Ãœbungen zu ELEKTROTECHNIK I ... - MontanuniversitÃ¤t Leoben

Literatur: 

INSTITUT FÜR ELEKTROTECHNIK 

DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING 

MONTANUNIVERSITÄT LEOBEN 

UNIVERSITY OF LEOBEN, AUSTRIA 

Franz-Josef-Straße 18 

A-8700 Leoben 

Österreich, Austria 

Tel.:+43/(0)3842/402/311 

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e-mail: etechnik@notes.unileoben.ac.at 

Vorstand: O.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Helmut Weiß 

Übungen zu ELEKTROTECHNIK I 

Laborunterlagen 

Version: 3.1 

02 / 2003 

Dipl.-Ing. Dr. mont. Andreas Schmidhofer 

[1] Weiß, H.: Vorlesungsunterlagen zu „Elektrotechnik I“, Institut für Elektrotechnik, 

Montanuniversität Leoben. 

[2] Krikava F., Ruhswurm H., Seiser J.: Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1 und 

Band 2, R. Oldenbourg Verlag, Wien, 1990. 

Institut für 

Elektrotechnik

Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.1, 02/2003 


0 Inhalt der Laborübungen 

Es werden insgesamt acht verschiedene Übungen angeboten. 

Die Anzahl der zu absolvierenden Übungen hängt von der Anzahl der 

Semesterwochenstunden ab, die laut Studienplan vorgesehen sind: 

• Sechs Übungen für die Studienrichtungen B, IU, K, M, Mm, PE, W 

• Acht Übungen für die Studienrichtung G 

Die Termine für die Übungen sind im Aushang am Institut für Elektrotechnik und auf der 

Homepage angekündigt, wobei die Einteilung entsprechend der Übungsanzahl, dem 

Übungsinhalt und der Gruppe aus den reservierten Terminen (max. 8) laut Übungsplan 

erfolgt. Der Aushang dieser genauen Einteilung steht erst nach der Sicherheitsbelehrung zur 

Verfügung. 

Die vorliegenden Unterlagen beinhalten die Lehrinhalte für das SS2003 und sind daher nur für 

diesen Zeitraum gültig. Die Unterlagen sind auch auf der Institutshomepage als pdf- Files 

verfügbar. 

0.1 Übersicht der Übungsinhalte 

Übung 1: " Elektrische Messtechnik, Messung von Widerständen" 

Bestimmung von Widerstandswerten mit der Anwendung 

- der strom-, bzw. spannungsrichtigen Messung 

- eines Digitalmultimeters 

- der Farbcodierung 

- Gleichstrom- Messbrücke 

Übung 2: "Oszilloskop, Schaltvorgänge" 

Ein- und Ausschaltvorgänge von R-C bzw. R-L Netzwerken 

- Messung des Spannungs- und Stromverlaufes 

- Bestimmung der Zeitkonstanten 

Übung 3: "R-L und R-C Netzwerke" 

Netzwerke bestehend aus Widerständen und Induktivitäten sowie aus Widerständen und 

Kondensatoren 

- Strom- und Spannungsmessungen 

- Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetze 

- Rechnerische Überprüfung der Messwerte 

Seite 0.2 von 6



Übung 4: "Elektronik: Operationsverstärker- Grundschaltungen" 

Invertierende und nicht- invertierende Operationsverstärker (OPV)- Grundschaltung. 

- Aufnahme des Amplituden – und Phasengangs 

- Darstellung der Messwerte im logarithmischen Maßstab 

- Handhabung des Oszilloskops 

Übung 5: "Leistungsmessung im Dreileiter- und Vierleitersystem" 

Messung der Schein- Wirk- und Blindleistung von symmetrischen und unsymmetrischen 

Verbrauchern: 

- Messung mit drei Wattmeter, 

- Zwei-Wattmeter-Methode (Aron- Schaltung) 

- Messung mit einem Wattmeter 

Bestimmung des Leistungsfaktors 

Übung 6: "Resonanzkreise" 

Serien- und Parallelresonanzkreis 

- Messung der Spannungen und Ströme 

- Bestimmung der Resonanzfrequenz 

Übung 7: "Leistungsmessung im Einphasennetz" 

Messung der Schein- Wirk- und Blindleistung von einphasigen Verbrauchern: 

- Messung mit einem Wattmeter 

- Bestimmung des Leistungsfaktors 

- Kompensation 

Übung 8: "Magnetismus" 

Messung der Flussdichte 

Messung der Hysterese- Kurve 

Seite 0.3 von 6



0.2 Vorausgesetzte Kenntnisse 

Für ALLE ÜBUNGEN werden die Kenntnisse der 

Kapitel 1.1 ... 1.5 

Kirchhoff’sche Gesetze, Ohm’sches Gesetz, Serien- und Parallelschaltung von 

Widerständen, 

Spannungsquellen 

Kapitel 4 

Elektrische Messgeräte 

Kapitel 6 

Elektrische Energieverteilung, Sicherheitstechnik 

vorausgesetzt. 

Weiters werden noch folgende Kapitel für die jeweiligen Übungen vorausgesetzt: 

Übung Titel Kapitel 

Übung 1 Elektrische Messtechnik, Messung von 

Widerständen 

Übung 2 Oszilloskop, Schaltvorgänge 1.6 

Übung 3 R-L und R-C Netzwerke 2.1, 2.2, 2.3 

Übung 4 Elektronik - Operationsverstärker- 

Schaltungen 

Übung 5 Leistungsmessung im Dreileiter- und 

Vierleitersystem 

Übung 6 Resonanzkreise 2 

Übung 7 Leistungsmessung im Einphasennetz 3.2, 2.5 

Übung 8 Magnetismus 7 

Seite 0.4 von 6 

3.1 

5 

3.2



0.3 Inhaltsverzeichnis 

Kapitel 1 

1 Gleichstrom............................................................................................................1 

1.1 Kirchhoff’sche Gesetze....................................................................................1 

1.1.1 1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel) ...................................................1 

1.1.2 2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel)................................................2 

1.2 Ohm’sches Gesetz ..........................................................................................2 

1.3 Serienschaltung von Widerständen .................................................................3 

1.4 Parallelschaltung von Widerständen................................................................5 

1.5 Spannungsquellen ...........................................................................................8 

1.6 Schaltvorgänge................................................................................................9 

1.6.1 Allgemeines ...............................................................................................9 

1.6.2 Schaltvorgänge an einer Induktivität („Spule“) .........................................10 

1.6.3 Schaltvorgänge an einer Kapazität („Kondensator“) ................................15 

1.6.4 Allgemeine Erklärungen...........................................................................20 

1.6.5 Mess - Schaltung .....................................................................................22 

Kapitel 2 

2 Wechselstromkreise ..............................................................................................1 

2.1 Einführung komplexer Zeiger...........................................................................1 

2.1.1 Komplexe Spannung, komplexer Strom.....................................................1 

2.1.2 Komplexe Impedanz Z...............................................................................4 

2.1.3 Komplexe Admittanz Y...............................................................................5 

2.1.4 Komplexe Scheinleistung S .......................................................................5 

2.2 Einzelne komplexe Impedanzen für R, L, C.....................................................7 

2.3 Schaltungen von zwei komplexe Impedanzen.................................................8 

2.4 Schaltungen mit R, L und C Elementen - Resonanzkreise ....................12 

2.4.1 Reihenschaltung von R, L und C .............................................................12 

2.4.2 Parallelschaltung von R, L und C.............................................................15 

2.5 Blindleistungskompensation ..........................................................................18 

Kapitel 3 

3 Messtechnik ..........................................................................................................1 

3.1 Messung von Widerständen ...........................................................................1 

3.1.1 Strom- / Spannungsmethode ...................................................................1 

3.1.2 Widerstandscodierung .............................................................................4 

3.1.3 Messbereichserweiterung ........................................................................5 

3.1.4 Gleichstrom- Messbrücke (Wheatstone-Brücke)......................................7 

3.1.5 Wechselstrom-Messbrücke......................................................................9 

3.2 Leistungsmessung........................................................................................10 

3.2.1 Einphasiger Verbraucher .......................................................................10 

3.2.2 Dreiphasiger Verbraucher......................................................................11 

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Kapitel 4 

4 Elektrische Messgeräte .........................................................................................1 

4.1 Allgemeines .....................................................................................................1 

4.1.1 Fehler bei analogen Messgeräten .............................................................1 

4.1.2 Fehler bei digitalen Messgeräten...............................................................3 

4.2 Analoge Messgeräte........................................................................................3 

4.2.1 Drehspul-Messgerät...................................................................................3 

4.2.2 Drehspul-Galvanometer.............................................................................7 

4.2.3 Dreheisen- Messgerät................................................................................7 

4.2.4 Elektrodynamisches Messgerät .................................................................9 

4.3 Digitale Messgeräte .......................................................................................12 

4.3.1 Digital-Multimeter (DMM) .........................................................................12 

4.3.2 Digitales Wattmeter .................................................................................12 

4.4 Oszilloskope ..................................................................................................13 

4.4.1 Analog- Oszilloskope ...............................................................................13 

4.4.2 Digital- Oszilloskope ................................................................................13 

4.4.3 Tastkopf, Tastteiler ..................................................................................17 

4.4.4 Erdungsproblematik bei Oszilloskopen....................................................19 

Kapitel 5 

5 Elektronik - Operationsverstärkerschaltungen .......................................................1 

5.1 Funktion des Operationsverstärkers...............................................................1 

5.2 Lineare Anwendungen...................................................................................3 

5.2.1 Nicht-invertierender Verstärker ................................................................4 

5.2.2 Spannungsfolger (Impedanzwandler) ......................................................5 

5.2.3 Invertierender Verstärker ........................................................................6 

5.3 Nichtlineare Anwendungen.............................................................................9 

5.3.1 Komparator ..............................................................................................9 

5.3.2 Schmitt- Trigger (Schwellwert-Schalter).................................................10 

5.3.3 Astabiler Multivibrator............................................................................12 

Kapitel 6 

6 Elektrische Energieverteilung, Sicherheitstechnik .................................................1 

6.1 Elektrische Energieverteilung ..........................................................................1 

6.2 Schutzmaßnahmen in Elektrischen Netzen .....................................................3 

6.2.1 „5 Sicherheitsregeln“..................................................................................3 

6.2.2 Berühren spannungsführender Teile .........................................................3 

6.2.3 Schutz vor indirektem Berühren.................................................................4 

6.2.4 Überstrom- Schutzeinrichtungen ...............................................................7 

Kapitel 7 

7 Magnetismus .........................................................................................................1 

7.1 Grundlagen magnetischer Kreise.........................................................................1 

7.2 Aufnahme der Hysteresekurve .................................................................................4 

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1 Gleichstrom 

1.1 Kirchhoff’sche Gesetze 


Die Berechnung von verzweigten Stromkreisen erfolgt im einfachsten Fall durch Anwendung 

der beiden Kirchhoff’schen Gesetze. Für die Erläuterung der beiden Gesetze betrachten wir 

folgendes beispielhafte Schaltbild: 

U B 

U 1 

R 1 

U 2 

Abb. 1.1 

I 1 


(1) 

I 2 I 3 I 4 

R 2 R 3 R 4 

1.1.1 1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel) 

Ii 

= 0 

(1.1) 

Die Summe aller an einem Stromverzweigungspunkt („Knotenpunkt“) zufließenden 

und aller wegfließenden Ströme ist gleich Null. 

Hierbei werden zur Festlegung einer Bezugsrichtung die zufließenden Ströme mit positivem 

Vorzeichen („+“), und die wegfließenden Ströme mit negativem Vorzeichen 

(“-“) eingesetzt. 

Für den in Abb. 1.1 dargestellten Knoten (1) gilt folgende Gleichung:



I − I − I − I = 0 

(1.2) 

1 

2 

3 

4 

1.1.2 2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel) 

Für dieses Gesetz werden die Maschen eines elektrischen Netzwerkes betrachtet, womit ein 

beliebiger, über die Zweige des Netzwerkes geschlossener Weg bezeichnet wird. 

U 

i 

= 0 

(1.3) 

Die Summe aller in einer Masche wirkenden Spannungen ist gleich Null. 

Vorgehen bei der Festlegung einer Zählpfeilrichtung: 

1. Alle Spannungsquellen der betreffenden Masche erhalten einen vom positiven Anschluss 

(+) zum negativen Anschluss (-) weisenden Spannungszählpfeil. 

2. Die Ströme in den einzelnen Zweigen der Masche erhalten willkürlich gewählte Zählpfeile. 

3. Alle passiven Verbraucher erhalten Spannungszählpfeile in der selben Richtung wie der 

durch den betreffenden Verbraucher fließende Strom („Verbraucher-Zählpfeilsystem“). 

4. Es wird ein beliebiger Umlaufsinn als positive Umlaufrichtung festgelegt. 

5. Gemäß obiger Maschenregel wird nun die Summe aller Spannungen dieser Masche 

gebildet, wobei alle Spannungen in Richtung der gewählten Umlaufrichtung positiv, und 

alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen negativ einzusetzen sind. 

Für die in Abb. 1.1 strichliert eingezeichnete Masche gilt folgende Gleichung: 

− + U + U = 0 

(1.4) 

UB 2 1 

Wenn sich aufgrund der rechnerischen Auswertung der Kirchhoff´schen Gesetze eines 

Netzwerkes negative Werte für Ströme oder Spannungen ergeben, bedeutet dies nicht 

zwangsläufig einen Rechenfehler, sondern lediglich, dass die betreffende Zählpfeilrichtung 

eben in „falscher“ Richtung angenommen wurde, und daher die tatsächliche Richtung 

entgegen der angenommenen ist. 

1.2 Ohm’sches Gesetz 

U 

I = (1.5) 

R 

Der durch einen Verbraucherwiderstand R fließende Strom I ist umso größer, je 

größer die treibende Spannung U und je kleiner der - den Stromfluss bremsende - 

Widerstand R eines Verbrauchers ist. 

Seite 1.2 von 22



1.3 Serienschaltung von Widerständen 

U B 

I 

R 1 R 2 R 3 

U 1 U 2 U 3 

Abb. 1.2 

Ausgehend von Gleichung (1.3) folgt als Maschengleichung für Abb.1.2: 

− + U + U + U = 0 

(1.6) 

UB 2 1 3 

UB 1 2 3 

= ( IR 

) + ( IR 

) + ( IR 

) 

(1.7) 

Mit B IR 

Ges 

U = folgt: R = ( IR 

) + ( IR 

) + ( IR 

) 

I Ges 1 2 3 

Die Division durch I liefert den Gesamtwiderstand der Serienschaltung: 

R = R + R + R 

(1.8) 

Ges 

1 

2 

Spannungsteiler - Regel 

3 

Es ist offensichtlich, dass bei einer Serienschaltung von Elementen durch jedes Element 

derselbe Strom I fließt. 

I = I = I = I 

(1.9) 

R 

1 

R 

2 

R 

3 

Daraus folgt unmittelbar die Aufteilung der Gesamtspannung gemäß folgender 

„Spannungsteiler-Regel“: 

U 

R 

U 

U 

U 

B 1 2 3 

= = = 

(1.10) 

ges R1 

R 2 R3 

Seite 1.3 von 22



„Die Gesamtspannung durch den Gesamtwiderstand ist gleich der Teilspannung 

durch den Teilwiderstand“. 

Daraus erhält man z.B. für die Teilspannung U 2 : 

U 

2 

R 2 

= UB 

(1.11) 

R 

Ges 

•= Unbelasteter Spannungsteiler: 

Die Abb. 1.3 zeigt nochmals das Schaltbild eines unbelasteten Spannungsteilers und die 

zugehörige Formel zur Berechnung der Ausgangsspannung U2 des Spannungsteilers (z.B. 

die Teilspannung am Widerstand R2). 

U 

2 

ges 

U 1 

R 1 

R 2 

Abb. 1.3 

R 2 R 2 

= UB 

= UB 

(1.12) 

R R + R 

•= Belasteter Spannungsteiler: 

1 

2 

In Abb. 1.4 ist an den Anschlüssen der Ausgangsspannung U2 eine Last (in diesem Beispiel 

ein Ohm’scher Widerstand R3) angeschlossen. Nun gilt nicht mehr die oben angeführte, 

einfache Formel des unbelasteten Spannungsteilers, vielmehr muss auch der 

Ausgangsstrom I2 durch den Widerstand R3 berücksichtigt werden. 

In dem in Abb. 1.4 gezeigten Beispiel ist folglich für die Teilspannung U2 der Teilwiderstand 

R23 bestehend aus der Parallelschaltung von R2 und R3 zu berücksichtigen, wodurch sich die 

Gleichung (1.13) ergibt. 


U 2


U 

2 

U 1 

R 1 


R 2 

Abb. 1.4 

R 23 

= 

R ges 

R 23 

UB 

= UB 

R 23 + R1 

R 2 R3 

R 2 + R3 

= 

UB 

R 2 R3 

+ R1 

R + R 

(1.13) 

2 

3 


I 2 

U 2 

1.4 Parallelschaltung von Widerständen 

U B 

I ges I1 I 2 I 3 

U1 U2 U3 R1 R2 R3 U B 

R 3 

Abb. 1.5 Abb. 1.6 

I ges I1 I 2 I 3 

U1 U2 U3 R1 R2 R3 Die Schaltung in Abb. 1.6 ist identisch zur Schaltung in Abb. 1.5, lediglich mit einer 

veränderten Zeichnungsweise für die Knoten, um die später angeführte Knotengleichung 

klar zu erkennen. 

Ausgangspunkt sind die drei Maschengleichungen: 

UB B 

− U1 

= 0 → U = U1 

(1.14) 

UB B 

− U2 

= 0 → U = U2 

(1.15) 

UB B 

− U3 

= 0 → U = U3 

(1.16)


Mit dem Ohmschen Gesetz folgt: 

U = I 

1 

2 

1 

U = I 

U = I 

3 

B 

2 

3 

U = I 

R 

1 

R 

R 

Ges 

2 

3 

R 

Ges 

B 

1 

R1 


U 

I = (1.17) 

U 

I = (1.18) 

B 

2 

R 2 

U 

I = (1.19) 

B 

3 

R3 

U 

I = (1.20) 

B 

Ges 

RGes 

Durch Einsetzen in die Knotengleichung 

I = I + I + I 

(1.21) 

Ges 

folgt: 

U 

R 

1 

U 

2 

3 

U 

U 

B B B B 

= + + 

(1.22) 

Ges R1 

R 2 R3 

Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung berechnet sich mit 

R 

Ges 

1 

2 

3 


1 

R 

Ges 

1 1 1 

= + + zu 

R R R 

1 

= 

1 1 1 

(1.23) 

+ + 

R R R 

Vereinfachung für zwei parallele Widerstände: 

R 

R 

1 2 

RGes = (1.24) 

R1 

+ R 2 

Daraus ergibt sich bei Parallelschaltung von Widerständen ein Gesamtwiderstand 

RGes, welcher kleiner ist als der kleinste der parallel geschalteten Einzelwiderstände. 

Beispiel: Parallelschaltung von zwei gleichen Widerständen (R1 = R2 = R) 

R 

RGes = 

2 

1 

2 

3


Stromteiler - Regel 


Aus Abb. 1.5 ist ersichtlich, dass bei einer Parallelschaltung von Elementen an jedem 

Element dieselbe Spannung U anliegt. 

U = U = U = U 

(1.25) 

B 

R 

1 

R 

2 

R 

3 

Daraus folgt unmittelbar die Aufteilung des Gesamtstromes gemäß folgender „Stromteiler- 

Regel“: 

IGes RGes 

= I R = I R = I R 

(1.26) 

1 

1 

2 

2 

3 

3 

„Gesamtstrom mal Gesamtwiderstand ist gleich dem Teilstrom mal Teilwiderstand“. 

Daraus erhält man z.B. für den Teilstrom I2: 

R 

I2 

= (1 27) 

R 

ges 

Iges 

2 

Rechnung mit Leitwerten 

Der Leitwert G eines ohmschen Elements ist der Kehrwert des Widerstandes R: 

1 I 

G = 

R U 

= ... Einheit: Siemens [S] = [Ω -1 ] (1.28) 

Je kleiner der Widerstand ist, desto größer ist dessen Leitwert, bzw. Strom-Leitfähigkeit und 

der Strom durch diesen Widerstand (bei gegebener Spannung). 

Der Gesamtleitwert der Parallelschaltung berechnet sich mit: 

1 

GGes 

= G1 

+ G2 

+ G3 

= 

(1.29) 

R 

Ges 

Bei Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Leitwerte. 

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1.5 Spannungsquellen 


Eine ideale Spannungsquelle stellt eine konstante, vom fließenden Laststrom unabhängige 

Spannung Uq zur Verfügung. 

U q 

R i 

U Ri 

Abb. 1.8 

Jede reale Spannungsquelle (z.B. Batterie) weist jedoch durch ihren nicht idealen inneren 

Aufbau einen Innenwiderstand Ri auf, welcher als Serienwiderstand dargestellt wird (siehe 

Abb. 1.8). Die von der Spannungsquelle an ihren Anschlüssen („Klemmen“) dem 

Lastwiderstand RL (z.B. Glühbirne) zur Verfügung gestellte „Klemmenspannung“ Ukl ist also 

um den Spannungsabfall URi, welcher durch den Strom I an Ri hervorgerufen wird, kleiner 

als die nominelle „Quellenspannung“ Uq der Spannungsquelle. 

U = U − U 

(1.30) 

kl 

q 

R 

i 

Die Größe dieser - die abgegebene Klemmenspannung Ukl vermindernden - Spannung URi 

ist über das ohmsche Gesetz 

U = IR 

(1.31) 

i 

R 

i 

direkt proportional zum fließenden Laststrom I. 

U = U − IR 

(1.32) 

kl 

q 

i 

Je größer der vom Verbraucher RL aufgenommene Strom I ist, desto kleiner wird die von der 

Spannungsquelle abgegebene Klemmenspannung Ukl an ihren äußeren Klemmen k und l 

(„die Spannung geht bei Belastung in die Knie“). 

k 


l 

U kl 

I 

R L


1.6 Schaltvorgänge 

1.6.1 Allgemeines 


Schaltvorgänge sind Einschwingvorgänge beim Ein- oder Ausschalten von Verbrauchern an 

einer Gleichspannungsquelle. Es muss hier mit - zeitabhängigen - Differenzialgleichungen 

gerechnet werden, da die komplexe Wechselstromrechnung nur für sinusförmige Vorgänge 

angewendet werden kann (siehe Kap. 2.1). 

Die Anzahl der unabhängigen Speicherelemente (L, C) in der Schaltung entspricht der 

Ordnung der entstehenden Differenzialgleichung - in unseren Fällen handelt es sich um ein 

Element (L oder C), so dass sich Differenzialgleichungen 1. Ordnung ergeben. 

Regeln für das Aufstellen der Differenzialgleichungen 

Bei Schaltvorgängen an Induktivitäten wird die Differenzialgleichung für den Strom i(t) durch 

die Schaltung aufgestellt, da bei Induktivitäten der Strom i(t) keine Unstetigkeiten aufweist 

(siehe Abb. 1.12 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte 

Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung 

(siehe Kap. 1.6.2). 

Bei Schaltvorgängen an Kapazitäten wird die Differenzialgleichung für die Spannung uC(t) an 

der Kapazität aufgestellt, da bei Kapazitäten die Spannung uC(t) keine Unstetigkeiten 

aufweist (siehe Abb. 1.16 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte 

Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung 

(siehe Kap. 1.6.3). 

Die nachfolgend beschriebenen Schaltvorgänge stellen den allgemeinen Fall von 

unterschiedlichen Widerständen (R1, R2) und somit unterschiedlichen Zeitkonstanten (τ1, τ2) 

im Lade- und im Entladekreis dar. 

Vorbemerkungen: 

Der Zählpfeil für i(t) wurde für das Laden (siehe Abb. 1.10, bzw. Abb. 1.14) und für das 

Entladen (siehe Abb. 1.11, bzw. Abb. 1.15) jeweils in derselben Richtung durch L, bzw. C 

gewählt, so dass ein unmittelbarer Vergleich der Stromrichtung durch L, bzw. C vor und 

nach dem Umschalten (Zeitpunkt t1) in der Darstellung des zeitlichen Verlaufs von i(t), bzw. 

uC(t) in der Übersicht der Abb. 1.12 und Abb. 1.16 möglich ist. 

Der Zählpfeil für uR2(t) im Entladekreis von L, bzw. C (siehe Abb. 1.11 und Abb. 1.15) wurde 

so gewählt, dass er in die selbe Richtung wie der durch R2 fließende Strom i(t) während des 

Entladens zeigt (übliches Zählpfeilsystem für Verbraucher: gleiche Richtung von 

Spannungszählpfeil und Stromzählpfeil). 

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1.6.2 Schaltvorgänge an einer Induktivität („Spule“) 

+ 

U E 

_ 

R 1 

u R1 (t) 

+ 

U E 

_ 

i(t) 

u L (t) 

R 1 0 

1 

u R1 (t) 

L 

S 

L 

i(t) 

Abb. 1.9 

2 


u L (t) 

L 

i(t) 

R 2 

u R2 (t) 

u L (t) 

Abb. 1.10 Abb. 1.11 

R 2 

u R2 (t) 

In Abb. 1.9 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Induktivität L 

gezeigt. 

Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in 

Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.10 dargestellte Schaltkreis ergibt. 

Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in 

Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.11 ergibt. 

Einschalten einer Induktivität (Aufladen) 

Die Maschengleichung lautet: 

u 

L 

( t) 

+ u ( t) 

= U 

(1.33) 

R 

1 

E 

mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Induktivität



di( 

t) 

uL ( t) 

= L 

(1.34) 

dt 

und am Ohm’schen Widerstand 

u R 1 

1 ( t) 

= R i( 

t) 

(1.35) 

Daraus ergibt sich für i(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

di( 

t) 

L + R1 

i( 

t) 

= UE 

(1.36) 

dt 

mit der Randbedingung: 

U∞ 

UE 

i ( t = ∞) 

= I∞ 

= = 

(1.37) 

R R 

1 

1 

Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt: 

t � − U � 

E 

= 

� τ1 

i ( t) 

1− 

e 

R � 

(1.38) 

1 � 

wobei die Zeitkonstante mit der Definition 

L 

τ := 

(1.39) 

1 

R1 

errechnet wird. 

Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität 

u 

L 

− 

− 

di( 

t) 

U � 1 � 

E � � 

� 

τ U 

1 E R1 

τ1 

( t) 

= L = L − 

= 

� � 

�− 

� 

� e L e 

dt R1 

� � τ1 

R1 

L 

t 

− 

τ 

t 

1 

u ( t) 

= U e 

(1.40) 

L 

E 

Bestimmung der Spannung uR1(t) am Widerstand R1: 


t



t � − � 

� τ1 

u R ( t) 

= R = 1− 

1 1 i( 

t) 

UE 

e 

� 

(1.41) 

� 

u ( t) 

+ u ( t) 

= U , bzw. ( t) 

= U − u ( t) 

Probe: L R E 

1 

u E L 

R 1 

... die Summe der Spannungen uR1(t) und uL(t) ergibt UE (= konstant). 

Ausschalten einer Induktivität (Entladen) 


u 

L 

( t) 

+ u ( t) 

= 0 

(1.42) 

R 

2 

mit Gleichung (1.34) sowie mit 

u R 2 

2 

( t) 

= R i( 

t) 

(1.43) 

ergibt sich für i(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

di( 

t) 

L + R2 

i( 

t) 

= 0 

(1.44) 

dt 

Randbedingung: 1 1 

i ( t = t ) = I aktueller Strom durch L beim Beginn des Entladens. 

Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist: 

2 i ( t) 

= I e 

(1.45) 

1 

t 

− 

τ 

wobei die Zeitkonstante 

L 

τ 2 := 

(1.46) 

R 

2 

beträgt. 

Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität: 

u 

L 

( t) 

di( 

t) 

= L = L I 

dt 

1 

t 

� 1 � − 

− 

τ R 

2 

2 τ 

� 

�− 

e = −L 

I1 

e 

� τ2 

L 

2 

2 

u ( t) 

= − I R e = U e 

(1.47) 

L 

1 

2 

t 

− 

τ 

1, 

n 

t 

− 

τ 

(Index: U1,n ... U1 unmittelbar nach dem Umschalten) 


t 

2




t 

− 

τ 

2 

u R ( t) 

= R 

2 2 i( 

t) 

= I1 

R 2 e 

(1.48) 

Probe: 

u 

L 

( t) 

+ u ( t) 

= 0 , bzw. ( t) 

= −u 

( t) 

R 

2 

u L 

R 2 

... die Summe der Spannungen uR2(t) und uL(t) ergibt Null. 

U E 

U 1,v 

U 1,n = 

U E /R 1 

I 1 

u L (t), u R1 (t), u R2 (t) 

Einschalten Ausschalten 

τ 1 

= - (I 1 x R 2 ) 

i(t) 

τ 1 

u R1 (t) u R2 (t) 

t 1 

Abb. 1.12 

t 1 


τ 2 

τ 2 

u L (t) 

i(t) 

t 

t



Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass auf Grund unterschiedlicher Widerstände im 

Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall 

ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist. 

Verlauf von uL(t): 

Bei Induktivitäten zeigt der Verlauf von uL(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen 

(= Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Die Spannung springt von dem unmittelbar vor dem 

Umschalten vorhandenen Wert U1,v auf den negativen Wert U1,n unmittelbar nach dem 

Umschalten. 

Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: U1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten. 

Die Spannung uL(t) an der Induktivität startet also beim Beginn des Entladens von einem 

negativen Startwert U1,n , welcher durch den Wert des zum Umschaltzeitpunkt fließenden 

Stromes I1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2 bestimmt wird (siehe 

Gleichung (1.47)). 

Vorsicht beim Entladen mit offenem Entladekreis (R2 = ∞): 

Das Entladen von Induktivitäten muss über einen Widerstand R2 < ∞ erfolgen, der die 

Spannung uL(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Abschalten eines induktiven 

Verbrauchers mit offenen Klemmen ohne parallelem R2 (R2 = ∞) entsteht kurzzeitig eine 

unendlich hohe Spannung an der Induktivität ( uL ( t) 

= −I 

⋅ ∞ nach Gleichung (1.47)), welche 

als Überschlag sichtbar sein und zur Beschädigung des Verbrauchers und der Schaltorgane 

führen kann. 

Erkennbar ist dies z.B. im Haushalt beim Ausschalten induktiver Verbraucher (Heizlüfter, ...) 

durch kurzzeitige Funken am Schalter. 

Ebenso kann durch Spannungsmessung an induktiven Verbrauchern mit digitalen 

Messgeräten beim Ausschalten der induktiven Verbraucher ein Schaden des Messgerätes 

oder ein Auslösen der internen Sicherung durch die kurzzeitig hohe Ausschaltspannung 

verursacht werden. 

Verlauf von uR1(t), uR2(t): 

Die Spannung uR1(t) ist nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur 

während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt 

sein, dass die Summe aus uL(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus 

uL(t) und uR2(t) den Wert Null ergibt. 

Verlauf von i(t): 

Der Strom i(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne Sprungstelle. 

Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei 

Schaltvorgängen an Induktivitäten die Differenzialgleichung für i(t) zu lösen. 

Seite 1.14 von 22



1.6.3 Schaltvorgänge an einer Kapazität („Kondensator“) 

+ 

U E 

_ 

R 1 

u R1 (t) 

+ 

U E 

_ 

R 1 0 

1 

u R1 (t) 

i(t) 

u C (t) 

C 

S 

C 

i(t) 

Abb. 1.13 

2 


u C (t) 

C 

i(t) 

R 2 

u R2 (t) 

u C (t) 

Abb. 1.14 Abb. 1.15 

R 2 

u R2 (t) 

In Abb. 1.13 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Kapazität C 

gezeigt. 

Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in 

Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.14 dargestellte Schaltkreis ergibt. 

Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in 

Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.15 ergibt. 

Einschalten einer Kapazität (Aufladen) 


u 

C 

( t) 

+ u ( t) 

= U 

(1.49) 

R 

1 

E 

mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Kapazität 

duC 

( t) 

i( 

t) 

= C 

(1.50) 

dt


und am Ohm’schen Widerstand 

u 


duC 

( t) 

( t) 

= R1 

i( 

t) 

= R C 

(1.51) 

dt 

R1 1 

Daraus ergibt sich für uC(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

du ( t) 

+ 1 UE 

(1.52) 

dt 

C 

u C( 

t) 

R C = 

mit der Randbedingung: ( t = 0) 

= 0 . 

u C 

Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist 

t � − � 

� τ1 

u C( 

t) 

= UE 

1 − e 

� 

(1.53) 

� 

wobei die Zeitkonstante mit 

1 : R1C 

= τ (1.54) 

errechnet wird. 

Bestimmung des Stromes i(t): 

i ( t) 

duC 

( t) 

= C = C U 

dt 

t 

− 

E τ1 

e 

1 

E 

t 

� � 1 �� 

− − 

τ � 1 � 

� � 1 

τ 

= 

� 

� 

� 

− 

� 

� − 

� 

� e C U 

� 

E e 

� � τ1 

� R1 

⋅ C 

U 

i ( t) 

= 

(1.55) 

R 


t 

− 

τ 

1 

u R ( t) 

= R 

1 1 i( 

t) 

= UE 

e 

(1.56) 

u ( t) 

+ u ( t) 

= U , bzw. ( t) 

= U − u ( t) 

Probe: C R1 

E 

uR1 E C 

... die Summe der Spannungen uR1(t) und uC(t) ergibt UE (= konstant). 


t 

1



Ausschalten einer Kapazität (Entladen) 


uC R2 

( t) 

+ u ( t) 

= 0 

(1.57) 

mit Gleichung (1.50) und 

u 

R 2 

( t) 

duC 

( t) 

= R2 

⋅i( 

t) 

= R 2 ⋅ C ⋅ 

(1.58) 

dt 

ergibt sich für uC(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung: 

u 

duC( 

t) 

( t) 

+ R C = 0 

dt 

C 2 

(1.59) 

Randbedingung: C 1 1 

u ( t = t ) = U aktuelle Spannung an C bei Beginn des Entladens 

Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist: 

2 

u ( t) 

= U e 

(1.60) 

C 

1 

t 

− 

τ 

wobei die Zeitkonstante 

τ = C R 

(1.61) 

2 

beträgt. 

2 

Bestimmung des Stromes i(t): 

i ( t) 

du 

− − 

C( 

t) 

� 1 � τ � 1 � 

2 

τ2 

= C = C U1� 

�− 

� 

� e = C U1� 

�− 

e 

dt � τ2 

� R 2 × C 

t 

t 

− 

− 

1 τ2 

τ2 

e = I1, 

n e 

2 

t 

U 

i ( t) 

= − 

(1.62) 

R 

(Index: I1,n ... I1 unmittelbar nach dem Umschalten) 


t 

− 

τ 

2 

u R ( t) 

= R 

2 2 i( 

t) 

= − U1 

e 

(1.63) 

Probe: ( t) 

+ u ( t) 

= 0 ( t) 

= −u 

( t) 

u C 

R 2 

u C 

R 2 

... die Summe der Spannungen uR2(t) und uC(t) ergibt Null. 


t


U E 

U 1 

U E /R 1 = 

I 1,v 

I 1,n = 

u C (t), u R1 (t), u R2 (t) 

i(t) 

=I 0 

τ 1 


Einschalten Ausschalten 

τ 1 

= - U 1 /R 2 

i(t) 

u R1 (t) 

t 1 

Abb. 1.16 

τ 2 

t 1 

τ 2 


u R2 (t) 

u C (t) 

Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass aufgrund unterschiedlicher Widerstände im 

Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall 

ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist. 

Verlauf von i(t): 

Bei Kapazitäten zeigt der Verlauf von i(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen 

(= Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Der Strom springt von dem unmittelbar vor dem 

Umschalten vorhandenen Wert I1,v auf den negativen Wert I1,n unmittelbar nach dem 

Umschalten. 

Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: I1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten. 

t 

t



Der Strom i(t) im Entladekreis startet also beim Beginn des Entladens mit einem negativen 

Startwert I1,n , welcher durch den Wert der zum Umschaltzeitpunkt an der Kapazität 

anliegenden Spannung U1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2 

bestimmt wird (siehe Gleichung (1.62)). 

Vorsicht beim Entladen mit kurzgeschlossenem Entladekreis (R2 = 0): 

Das Entladen von Kapazitäten muss unbedingt über einen Widerstand R2 > 0 erfolgen, der 

den Strom i(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Entladen eines Kondensators 

über einen Kurzschluss (R2 = 0) würde kurzzeitig ein unendlich hoher Strom im Entladekreis 

entstehen ( i(t)= -U1/0, siehe Gleichung (1.56)), welcher zu Beschädigungen führen kann. 

Vorsicht beim Berühren von kapazitiven Verbrauchern kurz nach dem Abschalten: 

Weiters erkennt man, dass das Absinken der Spannung uC(t) am Kondensator bei einer 

großen Zeitkonstante (abhängig von τ2 = C R2) entsprechend langsam - der e-Funktion 

folgend - abläuft. Es kann also durchaus der Fall sein, dass ein Kondensator, der z.B. auf 

eine Spannung von 230 V aufgeladen wurde, nach Abschalten der Versorgungsspannung 

noch für einige Zeit (τ2 - abhängig) eine gefährlich hohe Spannung aufweist. 

Nach Abschalten der Versorgungsspannung ist vor Berühren von Schaltungen, bzw. 

Verbrauchern mit kapazitiven Elementen eine entsprechende Entladezeit abzuwarten, bzw. 

ist eine Entlade-Einrichtung vorzusehen! 

Verlauf von uC(t): 

Die Spannung uC(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne 

Sprungstellen. Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei 

Schaltvorgängen an Kapazitäten die Differenzialgleichung für uC(t) zu lösen. 

Verlauf von uR1(t), uR2(t): 

Die Spannung uR1(t) ist ja nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur 

während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt 

sein, dass die Summe aus uC(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus 

uC(t) und uR2(t) Null ergibt. 

Seite 1.19 von 22



1.6.4 Allgemeine Erklärungen 

Das Einschalten, bzw. das Ausschalten einer Gleichspannung entspricht unmittelbar nach 

dem Schaltbeginn einer sehr steilen, hochfrequenten (da rechteckförmigen) 

Spannungsänderung (f -> ∞). Diese Frequenz- Wirkung ist bei Überlegungen zum 

frequenzabhängigen Impedanzverhalten von L und C zu berücksichtigen. 

Induktivität L 

Die Impedanz einer Induktivität L ist proportional zur Frequenz f. 

.... siehe Kap.2: komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) = jω 

L = j2 

πf 

L 

Dadurch wirkt L für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich hohe 

Impedanz, womit kein Strom fließt und die gesamte Spannung UE an L abfällt. 

i ( t = 0 ) = 

0 

u L ( t = 0 ) = U 

( t = 0 ) = 0 

u R 

E 

Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung, 

d.h. die Impedanzwirkung von L wird immer geringer, und für t = ∞ wirkt UE nur noch als 

Gleichspannung (f=0), bei der die Impedanz von L gleich Null ist und die gesamte Spannung 

UE an R1 abfällt, bzw. der Strom nur durch R1 begrenzt wird. 

uL ( t = ∞) 

= 0 

u R ( t = ∞) 

= UE 

UE 

i( 

t = ∞) 

= 

R1 

Die Zeitverläufe zwischen t = 0 und t = ∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der 

Differenzialgleichung. 

Kapazität C 

Die Impedanz einer Kapazität C ist umgekehrt proportional zur Frequenz f. 

1 1 

.... siehe Kap.2: komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) ZC = = 

jω 

C j2πf 

C 

Dadurch wirkt C für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich kleine 

Impedanz, d.h. die Spannung UE fällt zur Gänze an R1 ab, bzw. der Strom wird nur noch 

durch R1 begrenzt. 

uC ( t 

( t 

= 

0) 

= 0 

u R = 0) 

= U 

UE 

i ( t = 

0) 

= 

R 

1 

E 


Z L



Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung, 

d.h. die Impedanzwirkung von C wird immer größer, und für t = ∞ wirkt UE nur noch als 

Gleichspannung (f = 0), bei der die Impedanz von C unendlich hoch ist, wodurch kein Strom 

fließt und die gesamte Spannung UE an C abfällt. 

u ( t = ∞) 

= U 

C 

uR ( t = ∞) 

= 0 

i ( t = ∞) 

= 0 

E 

Die Zeitverläufe zwischen t = 0 und t = ∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der 

Differenzialgleichung. 

Zeitkonstante 

Die Zeitkonstante τ stellt eine Verkürzung der mathematischen Schreibweise dar, indem der 

Nenner des e-Exponenten mit τ abgekürzt wird. Daraus ergeben sich die verschiedenen 

Definitionen für τ bei Schaltvorgänge an L und an C. 

Durch diese Definition erkennt man, dass τ die Zeitdauer angibt, nach welcher der 

Zeitverlauf auf den e-ten Teil (= 36.8 %) des Startwertes abgesunken ist (bei fallender e- 

Funktion), bzw. auf den e-ten Teil (63.2 %) des Endwertes angestiegen ist (bei steigender 

e-Funktion). 

Bei steigender e-Funktion: 

1− 

e 

t= 

τ 

− 

τ 

= 1− 

e 

−1 

= 

0. 

632 

Bei fallender e-Funktion: 

e 

t= 

τ 

− 

τ 

1 

= e 

− 

= 

0. 

368 

= 

= 

36. 

8 % 

63. 

2 % 

Die Zeitkonstante τ kann auf folgende Weise ermittelt werden: 


(1.64) 

(1.65) 

1. Einzeichnen des 63.2% Levels bei steigender e-Funktion bzw. 36.8 % Levels bei fallender 

e-Funktion vom stationären Wert (t >>). Mit Hilfe der Cursor – Funktion des Oszilloskops 

können die Zeitkonstanten sehr genau ermittelt werden. 

2. Tangente an den Zeitverlauf im Startzeitpunkt legen und den Schnittpunkt der Tangente 

mit dem stationären Wert bilden (Ausdruck muss vorhanden sein, ungenau).


1.6.5 Mess - Schaltung 


In Abb. 1.17 ist beispielsweise die Mess- Schaltung zur Darstellung des zeitlichen Verlaufs 

der Kondensatorspannung uc(t) auf einem Oszilloskop gezeigt. 

Ein Funktionsgenerator erzeugt einen rechteckförmigen Spannungsverlauf, welcher die 

Serienschaltung aus R und C speist. Die Rechteckflanken entsprechen dabei dem 

Einschalten einer Gleichspannung (bei der positiven Flanke) bzw. dem Ausschalten einer 

Gleichspannung (bei der negativen Flanke). Dadurch erspart man sich den Aufwand eines 

mechanischen Schalters, welcher in den vorangegangenen Abbildungen für das Ein- und 

Ausschalten verwendet wurde, und der Verlauf der Ein- und Ausschaltvorgänge kann als 

periodisches Signal dargestellt und die Zeitkonstante τ gemessen werden. 

FG 

R 

C 

u C (t) 


Koaxial-Kabel 

FG ... Funktionsgenerator (Rechtecksignal) 

Abb. 1.17 

Ch1 

Oszilloskop 

Für die Messpraxis ist Erdungsproblematik der Oszilloskope zu beachten - siehe Kap. 4.4).



2 Wechselstromkreise 

2.1 Einführung komplexer Zeiger 

2.1.1 Komplexe Spannung, komplexer Strom 

Zur Vereinfachung der mathematischen Behandlung von Wechselstromkreisen wird ein 

Bezug zwischen sinusförmigen Zeitverläufen und Zeigerdiagrammen in der komplexen 

Zahlenebene hergestellt. Diese Möglichkeit ist auf sinusförmige Signale beschränkt, und z.B. 

nicht für Schaltvorgänge (z.B. in Kap. 1) verwendbar. 

û 

î 

ϕ i 

ϕ u 

0 

i(t) 

u(t) 

Abb. 2.1 


t 

Im 

I U 

ϕi ϕu Wie das Beispiel in Abb. 2.1 zeigt, kann der zeitliche Sinusverlauf in die komplexe 

Zahlenebene projiziert werden. 

Es gilt folgende Zuordnung zwischen komplexer Größe U und realer Zeitgröße u(t): 

Komplexer Zeiger U: Realer Zeitverlauf u(t): 

Betrag (Länge des Zeigers) - Scheitelwert (Amplitude) oder Effektivwert 

Phase (Winkel des Zeigers) - Nullphasenwinkel ϕ0 (ϕu ,bzw. ϕi) 

Bei der gewählten Darstellung in Abb. 2.1 rotiert der Zeiger mit fortschreitender Zeit im 

Gegenuhrzeigersinn, und der Imaginärteil der komplexen Zahl entspricht dem physikalisch 

auftretenden Momentanwert u(t). Der Zeiger selbst gilt also immer nur für einen 

(ωt=0) 

(ωt=0) 

Re



Zeitaugenblick, und dessen Imaginärteil ist die Momentaufnahme des gerade aktuellen 

Momentanwerts der Größe u(t). 

Üblicherweise wird das Zeigerbild für t = 0 gezeichnet, so dass die Winkel der komplexen 

Zeiger dem Nullphasenwinkel (ϕu und ϕi in Abb. 2.1) entsprechen. 

Für die Zeigerdarstellung können die Beträge der Zeiger entweder als Scheitelwerte oder als 

Effektivwerte der Sinusgrößen maßstäblich eingezeichnet werden. Üblicherweise wird die 

Darstellung in Effektivwerten verwendet (da z.B. auch die meisten Messgeräte den 

Effektivwert anzeigen). 

Veranschaulichung anhand Abb. 2.1 

Hier ist als Zeigerdiagramm die Momentaufnahme zum Zeitpunkt (ωt = 0) gezeigt, womit die 

Winkel der Zeiger U und I den Null-Phasenwinkeln (= Phasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0) von 

u(t) und i(t) entsprechen. Der Imaginärteil der Zeiger repräsentiert den physikalisch realen 

Momentanwert von u(t), bzw. i(t) zum Zeitpunkt t = 0. 

Zu späteren Zeitpunkten hin (also bei Fortschreiten entlang der ωt-Achse im Zeitdiagramm) 

wird in diesem Beispiel der Momentanwert von i(t) kleiner, während u(t) noch im Ansteigen 

begriffen ist. Das zeigt sich auch im Zeigerdiagramm, wo bei fortschreitender Zeit, also bei 

Weiterdrehen der Zeiger im Gegenuhrzeigersinn (z.B. mathematisch positive Richtung), der 

Imaginärteil des Zeigers I bereits absinkt, während jener von U noch ansteigt. 

Zur Darstellung einer Sinusgröße ist es ausreichend, den Zeiger für eine bestimmten 

Zeitaugenblick in der komplexen Ebene darzustellen. Daraus kann der Scheitelwert (oder 

der Effektivwert, je nach gewähltem Maßstab) und die Phasenverschiebung zum Zeitpunkt 

t = 0 abgelesen werden und daraus die Sinusschwingung als zeitlicher Verlauf dargestellt 

werden. Die einzelnen Momentanwerte von u(t) zu verschiedenen Zeitpunkten werden für 

die komplexe Zeigerdarstellung also nicht benötigt. 

Man erkennt zeitlich voreilende Signale daran, dass diese im Zeigerdiagramm bei 

Umlauf in Uhrzeigerrichtung zuerst erreicht werden. 

Im gewählten Beispiel ist u(t) gegenüber i(t) um den Winkel u i ϕ − ϕ = ϕ Δ nacheilend. 

Um verschiedene sinusförmige Signale in einem Zeigerdiagramm darzustellen, wird jedes 

Signal mit Amplitude und Phasenwinkel des selben, beliebig gewählten Zeitpunkts des 

zeitlichen Verlaufs als Zeiger dargestellt - üblicherweise werden die Zeiger für den Zeitpunkt 

(ωt = 0), also mit den Null-Phasenwinkeln gezeichnet. 

Voraussetzung für die Darstellung verschiedener Signale ist, dass alle Zeitsignale dieselbe 

Frequenz aufweisen, so dass also alle Zeiger mit der selben Geschwindigkeit rotieren, da 

die Zeiger nur dann für alle Zeitpunkte (für alle möglichen Zeigerlagen) einen fixen Bezug 

zueinander aufweisen. In diesem Fall ist also die Darstellung eines einzelnen momentanen 

Zeigers jeder darzustellenden Sinusgröße ausreichend, um daraus die Amplitude (bzw. 

meist den Effektivwert) und die gegenseitige - zeitliche - Phasendifferenz der Signale 

abzulesen. 

Für diese Zeiger können alle Rechenregeln für komplexe Zahlen angewendet werden. So 

entspricht z.B. die Differenz der Phasenwinkel der beiden komplexen Zeiger U und I der 

tatsächlichen zeitlichen Phasendifferenz zwischen u(t) und i(t). 

Seite 2.2 von 23



Phasenwinkel j: 

I 

Im 

ϕ ui 

ϕ i ϕ u 

Abb. 2.2 

U 

Re 


Definition des Phasenwinkels 

zwischen u(t) und i(t): 

ϕ : = ϕ = ϕ − ϕ 

(2.1) 

Abb. 2.2 zeigt den allgemeinsten Fall eines Zeigerdiagramms von U und I. Daraus ist 

ersichtlich, dass mit der angeführten Definition der Phasenwinkel jui von I nach U gerichtet 

ist und in Gegenuhrzeiger-Richtung (also in mathematisch positiver Richtung) positiv gezählt 

wird. 

In Abb. 2.2 ist der Verbraucher als Beispiel Ohm’sch- kapazitiv, erkennbar aus der 

Nacheilung der Spannung und aus dem negativen Vorzeichen des Phasenwinkels ϕ. 

Unterstrichene Größen (z.B. U, I, Z, Y, S) symbolisieren komplexe Zahlen, bestehend aus 

Realteil und Imaginärteil, bzw. Betrag und Phase: 

U = U∠ϕu 

mit: U ..... komplexe Größe mit Betrag und Phase 

U ..... Effektivwert von u(t) „Betrag“ 

ϕu .... Nullphasenwinkel von u(t) „Phase“ 

Vorteile der komplexen Schreibweise 

Bei der Durchführung von mathematischen Operationen zeigt sich der große Vorteil einer 

komplexen Schreibweise, wie am Beispiel einer Division zweier Sinus-Signale gezeigt 

werden soll (dabei seien die Winkel ϕu und ϕi die Null-Phasenwinkeln von u(t) und i(t) ). 

Zeitdarstellung: Komplexe Darstellung: 

( ωt 

+ ) 

u( t) 

= û sin ϕ 

u 

( ωt 

+ ) 

i( t) 

= î sin ϕ 

u( 

t) 

i( 

t) 

i 

ui 

u 

i 

j( 

ωt+ 

ϕ ) 

= û∠ϕu 

= ( 2 Ueff 

) ∠ u 

u U = û e 

ϕ 

j( 

ωt+ 

ϕ ) 

= î∠ϕi 

= ( 2 Ieff 

) ∠ i 

i I = î e 

ϕ 

û sin( 

ωt 

+ ϕu 

) 

U Ueff 

∠ϕu 

Ueff 

= = 

= ∠( 

ϕu 

− ϕi 

) 

sin( 

ωt 

+ ϕ ) 

I I ∠ϕ 

I 

î 

i 

eff 

i 

eff i



In der Zeitdarstellung sind trigonometrische Formeln zur weiteren Behandlung notwendig, 

während in der komplexen Schreibweise lediglich die Beträge zu dividieren und die 

Phasenwinkel zu subtrahieren sind. 

In der komplexen Rechnung ist es sinnvoll, für Additionen und Subtraktionen die Darstellung 

in Realteil und Imaginärteil, sowie für Multiplikationen und Divisionen die Darstellung in 

Polarkoordinaten (Betrag, Phase) zu verwenden. Ebenso können die mathematischen 

Grundoperation anschaulich in der komplexen Zahlenebene durch vektorielle 

Verschiebungen graphisch gelöst werden. 

Einschränkungen zur komplexen Rechnung 

Wie bereits erläutert, ist die komplexe Zeigerdarstellung nur für harmonische (sinusförmige 

und kosinusförmige) Größen von Spannung und Strom möglich, wobei nur eine Frequenz 

auftreten darf und ausschließlich lineare Elemente (R, L oder C) vorhanden sein dürfen. 

2.1.2 Komplexe Impedanz Z 

Die Erweiterung des Ohm’schen Gesetzes auf sinusförmige Wechselsignale liefert 

folgende Grundgleichung für die komplexe Impedanz Z: 

U U∠ϕ 

U 

= = 

( ϕu 

− ϕi 

) = Z∠ϕZ 

= Z∠ 

ui 

(2.2) 

I I∠ϕ 

I 

u 

Z = ∠ 

ϕ 

i 

Der Winkel ϕZ der Impedanz Z entspricht also dem Phasenwinkel ϕui. 

Ohm’scher Verbraucher: = R∠0° 

Induktiver Verbraucher: = jω 

L = ω L∠90° 

Z R (2.3) 

Z L (2.4) 

1 1 1 

Kapazitiver Verbraucher: = = −j 

= ∠ − 90° 

jωC 

ωC 

ωC 

Impedanzdreieck 

Z C (2.5) 

Die Darstellung von Z in der komplexen Zahlenebene mit Realteil und Imaginärteil, bzw. mit 

Betrag und Phase wird als „Impedanzdreieck“ bezeichnet. 

Allgemeine Benennungen von Impedanzen: 

Z = R + jX 

(2.6) 

Z ... Scheinwiderstand (Impedanz) 

R ... Wirkwiderstand (Resistanz) 

X ... Blindwiderstand (Reaktanz) 

Seite 2.4 von 23



2.1.3 Komplexe Admittanz Y 

Analog zum rein Ohm’schen Leitwert G liefert die Erweiterung auf sinusförmige 

Wechselsignale folgende Gleichung für die komplexe Admittanz Y: 

I I∠ϕ 

I 

= = 

( ϕi 

− ϕu 

) = Y∠ϕY 

= Y∠ 

− ui 

(2.7) 

U U∠ϕ 

U 

i 

Y = ∠ 

ϕ 

u 

Der Winkel der Admittanz Y entspricht dem negativen Phasenwinkel ϕui. 

1 

Ohm’scher Verbraucher: = G∠0° 

= ∠0° 

R 

Y R (2.8) 

1 1 1 

Induktiver Verbraucher: = = −j 

= ∠ − 90° 

jωL 

ωL 

ωL 

Kapazitiver Verbraucher: = jωC 

= ωC∠90° 

Admittanzdreieck 

Y L (2.9) 

Y C (2.10) 

Die Darstellung von Y in der komplexen Zahlenebene mit Realteil und Imaginärteil, bzw. mit 

Betrag und Phase wird als „Admittanzdreieck“ bezeichnet. 

