Skript Algebra 10 erstes Halbjahr - Treminer.de

Inhaltsverzeichnis
1 Die Potenzrechnung und ihre Gesetze 2
1.1 Definition und Gesetze für den Exponent aus der Menge der natürlichen Zahlen 2
1.2 Anwendung der Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Potenzen mit reellen Exponenten 4
2.1 Die Gleichung x n = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Die allgemeine Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Potenzen mit rationalem Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Das Rechnen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Die allgemeine Potenzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Die Potenzfunktionen 9
3.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Die Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Die Funktion als spezielle Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Eigenschaften der Potenzfunktionen 10
4.1 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Veränderung des Verlaufs von dem Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Strecken oder Stauchen des Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Die Verschiebung des Graphen nach links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Exponetial- und Logarithmusfunktionen 14
5.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Der Zusammenhang von folgenden Graphen 16
7 Einfache Exponetialgleichungen 16
A Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Algebra und zum Kapitel 1 Geometrie 18
B Aufgaben zum Kapitel 1 Algebra 18
C Aufgaben zum Kapitel 1 Geometrie 18
D Algebraische Gleichungen höheren Grades 19
ALGEBRA 10. JAHRGANGSSTUFE
1

1 Die Potenzrechnung und ihre Gesetze
Potenzen kennen wir auch schon aus der 7. Jahrgangsstufe, allerdings mit der Einschränkung,
daß der Exponent eine natürliche Zahl war. Diese Einschränkung wird in diesem Jahr aufgehoben,
dennoch beginnen wir mit einer grundlegenden Wiederholung oder wir steigen wieder
bei den natürlichen Exponenten ein.
1.1 Definition und Gesetze für den Exponent aus der Menge der
natürlichen Zahlen
Wir klären erst die Frage, was wir unter einer Potenz verstehen.
Bei der Potenz a b heißt a die Basis und b der Exponent. Dabei gibt
b an, wieoft a mit sich selbst multipliziert wurde.
Jetzt werden wir uns die von der Physik her bekannten, Potenzgesetze uns betrachten.
Das erste lautet:
a m · a n = a m+n
Wie es zu dieser Gesetzmäßigeit kommt, können wir leicht nachvollziehen: wir haben m mal
a mit sich selbst multipliziert und a n mal mit sich selbst multipliziert vorliegen. Damit
handelt es sich um die Summe von n+m, wo a mit sich selbst multipliziert wird. Das zweite
Potenzgesetz lautet:
(a m ) n = a mn
Auch hier ist der Nachvollzug nicht weiter schwierig: a wird erst m mal mit sich selbst
malgenommen und dann noch n mal mit sich selbst multipliziert.
a m · b m = (ab) m
Hier haben wir a und b m mal mit sich selbst multipliziert vorliegen. Da beide Basen a und
b mit ein und dem selben Exponenten potenziert werden, kann man das Produkt aus a und
b mit m potenzieren.
a m
b m = (a b )m
2

Auch hier ist das Nachvollziehen nicht weiter schwer: Im Nenner haben wir b m mal potenziert
und auch a im Zähler ist m mal potenziert. Daher können wir auch den Bruch a/b mit
m potenzieren.
a m : a n = a m−n
Die Bergründung für dieses Gesetz ist identisch mit der des ersten Gesetzes. Wir haben a im
Zähler m mal und im Nenner n mal vorliegen. Wir können mittels den Körperaxiomen den
Nenner und Zähler zu a m−n kürzen. Bevor wir unsere gewonnenen Erkenntnisse anwenden
wollen, wollen wir nicht nur auf natürliche Zahlen im Exponenten zurückgreifen, sondern
auch auf die ganzen Zahlen erweitern. Dabei treffen wir folgende Festlegung:
a −m = 1
a m
1.2 Anwendung der Potenzgesetze
Die Anwendung der Potenzgesetze erstreckt sich im Allgemeinen auf komplexe Aufgaben.
