Erstes Beispielexperiment Torsionspendel (Nr. 8) - MV-Sirius ...

Physiklabor
Prof. Dr. M. Wülker
Einführung in die Fehlerrechnung anhand von zwei Beispielexperimenten
Diese Einführung erläutert die wesentlichen Grundzüge der Fehlerberechnung für gewonnene
Messergebnisse am Beispiel zweier Experimente aus dem Maschinenbau. Da die gewählten
Beispiele nur zur Konkretisierung des Gesagten dienen, können die allgemeinen Zusammenhänge
auf andere Experimenten übertragen werden.
Das erste Beispielexperiment
Der Torsionsmodul eines Drahtmaterials wird über die Messung seines
Drehschwingverhaltens bestimmt. Dazu wird am unteren, freien Ende
des Drahtstücks ein rotationssymmetrischer Gewichtskörper angebracht
und die Drehschwingungsdauer T 0 gemessen (Abb. 1). Danach wird an
dem Gewichtskörper ein zylindrischer Körper mit einer zentralen
Bohrung befestigt und die nun geänderte Drehschwingungsdauer T
bestimmt.
Der Torsionsmodul kann über die Gleichung
L D
G = ⋅ ⋅ *
2
(1)
4
π ⋅ R
berechnet werden, wobei L die freie Länge des Drahts, R dessen Radius
und D * sein Richtmoment sind. Aus der Bewegungsgleichung einer
*
Drehschwingung (J ϕ = − D ϕ) kann abgeleitet werden, dass die
Drehschwingungsperiode T durch
2 2 J0
+ J
T = 4 π
* (2)
D
festgelegt ist, wenn beide Körper am Draht hängen. Die Massenträgheitsmomente J 0 bzw. J
beziehen sich auf den Gewichtskörper bzw. auf den zylindrischen Körper. Für den Fall, dass
der zylindrische Körper nicht am Gewichtskörper befestigt ist, gilt:
2 2 J0
T0
= 4 π
*
(3)
D
Aus den Gleichungen (2) und (3) kann das schwer bestimmbare Massenträgheitsmoment des
Gewichtskörpers J 0 eliminiert werden. Löst man nach D * auf, so erhält man:
4 π
2 J
D
* =
2 2
(4)
T − T0
Das Massenträgheitsmoment des durchbohrten, zylindrischen Körpers bestimmt sich nach der
Gleichung
1
2
2 2
( i a )
Abb. 1:
Schematischer Versuchsaufbau
J = m r + r , (5)
wobei r a der Radius des Zylinders, r i der Radius der Bohrung und m die Masse des
Zusatzkörpers sind.
Es müssen nun geeignete Messinstrumente ausgewählt werden, um einerseits die Längen L, R,
r
a und r i bzw. andererseits die Masse m und die Drehschwingungsdauern T und T 0 zu
bestimmen. Im Falle des Drahtdurchmessers R sollte eine Bügelmessschraube verwendet
werden. Die Drahtlänge L wird man mit einem Bandmaß und die Radien des zylindrischen
Körpers r a und r i mit einer Schieblehre bestimmen. Zur Wägung wird man eine geeignete
Waage einsetzen. Die Zeiten werden bestimmt, indem man eine ausreichende Zahl von
Schwingungsperioden mit der Stoppuhr misst.

Statistische und systematische Fehler
Jede Messung mit einem dieser Messinstrumente ist aus vielerlei Gründen fehlerbehaftet. Man
teilt die auftretenden Fehler in zwei Kategorien ein: Statistische Fehler, die zufällig auftreten,
und systematische Fehler, die immer zu gleichartigen Abweichungen führen.
Bei der Messung mit einer Bügelmessschraube kann es z. B. vorkommen, dass sich ein Staubkorn
oder eine sonstige Verschmutzung zwischen dem Draht und der Anschlagsfläche
befindet. Genauso ist es möglich, dass der Draht bei einer Messung flächig anliegt, während
bei einer anderen Messung die Berührung punktförmig ist. Dafür können einerseits
Ausstülpungen aufgrund der Oberflächenrauhigkeit oder andererseits Variationen in der
Handhabung der Bügelmessschraube durch den Experimentator verantwortlich sein. Alle
diese Fehlerursachen treten zufällig auf und werden deshalb als statistische Messfehler
bezeichnet.
