Klausur - der Arbeitsgruppe Digitale Signalverarbeitung

AG Digitale Signalverarbeitung - Klausur in „Digitale Signalverarbeitung“ Frühjahr 2009
Aufgabe 1: Transformationen
⇒25 Pkt.
Aufgabe 1: Transformationen ⇒25 Pkt.
1.1 z-Transformation / inverse z-Transformation (zT / izT)
(a) Berechnen Sie die z-Transformierte der folgenden zeitdiskreten Funktion:
v(k) = a k · ɛ(k)
Bestimmen Sie das Konvergenzgebiet der z-Transformierten! Welcher Eingangsfolge
entspricht der Spezialfall a = ±1 Zeichnen Sie diese beiden
Folgen!
(b) Berechnen Sie die z-Transformierte der folgenden zeitdiskreten Funktion:
v(k) = a k · e jkΩ · ɛ(k)
Bestimmen Sie das Konvergenzgebiet der z-Transformierten! Welcher Eingangsfolge
entsprechen die Spezialfälle a = 1, Ω = 0 und a = 1, Ω = π
Zeichnen Sie diese beiden Folgen!
(c) Bestimmen Sie die z-Transformierte der folgenden zeitdiskreten Funktion
und deren Konvergenzgebiet:
(d) Gegeben ist eine z-Transformierte
v(k) = a k · sin(kΩ) · ɛ(k)
V (z) =
1 − 2z −1
1 − 5 2 z−1 + z −2 .
Wie lautet deren inverse z-Transformierte
1.2 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
(a) Gegeben sei die folgende diskrete Wertefolge v 4 (k) = 1, 1, 0, 1. Zeichnen
Sie diese Wertefolge! Unterwerfen Sie die Wertefolge v 4 (k) der DFT: Berechnen
und zeichnen Sie das DFT-Spektrum V 4 (n)!
(b) Erzeugen Sie die zeitdiskrete Wertefolge v 8 (k), indem Sie die Wertefolge
v 4 (k) auf die Länge N = 8 durch periodische Fortsetzung verlängern!
Unterwerfen Sie die Wertefolge v 8 (k) wiederum der DFT: Berechnen und
zeichnen Sie das DFT-Spektrum V 8 (n)!
(c) Diskutieren Sie die Unterschiede in den Ergebnissen zwischen (a) und (b).
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 1: Transformationen
⇒25 Pkt.
1.3 Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Folgender Signalflussgraph visualisiert eine effiziente Methode zur Berechnung
einer 4-Punkte-DFT (Radix-2 FFT, DIT).
(a) Speisen Sie in dieses System nun die Wertefolge v 4 (k) aus Aufgabe 2(a)
ein! Zeichnen Sie den Signalflussgraphen ab und ersetzen Sie jedes eingezeichnete
X durch die sich damit ergebenden Eingangs-, Ausgangs- und
Zwischenwerte der FFT!
(b) Transponieren Sie dieses DIT- in ein DIF-System! Wofür stehen die Begriffe
DIT und DIF Zeichnen Sie den so enstehenden Signalflussgraphen
und tragen Sie die sich nun ergebenden Eingangs-, Ausgangs- und Zwischenwerte
der FFT ein! Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe
3(a).
Hilfestellung:
• z-Transformationspaar:
z
= Z { z
z − z
∞ɛ(k) } k
∞
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 2: Abtasttheoreme
⇒25 Pkt.
Aufgabe 2: Abtasttheoreme ⇒25 Pkt.
Durch das nachfolgende System soll das reelle Signal s(t) mit dem Betragsspektrum
|S (jω)| digitalisiert werden:
Re v( t)
S(j )
TP
f g
cos( 0
t)
v( t)
s( t)
A/D v( k)
sin( 0
t)
f A
TP
Im v( t)
f g 0 91 109
f/MHz
2.1 Skizzieren Sie das Betragsspektrum |S (jω)| im Bereich −110Mhz < f <
110Mhz!
Im Folgenden soll das komplexe Signal v(t), welches aus den zwei Pfad-Signalen des
Systems zusammengesetzt wird, das nachfolgende Betragsspektrum |V (jω)| aufweisen:
V(j )
-9 0 9
f/MHz
Außerhalb des Frequenzbereichs −9MHz < ω/2π < 9MHz soll es verschwinden:
|V (jω)| = 0.
