Kapitel 10: Beschreibende Statistik

Z.B.:
Fachrechnen für Tierpfleger
A10. Statistik
10.1 Allgemeines – Was ist Statistik
1. Daten sammeln: Durch Umfragen, Zählung, Messung, . . .
2. Daten präsentieren: Tabellen, Grafiken
3. Daten beschreiben/charakterisieren: durch Mittelwert, Maximum, Minimum. . .
4. Auf eine Grundgesamtheit schließen: Hypothese testen
5. Zusammenhänge finden: Lineare Regression, ....
1.-3.: Beschreibend
4.-5.: Schließend
Warum Datenanalyse
Um einen Ist-Zustand zu beschreiben!
Um Entscheidungen (bei Unsicherheit) treffen zu können!
Um Hypothese zu testen!
Um von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen!
Um Prognosen erstellen zu können!
10.2 Skalen
Skala: Einteilung und Reihung von Werten
Nominalskala (qualitativ)
Besitzt ein Merkmal für das eine Reihung der Ausprägungen nicht möglich bzw. sinnvoll ist.
Die Merkmalsausprägungen heißen Kategorien.
z.B: Geschlecht (m,w), Zustand (Ja, Nein, . . .), Fellfarbe ( . . .), . . .
Ordinalskala (qualitativ)
Zwischen einzelnen Merkmalsausprägungen gibt es eine natürliche Rangordnung. Differenzen lassen
sich aber nicht quantifizieren.
z.B: Ausbildung (Lehre, Fachschule,…), Prüfungsnoten (1,2,3,4,5), Güteklassen (A,B,C), . . .
Metrische Skala (quantitativ)
Merkmalsausprägungen lassen sich ordnen. Und es können Abstände numerisch angegeben werden.
Es gibt meist viele (verschiedene) Merkmalsausprägungen.
Körpergröße, Alter, Masse, . . .
Skalenniveaus bilden eine Hierarchie, i.e., ein metrisch skaliertes Merkmal ist auch ordinal- oder
nominalskaliert, aber nicht umgekehrt.
10.3 Präsentation qualitativer Daten
10.3.1 Tabellarisch - Häufigkeitstabelle
1. Häufigkeitstabelle eines Merkmals gibt die Kategorien (Merkmalsausprägungen) und die Zahl der
Elemente pro Kategorie an.
2. Erhält man, indem die Antworten den Kategorien zugeordnet werden (Strichliste).
3. Angegeben werden die absoluten oder relativen Häufigkeiten (Prozentsätze), oder beides.
Beispiel:
Beobachtung von 200 Tieren:
1

Fachrechnen für Tierpfleger
Fellfarbe Anzahl Anteil
hellbraun 130 65%
mittelbraun 20 10%
mit schwarz 50 25%
Gesamt 200 100%
Wobei: Fellfarbe = Merkmal,
hellbraun…= Kategorie (Ausprägung),
Anzahl aus Strichliste
10.3.2 Graphisch
a) Balkendiagramm (siehe Kapitel 9)
b) Tortendiagramm (siehe Kapitel 9)
10.4 Präsentation quantitativer Daten
Präsentation/Beschreibung der Verteilung, d.h. mit welcher Häufigkeit kommen bestimmte Daten vor.
10.4.1 Tabellarisch
a) Häufigkeitsverteilung
Vorgangsweise bei der Klasseneinteilung:
1. Bereich (kleinsten und größten Wert) bestimmen.
2. Geeignete Zahl an Klassen auswählen.
(Anzahl der Klassen: Wurzel aus Anzahl der Rohdatenwerte, Typischerweise zwischen 5 und 15)
3. Klassenbreite bestimmen. Die Klassen sind in der Regel gleich breit.
4. Klassengrenzen bestimmen.
5. Klassenmitte berechnen.
6. Beobachtungen abzählen und den Klassen zuordnen.
Beispiel: Einteilung in Klassen
Rohdaten: 24, 26, 15, 21, 27, 27, 30, 45, 32, 38
Klasse Anzahl Anteil Prozent
15 – 25 3 0,3 30%
25 – 35 5 0,5 50%
35 – 45 2 0,2 20%
Summe 10 1,0 100%
Konvention: 15 bis unter 25, d.h., 15 gehört zur Klasse, 25 nicht.
b) Tabellarisch - Relative Summenhäufigkeitsverteilung (Kumuliertehäufigkeit)
Gibt an, wie viele Beobachtungen – relativ oder prozentuell – einen Wert besitzen, der sich links der
jeweiligen oberen Klassengrenze befindet.
(Links bedeutet: Kleiner als die obere Klassengrenze.)
Beispiel: Summenhäufigkeiten
Rohdaten: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
Klassen Anteil Summe relativ Summe prozentuell
15 – 25 0.3 0.3 30%
25 – 35 0.5 0.8 80% (30%+50%)
35 – 45 0.2 1.0 100% (30%+50%)+20%
2