Entscheidend ist dabei die richtige Vorgangsweise, die man nur durch Übung erhält: Beispiel
: Vereinfache folgenden Term:
Nach dem 3.Potenzgesetz ist gültig:
x + y y − x
(
x −2 − y −2 )4 (
x −1 + y −1 )4 ( x + y
x 3 y 3 )4
x + y
(
x −2 − y−2 · y − x
x −1 + y−1 · x + y
x 3 y 3 )4
Nun wenden wir bei den ersten beiden Brüchen die oben genannte Definition an und machen
den Nenner des entstandenen Doppelbruchs gleichnamig:
( (x + y)(y2 − x 2 )
y 2 −x 2
· y+x · x 2 y 2 xy x3 y 3 )4
Nachdem wir nun noch gekürzt haben, gibt sich folgendes Bild:
1 4 = 1
Aufgabe: Vereinfache mittels den Potenzgesetzen folgenden Term:
1
b
(
− 1 a
a
+ b b a
) −1 (
1
a + 1 b
2
) −1 (
1
b−a
1
) −1
ab
3

2 Potenzen mit reellen Exponenten
2.1 Die Gleichung x n = a
Eine Gleichung solcher Form haben wir bereits kennengelernt. Die Reinquadratische Gleichung.
Es kommt freilich auch vor, daß der Exponent von der Basis x eine beliebige andere
Zahl ist.
Beispiel
x 4 = 81; x 1 = 3; x 2 = −3
oder
oder ein weiteres Beispiel
x 3 = 8; x = 2
x 6 = −64ul
ul = unlösbar
Wir wollen uns aber zunächst solchen Gleichungen wiedmen, wo x größer gleich 0 ist. Bevor
wir nun die Lösung einer solchen Gleichung finden wollen, betrachten wir erst folgenden
Zusammenhang: Ein Term a sei größer Null, ein weiterer Term b sei größer als der Term
a. Was passiert, wenn beide Terme mit dem gleichen, beliebigen Exponenten n potenziert
werden Die Lösung dieser Frage wird als erstes Monotoniegesetz (monoton = gleichbleibend)
bezeichnet. Es lautet:
Ist ein Term b größer als der Term a, der größer oder gleich Null
ist, und werden beide Terme mit dem gleichen n potenziert, dann
ist b n größer als a n
Dieser Satz muß nun natürlich bewießen werden. Dazu benötigen wir noch die Formel
a n − b n = (a − b)(a n−1 + an − 2b + ...b n−1 )
Diese Formel kann durch ausrechnen leicht verifiziert werden. Aus der Bedingung, daß a kleiner
b ist, folgt, daß die Differenz a-b negativ ist. Zum Beweisen des Monotoniegesetzes gehen
wir so vor: Wir bilden die Differenz a n − b n und zerlegen diese nach der oben aufgezeigten
Formel. Laut Voraussetzung ist a-b negativ, die zweite Klammer aber positiv, weil a und b
größer Null sind und diese Klammer aus einer Summe besteht. Damit ist aber das Produkt
wieder negativ und damit die Differenz a n − b n wieder negativ Das bedeutet, daß a n wieder
kleiner als b n ist und damit ist das Monotoniegesetz für alle derartigen Potenzen bewießen.
Das Monotoniegesetz benötigen wir nämlich zu einem Lösungsverfahren derartiger Gleichungen,
nämlich der numerischen Lösung. Wir bedienen uns hier dem von der Wurzelrechnung
her bekannten Intervallschachtelung.
Beispiel
x 3 = 77
4

Die erste Abschätzung sieht wie folgt aus:
Nun nehmen wir die erste Verfeinerung vor:
Noch eine weitere feinere Abschätzung
4 3 = 64 < 77 < 125 = 5 3
4, 2 3 = 74, 09 < 77 < 79, 52 = 4, 3 3
4, 25 3 = 76, 77 < 77 < 77, 31 = 4, 26 3
Mit diesem Verfahren nähern wir uns also Schritt für Schritt näher an die Lösung ein, wir
kreisen die Lösung also ein. Eins wird aber deutlich: Die exakte Lösung finden wir nur
mühselig, wir benötigen ein leistungsfähigeres Verfahren.
2.2 Die allgemeine Wurzel
Die Lösung der quadratischen Gleichung, die einen Spezialfall der jetzigen Gleichungen darstellt,
wurde auch als Wurzel definiert. Nun werden wir mit folgender Definition den Wurzelbegriff
etwas erweitern:
Für n aus der Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet die n-te
Wurzel aus a n√ a die Lösung der Gleichung x n = a. Dabei bezeichnen
wir a als den Radikanten und n den Wurzelexponenten.
Wir müssen allerdings in Bezug auf a und den Exponenten n eine Fallunterscheidung durchführen.
