FORTSCHRITT-· BERICHTE

FORTSCHRITT-·
BERICHTE
Dipl.-Ing. Wolfgang Drahm, Zwingen
Coriolis-MassendurchfluBmesser
mit einem einzigen
geraden MeBrohr
Reihe 8: Meß-, Steuerungs­
~ · --~_____, und Regelungstechnik
Nr. 525
ERLAG

FORTSCHRITI­
BERICHTE
Dipl.-Ing. Wolfgang Drahm, Zwingen
Coriolis-Massendurchflußmesser
mit einem einzigen
geraden Meßrohr
Reihe 8: Meß-, Steuerungsund
Regelungstechnik
Nr. 525
VDI VERLAG

III
Drahm, Wolfgang
Coriolis-Massendurchflußmesser mit einem einzigen geraden
Meßrohr
Fortschr.-Ber. VDI Reihe 8 Nr. 525. Düsseldorf: VDI-Verlag 1995.
188 Seiten, 129 Bilder, 10 Tabellen.
Für die Dokumentation: Coriolis-Massendurchflußmesser - Modellbildung - Elektromechanische
Entsprechungen - Tilgerrohr - „Elektrische" Feder-: Minimale Gehäuseschwingung
- Phasenmessung - Signalprozessor - Magnetoelastischer Sensor
Schon lange bestand der Wunsch nach einem Coriolis-Massendurc~flußmess.~r mit.ein.em ein~igen
geraden Meßrohr. Oie Auslegung und Realisierung eines derarh~en Gerates w1:d in: vorliegenden
Band beschrieben. Der entscheidende Schwac.hpunkt all~r Einrohrsysteme 1.st d1~ mangelnde
Entkopplung von der Umgebung. Bei dem hier beschriebenen. System wird. die Entkopplung
durch ein zweites nicht durchströmtes Rohr, das sogenannte • T1~~errohr erreicht. Da.s
Tilgerrohr kann durch eine „elektrische" Feder in seinen Eigensch~ften verandert we_rden. ~am1t
wird bei allen Betriebszuständen eine minimale Gehäuseschwingung und damit maximale
Entkopplung von der Umgebung erreicht. - Der Meßaufnehmer wurde modelliert un. in. ein
elektrisches Ersatzschaltbild übergeführt. Damit können bislang nur schwer zugangliche
Störgrößen untersucht werden. - Das Meßsignal, eine Phasendifferenz, wird n:it einem neuartigen
Algorithmus bestimmt. Durch einen digitalen Signalprozessor konnte ein sehr schnelles
Meßsystem realisiert werden.
Danksagung
Das Projekt "Coriolis-Massendurchflußmesser mit einem einzigen geraden Meßrohr" ist
durch die Einreichung dieser Arbeit zwar mit meinen Namen verbunden. Doch kann ein
solches Projekt nur gedeihen, wenn ein fruchtbarer Nährboden vorhanden ist.
Menschliche, wie auch technische Voraussetzungen sind nötig, um gut arbeiten zu
können. Dafür, daß ich diese Voraussetzungen am Lehrstuhl für Elektrische Meßtechnik
vorfand, bin ich sehr dankbar.
Mein Dank gilt in besonderem Maße Herrn Prof. Dr. rer. nat. E. Schrüfer, der den
notwendigen Weitblick besitzt, um Trends in der Meßtechnik zu erkennen und zu
formulieren. Er gab die Anregung zu diesem Thema. Die damals formulierten Ideen
wurden mittlerweile von der Industrie aufgegriffen und werden wohl Einzug in die
meßtechnische Praxis halten.
Die Reihen der FORTSCHRITI-BERICHTE VDI:
1 Konstruktionstechnik/Maschinenelemente
2 Fertigungstechnik
3 Verfahrenstechnik
4 Bauingenieurwesen
5 Grund- und Werkstoffe
6 Energieerzeugung
7 Strömungstechnik
8 Meß-, Steuerungs- und Regelungstechnik
9 Elektronik
10 Informatik/Kommunikationstechnik
11 Schwingungstechnik
}J4