Fachrechnen für Tierpfleger
10.4.2 Graphisch - Histogramm
Absolute Häufigkiet
7
6
5
4
3
2
1
0
10 20 30 40 50
70
60
50
40
30
20
10
0
Relative Häufigkeit[%]
Absolute Summenhäufigkeit
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
bis 15 bis 25 bis 35 bis 45
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Relative Summenhäufigkeit [%]
10.5 Numerische Beschreibung/Charakterisierung quantitativer Daten
= Numerische Charakterisierung einer Verteilung
Lage: Lagemaße (Geben die „Mitte“ der Verteilung an)
• arithmetisches Mittel
• Median
• Modus
Streuung: Streuungsmaße (Geben die „Breite“ und „Höhe“ einer Verteilung an)
• Spannweite
• Interquartilsabstand
• Varianz
• Standardabweichung
Form: Formmaße (Geben die „Form“ der Verteilung an)
• Schiefe
10.5.1 Lagemaße
10.5.1.1 (Arithmetisches) Mittel
• Maß für die Lage der Verteilung: Für metrisch skalierte Daten
• Am häufigsten verwendetes Maß
• Auch „Durchschnitt“
• „Durchschnittlicher Wert“ der Daten
• Empfindlich gegen „Ausreißer“ (Werte die deutlich anders sind als der Rest, z.B. Messfehler,
Dezimalstelle,…)
• Achtung: Mittelwert hat die gleiche Einheit wie die Messwerte und muss natürlich angegeben
werden!
Definition:
3

Fachrechnen für Tierpfleger
TABELLENKALKULATIONSPROGRAMM:
=MITTELWERT(Wert_1; Wert_2; …Wert_n)
Bzw.
=MITTELWERT(Zelle_1:Zelle_n)
Oder
=SUMME(Zelle_1:Zelle_n) / ANZAHL (Zelle_1:Zelle_n)
Beispiel
Urinabgabe: Tier1:10.3ml, Tier2: 4.9ml, Tier3: 8.9ml, Tier4: 11.7ml, Tier5: 6.3ml, Tier6: 7.7ml
1. Anzahl: n=6
2. Summe: (10.3+ 4.9+8.9+11.7+ 6.3+ 7.7)
3. Ergebnis: (10.3+ 4.9+8.9+11.7+ 6.3+ 7.7) ml / 6 = 8.30 ml
10.5.1.2 Gewichtetes Mittel
Notwendig zur Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Häufigkeitstabelle.
k verschiedene Werte x1, . . . , xk mit den Häufigkeiten h1, . . . , hk.
Definition
Beispiel
Es wurde die Wurfgröße einer Tierart in einem bestimmten Zeitraum erhoben:
Wie groß ist die mittlere Wurfgröße
Wurfgröße x i 0 1 4 3 4
Häuigkeit h i 12 14 5 2 0
Lösung:
Summe der Häufigkeiten: n = 12+14+5+2 = 33 (Anzahl der „Muttertiere“)
10.5.1.3 Median
Maß für die Lage der Verteilung
für ordinalskalierte Daten
Definition:
Mittlerer Wert in der geordneten Liste
Ungerade Anzahl n: Mittlerer Wert
Gerade Anzahl n: Durchschnitt der beiden mittleren Werten
Position des Medians= (n+ 1)/2
4

Fachrechnen für Tierpfleger
Robust (unempfindlich) gegenüber Ausreißern.
Beispiel: Ungerade Anzahl von Daten:
Rohdaten: 24.1 22.6 21.5 23.7 22.6
Sortiert : 21.5 22.6 22.6 23.7 24.1
Position : 1 2 3 4 5
Position des Median= (n+ 1)/2 = (5+1)/2 = 3
Median = 22.6
Beispiel: Gerade Anzahl von Daten:
Rohdaten: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7
Sortiert: 4.9 6.3 7.7 8.9 10.3 11.7
Position: 1 2 3 4 5 6
Position des Median = (6+1) / 2 = 3.5
Median=(7.7+8.9) /2 = 8.3
TABELLENKALKULATIONSPROGRAMM:
=MEDIAN(Wert_1; Wert_2; …; Wert_n)
bzw
=MEDIAN(Zelle_1:Zelle_n)
10.5.1.4 Modus
Maß für die Lage der Verteilung
Kann auch für nominalskalierte Daten verwendet werden
Definition:
Häufigster Wert
Kein, ein oder mehrere Modi sind möglich
Kann auch bei qualitativen und quantitativen Daten verwendet werden
Robust (unempfindlich) gegenüber Ausreißern
Beispiele:
Kein Modus:
Rohdaten: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7
Ein Modus:
Rohdaten 6.3 4.9 8.9 6.3 4.9 4.9
Mehrere Modi:
Rohdaten: 21 28 28 41 43 43
10.5.1.5 Zusammenfassung
5

