H - ZMAW

5. Rossby-Wellen
5.0 Einleitende Bemerkung und Quellen
Trägheits-Schwere-Wellen, Kelvin-Wellen (Kapitel 3) haben „hohe”, groß-skalige
Bewegungsvorgänge haben hingegen „niedrige“ Frequenzen ω:
Rossby-Welle (planetarische Welle)
Vom Partikel Konzept-Modell (Partikel = Fluid-Säule) zu Wellen-Modellen des linearisierten
Flachwasser-Systems (quasi-geostrophisch, barotrop, mit und ohne Grundstrom, mit und ohne
Bodentopographie). Wellenzahl-Frequenz, Längen-Zeit Diagramme, Phasen- und Gruppen-
Geschwindigkeit. Langsame Störungen des Grundzustandes (Frequenzen leicht abweichend von
ω = 0). Zeitliche Entwicklung durch schwachen aber wichtigen planetarischen Prozess ausgelöst
(den β−Effekt): Advektion planetarer Vorticity.
Cushman-Roisin, B., 1994: Introduction to Geophysical Fluid Dynamics. Prentice Hall, 320 pp. Kapitel 6-4
Gill, A.E., 1982: Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press, 662 pp. Kapitel 5, Kapitel 6-2,6-3.
Holton, J.R., 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology. 3rd ed. AcademicPress, 511 pp.Kapitel 7.
LeBlond, P.H. und Mysak,L.A., 1978: Waves in the ocean. Elsevier, 602pp. Kapitel
Pedlosky, J., 1987: Geophysical Fluid Dynamics, 2d ed. Springer-Verlag. 710 pp. Kapitel 3-6 bis 3-8.
Plumb, A., : Synoptic-Scale Dynamics. Course-Notes. MIT, 202 pp. Kapitel 3, Kapitel 5.
Flachwasser-82

5.1 Konzept-Modell
Abbildung: Drei Zeitpunkte; planetare Vorticity (Coriolis-Parameter f ) & abs. Vorticty ζ a
Methode Lagrange Partikel Analyse Massenpunkte => Fluid-Säulen
Voraussetzg Erhaltung abs. Vorticity β-Effekt => Rossby-Wellen
Vorticity-Glg dζ a /dt = 0 (i) horiz. Div. ∂ x u + ∂ y v = 0 => Schicht H=const.

(Quelle: Salby, M.L., 1996: Atmospheric Physics, Academic Press, p.460.)
Flachwasser-84

5.2 Rossby-Wellen: Im divergenzfreien Fluid (Flachwassermodell mit Deckel)
Voraussetzung
Grundzustand
Linearisiertes Flachwasser-Modell
Fester Deckel (rigid lid), d.h. h(x,y)=const.
Konstanter Grundstrom =const., ebener Boden b = 0, β-Ebene f = f o + β y
(1)
(2)
∂u'
= −u
∂t
∂v'
= −
∂t
∂u'
∂x
( f + βy)
0
0
u'
+
( f + βy)
0
∂v'
− u
∂x
v'
-
-
1 ∂pl
'
ρ ∂x
1 ∂pl
'
ρ ∂y
(3)
0
= −D
∂u'
∂x
−
D
∂v'
∂y
Hier bezeichnet p l den Druck an der oberen Berandung (z=h). Dieser wird aufgrund der
Zwangsbedingung h=const. ausgeübt.
Mit /x(2) –/y(1) erhalten wir die Gleichung für die Störungsvorticity
∂ζ
'
∂t
= −u
∂ζ
'
∂x
−
∂u'
∂x
∂v'
∂y
( f + βy) + - β '
0
v

Wegen der Divergenzfreiheit (Gleichung 3) entfällt jedoch der Divergenzterm und die
Vorticitygleichung vereinfacht sich zu
∂ζ
'
∂t
= −u
∂ζ
'
∂x
- βv'
Nun lässt sich aufgrund der Divergenzfreiheit die Geschwindigkeit durch eine Stromfunktion
darstellen
( u' , v' ) = −
,
∂ '
∂y
∂ '
∂x
Daher entwickelt sich die Vorticity-Gleichung zu einer partiellen Differentialgleichung für die
Stromfunktion ψ’ :
∂
∂t
+ u
∂
∂
x
∇
∂ '
-β
∂x
2
h
ψ ' =
ψ
Mit dem Wellenansatz
ψ = ψ exp
' 0
[ i( kx + ly − ωt)
]
Flachwasser-86