Inhaltsverzeichnis
V
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen i
1.1 Einleitung 1
1.2 Verfahren der Durchflußmessung 4
1.2.1 Drosselgeräte, Blenden, Düsen 4
1.2.2 Schwebekörperdurchflußmesser 6
1.2.3 Wirbelfrequenzdurchflußmesser (Vortex-Durchflußmesser) 7
1.2.4 Magnetisch-induktiver-Durchflußmesser 8
1.2.5 Ultraschalldurchflußmesser 10
1.2.6 Ovalradzähler 12
1.2.7 Thermischer Massenstrommesser 12
1.2.8 Coriolis-Massendurchflußmesser 13
Coriolis-Kraft 13
Benutzung der Coriolis-Kraft zur Durchflußmessung 13
Ausführungsformen von Coriolis-Massendurchflußmessem 16
2 Berechnung und Modellierung des schwingenden Rohres 21
2.1 Berechnung als kontinuierlicher Schwinger 21
2.1.l Zielsetzung und Vorgehen 21
2.1.2 Schwingungsdifferentialgleichung 22
Bewegungsgleichung des Meßrohres 23
Bewegungsgleichung des Mediums 25
Bewegungsgleichung des Gesamtsystems 26
2.1.3 Eigenfrequenzen und Eigenformen 27
Randbedingungen bei Balkentheorie 28
Randbedingungen bei Saitentheorie 29
2.1.4 Ritz-Ansatz 31
2.1.5 Abschätzung des Meßeffektes 33
2.1.6 Auslegung eines geraden Meßrohres 34
Edelstahlrohr 1.4301 34
Titanrohr 35
Meßeffekt 36

VI
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis VII
Position der Sensoren 37 3.1.2 Aufbau des Aufnehmers 69
2.1.7 Störgrößen
38 3.1.3 Erregersystem 69
Axialkraft 38 Anregung des Tilgerrohres 69
Innendruck 41 Elektrische Feder 72
Temperatur 43 Erzwungene Schwingung 75
3.1.4 Regelung des Tilgerrohrantriebs 77
2.2 Modellierung mit Hilfe von diskreten Elementen 45 3.1.5 Messung der Gehäuseschwingung mit einem Beschleunigungssensor 76
Einfacher Beschleunigungssensor 80
2.2.1 Vorüberlegungen zur Modellbildung 46
elektromechanische Entsprechungen 47 3.2 Sensorik 82
Ersatzschaltbild des Durchflußmessers 47
2.2.2 Simulation eines Einrohr-Durchflußmessers 48 3.2.1 Messung der Rohrschwingung 82
Meßeffekt 48 Optischer Sensor 82
Massenunsymmetrie 49 Photostromverstärker 83
unsymmetrische Temperaturverteilung 49 Delta-Sigma Analog/Digital-Umsetzer 92
Einflüsse durch Dämpfung 50 Phasenregelung bei 1000-facher Testfrequenz 97
2.2.3 Folgerungen aus den Simulationen 52 3.2.2 Messung der Axialkraft 99
2.2.4 Simulation eines Doppelrohr-Durchflußmessers 53 magnetoelastischer Sensor 100
Simulationsmodell 53 3.2.4 Messung der Temperatur 112
Einfluß der Dämpfung 55 Temperatur des Meßrohres 112
Kopplung der beiden Rohre 56 Temperaturdifferenz zwischen Gehäuse und Meßrohr 112
2.2.5 Abstimmung des Tilgerrohres 58 3.2.5 Messung der Durchflußreferenz 112
elektrische Feder 58 3.2.6 Messung der Frequenz 113
erzwungene Anregung 59
2.2.6 Schwingungsverhalten einer Doppelrohranordnung 59 3.3 Signalverarbeitung 114
Betrachtung als Zwei-Massen-Modell 60
3.3.1 Aufbau des Gesamtsystems 114
Differentialgleichung 60
3.3.2 Verfahren der Phasenmessung 115
Eigenfrequenzen
61
3.3.3 Ausgleichsrechnung mittels Fourierreihe 116
Optimaler Betriebspunkt 62
Grundlagen 116
3 Realisierung des Meßsystems 64
Fehlerabschätzung 118
3.3.4 Synchrone Abtastung 121
3.1 mechanischer Aufbau 64 Frequenzvervielfachung mit Oszillator und Teiler 122
Frequenzvervielfachung mit VCO und Teiler 124
3.1.1 Vorüberlegungen 64 Meßergebnisse 126
Materialwahl 64 3.3.5 Fensterung des Datensatzes 127
Einspannung des Meßrohres 66 Berechnung des Spektrums 128