Allgemeine Benennungen von Admittanzen: 

Y = G + jB 

(2.11) 

Y ... Scheinleitwert (Admittanz) 

G ... Wirkleitwert (Konduktanz) 

B ... Blindleitwert (Suszeptanz) 

2.1.4 Komplexe Scheinleistung S 

Definition der Leistungen eines Verbrauchers bei sinusförmiger Wechselspannung: 

Scheinleistung [VA] 

U S = (2.12) 

eff eff I 

Wirkleistung [W] 

P = Ueff 

Ieff 

cosϕ 

= S cos ϕ 

(2.13) 

Seite 2.5 von 23



Blindleistung [VAr] 

Q = Ueff 

Ieff 

sin ϕ = S sinϕ 

(2.14) 

Leistungsfaktor [-] 

P 

cos ϕ = 

(2.15) 

S 

Zur Überführung dieser Leistungsbegriffe in die komplexe Zeigerdarstellung wird die 

komplexe Scheinleistung S mit folgender Definition eingeführt: 

* 

eff 

u 

eff 

i 

eff 

eff 

( ϕu 

− ϕi 

) = S∠ 

ui 

S : = UI 

= U ∠ϕ 

I ∠ − ϕ = U I ∠ 

ϕ 

(2.16) 

mit 

* 

{} I − Im{} 

I = I∠ 

− i 

I = Re 

ϕ 

(2.17) 

als konjugiert komplexe Zahl von I 

Die Verwendung des konjugiert komplexen Wertes von I ist rein mathematisch begründet, 

denn so ist gewährleistet, dass P und Q als Realteil und Imaginärteil von S dargestellt 

werden können, um in der komplexen Betrachtung die selben Gleichungen für die Beträge 

von P, Q und S zu erhalten, wie in der physikalisch realen Zeitdarstellung: 

Komplexe Scheinleistung [VA] 

S = P + jQ = S∠ϕ 

(2.18) 

Wirkleistung [W] 

ui 

P = Re{ S} 

= S cos ϕ = Ueff 

Ieff 

cos ϕ 

(2.19) 

Blindleistung [VAr] 

Q = Im{ S} 

= S sinϕ 

= Ueff 

Ieff 

sinϕ 

(2.20) 

Leistungsdreieck 

Die Darstellung von P in der reellen Achse, Q in der imaginären Achse und S als vektorielle 

Summe von P und Q wird als „Leistungsdreieck“ bezeichnet, wobei der Winkel von S gleich 

dem Phasenwinkel ϕui ist. 

Anmerkung: 

Würde man nicht I* sondern I für die Definition von S verwenden, wäre folgender Ausdruck 

das Ergebnis für S: 

eff 

u 

eff 

i 

eff 

eff 

( ϕ + ϕ ) = S∠( 

ϕ + ) 

S : = UI 

= U ∠ϕ 

I ∠ϕ 

= U I ∠ 

ϕ 

u 

i 

Das Ergebnis wäre eine komplexe Zahl S, deren Phasenwinkel nicht ϕ = ϕu - ϕi sondern ϕu + 

ϕi beträgt, wodurch sich für P und Q nicht die einfache Beziehung mittels Realteil und 

Imaginärteil von S ergeben würde. 


u 

i



2.2 Einzelne komplexe Impedanzen für R, L, C 

U 

I R 

R 

Im 

ϕ=0° 

I R U 

Im 

Re R Re 

G=1/R P=S 

Abb. 2.3 

Bei rein Ohm’schen Verbrauchern sind Strom und Spannung immer in Phase (ϕ = 0°). 

Die gesamte Leistung ist eine reine Wirkleistung (S = P). 

U 

I L 

L 

Im 

U 

ϕ=90° 

I L 

Re 

Im 

XL =jωL BL =1/XL =1/jωL 

Re 

Abb. 2.4 

Bei rein induktiven Verbrauchern ist die Spannung über L immer um 90° gegenüber dem 

Strom durch L voreilend (ϕui = +90°; positiv, da von I nach U im - mathematisch positiven - 

Gegenuhrzeigersinn gerichtet; vgl. Definition von ϕui). 

Die gesamte Leistung ist eine rein induktive Blindleistung (wurde mit positivem Vorzeichen 

festgelegt; S = jQL). 

U 

I C 

I C 

C ϕ=−90° 

U 

X C =1/jωC 

Abb. 2.5 


B C =1/X C =jωC 

Bei rein kapazitiven Verbrauchern ist die Spannung über C immer um 90° gegenüber dem 

Strom durch C nacheilend (ϕui = -90°; negativ, da von I nach U im - mathematisch negativen 

- Uhrzeigersinn gerichtet; vgl. Definition von ϕui). 

Die gesamte Leistung ist eine rein kapazitive Blindleistung (wurde mit negativem Vorzeichen 

festgelegt; S = -jQC). 

Q L =S 

Q C =S



2.3 Schaltungen von zwei komplexe Impedanzen 

Nachfolgend sind als Überblick über die komplexe Zeigerdarstellung jeweils zwei 

Möglichkeiten für Ohm’sch- induktives und für Ohm’sch- kapazitives Verhalten mit allen 

Zeigerdiagrammen (Spannungs-/Stromzeiger, Impedanzdreieck, Admittanzdreieck, 

Leistungsdreieck) dargestellt. 

U 

U 

U 

U 

I 

I 

I 

I 

R L 

UR L U 

ϕ 

U 

UR 

UL 

I 

Z 

ϕ 


R 

jωL 

− ϕ 

Re{ 

Y} 

Y 

jIm{ 

Y} 

Abb. 2.6 : Ohm’sch- induktives Verhalten mit Serienschaltung von R und L 

IR 

L I 

R L 

− ϕ 

I 

I 

R 

U 

IL 

Z 

ϕ 

R 

jωL 

Re{ 

Y} 

− ϕ 

Y 

jIm{ 

Y} 

Abb. 2.7 : Ohm’sch- induktives Verhalten mit Parallelschaltung von R und L 

R C 

UR 

UC 

ϕ 

UR 

U 

I 

UC 

Z 

1 

− j 

ωC 

Re{ 

Y} 

jIm{ 

Y} 

Abb. 2.8 : Ohm’sch- kapazitives Verhalten mit Serienschaltung von R und C 

IR C I 

R 

C 

ϕ 

I 

IR 

IC 

U 

− ϕ 

Re{ 

Z} 

ϕ 

R 

jIm{ 

Z} 

Abb. 2.9 : Ohmsch- kapazitives Verhalten mit Parallelschaltung von R und C 

Z 

− ϕ 

Y 

ϕ 

Y 

1 

R 

jωC 

ϕ 

− ϕ 

− ϕ 

ϕ 

S 

S 

S 

S 

P 

P 

P 

P 

jQL 

jQL 

jQC 

jQC



Proportionalität der Zeigerdiagramme 

Im folgenden wird die Proportionalität zwischen den einzelnen Arten von Zeigerdiagrammen 

(d.h. gleiche Winkel in den Zeigerdiagrammen) anschaulich hergeleitet. 

Bei Betrachtung der Serienschaltung von z.B. R und L in Abb. 2.6 (analoges gilt für R und C 

in Abb. 2.8) erhalten wir für die Beträge der Teilspannungen: 

UR = IR 

~ R 

U L = I XL 

UR L L X ~ U 

U = I Z 

U ~ Z 

Bei Serienschaltung sind die Beträge der Impedanzen R, X und Z proportional zu den 

Beträgen der Spannungen UR, UL (bzw. UC) und U. 

Weiters erhalten wir folgende Gleichungen für die Leistungen: 

P = UI 

cos ϕ = UR 

I 

R U ~ P 

Q = UI 

sinϕ 

= UL 

I 

L U ~ Q 

S = UI 

S ~ U 

Bei Serienschaltung sind die Beträge der Leistungen P, Q und S proportional zu den 

Beträgen der Spannungen UR, UL (bzw. UC) und U. 

Das Spannungsdreieck ist proportional zum Impedanzdreieck und proportional zum 

Leistungsdreieck. 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Bei Betrachtung der Parallelschaltung von z.B. R und L in Abb. 2.7 (analoges gilt für R und C 

in Abb. 2.9) erhalten wir für die Beträge der Teilströme: 

U 

IR = 

R 

1 

IR ~ = G 

R 

U 

I L = 

X 

1 

IR 

~ 

X 

= B 

L 

U 

1 

I = I ~ = Y 

Z 

Z 

L 

Bei Parallelschaltung sind die Beträge der Admittanzen G, B und Y proportional zu den 

Beträgen der Ströme IR, IL (bzw. IC) und I. 

Weiters erhalten wir folgende Gleichungen für die Leistungen: 

P = 

= UI 

cos ϕ UIR 

R I ~ P 

( ) L I U 

sin I U ϕ − = L I ~ Q 

Q = 

Seite 2.9 von 22



S = UI 

S ~ I 

Bei Serienschaltung sind die Beträge der Leistungen P, Q und S proportional zu den 

Beträgen der Ströme IR, IL (bzw. IC) und I. 

(wobei Q in umgekehrter Richtung zu IL, bzw. IC weist, da S mit I* definiert ist). 

Das Stromdreieck ist proportional zum Admittanzdreieck und proportional zum 

Leistungsdreieck (letzteres mit umgekehrten Vorzeichen von ϕ). 

Spannungen, Ströme 

Bei einer Serienschaltung fließt durch alle Elemente derselbe Strom, so dass es sinnvoll ist, 

den Strom in die 0°- Richtung zu legen. Die Spannungen über den einzelnen Elementen 

ergeben sich aus den obigen Grundregeln, und addieren sich - komplex, bzw. vektoriell - in 

Summe zur Gesamtspannung U. 

Bei einer Parallelschaltung liegt an allen Elementen die selbe Spannung an, so dass es 

sinnvoll ist, die Spannung in die 0°- Richtung zu legen. Die Ströme durch die einzelnen 

Elemente ergeben sich aus den obigen Grundregeln, und addieren sich - komplex, bzw. 

vektoriell - in Summe zum Gesamtstrom I. 

Impedanzdreieck, Admittanzdreieck 

Bei Serienschaltungen (Abb. 2.6, Abb. 2.8) addieren sich die Impedanzen, so dass diese 

direkt gezeichnet werden können, während für das Admittanzdreieck die komplexe 

Impedanz Z zu invertieren ist. 

Folglich gilt nicht: Re{Y}=1/R, Im{Y}=1/X, sondern Re{Y} und Im{Y} ergeben sich aus der 

komplexen Invertierung von Z. 

Z = R + jX → 

1 1 1 1 

Y = = ≠ + !!!!! 

Z R + jX R jX 

Bei Parallelschaltungen (Abb. 2.7, Abb. 2.9) addieren sich die Admittanzen, so dass diese 

direkt gezeichnet werden können, während für das Impedanzdreieck die komplexe 

Admittanz Y zu invertieren ist. 

Folglich gilt nicht: Re{Z}=1/R, Im{Z}=1/X, sondern Re{Z} und Im{Z} ergeben sich aus der 

komplexen Invertierung von Y. 

1 1 

1 

1 

Y = G + jB = + → Z = = ≠ R + jX 

R jX 

Y 1 1 

+ 

R jX 

Seite 2.10 von 22



Leistungsdreieck 

Wie bereits gezeigt, ist das Leistungsdreieck proportional zum Spannungsdreieck, bzw. 

proportional zum Impedanzdreieck. 

Netzwerk: R-L Kombination 

Unabhängig davon, ob R und L in Serie oder parallel liegen (Abb. 2.6, Abb. 2.7), ergibt sich 

immer ein Ohm’sch- induktives Verhalten, d.h. ein positiver Phasenwinkel ϕui zwischen den 

Gesamtgrößen U und I, sowie ein Winkel mit selbem Vorzeichen und selber Größe für Z und 

S (bzw. ein negativer Winkel für Y). 

Netzwerk: R-C Kombination 

Unabhängig davon, ob R und C in Serie oder parallel liegen (Abb. 2.8, Abb. 2.9), ergibt sich 

immer ein Ohm’sch- kapazitives Verhalten, d.h. ein negativer Phasenwinkel ϕui zwischen den 

Gesamtgrößen U und I, sowie ein Winkel mit selbem Vorzeichen und selber Größe für Z und 

S (bzw. ein positiver Winkel für Y). 

Seite 2.11 von 22



2.4 Schaltungen mit R, L und C Elementen - 

Resonanzkreise 

2.4.1 Reihenschaltung von R, L und C 

Serienresonanz, Spannungsresonanz 

U E 

I R L C 

U R 

U L 

Abb. 2.10 

Bei einer Serienschaltung von R, L und C addieren sich - analog zum oben Gesagten 

(Kap. 2.3) - die Teilspannungen an den einzelnen Elementen (mit komplexer Rechnung oder 

vektoriell) zur Gesamtspannung U. 

Für die gesamte Impedanz Z ergibt sich (vgl. Kap. 2.1.2 - komplexe Impedanzen): 

1 ⎛ 1 ⎞ 

Z = R + jωL 

+ = R + j ⎜ωL 

− ⎟ = Re{ Z} 

+ 

jωC 

⎝ ωC 

⎠ 

jIm{ 

Z} 


U C 

(2.21) 

Aufgrund der Frequenzabhängigkeit ( ω = 2 πf 

) von Z lassen sich prinzipiell drei verschiedene 

Fälle mit folgenden beispielhaften Zeigerdiagrammen unterscheiden: 

U E 

U R 

U C 

U L 

I 

U R =U E 

U C 

U L 

I 

U E 

U L 

U R 

f < f 0 f = f 0 f > f 0 

Abb. 2.11 

U C 

I



f < f0 : 

f = f0 : 

f > f0 : 

1 

ωL 

< 

ωC 

→ Im{Z} < 0, ϕ < 0°, ⎜UL⎜ 

ωC 

→ Im{Z} > 0, ϕ > 0°, ⎜UL⎜>⎜UC⎜ Ohm’sch- induktiv (2.24) 

Bei kleinen Frequenzen (also kleinem ω) überwiegt die kapazitive Impedanz (1/ωC), es fällt 

ein größerer Teil der Gesamtspannung an C als an L ab (⎜UC⎜>⎜UL⎜), so dass die Schaltung 

in Summe Ohm’sch- kapazitiv wirkt (vgl. Abb. 2.11, links). Je kleiner nun die Frequenz wird, 

desto stärker wirkt die Kapazität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und I) 

gegen -90° (vgl. Abb. 2.12, rechts). 

Bei großen Frequenzen (also großem ω) überwiegt die induktive Impedanz (ωL), es fällt ein 

größerer Teil der Gesamtspannung an L als an C ab(⎜UL⎜>⎜UC⎜), so dass die Schaltung in 

Summe Ohm’sch-induktiv wirkt (vgl. Abb. 2.11, rechts). Je kleiner nun die Frequenz wird, 

desto stärker wirkt die Induktivität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und I) 

gegen +90° (vgl. Abb. 2.12, rechts). 

Resonanzfrequenz 

Als Resonanzfrequenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der die Spannung in Phase 

mit dem Strom ist. Das bedeutet, dass dabei die induktive Impedanz und die kapazitive 

Impedanz genau gleich groß sind (⎜XL⎜=⎜XC⎜), und sich somit aufgrund ihrer 

entgegengesetzten Phasenlage gegenseitig aufheben. Folglich heben sich auch die 

Teilspannungen an den Blindelementen (UL, UC) aufgrund ihrer entgegengesetzten 

Phasenlage auf. Es tritt somit eine „Spannungsresonanz“ (⎜UL⎜=⎜UC⎜) in dieser Schaltung 

auf. 

Die Teilspannungen an L und an C können auch sehr hohe Werte annehmen 

(„Resonanzüberhöhung“), ohne dass dies - aufgrund der gegenseitigen Aufhebung - bei 

einer Messung der äußeren Gesamtgrößen U und I bemerkt werden würde. 

Aus der Resonanzbedingung der gegenseitigen Aufhebung von XL und XC folgt: 

Resonanz-Kreisfrequenz ω0: 

1 

ω L = 

ωC 

→ 

Resonanzfrequenz f0: 

ω 1 

= = 

2π 

2π 

1 

0 

LC 

= ω (2.25) 

f0 

(2.26) 

( LC) 

Seite 2.13 von 22



Impedanz bei Resonanz 

Als gesamte Impedanz Z wirkt lediglich R, der Betrag von Z ist ein Minimum, und der 

gesamte Schaltkreis wirkt nach außen hin wie ein Ohm’scher Widerstand R: 

2 

⎛ 

⎞ 

Z ⎜ 2 ⎛ 1 ⎞ 

R L ⎟ 2 

= + ⎜ω 

− ⎟ = 0 = 

⎜ 

C ⎟ 

⎝ ⎝ ω ⎠ ⎠ 

( R + ) R 

0 (2.27) 

⎛ 1 ⎞ 

Z 

⎜ 

⎟ 

0 = R + j ω0L 

− = R + j0 

= R∠0° 

(2.28) 

⎝ ω0C 

⎠ 

Strom bei Resonanz 

Nachdem die Impedanz minimal wird, nimmt der Strom I ein Maximum an. Der Strom bei 

Resonanz beträgt 

I 

0 

U U 

= = 

(2.29) 

Z R 

0 

und ist in Phase zu U. 

In der folgenden Abb. 2.12 sind die charakteristischen Verläufe der Beträge der 

Gesamtimpedanz Z und des Gesamtstromes I sowie der Verlauf des Gesamt- 

Phasenwinkels ϕ in prinzipieller Form dargestellt. 

|Z|, |I| 

f 0 

|I| 

|Z| 

f 

Abb. 2.12 

ϕ 

+90° 

-90° 


0 

kapazitiv induktiv 

f 0 

f



2.4.2 Parallelschaltung von R, L und C 

Parallelresonanz, Stromresonanz 

Abb. 2.13 

Bei einer Parallelschaltung von R, L und C addieren sich - analog zum oben Gesagten 

(Kap. 2.3) - die Teilströme durch die einzelnen Elemente (mit komplexer Rechnung oder 

vektoriell) zum Gesamtstrom I. 

Für die gesamte Admittanz Y ergibt sich (siehe Kap. 2.1.3 - komplexe Admittanzen): 

1 1 1 ⎛ 1 ⎞ 

Y = G + jBL 

+ jBC 

= + + jωC 

= + j ⎜ωC 

− ⎟ = Re{ Y} 

+ 

R jωL 

R ⎝ ωL 

⎠ 


jIm{ 

Y} 

(2.30) 

Aufgrund der Frequenzabhängigkeit ( ω = 2 πf 

) von Y lassen sich prinzipiell drei verschiedene 

Fälle mit folgenden beispielhaften Zeigerdiagrammen unterscheiden: 

f < f0 : 

I R 

I 

f < f 0 

U E 

I L 

I C 

I R =I 

f = f 0 

U E 

I L I C 

Abb. 2.14 

I 

I C 

I R 

f > f 0 

1 

ωC 

< → Im{Y} < 0, ϕ > 0°, ⎜IC⎜



f = f0 : 

f > f0 : 

1 

ωC 

= 

ω ⋅ L 

→ Im{Y} = 0, ϕ = 0°, ⎜IC⎜=⎜IL⎜ rein Ohm’sch (2.32) 

1 

ωC 

> 

ωL 

→ Im{Y} > 0, ϕ < 0°, ⎜IC⎜>⎜IL⎜ Ohm’sch- kapazitiv (2.33) 

Bei kleinen Frequenzen (also kleinem ω) überwiegt die induktive Admittanz (1/ωL), es fließt 

ein größerer Teil des Gesamtstromes durch L als durch C (⎜IL⎜>⎜IC⎜), so dass die Schaltung 

in Summe Ohm’sch- induktiv wirkt (siehe Abb. 2.14, links). Je kleiner nun die Frequenz wird, 

desto stärker wirkt die Induktivität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und I) 

gegen +90° (siehe Abb. 2.15, rechts). 

Bei großen Frequenzen (also großem ω) überwiegt die kapazitive Admittanz (ωC), es fließt 

ein größerer Teil des Gesamtstromes durch C als durch L (⎜IC⎜>⎜IL⎜), so dass die Schaltung 

in Summe Ohm’sch- kapazitiv wirkt (siehe Abb. 2.14, rechts). Je größer nun die Frequenz 

wird, desto stärker wirkt die Kapazität, folglich strebt der Phasenwinkel ϕui (zwischen UE und 

I) gegen -90° (siehe Abb. 2.15, rechts). 

Resonanzfrequenz 

Als Resonanzfrequenz wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der die Spannung und der 

Strom in Phase sind. Das bedeutet, dass dabei die induktive Admittanz BL (=1/XL) und die 

kapazitive Admittanz BC (=1/XC) betragsmäßig genau gleich groß sind, und sich somit 

aufgrund ihrer entgegengesetzten Phasenlage gegenseitig aufheben. Folglich heben sich 

auch die Teilströme durch die Blindelemente (IL, IC) aufgrund ihrer entgegengesetzten 

Phasenlage auf. Es tritt somit eine „Stromresonanz“ (⎜IC⎜=⎜IL⎜) in dieser Schaltung auf. 

Die Teilströme durch L und C können auch sehr hohe Werte annehmen 

(„Resonanzüberhöhung“), ohne dass dies - aufgrund der gegenseitigen Aufhebung - bei 

einer Messung der äußeren Größen U und I bemerkt werden würde. 

Aus der Resonanzbedingung der gegenseitigen Aufhebung von BL und BC folgt: 

Resonanz-Kreisfrequenz ω0: 

1 

ω L = 

ωC 

→ 

Resonanzfrequenz f0: 

f 

ω 1 

= = 

2π 

2π 

1 

0 

LC 

= ω (2.34) 

( LC) 

0 (2.35) 

Es ergibt sich also für diese Schaltung dieselbe Berechnung für die Resonanzfrequenz wie 

für die Serienschaltung aus R, L und C. 

Seite 2.16 von 22



Admittanz bei Resonanz 

1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 

Y 0 

= 

R ⎜ 0 

L ⎟ 

⎝ ω0 

⎠ R R 

( ω ) = + j ⎜ω 

C − ⎟ = + j 0 = G 

0 Y 0 = ∠0° 

(2.36) 

1 

1 

Z 0 = = 

= R∠0° 

(2.37) 

Y 0 1 ⎛ 1 ⎞ 

+ j 

⎜ 

⎜ω 

− 

⎟ 

0C 

R ⎝ ω0L 

⎠ 

Bei Resonanzfrequenz wirkt als gesamte Admittanz Y lediglich G (=1/R), der Betrag von Y 

ist ein Minimum, folglich die Impedanz Z ein Maximum, und der gesamte Schaltkreis wirkt 

nach außen hin wie ein Ohm’scher Widerstand mit G ( =1/R). 

Strom bei Resonanz: 

Nachdem die Impedanz maximal, bzw. die Admittanz minimal wird, nimmt der Strom I ein 

Minimum an. Der Strom bei Resonanz beträgt 

U U 

I = = U Y 0 = = U G 

Z 

R 

0 (2.38) 

0 

und ist in Phase zu U. 

In der folgenden Abb. 2.15 sind die charakteristischen Verläufe der Beträge der 

Gesamtimpedanz Z und des Gesamtstromes I sowie der Verlauf des Gesamt- 

Phasenwinkels ϕ in ihrer prinzipiellen Form dargestellt. 

|Z|, |I| 

f 0 

Realer Resonanzkreis 

|Z| 

|I| 

f 

Abb. 2.15 

1 

R 

ϕ 

+90° 

-90° 


0 

induktiv 

f 0 

kapazitiv 

Bei Verwendung realer Bauelemente sind auch deren Verluste – welche bei der Spule und 

des Kondensators durch zusätzliche Ohm’sche Widerstände repräsentiert werden - zu 

berücksichtigen. 

f



2.5 Blindleistungskompensation 

Wie bereits in Kap. 2.4 gezeigt wurde, kann bei z.B. gegebener Frequenz durch geeignete 

Wahl der Blindelemente L und/oder C der Resonanzfall bestimmt werden, so dass sich die 

Gesamtschaltung wie ein rein Ohm’scher Verbraucher verhält. Das bedeutet, die 

Eingangsgrößen U und I sind in Phase und die Gesamtschaltung nimmt keine Blindleistung 

Q, sondern ausschließlich Wirkleistung P auf. 

Für die Betrachtungen in diesem Kapitel gehen wir nun von einem Ohm’sch- induktiven 

Verbraucher aus, welcher z.B. als Reihenschaltung von R und L beschrieben wird 

(Abb. 2.16). Diese kann z.B. einen Elektromotor symbolisieren. 

Es soll nun eine Kapazität C bestimmt werden, die parallel zu dieser R-L-Reihenschaltung 

anzuschließen ist, so dass die Gesamtschaltung keine Blindleistung aufnimmt, sich also wie 

ein rein Ohm’scher Verbraucher verhält (Abb. 2.17). 

Im Unterschied zum vorigen Kapitel sind nun umgekehrt die notwendigen Blindelemente 

(zumindest eines davon) gesucht, so dass sich bei gegebener Frequenz ein reiner 

Wirkleistungsverbraucher ergibt. 

Nachdem dabei die durch die Induktivität L hervorgerufene Blindleistung durch die parallel 

geschaltete Kapazität C zu Null kompensiert wird, spricht man allgemein von 

„Blindleistungskompensation“. Wenn, wie in diesem Beispiel, die Kompensation durch 

Parallelschaltung eines Blindelements erfolgt, wird der Blindanteil des Stromes zu Null 

kompensiert, so dass hier auch der Ausdruck „Blindstromkompensation“ verwendet wird. 

U 

I 

R 

L 

Abb. 2.16 Abb. 2.17 

Zur Veranschaulichung der komplexen Rechnung sollen im folgenden zwei Möglichkeiten 

zur Bestimmung der Kompensationskapazität C erläutert werden. 

U 


I* 

R 

L 

I 

I C 

C



1. Möglichkeit: Spannungs-/Strom-Zeigerdiagramm 

Wenn Eingangsspannung und Eingangsstrom, d.h. ⎜U⎜ und ⎜I⎜gemessen werden, kann man 

anhand des Spannungs-/Strom- Zeigerdiagramms die Bestimmung von C in folgenden 

Schritten durchführen: 

a.) Ausgangspunkt 

Die Schaltung in Abb. 2.16 wird zuerst für die R-L-Kombination noch ohne C mit dem 

Zeigerdiagramm nach Abb. 2.18 betrachtet, und danach die kompensierte Schaltung mit 

paralleler Kapazität C (Abb. 2.17) mit dem zugehörigen Zeigerdiagramm nach Abb. 2.19. 

Re{I} 

ϕ i 

ϕ ui 

I 

U 

Im{I} 


ϕ ui =0° 

I*=Re{I} 

Abb. 2.18 Abb. 2.19 

Eine Größe darf in Zeigerdiagrammen beliebig angenommen werden, so dass z.B. in 

Abb. 2.18 der Strom I in die horizontale Richtung gelegt wird (so dass sich für U und I ein 

Zeigerdiagramm wie in Kap. 2.3, Abb. 2.6 ergibt). 

Im folgenden ist es einfacher, die Richtung von U in Abb. 2.18 als 0°- Richtung anzusehen, 

um so für die Projektionen von I parallel, bzw. normal zu U die Bezeichnungen Re{I}, bzw. 

Im{I} verwenden zu können. 

U = U∠0° 

I = I∠ϕi 

= Re{ I} 

+ 

j Im{ I} 

b.) Bestimmung des zu kompensierenden Phasenwinkels ϕ: 

Z = Z∠ϕZ 

= Re{ Z} 

+ j Im{ Z} 

= R + jωL 

(2.39) 

Im{ Z} 

ωL 

ϕ = arctan = arctan 

(2.40) 

Re{ Z} 

R 

c.) Bedingung für Kompensation 

Damit der neue Strom I* in Phase zu U ist, muss der zusätzliche Strom IC betragsmäßig 

gleich groß sein wie Im{I} (siehe Abb. 2.19): 

IC = Im{ I} 

= I sinϕ 

⎜ (2.41) 

I C 

U



Daraus ergibt sich unmittelbar die notwendige kapazitive Impedanz ZC: 

Z C = = 

jωC 

1 

U 

I 

C 

Der Betrag der Impedanz beträgt: 

Z 

C 

1 U U 

= = = 

ωC 

I I sinϕ 

C 

Somit ergibt sich die erforderliche Kompensationskapazität C zu: 

I sinϕ 

C = 

U 2πf 

mit 

ϕ = 

⎛ ωL 

⎞ 

arctan ⎜ ⎟ 

⎝ R ⎠ 

und |U|, |I| als Messgrößen. 