Fachrechnen für Tierpfleger
10.5.1.6 Beispiele
Beispiel 1:
Beschreiben Sie die Lage der Verteilung (Mittel, Median, Modus)
Stimmen die Lagemaße gut überein
Rohdaten: 17g, 16g, 21g, 18g, 13g, 16g, 12g und 11g
Mittel = (17g+16g+ 21g+18g+ 13g+16g+12g+11g) / 8 =15.5 g
Median:
Sortiert: 11g 12g 13g 16g 16g 17g 18g 21g
Position: 1 2 3 4 5 6 7 8 (Anzahl gerade)
Position des Medians = (8+1) / 2 = 4.5
Median = (16g+16g) / 2 =16g
Modus:
Sortiert: 11g 12g 13g 16g 16g 17g 18g 21g
Modus = 16g
Vergleich: Mittel=15.5g, Median=16g, Modus=16g => Gute Übereinstimmung
Beispiel 2:
Beschreiben Sie die Lage der Verteilung (Mittel, Median, Modus)
Stimmen die Lagemaße gut überein
Rohdaten: 17g, 33g, 25g, 21g, 13g, 11g, 12g und 11g
Mittel: Mittel = (17g+33g+ 25g+21g+ 13g+11g+12g+11g) / 8 =17.9 g
Median:
Sortiert: 11g 11g 12g 13g 17g 21g 25g 33g
Position: 1 2 3 4 5 6 7 8 (Anzahl gerade)
Median = (13g+17g) / 2 =15g
Modus:
Sortiert: 11g 11g 12g 13g 17g 19g 25g 33g
Modus = 11g
Vergleich: Mittel=17.9g, Median=15g, Modus=11g => Keine gute Übereinstimmung
10.5.2 Streuungsmaße
10.5.2.1 Spannweite
Maß für die Streuung metrisch skalierter Merkmale
Definition:
Spannweite ist die Differenz zwischen größter (x max ) und kleinster (x min )Beobachtung
Spannweite = x max - x min
Nachteil: Sehr empfindlich gegenüber Ausreißern
TABELLENKALKULATIONSPROGRAMM:
Maximalwert: =MAX(Wert_1; Wert_2; …; Wert_n) bzw. =MAX(Zelle_1:Zelle_n)
Minimalwert:
=MIN(Wert_1; Wert_2; …; Wert_n) bzw. =MIN(Zelle_1:Zelle_n)
6

Fachrechnen für Tierpfleger
10.5.2.2 Varianz
Maß für die Streuung für metrisch skalierte Merkmale
Berücksichtigt die Verteilung
Zeigt die Abweichung von Mittelwert x bzw. vom Erwartungswert µ
Definition der Varianz:
Die Varianz berechnet sich leichter durch folgende Formeln (Verschiebungssatz):
10.5.2.3 Standardabweichung
Maß für die Streuung für metrisch skalierte Merkmale
Berücksichtigt die Verteilung
Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz.
Die Standardabweichung hat die gleiche Dimension wie Mittelwert.
Definition der Standardabweichung:
Grundgesamtheit
Stichprobe
Beispiel
Rohdaten: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7
Varianz in der Stichprobe:
Standardabweichung in der Stichprobe:
Beispiel
Rohdaten: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7
Varianz in der Stichprobe:
7

Fachrechnen für Tierpfleger
10.5.2.4 Zusammenfassung
8

Fachrechnen für Tierpfleger
10.5.3 Form der Verteilung
Form: beschreibt die Verteilung der Daten
Maß für die Form ist die Schiefe (= Abweichung von der Symmetrie)
10.5.3.1 Quartile
Beschreiben die Verteilung der Daten xj, j=1, . . . , n.
Die geordneten Daten werden in vier gleiche Teile zerlegt.
Das i-te Quartil ist der maximale x-Wert des i-ten Teiles:
1/4 aller Daten sind kleiner oder gleich Q1.
1/2 aller Daten sind kleiner oder gleich Q2 (=Median).
3/4 aller Daten sind kleiner oder gleich Q3.
Beispiel
Rohdaten: 10.3, 4.9, 8.9, 11.7, 6.3, 7.7
Sortiert: 4.9, 6.3, 7.7, 8.9, 10.3, 11.7
Position: 1 2 3 4 5 6
Tabellenkalkulation
9