• Der Exponent ist ungerade : Dies bedeutet für a folgendes: a kann sowohl positiv
als auch negativ sein, da ja eine ungerade Zahl vom Faktor -1 immer negativ ist und
damit diese Wurzel als Lösung der Gleichung definiert ist. a ist somit aus der Menge
der Reellen Zahlen.
• der Exponent ist gerade: Hier sind Lösungen der Gleichung nur dann möglich, wenn
a positiv ist, da sich eine gerade Anzahl vom Faktor -1 zum Positiven wandelt. a ist
also hier aus der Menge der positiven Reellen Zahlen.
2.3 Potenzen mit rationalem Exponenten
In diesem Kapitel soll nun die Wurzelrechnung aufgefrischt werden und auch eine Verallgemeinerung
ist angestrebt. Wenn wir eine Wurzel quadrieren, dann hebt sich Quadrieren und
Wurzelziehen gegeneinander auf:
√ a 2 = a
5

Die allegemeine Formulierung sieht dann so aus:
n√ a n = a
Vergleichen wir das nun mit der Multiplikation, stoßen wir auf dieselbe Tatsache:
(nr) 1 r = n
Dabei handelt es sich um die Eigenschaft des inversen Elements , was bedeuten will, daß
Wurzel und Potenz zueinander Invers sind. Allerdings ist es etwas mühselig und unübersichtlich,
wenn wir ständig mit Wurzeln arbeiten. Deshalb wird die allgemeine Wurzel auch noch
so definiert:
n√ a = a
1
n
Wird allerdings die n-te Wurzel aus einer Potenz gezogen, dann erweitern wir obrige Festlegung:
n√
am = a m n
Die letztere Wurzel hat aber auch noch eine andere Bedeutung: Sie ist die Lösung der Gleichung
x n = a m
2.4 Das Rechnen mit rationalen Exponenten
I. Multiplikation mit gleicher Basis
a p m · a q n
= a p m + q n
Die Beweisführung wird wie folgt geführt. Zunächst sprechen wir nur von gleichnamigen
Exponenten
a p q
m · a m
Sieht nach Anwendung von Potenzgesetz 3 so aus:
(a 1 m ) p (a 1 m )
q
Nun kann man ausklammern und nach Potenzgesetz 1 ist nun gültig:
Daraus folgt dann nach Potenzgesetz 2
(a 1 m )
p+q
a p m + q m
Die Regel ist also für gleichnamige Brüche als Exponenten schon verfiziert, bei ungleichnamigen
Brüchen erfolgt die Regel nach dem Gleichnamigmachen.
II. Potenzieren einer Potenz
6

(a p m )
q
n
= a
pq
mn
Der Beweis dieses Gesetzes wird etwas komplizierter als der letzte, aber wir beißen uns schon
durch. Wir substituieren die linke Seite mit x und die rechte Seite mit y.
und
x = (a p m )
q
n
y = a pq
mn
Wir wenden nun ein sehr geläufiges Beweisverfahren an: Wir werden durch gezielte Umformungen
zeigen, daß die rechte Seite aus der linken hervorgeht. Wir potenzieren zuerst x mit
dem Produkt mn.
x mn = {(a p q
m ) n }
mn
Nach den grundlegenden Potenzgesetzen können wir nun wie folgt umformen
{{(a p m )
1
n } q } mn
Nun können wir wiederum auf die uns zur Verfügung stehenden Potenzgesetze zurückgreifen
und schreiben:
{(a p 1
m ) n }
qmn
Nun können wir mittels Potenzgesetz für ganze Zahlen m und n in die Klammern multiplizieren
und damit ergibt sich die linke Seite, also x zu
Potenzieren wir nun auch y mit mn , so folgt
x mn = a pq
y mn = (a pq
mn ) mn = (a 1
mn ) pqmn = a pq
Nach dem x = y, also beide Seiten übereinstimmen ist diese Gesetzmäßigkeit allgemein gültig.
III. Gleiche Basen und verschiedene Exponeten
a p m · b
p
m
= (ab)
p
m
Beim potenzieren mit m ergibt sich für die linke Gleichungsseite
(a p m · b
q
n ) m = a p · b p = (ab) p
Führen wir diese Potenzierung noch mit der rechten Seite durch ergibt sich
{(ab) p m } m = (a · b) p
Beide Seiten stimmen über ein und daher ist auch diese Erweiterung der bisherigen Potenzgesetze
gezeigt. Analog läßt sich dieselbe Regel für die Division zeigen. Es lautet dann:
a m
b m = (a b )m
7

2.5 Die allgemeine Potenzgleichung
Bisher haben wir nur einen Spezialfall der Potenzgleichug x n = a. Dabei stand bei dem x kein
konstanter Faktor und in keinem weiteren Glied des Termes kam x in einer anderen Potenz
vor. In den jetzigen Gleichungen sind diese beiden Merkmale nicht mehr ausgeschlossen.