2. Möglichkeit: Impedanz- und Admittanzdreieck 


(2.42) 

(2.43) 

(2.44) 

Ohne Messung von Spannung und Strom kann die notwendige Kapazität C über die 

Impedanzen, bzw. Admittanzen berechnet werden. 

Damit I in Phase zu U ist, muss sowohl der Winkel der neuen Gesamtimpedanz Z* (inkl. 

parallelem C) als auch jener der neuen Gesamt- Admittanz Y* Null werden. 

R 

Z 

ϕ 

jωL 

Y 

Re{Y} 

− ϕ 

Im{Y} 

ϕ=0° 

Y*=Re{Y} 

Abb. 2.20 Abb. 2.21 Abb. 2.22 

Da in diesem Fall die Kapazität C parallel hinzugeschaltet wird, ist es einfacher, mit 

Admittanzen zu rechnen, da diese bei Parallelschaltungen einfach addiert werden können 

(siehe Kap. 2.3), so dass die Berechnung in folgenden Schritten abläuft: 

a.) Berechnen der Impedanz Z der Serienschaltung aus R und L (Abb. 2.20): 

Z = 

Z∠ϕZ 

= Re{ Z} 

+ j Im{ Z} 

= R + jωL 

jωC



2 2 ( R + ( L) 

) 

Z = ω 

(2.45) 

b.) Umrechnen dieser Impedanz in eine Admittanz Y (Abb. 2.21): 

1 1 

Y = = 

Z R + jωL 

2 2 ( R + ( ωL) 

) 


(2.46) 

1 1 

Y = = 

(2.47) 

Z 

c.) Bedingung für Kompensation 

Die - komplexe, bzw. vektorielle - Addition dieser Admittanz mit der Admittanz YC des 

parallelen Kondensators muss eine neue Gesamt- Admittanz Y* ergeben, deren Imaginärteil 

Null ist (Abb. 2.22). Somit müssen YC und Im{Y} betragsmäßig gleich groß sein, bzw. sich 

vektoriell gegenseitig aufheben: 

Y C 

1 

= Im{ Y} 

= Y sinϕ 

= 

sinϕ 

2 2 ( R + ( ωL) 

) 

Für sin ϕ folgt aus Abb. 2.20, bzw. Abb. 2.21: 

2 2 ( R + ( ωL) 

) 

(2.48) 

Im{ Y} 

Im{ Z} 

ωL 

ωL 

sinϕ 

= = = = 

(2.49) 

Y Z Z 

Damit ergibt sich für die notwendige Admittanz von C aus Gleichung (2.47) und (2.48): 

Y C 

2 

ωL 

= (2.50) 

R + 

( ) 2 

ωL 

Aus = ωC 

(siehe Kap. 2.1.3) folgt für die notwendige Kompensationskapazität C: 

Y C 

2 

L 

C = (2.51) 

R + 

( ) 2 

ωL



3 Elektrische Messtechnik 

3.1 Messung von Widerständen 

Widerstände werden in der Elektrotechnik in vielfältigster Weise eingesetzt, z.B. 

- Schutztechnik, Strombegrenzung 

- Messtechnik, Vor – und Nebenwiderstand zur Messbereichserweiterung 

- Elektrowärme, Ausnutzung der Verlustwärme, (Bügeleisen, Wassererhitzung...) 

Es gibt aber auch „Anwendungen“, bei denen der Ohm’sche Widerstand nicht erwünscht ist, 

z.B. bei Erdungsanlagen oder Innenwiderstände von Spannungsquellen und 

Strommessgeräten. 

3.1.1 Strom- / Spannungsmethode 

Die Bestimmung des unbekannten Widerstandes RX erfolgt indirekt durch Messung der 

Spannung U über RX und des Stromes I durch RX. 

Im Idealfall ist der Innenwiderstand eines Strom-Messinstrumentes (Amperemeter) gleich 

Null und jener eines Spannungs-Messgerätes (Voltmeter) unendlich hoch. 

Reale Amperemeter weisen einen sehr kleinen, aber von Null verschiedenen 

Innenwiderstand und reale Voltmeter einen sehr großen, aber nicht unendlich hohen 

Innenwiderstand auf. Diese Eigenschaft führt dazu, dass je nach Anordnung der Messgeräte 

entweder die Messung des Stromes oder die Messung der Spannung verfälscht wird, und 

man zwei prinzipielle Messschaltungen unterscheidet. 

Spannungsrichtige Messung 

U B 

R A 

A 

I A 

I RV 

V 

Abb. 3.1 

R V 


I X 

R X 

U X =U V



Bei dieser Anordnung misst das Voltmeter die Spannung direkt am unbekannten Widerstand 

RX, also unverfälscht, während das Amperemeter nicht nur den durch RX fließenden Strom IX 

erfasst, sondern auch den durch das Voltmeter fließenden Strom IRV („Stromfehler“). 

IA ... vom Amperemeter angezeigter Strom 

UV ... vom Voltmeter angezeigte Spannung 

RV ... Innenwiderstand des Voltmeters 

IRV ... Strom durch das Voltmeter (da RV < ∞) 

Bestimmung von RX aus den Anzeigen: 

U 

V 

R X = (3.1) 

IA 

Bestimmung von RX durch exakte Berechnung: 

R 

U 

U 

U 

X V 

V 

X = = = 

(3.2) 

IX 

I 

U 

A − IRV 

V 

IA 

− 

R V 

Diese Methode wird zur Messung kleiner Widerstände RX verwendet (RX



Hier wird der Strom direkt am unbekannten Widerstand RX, also unverfälscht, gemessen, 

während das Voltmeter nicht nur die am Widerstand RX anliegende Spannung UX misst, 

sondern auch den Spannungsabfall URA, welcher durch den Strom IX an RA erzeugt wird. 

Bestimmung von RX aus den Anzeigen: 

U 

V 

R X = (3.3) 

IA 

Bestimmung von RX durch exakte Berechnung: 

R 

U 

U 

− U 

U 

− I 

R 

X V RA V A A 

X = = = 

(3.4) 

IX 

IA 

IA 

Diese Methode wird zur Messung großer Widerstände RX verwendet (RX >> RA). 

•= Erklärung aus der Gleichung für RX: 

Je kleiner RA gegenüber dem gesuchten RX ist, desto geringer ist die verfälschende 

Auswirkung des Terms A R I ⋅ auf die Bestimmung von RX. 

•= Erklärung aus Überlegung: 

Je größer RX ist, umso kleiner wird der Strom IX und die von IX an RA erzeugte, die 

Spannungsmessung verfälschende Spannung URA, d.h. umso kleiner wird der Unterschied 

zwischen der tatsächlichen Spannung UX und der gemessenen Spannung UV. 

Bei der Messung von Widerständen mit Hilfe der spannungs- bzw. stromrichtigen 

Messmethode muss darauf geachtet werden, dass die Nennleistung des Widerstandes nicht 

überschritten wird. Eine deutliche Erwärmung des Widerstandes führen zu zusätzlichen 

Fehlern. 

Mit Hilfe der Formeln 

U 

X 

R X = und P max > UX 

IX 

kann die max. mögliche Spannung UB 

IX 

errechnet werden, wenn die Widerstand annähernd bekannt ist: 

P 

max 

U X < (3.5) 

R X 

Innenwiderstände von Messgeräten 

Wie bereits angeführt, ist im Idealfall der Innenwiderstand eines Strom-Messinstrumentes 

(Amperemeter) gleich Null und jener eines Spannungs-Messgerätes (Voltmeter) unendlich 

hoch. Wenn nun z. B. bei Verwendung eines digitalen Multimeters (vgl. Kap. 4.3) eine 

Spannung gemessen werden soll und der Messart-Wahlschalter versehentlich auf Stellung 

„Strommessung“ (anstelle „Spannungsmessung“) eingestellt ist, dann fließt aufgrund des – 

im Idealfall unendlich kleinen Innenwiderstandes in der Strommess-Position - ein „unendlich“ 

hoher Strom durch das Messgerät, bzw. unterbricht eine Überstrom-Schutzeinrichtung den 

Seite 3.3 von 19



hohen Strom. Daraus folgt die Notwendigkeit einer sorgfältigen Einstellung des Multimeters 

auf die Messgröße. 

Beispiel: Innenwiderstände von Messgeräten 

1. Analoges Multimeter Normameter S2 

z.B. Spannungsmessung: 

Messbereich Innenwiderstand 

50 mV 167 Ω 

5 V 16.7 kΩ 

150 V 500 kΩ 

500 V 1.67 MΩ 

z.B. Strommessung: 

Bei der Strommessung wird der Spannungsabfall bei Vollausschlag (= Messbereichsendwert 

ME) angegeben, woraus der Innenwiderstand (bei Vollausschlag) berechnet werden 

kann: 

Messbereich Spannungsabfall Innenwiderstand 

Messbereichsendwert 

15 mA 0.1 V 6.67 Ω 

1.5 A 0.2 V 0.133 Ω 

25 A 0.15 V 0.006 Ω 

2. Digitales Multimeter (DMM): Unigor 355 

z.B. Spannungsmessung 

Messbereich Innenwiderstand Innenwiderstand 

Gleichspannung Wechselspannung 

300 mV > 20 MΩ 5 MΩ 

3 V 11 MΩ 5 MΩ 

30 V 10 MΩ 5 MΩ 

300 V 10 MΩ 5 MΩ 

z.B. Strommessung (Gleichspannung und Wechselspannung) 

Messbereich Innenwiderstand Innenwiderstand 

Messbereichsendwert 

30 mA 200 mV 6.67 Ω 

300 mA 300 mV 1 Ω 

3 A 110 mV 36.6 mΩ 

10 V 350 mV 35 mΩ 

Seite 3.4 von 19



3.1.2 Widerstandscodierung 

Die in der Elektronik verwendeten Ohm’schen Widerstände sind farbcodiert. Der Wert sowie 

die Genauigkeitstoleranz werden in Form von Farbringen auf den Widerstandskörper 

aufgedruckt. 

Man legt den Widerstand so vor sich hin, dass das Ende links zu liegen kommt, welches 

einen kürzeren Abstand zum ersten Farbring aufweist. Von links nach rechts betrachtet 

repräsentieren die ersten beiden Farbringe (bzw. die ersten drei, wenn fünf Ringe 

aufgedruckt sind) die ersten zwei (bzw. drei) Ziffern des Widerstandswertes. Der nächste 

Ring stellt den Multiplikator dar, und der letzte Ring (ganz rechts) zeigt die Toleranz des 

Widerstandswertes dar. 

In Abb. 3.3 ist die Widerstandscodierung graphisch dargestellt. Diese muss nicht auswendig 

gelernt werden, sondern kann jederzeit in Tabellen nachgeschlagen werden. 

Beispiele: 

Abb. 3.3 

•= Widerstand mit vier Farbringen, von links nach rechts: 

2 

rot - rot - rot – silber ... 22 ⋅ 10 = 2200 Ω , Toleranz: ± 10 % 

•= Widerstand mit fünf Farbringen von links nach rechts: 

6 

blau - grau - schwarz - blau - gold ... 680 ⋅10 = 680 MΩ 


, Toleranz: ± 

5 %



3.1.3 Messbereichserweiterung 

Wenn die zu messende elektrische Größe (z.B. Spannung oder Strom) größer als der 

Messbereich des verwendeten Messgerätes ist, dann kann man beispielsweise durch 

Zuschalten eines Ohm’schen Widerstandes eine Messbereichserweiterung durchführen. Bei 

Voltmetern wird dabei ein Ohm’scher Widerstand in Serie zum Messgerät geschaltet 

(Vorwiderstand), bzw. bei Ampere-Metern ein Ohm’scher Widerstand parallel zugeschaltet 

(Nebenwiderstand, Shunt- Widerstand). 

Messbereichserweiterung bei Spannungsmessgeräten 

I 

U mess 

R vor 

U vor 

Abb. 3.4 

In Abb. 3.4 ist gezeigt, wie durch das Hinzufügen eines Vorwiderstandes Rvor in Serie zum 

Voltmeter aus der zu messenden Spannung Umess eine kleinere Spannung UV am Voltmeter 

wird. Hier wird das Prinzip des Spannungsteilers angewendet (siehe Kap. 1), welches wie 

folgt zur notwendigen Größe des Vorwiderstandes Rvor führt. 

U U 

I = 

vor V 

= (3.6) 

Rvor 

R V 

Mit 

U = U − U 

(3.7) 

vor 

mess 

ergibt sich 

V 

� Umess 

� 

R vor = R V � 

� −1 

(3.8) 

� UV 

Man erhält somit bei gegebenen Werten des Voltmeters (Innenwiderstand RV und zulässige 

Messgröße UV) sowie der zu messenden Spannung Umess den notwendigen Wert für den 

Vorwiderstand Rvor. 

Beispiel: 

Für die Messung einer Spannung von 1000 V ( = Umess) steht ein Voltmeter mit einem 

Messbereich von 0 ... 100 V und einem Innenwiderstand RV von 100 kΩ zur Verfügung. Wie 

groß muss der einzufügende Vorwiderstand RV sein, damit am Messgerät maximal 100 V 

angezeigt werden? 

R 

vor 

� Umess 

� 

3 

�1000 

� 

= R V � 

� −1 

� 

� = 100 ⋅10 

� −1 

= 900 kΩ 

� UV 

� 100 


R V 

V 

U V



Messbereichserweiterung bei Strommessgeräten 

U 

I N 

Imess I A 

R N 

R A 

A 

Abb. 3.5 

In Abb. 3.5 ist gezeigt, wie durch Hinzufügen eines Nebenwiderstandes Rvor (Shunt- 

Widerstandes) parallel zum Amperemeter aus dem zu messenden Strom Imess ein kleinerer 

Strom IA am Amperemeter wird. Hier wird das Prinzip des Stromteilers angewendet (siehe 

Kap. 1), welches wie folgt zur notwendigen Größe des Nebenwiderstandes RN führt: 

U = I R = I R 

(3.9) 

Mit 

N 

N 

mess 

N 

A 

A 

A 

I = I − I 

(3.10) 

ergibt sich: 

R A 

R N = 

(3.11) 

Imess 

−1 

I 

A 

Man erhält somit bei gegebenen Werten des Amperemeters (Innenwiderstand RA und 

zulässige Messgröße IA) sowie des zu messenden Stromes Imess den notwendigen Wert für 

den Nebenwiderstand RN. 

3.1.4 Gleichstrom- Messbrücke (Wheatstone- Brücke) 

+ 

_ 

U B 

I 

I 

U 1 

U 2 

I 2 


I 1 

R 1 

I 0~0 

R 2 

0 

U 0 

R 3 

R 4 

I 3 

I 4 

U 3 

U 4



Abb. 3.6 

Vier Widerstände sind in der dargestellten Weise an eine bekannte Betriebsspannung UB 

geschaltet, wobei einer dieser Widerstände der unbekannte Widerstand RX ist. In der 

Brückendiagonale ist ein hochohmiges Galvanometer zur Anzeige der Brückenspannung U0 

angeordnet. 

Für unsere Betrachtungen kann der Innenwiderstand des Galvanometers als unendlich hoch 

angesehen werden, d.h. I0 = 0 A. 

Prinzipiell unterscheidet man zwei Möglichkeiten des Betriebs: 

•= nicht-abgeglichene Brücke, 

•= abgeglichene Brücke. 

Nicht-abgeglichene Brücke 

Aus I0 = 0 A folgen zwei Knotengleichungen. 

I 1 = I2 

I 3 = I4 

U 

R 

1 

1 

U 

= 

R 

2 

2 

U1 = UB 

UB 

= 

R + R 

1 

1 

R1 

R + R 

2 

2 

U 

R 

3 

3 

U 

= 

R 

U3 = UB 

4 

4 

UB 

= 

R + R 


3 

3 

R3 

R + R 

Als Maschengleichung ergibt sich für die obere Masche die Brückendiagonalspannung für 

die nicht-abgeglichene Messbrücke: 

� R3 

= U 

� 

� 

� R3 

+ R 

� 

� 

� 

R1 

� � 1 1 

− 

� 

� = U 

� 

− 

R1 

+ R 

R 

2 

4 R 2 

�� 1 + 1 + 

� R3 

R1 

U0 = U3 

− U1 

B B 

(3.12) 

4 

Wenn drei Widerstände bekannt sind und U0 gemessen wird, kann der unbekannte vierte 

Widerstand berechnet werden. 

Anwendung 

Die Brückenschaltung nach dem Ausschlagverfahren wird vor allem zur Bestimmung von 

Widerstandsänderungen verwendet (z.B. Temperaturänderungen, Kraft- und Drehmoment- 

Messungen mit Dehnungsmessstreifen, indem die Veränderung der Brückendiagonal- 

Spannung U0 gemessen und daraus die Änderung ∆RX des unbekannten Widerstandes RX 

bestimmt wird. Dies ist weniger aufwendig, als ständig einen Abgleich der Brücke 

durchführen zu müssen. 

U 

0 

� 

� 

� 1 

= UB 

� R 

�� 1 + 

� R 

4 

3 

1 

− 

R 2 

1 + 

R + ∆R 

X 

X 

� 

4 

4 

(3.13)



Beispiel: Temperaturmessung mit temperaturabhängigem Widerstand 

Bei einer kontinuierlichen Temperaturmessung wird bei einer Referenztemperatur (z. B. 

20 °C) einmal ein Abgleich der Brücke durchgeführt (d.h. U0 = 0). Danach wird jeweils die zu 

einer veränderten Temperatur zugehörige Spannung U0 gemessen und daraus gemäß 

Gleichung (3.13) die Widerstandsänderung ∆RX berechnet, welche in einem direkten 

Zusammenhang mit der Temperatur steht. Der genaue Wert des Widerstandes ist dabei von 

geringerer Bedeutung, da lediglich die Änderung ∆RX in die Berechnung eingeht. 

Abgeglichene Brücke 

Man spricht von einer abgeglichenen Brücke, wenn sich die Diagonalspannung U0 zu Null 

ergibt. Dies wird genau dann erreicht, wenn folgende Bedingung erfüllt ist (direkt ersichtlich 

bei Nullsetzen des Klammerausdrucks in Gleichung (3.12) 

R 1 3 

= (3.14) 

R 

2 

R 

R 

4 

Wenn einer dieser Widerstände der unbekannte Widerstand RX ist, dann kann dieser durch 

die drei anderen, bekannten Widerstände berechnet werden. Wenn z.B. R1 der unbekannte 

Widerstand RX ist, dann gilt: 

R 

3 

R X = R 2 (3.15) 

R 4 

In der Praxis wird einer der bekannten Widerstände als verstellbarer Widerstand 

(Potentiometer) ausgeführt und dann so lange verstellt, bis die Brückenspannung Null ist. 

Es geht weder die Speisespannung UB noch die Brückendiagonalspannung U0 in die 

Bestimmung von RX ein. Zum Erreichen der Abgleichbedingung ist kein Voltmeter im 

herkömmlichen Sinn notwendig, sondern es genügt ein Messgerät mit lediglich einer 

Nullanzeige und möglichst großer Empfindlichkeit im Bereich um den Ausschlag Null 

(Galvanometer, siehe Kap. 4). 

Anwendung: 

Die Brückenschaltung nach dem Abgleichverfahren wird zur Messung von unbekannten 

Festwiderständen verwendet, indem der unbekannte Widerstand RX mit drei bekannten 

Widerständen verglichen wird, so dass obige Widerstandsbedingung erfüllt ist. 

3.1.5 Wechselstrom-Messbrücke 

Im Unterschied zur Gleichstrom-Messbrücke wird diese mit Wechselspannung gespeist. An 

die Stelle der Ohm’schen Widerstände treten komplexe Impedanzen Z1, Z2, Z3, Z4, welche 

durch beliebige Kombination aus R, L und C realisiert sein können. 

Analog zur Herleitung bei der Gleichstrom-Messbrücke ergibt sich als Bedingung für eine 

abgeglichene Brücke: 

Seite 3.9 von 19



Z 1 3 

= (3.16) 

Z 

2 

Z 

Z 

4 

Für die Abgleichbedingung der Brücke gibt es nun zwei Gleichungen: 

Trigonometrische Form: Gleichsetzen der Realteile und Gleichsetzen der Imaginärteile 

Polarform: Gleichsetzen der Beträge und Gleichsetzen der Winkeln 

1. Bedingung: Amplitudenabgleich 

Z Z = Z Z 

(3.17) 

1 

4 

2 

3 

2. Bedingung: Phasenabgleich 

ϕ + ϕ = ϕ + ϕ 

(3.18) 

1 

4 

2 

3 

3.2 Leistungsmessung 

3.2.1 Einphasiger Verbraucher 

In Abb. 3.7 ist als Beispiel eine beliebige, einphasige R-L-C-Kombination dargestellt. 

P 

Abb. 3.7 

Zur Messung der Wirkleistung P werden Wattmeter (digital, analog) eingesetzt. Zur 

Messung benötigt das Wattmeter Informationen über den fließenden Strom und über die 

anliegende Spannung (siehe Kap. 4), welche dadurch gewonnen werden, dass das 

Wattmeter zwei Anschlüsse aufweist, welche in den Strompfad geschaltet werden, sowie 

zwei Anschlüsse, welche in den Spannungspfad geschaltet werden. 

P = c W α 

(3.19) 

3.2.2 Dreiphasiger Verbraucher 

Begriffe 

Seite 3.10 von 19



Einphasiger Verbraucher 

.... zwei Anschlüsse (z.B. Glühbirne). 

Dreiphasiger Verbraucher 

- symmetrisch: identische Impedanz aller drei Phasen; 

- unsymmetrisch: verschiedene Impedanzen in den drei Phasen; 

- in Dreileitersystem: d.h. drei zuführende Leitungen (L1, L2, L3) 

(Dreieckschaltung; oder Sternschaltung ohne Mittelpunktsleiter); 

- in Vierleitersystem: d.h. vier zuführende Leitungen (L1, L2, L3, N) 

(Sternschaltung mit herausgeführtem Mittelpunktsleiter Mp - auch als Nulleiter N 

bezeichnet). 

Verkettete Spannung 

.... die außen zwischen zwei Zuleitungen des Dreiphasensystems anliegende Spannung. 

Phasenspannung (Strangspannung) 

.... die direkt über einer der drei Phasen anliegende Spannung (Wicklungsstrang - andere 

Bezeichnung für die einzelne Phase eines dreiphasigen Verbrauchers, in Anlehnung an die 

Wicklungen eines dreiphasigen Motors). 

Phasenstrom (Strangstrom) 

.... der in einer Phase (im „Wicklungsstrang“) fließende Strom. 

Leiterstrom (Außenleiterstrom) 

.... der von den äußeren Zuleitungen in den dreiphasigen Verbraucher fließende Strom. 

Dreileitersystem 

(z.B. Dreieckschaltung; Sternschaltung ohne Mittelpunktsleiter) 

Jeweils für Sternschaltung und für Dreieckschaltung ist beispielhaft in Abb. 3.8 ein 

symmetrischer und in Abb. 3.9 ein unsymmetrischer dreiphasiger Verbraucher dargestellt. 

L 1 

L 2 

L 3 

P 1 

P 2 

a a 

b 

c 


b 

c



L 1 

L 2 

L 3 

P 1 

P 2 

a 

b 

c 

Abb. 3.8 

Abb. 3.9 

Wenn ein symmetrischer oder ein unsymmetrischer dreiphasiger Verbraucher an ein 

Dreileitersystem angeschlossen ist, dann werden zwei Wattmeter in der gezeigten Weise 

angeschlossen, dass der Spannungspfad der beiden Wattmeter jeweils mit einem Anschluss 

an der dritten, nicht mit einem Wattmeter versehenen Phase verbunden ist („Aron- 

Schaltung“). 

Pges = P1 

+ P2 

= c W α1 

+ c W α 2 

(3.20) 

Herleitung (unter Ausnützung der Kirchhoff’schen -Regel, so dass die Summe der drei 

Phasenströme I1, I2 und I3 gleich Null ist): 

Pges = Pph1 

+ Pph2 

+ Pph3 

= 

= U 

1 

I 

1 

+ U 

2 

I 

2 

+ U 

3 

I 

3 

= U 


1 

I 

1 

+ U 

2 

I 

2 

+ U 

3 

a 

b 

c 

( − I − I ) 

( U1 

− U3 

) I1 

+ ( U2 

− U3 

) I2 

= U13 

I1 

+ U23 

I2 

= P13 

+ P23 

= c α1 

+ c α 2 

1 

2 

W W 

(3.21) 

Als Gesamtleistung ergibt sich somit die Summe der beiden Wirkleistungen, welche mit den 

zwei Wattmetern gemessen wurden (in Abb. 3.9 mit P1, P2 bezeichnet), die in diesem 

Beispiel zwischen die Phasen 1 und 3, bzw. 2 und 3 geschaltet sind. 

Für die gesamte Wirkleistung des dreiphasigen Verbrauchers sind die beiden Wattmeter- 

Anzeigen zu addieren, wobei ein eventuell negatives Vorzeichen einer Anzeige für die 

Summenbildung als negativ zu berücksichtigen ist. 

Bei digitalen Wattmetern wird ein negativer Wert durch ein „Minus“- Vorzeichen am Display 

dargestellt, während bei analogen Wattmetern die Spannungsanschlüsse umzupolen sind, 

um den entgegengesetzten Zeigerausschlag in den Ablesebereich zu invertieren (dieser 

umgepolte, ursprünglich negative Ausschlag ist mit einem negativen Vorzeichen in der 

Rechnung zu berücksichtigen). 

Vierleitersystem - symmetrischer Verbraucher 

(Sternschaltung mit herausgeführtem Mittelpunktsleiter)



L 1 

L 2 

L 3 

N(Mp) 

P 1 

Abb. 3.10 

Wenn ein dreiphasiger symmetrischer Verbraucher an ein Vierleitersystem (also 

Sternschaltung mit herausgeführtem Mp- Leiter) angeschlossen ist, dann genügt die 

Verwendung eines einzigen Wattmeters (mit dem Spannungspfad wie in Abb. 3.10 gegen 

den Mp- Leiter geschaltet) in einer der drei Phasen, dessen Wirkleistungsanzeige mit 3 

multipliziert wird. 

Pges = 3P1 = 3 c W α1 

(3.22) 

Vierleitersystem - unsymmetrischer Verbraucher 

(Sternschaltung mit herausgeführtem Mittelpunktsleiter) 

L 1 

L 2 

L 3 

N(Mp) 

P 1 

P 2 

P 3 

Abb. 3.11 

Wenn ein dreiphasiger, unsymmetrischer Verbraucher an ein Vierleitersystem (also 

Sternschaltung mit herausgeführtem Mp- Leiter) angeschlossen ist, dann sind drei 

Wattmeter notwendig, welche jeweils mit ihrem Spannungspfad gegen den Mp- Leiter zu 

schalten sind. Die gesamte Wirkleistung des dreiphasigen Verbrauchers ergibt sich aus der 

Summe aller drei angezeigten Wirkleistungen. 

Pges = P1 

+ P2 

+ P3 

= c W α1 

+ c W α 2 + c W α 3 

(3.23) 

In diesem Fall ist keine negative Wattmeter-Anzeige möglich. 

Seite 3.13 von 19



Gesamtleistung eines dreiphasigen Verbrauchers 

Die gesamte Leistung (Wirk-, Blind- oder Scheinleistung) eines dreiphasigen Verbrauchers 

ergibt sich aus der Summe der einzelnen Leistungen in den drei Phasen (= Strängen). 