2.2 Welche Modulationsfrequenz f 0 = ω 0 /2π ist dazu erforderlich
2.3 Geben Sie den Bereich an, in dem sich die Grenzfrequenzen f g der beiden
identischen, reellen und idealen Tiefpässe befinden müssen.
2.4 Welches Abtasttheorem müssen Sie bei der Bestimmung der Abtastfrequenz
f A anwenden Welche minimale Abtastfrequenz legen Sie fest, wenn f A ein
ganzzahliges Vielfaches von 10MHz sein soll
2.5 Zeichnen Sie das Betragsspektrum ∣ ∣ V
(
e
jΩ )∣ ∣ des diskreten Signals v(k) im Bereich
−π < Ω < 3π! Welche Symmetrien weist es auf
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 2: Abtasttheoreme
⇒25 Pkt.
Hinweis: Die nachfolgenden Aufgaben können unabhängig von den
Teilaufgaben 2-5 bearbeitet werden.
Das Signal s(t) soll nun direkt in einen reellen A/D-Umsetzer gespeist und
dort in das diskrete Signal s(k) gewandelt werden.
2.6 Geben Sie nach dem Abtasttheorem für reelle Tiefpass-Signale eine möglichst
niedrige Abtastrate f A an, die ein Vielfaches von 10MHz ist und die vollständige
Rekonstruktion des Signals s(t) aus s(k) erlaubt.
2.7 Wie lautet die notwendige Bedingung für die Abtastfrequenz f A unter Verwendung
des Abtastheorems für reelle Bandpass-Signale Geben Sie einen
Wertebereich für f A an, der diese Bedingung erfüllt.
2.8 Die Abtastrate sei nun f A = 50MHz.
(a) Skizzieren Sie das Betragsspektrum ∣ ∣ S
(
e
jΩ )∣ ∣ des diskreten Signals s(k)
im Bereich −π < Ω < 5π! Verwenden Sie dabei zwei Frequenzachsen: Ω
und f!
(b) Ist mit f A = 50MHz das Signal s(t) aus s(k) rekonstruierbar (Begründung)
2.9 Die Abtastrate sei nun f A = 75MHz.
(a) Skizzieren Sie das Betragsspektrum ∣ ∣ S
(
e
jΩ )∣ ∣ des diskreten Signals s(k)
im Bereich 0 < Ω < 4π!
(b) Ist mit f A = 75MHz das Signal s(t) aus s(k) rekonstruierbar (Begründung)
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 3: Zustandsraumdarstellung
⇒25 Pkt.
Aufgabe 3: Zustandsraumdarstellung ⇒25 Pkt.
Gegeben ist der Signalflussgraph (SFG) eines reellen und kausalen SISO-Systems,
wobei a 0 , a 1 , a 2 ∈ R gilt:
3.1 Ist das System rekursiv oder nichtrekursiv
3.2 Bestimmen Sie die Zustandsraumdarstellung (ZRD) des Systems!
3.3 Regen Sie das System im Anfangsruhezustand zum Anfangszeitpunkt k =
k 0 = 0 mit einem Einheitsimpuls an. Bestimmen Sie die sich hierdurch ergebende
Trajektorie des Systems für die ersten 6 Zeitpunkte k = 0, 1, 2, 3, 4, 5!
Hinweis: Die Trajektorie lässt sich mit der ZRD allgemein wie folgt bestimmen:
k−k
∑ 0
x(k) = A k−k 0
x(k 0 ) + A k−k0−κ b · v(k 0 + κ − 1). (1)
κ=1
3.4 Leiten Sie unter Verwendung der ZRD-Ausgangsgleichung aus der ermittelten
Trajektorie (1) die ZRD-Beziehung für die Impulsantwort (IA) her! Bestimmen
Sie die IA des SISO-Systems für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5!
3.5 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion (ÜF) des Systems!
(a) Ist der SFG des oben vorgegebenen Systems kanonisch Begründung!!!!
(b) Ist das System stabil Begründung!!!!
(c) Besitzt das System die IIR- oder die FIR-Eigenschaft
Je umfassender die Begründung, desto mehr Punkte!!!