Diese Gleichungsart erfordert allerdings eine Verfeinerung unseres Lösungsverfahrens. Wir
erarbeiten anhand eines Beispiels die Lösung einer derartigen Gleichung.
Beispiel
√
ax + b 4 x 2 3√ x 6 = b 2 − a 2
In dieser Gleichung kommen sowohl Konstanten als auch mehrere Exponenten bei x vor. Die
Lösung geht in folgenden Schritten vorsich.
1. Schritt übersetzen in Hochzahlschreibweise
ax + b{x 2 · x 2 } 1 4 = b 2 − a 2
Nach weiterer Umformung mittels der Potenzgesetze kommen wir zu der Zeile:
ax + b(x 4 ) 1 4 = b 2 − a 2
Daraus wird dann auch diese Zeile verständlich :
ax + b|x| = b 2 − a 2
Der Betrag ist hier notwendig, weil auch negative x mit 4 potenziert positive x ergeben.
Daher sehen wir bereits, wo der Betrag von Nöten ist: Bei geradzahligen Exponenten. Um
aber jetzt weiter nach x auflösen können, müssen wir den Betrag auflösen. Dazu wird aber
eine Fallunterscheidung nötig. Der Betrag kann größer gleich Null und kleiner Null sein.
Also ergeben sich folgende beide Fälle.
Fall I : |x| > 0
ax + bx = b 2 − a 2
Auf der linken Seite klammern wir x aus und formen die rechte Seite mit der 3. binomischen
Formel um
x(a + b) = (a + b)(b − a)
Damit ergibt sich die erste Lösung zu
Der zweite Fall ist Fall II |x| < 0
x = b − a
ax − bx = b 2 − a 2
Wir führen die gleichen Operationen wie bei Fall I durch und klammern auf der rechten
Seiten ein Minus aus:
x = −(a + b)
Somit ist die Lösungsmenge dieser Gleichung ist dann
L = {(b − a); −(a + b)}
Nun fassen wir unsere Lösungsschritte in einem allgemeinen Lösungsschemata zusammen.
8

1. Übersetzen der Wurzelschreibweise in Hochzahlschreibweise
2. Vereinfachung und Zusammenfassung der Gleichung mittels
den Potenzgesetze.
3. Bei geraden Exponenten muß nach der Vereinfachung der Betrag
wegen der Fallunterscheidung eingeführt werden.
4. Innerhalb der Fälle nach x auflösen.
5. Die Lösungsmenge anschreiben.
3 Die Potenzfunktionen
3.1 Der Funktionsbegriff
Wir wollen diesen wesentlichen Begriff, besonders im Hinblick auf das nächste Schuljahr und
die mannigfaltitge Anwendung dieses Begriffs in der Technik noch einmal präzisieren. Wir
beginnen mit der Relation.
3.2 Die Relation
Wir werden erstmal definieren was eine Relation ist und damit dann die Leistungsfähigkeit
des Begriffs erschließen.
Eine Relation ist eine Teilmenge des karthesischen Produkts zweier
Mengen A x B. Dabei ist das karthesische Produkt die Menge
aller geordneten Paare (x;y). Das Wort geordnet bedeutet, daß die
Koordinaten x und y nicht vertauschbar sind.
Mit der Relation haben wir das erste Mal ein Mittel in der Hand ein Bild im Koordinatensystem
in ihrer Struktur zu untersuchen. Dabei sind alle x Koordinaten Elemente der
Definitionsmenge, alle y Koordinaten Elemente der Wertemenge. Nehmen wir als Beispiel
einen Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung des Koordinatensystems ist.