Es gilt für einen unsymmetrischen, dreiphasigen Verbraucher: 

P = P + P + P = U I cos ϕ + U I cos ϕ + U I cos ϕ 

(3.24) 

ges 

ges 

1 2 3 ph1 

ph1 

ph1 

ph2 

ph2 

ph2 

ph3 

ph3 

ph3 

Q = Q + Q + Q = U I sinϕ 

+ U I sinϕ 

+ U I sinϕ 

(3.25) 

ges 

1 2 3 ph1 

ph1 

ph1 

ph2 

ph2 

ph2 

ph3 

ph3 

ph3 

S = S + S + S = U I + U I + U I 

(3.26) 

1 2 3 ph1 

ph1 

ph2 

ph2 

ph3 

ph3 

Für einen symmetrischen, dreiphasigen Verbraucher sind die Effektivwerte Uph, Iph und der 

Phasenwinkel ϕph in jeder Phase identisch, so dass sich folgende Vereinfachungen ergeben: 

P = 3 U I cos ϕ 

(3.27) 

ges 

ges 

ph 

ph 

ph 

ph 

ph 

Q = 3 U I sinϕ 

(3.28) 

ges 

ph 

ph 

ph 

S = 3 U I 

(3.29) 

Dreieckschaltung 

Abb. 3.12 zeigt das Schaltbild eines symmetrischen, dreiphasigen Verbrauchers in 

Dreieckschaltung (mit beliebigen, aber in allen Phasen identischen Impedanzen Z). 

L1 

L2 

L3 

U 12 

U 23 

U 31 

I L1 

I L2 

I L3 

Abb. 3.12 

Bei Dreieckschaltung ist der Betrag der Phasenspannung gleich der außen 

anliegenden, verketteten Spannung (z.B. U12). Der Betrag des Phasenstromes ist um 

den Faktor 1/√√√√3 kleiner als der Außenleiterstrom. 

Somit kann die Wirkleistung mit den außen zugänglichen Größen (verkettete Spannung 

Uverk, Leiterstrom IL) wie folgt geschrieben werden: 


U 12 

U 23 

I 23 

Z 

Z 

Z 

I 12 

I 31 

U 31



I 

3 (3.30) 

3 

L 

PGes = Uph 

Iph 

cos ϕph 

= 3 Uverk 

cos ϕph 

= 3 Uverk 

IL 

cos ϕph 

In Abb. 3.13 ist das Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme gezeigt, welches wie folgt 

entsteht: 

1. Für die außen anliegenden, verketteten Spannungen, welche bei Dreieckschaltung gleich 

den Phasenspannungen sind, kann die Richtung einer Spannung beliebig angenommen 

werden (in diesem Fall z.B. ϕ=0° für U12), die übrigen Spannungen ergeben sich durch 

Phasen-Nacheilung um jeweils 120°. Der Effektivwert der verketteten Spannungen sei 

z.B. 400 V. 

= 400∠( 

0° 

) V 

U 12 

U 23 

U 31 

= 400∠( 

−120° 

) V 

= 400∠( 

−240° 

) V = 400 ∠ ( 120° 

) V 

U 31 

I L2 

I 23 

U 23 

ϕ 2 

ϕ 3 

I 31 

I L1 

ϕ 1 

I L3 

I 12 

Abb. 3.13 


U 12 

2. Die Phasenströme I12, I23, I31 seien in jeder Phase jeweils um den selben Winkel (da 

symmetrisch) gegenüber den Phasenspannungen phasenverschoben, z.B. um 45° 

nacheilend (also Z beispielhaft als Ohm´sch- induktiver Verbraucher angenommen). Der 

Effektivwert der Phasenströme sei z.B. 5 A. 

= 5∠( 

−45° 

) A 

I 12 

I 23 

I 31 

= 5∠( 

−165° 

) A 

= 5∠( 

75° 

) A



3. Die Außenleiterströme IL1, IL2, IL3 erhält man durch vektorielle Addition der Phasenströme 

gemäß der Kirchhoff´schen Knotengleichung. 

= I −I 

= 5∠( 

−45° 

) − 5∠( 

75° 

) = 8. 

66∠( 

−75° 

) A 

IL 1 12 31 

IL 2 I23 

− I12 

IL 3 I31 

− I23 

= = 5∠( 

−165° 

) − 5∠( 

−45° 

) = 8. 

66∠( 

165° 

) A 

= = 5∠( 

75° 

) − 5∠( 

−165° 

) = 8. 

66∠( 

45° 

) A 

Aus der maßstäblichen, vektoriellen Addition oder aus der komplexen Rechnung erhält man 

für die Beträge (z.B. Effektivwerte) der Ströme folgende allgemeine Formel: 

Iph 

= 

IL 

3 

(3.31) 

Ferner gilt: 

U U = (3.32) 

ph 

verk 

Sternschaltung 

L1 

L2 

L3 

U 12 

U 23 

U 31 

I L1 

I L2 

I L3 

Abb. 3.14 

Die Abb. 3.14 zeigt das Schaltbild eines symmetrischen, dreiphasigen Verbrauchers in 

Sternschaltung (mit beliebigen, aber in allen Phasen identischen Impedanzen Z) 

Bei Sternschaltung ist der Betrag der Phasenspannung um den Faktor 1/√√√√3 kleiner als 

die außen anliegende, verkettete Spannung. Der Betrag des Phasenstromes ist gleich 

dem Außenleiterstrom IL. 

Somit kann die Wirkleistung mit den außen zugänglichen Größen (verkettete Spannung 

Uverk, Leiterstrom IL) wie folgt geschrieben werden: 

U 

3 (3.33) 

3 

verk 

PGes = Uph 

Iph 

cos ϕph 

= 3 IL 

cos ϕph 

= 3 Uverk 

IL 

cos ϕph 

In Abb. 3.15 ist das Zeigerdiagramm der Spannungen und Ströme gezeigt, welches wie folgt 

entsteht: 

Z 

U 2 


U 1 

U 3 

Z 

Z 

I L1 

I L3



1. Da für symmetrische Verbraucher in Sternschaltung auch die Phasenspannungen ein 

120°-System bilden, kann hier auch von den Phasenspannungen ausgegangen werden 

kann. Die Richtung einer Spannung kann beliebig angenommen werden (in diesem Fall 

z.B. ϕ=0° für U1), die übrigen Phasenspannungen ergeben sich durch Phasen-Nacheilung 

um jeweils 120°. Der Effektivwert der Phasen-Spannungen sei z.B. 230 V. 

= 230∠( 

0° 

) V 

U 1 

U 2 

U 3 

= 230∠( 

−120° 

) V 

= 230∠( 

−240° 

) V = 230 ∠( 

120° 

) V 

U 31 

I L2 

U 2 

U 3 

ϕ 2 

ϕ 3 

I L3 

U 23 

Abb. 3.15 

2. Die verketteten Spannungen ergeben sich gemäß Kirchhoff´scher Maschenregel: 

= U − U = 230∠( 

0° 

) − 230∠( 

−120° 

) = 400∠( 

30° 

) V 

U12 1 2 

U23 U2 

− U3 

U31 U3 

− U1 

45°=ϕ 1 

I L1 


U 1 

U 12 

= = 230∠( 

−120° 

) − 230∠( 

−240° 

) = 400∠( 

−90° 

) V 

= = 230∠( 

−240° 

) − 230∠( 

0° 

) = 400∠( 

150° 

) V 

3. Die Phasenströme sind identisch zu den Außenleiterströmen IL1, IL2, IL3. Die Ströme sind 

jeweils um den selben Winkel (da symmetrisch) gegenüber den Phasenspannungen 

phasenverschoben, z.B. um 45° nacheilend (also Z beispielhaft als Ohm´sch- induktiver 

Verbraucher angenommen). Der Effektivwert der Phasenströme sei z.B. 5 A. 

= 5∠( 

−45° 

) A 

IL 1 

IL 2 

IL 3 

= 5∠( 

−165° 

) A 

= 5∠( 

75° 

) A 

Aus der maßstäblichen, vektoriellen Addition oder aus der komplexen Rechnung erhält man 

für die Beträge (z.B. Effektivwerte) der Spannungen folgende allgemeine Formel: 

U 

ph 

Uverk 

= (3.34) 

3 

Ferner gilt:



I = I 

(3.35) 

ph 

L 

Seite 3.18 von 19



Allgemeine Leistungsformeln für symmetrische Verbraucher 

Unabhängig von der Schaltung des Verbrauchers (Dreieckschaltung oder Sternschaltung) 

können folgende allgemeingültige Gleichungen für symmetrische Verbraucher aufgestellt 

werden, wenn ausschließlich die außen zugänglichen Größen (verkettete Spannung Uverk, 

Leiterstrom IL) verwendet werden: 

Ges 

verk 

L 

L1 

L2 

L3 

ph 

U verk 

U verk 

U verk 

I L 

I L 

I L 

Abb. 3.16 


Dreiphasiger 

Verbraucher 

P = 3 U I cosϕ 

(3.36) 

Q = 3 U I sinϕ 

(3.37) 

Ges 

Ges 

verk 

verk 

L 

L 

ph 

S = 3 U I 

(3.38)



4 Elektrische Messgeräte 

4.1 Allgemeines 

Fehler - Definitionen 

Absoluter Fehler Fa 

f = x − x 

(4.1) 

a 

A 

W 

Relativer Fehler Fr 

f 

r 

x A − x W 

= 100 [%] (4.2) 

x 

W 

mit xA .... angezeigter Wert (Istwert) 

xW .... wahrer Wert (Sollwert) 

4.1.1 Fehler bei analogen Messgeräten 

Die Klassengenauigkeit gibt den maximal auftretenden Fehler in [%] des Messbereichs- 

Endwertes des Messgerätes bei Nennbedingungen (Temperatur, Frequenz, Kurvenform, ...) 

an. Die Genauigkeitsklasse ist in der Anzeigeskala des analogen Messgerätes angegeben. 

Da sich die Klasse auf den Messbereichs-Endwert bezieht, bedeutet dies bei kleinen 

Zeigerausschlägen zwangsläufig einen höheren relativen Fehler (in [%]), während der 

absolute Fehler (in [A]) gleich bleibt! 

Dies soll folgendes Beispiel verdeutlichen (wobei der Messgeräte-Typ nicht untersucht wird). 

30 

20 

0 

40 

50 

60 

70 

80 

1,0 

90 

A 

Abb. 4.1 

100 

110 120 

Beispiel (Abb. 4.1): 

Genauigkeitsklasse Kl. = 1.0 (entspricht 1.1 A), 

Messbereichs-Endwert = 110 A 

Messbereich: 20 A ... 110 A 

Anzeigebereich: 0 A ... 120 A 

� nichtlinearer Anfangsbereich: 0 ... 20 A 

nichtlinearer Überlastbereich: 110 A ... 120 A 

Seite 4.1 von 24



Beispiel: Fehlerbetrachtung 

Messwert (entspricht ME) : 110 A 

= 110A 

± 1. 

1A 

= 108. 

9 A ... 111. 

1A 

x A , min− 

max 

fa , max = x W ± 1. 

1A 

− x W 

( ) = ± 1. 

1A 

( x ± 1. 

1A 

) − x 

W 

W 

fr 

= 

100 = ± 1. 

1% 

x W 

Messwert: 50 A 

= 50A 

± 1. 

1A 

= 48. 

9 A ... 51. 

1A 

x A , min− 

max 

fa , max = x W ± 1. 

1A 

− x W 

( ) = ± 1. 

1A 

( x ± 1. 

1A 

) − x 

W 

W 

fr 

= 

100 = ± 2. 

2% 

x W 

Messwert: 25 A 

= 25A 

± 1. 

1A 

= 23. 

9 A ... 26. 

1A 

x A , min− 

max 

fa , max = x W ± 1. 

1A 

− x W 

f 

r 

= 

fr 

Fr 100 

10 

1 

( ) = ± 1. 

1A 

( x ± 1. 

1A 

) − x 

W 

[%] 

x 

W 

W 

100 = 

± 4. 

4% 

1 10 100 [%] 


Absoluter Fehler: 

= ± 0. 

01ME 

= ± 1. 

1A 

f a 

Der absolute Fehler f a = fa, 

max von 1% 

bezogen auf den Messbereichsendwert bleibt 

konstant ( ± 1. 

1A 

). 

Der relative Fehler f r ändert sich als 

Funktion des Messwertes. 

fr 

Fr 10 

8 

6 

4 

2 

[%] 

XxA/ME A / ME 

xA/ME 

XA / ME 

20 40 60 80 100 [%] 

Abb. 4.2 Abb. 4.3 

Zur Veranschaulichung ist für ein Messgerät der Klasse 1.0 in Abb. 4.2 die starke Zunahme 

des relativen Messfehlers Fr bei kleinen Messwerten in logarithmischer Skalierung und in 

Abb. 4.3 in linearer Skalierung dargestellt. Auf der Abszisse ist der angezeigte Messwert XA 

bezogen auf den Messbereichs-Endwert ME in [%] angegeben. Für unser Beispiel ist 100 % 

also mit 110 A als Messbereichs-Endwert gleichzusetzen, bei welchem der angenommene 

Klassenfehler von 1 % Gültigkeit besitzt. 

Aus dieser Überlegung folgt die Forderung nach überlegter Auswahl der analogen 

Messgeräte: 

Der Messbereich des verwendeten Messgerätes sollte zur Vermeidung großer Messfehler so 

eingestellt werden, dass die zu messende Größe größer als 1/3 des Messbereichsendwertes 

ist.



4.1.2 Fehler bei digitalen Messgeräten 

Der Fehler von Digitalmultimetern wird durch einen proportionalen Anteil (% vom Messwert) 

und einen konstanten Anteil charakterisiert (Digits). 

f = ± (% v. 

M. 

+ Digits) 

(4.3) 

Beispiel: Fehler von Digitalmultimeter (DMM) 

1. Digitalmultimeter Unigor 355 (Quelle: Bedienungsanleitung) 

DC – Spannungs-Messbereich, 30 V: ± ( 0. 

05 % v. 

M. 

+ 3 D) 

, Auflösung 1 mV 

AC – Strom- Messbereich, 300 mA: ± ( 0. 

5 % v. 

M. 

+ 30 D) 

, Auflösung 10 μA 

2. Digitalmultimeter Fluke 189 (Quelle: Bedienungsanleitung) 

DC – Spannungs- Messbereich, 50 V: ± ( 0. 

03 % v. 

M. 

+ 3 D) 

, Auflösung: 1mV 

AC – Strom - Messbereich, 400 mA: ± ( 0. 

75 % v. 

M. 

+ 5 D) 

, Auflösung: 10 μA 

Beispiel: Berechnung vom maximalen absoluten und relativer Fehler 

Anzeige im 30 V DC Messbereich: 25.341 V 

= ± ( 0. 

0005 ⋅ 25.341+ 

3 ⋅ 0. 

001) 

= ± ( 0. 

01267 + 0. 

003) 

fa , max 

x A , min− 

max 

fr , max 

= 

= 

25. 

341 

( 25. 

341 

Einstellzeit 

± 

± 

0. 

01567 

V = 

0. 

01567 V) - 25. 

341V 

25. 

341V 

25.325 V... 25.357 

= 

± 0. 

0618% 

V 


= 

± 0. 

01567 

Die Zeit, die der Zeiger benötigt, bis er nach einer sprungartigen Änderung der Messgröße in 

den Toleranzbereich der Klassengenauigkeit eingeschwungen ist. Ursache sind bei 

analogen Messgeräten die mechanische Zeigerträgheit und bei digitalen Messgeräten die 

notwendigen internen Signalumsetzungen. 

4.2 Analoge Messgeräte 

4.2.1 Drehspul-Messgerät 

Bildung des Zeigerausschlags 

Der Aufbau des Messgerätes ist in zwei verschiedenen Abbildungen (Abb. 4.4, Abb. 4.7) 

gezeigt. Eine drehbar gelagerte Spule befindet sich im radial homogenen Magnetfeld eines 

Permanentmagneten. Wenn nun die Spule von einem Strom durchflossen wird (in diesem 

Fall ist es der zu messende Strom) dann erfährt jeder Leiter der Spule eine Kraft gemäß 

r r 

( l × B) 

r 

F = I 

(4.4) 

V



Abb. 4.4 

Wenn B und l normal aufeinander stehen, gilt 

Abb. 4.7 


Abb. 4.5: 

Symbol für 

Drehspulmesswerk 

Abb. 4.6 

Symbol für 

Drehspulmesswerk 

mit Gleichrichter 

F = I l B 

(4.5) 

Gesamtkraft aller w Windungen der Spule 

Fges = w I l B 

(4.6) 

Jede Windung (zwei Leiter) bildet einen Hebelarm um die Drehachse des Zeigers, wodurch 

sich ein stromproportionales, elektrisches Moment Me auf die Spule ergibt: 

M e 

= 2 r w I l B = k I 

(4.7)



Die Spule ist über eine Spiralfeder - welche sowohl der Stromzuführung als auch als 

mechanisches Gegenmoment dient - drehbar gelagert, wodurch die Spule ein 

drehwinkelproportionales Gegendrehmoment Mmech erfährt 

Mmech = D α 

(4.8) 

(... D: Drehfeder-Konstante, α: Drehwinkel) 

Die Spule wird durch den fließenden Strom I so weit verdreht, bis das elektrische, 

auslenkende Moment Me gleich dem rückstellenden Drehmoment Mmech wird. 

M M = (4.9) 

mech 

e 

2 r w I l B = D α 

(4.10) 

Somit ergibt sich ein Zeigerausschlagwinkel α, welcher proportional zum Messstrom I ist: 

2 r w Il 

B 

α = = k1 

I 

(4.11) 

D 

α ~ i( 

t) 

(4.12) 

Dämpfung: 

Nachdem jedes Masse-Feder-System (in diesem Fall aus drehbar beweglicher Spulenmasse 

und Drehfeder bestehend) mechanische Schwingungen ausführt, bevor es den stationären 

Ruhezustand annimmt, wird auch der Zeiger des Messgerätes erst nach Ablauf dieser 

mechanischen Einstellzeit eine ruhende Anzeige des Messwerts ermöglichen. Die 

Gleichungen (4.9) und (4.10) stellen somit das statische Gleichgewicht der wirkenden 

Momente dar, welches sich erst nach Abklingen der Einschwingvorgänge einstellt. 

Zur Verkürzung dieser Einstellzeit wird die drehbare Spule auf einem Aluminiumrahmen 

gewickelt. Bei jeder zeitlichen Änderung des Magnetfeldes, welches ein magnetisch 

leitfähiges Material durchsetzt, werden in diesem Material Spannungen induziert, welche 

aufgrund des geringen magnetischen Widerstandes von Aluminium in diesem Ströme 

hervorrufen („induzieren“). Diese sogenannten „Wirbelströme“ erzeugen ein Magnetfeld, 

welches ihre Ursache (i.e. die Bewegung der stromdurchflossenen Spule) zu hemmen 

versucht, also dämpft. 

Diese dämpfende Wirkung ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit des Magnetfeldes 

und somit proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Zeigers, wodurch ja eine 

Dämpfungseinrichtung charakterisiert ist. 

Abb. 4.8 

Seite 4.5 von 24



In Abb. 4.8 sind drei typische Fälle gezeigt: 

• Kriechende Einstellung des Anzeigewertes (starke Dämpfung) 

• Aperiodischer Grenzfall (ideale Dämpfung) 

• Überschwingen (geringe Dämpfung) 

Es gilt also, einen Kompromiss zwischen hoher Empfindlichkeit (große Einstellzeit, geringe 

Dämpfung) und geringer Einstellzeit (geringe Empfindlichkeit, große Dämpfung) zu finden. 

Strommessung, Spannungsmessung 

Das Drehspulmessgerät ist prinzipiell ein Strom-Messgerät, wird jedoch weitverbreitet als 

Spannungsmesser verwendet, indem intern der Strom über einen definierten 

Messwerkwiderstand geführt wird, an welchem die Messspannung abfällt. 

Wechselgrößen 

Bei Wechselströmen sehr kleiner Frequenz folgt der Zeiger dem Momentanwert des 

Stromes, während bei genügend hohen Frequenzen (z.B. auch 50 Hz) der Zeiger aufgrund 

seiner mechanischen Trägheit nicht mehr folgen kann und den zeitlichen Mittelwert anzeigt, 

welcher bei sinusförmigen Wechselgrößen Null ist. 

Um dennoch den Effektivwert von sinusförmigen Wechselgrößen zu messen, wird im 

beschriebenen Messwerk ein Gleichrichter vorgeschaltet, so dass das Messwerk den 

zeitlichen Mittelwert der gleichgerichteten Stromes i ( t) 

erfasst. 

|i(t)| 

Abb. 4.9 

Der zeitliche Mittelwert i ( t) 

des von einem Vollweg-Gleichrichter gelieferten, pulsierenden 

Gleichstromes ⎪i(t)⎪ ( = Gleichrichtwert) lautet: 

i( 

t) 

1 

= 

T 

T 

∫ 

0 

i( 

t) 

dt 

Daraus folgt für den Gleichrichtwert einer pulsierenden Gleichspannung (Abb. 4.9): 

T 


t 

(4.13) 

T / 2 

1 

2 2 

i( t) 

= ∫ î( 

t) 

sin( ωt) 

dt = ..... = î = 2 Ieff 

= 0. 

9 Ieff 

(4.14) 

T 

π π 

0



Damit ergibt sich für den Formfaktor F einer sinusförmigen Wechselgröße, welcher als 

Verhältnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert definiert ist: 

Ieff 

F = = 1. 

11 

(4.15) 

| i( 

t) 

| 

Die Skala des Messgerätes ist nun so eingeteilt, dass dieser Formfaktor F = 1.11 

berücksichtigt wird. Somit wird der vom Zeiger gemessene Mittelwert des pulsierenden, 

gleichgerichteten Stromes aufgrund der Skaleneinteilung mit dem Formfaktor für 

sinusförmige Größen multipliziert. 

Das Drehspulmessgerät mit eingebautem Gleichrichter zeigt ausschließlich für sinusförmige 

Wechselgrößen den korrekten Effektivwert an, da der Formfaktor für andere Wechselgrößen 

(z.B. Dreieckspannung, Rechteckspannung) nicht 1.11 beträgt (... andere Kurvenform für die 

Integral-Berechnung gemäß Gleichung (4.12)). 

4.2.2 Drehspul-Galvanometer 

Galvanometer werden zur Messung sehr kleiner Spannungen und Ströme vor allem als Null- 

Anzeigegeräte in Messbrücken (siehe. Kap. 3) verwendet. 

Für die geforderte Messung sehr kleiner Messgrößen ist eine große Empfindlichkeit 

notwendig, welche im Galvanometer durch ein schwache Dämpfung des Zeiger-Feder- 

Systems und eine Spule mit hoher Windungszahl (größere Ablenkkraft bei gleichem 

Messstrom; siehe Gleichung (4.6)) erreicht wird. Dafür muss jedoch eine größere Einstellzeit 

in Kauf genommen werden. 

4.2.3 Dreheisen- Messgerät 


Abb. 4.11 

Symbol für 

Dreheisen- 

Messgerät




Abb. 4.10 

Abb. 4.12 

Im Magnetfeld der vom Messstrom durchflossenen Spule befinden sich ein festes und ein 

bewegliches Blechplättchen, wodurch beide Plättchen vom selben Magnetfeld erfasst und 

magnetisiert werden. Folglich stoßen sich die Plättchen gegenseitig ab, wodurch das 

bewegliche, drehbar gelagerte Plättchen entsprechend der Größe des Messstromes 

ausgelenkt wird. 

Herleitung über Energiebilanz: 

Von der Spule aufgenommene magnetische Energie: 

1 

I 

2 

2 

Wmagn = L 

(4.16) 

Moment des bewegten Plättchens: 

M e 

dW 1 dL( 

α) 

2 

= = I 

(4.17) 

dα 

2 dα 

Rückstellendes, mechanisches Gegenmoment: 

Mmech = D α 

(4.18) 

Gleichsetzen des elektrischen, auslenkenden Moments Me mit dem rückstellenden 

mechanischen Moment Mmech liefert den Zeigerausschlagwinkel 

1 dL( 

α) 

2 

2 

α = ⋅ I = f( 

α) 

I 

(4.18) 

2 D dα 

Seite 4.8 von 24



2 

α ~ i( 

t) 

(4.19) 

Der Zeigerausschlag ist direkt proportional zum Quadrat des Momentanwerts i(t). 

Wechselgrößen 

Die gewünschte Anzeigegröße ist der Effektivwert des gemessenen Stromes 

( = Wurzel des quadratischen Mittelwerts): 

I 

eff 

= 

1 

T 

T 

∫ 

0 

i( 

t) 

2 

dt 


(4.20) 

Es gilt nun, aus der Zeigerausschlag-Proportionalität zum quadratischen Mittelwert eine 

Proportionalität zum Effektivwert herzustellen, was durch folgende zwei Maßnahmen erreicht 

wird: 

a.) Aufgrund der mechanischen Trägheit des Messwerk-Zeigers folgt der Zeiger nicht dem 

schnell pulsierenden Quadrat i(t) 2 des Momentanwerts des Messstromes (z.B. 50 mal pro 

Sekunde bei einer Frequenz von 50 Hz), sondern folgt dem zeitlichen Mittelwert des 

quadratischen Momentanwerts: 

i( 

t) 

1 

= 

T 

T 

∫ 

0 

i( 

t) 

2 

dt 

(4.21) 

b.) Die Skala des Messgerätes wird nun nicht proportional zu diesem Mittelwert eingeteilt, 

sondern durch spezielle Formgebung der Blechplättchen wird eine Wurzelabhängigkeit vom 

Mittelwert ( = Effektivwert; Gl. 4.16) erreicht. 

Das Dreheisen-Messgerät misst also ohne Umweg über Gleichrichter den echten 

Effektivwert von Wechselgrößen jeder Art (z.B. Sinus-, Dreieck-, Rechtecksignale). 

Das Dreheisen-Messwerk ist robust gegen Überlast, da es keine stromdurchflossenen 

bewegten Teile enthält, und weist gegenüber dem Drehspul-Messwerk einen wesentlich 

höheren Eigenverbrauch auf, da das magnetische Feld für die Zeigerauslenkung erst durch 

den durch die Spule fließenden Messstrom aufgebaut werden muss (bei 

Drehspulinstrumenten: Permanentmagnet).



4.2.4 Elektrodynamisches Messgerät 


Abb. 4.13 

Abb. 4.15 


Abb. 4.14 

Symbol für 

elektrodynamisches 

Messgerät 

Dieses Messwerk kann als Sonderfall eines Drehspul-Messwerks angesehen werden, 

dessen feststehender Permanentmagnet durch eine von einem zweiten Messstrom 

durchflossene Spule ersetzt ist. Es fließt also ein Messstrom I2 durch die bewegliche Spule 

und ein Messstrom I1 durch die feststehende Spule. 

Die Herleitung der Gleichung für den Zeigerausschlag ist analog zu jener des Drehspul- 

Messwerks (siehe Gleichung (4.11)), so dass für den Zeigerausschlagwinkel gilt:



2 r2 

w 2 I2 

l B1 

α = 

(4.22) 

D 

(Index 1: feststehende Spule, Index 2: bewegliche Spule) 

Für die magnetische Flussdichte B1 der feststehenden, von I1 durchflossenen Spule gilt 

(siehe Kap. 7) 

μ w I 

= k1 

w1 

I1 

(4.23) 

l 

1 1 

B 1 = 

Daraus folgt für den Zeigerausschlag: 

K 

1 

α = I1 

I2 

(4.24) 

D 

Der Zeigerausschlag ist proportional zum Produkt der beiden Messströme I1, I2 (zwei 

Strompfade). Wenn einer der beiden Messströme zwischen die Spannungsanschlüsse eines 

Verbrauchers geschalten wird, ist dessen Stromfluss direkt proportional zur Spannung U am 

Verbraucher. 

U ~ I (4.25) 

2 

1 

Wenn nun u1(t) und i1(t) sinusförmige Wechselsignale mit einer Phasenverschiebung ϕ 

zueinander sind, dann gilt 

K1 

1 

1 

α = u1( 

t) 

i1( 

t) 

= ... = K û î cos ϕ − K û î cos( 2ωt 

+ ϕ) 

D 

2 

2 


(4.26) 

Aufgrund der mechanischen Trägheit kann der Zeiger dem zweiten - mit doppelter 

Kreisfrequenz pulsierenden - Term nicht folgen, so dass lediglich der zeitlich konstante, 

erste Term relevant ist. 