erhalten wir folgende Dispersionsbeziehung
ω =
uk
−
βk
2
k + l
2
Der Grundstrom wird zunächst zu null gesetzt (reine Rossby-Wellen).
Abbildungen: Barotrope Rossby-Wellen im dimensionslosen Wellenzahl-Frequenz-Diagramm für
verschiedene l-Werte: ω = -βk/(k 2 + l 2 ). Die zonale Phasen-Geschwindigkeit c px = ω / k ist Steigung
der Nullpunkts-Geraden an den (ω,k)-Ort auf der Dispersions-Kurve. Rossby-Wellen sind langsam
(relativ zu f o ), westwärts wandernd und von planetarischer Skala.

Die Phasengeschwindigkeit von Rossby-Wellen ist durch
ω
= =
−
β
c p 2
k k +
l
2
gegeben. Die Wellenphasen verlagern sich also stets nach Westen.
Die Gruppengeschwindigkeit der Rossby-Wellen
=
∂ω
=
−
β
+
2βk
(
2 2
k + l )
(
2 2
l − k )
(
2 2
k l ) 2
c g 2 2
2
∂k
k + l
+
2
= −
β
zeigt hingegen westwärtige (für l>k) oder ostwärtige
(für k>l) Verlagerung der Wellengruppen.
Flachwasser-88

Zur Gruppengeschwindigkeit
Wellengruppe Viele Fourier-Komponenten
nicht-dispersiv
Gleiche Phasengeschwindigkeit für alle Komponenten
Signal während der Verlagerung unverändert
⇔ Gruppengeschwindigkeit = Phasengeschwindigkeit
dispersiv Unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten
Form des Signals verändert sich während der Verlagerung
Ursprüngliche Wellengruppe läuft auseinander
⇔ Gruppengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit
Energie ~ Amplituden-Quadrat
=> Wellengruppe: Konzentrationsgebiet für Wellenenergie
(Quelle: Holton, J.R., 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology. 3th ed. AcademicPress, p.188.)

Beispiel 2 Kosinuswellen gleicher Ampl. ψ 0,1 = ψ 0,2 = ψ 0
Wellenzahlen k 1 = k - δk ≠ k 2 = k + δk
Frequenzen ω 1 = ω - δω ≠ ω 2 = ω + δω
Welle 1
Welle 2
Signal =
Welle 1
+ Welle 2
ψ 1 (x, t) = Re { ψ 0 exp{i[(k + δk)x - (ω + δω) t]}
ψ 2 (x, t) = Re { ψ 0 exp{i[(k - δk)x - (ω - δω)t]}
ψ(x,t) = ψ 1 (x, t) + ψ 2 (x, t)
= Re { ψ 0 exp{i [(k + δk)x - ( ω + δω) t] }
+ Re { ψ 0 exp{i [(k - δk)x - ( ω - δω) t] }
ψ(x,t) = Re[ ψ 0 exp i{(k +δk)x - (ω + δω)t} + ψ 0 exp i{(k- δk)x - (ω - δω) t} ]
= Re[ ψ 0 exp{+i(δkx -δωt)} + ψ 0 exp{-i(δkx-δωt)} · exp{+i(kx - ωt)} ]
= Re [ 2 ψ 0 cos(δkx - δωt) · exp{+i(kx - ωt)} ]
= ψ ENVELOPE (x, t) · Re [exp{+i(kx-ωt)}]
(i) (ii)
Einhüllende Schwebung
Flachwasser-90

(i) Envelope (Einhüll-Kurve) Ampl. ψ ENVELOPE (x,t); Frequenz δω < ω; Wellenzahl δk
(ii) Schwebungswelle hochfrequente Trägerwelle (k, ω)
Signal =
Welle 1 + Welle 2
= Re [2 ψ 0 cos (δkx - δωt) · exp{+i(kx - ωt)}]
= ψ ENVELOPE (x, t) · Re [exp{+i(kx - ωt)}]
Gruppengeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit der Einhüllenden) c p,E =δω/δk ω/k
Quelle: Demtröder. W., 1998: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. 2nd ed. Springer, 368p.