3.6 Zeichnen Sie ausgehend von den gewonnenen Erkenntnissen einen alternativen,
möglichst einfachen kanonischen SFG für das ursprünglich gegebene System!
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 3: Zustandsraumdarstellung
⇒25 Pkt.
3.7 Nehmen Sie für die nachfolgende letzte Teilaufgabe an, dass a 0 , a 1 , a 2 ∈ C gilt.
Ein- und Ausgangssignal seien ebenfalls komplexwertig: v(k), y(k) ∈ C. Zeichnen
Sie für das nun vorliegende komplexwertige SISO-System einen äquivalenten
kanonischen SFG mit 2 Eingängen und 2 Ausgängen mit ausschließlich
reellen Operationen! (Entwickeln Sie die Struktur ggf. über die Zwischenstufe
einer Blockstruktur.) Wie groß ist die minimal benötigte Anzahl von (reellen)
Verzögerungsgliedern
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 4: Strukturen
⇒25 Pkt.
Aufgabe 4: Strukturen ⇒25 Pkt.
Gegeben ist der Signalflussgraph (SFG) eines reellen und kausalen 2 × 1 SIMO-
Systems:
4.1 Bestimmen und untersuchen Sie folgende drei Übertragungsfunktionen (ÜF)
des Systems:
(a) H 1 (z) = Y 1 (z)/V (z), H 2 (z) = Y 2 (z)/V (z) und
die Summe der ÜFen: H(z) = H 1 (z) + H 2 (z)!
(b) Bestimmen Sie für diese drei ÜFen jeweils
i. die Systemordnung
ii. den Frequenzgang
iii. den Amplitudengang – Skizzieren Sie den Verlauf im Bereich Ω ∈
[−π, π]!
iv. den Betragsfrequenzgang – Skizzieren Sie im Bereich Ω ∈ [−π, π]!
v. die Phase – Skizzieren Sie den Verlauf im Bereich Ω ∈ [−π, π]!
vi. den Filter-Typ: Tiefpass, Bandpass, Bandsperre, Hochpass, Allpass
(c) Weisen Sie nach (begründen Sie), dass die oben bestimmtem drei Teilsysteme
die FIR-Eigenschaft besitzen!
4.2 Transformieren Sie das ursprüngliche, oben angegebene System nun durch eine
allgemeine Allpass-Transformation, indem Sie im ursprünglichen SFG
den Verzögerer z −1 durch die strikt stabile Allpassfunktion 1. Ordnung
ersetzen!
H A (z) = az + 1 , 0 < |a| < 1, (2)
z + a
(a) Zeichnen Sie einen kanonischen SFG für diese Allpassfunktion (2)!
(b) Zeichnen Sie den vollständigen SFG des Allpass-transformierten 2 × 1
SIMO-Systems!
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!

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Aufgabe 4: Strukturen
⇒25 Pkt.
(c) Bestimmen und untersuchen Sie wiederum folgende drei ÜFen für das
Allpass-transformierte System:
H 1 (z) = Y 1 (z)/V (z), H 2 (z) = Y 2 (z)/V (z) und
die Summe der ÜFen: H(z) = H 1 (z) + H 2 (z)!
(d) Bestimmen Sie für diese drei ÜFen jeweils
i. die Systemordnung
ii. den Frequenzgang
iii. Könnten Sie für dieses Allpass-transformierte System einen Amplitudengang
berechnen (wenn Sie hierfür nur genügend Zeit und Ruhe
hätten) Begründen Sie Ihre Aussage!
iv. Bestimmen Sie die Beträge des jeweiligen Frequenzgangs für die beiden
Frequenzen f = 0 und f = f A /2!
v. den Filter-Typ im Vergleich zum nicht transformierten System: Tiefpass,
Bandpass, Bandsperre, Hochpass, Allpass
(e) Welche Konsequenzen ergeben sich aus der in dieser 2. Aufgabe durchgeführten
allgemeinen Allpass-Transformation für die FIR-Eigenschaft
des Systems bzw. der berechneten ÜFen Begründen sie Ihre Aussagen!
Bitte beachten Sie beide Seiten der Aufgabenblätter!