α = U I cosϕ 

= K P 

(4.27) 

K eff eff 

1 

α ~ P 

(4.28) 

Der Zeigerausschlag ist proportional zur Wirkleistung P. 

Wattmeter-Konstante 

Die Skala von analogen Wattmetern weist eine dimensionslose Skalierung in „Skalenteilen“ 

[Skte.] auf. Für die Anpassung an den Maximalwert der Messgröße sind verschiedene 

Messbereichsendwerte für Spannungspfad und für Strompfad einstellbar. 

Die Umwandlung der Anzeige in [Skte.] in die Einheit [W] erfolgt mit Hilfe der „Wattmeter- 

Konstante“ cW. 

c 

U 

I 

ME ME 

W = in [W/Skte.] (4.29) 

α ges 

mit: UME - Messbereichs-Endwert des Wattmeter-Spannungspfades [V]



IME - Messbereichs-Endwert des Wattmeter-Strompfades [A] 

αges - Gesamt-Skalenteile der Wattmeterskala [Skte.] 

Die Wattmeter-Konstante hängt also vom gewählten Messbereich am Wattmeter ab. 

⎡ W ⎤ 

P = c W α Einheiten: [ W] = ⎢ [ Skte. 

] 

Skte. 

⎥ (4.30) 

⎣ ⎦ 

Die am Wattmeter abgelesene Leistung in [Skte.] wird mit der aus den Wattmeterdaten 

berechneten Wattmeter-Konstante cW multipliziert und ergibt die Wirkleistung in [W]. 

Aus der Anzeige der Wirkleistung allein erkennt man nicht, wie groß die anliegende 

Spannung oder der durch das Messgerät fließende Strom ist (ob also das Wattmeter 

spannungsmäßig oder strommäßig bereits überlastet ist). 

Folglich ist auf eine sorgfältige Wahl der Spannungs- und Strom-Messbereiche des 

Wattmeters bezüglich der maximal auftretenden Messwerte zu achten. 

4.3 Digitale Messgeräte 

4.3.1 Digital-Multimeter (DMM) 

U-Eingang 

I-Eingang 

R-Eingang 

_ 

+ 

ADU 

Abb. 4.16 


Verarbeitung 

Digitalanzeige 

Abb. 4.16 zeigt stark vereinfacht das Schema eines Digital-Multimeters (DMM) zur Messung 

von elektrischen Größen (z.B. Spannung, Strom, Widerstand). 

Die Eingangsschaltung wirkt als Spannungsteiler, um die Eingangsspannung auf ein 

verarbeitbares Niveau zu senken. Hier erfolgt auch die (automatische oder manuelle) 

Umschaltung der Messbereiche des DMM entsprechend der Höhe der Messgröße. Der 

Analog-Digital-Umsetzer (ADU) erzeugt aus der analogen Messgröße ein digitales Signal zur 

Anzeige am LCD-Display.



Man unterscheidet grundsätzlich: 

• DMM mit eingebautem Gleichrichter („Effektivwertgleichrichter“), welche wie bei 

Drehspulinstrumenten bei Wechselsignalen nur für sinusförmigen Verlauf den korrekten 

Effektivwert anzeigen � Aufschrift „RMS“ (root-mean-square, Wurzel des quadratischen 

Mittelwerts = Effektivwert; vgl. Gl. 4.16). 

• DMM mit eingebautem Effektivwert-Umformer, welche den „echten“ Effektivwert 

unabhängig von der Kurvenform, also auch von nichtsinusförmigen Größen anzeigen 

besitzen die Aufschrift „True RMS“- oder „TRMS“ („Echt-Effektivwert-Messgeräte“). 

4.3.2 Digitales Wattmeter 

Dieses ermöglicht neben der eigentlichen Messung der Wirkleistung (direkt in [W] 

angezeigt) auch die direkte Messung von Spannung, Strom und Leistungsfaktor cos ϕ , 

wobei bei letzterem zusätzlich eine Anzeige erfolgt, ob der zugehörige Phasenwinkel ϕ 

positiv oder negativ (also induktiv oder kapazitiv) ist. 

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4.4 Oszilloskope 

Das Oszilloskop dient zur Darstellung zeitabhängiger Signale, nachdem mit - analogen und 

digitalen - Messinstrumenten lediglich ein konstanter Wert - in der Regel der Effektivwert - 

jedoch nicht der zeitliche Verlauf der Messgröße erfasst werden kann. 

4.4.1 Analog- Oszilloskope 

Die Analog- Oszilloskope beruhen auf dem Prinzip der Elektronenstrahl – Ablenkung in einer 

evakuierten Röhre. Das Mess – Signal wird auf Ablenkplatten geführt, der Elektronenstrahl 

erfährt eine proportionale Ablenkung in y – Richtung. Der fluoreszierend wirkende Schirm 

macht den Strahl sichtbar. Prinzipbedingt haben die Analog - Oszilloskope eine große 

Bauform und niedrige Grenzfrequenzen. Diese entsprechen daher nicht mehr dem Stand 

der modernen Messtechnik. 

4.4.2 Digital- Oszilloskope 

Bei Digital- Oszilloskope werden die Messwerte mit Hilfe von schnellen Analog – Digital 

Umsetzer (ADU) zeitlich und amplitudenmäßig diskretisiert. Die Messwerte können 

abgespeichert und weiterverarbeitet werden. Man spricht daher auch von 

Digitalspeicheroszilloskope (DSO). 

Vertikaleinstellung, Vertikalmenü 

Die Abb. 4.17 zeigt das grundsätzliche Schema eines Digitaloszilloskops. Die Messwerte der 

einzelnen Kanäle werden je nach der gewünschten Dehnung in Vertikalrichtung 

[VOLTS/DIV, Spannung pro Skalenteilung] verstärkt und dem ADU zugeführt. 

Kanäle 

Ext. 

Netz 

Vertikal: 

Verstärkung 

und position 

Trigger 

Datenerfassung: 

Modus und 

Zeitbasis 


Signalaufzeichnung 

Anzeige 

Schnittstelle



Kopplung 

Abb. 4.17 

In Zusammenhang mit den Einstellungen zur Vertikalablenkung des Messsignals ist ein 

Wahlschalter für die Kopplung des Eingangssignals vorgesehen: 

GND In Position GND wird intern im Oszilloskop Null Volt als Eingangsspannung angelegt, 

wodurch am Bildschirm die Nulllinie dargestellt wird und somit die Lage der Nulllinie 

am Bildschirm entsprechend der gewünschten Darstellung gewählt werden kann. 

AC In Position AC wird das Eingangssignal über eine interne „Hochpass“-Schaltung 

eingekoppelt, welche die hochfrequenten Anteile des Eingangssignals „passieren“ 

lässt („Hochpass“), die niederfrequenten Anteile bzw. einen eventuellen Gleichanteil 

des Eingangssignals sperrt. Wenn das Messsignal z.B. aus einem Sinusverlauf mit 

einem Gleichanteil besteht, dann gelangt in der Position AC lediglich der 

Wechselanteil zur Bildschirmanzeige, nicht jedoch der Gleichanteil. 

DC In Position DC wird das Eingangssignal direkt eingekoppelt, d.h. das Signal wird 

vollständig (inklusive Gleichanteil) dargestellt. 

Datenerfassung 

Die Messdaten können mit verschiedenen Methoden erfasst werden. 

Normaler Abtastmodus (Standard) 

Die Messsignale werden in gleich großen Intervallen ab. Dieser Modus erfasst jedoch keine 

schnellen Änderungen im analogen Signal, die möglicherweise zwischen den Abtastwerten 

auftreten. 

Spitzenwert 

Das Oszilloskop sucht die höchsten und niedrigsten Werte des Eingangssignals innerhalb 

eines Abtastintervalls. Auf diese Weise können kurze Impulse erfasst werden, die im 

normalen Abtastmodus nicht erfasst worden wären. Es tritt aber erhöhtes Rauschen auf. 

Mittelwert 

Die Messwerte werden über mehrere Signalwerte gemittelt, das Rauschen wird unterdrückt, 

führt aber dadurch zu einem Informationsverlust bei z.B. kurzen Signalen. 

Zeitbasis 

Mit der Zeitbasis ist die zeitliche Abtastung mit der Auswahl SEC/DIV einstellbar. 

Beispiel: Digitales Echtzeit- Oszilloskop Tektronix TDS 210 

Horizontaleinstellung 5 ns/DIV – 5 s/DIV 

Triggerung 

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Zur Erzeugung eines stehenden Bildes auf dem Bildschirm ist es erforderlich, dass die 

Ablenkung in X- und in Y- Richtung in einer festen Beziehung zueinander stehen. Dies wird 

durch die Triggerung ( = engl. Auslösung) erreicht. 

Die Funktion des Triggers entspricht somit grundsätzlich der des Analog – Oszilloskop. 

Während jedoch beim Analog – Oszilloskop vom Trigger ein Sägezahngenerator ausgelöst 

wird, der die X- Ablenkung steuert, wird beim Digital Oszilloskop die Speicherung gesteuert. 

Die Triggerung kann sowohl intern über die Messsignale der Kanäle (üblich) oder über 

externe Signale ausgelöst werden. Als weiterer Triggersignaleingang steht nochein Signal 

zur Verfügung, das einen Bezug zur Frequenz der Versorgungsspannung des Oszilloskops 

hat (siehe Abb. 4.17). 


Max. Abtastrate: 1GS/s (1 Gigasample/s = 10 9 Abtastungen/s) 

Aufzeichnungslänge: 2500 Abtastungen/ Kanal 

Der Triggerzeitpunkt wird über den Trigger – Level (einstellbarer Amplitudenwert) festgelegt. 

Weiters ist anzugeben, ob die Triggerung bei steigender oder bei fallender Flanke erfolgen 

soll. Mit dem Pretrigger kann die „Vorgeschichte“ vor dem Triggerereignis aufgezeichnet 

werden. Es können mit Hilfe des Posttriggers Signalverläufe dargestellt werden, die nach 

dem Triggerereignis auftreten. Je nach Speichertiefe ist aber nur eine bestimmte 

Aufzeichnungsdauer möglich. 

Aliasing 

Dieser Effekt tritt auf, wenn das Oszillokop die Signale nicht schnell genug abtastet, um eine 

präzise Signalaufzeichung zu ermöglichen. Beim Aliasing wird ein Signal angezeigt, das eine 

niedrigere Frequenz als das eigentliche Eingangssignal aufweist. Um das Aliasing zu 

vermeiden, muss das Signal mit einer Frequenz abgetastet werden, die mehr als doppelt so 

hoch ist, wie die höchste Frequenz der Komponenten des Eingangssignals. 

Beispiel: Ein Eingangssignal mit Frequenzkomponenten von 5 MHz muss mit mindestens 

10 Millionen Abtastungen pro Sekunde abgetastet werden. 

Mit Hilfe der Zeitbasis kann die entsprechende Einstellung getätigt werden, um den Aliasing 

– Effekt zu vermeiden. Je kleiner die Zeitbasis eingestellt ist, umso höher muss die 

Abtastrate gewählt werden. 


Zeitbasis Abtastungen/s Maximale Signalfrequenz 

1μ s 

250.0 MS/s 125.0 MHz 

10 μ s 25.0 MS/s 12.5 MHz 

5 ms 50.0 kS/s 25.0 kHz 

5 s 

50.0 S/s 25.0 Hz 

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Beispiel eines Oszilloskop- Bildes: 

Abb. 4.18 

Abb. 4.18 zeigt den Ausdruck eines digitalen Speicheroszilloskops (DSO), wobei folgende 

Informationen abgelesen werden können: 

Zeitablenkung: M5.00ms, d.h. 5 ms/DIV → 5 ms pro Rastereinheit 

→ Abmessen der Periodendauer: T = 4 Einheiten = 20 ms 

→ Frequenz (f = 1/T) = 50 Hz 

Die Frequenz des Signals kann auch vom Oszilloskop errechnet 

werden. Die erforderliche Einstellung ist über die Mathematik – Menüs 

zu tätigen. 

Signal-Ablenkung: 1.00 V, d.h. 1 V/DIV → 1 V pro Rastereinheit 

→ Scheitelwert (= Amplitude): û = 3 Einheiten = 3 V 

Trigger-Level: - 0.58 V 

Trigger-Flanke: fallend 

Abtastrate: 50.0 kS/s. Der dargestellte Signalverlauf hat eine Frequenz f = 50 Hz, 

die deutlich unter der maximalen theoretischen Frequenz von 25 kHz 

liegt (Vermeidung des Aliasing Effekts) 

Schnittstelle 

Die vorhandene Schnittstelle ermöglicht die Bedienung des Oszilloskops über den PC, die 

Abspeicherung der Messdaten, sowie die bequeme Einbindung in ein automatisiertes 

Messsystem. Auf Grund der vorliegenden, intern gespeicherten Daten können auch 

Mathematikfunktionen aufgerufen, die von einfachen Funktionen wie z.B. Additionen, Min- 

Max Auswertungen, Mittelwertbildung, Invertierungen bis zur Fourieranalyse von Signalen 

reichen. 

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Anzeige 

Die Darstellung der Messsignale erfolgt im auf elektronische Weise auf einem 

Flüssigkristallschirm. Somit gibt es keine Störeinflüsse durch magnetisch verseuchte 

Messumgebungen (im Gegensatz zu Analog – Oszilloskope). 

4.4.3 Tastkopf, Tastteiler 

Durch diese Frequenzkompensation werden außerdem die durch lange Messkabel oder 

hohe Messfrequenzen möglichen kapazitiven Einstreuungen beseitigt. 

Um kapazitive Einstreuungen bei langen Messkabeln oder hohen Messfrequenzen zu 

vermeiden, werden sogenannte Tastköpfe eingesetzt. 

Wenn der Tastkopf zusätzlich einen Spannungsteiler aufweist, welcher hohe 

Messspannungen auf einen für das Oszilloskop verarbeitbaren Wert teilt, spricht man von 

einem Tastteiler. Dazu wird das Prinzip des Spannungsteilers angewendet (siehe Kap. 1), 

indem der Tastkopf mit dem eingebauten Widerstand RT vor das Oszilloskop geschaltet 

wird. 

Würde das Oszilloskop lediglich einen Ohm’schen Eingangswiderstand RO aufweisen, dann 

würde der Tastkopf nur einen Widerstand RT enthalten müssen, d.h. der Spannungsteiler in 

Abb. 4.19 wäre rein Ohm’sch mit RT und RO. Für diesen Fall würde die Formel des 

Ohm’schen Spannungsteilers wie folgt lauten: 

R 

T 

U 

1 

+ R 

O 

U 

= 

R 

2 

O 


(4. 31) 

Die am Oszilloskop anliegende Spannung U2 würde damit gemäß folgender Formel reduziert 

werden: 

U 

U 

1 

2 = RO 

(4.32) 

R T + RO 

Da das Oszilloskop jedoch - wie in Abb. 4.23 und Abb. 4.24 gezeigt - zusätzlich zu RO eine 

Eingangskapazität CO aufweist, muss im Tastkopf parallel zu RT eine Kapazität CT 

geschaltet sein, damit der Spannungsteiler für alle Frequenzen dasselbe Teilerverhältnis 

zwischen U1 und U2 aufweist. Damit dies erfüllt wird, ist folgende Bedingung einzuhalten: 

R C = R C 

(4.33) 

T 

T 

O 

O 

„frequenzkompensierter, kapazitiver Spannungsteiler“ 

Abb. 4.19 zeigt das Prinzip eines Tastkopfes mit den internen Elementen RT und CT, wobei 

CT mittels Drehknopf veränderlich ausgeführt ist, und die Eingangsschaltung eines 

Oszilloskops mit RO und CO.



Abb. 4.20 zeigt nochmals das elektrische Schaltbild des entstehenden kapazitiven 

Spannungsteilers anschaulich herausgezeichnet. 

Signal 

Masse 

R T 

C T 

Tastkopf 

R O 

Oszilloskop 

C O 


Signal 

Masse 

Abb. 4.19 Abb. 4.20 

Wenn der Tastkopf verschiedene Stufen bietet (z.B. 10:1, 100:1), dann ist auch die in ihm 

enthaltene Kapazität CT für jede Einstellung so zu verändern, dass Gleichung (4.33) erfüllt 

ist. Dazu weist der Tastkopf einen Drehknopf zur Verstellung von CT auf. 

Vor Verwendung eines Tastkopfes sollte stets ein Abgleich zur Überprüfung der korrekten 

Einstellung von CT durchgeführt werden. 

Durchführung des Tastkopf-Abgleichs: 

Am Oszilloskop befindet sich ein Anschluss, welcher eine Rechteckspannung zu 

Testzwecken liefert (meist mit „Cal“ bezeichnet - Kalibrierknopf). Der Tastkopf wird mit 

seinem Koaxial-Kabelende an einen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen, und 

die Tastkopf-Spitze wird mit dem Kalibrieranschluss verbunden. Dadurch wird am 

Oszilloskop das Rechtecksignal dargestellt. 

Der Drehknopf des Tastkopfes wird nun so lange verstellt, bis das Rechtecksignal am 

Leuchtschirm als exaktes Rechteck auftritt (also keine gekrümmten Ecken zeigt). Wenn dies 

erreicht ist, dann liegt Frequenzkompensation vor, d.h. es werden alle Frequenzen ohne 

Verzerrungen am Oszilloskop dargestellt. 

U 1 

R T 

R O 

C T 

C O 

U 2



4.4.4 Erdungsproblematik bei Oszilloskopen 

1. Sicherheitsproblematik 

Beispiel: 

Darstellung der Wechselspannung einer 230 V-Steckdose mittels Oszilloskop. 

Zwischen dem Phasenleiter (z.B. L1) und dem Nulleiter (N-Leiter) liegt die Phasenspannung 

230 V. Das Oszilloskop- Messkabel ist zur besseren elektrischen Abschirmung (Schutz vor 

Einkopplung von Störspannungen) als Koaxial-Kabel ausgeführt, d.h. ein Anschluss ist als 

Innenleiter ausgeführt, welcher vom zweiten, als Außenleiter ausgeführten Anschluss 

umgeben ist. Der Außenleiter ist der Masseleiter, da er im Oszilloskop mit dem metallischen 

Gehäuse des Oszilloskops verbunden ist. Das Gehäuse seinerseits ist über den Schutzleiter 

(PE-Leiter, „Protection Earth“; siehe Kap. 6) mit dem Nullpunkt des speisenden Dreiphasen- 

Transformators (dessen Sekundärseite in den Abbildungen dargestellt ist) verbunden. 

Es ist also darauf zu achten, dass lediglich am Innenleiter die zu messende Spannung 

anliegen darf, während am Masseleiter immer Nullpunktsspannung als Bezugsspannung 

anliegen muss. Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf die Problematik, wenn der 

Masseleiter an die zu messende Spannung (hier: Phase L1) und nicht an die Nullspannung 

angeschlossen wird. 

Prinzipiell ist anzumerken, dass für den ordnungsgemäßen und sicheren Betrieb von 

elektrischen Geräten ein vorhandener PE-Leiter (gelb-grüner Schutzleiter) nicht 

unterbrochen werden darf ! 

230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

Abb. 4.21 


Koaxial-Kabel 

Oszilloskop 

Wenn der Masseleiter des Oszilloskop- Kabels mit dem 230 V - Phasenleiter verbunden 

wird, wird somit die 230 V - Spannung über Masseleiter, Oszilloskop- Gehäuse und PE- 

Leiter mit dem Nullpunkt des speisenden Trafos verbunden. Dadurch fließt ein hoher 

Kurzschlussstrom über den PE-Leiter, wodurch der Fehlerstrom-Schutzschalter (FI- 

Schalter) den Stromkreis unterbricht, um bei Berühren des Gehäuses einen gefährlich 

hohen Strom über den Körper zu verhindern.



230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

Abb. 4.22 


Koaxial-Kabel 

Oszilloskop 

Eine gefährliche und daher unzulässige Möglichkeit stellt die Unterbrechung des PE-Leiters 

dar. 

Das Gehäuse des Oszilloskops liegt auf dem selben Potenzial wie die gerade gemessene 

Spannung, so dass bei Berührung des Gehäuses abhängig von der Höhe der gemessenen 

Spannung (sowie vom Körper- und Bodenwiderstand) ein gefährlich hoher Strom über den 

Körper fließen kann (nachdem der vorgesehene Fehler-Stromweg über den PE-Leiter 

unterbrochen ist). 

Und selbst wenn lediglich ungefährlich kleine Ströme über den Körper fließen (aufgrund 

kleiner Messspannung oder großen Bodenwiderstandes), kann das Messergebnis durch den 

abfließenden Strom verfälscht werden (Einkopplung eines Magnetfeldes in den 

geschlossenen Stromkreis). 

230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

Abb. 4.23 

Trenntrafo 

Koaxial-Kabel 

Oszilloskop 

Ebenso unzulässig ist die Verwendung eines Trenntrafos in der Versorgungsleitung des 

Oszilloskops, da dieser auch eine Unterbrechung des PE-Leiters bewirkt und wiederum die 

im vorigen Beispiel angeführten Probleme auftreten können.



230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

Abb. 4.24 


Koaxial-Kabel 

Oszilloskop 

Eine mögliche und sichere Abhilfe für obige Problematik stellt die Verwendung eines 

zusätzlichen, isolierten Gehäuses dar (Prinzip der Schutzisolierung), wodurch die am 

Oszilloskop -Gehäuse anliegende Spannung keinen Stromfluss über den Körper hervorrufen 

kann, nachdem kein geschlossener Stromkreis vorliegt. 

In diesem Zusammenhang ist die neueste Generation von tragbaren Oszilloskopen zu 

erwähnen, welche keinen Masse-Bezug mehr aufweisen, über Batterie oder Akku versorgt 

werden und mit einem schutzisolierten Gehäuse versehen sind. Dadurch sind keine 

Probleme hinsichtlich Erdung und Spannungsverschleppung zu erwarten. 

230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

Koaxial-Kabel 

Spannungswandler 

Abb. 4.25 

Oszilloskop 

Die sicherste und somit empfehlenswerte Möglichkeit ist die Verwendung eines 

Spannungswandlers (oder eines elektronischen Trennverstärkers) im Messkreis, 

wodurch eine Potenzialtrennung erfolgt. Es kann über den Trafo, bzw. über den 

Trennverstärker kein Strom von der Primärseite auf die Sekundärseite fließen. Es wird also 

ein geschlossener Stromkreis verhindert, so dass die Spannung am Masseleiter keinen 

Stromfluss über den PE-Leiter oder über den Körper hervorrufen kann.



2. Messproblematik 

Selbst wenn, wie oben empfohlen, die Messschaltung galvanisch vom versorgenden 

Spannungsnetz getrennt ist, können bei der gleichzeitigen Darstellung mehrerer Signale 

aufgrund der Oszilloskop- internen Masseverbindung Messprobleme auftreten, welche im 

folgenden erklärt werden sollen. 

Mehrkanal- Oszilloskope ermöglichen die gleichzeitige Darstellung mehrerer Signale (z.B. 

Zweikanal- oder Vierkanal- Oszilloskop). Für den Aufbau einer Messschaltung mit mehreren 

Signalen ist jedoch zu beachten, dass - wie oben angeführt - jeder Signaleingang des 

Oszilloskops mit einem Koaxial-Anschluss versehen ist, dessen Außenleiter intern im 

Oszilloskop mit dem Gehäuse verbunden ist („Masse-Punkt“). Das bedeutet also, dass 

jeweils alle am Außenleiter angeschlossenen Punkte eines Messsignals intern am 

gemeinsamen Massepunkt verbunden sind. 

Die dabei auftretende Problematik zeigen Abb. 4.26 und Abb. 4.27. Hierbei sollen als 

Messaufgabe die beiden Spannungen U1 über R1 und U2 über R2 auf zwei vertikalen 

Kanälen eines Zweikanal- Oszilloskops gleichzeitig dargestellt werden. 

U 1 

U 2 

R 1 

R 2 

Abb. 4.26 


Koaxial-Kabel 

Masse 

Ch1 

Koaxial-Kabel 

Ch2 

In Abb. 4.26 sind die beiden Messspannungen so an das Oszilloskop angeschlossen, dass 

das jeweils im Schaltbild „obere“ Potenzial an den Innenleiter und das jeweils „untere“ 

Potenzial an den Außenleiter („Masseleiter“) des Koaxial-Kabels angeschlossen wird. 

Man erkennt, dass aufgrund der internen Verbindung der Außenleiter jedes Koaxial-Kabels 

mit dem gemeinsamen Masse-Anschluss auf diese Weise der Widerstand R2 widerstandslos 

überbrückt (kurzgeschlossen) wird. In diesem Fall wird somit als Signal des Kanals 2 (Ch 2) 

Null Volt anstatt der Messspannung U2 dargestellt.



U 1 

U 2 

R 1 

R 2 

Abb. 4.27 


Koaxial-Kabel 

Masse 

Koaxial-Kabel 

Ch1 Ch2 

"invertiert" 

Die beschriebene Problematik wird bei Anwendung einer Messschaltung nach Abb. 4.27 

vermieden. Die Messung der Spannung U1 erfolgt auf die selbe Weise wie in Abb. 4.26. Die 

Messspannung U2 wird nun jedoch in umgekehrter Art so an das Oszilloskop 

angeschlossen, dass das im Schaltbild „obere“ Potenzial an den Außenleiter („Masseleiter“) 

und das „untere“ Potenzial an den Innenleiter des Koaxial-Kabels angeschlossen wird. 

Auf diese Weise bleibt die Oszilloskop - bedingte Verbindung der Außenleiter beider Koaxial- 

Kabel mit dem gemeinsamen Massepunkt ohne Auswirkung, da nun zwei Punkte der 

Schaltung über die Oszilloskop- Masse kurzgeschlossen werden, welche auch in der 

Schaltung selbst ohnedies direkt verbunden sind, sich also auf gleichem Potenzial befinden 

(„unterer“ Punkt von R1 und oberer“ Punkt von R2). 

Da bei dieser Anschlussart die Messspannung U2 negativ (bei Gleichspannung), bzw. mit 

180° Phasenverschiebung (bei Wechselspannung) am Bildschirm dargestellt werden würde, 

muss zur Vorzeichenumkehr der INV – Modus (Invertierung) am Oszilloskop eingestellt 

werden. 

Bei der Darstellung mehrerer Signale ist also zu berücksichtigen, dass alle Masse- 

Anschlüsse (Außenleiter) der koaxialen Signaleingänge am Oszilloskop intern mit dem 

gemeinsamen Massepunkt verbunden sind. Eventuell ist aus diesem Grund ein Signal 

invertiert am Oszilloskop darzustellen. 

Grundsätzlich sollte man die Koaxial – Messleitungen so kurz als möglich halten, um 

Einstreuungen (kapazitive und induktive Beeinflussung) auf diese Messleitungen weitgehend 

zu vermeiden.



5 Elektronik - Operationsverstärkerschaltungen 

5.1 Funktion des Operationsverstärkers 

Die Arbeitsweise von Operationsverstärkern wird von ihrer äußeren Beschaltung bestimmt, 

während der innere Aufbau in weitem Maß für das Verständnis seiner Anwendungen 

unerheblich ist. Der Operationsverstärker wird je nach äußerer Beschaltung entweder in 

linearen Anwendungen als Verstärker für Spannungen und Ströme verwendet (siehe 

Kap. 5.2) oder in nichtlinearen Anwendungen als Schalter (siehe Kap. 5.3), wobei dieser 

sowohl für Gleichsignale als auch für Wechselsignale Verwendung findet. Für 

Wechselsignale hoher Frequenz sind jedoch gewisse Einschränkungen zu beachten. 