Gruppengeschwindigkeit
Amplitudenkurve ergibt die Einhüll-Kurve
Phasenggeschwingkeit der Einhüllenden
ψ ENVELOPE (x, t) = Re [2 ψ 0 cos (δkx - δωt)]
c p,E = δω/δk (entspricht der Gruppengeschwindigkeit)
Viele Wellenkomponenten führt zum Grenzfall δk → 0
dispersiv 1-dim. Zonal-Struktur Funktion von Phasengeschwindigkeit & Wellenlänge
ein-dim. Gruppengeschw. c g = ω /k mit ω = c p k
= (c p k)/ k = c p k/ k + k c p / k
= c p - λ c p / λ
nicht-dispersiv
Phasengeschwindigkeit = Gruppengeschwindigkeit
Flachwasser-92

Abbildung: Längen-Zeit- (oder Hovmöller-) Diagramm einer Rossby-Wellengruppe
zonale Wellenzahl k = 6,7 (↔ 6-7 Tröge entlang 50°Breitenkreis ~ 25.000km Länge). Oben: ohne
Grundstrom ( = 0); unten: mit Grundstrom von = 12,5m/s. Phasengeschw ~ 10°/Tag,
Gruppengeschw. ~ 20-30°/Tag.
Phasengeschwindigkeit
ω
= =
−
β
c p
u
2
k k +
Gruppengeschwindigkeit
(
2 2
l − k )
(
2 2
k l ) 2
∂ω
β
c g
= = u −
∂k
+
l
2
Es gilt stets c g >c p , da
c
g
− c
p
β
= −
(
2 2
)
2
l − k β 2βk
+ =
(
2 2
)
2 2 2
k l (
2 2
k + l + k + l ) 2

£
¢¡
£
¥
¤
Zonale Wellen-Propagation von Rossby Wellen
(barotrop & divergenzfrei)
Dispersion ω = k - βk /K 2
Phasen-Geschwindigkeit c px =ω/k= - β /K 2
Grenzfälle
Fall-1
Kurze Wellen k
c px =
=> prograde Welle
Fall-2 Stationarität ω = 0 c px = ω/k = 0 => K s
2
= β/
stationäre Welle
Fall-3
lange Wellen k
0 c px =
– β/l 2 => c px < 0 (k klein) oft retrograd
Flachwasser-94

Praxis-1: Zonale Wellen-Propagation von Rossby-Wellen
Barotrop
Lokale Änderung = zonale & meridionale Advektion von absoluter Vorticity
= Advektion von relativer & planetarer Vorticity entgegengesetzt
Region I Stromaufwärts vom 500mb Trog
geostropischer Wind: => vom negativen Vorticity-Maximum (H = Rücken)
zum positiven Vorticity-Maximum (L= Trog)
=> Advektion relativer Vorticity - v · ∇ζ < 0 Stromfunktion: ~ k 3
meridionaler geostrophischer Wind (Richtung Gradient planetarer Vorticity): v g < 0
=> Advektion planetarer Vortiticity - vβ > 0 Stromfunktion: ~ k
Advektion rel./planetarer Vorticity reduziert/verstärkt rel. Vorticity k-abhängig (!)
Region II Stromabwärts vom 500mb Trog => umgekehrtes Vorzeichen

Praxis-1: Konsequenz
Advektion relativer Vorticity bewegt ζ-Feld (Rücken und Tröge) nach Osten
Advektion planetarer Vorticity bewegt ζ-Feld nach Westen
retrograd entgegen Grundstrom
Netto Welcher Advektions-Prozess dominiert
relative Vorticity - v · ∇ζ < 0 mit Stromfunktion: ~ k 3
planetare Vorticity - vβ > 0 mit Stromfunktion: ~ k
Wellen λ x < 3000 km
Advektion relativer Vorticity > Advektion planetarer Vorticity
=> kurze Rossby-Wellen Rücken-Trog-Struktur Ostwärts-Verlagerung (prograd)
Wellen λ x > 10.000 km
Advektion planetarer Vorticity > Advektion relativer Vorticity
=> lange Rossby-Wellen Rücken-Trog Struktur Westwärts-Verlagerung (retrograd)
Wellen 3.000km < λ x < 10.000km
stationäre Rossby-Wellen c px = 0
=> Rücken-Trog-Struktur fest zur rotierenden Erde Stationarität
Flachwasser-96