✬✩
✫✪
Der Kreis ist eine Teilmenge der Ebene des Koordinatensystems. Seine Definitionsmenge ist
das Intervall
[−r, r]
9

Wie aber können wir die y- Werte mittels einem Gesetz darstellen Dies gelingt uns mit dem
Satz des Pythagoras. Er lautet in diesen Symbolen:
nach y aufgelöst ist dies
x 2 + y 2 = r 2
y = +/ − √ r 2 − x 2
Wir sehen also auch, daß der Kreis sich mit einer Algebraischen Gleichung fassen läßt. Genau
auf diese Eigenschaft kommt es uns an. Und noch etwas ist ersichtlich: Jedem x Wert werden
zwei y Werte zugeordnet. Die Zuordnung ist nicht eindeutig
3.3 Die Funktion als spezielle Funktion
Bei einer Funktion wird einem Element aus der Definition nur ein Element aus der Wertemenge
zugeordnet. Damit ist die Funktion eine spezielle Form der Relation, nämlich eine
eindeutige Relation oder eine eindeutig Zuordnung. Damit können wir die Funktion in unserer
— aus frühren Algebrajahren — gewohnten Definition fassen:
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der einem x- Wert
genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Man kann die Funktion auch so deuten, daß alle Paare (x,y) verschiedene x Koordinaten
aufweisen.
4 Eigenschaften der Potenzfunktionen
Definition einer Potenzfunktion
Eine Funktion, deren Basis x bildet und als Exponent eine beliebige,feste
reelle Zahl hat, heißt Potenzfunktion.
Wenden wir uns nun erst Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten zu.
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1. Der Verlauf des Graphen dieser Potenzfunktionen sind je schneller steigend, desto
größer der Exponent ist.
2. Der Verlauf der Funktionsgraphen ist im Fall, daß der Exponent gerade ist im ersten
und zweiten Quadranten des Koordinatensystems, für den Fall, daß der Exponent
ungerade ist, im ersten und dritten Quadranten.
3. Aller Potenzfunktionen gehen durch den Ursprung des Koordinatensystems und durch
den Punkt (1/1). Betrachten wir nun noch die gestrichelten Graphen, welche Graphen
von Potenzfunktionen mit negativen, ganzen Exponenten sind. Hier haben wir folgende
Feststellung:
4. Die Graphen weisen für größere x, immer kleiner werdende y auf, sind also generell
fallend.
5. Je näher x gegen Null geht, desto mehr ist die Tendenz der Funktionswerte gegen
Unendlich.
6. Für geradzahlige Exponenten ist der Verlauf im ersten und zweiten Quadranten, für ungeradzahlige
im ersten und dritten Exponenten. Für beide Graphenarten gilt folgende
Feststellung:
7. Die Graphen sind im ungeradzahligen Fall punktsymetrisch bezüglich dem Koordinatenursprung,
im geradzahligen Fall sind die Graphen bezüglich der y-Achse achsensymetrisch.
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4.1 Die Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion hat ihre Wurzeln in folgendem Problem: Man kennt von einer Funktions
einen oder mehrere Funktionswerte, aber nicht den oder die dazugehörigen x- Werte
(Ausgangswerte). Zusätzlich möchte man noch mit den vorhandenen Kenntnissen weitere
Schlußfolgerungen ziehen. Um eine Umkehrfunktion zu erhalten geht man am bseten so vor:
y = x n
Unser Ziel muß es sein, den bisherigen Zuordnungsmodus von x nach y in einen neuen,
nämlich von y nach x zu verwandeln. Um dies zu erreichen, müssen wir erst die Funktionsgleichung
nach x auflösen.
y 1 n = x
Das erste Teilziel ist nun erreicht. Wissen wir nun eine Funktionswert, können wir sofort den
Ausgangswert bestimmen. Wichtig: Der Verlauf des Graphen hat sich noch nicht
geändert . Um aber anhand des oder der bekannten Funktionswerte die weitere Entwicklungen
von x- Werten schlußfolgern zu können, müssen noch x und y in ihren ”Rollen” vertauscht
werden. Denn dies hat zur Konsequenz, daß die Funktionswerte dann die Ausgangswerte der
ursprünglichen Funktion sind. Damit handelt es sich um die Umkehrfunktion .
y = x 1 n
Wie können wir aber den Graph der Umkehrfunktion aus dem der Orginalfunktion herausbekommen
Dafür fertigen wir eine Zeichnung der Graphen von y = x 3 und y = x 1 3
Aus diesem Modell Beispiel entnehmen wir: Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion
sind bezüglich der Geraden y=x achsensymetrisch.
