeigt das Faltsechseck.<br />
Abb. 11: Faltsechseck
<strong>Hans</strong> <strong>Walser</strong>: <strong>DIN</strong>, <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> <strong>Sechseck</strong> 7/7<br />
Das <strong>Dreieck</strong> <strong>und</strong> das <strong>Sechseck</strong> (Abb. 12) sind flächengleich.<br />
Abb. 12: Flächengleiche Figuren