Praxis-2: Downstream Development (Vorhersageregel aus synopt. Erfahrung)
1. Intensive Zyklogenese über West-Atlantik
2. Rücken über Zentral-Atlantik verstärkend
3. Tief über Ost-Atlantik verstärkend
=> ‘Downstream Development’ (stromabwärtige Entwicklung): schnelle Ostwärtsentwicklung
synopt. Störungen Phasengeschwindigkeit ~ 5-10 ( 15° ) / Tag stromabwärts
Entwicklung Trog → Rücken → Trog
Gruppen-Geschw. Verstärkung - Energiedispersion 25-35° / Tag
Domino-Effekt halbe Hemisphäre mit 3-4 aufeinanderfolgenden Zyklogenesen
innerhalb 2 Wochen: Erde zonal umrundet bis zum Ausgangspunkt
Trog-Rücken-Diagramm
Hovmöller-Diagramm Gruppengeschwindigkeit
(
2 2
k − l )
(
2 2
k l ) 2
∂ω
β
c g
= = u +
∂k
+

Abbildung: Wetterkarten-Diagramm
(Quelle: Persson, A., 1996: Downstream Development and Error Propagation - Lectures Notes.
Oslo University)
Flachwasser-98

5.3 Rossby-Wellen: Im Fluid mit freier Oberfläche
Wird der Deckel entfernt, so verschwindet die Horizontaldivergenz der Strömung nicht mehr und
die Oberflächenauslenkungen bestimmen den Druckgradienten. In diesem Fall lauten die
linearisierten Flachwassergleichungen auf der β-Ebene:
(1)
(2)
∂u'
= −u
∂t
∂v'
= −
∂t
∂u'
∂x
( f + βy)
0
u'
+
( f + βy)
0
∂v'
− u
∂x
v'
∂h'
- g
∂x
∂h'
- g
∂y
(3)
∂h'
∂t
= −D
∂u'
∂x
−
D
∂v'
∂y
Eliminierung von u’ und h’ führt zu (Methode Kapitel 2.1)
2
2 2
2 ∂ ∂
∂ ∂
' ∂v'
∂ ∂
∂ v'
∂ v'
0 2 2
+ + u
+ u v
+ βgD
= gD
+ u
+
∂t
∂x
∂t
∂x
∂x
∂t
∂x
∂x
∂y
( f + βy)

Diese Differentialgleichung ist eine partielle Differentialgleichung mit nichtkonstanten
Koeffizienten. Sie lässt sich also nicht mit der Standardmethode berechnen. Da die Abhängigkeit
der Koeffizienten nur in y-Richtung gilt, bietet sich ein Separations-Wellenansatz an:
v'
=
F ( y) exp( ikx
−
iωt)
Damit erhalten wir folgende gewöhnliche Differentialgleichung
d
2
dy
F
2
−
2
( f + βy)
( ω − uk)
0
gD
−
gD
2
+
k
2
+
βk
( ω − uk)
F
=
0
Diese Gleichung führt zu den reinen Tragheitsschwerewellen, wenn β=0 gesetzt wird (Kapitel 2).
Für =0 und f 0 =0 resultierte die Matsuno-Gleichung, welche äquatorial gefangene Wellen auf der
äquatorialen β-Ebene beschreibt.
Der allgemeine Fall ist schwer zu lösen, da der Faktor vor F in der Gleichung von y abhängt.
Nun wird von der Annahme Gebrauch gemacht, dass f 0 >>βy. Das lässt sich für eine Strömung in
einem zonalen Kanal realisieren, dessen Breite W

Mit der Näherung erhalten wir eine gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten
Koeffizienten. Die Lösung für den n-ten Mode lautet:
F
y)
nπ
= Fn
sin
y
L
n ( 0
wobei dieser Kanalrandbedingungen F n (0)= F n (L)=0 erfüllt. Einsetzen führt zur
Dispersionsbeziehung für den n-ten Mode:
( ) ( )
3 2 2 2
ω − uk
− f + gD k + l
n
Mit l n =nπ /L. Dies ist eine kubische Gleichung in ω n - k mit drei Lösungen. Näherungslösungen
gewinnt man, wenn man hoch- und niederfrequente Lösungen annimmt. Für die hochfrequenten
(ω n - k groß) kann den letzten Term auf der linken Seite vernachlässigen. Dadurch ergeben sich
die bereits bekannten Poincare-Wellen:
ω
[ ]( ω − uk ) − βkgD
= 0
0
( )
2 2
k l
2
n, 1,2 = u k ± f0
1+
LR
+ n
n
n
Für niederfrequente Wellen kann dagegen der erste Term auf der linken Seite vernachlässigt
werden. Dann ergibt sich die Rossby-Welle :
ω
n,3
=
uk
−
βk
2 2 2
1/
LR
+ k + ln