Zusammenfassung Umkehrfunktion:
1. Funktionsgleichung nach x auflösen
2. x und y vertauschen
3. Graphen sind in Bezug auf y = x achsensymetrisch
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4.2 Veränderung des Verlaufs von dem Funktionsgraphen
4.3 Strecken oder Stauchen des Funktionsgraphen
Generell wird eine Streckung oder Stauchung einer Potenzfunktion dadurch erreicht, daß
man die veränderliche Variable x mit einer Konstanten m multipliziet wird:
Wir sehen hier eines sehr deutlich: Ist a größer als eins, dann wachsen die Funktionswerte
um das a fache an, ist kleiner als 1 aber größer als 0, dann sind die Funktionswerte der ate
Teil und ist das a negativ, dann wird der Graph an der x-Achse zusätzlich gespiegelt.
4.4 Die Verschiebung des Graphen nach links
In diesem Teil beschäftigen wir uns mit der Frage, was passiert, wenn der Graph einer
Potenzfunktion nach links verschoben wird. Eines können wir am Verlauf des Graphen sofort
erkennen:
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Der Funktionswert, welcher ursprünglich an der Stelle x vorhanden war, tritt jetzt schon
an der Stelle x-a auf. In beiden Fällen beträgt der Funktionswert x n . Wenn wir aber x-a
mit n potenzieren, wird der vorgegebene Funktionswert nicht erreicht. Dazu müssen wir im
Funktionsterm erst a addieren, um wieder auf den Funktionswert zu kommen
x n = ((x − a) + a) n
Damit haben wir im Prinzip schon hergeleitet, wie die Funktionsgraphenänderung sich im
Term bemerkbar macht. Addiert man eine Konstante a vor dem Potenzieren, dann ergibt
sich eine Verschiebung nach links.
Der Funtionsgraph der Funktion
y = (x + a) n
geht von dem Graphen der Funktion
y = x n
durch eine Linksverschiebung hervor.
Nun kommen wir auch noch zum zweiten Fall, welcher in dem obigen Koordinatensystem
eingezeichnet ist. Die Rechtsverschiebung.
Wir ersehen deutlich, daß der Funktionswert, der ursprünglich an der Stelle x vorkam nun
erst an der Stelle x+a vorkommt. Wieder ist der Funktionswert x n . Um aber nun den Funktionswert
zu erlangen, müssen wir vor dem potenzieren a abziehen:
Damit halten wir fest:
Der Graph der Funktion
x n = ((x + a) − a) n
y = (x − a) n
geht von dem Graph der Funktion
y = x n
durch eine Rechtsverschiebung hervor.
5 Exponetial- und Logarithmusfunktionen
Diese Funktionsarten erweitern unsere bisherigen mathematischen Horizont in der Weise,
daß nochmals eine Rechenart neben dem Potenzieren hinzukommt.
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5.1 Die Exponentialfunktion
Wir betrachten uns folgendes Beispiel: Eine neue angelegte Waldkultur verdoppelt ihren
Bestand pro Jahr. Wir nehmen an, daß keine Wachstumsbeinträchtigungen bestehen und
Betrachten die Vermehrung des Bestandes über die Jahre. Dabei ist der Bestand des Anfangsjahres
1.
x= Jahr 0 1 2 3 4 Wir erkennen, daß die gesamten y- Werte samt und sonders
y= Bestand 1 2 4 8 16
Potenzen mit der Basis 2 sind und die Exponenten mit dem x-Wert identisch ist. Daher
kommen wir auf die Funktionsgleichung
y = 2 x
Die allgemeine Gleichung einer Exponetialfunktion lautet
y = a x
In einem Koordinatensystem sieht das ganze graphisch so aus:
Am Verlauf des Graphen sind folgende Punkte für jede Expoentialfunktion gültig:
1. Alle Graphen einer beliebigen Exponetialfunktion gehen durch den Punkt (0,1)
15

2. Der Graph steigt für Basen, die größer sind als 1, steigt der Graph für x, welche größer
1 sind, streng monoton an.
3. Für x-Werte, die kleiner sind als 0 nähert sich der Graph immer mehr der x- Achse
an, erreicht sie aber nie ganz. Somit hat eine normal verlaufende Exponetialfunktion
keine Nullstellen.