Ganz anderer Natur sind hingegen Messfehler, die z. B. durch eine ungleichmäßige Steigung
des Spindelgewindes, durch mangelnde Parallelität der Anschlagsflächen oder durch
thermische Ausdehnung des Bügels aufgrund erhöhter Temperaturen bei der Messung
zustande kommen. Diese Messfehler führen immer zu den gleichen Abweichungen und
könnten durch ein genauere Vermessung - z. B. der tatsächlichen Spindelsteigung - oder aber
auch durch größeren Aufwand bei der Herstellung der Bügelmessschrauben korrigiert werden.
Aus diesem Grund werden sie systematische Fehler genannt.
Für gängige Messinstrumente wie eine Bügelmessschraube wird den Herstellern durch eine
DIN-Norm (DIN 863) vorgeschrieben, wie groß systematische Fehler durch Fertigungstoleranzen
maximal ausfallen dürfen und wie der systematische Fehler anzugeben ist.
Diese Genauigkeit ist auf die Bügelmessschraube aufgedruckt und beträgt im Labor in der
Regel 0,01 mm. Der gemessene Durchmesser des Drahts muss deshalb z. B. mit
d = 2 R = (0,507 ± 0,01) mm
(6)
angegeben werden. Die Angabe 0,01 mm = ∆ dsyst
kennzeichnet einen absoluten Fehler.
Bezieht man den absoluten Fehler auf den
Messwert, so erhält man den relativen
0,01 mm
Fehler:
2,0%
0,507 mm = (7)
Man kann den gemessenen Durchmesser
dann auch durch
d = 0,507 mm ± 2,0% (8)
angeben.
Diese Angabe schließt allerdings noch
keinen statistischen Fehler z. B. durch
Verschmutzungen oder zufällig
auftretende Handhabungsfehler ein. Um
den statistischen Fehler zu bestimmen,
werden mehrerer Messungen gemacht,
also eine Messreihe aufgenommen. Abb. 2
zeigt das Ergebnis einer solchen
Messreihe.
Zur bildlichen Darstellung einer Messreihe
ist es üblich, eine Häufigkeitsverteilung
(Histogramm) zu zeichnen. Die Maßskala
wird dazu in gleich große Intervalle geteilt
und dann über jedem Intervall die Zahl der
Abb. 2:
Messreihe für den Durchmesser d des Drahts
und Darstellung als Histogramm
2

Messungen, die in das betreffende Intervall fallen, als Balken aufgetragen. Die einzelnen
Intervalle werden "Bins" genannt. ("Bin" kommt aus dem Englischen und bedeutet "Eimer";
stellt man beispielsweise eine Kette von Eimern unter eine leckende Wasserleitung, so kann
man aus der Wasserstandsverteilung auf die Lage des Lecks schließen.) Die Zahl der
Messungen in einem Bin bezeichnet man als absolute Häufigkeit N i . Bezieht man die
absolute Häufigkeit auf die Anzahl der Messungen N, so erhält man die relative Häufigkeit:
Ni
hi
= (9)
N
Möchte man sich ein genaueres Bild von der Häufigkeitsverteilung machen, so wird man
immer mehr Messungen durchführen und gleichzeitig die Intervallbreite verkleinern. Für eine
Messung, deren Fehler nur noch durch Zufallseinflüsse bestimmt wird, erhält man für den
Grenzfall unendlich vieler Messungen und beliebig kleiner Intervallbreite eine symmetrische
Verteilung der einzelnen Messwerte um einen wahrscheinlichsten Wert. Die resultierende
Funktion (Abb. 3) hat die Form einer Normalverteilung (Gaußverteilung), deren Formel
x
− ( ) 2
−µ
1
2
2σ h( x)
= e
(10)
σ ⋅ 2π
lautet. x ist die unabhängige, statistisch schwankende Größe, also im Falle des
Beispielexperiments mit dem Durchmesser d zu identifizieren. µ stellt den wahrscheinlichsten
(häufigsten) Wert dar, und wird auch Erwartungswert genannt. σ ist ein Maß für die Breite
der "Glockenkurve" und charakterisiert somit, wie stark die Messwerte um den
Erwartungswert µ streuen. (2σ ist die Breite der Kurve bei 60,65% des Maximalwertes). σ 2
bezeichnet man als Varianz der Normalverteilung. Der Vorfaktor ist so gewählt, dass das
Integral von h ( x)
über die gesamte x-Achse 1 wird, d. h. dass bei einer Messung genau ein
x-Wert auftritt.
