1 Aufbau von Termen

Übungen zu Algorithmik I
Wintersemester 2004/05
Prof. Dr. Herbert Stoyan, Dr.-Ing. Bernd Ludwig
Aufgabenblatt 4 (Anmerkungen) vom 8.11.2004
Anmerkungen zur Auswertung von arithmetischen Ausdrücken
1 Aufbau von Termen
Untersucht man den syntaktischen Aufbau von arithmetischen Ausdrücken, dann stellt man
fest, dass es grundsätzlich drei verschiedene Typen gibt:
• Zahl: z.B. 2, −3.45
• geklammerte Terme: z.B: (7.65 + 9.096)
• Terme mit binären Rechenoperatoren: z.B. 4.5 + 6.987, −56.6/7
Alle anderen denkbaren Terme lassen sich einem der drei Typen zuordnen. Der Grund dafür,
dass dies möglich ist, wird vom Assoziativgesetz geliefert, wenn es sich bei dem Term um eine
Summe oder ein Produkt handelt:
• 3 + 4 + 5 lässt sich auch als (3 + 4) + 5 oder 3 + (4 + 5) schreiben, ohn dass sich der
Wert der Summe ändern würde.
• 3 · 4 · 5 kann umgeformt werden zu (3 · 4) · 5 oder zu 3 · (4 · 5).
Bei Differenzen und Quotienten gilt das Assoziativgesetz bekanntlich auch, da es sich um die
zu Addition und Multiplikation inversen Rechenoperationen in einer (algebraischen) Gruppe
handelt:
• 3 − 4 − 5 = (3 − 4) − 5 = 3 − (4 − 5)
• 3/4/5 = (3/4)/5 = 3/(4/5)
Wenn in einem Term die Strich-Operatoren + und − mit den Punkt-Operatoren · und / gemischt
vorkommen, gilt die Regel Punkt vor Strich. Wie das Assoziativgesetz gibt sie eine
Regel für die Reihenfolge an, in der Operatoren in einem Term ausgewertet werden dürfen:
Summanden können erst dann zu anderen Summanden addiert werden, wenn sie keine Produkte
mehr enthalten. Im Term
3 · 4 + 5
muss also zuerst 3 · 4 ausgewertet werden, bevor der Wert der Summe berechnet werden kann.
Die Punkt-vor-Strich-Regel kann auch so umformuliert werden: Wenn in einem Ausdruck
Punkt- und Strich-Operatoren gemischt vorkommen, dann setze um jedes Produkt Klammern!
Für das Beispiel oben hieße das:
3 · 4 + 5 = (3 · 4) + 5
Damit haben wir wieder einen Term mit einer binären Rechenoperation.
Fazit: Wir müssen also nur genügend viele Klammerpaare setzen, dann erhalten wir immer
einen Term, der zu einem der drei eingangs aufgeführten Typen gehört. Ein Klammerpaar zu
setzen, bedeutet also, die Berechnung des Werts des Terms solange hinauszuschieben, bis der
Wert des eingeklammerten Terms ermittelt ist.
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2 Auswertung
Bei der Implementierung von arithmetischen Ausdrücken in der Programmiersprache ALGO
wird den dargestellten Tatsachen zunächst dadurch Rechnung getragen, dass Klassen für die
drei Typen von Termen vorgesehen sind:
• Zahl: ALGOFloatConstantExpression
• geklammerter Term: ALGONestedExpression
• binäre Operatoren: ALGOPlusExpression, ALGOMinusExpression, ALGOTimesExpression,
ALGODivExpression
In jeder Klasse wird die Methode evaluate implementiert, die die Auswertung eines Terms
durchführen soll.
Im Fall von ALGOFloatConstantExpression ist die Auswertung die Instanz selbst;
denn der Wert einer Zahl ist die Zahl selbst.
ALGONestedExpression muss in evaluate die Klammerregel umsetzen, d.h. der
Wert des Terms ist identisch zu dem Wert des eingeklammerten Terms; dementsprechend wertet
evaluate sein Argument aus und gibt den berechneten Wert zurück.
evaluate in den anderen Klassen muss erst beide Argumente untersuchen, ob sie erfordern,
die Auswertung zu verschieben, bis die Argumente ausgewertet sind, oder ob der Rechenoperator
sofort auf beide (ausgewerteten) Argumente angewandt werden kann:
(3 · 4 + 5) · 2 + 1 = linkes Argument: Punkt-vor-Strich! (1)
((3 · 4 + 5) · 2) + 1 erst Klammer auswerten! (2)
(3 · 4 + 5) · 2 linkes Argument geklammert: erst auswerten! (3)
3 · 4 + 5 linkes Argument: Punkt-vor-Strich! (4)
(3 · 4) + 5 = erst Klammer auswerten! (5)
3 · 4 = Produkt auswerten! (6)
12 in Zeile (5) einsetzen! (7)
12 + 5 = 17 Summe in Zeile 4 auswerten! (8)
17 in Zeile (3) einsetzen! (9)
17 · 2 Produkt auswerten! (10)
34 in Zeile (2) einsetzen! (11)
34 + 1 = 35 Zeile (1) auswerten und fertig! (12)
Da jeder Teilausdruck, der im Verlauf der Berechnung auszuwerten ist, Instanz einer Unterklasse
von ALGOExpression ist, kann man die Auswertung implementieren, indem evaluate
für binäre Operatoren erst evaluate für seine Argumente aufruft und dann die Rechenoperation
durchführt.
Bis einschließlich der Zeile 5 verschiebt evaluate also die Berechnung eines Ergebnisses,
erst ab dem Zeitpunkt, zu dem in Zeile (6) das Produkt 3· ausgewertet worden ist, wird nicht
nochmals evaluate aufgerufen, sondern die bisher aufgerufenen evaluate-Methoden geben
in umgekehrter Reihenfolge ihres Aufrufs ihre Ergebnisse zurück. Ein Ergebnis wird jeweils
von der aufrufenden Methode zur Berechnung ihres eigenen Teilergebnisses, das sie dann
zurückgibt, eingesetzt.
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