6 Der Zusammenhang von folgenden Graphen
Dieser Zusammenhang ist vorallem in Bezugnahme auf den Graphen der Funktionen und
deren Symetrie zueinander von höchstem Interesse. Wir beleuchten diesen Zusammenhang
nun mit den Mitteln unserer bisherigen Algebra.Ausgegangen wird dabei von den Funktionen
f(x) = a x
und
g(x) = ( 1 a )x
Betrachten wir nun die erste Funktion für x Werte, welche kleiner Null sind: Dann ergibt
sich folgendes Bild:
f(x) = a −x = 1 a x = (1 a )x
Wir haben mit dieser Überlegung nun allgemein bewiesen, daß die Funktionswerte von negativen
x-Werten der Funktion f(x) mit den Funktionswerten von positiven x-Werten der
Funktion g(x) übereinstimmen. Damit können wir folgende Symetriegleichung erstellen:
f(−x) = g(x)
Diese Gleichung ist Ausdruck für die Achsensymetrie bezüglich der y-Achse. Damit haben
wir erkannt, daß die Funktionsgraphen der Funktionen g(x) und f(x) durch Spiegelung an
der y-Achse voneinander hervorgehen. Technische Beispiele für beide Funktionstypen finden
wir in Physik und Biologie wieder. In der Biologie kennt man das sogenannte exponetielle
Wachstum, welches sich darauf bezieht, daß sich z.B. eine Bakterienkultur in einem bestimmten
Zeitintervall sich verdoppelt. In der Physik ist hier für die Funktionstype g(x) folgendes
Beispiel zu nennen. Dabei geht man davon aus, daß ein radioaktiver Stoff in gleichen Zeitintervall
seine Strahlung um jeweils den gleichen Bestandteil verringert. Die Zeit, an welcher
nur noch die Hälfte des radioaktiven Stoffes vorhanden ist, nennt man die Halbwertszeit. Sie
beträgt bei Radium ca 1600 Jahre.
7 Einfache Exponetialgleichungen
Diese Gleichungsart kann man anschaulich zunächst einmal mit der Nullstellensuche einer
verschobenen, allgemeinen Exponentialfunktion ansehen. Diese Gleichungen haben meist
16

folgendes Aussehen.
3 x + 7 = 72 x
Die erste Lösungsart, die hier ausgeführt wird ist die sogenannte Substitutionslösung. Wir
formen wie folgt nach den Potenzgesetzen um:
3 x + 7 = 8 · 9 x
gleichbedeutend mit
3 x + 7 = 8 · (3 x ) 2
Nun ersetzen wir den Term 3 x mit m. Damit ergibt sich
m + 7 = 8m 2
Diese quadratische Gleichung lösen wir mittels Lösungsformel oder quadratischen Ergänzung
auf und erhalten:
m = 1
oder
m = − 7 8
Nun machen wir die Substitution rückgängig und erhalten:
3 x = 1
damit nach Definition x= 0. Ein anderes Verfahren wäre die Lösung über Gleichheit der
Basen. . Diese Lösungsart basiert auf dem Monotoniegesetz.
2 x + 16 = 4 x
Alle vorkommenden Zahlen in dieser Gleichung sind 2er Potenzen und können folgendermaßen
umgeformt werde:
2 x + 2 4 = 2 2x
Nun können wir über das Monotoniegesetz nur die Exponentengleichung lösen:
damit ist
x + 4 = 2x
x = 4 3
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A Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Algebra und zum Kapitel
1 Geometrie
B Aufgaben zum Kapitel 1 Algebra
1. Vereinfache folgenden Term mit den dir bekannten Rechen- und Potenzgesetzen
( a−m−5 · b m−6 a
a m−4 · b −m−9 )−2 : (
b 2m+1 )2 =
2. Vereinfache mittels den Gesetzen zur Bruchrechnung und Potenzrechnung den folgenden
Term
−4x 2n
x 2n − y − xn − y n
2n x n + y + xn + y n
n x n − y = n
3. Klammere geschickt aus und vereinfache weiter:
x n+2 + 2x n+1 − x n
x n + am+6 + a m+4 − a m+2
a m+2 =
4. Führe folgende Polynomdivisionen mittels der dir bekannten Methode durch
a)
b)
c)
(3a 2 + 6a 2 b + 9a 2 c + 2ab 2 + 4b 3 − abc + 4b 2 c − 3bc 2 ) : (a + 2b + 3c) =
(12a 6 − 14a 5 + 44a 3 − 58a 2 − 8a + 24) : (4a 2 + 2a − 6) =
( 1 4 m4 − 13
24 m3 + 1 3 m2 − 17
72 m + 1 6 ) : (1 3 m − 1 2 ) =
C Aufgaben zum Kapitel 1 Geometrie
1. München bewegt sich in 24 Stunden auf einem Kreis mit 4260 km Radius um die
Erdachse. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit von München bei dieser Bewegung
2. Die Erde bewegt sich in einem Jahr um die Sonne auf einer kreisähnlichen Bahn mit
dem Radius 150 Mio. Kilometer. Wie groß ist ihre Bahngeschwindigkeit in der Einheit
Kilometer/Sekunde.