In der Praxis ist es natürlich nicht möglich, unendlich viele Messungen zu machen. Man muss
sich also damit begnügen, den Erwartungswert einer normalverteilten Messgröße zu schätzen.
Diesen geschätzten Erwartungswert berechnet man mit der Formel
1 N
x = ∑ x
i i
N = 1
, (11)
wobei x i die einzelnen Messwerte bezeichnet und N die Anzahl der Messungen. Den
geschätzten Erwartungswert einer Normalverteilung nennt man auch deren Mittelwert.
Für die Wurzel der Varianz, d. h. für σ, kann ein Schätzwert mit der Formel
N
∑ ( xi
− x ) 2
i=
1
sx
=
N −1 (12)
ermittelt werden, den man als Standardabweichung bezeichnet.
3
Abb. 3:
Normalverteilung mit Erwartungswert
µ = 0, 0 und
Varianz σ 2 = 1,
0

(Anmerkung: Im Nenner steht tatsächlich N-1. Dies wird oft mit der Formel
N
∑ ( x
i i
− µ )
2
= 1
sx
=
N
(13)
verwechselt. In dieser Formel steht der exakte Erwartungswert µ, der wiederum nur bei
unendlich vielen Messungen bekannt wäre. Bei der Arbeit mit einem Taschenrechner muss
man sich vergewissern, dass mit der erstgenannten Formel für die Standardabweichung
gerechnet wird!)
Da der Mittelwert und die Standardabweichung Schätzwerte sind, hängt deren Unsicherheit
von der Zahl der Messungen ab, mit der man sie bestimmt. Mit wenigen Messungen erhält
man gegenüber dem Erwartungswert µ und der Wurzel der Varianz σ ungenauere Werte als
mit vielen. Der Fehler für den Mittelwert beträgt
sx
∆x = , (14)
N
dessen relativer Fehler
∆x
∆ xrel
= . (15)
x
Dabei muss betont werden, dass die Messwerte nach wie vor entsprechend σ um den
Mittelwert (genauer gesagt um den Erwartungswert µ) streuen. Die Normalverteilung behält
also ihre Breite, lediglich der Mittelwert wird mit zunehmender Zahl der Messungen genauer
bestimmt. Nimmt man eine Messreihe auf, so gibt man als Messergebnis den Mittelwert und
als statistischen Fehler den Fehler des Mittelwerts an. Die obige Messreihe ergibt einen
Mittelwert von d = 0,5071 mm und einen Fehler des Mittelwerts von ∆ d = 0,0004 mm . Die
Standardabweichung hingegen beträgt s
d
= 0,0013 mm .
Oftmals ist man daran interessiert, wie häufig eine Einzelmessung nicht in einem um einen
bestimmten Sollwert definierten Intervall liegt. Dieses Intervall nennt man Vertrauensbereich.
Soll z. B. bei der Herstellung des oben verwendeten Drahtmaterials kontrolliert werden, ob
der Durchmesser tatsächlich 0,507 mm beträgt, so wird man den Durchmesser regelmäßig
während der Produktion messen. Entspricht die oben ermittelte Standardabweichung
s
d
= 0,0013 mm der tatsächlich gewünschten Durchmessertoleranz, so liegen in dem Intervall
d ± 2σd
95,4% der Einzelmessungen. Liegen mehr als 4,6% der fortlaufend ermittelten Messwerte
nicht mehr im Vertrauensbereich, so ist davon auszugehen, dass der Produktionsprozess das
Drahtmaterial nicht mehr mit der gewünschten Qualität liefert. Da Ausschussquoten von ca.