Frequenz ω [f 0 ]
Zonale Wellenzahl k [Λ]
Abbildung: Dispersionsdiagramm für das Flachwassermodell mit β-Effekt ohne Grundstrom
( =0). Die grüne Kurve zeigt die eben angeführten analytischen Näherungen und die blaue Kurve
die Frequenz der Rossby-Welle im divergenzfreien Fluid.
Flachwasser-102

5.4 Quasigeostrophische Approximation des Flachwassermodells
Die quasigeostrophische Approximation führt zu gefilterten Gleichungen. In ihnen ist die Dynamik
von Trägheitsschwerewellen nicht mehr enthalten. Solche Gleichungen sind vorteilhaft für die
Vorhersage von synoptisch-skaligen Strömungen, in denen Trägheitsschwerewellen keine Rolle
spielen.
Skalenanalyse und Reihenentwicklung
Um den Gültigkeitsbereich der quasigeostrophischen Approximation aufzuzeigen ist eine
Skalenanalyse notwendig.
Folgende Skalen seien gegeben :
Geschwindigkeitsskala : U, Längenskala L, Zeitskala (advektiv !) L/U.
Die Skala für die Oberflächenauslenkung h’ ergibt sich aus der geostrophischen Balance, die bei
synoptisch skaligen Wertersystemen näherungsweise erfüllt ist :
f0k
× vh
= −g∇hh'
Demnach ist die Skala für die Oberflächenauslenkung H=f 0 UL/g

Mit
v
= ~ v / U , ( x,y)
= ( ~ x,y ~ )/L,
t =
~
t /T, h' =
~
h'/H
h h
erhalten wir folgende dimensionslose Flachwassergleichungen:
(1)
(2)
∂~
v
~
∂t
∂h
~
~ '
∂t
h
+ ~ v
h
~
= −∇
~ ⋅ ∇
h
⋅
h
~ v
~
~
[ ~ v ( h ' −b
)]
h
h
f0L
+
U
1
+
-
gD
f UL
0
βL
f
0
~
y
k
×
~
∇
h
⋅ ~ v
h
~ v
h
f0
~
= − ∇
UL
Das dimensionslose Flachwassermodell enthält jetzt drei dimensionslose Modellparameter:
h
~
h '
Rossby-Zahl
Burger-Zahl
β-Parameter
Ro =
Bu =
~
β =
U
f L
L
0
2
R
2
L
βL
f
0
Flachwasser-104

¤
Mit diesen Kennzahlen schreiben sich die dimensionslosen Gleichungen:
(1)
(2)
∂~
v
~
∂t
~
∂h
~ '
∂t
h
+ ~ v
=
h
~
−∇
~
⋅ ∇
h
⋅
h
~ v
~
1
Ro
~
[ ~ v ( h ' −b
)]
h
h
+
( 1 + βy
)
-
Bu
Ro
~~
~
∇
k
h
× ~ v
⋅ ~ v
h
h
= −
1
Ro
~
∇
h
~
h '
Die quasigeostrophische Approximation ist gültig, wenn
Ro

Einsetzung der Entwicklung führt zu :
∂
~
∂t
∂
∂
~
t
+
~
( ~
) ( )
(0) ~ (1)
Ro .. ~ (0) ~ (1)
v + v + ⋅ ∇ v + v Ro + ..
h
h
+
~~
h
h
h
Ro
( ) ( ~
)
(0) ~ (1)
(
(0) (1)
1 + βy
k × v Ro .. h'
h'
Ro ..)
h + vh
+ = −∇h
+ +
~
[ ~
~
]
(0) ~ (1)
(0) (1)
= -∇
⋅ v + v Ro + .. h'
+ h'
Ro + .. − b Ro
( ) (
(0) (1)
h'
+ h'
Ro + .. Ro
)( )
0. Ordnung
~
− Bu ∇
h
⋅
h
( ~
)
(0) ~ (1)
v + v Ro + ..
h
In der 0-ten Ordnung werden alle Terme der Größenordnung 1 gleichgesetzt.
Damit ergibt sich
h
h
h
~
(0) ~
× vh = −∇ h h'
~ (0)
k
,
~ ~ (0)
h ⋅ v h
∇
=
0
Die 0-te Ordnung beschreibt demnach das geostrophische Gleichgewicht von v h (0) .
Flachwasser-106