VIII
Inhaltsverzeichnis
Formelzeichen
IX
Verbesserung im Realbetrieb
3. 3. 6 korrelative Phasenmessung
Grundlagen
Fehlerabschätzung
3. 3. 7. Vergleich der Verfahren
3.3.8 Ermittlung der Frequenz aus dem Datensatz
3. 3. 9 Realisierung mit DSP
Dynamik
Nullpunktstabilität
133
134
134
138
141
142
144
144
145
Ll~~W
W6
Abhängigkeit der berechneten Phasendifferenz von der Signalfrequenz 148
Abhängigkeit der berechneten Phasendifferenz von der Signalamplitude 149
4 Eigenschaften des Meßsystems
151
4.1 Kennlinie, Meßunsicherheit
151
4.2 Nullpunktstabilität
152
ADU
152
Vorverstärker
152
Gesamtsystem
153
Vergleich mit industriellen Geräten
154
4.4 Dynamik
155
4.5 Temperaturempfindlichkeit
155
Nullpunkt
156
Kalibrierfaktor
157
4. 6 Druckempfindlichkeit
160
Nullpunkt
161
Grundfrequenz
161
4 . 7 Dichteabhängigkeit
162
4.8 Abhängigkeit von der Viskosität
163
5 Zusammenfassung
165
Literatur
168
Verwendete Formelzeichen und Abkürzungen
Abkürzungen
dI:-ADU
ADU
DSP
LVDT
MID
OP
PLL
SNR
VCA
vco
Formelzeichen
Analog-Digital-Umsetzer nach dem Delta-Sigma Prinzip
Analog-Digital-V msetzer
Digitaler Signal Prozessor
Linear variable differential transformer
Magnetisch-induktiver Durchflußmesser
Operationsverstärker
Phasenregelkreis
Signal/Rausch-Verhältnis
voltage controlled amplifier
voltage controlled oscillator
A
Fläche
AA
Fläche des Ankers
AEk Fläche des Eisenkerns
AL
Fläche des Luftspalts
B
magnetische Induktion
c
Dämpfung
c
Kapazität
Co
Diodenkapazität
C;d
differentielle Eingangskapazität
D
Durchmesser
E
Elastizitätsmodul
f, Frequenz
F
Kraft
F(t) Zeitfunktion der Rohrschwingung
fo
Grenzfrequenz des unbeschalteten OP
fa
Abtastfrequenz
FA
Auftriebskraft
fc
unity gain bandwidth
Fe
Corioliskraft
[m2]
[m2]
[m2]
[m2]
[T]
[Ns/m]
[F]
[F]
[F]
[m]
[N/m 2 ]
[Hz]
[N]
[Hz]
[Hz]
[N]
[Hz]
[N]

X
Formelzeichen Formelzeichen XI
fg
Grenzfrequenz
FG
Gewichtskraft
FL
Lorentzkraft
Fm
magnetische Kraft
fmax maximale Betriebsfrequenz
fosz Frequenz des Oszillators
FR
Kraft auf das Rohr
Fs
Strömungskraft
fvco Frequenz des VCO
Fx
Axialkraft
g
Erdbeschleunigung
H
magnetische Feldstärke
H(f) Übertragungsfunktion
Flächenträgheitsmoment
Strom
In
Diodenstrom
k
Steifigkeit
Kristallanisotropie-Energiedichten
K1,K2
L
Langrange-Funktion
L
Induktivität
L
Länge
m
Masse
[Hz] Qv Volumendurchfluß [m 3 /min]
[N] R Widerstand [O]
[N] Rn Parallelwiderstand der Diode [O]
[N] ~ Rückkopplungswiderstand [O]
[Hz] Strecke [m]
[Hz] s Strouhalzahl [Hz· s]
[N] So Luftspalt bei ruhendem Rohr [m]
[N] SA Länge der Feldlinien im Anker [m]
[Hz] SEk Länge der Feldlinien im Eisen [m]
[N] SL Länge der Feldlinien in Luft [m]
[m/s 2 ] Zeit [s]
[A/m] T Temperatur [OC]
T kinetische Energie [J]
[m4] TM Temperatur des Meßrohres [OC]
[A] TM Meßzeit [s]
[A] u Spannung [V]
[N/m] UAus Ausgangsspannung [V]
[J/m3] uind induzierte Spannung [V]
[J] URausch Rauschspannung [V]
[H] Usignal Nutzspannung [v]
[m] V Verstärkung
[kg] V Geschwindigkeit [m/s]
m Öffnungsverhältnis V Volumen [m3]
m Massendurchfluß [kg/min] V potentielle Energie [J]
M
Biegemoment
[Nm] w Formänderungsarbeit [J]
mF
Masse eines Fluidteilchens
[kg] y(x) Ortsfunktion der Biegelinie
mgem gemessener Massendurchfluß [kg/min] Y(x) Ortsfunktion der Biegelinie
mkorr korrigierter Massendurchfluß [kg/min] Z(w) Impedanzmatrix
mR
Masse des Rohres
[kg] ZA Zähler des Bruches A
N Windungszahl ZB Zähler des Bruches B
p
Druck
[N/m 2 ]
Q
Güte
Q(n) Quantisierungsrauschen
[V]
qi
Minimalkoordinaten
Qi
äußere Kräfte
[N]
Qm
Massendurchfluß
[kg/min]