5% meistens toleriert werden können, wird im Qualitätssicherungswesen üblicherweise ein
Vertrauensbereich von x ± 2σ verwendet. Nur bei strengen Anforderungen wird ein
Vertrauensbereich von x ± 3σ benutzt, in dem dann 99,7% der Werte liegen. In der Physik
wird, falls nichts anderes angegeben ist, von einem Vertrauensbereich von x ± σ ausgegangen,
in dem dann 68,3% der Messwerte liegen. Bei wissenschaftlichen Messungen ist die Aufgabe
ja nicht, eine bestimmte Qualität sicherzustellen, sondern vielmehr ein zuverlässiges und
allgemein akzeptiertes Maß für die Streuung der Messwerte zu benutzen.
Für den Mittelwert - also den Schätzwert für den Erwartungswert - gilt die Wahrscheinlichkeitsaussage,
dass mit 68,3%iger Sicherheit der exakte Erwartungswert im Intervall
x
x ± ∆ (16)
N
liegt. Für Messreihen mit verhältnismäßig wenigen Einzelmessungen (N

statistischen Sicherheit (68,3% in der Physik, 95,4% im Qualitätswesen) kann man
entsprechend der Zahl der Messungen N den t-Faktor aus der Tabelle herauslesen.
(Strenggenommen muss N-1 verwendet werden). Die statistische Messunsicherheit für einen
Messwert, d. h. den Mittelwert, ist also
s x
∆ xstat
= t ⋅ . (17)
N
Wie man aus der Tabelle sieht, erhöht der t-Faktor für eine Messreihe mit mehr als 10
Messungen den "Fehler des Mittelwerts" um weniger als 6% und kann dann meist
unberücksichtigt bleiben.
Anzahl der Messungen
(genauer N-1, da µ
geschätzt wird)
stat. Sicherheit
68,3 %
stat. Sicherheit
95,4 %
1 1,84 12,71
2 1,32 4,30
3 1,20 3,18
4 1,15 2,78
5 1,11 2,57
7 1,08 2,37
10 1,06 2,25
20 1,03 2,09
50 1,01 2,01
100 1,00 1,96
Tab. 1:
t-Faktoren
(DIN 1319)
Wie man Abb. 2 entnehmen kann, ist der statistische Fehler der Durchmesser-Messung
∆ d stat
= 0,0005 mm .
Zusammen mit dem systematischen Fehler ∆ dsyst = 0,01 mm gibt man nun das endgültige
Messergebnis für den Durchmesser des Drahts in der Form
d = (0,5071± 0,0005stat
± 0,01
syst
) mm
(18)
an.
Ob im allgemeinen einer der beiden Fehler dominiert bzw. ob die Fehler gleich groß sind,
hängt ganz vom Experiment ab. Für die Bügelmessschraube dürfte man bei sachgerechter
Handhabung erwarten, dass der systematische Fehler größer als der statistische ausfällt, da der
systematische Fehler ja zusätzlich Variationen in der Spindelgewindesteigung, Temperatureinflüsse
etc. berücksichtigt. Ist im Fall der Bügelmessschraube der statistische Fehler
deutlich größer als der systematische, so kann dies entweder am (Un)geschick des
Experimentators liegen oder tatsächlich durch Variationen im Stabquerschnitt bedingt sein.
Abb. 4 zeigt die Daten eines Experiments, bei dem viele Messungen entlang des Drahts
automatisiert durchgeführt wurden. Dabei wurde zusätzlich die Messposition entlang des
5

Drahts registriert. Der statistische Fehler ist zwar deutlich kleiner als der systematische,
dennoch zeigt die Darstellung, dass es entlang des Drahts einen zunehmenden Trend für den
Drahtdurchmesser gibt. Falls der Torsionsmodul sehr genau bestimmt werden soll, müsste die
Querschnittsänderung bei der Aufstellung der Formel für den Torsionsmodul berücksichtigt
werden. Die Auswertung wird dadurch natürlich erheblich komplizierter.