U 1+ 

U D 

U 1- 

I 1+ 

I 1- 

- U B 

Abb. 5.1 

Der Operationsverstärker (kurz OPV) weist die in Abb. 5.1 gezeigten Anschlüsse auf. 

Zur Versorgung der inneren Elektronik des OPV sind an die bestimmungsgemäßen 

Anschlüsse die positive Versorgungsspannung (+UB, „Betriebsspannung“) und die negative 

Versorgungsspannung (-UB) anzuschließen. Die Größe dieser Spannung ist vom jeweiligen 

OPV- Typ abhängig und wird im entsprechenden Datenblatt angegeben (z.B. ± 12 V, ± 15 

V). Die Null Volt-Anschlüsse für Versorgungsspannung, Ein- und Ausgangsspannung sind 

miteinander verbunden. 

Die Eingangsklemmen werden invertierender (-) Eingang, bzw. nicht-invertierender (+) 

Eingang genannt, was sich aus folgender prinzipiellen Funktion des OPV erklärt: 

U2 = V0( 

U1+ 

− U1− 

) = V0 

UD 

(5.1) 

V0 ist die offene Verstärkung, d.h. Verstärkung des unbeschalteten OPV. 

(im Gegensatz zur Verstärkung mit Gegenkopplung) 

Der OPV verstärkt die unmittelbar an seinen Eingängen anliegende Differenzspannung UD 

um den Verstärkungsfaktor V0. 

Die Verstärkung V0 beträgt im realen Fall ca. 10 4 - 10 7 , für idealisierte (und in der Praxis 

ausreichend genaue) Überlegungen kann sie jedoch als unendlich groß angesehen werden. 


0 V 

+ U B 

U 2



Wenn nun als U1+ eine positive Gleichspannung (gegenüber 0 V) und als U1- die Spannung 0 

V angelegt wird, dann ergibt sich eine positive Eingangsdifferenzspannung UD. Diese wird 

vom OPV mit V0 verstärkt an den Ausgang gelegt (U2), wie folgendes Zahlenbeispiel zeigt: 

Beispiel: U1+ = 1 V, U1- = 0 V, V0 = 10 6 → U2 = 10 6 1 = 1000000 V = 1 MV (??) 

Der OPV würde also an seinem Ausgang eine Spannung von 1 Mio. Volt erzeugen, was 

natürlich nicht möglich ist, wie folgenden Überlegung zeigt: 

Abb. 2 zeigt vereinfacht, dass im Inneren des OPV der Ausgang über Transistoren 

(vereinfacht als steuerbare Stromquellen anzusehen) mit +UB, bzw. -UB verbunden ist. Somit 

kann U2 in positiver Richtung maximal +UB minus ca. 2 V als Spannungsabfall am Transistor 

aufweisen, bzw. in negativer Richtung maximal einen Wert, welcher um den 

Transistorspannungsabfall von ca. 2 V positiver ist als -UB. 

Beispiel: +UB = +15 V → U2,max = 15 - 2 = 13 V 

-UB = -15 V → U2,min = -15 - (-2) = -13 V 

U2,max und U2,min müssen nicht notwendigerweise betragsmäßig gleich groß sein. 

U 1+ 

U D 

U 1- 

Abb. 5.2 

Daraus ergibt sich, dass der OPV die Eingangsdifferenzspannung UD um den Faktor V 

verstärkt an den Ausgang (U2) liefert (und dies in einem linearen Verhältnis zwischen UD und 

U2; linearer Bereich des OPV), dies jedoch nur soweit es ihm von der ihn versorgenden 

Betriebsspannung ermöglicht wird. Sobald also UD so groß ist, dass U2 den maximalen Wert 

in positiver oder negativer Richtung erreicht, kann U2 nicht weiter steigen (die Transistoren 

sind bereits voll durchgesteuert). 

+ U B 

Abb. 5.3 zeigt diese Begrenzung für folgende Werte: +UB = +15 V, -UB = -15 V, V0=10 6 

Begrenzung 

U 2 

+13 

[V] 

-15 +15 

ideal 

real 

-13 

linear Begrenzung 

U D 

[μV] 

--U B 


U 2 

U 2 

ideal real 

U 0 

U D



Abb. 5.3 

Es wird deutlich, dass bereits bei einer sehr kleinen Eingangs-Differenzspannung UD von 

lediglich ca. 10 μV (= 10 10 -6 V) der OPV an den Anschlag getrieben wird. 

Für Anwendungen als linearer Verstärker (d.h. zum Erzeugen einer zur Eingangsspannung 

UD proportionalen Ausgangsspannung) ist der OPV ohne äußere Zusatzbeschaltung nicht 

verwendbar. 

Kleinste Eingangsspannungen, wie z.B. durch elektrostatische Aufladung der Luft, führen 

bereits zum „Endausschlag“ des OPV (Übersteuerung). Für das lineare, definierte 

Verstärken von Spannungen ist also der OPV von außen mit einer geeigneten Beschaltung 

zu versehen (z.B. Gegenkopplung mit Ohm’schen Widerständen) 

Ohne äußere Beschaltung mittels Gegenkopplung ist der OPV nur in nichtlinearer 

Anwendung als Komparator einsetzbar (siehe Kap. 5.3). 

Wechselspannungen: 

Die Ausführungen bezüglich Linearität gelten natürlich ebenso für Wechselspannungen, 

welche bei Übersteuerung sowohl im positiven als auch im negativen Bereich auf den 

Maximalwert begrenzt werden. 

Weiters ist für hohe Frequenzen eine Abnahme der Verstärkung und eine 

Phasenverschiebung festzustellen. 

Offsetspannung: 

Wie die Detailansicht der Abb. 5.3 zeigt, verläuft die Kennlinie nur für idealisierte 

Betrachtungen durch den Koordinaten-Nullpunkt, während in Realität die sogenannte 

Offsetspannung U0 berücksichtigt werden muss. 

Erklärung: 

Der OPV weist zwei separate Eingänge (+,-) auf, die im Inneren zwei verschiedenen 

Verstärkerstufen zugeführt werden. Nichtideale Eigenschaften des OPV (z.B. 

Bauteiltoleranzen, nicht exakt identische Eigenschaften der beiden Stufen) führen nun dazu, 

dass bei Anlegen der Spannung UD = 0 V der OPV am Ausgang eine von Null verschiedene 

Spannung U2 erzeugt (siehe Abb. 5.3 rechts). Die Offsetspannung U0 ist nun jene 

Spannung, welche als Differenzspannung UD am Eingang des OPV anzulegen ist, um U2 auf 

Null zu bringen. 

5.2 Lineare Anwendungen 

Gegenkopplung 

Wie bereits in Kap. 5.1 erläutert, ist der OPV als linearer Verstärker nur dann einsetzbar, 

wenn er außen in Form einer Gegenkopplung beschaltet wird. Gegenkopplung bedeutet, 

dass ein Teil der Ausgangsspannung an den invertierenden (-) Eingang rückgeführt wird, 

und dort somit die verursachende Eingangsdifferenzspannung UD verringert. 

Im Unterschied dazu wird bei einer Mitkopplung (siehe Kap. 5.3) ein Teil der 

Ausgangsspannung des OPV auf den nicht-invertierenden (+) Eingang rückgeführt. 

Seite 5.3 von 14



5.2.1 Nicht-invertierender Verstärker 

Wirkungsweise 

U 1 

0V 

I 1+ ~ 0 

U D ~ 0 

I 1- ~ 0 

+ 15 V 

- 15 V 

U g 

Abb. 5.4 

Aufgrund des inneren OPV- Aufbau (unendlich hoher Eingangswiderstand) können die 

Eingangsströme I1+, I1- mit Null angesetzt werden. 

Der Ausgangsstrom der Schaltung (I2) ist im Leerlauf Null (d.h., wenn keine weiteren 

Verbraucher, bzw. wenn Verbraucher mit unendlich hohem Eingangswiderstand an U2 

angeschlossen sind). 

Gegenkopplung: 

Die folgenden Betrachtungen gelten für den ersten, unmittelbar dem Einschalten der 

Eingangsspannung U1 ( =U1+) folgenden Zeitabschnitt. Der OPV weist eine begrenzte 

Reaktionsgeschwindigkeit auf, d.h., die Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung 

(dU2/dt) ist aufgrund der Innenschaltung des OPV limitiert (z.B. 5 V/μs). 

1. Zeitpunkt: 

Es sei z.B. die Eingangsspannung U1 (=U1+, nicht-invertierend) ein positiver 

Gleichspannungswert von +5 V, und U1- gleich 0 V. Der OPV verstärkt diese positive 

Eingangsdifferenzspannung UD = + 5 V mit der Verstärkung V = ∞. Im ersten Augenblick 

wird nun U2 auf einen positiven Wert ansteigen, und entsprechend dem Spannungsteiler- 

Verhältnis der beiden Widerstände R1, R2 wird auch die Gegenkopplungsspannung Ug 

ansteigen: 

U 

R 

g 

2 

= (5.2) 

2 

R 

1 

U 

R 

+ R 

2 

2 

Ug = U2 

(5.3) 

R1 

+ R 2 

Da Ug = U1- ist, wird die Spannung UD mit diesem Anstieg von Ug wie folgt kleiner: 

R 1 

I A 

I A 

R 2 


I 2 

U 2



U − 

D = U1+ 

− U1− 

= U1+ 

Ug 

(5.4) 

2. Zeitpunkt: 

Somit steigt U2 um einen gegenüber dem vorigen Zeitpunkt kleineren Wert an, was durch 

den Spannungsteiler R1, R2 auch für Ug gilt, so dass UD ebenfalls geringer wird. 

3. Zeitpunkt: 

Der selbe Vorgang wiederholt sich nun mit einer wiederum kleineren Spannung UD. 

Die geschilderten Vorgänge setzen sich solange fort, bis die Ausgangsspannung U2 des 

OPV gerade so groß geworden ist, dass die Eingangsdifferenzspannung UD durch die von 

U2 verursachte Gegenkopplungsspannung Ug zu Null geworden ist (bei unendlich hoher 

Verstärkung V0 des OPV; bei realen Werten für V0 wird UD einen von Null verschiedenen, 

aber sehr kleinen Wert annehmen). 

R 2 

= V0 

UD 

= V0 

( U1 

− U ) = V0 

( U1 

− U2 

) 

(5.5) 

R + R 

U2 g 

1 

2 

Dieser „Einschwingvorgang“ der Gegenkopplung wurde zeitlich gedehnt geschildert und ist 

in Realität wenige μs nach dem Zuschalten von U1 (=U1+) abgeschlossen. 

Resümee: 

Bei Beschaltung des OPV in Form einer Gegenkopplung kann unmittelbar nach dem 

Einschalten mit UD ≈ 0 V gerechnet werden. Daraus folgt (z.B. durch Ansetzen der 

Kirchhoff´schen Maschengleichung für den Eingangskreis: U1 - Ug - UD = 0, mit UD = 0), dass 

die Eingangsspannung U1 gleich der Gegenkopplungsspannung Ug ist. 

Für den als nicht-invertierender Verstärker beschalteten OPV gilt somit folgender 

Zusammenhang zwischen Ausgangsspannung U2 und Eingangsspannung U1: 

R 

U = + 

(5.6) 

1 

2 ( 1 ) U1 

R 2 

Der Eingangsstrom I1 in dieser Schaltung ist gleich dem OPV- Eingangsstrom I1+ und somit 

näherungsweise gleich Null, so dass der Eingangswiderstand des nicht-invertierenden 

Verstärkers als unendlich hoch betrachtet werden kann. 

5.2.2 Spannungsfolger (Impedanzwandler) 

U 1 

0V 

I 1+ ~ 0 

U D ~ 0 

+ 15 V 

I 1- ~ 0 

- 15 V 

Abb. 5.5 

I 2 


0V 

U 2 

R L



Ein Vergleich der Abb. 5.5 mit Abb. 5.4 zeigt, dass der Spannungsfolger lediglich einen 

Sonderfall des nicht-invertierenden Verstärkers mit R 0 und ∞ → R darstellt. 


1 → 

Daraus folgt für den Zusammenhang zwischen U2 und U1 

U 

2 

2 

0 

= ( 1 + ) U1 

(5.7) 

∞ 

U U = (5.8) 

1 

Es „folgt“ also die Ausgangsspannung U2 direkt und mit selbem Vorzeichen der 

Eingangsspannung U1. 

Der Sinn der Schaltung erklärt sich aus der zweiten Bezeichnung „Impedanzwandler“, denn 

dieser weist einen sehr hohen (für „ideale“ OPV: unendlich hohen) Eingangswiderstand und 

einen sehr kleinen (für „ideale“ OPV: Null Ohm) Ausgangswiderstand auf. Dadurch wird z.B. 

eine dem OPV vorgeschaltete Schaltung nicht belastet, da von dieser kein Strom in 

Richtung der hochohmigen OPV- Schaltung abfließt. 

Die Energie zur Versorgung der Last RL (P = U2 I2) wird über die OPV- Versorgung 

zugeführt. 

5.2.3 Invertierender Verstärker 

U 1 

0V 

R 1 

I e 

U g 

I g 

I 1- ~0 

U D ~0 

I 1+ ~0 

Abb. 5.6 

R 2 

+ 15 V 

- 15 V 

Hier wird wiederum eine Gegenkopplung angewendet, d.h. Rückkopplung des Ausgangs auf 

den invertierenden (-) Eingang. 

I a 

2 

I 2 =0 

U 2



Wirkungsweise 

Auf Grund seines inneren Aufbaus (unendlich hoher Eingangswiderstand) können die 

Eingangsströme I1+, I1- mit Null angesetzt werden. 

Der Ausgangsstrom der Schaltung (I2) ist im Leerlauf Null (d.h., wenn keine weiteren 

Verbraucher an U2, bzw. wenn Verbraucher mit unendlich hohem Eingangswiderstand 

angeschlossen sind). 

Gegenkopplung: 

Die folgenden Betrachtungen gelten für den ersten, unmittelbar auf das Einschalten der 

Eingangsspannung U1 folgenden Zeitabschnitt. 

1. Zeitpunkt: 

Es sei z.B. die Eingangsspannung U1 ein positiver Gleichspannungswert von +5 V, während 

U1+ durch die Verbindung zur Masse (0 V) immer Null Volt beträgt, so dass im ersten 

Zeitpunkt UD gleich -5V ist. Der OPV verstärkt nun diese negative UD mit V0 = ∞. Im ersten 

Augenblick wird nun U2 auf einen negativen Wert ansteigen, d.h., dass nun folgender 

Ersatzstromkreis vorliegt: 

U 1 

0V 

R 1 

I e 

U g 

I g 

Abb. 5.7 

Da nun U1 positiv ist und U2 negativ wird, verschiebt sich auch die Gegenkopplungs- 

Spannung Ug ( = U1- des OPV) mit negativer werdender U2 in negative Richtung 

(entsprechend dem Spannungsteiler-Verhältnis der beiden Widerstände R1, R2). 

Durch die negativer werdende OPV- Eingangsspannung U1- (= Ug) wird UD kleiner, so dass 

auch der Anstieg von U2 (=V0 UD) kleiner wird. 

Dieser Vorgang wiederholt sich nun solange, bis die Ausgangsspannung U2 des OPV 

gerade so groß geworden ist, dass die Eingangsdifferenzspannung UD durch die von U2 

verursachte Gegenkopplungsspannung Ug zu Null geworden ist (bei unendlich hoher 

Verstärkung V0 des OPV), bzw. bei realen Werten für V0 wird UD einen von Null 

verschiedenen, aber sehr kleinen Wert annehmen. 

Anmerkung: Für negative Eingangsspannungen ergeben sich negative Werte für die Ströme 

entsprechend dem Stromzählpfeilsystem von Abb. 5.7, d.h. der Strom (positive 

Ladungsträger) fließt physikalisch entgegengesetzt zur Richtung der Strompfeile. 

Dieser ganze „Einschwingvorgang“ der Gegenkopplung wurde zeitlich gedehnt geschildert 

und ist in der Realität unmittelbar nach dem Einschalten der Eingangsspannung U1 

abgeschlossen. 


R 2 

0V 

I a 

U 2



Resümee 

Bei Beschaltung des OPV mit einer Gegenkopplung kann unmittelbar nach dem Einschalten 

mit UD ≈ 0 V, also mit Ug ≈ 0 V gerechnet werden. 

Durch Anwendung der Kirchhoff´schen Knotenregel erhält man folgende Beziehung: 

I = I 

1 

U 

U 

R 

1 

1 

1 

R 

g 

− U 

1 

g 

− U 

= 

R 

− ( U2 

− Ug 

) 

= 

R 

2 

2 

2 

mit Ug = 0 V 

Für den als invertierender Verstärker beschalteten OPV gilt somit folgender Zusammenhang 

zwischen Ausgangsspannung U2 und Eingangsspannung U1: 

R 

U − 

2 

2 = U1 

(5.9) 

R1 

U1 wird also mit dem Faktor R2/R1 verstärkt und invertiert, das bedeutet für 

Gleichspannungen eine Vorzeichenumkehr, bzw. für Wechselspannungen eine 

Phasenverschiebung von 180°. 

Der Eingangsstrom I1 in diese Schaltung ist, wie die Abb. 5.6 zeigt, im Gegensatz zum nichtinvertierenden 

Verstärker nicht gleich dem OPV- Eingangsstrom (I1-) sondern gleich dem 

über die Gegenkopplung fließenden Strom Ig und somit auch nicht näherungsweise gleich 

Null. Folglich ist der Eingangswiderstand des invertierenden Verstärkers nicht unendlich 

hoch. 

Linearität 

Man sieht bei den bisherigen Schaltungen, dass die Ausgangsspannung U2 jeweils durch die 

äußere Beschaltung mit Widerständen bestimmt in einem linearen (proportionalen) 

Verhältnis zur Eingangsspannung U1 steht. Dies gilt jedoch immer nur für den Fall, dass der 

OPV nicht übersteuert wird, also U2 sich immer zwischen Ua,max und Ua,min bewegt. 

Beispiel: Invertierender Verstärker, U1 = 2 V, Scheitelwert, Sinus, 

R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ 

10 1 

--> U2 = U = 20V, 

Scheitelwert, 

Sinus (siehe Abb. 5.8) 

1 

Es ergibt sich ein sinusförmiger, zu u1(t) proportionaler Verlauf von u2(t) 

lediglich in jenen Zeitintervallen, in welchen der OPV nicht übersteuert wird, 

während in den übrigen Bereichen die Sinus-Spannung „abgekappt“ wird. 

Seite 5.8 von 14



20 

13 

2 

-2 

-13 

-20 

u(t) 

[V] 

10 

20 

Abb. 5.8 


u 2 (t) 

t 

[ms] 

u 1 (t) 

Bei Übersteuerung des OPV verliert jede linear angewendete OPV- Schaltung ihre 

Linearität! 

5.3 Nichtlineare Anwendungen 

5.3.1 Komparator 

I 1- ~0 

I 1+ ~0 

+ 15 V 

- 15 V 

I 2 =0 

Ue1 Ue2 U2 

Abb. 5.9 

Wie bereits in Kap. 5.1 angeführt, kann der unbeschaltete OPV nicht als linearer Verstärker 

verwendet werden. Die einzige Anwendung des OPV ohne äußere Beschaltung stellt der 

Vergleich zweier Spannungen dar („Komparator“). 

In dieser Schaltung erzeugt der OPV am Ausgang - abhängig vom Vorzeichen der 

Eingangsdifferenzspannung UD und somit abhängig davon, ob Ue1 größer oder kleiner als 

Ue2 ist - entweder die maximale Spannung U2,max = UB - 2 V, oder die minimale Spannung 

U2,min = -UB - (- 2 V). 

0V



U2 2, 

max B 

= U = + U − 2V 

..... für U e1 

> Ue2 

(5.10) 

U2 2, 

min B 

= U = −U 

+ 2V 

..... für e1 

e2 

U U < (5.11) 

Dieser Sachverhalt ist in Abb. 5.10 graphisch dargestellt. 

U 2,max 

U 2,min 

U 2 

ΔU ~ 20 μV 

U e1=U e2 

Abb. 5.10 

5.3.2 Schmitt- Trigger (Schwellwert-Schalter) 

Die Schaltung als Schmitt- Trigger ist derzeit nicht Inhalt und Lernstoff der Laborübungen 

und dient hier lediglich zur Abrundung des Themas. 

Die äußere Beschaltung zeigt große Ähnlichkeit mit jener des nicht-invertierenden 

Verstärkers, mit dem wichtigen Unterschied, dass die Rückführung des Ausgangssignals 

zum nicht-invertierenden (+) -Eingang hin erfolgt (Prinzip der Mitkopplung). 

U 1 

0V 

I 1- ~ 0 

U D 

I 1+ ~ 0 

+ 15 V 

- 15 V 

U m 

Abb. 5.11 

Beachte: UD ≠ 0 V (wie die folgenden Erklärungen zeigen). 

Wirkungsweise 

Der OPV an sich hat wiederum einen unendlich hohen Eingangswiderstand, so dass die 

Eingangsströme mit Null angesetzt werden können (I1+ = I1- = 0). 

R 1 

I A 

I A 

R 2 


0V 

U e1 

U 2



Wie beim nicht-invertierenden Verstärker kann somit das Spannungsteiler-Verhältnis der 

Widerstände R1, R2 aufgestellt werden: 

Mitkopplung: 

Negativer Schwellwert: 

Es sei z.B. die Eingangsspannung U1 ( = U1-, invertierend) eine positive Gleichspannung von 

+5 V, und U1+ gleich Null V. Der OPV verstärkt nun diese negative Eingangsspannungs- 

Differenz UD = - 5 V mit der Verstärkung V0 = ∞. Im ersten Augenblick wird nun U2 auf einen 

negativen Wert ansteigen und entsprechend dem Spannungsteiler-Verhältnis der beiden 

Widerstände R1, R2 wird auch die Mitkopplungsspannung Um ansteigen: 

R 

2 

Um = U2 

(5.12) 

R1 

+ R 2 

Da Um = U1+ ist, wird UD jedoch mit diesem Anstieg von Um vergrößert: 

U 

D = U1+ 

− U1− 

= Um 

− U1− 

Das bedeutet, dass der OPV seine Ursache, i.e. die Spannung UD, vergrößert, und dadurch 

eine größere Spannung U2 erzeugen will (im Gegensatz zum nicht-invertierenden 

Verstärker, welcher UD bis auf Null verkleinert). Aus Kap. 5.1 ist bereits bekannt, dass U2 

betragsmäßig begrenzt ist, und bei der kleinsten Abweichung der Spannung UD von Null - je 

nach Polarität - den maximalen oder den minimalen Wert annimmt. Der OPV nimmt also bei 

positiver Eingangsspannung U1 ( = U1-) sofort den minimalen Wert (-UB + 2V), z.B. -13 V, an. 

Daraus ergibt sich für Um ein von den Widerständen R1, R2 abhängiger, ebenfalls negativer 

Wert. 

R 

= (5.13) 

2 

Um, min 

U2, 

min 

R1 

+ R 2 

Solange nun U1 positiver ist als dieser negative Wert von Um („negativer Schwellwert“), ist UD 

< 0 V und U2 = U2,min bzw. Um = Um,min. 

Positiver Schwellwert: 

Wenn nun U1 negativer wird als der genannte negative Wert von Um, dann wird UD > 0 V, 

und U2 springt sofort auf den maximalen Wert (+UB - 2 V), bzw. Um daraus resultierend 

ebenfalls auf einen maximalen, positiven Wert. 

R 

= (5.14) 

2 

Um, max 

U2, 

max 

R1 

+ R 2 

Solange nun U1 negativer ist als dieser positive Wert von Um („positiver Schwellwert“), ist 

UD > 0 V und U2 = U2,max, bzw. Um = Um,max. 

Im folgenden Beispiel sind diese Ausführungen exemplarisch für eine sinusförmige 

Eingangsspannung U1 skizziert. Dabei ist die sehr hohe Übergangsgeschwindigkeit, welche 

durch den OPV- Typ bestimmt wird, durch Doppelpfeile dargestellt. 

Seite 5.11 von 14



-2 

U 2 

+13 

-13 

2 

U 1 

u(t) 

Abb. 5.12 Abb. 5.13 

13 

2 

-2 

-13 

[V] 

Beispiel: (Abb.5.12 und 5.13):U1 = 2 Veff, Sinus 


u 2 (t) 

u1 (t) 

t 

U2,max = +13 V R1 = 5.5 kΩ 

U2,min = -13 V R2 = 1 kΩ 

1 

Um, 

max = 13 = + 2 V 

5. 

5 + 1 

1 

Um, 

min = ( −13) 

= −2 

V 

5. 

5 + 1 

Im Unterschied zum Komparator, welcher für positive und für negative Richtung ein und 

denselben Schwellwert aufweist, sind diese beim Schmitt- Trigger unterschiedlich. Es 

besteht eine Schalthysterese zwischen positivem und negativem Schwellwert (siehe Abb. 

5.10, Abb. 5.12). 

5.3.3 Astabiler Multivibrator 

Die Schaltung als astabiler Multivibrator ist derzeit nicht Inhalt und Lernstoff der 

Laborübungen und dient hier lediglich zur Abrundung des Themas. 

R 3 

C 

U 1 

0V 

I 1- ~ 0 

U D 

I 1+ ~ 0 

+ 15 V 

- 15 V 

Abb. 5.14 

U m 

R 1 

I A 

I A 

R 2 

0V 

U 2 

[ms]



Die Schaltung des astabilen Multivibrators ist ein Schmitt- Trigger, dessen 

Ausgangsspannung über einen RC- Tiefpass wieder auf den Eingang rückgeführt wird 

(Abb. 5.14). 

Zur Erläuterung sei Abb. 5.15 betrachtet: 

Das bereits bekannte Kippen der Ausgangsspannung ist strichpunktiert dargestellt, wie es 

für einen reinen Schmitt- Trigger auftreten würde, wobei für die Anschaulichkeit dieselben 

Kippspannung (+2 V, -2 V) wie in Abb. 5.13 gewählt wurde. 

Wenn man vom Schmitt- Trigger ausgeht, dann würde die Ausgangsspannung des OPV 

immer dann auf -13 V springen, wenn U1 größer wird als +2 V, bzw. auf +13 V, wenn U1 

kleiner als -2 V wird. 

U 1 

13 

2 

-2 

-13 

[V] 

τ 

5 10 15 20 25 30 

Abb. 5.15 


U 2,Schm.-Tr. 

Nun ist jedoch die Wirkung des Kondensators C zu berücksichtigen, welcher über den 

Widerstand R3 von der Ausgangsspannung U2 des OPV aufgeladen. In Abb. 5.16 ist dieses 

Detail der Aufladung eines Kondensators über einen Widerstand nochmals gezeichnet (mit 

denselben Spannungsbezeichnungen wie in Abb. 5.14), für welches bekanntermaßen gilt: 

U 

C 

mit 

t 

− 

= U = U ( − e τ 

1 2 1 ) 

(5.15) 

τ = C 

(5.16) 

R 3 

Daraus wird deutlich, dass sich die Kondensatorspannung (d.h. die Eingangsspannung U1 

des Multivibrators) gemäß einer e-Funktion an die vorne anliegende, rechteckförmige 

Spannung (d.h. Ausgangsspannung U2 des OPV) annähert (Abb. 5.17). 

t 

[ms]



U 2 

R 3 

C 

0V 

U 1 

u(t) 

13 

[V] 

τ 


5 10 15 

Abb. 5.16 Abb. 5.17 

20 25 

Der Ladevorgang in der Abb. 5.17 ist im Spannungsverlauf des Multivibrators (siehe 

Abb. 5.15) deutlich wiederzuerkennen. Bei einem gerade aktuellen Wert der OPV- 

Ausgangsspannung U2 von +12 V steigt die Eingangsspannung U1 ausgehend von -2 V 

gemäß einer e-Funktion mit dem Endwert +12 V an (punktierter Verlauf), und sobald U1 den 

Wert der positiven Kippspannung (in diesem Beispiel +2 V) erreicht, springt U2 auf -12 V. 