XII
Formelzeichen
Grundlagen
griechische Symbole
1 Grundlagen
Durchflußzahl
Winkel
[deg]
1.1 Einleitung
Li8opt
Li8gem
Lit
Licp
Licpf
Li'Pber
Diskriminante
Phasenwinkel zwischen Tilger- und Meßrohr
optimaler Phasenwinkel zwischen Tilger- und Meßrohr
gemessener Phasenwinkel zwischen Tilger- und Meßrohr
Zeitverschiebung
Phasenverschiebung am Meßrohr
Fehler der Phasendifferenz
berechnete Phasendifferenz
Wellenlänge
Permeabilitätskonstante
[deg]
[deg]
[deg]
[s]
[deg]
[deg]
[deg]
[m]
[Hirn]
Die Masse gehört zusammen mit den Größen Länge und Zeit zu den Basiseinheiten der
Mechanik. Alle anderen mechanischen Größen bauen auf diesen Basiseinheiten auf. Die
Masse ist eine unmittelbare Angabe über eine vorliegende Stoffmenge. Sie charakterisiert
die Stoffmenge direkt und ist nicht von anderen Zustandsgrößen abhängig.
Neben der Temperatur und dem Druck ist der Massendurchfluß die wichtigste Größe in
der Verfahrenstechnik. Die Bedeutung der Massendurchflußmessung könnte kaum
anschaulicher und knapper dargestellt werden, als in der folgenden Karikatur eines
amerikanischen Herstellers von Massedurchflußmessern 1 :
relative Permeabilitätszahl
Streuung
Phase des Phasenschiebers
Winkelgeschwindigkeit
optimale Betriebsfrequenz
Induktivitätsänderung bei Innendruck
Induktivitätsänderung bei Axialkraft
[deg]
[l/s]
[l/s]
[H]
[H]
Dichte
Dichte des Schwebekörpers
[kg/dm 3 ]
[kg/dm 3 ]
55 Gallons at 20°C
· 440 lbs
55 Gallons at 50°C
430 lbs
(2.1% error)
Bild 1.1
Warum eigentlich Massendurchfluß messen
So selbstverständlich diese Gedanken auch sein mögen, so verwunderlicher ist ~s.
d~ß die
Durchflußmessung bei Flüssigkeiten zumeist eine Volumendurchflußmessung ist. Der
Anteil an Massedurchflußmeßstellen dürfte nur etwa 5 % derjenigen aller
Durchflußmeßstellen betragen. Die Vielfalt an Volumendurchflußmessern, ihr günstiger
Preis und ihre guten meßtechnischen Eigenschaften führten dazu, daß
Massendurchflußmesser nur für Spezialaufgaben entwickelt und verwendet wurden.
Quelle: Schwing-Verfahrenstechnik, Unterlagen zum K-Flow Massendurchflußmesser