In der Praxis kann man meist so vorgehen, dass man bei sehr unterschiedlichen Fehlern den größeren
nimmt. Sind systematischer und statistischer Fehler ungefähr gleich groß, so werden die
beiden Einzelfehler quadratisch zu einem Gesamtfehler addiert:
2
( ) ( ) 2
∆ d = ∆ d + ∆ d . (19)
stat
Man gibt das Endergebnis dann in der Form
d ± ∆ d = (0,507 ± 0,010) mm
(20)
an. Im weiteren kann dann untersucht werden, wie sich der Fehler der Durchmessermessung
auf die Berechnung des Torsionsmoduls auswirkt.
In gleicher Weise geht man bei der Bestimmung aller anderen Messgrößen vor.
Bei der Verwendung eines Bandmaßes ist es meistens nicht einfach, Informationen über den
systematischen Fehler zu erhalten. In diesem Fall muss man sich selber Gedanken machen,
welche Einflüsse zu einer systematischen Verfälschung des Ergebnisses führen können. So
dürften z. B. Temperaturschwankungen einen wesentlichen Einfluss haben. Um diese abzuschätzen,
geht man davon aus, dass die Teilung auf das Maßband so aufgebracht wurde, dass
sie bei Raumtemperatur (20 °C) korrekt ist. Dann kann man sich z. B. für ein Stahlband über
den linearen Ausdehnungskoeffizienten überlegen, wieviel sich das Maßband ausgedehnt hat,
wenn es beispielsweise bei 10 °C benutzt wird.
Bei einer Waage sollte es möglich sein, aus der Bedienungsanleitung eine Genauigkeitsangabe
zu entnehmen. Steht diese Information nicht zur Verfügung, so sollte man die Waage mit
Eichgewichten kontrollieren. Stehen solche auch nicht bereit, so kann man einen Gegenstand,
den man gerade noch auf einer Feinwaage wiegen kann, auf der etwas gröberen Waage
nachwiegen. Die Differenz zwischen diesen Wägungen gibt ein ungefähres Maß für den
systematischen Fehler. Allerdings ist dann noch nicht bekannt, ob der absolute systematische
Fehler oder der relative systematische Fehler konstant ist.
6
syst
Abb. 4:
Automatisierte Messung des
Drahtdurchmessers

Für das Beispielexperiment wurden folgende statistische und systematische Fehler bestimmt:
Dabei wurde für den systematischen Fehler des Bandmaßes die Längenausdehnung bei einer
( stat syst )
( 927,0 0,39stat
0,15syst
)
(
mm
)
( 6, 245 0,020 0,05 ) mm
( 314 1syst
) g
( )
( stat
syst )
d = 0,5071± 0,0005 ± 0,01 mm
L = ± ±
d
d
= 49,305 ± 0,017 ± 0,05 mm
a stat syst
= ± ±
i stat syst
m = ±
T = 3,1317 ± 0,0010 ± 0,0002 s
0 stat syst
T = 4,1284 ± 0,0013 ± 0,0002 s
Temperaturdifferenz von 10 K abgeschätzt. Für die Durchmesser am zylindrischen Körper
wurde der systematische Fehler an der Schieblehre abgelesen, und für die Stoppuhr wurde ein
Fehler von einer Einheit in der letzten angezeigten Stellen angenommen und von den
insgesamt 50 gemessenen Schwingungen auf die Schwingungsdauer umgerechnet.
Als Endergebnis aller Messungen erhält man dann die folgenden Messwerte mit Angabe der
Gesamtfehler:
d ± ∆ d = 0,507 ± 0,010 mm
a
i
i
a
0 0
Fehlerfortpflanzung
Als nächstes stellt sich nun die Frage, wie die ganzen einzelnen Fehler sich zum Gesamtfehler
des Torsionsmoduls zusammensetzen. Dabei ist es insbesondere interessant zu wissen, welche
Messgröße den größten Fehlereinfluss auf den Endwert ausübt. Bei der Messung dieser Größe
sollte man dann besonders sorgfältig vorgehen.