1. Ordnung
In der 1-ten Ordnung werden alle Terme der Größenordnung Ro gleichgesetzt
∂
~
∂t
+
~ v
(0)
h
~
⋅ ∇
h
~
v
(0)
h
+
k
×
~ v
(1)
h
+
~~ βyk
×
~ v
(0)
h
=
~
−∇
h
h'
(1)
(0)
∂h'
∂
~
t
=
~
-∇
h
⋅
[ ~ ( )] (0) (0) ~ ~ ~ (1)
v h'
−b
− Bu ∇ ⋅ v
h
h
h
Mit den Bezeichnungen
~ v ~ ~ ~ ~
h '
(0)
(1)
g = vh
, va
= vh
, ψ g =
resultieren aus der 0-ten und 1-ten Ordnung folgende quasigeostrophische Gleichungen
(1)
(2)
(3)
~
k × ~ v
~
g = −∇ hψ
g
∂~
v g ~ ~ ~
~ + v g ⋅ ∇hv
g + k
∂t
∂
~ ψ g ~
~ = -∇h
⋅ g g
∂t
× ~ v
~
a
[ ~ v (
~ ψ − b )]
(0)
+
~~ βyk
−
Bu
~
∇
× ~ v
h
g
⋅ ~ v
a
~
= −∇
h
h'
(1)

Das System enthält noch die Oberflächenauslenkung der ersten Ordnung, für welche noch keine
Gleichung vorliegt. Allerdings kann sie aus dem System eliminiert werden, indem man die quasigeostrophische
potentielle Vorticity-Gleichung herleitet.
Anwendung der Rotation auf (2) ergibt unter Berücksichtigung von (1)
~ 2
∂∇ ~
h ψ
∂
~
t
g
~ ~
~
+ ~ v ⋅ ∇
~~ ~
g
h
( )
2
∇
~
h ψ g + βvg
= -∇h
⋅ va
Die Divergenz kann mit der Kontinuitätsgleichung eliminiert werden, was zu
~ 2
∂∇
~
h ψ ∂
~
g
+ ~ ~
ψ
~ v g ⋅ ∇ h h g g
∂t
~
g
Bu ∂t
h
(
~
)
2
( )
∇
~ ~ 1 g
ψ + βv
= + ~ v ⋅∇ ψ − b
führt. Diese Gleichung enthält nur die geostrophische Stromfunktion als Unbekannte und sie stellt
eine Erhaltungsgleichung für die dimensionslose quasigeostrophische potentielle Vorticity
~ 2
g = ∇ h
Π
~ ψ
g
+
1
Ro
+
~~ βy
−
1
Bu
(
~ ψ − b )
g
dar.
Interessanterweise wurde zur Herleitung dieser Gleichung für die Strömung 0-ter Ordnung keine
Näherung verwendet. Die höheren Ordnungen in der Entwicklung können jedoch auch zur
geostrophischen Strömung beitragen, so dass mit der 0-ten Ordnung die geostrophische
Strömung nicht vollständig beschrieben wird.
~
g
Flachwasser-108

In dimensionsbehafteter Form lautet die quasigeostrophische (QG) PV-Gleichung
∂
∂t
+
v
g
⋅ ∇
h
∇
2
h
ψ
g
+
f
0
+
βy
−
L
1
2
R
ψ
g
−
gb
f
0
=
0
Hieraus lässt sich ablesen, dass es für die Lösung keine Rolle spielt, ob
oder
i) f = f 0 + β y , b = 0
ii) f = f 0 , b = β f 0 L R 2 y / g
Im Fall i) können Rossby-Wellen auftreten, die im Fall ii) als topographische Rossby-Wellen
bezeichnet werden.
Lösung der linearisierten QGPV-Gleichung
Grundzustand: =const, b=0, β0
∂
∂t
+
u
∂
∂x
∇
2
h
ψ
−
1
' g 2
LR
ψ '
g
+
∂ψ
'
β
∂x
g
=
0