2 Grundlagen
Grundlagen
3
Das Nischendasein von Massendurchflußmessem wäre noch bedeutend ausgeprägter, gäbe
es nicht den Coriolis-Massendurchflußmesser. Erste Geräte, die nach diesem Prinzip
arbeiteten kamen 1976 auf den Markt. In den 80er Jahren trat der Coriolis­
Massendurchflußmesser seinen Siegeszug an und erreichte in nur 10 Jahren eine
industrielle Akzeptanz, wie nur wenige Geräte zuvor. Mittlerweile, so schätzt man,
werden etwa 40 000 neue Meßstellen jährlich mit Coriolis-Massendurchflußmessem
ausgestattet.
Die amerikanische Firma Micro Motion, einst Pionier auf diesem Gebiet, ist heute
Marktführer. Mittlerweile werden derartige Geräte jedoch von zahlreichen Herstellern
angeboten. Die Geräte unterscheiden sich im wesentlichen durch unterschiedliche
Rohrgeometrien. Dabei beansprucht jeder Hersteller die größte Genauigkeit, die größte
Störunempfindlichkeit oder die geringste Ausfallwahrscheinlichkeit für sein Rohrdesign.
Es ist jedoch ein offenes Geheimnis, daß die unterschiedlichen Rohrgeometrien vor allem
aus patentrechtlichen Gründen entwickelt wurden.
Im Jahre 1985 wurde ein weiterer Meilenstein in der Entwicklung der Coriolis­
Massendurchflußmesser gesetzt. Zum ersten Mal wurden nun die bislang üblichen
Rohrschleifen durch gerade Meßrohre ersetzt. Der bis dahin noch relativ hohe
Druckverlust über der Meßstelle konnte reduziert werden. Ein Geradrohrsystem birgt
jedoch eine Vielzahl von zusätzlichen Problemen, die bei den Rohrschleifensystemen
keine oder eine nur untergeordnete Rolle spielen, so daß sich nur wenige Firmen an die
Entwicklung eines Geradrohrsystems wagen.
Meßtechnisch gliedert sich die Arbeit dafür in folgende Punkte:
Gewinnung von Meßsignalen basierend auf dem physikalischen Effekt,
Verstärkung und Aufbereitung der gewonnenen Meßsignale,
Verarbeitung der aufbereiteten Signale,
Ausgabe und Darstellung der gewonnenen Information.
Eine neue Idee hat nur dann Chancen auf Akzeptanz, wenn es gelingt, den Nachweis der
Funktionstüchtigkeit zu erbringen. Dieser Nachweis soll erbracht werden. Dabei kann und
darf das Gerät nicht mit dem Zielkatalog für Industriegeräte bewertet werden. Vielmehr
handelt es sich um ein Funktionsmuster, das die prinzipielle Machbarkeit der neuen Idee
aufzeigt.
In den folgenden Kapiteln der Arbeit werden kurz alternative Durchflußmeßverfahren
vorgesi:ellt, bevor auf schon bekannte Coriolis-Massendurchflußmesser eingegangen wird.
Neben analytischen Berechnungen zum Meßeffekt und Simulationen zum Meßaufnehmer
wird der Aufbau des neuen Meßgerätes beschrieben. In einem Schlußkapitel zeigen
Meßergebnisse die Eigenschaften und belegen die prinzipielle Funktionstüchtigkeit des
Gerätes.
Um die Coriolis-Massendurchflußmesser noch, anwendungs- und prozeßfreundlicher zu
gestalten, muß nun noch ein letzter Schritt vollzogen werden. Bislang sind die Geräte fast
ausnahmslos mit parallel oder seriell durchströmten Doppelrohren ausgestattet, um die
schwingenden Meßrohre mechanisch von der Umgebung zu entkoppeln. Notwendig wird
damit jedoch ein Strömungsteiler und kostspielige, enge Fertigungstoleranzen, um exakt
symmetrischen Aufbau zu gewährleisten. Der letzte Entwicklungsschritt sieht demnach
einen Übergang zu einem einzigen, geraden Meßrohr vor. Im Rahmen dieser Arbeit soll
ein Konzept für einen Geradrohr-Coriolis-Massendurchflußmesser mit nur einem
durchströmten Rohr erarbeitet werden.