Der Torsionsmodul berechnet sich, wie oben erwähnt, aus den Formeln
*
32⋅
L ⋅ D ( J, T, T0
)
*
G =
= G( L, D , d)
4
π d
(23)
mit dem Richtmoment
2
* 4 π J ( m, di, da
) *
D = = D ( J, T, T
2 2
0)
T −T0
, (24)
wobei das Massenträgheitsmoment des zylindrischen Körpers wiederum durch
2 2
( )
( )
( 927,0 0, 42)
mm
( )
( )
( 314 1)
g
( )
( )
L ± ∆ L = ±
d
± ∆ d = 49,305 ± 0,053 mm
d ± ∆ d = 6, 245 ± 0,054 mm
m ± ∆ m = ±
T ± ∆ T = 3,1317 ± 0,0010 s
T ± ∆ T = 4,1284 ± 0,0013 s
1
J m di da J m di da
=
8
+ = ( , , )
(25)
gegeben ist. Die Formeln wurden auf die unmittelbar gemessenen Größen umgeschrieben.
Insgesamt ist der Torsionsmodul eine Funktion aller Messgrößen: G( L, d, T, T0 , m, di, da
)
7
(21)
(22)

Da man aber auch an den Zwischenergebnissen interessiert ist, berechnet man das Ergebnis
lieber schrittweise. Die Fehlerrechnung wird dadurch erheblich übersichtlicher werden.
Mit den angegebenen Messwerten erhält man dann die folgenden Ergebnisse:
*
1
8
( ( ) ( ) )
( 4,1284s) − ( 3,1317s)
( 0,507 mm )
2 2 2
J = 314g ⋅ 6,245mm + 49,305mm = 96,947 kg mm
D
4⋅π
⋅96,947 kg mm kg mm
= = 528,91
2 2 2
s
2 2 2
2
kg mm
2
s
6 10
4 2
32⋅927,0mm ⋅528,91 kg
G = = 75,52⋅ 10 = 7,55⋅10 Pa
π ⋅
s mm
Nach den Gleichungen (23)-(25) ist der Torsionsmodul eine Funktion von sieben
unabhängigen Messgrößen. Den Fehlereinfluss einer einzelnen Messgröße erhält man, indem
man deren Fehler mit der Steigung in die Richtung dieser Messgröße, also deren partieller
Ableitung, multipliziert. Z. B.:
∆G
= ∂G
L
∆L
∂ L
⋅
(27)
Die Fehlereinflüsse der verschiedenen Messgrößen werden dann quadratisch addiert, so dass
der Gesamtfehler des Torsionsmoduls
⎛ ∂ G ⎞ ⎛ ∂ G ⎞ ⎛ ∂ G ⎞ ⎛ ∂ G ⎞ ⎛ ∂ G ⎞ ⎛ ∂ G ⎞ ⎛ ∂ G ⎞
∆ G = ⎜ ∆ L ⎟ + ⎜ ∆ d ⎟ + ⎜ ∆ T ⎟ + ⎜ ∆ T0 ⎟ + ⎜ ∆ m⎟
+ ⎜ ∆ di ⎟ + ⎜ ∆da
⎟
⎝ ∂ L ⎠ ⎝ ∂ d ⎠ ⎝ ∂ T ⎠ ⎝ ∂ T0 ⎠ ⎝ ∂ m ⎠ ⎝ ∂ di ⎠ ⎝ ∂ da
⎠
(28)
beträgt. In der Form der Gleichung (28) lässt sich ein Gesamtfehler ganz allgemein berechnen.
Wie oben erwähnt, empfiehlt es sich allerdings, zuerst die Fehlerrechnung für das
Massenträgheitsmoment J und das Richtmoment D * durchzuführen, und dann erst den
Torsionsmodul zu berechnen.
