Minimalgerüste, Algorithmen von Prim und Kruskal
Minimalgerüste, Algorithmen von Prim und Kruskal
Minimalgerüste, Algorithmen von Prim und Kruskal
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Für<br />
<br />
Es<br />
<br />
<br />
Ein<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
4 Bäume <strong>und</strong> Minimalgerüste<br />
£¥¤§¦©¨ein Definition 4.1. Es ein zusammenhängender Graph.<br />
¢¡<br />
£¥¤§¦©¨¥heißt Gerüst<br />
gilt.<br />
¡ <br />
<strong>von</strong> gdw. wenn<br />
ein Baum ist <strong>und</strong>¨<br />
Ein Gerüst ist also ein zusammenhängender, zy-<br />
¨<br />
Bemerkung 4.1.<br />
kleinfreier, aufspannender Untergraph <strong>von</strong> .<br />
Beispiel 4.1.<br />
Gerüste für das Haus vom Nikolaus:<br />
c<br />
c<br />
c<br />
b<br />
d<br />
b<br />
d<br />
b<br />
d<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 106<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Minimalgerüst<br />
Definition 4.2.<br />
Kantengewichtsfunktion einer ¨<br />
Es sei<br />
¡<br />
<br />
.<br />
Graph mit<br />
£¥¤¦¨ein zusammenhängender<br />
das Gewicht der Kantenmenge.<br />
£#"$ ! £¡ ¨<br />
heißt<br />
£¥¤§¦<br />
ein<br />
Gerüst <strong>von</strong> . ist Dann<br />
Gewicht des Gerüstes<br />
.<br />
£ ¡<br />
sei<br />
¡ £<br />
das<br />
<strong>von</strong> heißt Minimalgerüst gdw. <strong>von</strong><br />
für alle Gerüste <strong>von</strong> .<br />
£<br />
Gerüst<br />
&% £'<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 107
Idee:<br />
<br />
Es<br />
<br />
Es<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Anzahl an Gerüsten<br />
Satz 4.1. [Cayley] Es gibt verschiedene Gerüste für den<br />
vollständigen Graphen.)<br />
(mit( Knoten).<br />
(*),+,-<br />
Bemerkung 4.2. Verschieden bedeutet hier wirklich verschieden <strong>und</strong><br />
nicht “nichtisomorph”.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3 1<br />
3 1<br />
3<br />
Beweis.<br />
Prinzip der doppelten Abzählung: In jeder Matrix ist die Summe<br />
der Zeilensummen gleich der Summe der Spaltensummen.<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 108<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
3546¦8797:7;¦(=<br />
entsteht, indem eine<br />
Kante3HGI¦KJ
Aus>akann<br />
<br />
In<br />
<br />
Die<br />
Entfernt<br />
<br />
Ein<br />
<br />
Summe der Zeilensummen <strong>von</strong>_<br />
¡<br />
verwandtes Paar£> ¦EbK<br />
/£( ¦0]D 4!n£( Do0O.<br />
genau dann, wenn> ¡<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
durch:<br />
Paar<br />
L¦E-¦Z797:7;¦ENP)RQSUdie Bäume mit@"$AB£F4,[¡\0. £`Racbdsei ¦0]D 4,§^ E<br />
¦0OMatrix_ definiert<br />
¡ /£( Die/£(<br />
jede der(<br />
D<br />
falls£>aF¦Ebdverwandtes<br />
sonst<br />
f4 e `Racb¡<br />
entfernt werden, ausgenommen<br />
inzidenten Kanten.<br />
mit4<br />
In deri-ten Zeile stehen so viele Einsen, wie es verwandte<br />
die0gDh4<br />
<strong>von</strong>_<br />
also genau£(<br />
Dh4,jD<br />
Paare£>aF¦E<br />
gibt,<br />
4<br />
Kanten<br />
derp-ten <strong>von</strong>_ Spalte stehen so viele Einsen, wie es<br />
Paare£><br />
verwandte<br />
¦Ebgibt.<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 110<br />
£k0gDh4,l¡ ( Dm0.<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
inEbmit4<br />
verb<strong>und</strong>enen Knoten seienJ L¦Z797:7;¦KJ2q.<br />
y1<br />
1<br />
y4<br />
y3<br />
y2<br />
C<br />
man eine der Kanten3546¦rJOq
Es<br />
<br />
Das<br />
<br />
<br />
Ausgehend<br />
Summe der Spaltensummen <strong>von</strong>_<br />
¡<br />
¦( Dh4,I¡ 4<br />
ergibt<br />
„<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 112<br />
iD4<br />
<br />
Für<br />
¡ ),+L a†…L/£( ¦( D i /£(<br />
),+L a†…L£( Dh4,a+L € ( D‡‚ iDh4 „ ¡<br />
),+!- a†…6ˆ£( Dh4,a€ ( Dƒ‚ i „ ¡<br />
£1£( D4,u{h4,),+,- ¡ (),+!- ¡<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
gibt also<br />
Einsen in derp-ten Spalte<br />
( Sl¡ £k0~D\4,n£( D¢4,<br />
<strong>von</strong>_ .<br />
D4,.<br />
D4*D<br />
genau£(<br />
D\4D L|{¢}M}M}9{h£( (<br />
¦F0O5£k0gD4,n£( /£(<br />
Prinzip der doppelten Abzählung liefert<br />
bzw.<br />
/£(<br />
/£( ¦10]Dh4,5£( D0OI¡ /£( ¦F0O5£k0gD4,n£( D4,<br />