Einsetzen des Wellenansatzes
ψ
g
' =
sin( ly)exp(
ikx
−
iωt)
führt zur Dispersionsbezeichung:
i
2 2
( ω − uk ) k + l + + ikβ
= 0
und der Lösung
L
1
2
R
ω =
uk
−
k
βk
2 2 1
+ l +
2
L R
Man erkennt, dass durch die quasigeostrophische Approximation die Trägheitsschwerewellen
herausgefiltert wurden und dass die Frequenz für die Rossby-Welle mit der Näherungsbeziehung
im unapproximierten Flachwassersystem übereinstimmt.
Dies lässt den Schluss zu, dass Rossby-Wellen mit guter Näherung einer quasigeostrophischen
Dynamik gehorchen!
Flachwasser-110

Figur: Wellenzahl-Frequenz-Diagramm ω = ω(k) für meridionale Wellenzahlen l = 1Λ, 2Λ, 3Λ auf
der β-Ebene; Rossby-Defomrations-Radius L R =1/Λ (oben: ohne Grundstrom, unten: mit
Grundstrom =U). Gruppen-Geschwindigkeit (Tangenten-Steigung): Zonal ∂ω/∂k für lange Wellen
(-Λ < k < +Λ) westwärts, für kurze (k < -Λ, k > +Λ) ostwärts.

Figur: (k,l)-Wellenzahl-Ebene für Flachwasser Rossby-Wellen (β-Ebene ohne Grundstrom).
Für beide Achsen sind Wellenzahlen durch inversen Rossby-Deformations-Radius Λ normiert.
Quelle: Gill, A.E., 1982: Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press, p. 50.
Flachwasser-112

Interpretation des Frequenzisolinien-Diagramms
Dispersion ω {(k 2 + l 2 ) + Λ 2 } + β k = 0
Kreise mit ω = const. ωk 2 + βk + ωl 2 = - ωΛ 2 | :ω ; +¼β 2 /ω 2
k 2 + 2(½βk/ω) + ¼β 2 /ω 2 + l 2 = +¼β 2 /ω 2 - Λ 2
(k + ½ β/ω) 2 + (l +0) 2 = +¼β 2 /ω 2 - Λ 2
Kreis-Glg (k - k 0 ) 2 + (l - l 0 ) 2 = R 2
Kreismitte (k 0 = ½ β/ω, l 0 =0)
Radius R = ¼(β 2 /ω 2 ) - Λ 2 ≥ 0
=> ½β/|ω| ≥ Λ
R = 0 => |ω abs max |= ½β /Λ => maximale Frequenz (Betrag)
Phasen-Geschwindigkeit Phasengeschwindigkeit eindeutig bestimmt k, l, ω,
= Gerade von (k=0,l=0) => (k,l) auf (ω = const.)-Kreis
Gruppen-Geschwindigkeit 2-dim. Grad. der Frequenz: ∇ h ω(k,l) = (∂ω/∂k, ∂ω/∂l)
senkrecht zu Niveaulinien [ω(k,l)=const.] in Richtung Kreismitte
=> lange Wellen (L ≥ L R => k ≤ Λ => k/Λ ≤ 1) westwärts
kurze Wellen (L ≤ L R => k ≥ Λ od. k/Λ ≥ 1) ostwärts
l = 0 Richtungsänderung bei k = ±Λ mit Frequenz ω = -½βΛ
Rote Linie: OW-Richtungswechsel der Gruppengeschwindigkeit. ω/∂k.