Für den absoluten Fehler des Massenträgheitsmoments lautet die Berechnung:
2 2
2
2 2 2
⎛ ∂ J ⎞ ⎛ ∂ J ⎞ ⎛ ∂ J ⎞ ⎛ 1 2 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
∆ J = ⎜ ∆ m⎟ + ⎜ ∆ d ⎟ + ⎜ ∆ d ⎟ = ⎜ ( d + d ) ∆ m⎟ + ⎜ m d ∆ d ⎟ + ⎜ m d ∆ d ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i a i a i i a a
⎝ ∂ m ⎠ ⎝ ∂ di
⎠ ⎝ ∂ da
⎠ 8 4 4
2
1 1
2
( ( ( 6, 245mm ) ( 49,305mm ) ) 1g ) ( 314g ) ( 6, 245mm 0,053 mm ) ( 49,305mm 0,054mm )
8 4
= 0,371kg mm
2
2 2 2 2 2
2
2
(26)
( )
2 2 2 2
= + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
Damit ergibt sich als Ergebnis J = (96,95±0,37) kg mm², d. h. ein relativer Fehler von 0,38 %.
Für das Richtmoment erhält man für den absoluten Fehler:
(29)
∆D
=
*
=
⎛ ∂ D
⎜
⎝ ∂ J
⎛
2
⎜
4 ⋅π
2
⎝ T − T
2
0
*
⎞
∆J
⎟
⎠
⎞
∆J
⎟
⎠
2
2
⎛ ∂ D
+
⎜
⎝ ∂ T
⎛
+ ⎜4
⋅π
⎜
⎝
2
*
⎞
∆T
⎟
⎠
2
⎛ ∂ D
+
⎜
⎝ ∂ T
( −1)
⋅ 2 ⋅T
⋅ J ⋅
∆T
⎞
⎟
⎠
⎞
∆T
⎟
⎠
2
=
⎛
+ ⎜4
⋅π
⎝
⋅ J ⋅
2 ⋅T
2 2 2
( − )
⎟ ⎜
2 2
T T
( T − T )
0
0
*
0
2
2
0
0
2
∆T
0
⎞
⎟
⎟
⎠
2
=
8

2
2
4 ⋅π
⋅ J ⎛ ∆J
⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⋅ ⎞
⎜
⋅T
T0
(30)
=
2
⎜ ⎟ +
⎟ ⎜
⎟
2
∆T
2 2
+
∆T
2 2 0
T − T
0 ⎝ J ⎠ ⎝ T − T0
⎠ ⎝ T − T0
⎠
Da der Vorfaktor vor der Wurzel gerade D * ist, ist es in diesem Fall kürzer, mit dem relativen
Fehler weiterzurechnen:
2
−3 −3
( ) ( )
2
2 2
( ( T T ) ( T T ) )
0 0
*
∆D
⎛ ∆J
⎞ ⎛ 2 ⎞
=
* ⎜ ⎟ + ⎜ 2 2 ⎟ ⋅ ⋅∆ + ⋅ ∆ =
D ⎝ J ⎠ ⎝ T −T0
⎠
2
2
2
0,371kg mm ⎛ 2 ⎞
⎜ 2 ⎟ 2 2
⎜ ⎟
2 2
2 2
( ( 4,1284s 0,0013s) ( 3,1317s 0,001s)
)
⎛ ⎞ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⎝ 96,947 kg mm ⎠ ⎝ ( 4,1284s) − ( 3,1317s)
⎠
(31)
= 3,83⋅ 10 + 1,78⋅ 10 = 0,42%
Als Endergebnis für das Richtmoment erhält man:
D ∗ = 528,9±2,2
kg mm²
s²
Liegt wie im Fall der Berechnung des Torsionsmoduls ein mehrfaches Produkt bzw. mehrfacher
Quotient von Potenzen vor, so kann man eine einfachere "Faustformel" aufstellen. Um
diese herzuleiten, bildet man sämtliche partielle Ableitungen und versucht den Ausdruck dann
so zu ergänzen, dass man jeweils die Formel für den Torsionsmodul wieder findet:
∂G
32⋅
D 32⋅
L ⋅ D
⋅ ∆L
= ⋅ ∆L
=
4 4
∂ L π ⋅d
π ⋅d
* *
∆L
∆
⋅ = G ⋅
L
L L
* *
∂G
L L D D
D D
G
D *
* 32⋅
* 32⋅
⋅ ∆ ∆
⋅ ∆ = ⋅ ∆ = ⋅ = ⋅
*
4 4 *
*
(32)
∂ D π ⋅d
π ⋅d
D D
*
*
∂ G
⋅ L ⋅ D
⋅ L ⋅ D ∆d
⋅ ∆d
=
d
4 32
32
4
5
∂
π ⋅ d
π ⋅ d
4 d
( − ) ⋅ ⋅ ∆d
= ( − 4) ⋅ ⋅ = ( − )