Fachrechnen für Tierpfleger
1.Quartil: =QUARTILE(Wertebereich;1)
2.Quartil: =QUARTILE(Wertebereich;2) oder: =MEDIAN(Wertebereich)
3.Quartil: =QUARTILE(Wertebereich;3)
10.5.3.2 Interquartilsabstand
Streuungsmaß für metrisch skalierte Daten
Definition:
Differenz zwischen 3. und 1. Quartil
Zeigt den Bereich der mittleren 50% der Daten
Robust (unempfindlich) gegenüber Ausreißern
Beispiel 1
Rohdaten: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7
Sortiert: 4.9 6.3 7.7 8.9 10.3 11.7
Position: 1 2 3 4 5 6
Q1
Q3
Q1 = 6.3
Q3 = 10.3
Interquartilsabstand: Q3-Q1=10.3 - 6.3 = 4.0
Beispiel 2
Sie haben in den letzten 8 Tagen folgenden Futtermittelbedarf festgestellt: Analysieren Sie die
Verteilung mit Hilfe der Quartile Q1 und Q3 sowie mit dem Interquartilsabstand.
Rohdaten: 17kg 16kg 21kg 18kg 13kg 16kg 12kg 11kg
Sortiert: 11kg 12kg 13kg 16kg 16kg 17kg 18kg 21kg
Position: 1 2 3 4 5 6 7 8
Q1,Q3:
Interquartilsabstand: Q3- Q1= 18kg- 12kg= 6kg
Tabellenkalkulation
=QUARTILE(Wertebereich;3) - QUARTILE(Wertebereich;1)
10.5.3.3 Box-Plot
= Graphische Darstellung der Daten
verwendet 5 Kenngrößen:
xmin, Q1, Median, Q3, xmax
Beispiel
10

Fachrechnen für Tierpfleger
Rohdaten: 17kg 16kg 21kg 18kg 13kg 16kg 12kg 11kg
Sortiert: 11kg 12kg 13kg 16kg 16kg 17kg 18kg 21kg
Position: 1 2 3 4 5 6 7 8
n=8,
X min = 11kg
Q 1 = 12kg (Pos. : 1*9/4=2.25=2)
Median= 14kg
Q 3 = 18kg (Pos.: 3*9/4=6.75=7
X max = 21kg
10.5.3.4 Bestimmung der Form
Linkschief: Median liegt näher bei Q3 als bei Q1
Symmetrisch: Median liegt zwischen Q3 und Q1
Rechtsschief: Median liegt näher bei Q1 als bei Q3
10.5.3.5 Quantile
Beschreiben die Verteilung der Daten xj, j=1, . . . , n.
Die geordneten Daten können in beliebig viele gleiche Teile zerlegt.
Das i-te Quantil ist der maximale x-Wert des i-ten Teiles
Besondere Quantile: Percentil (100er), Dezil (10er-Teilung)
Tabellenkalkulation
=QUANTIL(Wertebereich;Alpha)
Alpha = [0,1]
z.B.:Alpha 0.25-> 1. Quartil
10.5.3.6 Interquantilsabstände
Interquantilsabstände sind analog zum Interquartilabstand definiert:
Interdezil: Q 90% -Q 10% … Wertebereich in dem 80% aller Werte liegen (α2=0.9, α1=0.1)
Interpercentil: Q 99% -Q 1% … Wertebereich in dem 98% aller Werte liegen (α2 =0.99, α1=0.01)
11

Fachrechnen für Tierpfleger
Im Gegensatz zum Quartileinteilung benötigt die Quantileinteilung mehr Werte und zwar mindestens
so viele wie Unterteilungsintervalle (Dezil 10, Percentil 100)
10.5.3.7 Anwendung von Quantil und Quantilsabstände
Was ist „normal“ was ist außergewöhnlich
Häufig gefragt:
Intervall in dem 75% aller Werte liegen => Abstand=0.75
Intervall in dem 95% aller Werte liegen => Abstand=0.95
Intervall in dem 99% aller Werte liegen => Abstand=0.99
Frage:
α1=, α2=
Es gilt: α2 = 1.0 – α1
Abstand = α2 - α1
α 1 = (1.0 -Abstand)/2
α2 = 1.0 – α1
α2 = (α1 + Abstand)
Intervall in dem 75% aller Werte liegen
Abstand=0.75,
α1 = (1.0-0.75)/2.0 = 0.125,
α2 = 0.125+0.75= 0.875
Intervall in dem 95% aller Werte liegen
Abstand=0.95,
α1 = (1.0-0.95)/2.0 = 0.025,
α2 = 0.025+0.95= 0.975
Intervall in dem 99% aller Werte liegen
Abstand=0.99,
α1 = (1.0-0.99)/2.0 = 0.005,
α2 = 0.005+0.99= 0.995
12