<strong>von</strong>/£(<br />
sich durch Induktion<br />
£( Dh4,0]D 4 ( D0/£( ¦02 ¦0gD4,l¡<br />
/£( ¦( D iI¡ £( Dh4,a+L € ( Dƒ‚<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Charakterisierung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
die Anzahl/£(<br />
aller Bäume ergibt sich somit<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 113<br />
‰
eine Kante zwischen‹ <strong>und</strong>¤ot<br />
Wir<br />
In<br />
<br />
<br />
Dieser<br />
<br />
Dies<br />
<br />
,<br />
‹ mit<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Lemma 4.2.<br />
Kantengewichtsfunktion einer ¨<br />
Es sei<br />
¡<br />
zusammenhängender Graph mit<br />
sei‹ Weiterhin<br />
<br />
minimalem Gewicht.<br />
ein<br />
.<br />
¤ <strong>und</strong>"9ˆ<br />
Dann existiert ein Minimalgerüst für , das die Kante"9ˆenthält.<br />
£Š¤=¦#¨<br />
Beweis. Falls MinimalgerüstŒˆ<br />
ein Kante"9ˆ<br />
die nicht enthält, so nehmen<br />
wir"9ˆzuŒˆ<strong>und</strong> entfernen eine die‹ <strong>und</strong>¤<br />
Kante"L, verbindet.<br />
Wegen der Minimalitätseigenschaft <strong>von</strong>"9ˆerhöhen wir damit nicht das<br />
Gewicht des<br />
t‹<br />
Gerüstes.‰<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 114<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Der Algorithmus <strong>von</strong> <strong>Prim</strong><br />
beginnen mit einem beliebigen KnotenŽ, d.h.‹ ¡X3Ž
(**)<br />
‹ vª3¥
Korrektheit<br />
<br />
Laufzeit<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Beispiel 4.3.<br />
b<br />
12<br />
f<br />
12<br />
8<br />
m<br />
4 4<br />
l<br />
a<br />
20<br />
c<br />
13<br />
7<br />
10<br />
11<br />
5<br />
3<br />
10<br />
k<br />
17<br />
7<br />
d<br />
g<br />
3 20<br />
j<br />
e<br />
i<br />
16<br />
8<br />
h<br />
9<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 118<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Satz 4.3.<br />
Algorithmus 4.1 berechnet ein Minimalgerüst in Zeit·<br />
£©s¤¸s-.<br />
Beweis. Es sind zwei Dinge zu beweisen:<br />
des Algorithmus<br />
Wir zeigen induktiv: Nach jeder Ausführung <strong>von</strong> (*) (bzw. nach (**))<br />
gibt@§¦£Žfür den Abstand zu einem nächstgelegenen<br />
Knoten¥º‹ an.<br />
alleŽ¹<br />
Korrektheit des Algorithmus folgt dann mit Lemma 4.2. Tafel<br />
‹ ¤t<br />
✎.<br />
– Die dominieren Schritte innerhalb der While-Schleife: (*) <strong>und</strong> (**).<br />
– Die While-Schleife wirds¤ªs-mal durchlaufen.<br />
– Schritte (*) <strong>und</strong> (**) können in·<br />
£©s¤¸s»ausgeführt werden.<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 119<br />
‰
Beim<br />
<br />
Beim<br />
<br />
Man<br />
<br />
Hierzu<br />
<br />
Man<br />
<br />
In<br />
<br />
Dies<br />
<br />
Dies<br />
<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
Der Algorithmus <strong>von</strong> <strong>Kruskal</strong><br />
Algorithmus <strong>von</strong> <strong>Prim</strong> baut man ausgehend <strong>von</strong> einem Knoten<br />
den Baum sukzessive auf.<br />
Algorithmus <strong>von</strong> <strong>Kruskal</strong> beginnt man stattdessen mit den einzelnen<br />
Knoten. Diese stellen einen Wald dar.<br />
versucht nun, diese Wälder optimal zu einem Baum zusammenzusetzen.<br />
sortiert man zunächst alle Kanten aufsteigend nach ihrer<br />
Länge.<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 120<br />
4. Bäume <strong>und</strong> Wälder Berechnung <strong>von</strong> Minimalgerüsten<br />
beginnt, in dem man die die kürzeste Kante in den Wald aufnimmt.<br />
Der Wald hat jetzt eine ZHK weniger.<br />
Iterationi:Falls diei-te Kante zu einem Kreis führen würde, verwirft<br />
man sie. Andernfalls nimmt man sie in den Wald auf, wodurch<br />
sich wieder die Anzahl des ZHKs verringert.<br />
macht man solange, bis ein aufspannender Baum entstanden<br />
ist.<br />
ist genau dann der Fall, man( wenn<br />
hat (vgl. Satz 1.4 <strong>und</strong> Satz 1.5).<br />
Dº4<br />
aufgenommen<br />
Kanten<br />
Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 121
<strong>und</strong><br />
½ .‡¡ £½ . t3. L¦.- v©3Ž¦Ä<br />
Es sei3Ž¦Á
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