5.5 Energetik und Ausbreitung von Rossby-Wellenenergie
Für eine energetische Betrachtung wird die linearisierte QGPV Gleichung ohne Grundstrom und
Orographie herangezogen, d.h.
∂
∂t
∂ψ
'
(
2
' ' )
2
g
∇ ψ − Λ ψ + β = 0
h
g
g
∂x
Multiplikation dieser Gleichung mit der geostrophischen Stromfunktion der Anomalie ergibt.
∂∇
ψ
= ∇
h
2
h
∂
= −
∂t
∂t
ψ '
∂∇ hψ
'
⋅
ψ
∂t
1
2
g
−
∂
∂t
∇ ψ '
h
g
2
g
1
2
+
Λ ψ '
1
2
2
2
2
g
− ∇ hψ
'
Λ ψ '
g
2
g
β ∂
+
2 ∂x
∂∇ hψ
'
⋅
∂t
+ ∇
⇔ Energieerhaltungsgleichung für die Störung
h
( ' )
2
ψ
g
−
g
∂
∂t
1
2
∂∇ hψ
'
⋅
ψ
∂t
2
Λ ψ '
g
2
g
β ∂
+
2 ∂x
β ∂
+
2 ∂x
( ' )
2
ψ
( )
2
ψ ' = 0
g
g
∂
∂t
1
2
1
( )
2 2 2
h g
2
∇ hψ
' g + Λ ψ ' g
= ∇ h ⋅
ψ
+ ψ ' g i
2
∂t
2
∂∇
ψ '
β
Flachwasser-114

Diese Energiegleichung besitzt also folgende Gestalt
∂e
∂t
= −∇ ⋅ S
wobei e=½v g ’ 2 + ½Λ 2 ψ’ 2 die Energiedichte ist und S den Energieflussvektor bezeichnet, der durch
S
∂∇ hψ
'
= −ψ
∂t
g
−
β
ψ '
2
2
g
i
gegeben ist.
Die Energiegleichung soll nun auf ein monochromatisches Wellenpaket angewendet werden:
ψ = A( x,
y,
t)cos(
kx + ly −ωt)
,
wobei die Gradienten der Amplitude A sehr klein sind im Vergleich zum Gradienten der
Wellenfunktion. Die Skala der Amplitudenfunktion ist demnach sehr viel größer als die
Wellenlänge im Paket. Daher erhalten wir in erster Näherung für die Energiedichte:
e
=
1 2
2
h g
g
2
1
2
A
2
( )
2
' ' [( ) cos ( ) sin ( )]
2 2
2 2 2
2
∇ ψ + Λ ψ = k + l kx + ly − ωt
+ Λ kx + ly − ωt

Das lässt sich umformen zu
e
=
=
2
A
4
e
( ) [ ( )]
2 2 2
2 2 2
k + l + Λ + Λ − k + l
+
2
A
4
2
A
4
cos[2( kx
[ ( )] 2 2 2
Λ − k + l cos[2( kx + ly − ωt)]
+
ly
− ωt)]
wobei ‹e› den wellenlängengemittelten Energiewert bezeichnet.
Für den Energieflussvektor ergibt sich hingegen nach Einsetzen des Wellenansatzes
S
β 2 2
β
= − ωK
− i A
cos ( kx + ly − ωt)
= − ωK
− i
2
2
2
A
2
[ 1 + cos(2kx
+ 2ly
− 2ωt)
]
Mit Wellenzahlvektor K = k i + l j . Der periodengemittelte Wert berechnet sich zu:
S
β
= − ωK
− i
2
2
A
2
Flachwasser-116

Für die Frequenz kann die Dispersionsbeziehung eingesetzt werden, was zu
S
2
2 2 2
βk
β A β k − l − Λ βkl
=
K − i
2 2 2
=
2 2 2 2 2 2
k l 2 2
i +
j
+ + Λ 2 k l k l
+ + Λ + + Λ
2
A
2
führt. Andererseits erhalten wir für den Gruppengeschwindigkeitsvektor:
(
2 2 2
k − l − Λ )
( ) i 2βkl
+
( ) j
2 2 2 2 2 2 2
k + l + Λ k + l + Λ
c i j ∂ω
i ∂ω
+ j β
g = cgx
+ cgy
=
=
2
∂k
∂l
Durch den Vergleich mit der Formel für den Energieflussvektor sieht man, dass
2 2 2
k l
kl
2 2
β − − Λ β A A
S =
i
j
+
= c g = c
2 2 2 2 2 2
g
k l k l
2 + + Λ + + Λ 2 4
Durch Periodenmittelung der Energiegleichung bekommen wir also
(
2 2 2
k + l + Λ ) e
∂ e
∂t
+
c g
⋅∇
h
e
= 0
Somit zeigt sich, dass die Wellenpaketenergie mit der Gruppengeschwindigkeit verlagert wird.