Für den Gesamtfehler des Elastizitätsmoduls ergibt sich dann:
2
2
∆d
⋅ G ⋅
d
2
*
⎛ ∆L
⎞ ⎛ ∆D
⎞ ⎛ ∆d
⎞
∆ G = ⎜G
⋅ ⎟ +
⎜G
⋅
( 4)
*
⎟ + ⎜ − ⋅ G ⋅ ⎟ (33)
⎝ L ⎠ ⎝ D ⎠ ⎝ d ⎠
Bringt man G auf die andere Seite der Gleichung, so erhält man für den relativen Fehler von
G:
2
2
∆G
G
=
⎛ ∆
⎜
⎝
2
L ⎞
⎟
L ⎠
⎛ ∆D
+
⎜
*
⎝ D
*
⎞
⎟
⎠
2
⎛ ∆d
⎞ + ⎜4 ⋅ ⎟
⎝ d ⎠
2
(34)
Man sieht, dass der relative Fehler des Endwerts die quadratische Summe der relativen
Einzelfehler multipliziert mit dem Exponenten der Ausgangsformel ist. Aus dieser Endformel
kann man ablesen, dass für den Versuch insbesondere der Drahtdurchmesser möglichst genau
gemessen werden sollte, da dieser Fehler mit dem Exponentenfaktor 4 multipliziert wird.
9

Insgesamt erhält man für den relativen Fehler des Torsionsmoduls
∆G
=
G
so dass das Endergebnis
−4
2
−3
2
2
( 4,5 ⋅10
) + ( 4,22⋅10
) + ( 4⋅
0,02) = 8%
( )
10
, (35)
G = 7,55 ± 0,60 ⋅ 10 Pa
(36)
lautet. Es wäre also sinnvoll gewesen, eine hochwertigere Bügelmessschraube einzusetzen.
Für Summen und Differenzen lässt sich ebenso eine Faustformel angeben: Man erhält den
absoluten Fehler des Endergebnisses, indem man die absoluten Fehler der einzelnen
Summanden (oder Subtrahenden) quadratisch addiert.
Treten transzendente Funktionen in dem Ausdruck für das Endergebnis auf, so muss die
allgemeine Formel für die Fehlerfortpflanzung (Gl. 28) verwendet werden.
Beim praktischen Rechnen ist es sinnvoll, soweit wie möglich die obigen Faustformeln zu
benutzen. Dabei sollte zuerst immer der Formelausdruck hingeschrieben und umgeformt
werden, wohingegen konkrete Zahlenwerte möglichst spät eingesetzt werden.
Ein Wort der Vorsicht: Diese Art der Fehlerrechnung ist nur für normalverteilte - also reine
statistische Fehler gültig. Sie setzt demnach voraus, dass sämtliche systematischen Fehler, die
u. U. zu nicht normalverteilten Fehlern führen, erkannt wurden. Die Fehlerrechnung wird
insbesondere auch dann verfälscht, wenn ein Messwert versehentlich falsch notiert wurde, z.
B. durch einen Zahlenverdreher. Dieser liegt dann meist weit von der Gaußverteilung entfernt
und stört die Annahme, dass die Messgröße normalverteilt ist. Wenn ein derartiger, klar
erkennbarer "Ausreißer" auftritt, ist es gestattet, den Wert bei der Auswertung wegzulassen.
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