Nun gelangt diese negative Spannung an den Tiefpass (bestehend aus R3, C), so dass sich 

der Kondensator C unmittelbar auf den Wert -12 V umzuladen beginnt, und die Spannung 

U1 gemäß einer e-Funktion mit dem Endwert -12 V absinkt, bis diese den Wert der 

negativen Kippspannung (-2 V) erreicht hat und sich das Spiel wiederum umkehrt. 

Der astabile Multivibrator weist keinen stabilen Zustand auf, er erzeugt vielmehr eine 

Dauerschwingung mit dem in Abb. 5.15 gezeigten Verlauf, wobei der Wert des 

Umschaltpunktes (im gezeigten Beispiel +2 V, -2 V) von den Werten des Widerstandsteilers 

R1, R2 abhängt, die Frequenz wird weiters auch von den Werten R3 und C bestimmt wird 

τ = RC . 

u 2 (t) 

u 1 (t) 

t 

[ms]



6 Elektrische Energieverteilung, Sicherheitstechnik 

6.1 Elektrische Energieverteilung 

Kraftwerks- 

Generator 

G 

Höchstspannungsnetz 

(220 kV) 

Trafo Trafo Trafo 

Hochspannungsnetz 

(110 kV) 


Mittelspannungsnetz 

(20 kV) 

Abb. 6.1 

Haushalt 

Niederspannungsnetz 

(400 V) 

Abb. 6.1 zeigt das prinzipielle Schema der Energieübertragung vom Kraftwerksgenerator 

bis hin zum Hausanschluss. Dabei werden für die Überwindung der längsten Distanzen 

höchste Spannungsniveaus verwendet, die dann zur Feinverteilung auf niedrigere Niveaus 

transformiert werden, bis hin zur 400 V - Spannungsverteilung (verkettete Spannung im 

unmittelbaren Siedlungsbereich. 

Die elektrische Energieübertragung über große Distanzen erfolgt auf möglichst hohem 

Spannungsniveau, um die Verluste in den Zuleitungen gering zu halten. 

Diese Aussage soll anhand folgender Abb. 6.2 veranschaulicht werden: 

I 

R L 

U L 

U G U N 

Abb. 6.2 

Ausgangspunkt der Überlegungen ist als Verbraucher z.B. eine Transformatorstation mit 

einer bestimmten Leistungsaufnahme PN, die als konstante Größe vorgegeben sei (z.B. 

200 kW zur Versorgung einer Siedlung). UN bezeichnet die „Netzspannung“, mit welcher der 

Verbraucher gespeist werden soll. 

P N



Die Formel für die vorgegebene Leistungsaufnahme des Verbrauchers lautet: 

P = IU 

(6.1) 

N 

N 

Der gesamte Leitungswiderstand der Hin- und Rückleitung ist durch RL symbolisiert und wird 

durch folgende allgemeine Formel berechnet: 

R L 

wobei 

ρ l 

= (6.2) 

A 

ρ .... spezifischer Widerstand des Leitermaterials 

l ..... gesamte Leitungslänge 

A ... Leitungsquerschnittsfläche 

Die gesamte Verlustleistung PL der Leitung (Hin- und Rückleitung) ergibt sich zu: 

PL = IUL 

= I R = I 

2 

2 

ρ l 

A 

Mit Berücksichtigung der Gleichung (6.1) folgt für die Leitungsverluste PL: 

P 

L 

⎛ P 

= 

⎜ 

⎝ U 

N 

N 

2 

⎞ ρ ⋅ l 

⎟ 

⎠ A 

Nachdem der spezifische Widerstand ρ für ein bestimmtes Leitermaterial und die 

Leitungslänge l vorgegeben sind, kann eine Verringerung der Verlustleistung PL in der 

Leitung lediglich durch Erhöhung der Spannung UN oder durch Erhöhung des 

Leitungsquerschnittes A erfolgen. 

Da einerseits der Erhöhung des Querschnittes A naturgemäß Grenzen gesetzt sind und 

andererseits durch die quadratische Abhängigkeit die Beeinflussung der Spannung größere 

Auswirkung auf eine Verringerung von PL besitzt, werden zur Energieübertragung über weite 

Distanzen hohe Spannungsniveaus verwendet. 

Anmerkung: 

Im Zuge einer Harmonisierung der Spannungsniveaus verschiedener Staaten wurde vor 

einigen Jahren das damalige Niveau 220 V, bzw. 380 V auf das Niveau 230 V, bzw. 400 V 

geändert. 


(6.3) 

(6.4)



6.2 Schutzmaßnahmen in Elektrischen Netzen 

6.2.1 „5 Sicherheitsregeln“ 

Für das Arbeiten an elektrischen Anlagen sind folgende fünf Sicherheitsregeln in der 

angegebenen Reihenfolge unbedingt einzuhalten: 

1. Allpolig und allseitig abschalten ! 

2. Gegen Wiedereinschalten sichern ! 

3. Auf Spannungsfreiheit prüfen ! 

4. Erden und Kurzschließen ! 

5. Benachbarte spannungsführende Teile abdecken und 

Gefahrenstellen eingrenzen ! 

Vor dem Wiedereinschalten der Anlage ist sinngemäß in umgekehrter Reihenfolge 

vorzugehen ! 

6.2.2 Berühren spannungsführender Teile 

In der einführenden Sicherheitsbelehrung wurde erklärt, dass international genormt 

Spannungen über 50 V (Effektivwert) als gefährlich eingestuft werden, so dass deren 

Berühren unter allen Umständen verhindert werden muss. 

Prinzipiell gibt es zwei Möglichkeiten, mit spannungsführenden Teilen von elektrischen 

Verbrauchern in Berührung zu kommen. 

Direktes Berühren 

Damit wird das Berühren von betriebsmäßig unter Spannung stehenden Teilen verstanden, 

wie z.B. beim Öffnen des Gerätegehäuses zu Reparaturzwecken. Dieses Berühren setzt 

also ein Fehlverhalten des Bedieners voraus, indem die fünf Sicherheitsregeln für Arbeiten 

an elektrischen Anlagen nicht vollständig eingehalten wurden. 

Indirektes Berühren 

Dies bezeichnet das Berühren von betriebsmäßig nicht unter Spannung stehenden 

Anlagenteilen, wie z.B. das Metallgehäuse eines Heizstrahlers. Hier liegt also kein 

Bedienungsfehler vor, sondern es ist die Folge eines Isolationsfehlers zwischen inneren 

spannungsführenden Geräteteilen und dem außen zugänglichen Gehäuse. 

Seite 6.3 von 8



6.2.3 Schutz vor indirektem Berühren 

Wenn auch jedes elektrische Gerät mit einer Isolation versehen ist, so muss doch davon 

ausgegangen werden, dass diese im Lauf der Zeit altert und schadhaft werden kann. 

Folglich sind zusätzliche Maßnahmen notwendig, um indirektes Berühren von 

spannungsführenden Geräteteilen zu verhindern, wobei man - abhängig vom verwendeten 

Gerätetyp - prinzipiell drei Schutzprinzipien unterscheidet. 

Schutzkleinspannung 

Geräte, die mit Spannungen bis maximal 42 V betrieben werden ( = „Schutzkleinspannung“), 

benötigen keinen besonderen Berührungsschutz. Derartige Verbraucher 

finden für kleine Leistungen sowie bei besonderen Sicherheitsauflagen Anwendung (z.B. 

Klingel, Türöffner, Kinderspielzeug mit max. 24 V). 

Da die Leistung gleich ist dem Produkt aus Spannung und Strom, würden beim Betrieb 

eines Verbrauchers mit größerer Leistung (z.B. Heizstrahler) bei Verwendung einer derart 

kleinen Spannung große Ströme fließen. Dies würde größere Verluste erzeugen und höhere 

Leitungsquerschnitte erfordern, so dass deren Betrieb an kleiner Spannung nicht sinnvoll ist. 

Die Anschlussstecker dürfen keinesfalls in Steckdosen für höhere Spannung (z.B. 220 V - 

Steckdose) passen, um Beschädigungen des Geräts zu vermeiden ! 

Schutzisolierung 

Unterwerk 

(Drehstromtrafo) 

230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

400 V 

Haushalts-Stromkreis 

Sicherungen 

Schuko-Steckdose 

("Schutzkontakt") 

Verlängerungskabel 

Abb. 6.3 


Geräte- 

Anschlußkabel 

elektrischer 

Verbraucher 

Basisisolierung 

(Betriebsisolierung) Schutzisolierung



Geräte mit Schutzisolierung weisen zusätzlich zur Betriebsisolierung (Basisisolierung) eine 

zweite Isolierung auf, womit selbst bei der oben angeführten Möglichkeit einer schadhaften 

Betriebsisolierung weiterhin Berührungsschutz besteht (Abb. 6.3). 

Die Anschlusskabel dieser Geräte weisen keinen Schutzleiter (s.u.) auf und sind somit mit 

dem typischen, zweipoligen Flachstecker versehen. 

Da der Schutz durch die zusätzliche Isolierung erfolgt, darf kein Kabel mit Schutzleiter (s.u.) 

direkt an das Gerät angeschlossen werden. Die Anschlusskabel dieser Geräte bilden also 

eine untrennbare Einheit mit dem Gerät und können nicht vom Gerät abgesteckt werden. 

Dadurch wird gewährleistet, dass ein Kabel mit Schutzleiter (z.B. herkömmliches 

Verlängerungskabel, wie in Abb. 6.3 gezeigt) nicht direkt an das Gerät sondern lediglich an 

das geräte- eigene Anschlusskabel angeschlossen wird und der Schutzleiter (PE-Leiter; s.u.) 

nicht zum Gerät gelangt. 

Abb. 6.4: Symbol auf schutzisolierten Geräten 

Das Symbol in Abb. 6.4 gibt an, dass das betreffende Gerät schutzisoliert ist. 

Schutzleiter 

Geräte mit elektrisch leitfähigem Gehäuse müssen über einen sogenannten Schutzleiter an 

die Versorgungsspannung angeschlossen werden. Dieser Schutzleiter stellt eine elektrisch 

leitende Verbindung zwischen Gehäuse und dem Mittelpunkt (Nullpunkt) des speisenden 

Transformators dar. Der Schutzleiter wird auch als PE- Leiter bezeichnet („Protection 

Earth“). 

Der Schutzleiter hat eine genormte, grün-gelb gestreifte Farbe und darf keinesfalls an 

spannungsführende Leitungen angeschlossen werden ! 

Die Anschlusskabel weisen rundliche Schutzkontakt-Stecker („Schuko“-Stecker) auf, welche 

neben den zwei Betriebsleitungen für den Stromhinfluss und Stromrückfluss den 

Schutzleiterkontakt in doppelter Ausführung enthalten. 

Als Beispiel wird in den Abb. 6.5 und 6.6 ein einphasiger 230 V - Verbraucher betrachtet, für 

welchen die Spannung der angedeuteten 230 V - Steckdose durch Verbindung der 

Hausanschlussleitung mit Phase und Mittelpunkt im Unterwerk hergestellt wird (siehe Kap. 3 

- dreiphasige Verbraucher). Vom Unterwerk ist die in Stern geschaltete Sekundärseite des 

speisenden Drehstromtransformators dargestellt. Bei Sternschaltung eines dreiphasigen 

Erzeugers oder Verbrauchers liegt zwischen zwei Außenleitern (Phasen) die „verkettete“ 

Spannung (400 V für das Haushalts-Stromnetz) und zwischen einer Phase und dem 

Mittelpunkt (Nullpunkt) die Phasenspannung (= Uverk/√3 = 230 V bei Uverk = 400 V) an. 

Daraus ergeben sich die beiden in Haushalten verfügbaren Spannungsniveaus (230 V für 

einphasige Steckdosen und 400 V für Drehstromsteckdosen, z.B. Waschmaschine). 

FI- Schutzschalter 

Seite 6.5 von 8



Der FI- Schutzschalter, auch Fehlerstrom-Schutzschalter genannt (F ... für Fehler, I ... für 

Stromstärke), dient zur Differenzstrom-Überprüfung (siehe Abb. 6.5 und Abb. 6.6). Wenn I1 

gleich I2 ist, dann bleibt der FI- Schutzschalter inaktiv, wenn jedoch I1 ≠ I2 wird, dann ist dies 

auf jeden Fall ein Fehlerfall, da der Strom nicht mehr betriebsmäßig über den N-Leiter 

zurückfließt, und der FI- Schutzschalter löst aus, d.h. er unterbricht die Stromzufuhr zum 

Verbraucher (strichliert eingezeichneter Wirkpfeil am FI- Schutzschalter in Abb. 6.5, 

Abb. 6.6). 

Der FI- Schutzschalter ist im Haushalts-Verteilerkasten montiert und sollte monatlich einmal 

mit der Prüftaste ( = bewusste, gezielte Auslösung mittels kleinem Prüf-Differenzstrom) auf 

Funktionsfähigkeit überprüft werden. 

FI- Schutzschalter im Normalbetrieb 

Unterwerk 


230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

400 V 


Sicherungen 

FI-Schutzschalter 

I 1 

I 2 




Abb. 6.5: Normalbetrieb: FI- Schutzschalter löst nicht aus 

elektrischer 

Verbraucher 

Im normalen Betriebsfall fließt der Strom von L1-Anschluss des Unterwerkes über den FI- 

Schutzschalter, Verbraucher und wieder FI- Schutzschalter zurück zum Mittelpunkt des 

speisenden Trafos. 

In diesem Fall ist die Größe des hinfließenden Stromes I1 gleich jener des rückfließenden 

Stromes I2, der FI- Schutzschalter löst nicht aus und der Stromkreis bleibt aktiv. 

FI- Schutzschalter im Fehlerfall 

Wenn ein Isolationsfehler auftritt, so dass die innen im Verbraucher vorhandene Spannung 

an das äußere Gehäuse gelangt (in Abb. 6.6 symbolisch durch den Strompfeil dargestellt), 

dann fließt der eigentliche Rückstrom I2 entweder teilweise oder vollständig über das 

Gehäuse und den Schutzleiter zum Mittelpunkt des Trafos zurück.



Unterwerk 


230 V L1 

L 2 

L 3 

N 

PE 

400 V 

Sicherungen 


FI-Schutzschalter 

I F 

I 1 

I 2 




Abb. 6.6: Fehlerbetrieb: FI- Schutzschalter löst aus 

Das Wirkungsprinzip des FI- Schutzschalters hat zwei Vorteile: 

elektrischer 

Verbraucher 

• Die Spannung bleibt nicht am Gehäuse bestehen (was den Bediener bei Berührung 

gefährden würde), sondern die Spannung wird durch den Stromfluss über den 

Schutzleiter sofort abgebaut. 

• Der über den FI- Schutzschalter rückfließende Strom I2 ist nicht mehr gleich groß wie 

der hinfließende Strom I1, sondern wesentlich kleiner, so dass der FI- Schutzschalter 

sofort bei Erkennen der Ungleichheit auslöst und den Stromkreis unterbricht. 

6.2.4 Überstrom- Schutzeinrichtungen 

Während FI- Schutzschalter als Fehlerstromschutz fungieren, wirken Sicherungen und 

Sicherungsautomaten als Überstromschutz. 

Die Überstrom-Schutzorgane sind in Abb. 6.3, 6.5 und 6.6 vereinfacht mit „Sicherungen“ 

bezeichnet, obwohl im Haushaltsbereich die früher verwendeten Schmelzsicherungen 

vielfach durch Sicherungsautomaten ersetzt wurde. 

Leitungsschutzsicherungen (Schmelzsicherungen) 

Die Sicherungspatrone aus Porzellan ist in ihrem zylindrischen Hohlraum mit trockenem 

Sand gefüllt, in welchem der stromführende Leiter als feiner „Schmelzdraht“ verlegt ist. 

Wenn durch einen Fehler ein über dem Nennstrom der Sicherung fließender Strom auftritt, 

dann „schmilzt“ der feine Draht innerhalb der Sicherung durch und unterbricht somit den 

Stromfluss. Der umgebende Sand ist ein schlechter Wärmeleiter, um zu verhindern, dass



sich der Schmelzdraht bei einem Überlaststrom abkühlt, noch bevor er abschmilzt und den 

Stromkreis unterbricht. 

Leitungsschutzschalter (Sicherungsautomaten) 

Diese vereinigen ebenso wie die Sicherungsautomaten die zwei Funktionen Überlastschutz 

und Kurzschlussschutz in folgender Weise: 

Überlastschutz: 

Bei kleineren Überströmen unterbricht der Automat erst verzögert den Stromfluss, wenn 

diese Überströme länger andauern. 

Kurzschlussschutz: 

Bei einem großen Überstrom (z.B. Kurzschluss im angeschlossenen Gerät) löst der Automat 

sofort aus und unterbricht den Stromfluss. 

Der Vorteil der Sicherungsautomaten ist ihre Wieder-Einschaltbarkeit nach Behebung des 

Störfalles gegenüber dem notwendigen Sicherungstausch bei Schmelzsicherungen. 

Seite 6.8 von 8



7 Magnetismus 

7.1 Grundlagen magnetischer Kreise 

Im folgenden wird die Vorgehensweise bei der Untersuchung eines magnetischen Kreises 

erläutert. 

a.) Magnetische Durchflutung 

Ausgangspunkt sei ein stromdurchflossener Leiter. Wenn ein Leiter aus mehreren 

Windungen besteht, dann trägt der Stromfluss jeder Windung zum Erzeugen eines 

Magnetfeldes bei. 

Daraus ergibt sich die Definition für die magnetische Durchflutung 

Θ = w I [A] (7.1) 

welche die „Ursache“ des Magnetfeldes (= Summe aller in den Windungen fließenden 

Ströme) darstellt. Die magnetische Durchflutung ist umso größer, je mehr 

stromdurchflossene Windungen vorhanden sind. 

b.) Magnetische Erregung 

Aus dem Durchflutungsgesetz (vereinfacht für einen geschlossenen Kreis aus nur einem 

Material, z.B. geschlossener Eisenring) 

H lm 

= w I 

(7.2) 

folgt für magnetische Erregung (auch magnetische Feldstärke genannt) : 

w I 

H = [A/m] (7.3) 

l 

m 

wobei lm die mittlere Länge des magnetischen Pfades ist. 

Die magnetische Erregung ist bei gegebener Geometrie und Windungszahl proportional zur 

Stromstärke I. 

c.) Magnetische Flussdichte, Hysteresekurve 

Die magnetische Erregung H erzeugt nun eine magnetische Flussdichte B, deren Größe 

sich aus der Hysteresekurve ergibt. 

Seite 7.1 von 6



Der Zusammenhang zwischen erzeugender magnetischer Erregung H und erzeugter 

Flussdichte B lautet: 

w I 

B μ H = μ 

l 

= [T] oder [Vs/m 2 ] (7.4) 

m 

Für die Permeabilität μ gilt: 

μ = μ0 

μr 

(7.5) 

wobei 

μ0 ... Permeabilitätskonstante in Vakuum (= 4π 10 -7 [Vs/Am]) 

μr ... Permeabilitätszahl des verwendeten Materials: 

μr = 1 in Luft, 

μr >> 1 in ferromagnetischer Materie (gemäß Hysteresekurve). 

H C 

B R 

B 

μ r 

>> 1 

Abb. 7.1 


Sättigungsbereich 

Neukurve 

in ferromagnetischer Materie 

Luft 

μ r 

= 1 

μr = 1 

Für Luft ergibt sich also ein proportionaler Zusammenhang zwischen B und H mit sehr 

kleinen erzeugten Flussdichten B gemäß dem kleinen Proportionalitätsfaktor μ=μ0 (strichliert 

eingezeichnete Gerade in Abb. 7.1). 

In einem geschlossenen, ferromagnetischen Kreis (z.B. Eisenring) ist μr nicht konstant, 

sondern von H abhängig und wesentlich größer als in Luft. Daher ist auch die erzeugte 

Flussdichte B nicht konstant, sondern verläuft entlang der werkstoffabhängigen 

Hystereseschleife des verwendeten Materials mit wesentlich höheren Werten als in Luft. 

H



Man kann sich dies veranschaulichen, wenn man bedenkt, dass die magnetische 

Permeabilität μ auch magnetische Leitfähigkeit genannt wird, da eben bei hohen Werten für 

μr (also bei ferromagnetischen Materialien) aus einer gegebenen magnetischen Erregung H 

ein großes Magnetfeld B erzeugt wird (siehe Gleichung (7.4)), das Material also magnetisch 

leitfähiger ist. 

d.) Magnetischer Fluss 

Der magnetische Fluss Φ symbolisiert die Summe aller magnetischen Feldlinien in der 

betrachteten Materie. 

Die magnetische Flussdichte B ist der magnetische Fluss Φ bezogen auf die betrachtete 

Querschnittsfläche A, also die Summe der magnetischen Feldlinien pro Querschnittsfläche. 

φ 

B = (7.6) 

A 

Durch Umformung von (7.6) errechnet sich der magnetische Fluss mit 

φ = B A [Vs] (7.7) 

Die Hysteresekurve gibt den Magnetisierungsbedarf, d.h. die notwendige magnetische 

Erregung H, an, um eine bestimmte magnetische Flussdichte B (und in der Folge einen 

magnetischen Fluss φ) zu erzeugen. 

Der Zusammenhang zwischen B und H ist lediglich für Luft linear (in Abb. 7.1 strichliert 

eingezeichnet), jedoch ist das von einer bestimmten magnetischen Erregung erzeugte 

Magnetfeld (Flussdichte B) in Luft wesentlich geringer als in ferromagnetischen Materialien. 

Bei ferromagnetischen Materialien verläuft B in Abhängigkeit von H lediglich beim 

erstmaligen Magnetisieren des Materials vom Koordinaten-Nullpunkt beginnend 

(strichpunktiert eingezeichnete Kurve in Abb. 7.1, auch „Neukurve“ genannt). 

Der Normalfall ist, dass im Material auch bei Abschalten der magnetischen Erregung H noch 

ein Restmagnetismus erhalten bleibt (Remanenzflussdichte BR in Abb. 7.1). Erst bei einer 

Magnetisierung des Materials in der Größe der sogenannten „Koerzitiv- Erregung“ HC mit 

entgegengesetzter Polarität (z.B. Änderung der Stromflussrichtung) geht die Flussdichte B 

gegen Null. 

Bei Wechselströmen erfolgt ein ständiger Wechsel der Stromflussrichtung (siehe 

Sinusschwingung), so dass also in ferromagnetischer Materie ständig die Hysteresekurve 

entlang der Schleife durchfahren wird („Hystereseschleife“).. 

Die Fläche der Hysterese- Schleife ist ein Maß für die auftretenden Verluste durch das 

Ummagnetisieren. 

Materialien mit schmaler Hysterese- Schleife können mit geringeren Verlusten 

ummagnetisiert werden („weichmagnetische Materialien“) und werden folglich für 

Maschinen, Transformatoren verwendet, welche Wechselströmen ausgesetzt sind. 

Seite 7.3 von 6



Materialien mit breiter Hystereseschleife verursachen bei Wechselströmen größere Verluste 

(„hartmagnetische Materialien“) und werden deshalb für Dauermagnete verwendet, welche 

das Magnetfeld beibehalten sollen. Denn je breiter die Hystereseschleife ist, desto größer ist 

die Remanenzflussdichte BR auf der Ordinate, welche nach Abschalten der Magnetisierung 

(H=0) erhalten bleibt. 

Das magnetische Wechselfeld ist lediglich dann ebenfalls sinusförmig (sinusförmiger Verlauf 

von B und φ), wenn der die Erregung H erzeugende Strom nur so groß ist, dass die 

Flussdichte B noch im näherungsweise linearen Bereich liegt (andernfalls geht die 

Proportionalität zwischen H und B verloren, und ein sinusförmiger Strom erzeugt keine 

sinusförmige Flussdichte B mehr → Sättigungsbereich der Hysteresekurve, „das 

ferromagnetische Material geht in Sättigung“). 

7.2 Aufnahme der Hysteresekurve 

Die Darstellung der Hysteresekurve erfolgt mit dem Oszilloskop (siehe Abb. 7.2), welches 

lediglich Spannungen als Eingangsgrößen verarbeiten kann. Daher ist es notwendig, 

spannungsproportionale Zusammenhänge der Größen B und H herzustellen: 

• zwischen der magnetischen Erregung H und einer Spannung ux, welche an den 

horizontalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird, 

• sowie zwischen der magnetischen Flussdichte B und einer Spannung uy, die an den 

vertikalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird. 

u 1 

i1 i2 R2 

u x 

R 1 

Zusammenhang zwischen H und ux 

u 2 

Abb. 7.2 


C 

i 2 

u y 

i=0 

Oszi 

Das Magnetfeld in der gezeigten Messanordnung wird vom Strom i1 erzeugt, welcher 

zusammen mit den w Windungszahlen die magnetische Durchflutung Θ bildet. Die dadurch 

hervorgerufene magnetische Erregung H ergibt sich gemäß Gleichung (7.3) zu: 

w i1 

H = (7.8) 

l 

m



Der Strom i1 ruft am Widerstand R1 gemäß Ohm’schen Gesetz eine proportionale Spannung 

ux hervor: 

u x 

i = (7.9) 

1 1 R 

Somit erhält man den gesuchten proportionalen Zusammenhang zwischen der 

darzustellenden Größe H und der darstellbaren Spannung ux: 

w 

H = ux 

(7.10) 

l R 

m 

1 

Zusammenhang zwischen B und uy 

Das Induktionsgesetz gibt die Spannung ui an, welche bei einer zeitlichen Änderung des 

einen Leiter durchsetzenden Magnetfeldes im Leiter erzeugt („induziert“) wird. In unserem 

Fall ist die induzierte Spannung die auf der Sekundärseite vorherrschende Spannung u2, 

welche vom magnetischen Wechselfeld (sinusförmig, wenn im ungesättigten Bereich der 

Hysteresekurve) der Primärwicklung erzeugt wird. 

( B A) 

dφ 

d 

dB 

= w 2 = w 2 = w A 

(7.11) 

dt dt 

dt 

u2 2 

wobei w2 die Windungszahl der Sekundärwicklung ist. 

Damit erhalten wir für die magnetische Flussdichte B: 

1 

= ∫ u dt 

w A 

B 2 

2 


(7.12) 

Wir benötigen nun eine Beziehung, mit deren Hilfe die Spannung uy proportional zum 

Integral von u2 wird. Dies wird in zwei Stufen erreicht: 

1. Die Maschengleichung für den Sekundärkreis liefert in komplexer Schreibweise: 

⎛ 1 ⎞ 

U2 

= I2 

⎜ 

⎜R 

2 + ⎟ 

(7.13) 

⎝ jωC 

⎠ 

Wenn R2 >> (1/ωC) gewählt wird, gilt näherungsweise: 

U 2 = I2 

R 2 , bzw. in Zeitdarstellung: 2 i2 

R 2 

u = (7.14) 

2. Es wird ein Kondensator C zu Hilfe genommen, dessen grundlegende Gleichung für die 

Messanordnung lautet:



du du 

c y 

i2 

= C = C (siehe Schaltvorgänge in Kap. 1) (7.15) 

dt dt 

Durch Umformung erhält man: 

1 

= ∫ i dt 

C 

u y 2 


(7.16) 

Durch Einsetzen von Gleichung (7.13) erhalten wir eine Spannung uy, die proportional zum 

Integral von u2 ist (wie oben angeführt): 

1 

= ∫ u dt 

R C 

uy 2 

2 

Somit ergibt sich folgender proportionaler Zusammenhang zwischen B und uy: 

(7.17) 

R 2C 

B = uy 

(7.18) 

w A 

2

Ãœbungen zu ELEKTROTECHNIK I ... - MontanuniversitÃ¤t Leoben

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