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3. Berechne die fehlenden Stücke des Kreissektors
a b c d e
r 5 5
α 1 1 45 60
b 1 1 π/2 5
Berechne zu den Aufgaben a bis e auch jeweils die Sektorenfläche.
4. Die Erde hat einen Radius von etwa 6370km.
a) Wie lange ist der Äquator
b) Nehmen wir an, der Äquator ist 40000 km lang. Wir verlängern das Seil um einen
Kilometer. Wie breit ist jetzt der Abstand zwischen Erde und Seil
5. Der große Zeiger einer Uhr ist 4cm, der kleine ist 3cm lang.
a) Welchen Gesamtweg haben die beiden Zeiger in einer Stunde zurückgelegt
b) Welche Gesamtfläche überstreichen dabei die Zeiger
6. Der Umfang eines kreisförmigen Teiches ist 150m.
a) Wie groß ist seine Fläche
b) Um diesen Teich führt ein 2m breiter Weg. Bestimme seine Fläche.
c) Stelle eine allgemein gültige Formel zur Berechnung eines Kreisringes auf.
7. Beweise, daß die drei schraffierten Flächen von Figur 1 genau so groß sind wie das von
ihnen eingeschlossene, rechtwinklige Dreieck.
8. Berechne den schraffierten Flächeninhalt von Figur 2 allgemein.
D Algebraische Gleichungen höheren Grades
In diesem Kapitel wollen wir die Lösungsmöglichkeiten einer Gleichung des Typs
ax n + bx n−1 + cx n−2 + ... + mx + l = 0
befassen. Derartige Gleichungen kennen wir jetzt nur bis n=2. Dies ist natürlich sehr wenig.
Da aber auch Gleichungen mit n> 2 zu lösen sind, müssen wir auch neue Lösungsverfahren
erschließen. Allerdings gibt es für solche Gleichungen keine so kompakten Lösungsformeln
wie für die quadratischen Gleichungen. Aber man kann dem mit einem Griff aus der mathematischen
Trickkiste Abhilfe verschaffen, wir werden in den nächsten Schritten sehen,
wie genau. Wenn wir uns an die Herleitung des Monotoniegesetzes denken, dann haben wir
damals, zwar mit anderen Symbolen folgende Formel hergeleitet:
(x − x 0 ) · (r 1 x n−1 + r 2 x n−2 + ... + r n )
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Bei x 0 handelt es sich um eine Lösung der vorliegenden Gleichung, welche man mittels
gezieltem Raten erhält. Somit haben wir im Grundschema folgende Zerlegugsmöglichkeit:
P olynom = (x − x 0 ) · Restpolynom
Dabei ist das Restpolynom genau um einen Grad nidriger als das vorgegebene Polynom.
Damit haben wir aber eine Möglichkeit, durch diese Produktzerlegung die Gleichung an
sich auf ein niedrigeres n erabsetzen zu können. Das Restpolynom dabei ist durch die in
Kapitel 1.3 angesprochene Polynomdivision zu erreichen. Eine geometrische Deutung dieser
Gleichungen ist folgende: Es handelt sich um Nullstellen der Funktion
f(x) = ax n + bx n−1 + ... + l
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Aufgaben zur Logarithmusdefinition
Die folgenden Aufgaben sollen den Umgang mit der neuen Definition einüben.
1. Bestimme mittels Logarithmusdefinition und dir bekannten Gesetzmäßigkeiten den
Wert folgender Logarithmen.
a)
log 5 √ a
3√
8a3 =
b)
log a 4
1
a b =
c)
log e
3 √ e =
d)
log 2 4096 =
e)
log 3
1
9 =
2. Bestimme in folgenden Gleichungen die Variable x
a)
b)
c)
log x 27 = 3
log x
a 3
a 6 b 3 = 2
log x
3 √ a 5 = a 2
d)
3 log 3 1 9 = x
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