Ableitung

Ableitung
Differentiation
Definition (Ableitung)
f ′ (x) = d dx
f (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Beispiel: f (x) = x 2 , x = 2
lim
h→0
(x + h) 2 − x 2
h
= lim
h→0
2xh + h 2
h
= 2x = 4
Definition
Die Funktion f heißt diffbar, wenn sie in jedem Punkt ihres
Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert.
Theorem
f differenzierbar in x ⇒ f stetig in x
(Logik: unstetig kann nicht diffbar sein!)
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 167 / 415

Ableitungen von Standardfunktionen
Funktion Ableitung Funktion Ableitung
x n nx n−1 1
x n
n√ x
1
n n√ x n−1
− n
x n+1
e ax a · e ax a x a x · ln(a)
ln(x)
1
x
log a (x)
1
x·ln a
sin(x) cos(x) cos(x) − sin(x)
tan(x)
1
cos 2 (x)
cot(x) − 1
sin 2 (x)
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 168 / 415
Differentiationsregeln
Summe: (f + g) ′ = f ′ + g ′
Differenz: (f − g) ′ = f ′ − g ′
Produkt: (fg) ′ = f ′ g + fg ′
Quotient: (f /g) ′ = (f ′ g − fg ′ )/g 2 (g ≠ 0)
Verkettung: (f (g)) ′ = f ′ (g)g ′
Inverse: (f −1 ) ′ = 1/f ′
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 169 / 415

Beispiele
Funktion Ableitung Funktion Ableitung
arcsin(x)
1 √1−x
arccos(x) −√
1
2
1−x 2
arctan(x)
1
1+x 2 arccot(x) − 1
1+x 2
Spezialtrick: logarithmische Differentiation
(f g ) ′ = f g (g ′ ln f + gf ′ /f )
Beispiel: (x x ) ′ = x x (ln x + 1)
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 170 / 415
Elastizität
Definition (Elastizität)
Der Grenzwert des Quotienten der relativen Änderungen von y = f (x)
und x heißt Elastizität:
η = lim
f (x+h)−f (x)
f (x)
h→0 h
x
Offenbar gilt:
η = lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h
·
( ) −1 f (x)
x = x · f ′ (x)
f (x)
η = x(ln |f (x)|) ′ ( f (x) ≠ 0 )
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 171 / 415

Ein Beispiel
Beispiel: Nachfragefunktion
a = f (p) = p 2 − 7p + 10 (0 ≤ p ≤ 2)
Bemerkung:
η = p ·
2p − 7
p 2 − 7p + 10 =
Die Nachfrage heißt:
preiselastisch, falls |η(p)| > 1,
preisunelastisch, falls |η(p)| < 1
⇒ f ist elastisch für p ∈ (0.88, 2)
2p2 − 7p
p 2 − 7p + 10
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 172 / 415
Höhere Ableitungen
Definition:
Die Ableitung von f ′ heißt zweite Ableitung.
Allgemein: f (n) = (f (n−1) ) ′ .
Funktionen, die auf der offenen Menge D n-mal differenzierbar sind,
und deren n-te Ableitung stetig ist, heißen Funktionen der Klasse
C n (D).
(f selbst ist seine eigene 0-te Ableitung, somit ist C 0 (D) die Klasse der
stetigen Funktionen auf D.)
Regel (Leibniz): (fg) ′′ = f ′′ g + 2f ′ g ′ + fg ′′
(vgl. binomischer Satz)
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 173 / 415

Taylorformel
Für Funktionen, die hinreichend viele stetige Ableitungen besitzen,
erweist sich die folgende Approximation durch ein Polynom oft als
nützlich (meist n = 1 oder n = 2):
T (f , x 0 , n)(x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 )
+ f ′′ (x 0 )
(x − x 0 ) 2 + . . .
2!
+ f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n
n!
Beispiel
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 174 / 415
Restglied
Die Differenz zwischen f und der Näherung heißt Restglied (Fehler):
Es gilt der folgende Satz:
R(f , x 0 , n)(x) = f (x) − T (f , x 0 , n)(x)
∃ξ ∈ (x 0 , x)
R(f , x 0 , n)(x) = f (n+1) (ξ)
(n + 1)! (x − x 0) n+1 Beispiel
Speziell für n = 0 erhalten wir:
f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a)
mit einem ξ aus (a, b)
(Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 175 / 415

Folgerungen:
Ableitung überall Null
↔ Funktion konstant
Ableitung überall positiv (negativ)
↔ f streng monoton wachsend (fallend)
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 176 / 415
Bedeutung höherer Ableitungen
zweite Ableitung überall positiv (negativ)
⇒ f streng konvex (konkav)
Vorsicht mit Umkehrungen (besonders bei streng)!
Grenzwerte
Oft ist es sehr nützlich, bei der Grenzwertbildung Funktionen durch
Taylorpolynome zu ersetzen.
Beispiel: lim
x→0
cos x − 1
x 2 = − 1 2
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 177 / 415

Taylorreihen
T (f , x 0 )(x) = lim
n→∞
T (f , x 0 , n) =
∞∑
n=0
f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n
n!
Beispiele:
sin(x) =
cos(x) =
∞∑
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)! = x − x 3
3! + x 5
5! − x 7
7! ± . . .
n=0
∞∑
(−1) n x 2n
(2n)! = 1 − x 2
2! + x 4
4! − x 6
6! ± . . .
n=0
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 178 / 415
e x =
∞∑
n=0
x n
n! = 1 + x + x 2
2! + x 3
3! + . . .
(1 + x) a =
∞∑ ( a
)
n
n=0
= 1 + ax +
x n
a(a − 1)
x 2 +
2!
a(a − 1)(a − 2)
x 3 + . . .
3!
Maple Worksheet zur Differentialrechnung
Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS 2012 179 / 415