4
Grundlagen
Grundlagen
5
1.2 Verfahren der Durchflußmessung
Im folgenden werden die gebräuchlichsten Verfahren der Durchflußmessung aufgezeigt.
Dabei werden zunächst V erfahren behandelt, die den Volumendurchfluß messen, bevor
auf die Massendurchflußmessung eingegangen wird.
t.2.1 Drosselgeräte, Blenden, Düsen
Die mit Abstand am häufigsten eingesetzten Durchflußmeßgeräte basieren auf der Gleichung
von Daniel Bernoulli 2 (Bild 1.2).
hieraus ein Maß für den Durchfluß gewinnen. Indem diese Gleichung nach v 2 aufgelöst
und v 1 durch das Öffnungsverhältnis m = A 2 /A 1 ausgedrückt wird, ergibt sich:
Mit der Durchflußzahl a
ergibt sich damit für das gesuchte v 2 :
2 1 2
Vz = --- (pi- Pz)
1- m 2 P
(1.3)
1
a =
.ji- m2
(1.4)
(1 .5)
()
V1
P1
~ Vz ()
\ p2
Multipliziert mit der konstanten Querschnittfläche A 2 läßt sich dann der Volumendurchfluß
angeben:
(1.6)
Bild l,Z Druckverhältnisse an ~iner durchströmten Rohrleitung /Ger/
In einer Rohrleitung mit Drosselstelle ist vor und hinter der Drosselstelle die Summe aus
statischem und dynamisch.eil\ Druck konstant:
1 2 1 2
P1 + - PV1 == P2 + -2 pVz = const.
" 4
(1.1)
An einer Querschajttsverengung entsteht nach der Bernoulli Gleichung ein Druckunterschied:
(1 ,2)
Wird dieser Druckunterschied mit einem Differenzdruckmesser gemessen, so läßt sich
Um den Wert für den Volumendurchfluß zu erhalten, muß die Dichte des Meßmediums
bekannt sein. Zusätzlich muß die gemessene Druckdifferenz radiziert werden.
Der große Vorteil der Drosselgeräte ist die einfache Herstellung. In DIN 1952 sind genaue
Vorschriften zu Aufbau und Dimensionierung der Drosselgeräte enthalten. Dies
erklärt die weite Verbreitung dieses Durchflußmeßverfahrens.
Um die scharfen Kanten von Blenden und damit die Gefahr der Abrasion zu vermeiden,
wurden Düsen entwickelt. Da bei Düsen die Strömung besser geführt wird, ist die Durchflußzahl
a in weiten Bereichen konstant. Bei der Blende hängt a von schlecht zu bestimmenden
geometrischen Größen wie z.B. der Form der Kanten ab.
Um den verbleibenden Druckabfall und die Entstehung von Wirbeln noch weiter zu verringern,
kann der Düse ein sogenannter Diffusor nachgeschaltet werden. Durch ihn wird
die Strömung auch nach der Meßstrecke noch sauber an der Rohrwandung geführt.
Daniel Bernoulli, geb . 1700 in Groningen, gest. 1782 in Basel; Mathematiker und Physiker

6
Grundlagen
Grundlagen
7
1.2.2 Schwebekörperdurchflußmesser
Das Prinzip des Schwebekörperdurchflußmessers zeigt Bild 1.3. In einem konischen Rohr
befindet sich ein Schwebekörper. Steigt der f ·H
Durchfluß in dem Rohr, so weicht der
Schwebekörper nach oben aus und gibt einen
größeren Durchflußquerschnitt frei. Es stellt
sich ein neues Gleichgewicht ein zwischen
Gewichtskraft FG, Strömungskraft Fs und Auftriebskraft
FA:
(1.7)
Auch dieses Meßprinzip basiert auf der Gleichung
von Bernoulli. Denn mit dem Staudruck
lf2Q v 2 und der Fläche des Schwebekörpers As
läßt sich die Strömungskraft angeben zu:
F = !pv 2 ·As
s 2
Damit ergibt sich für den Volumendurchfluß:
Schwebekörper
konisches Rohr
Bild 1.3
1
-W-4
Schwebekörperdurchflußmesser
/Fil/
(1.8)
(1.9)
1.2.3 Wirbelfrequenzdurchflußmesser (Vortex-Durchflußmesser)
Die Grenzschichtlehre von Prandtl 3 bildet die Basis für den Wirbelfrequenzdurchflußmesser.
Liegt ein fester Körper in einer laminaren Strömung, so wird sich an seinen Wänden
eine Grenzschicht ausbilden, mit einem Geschwindigkeitsgefälle senkrecht zur Wand des
Störkörpers. Durch diese Geschwindigkeitsunterschiede wird in realen Flüssigkeiten Reibungsenergie
erzeugt. Dadurch verlieren die Flüssigkeitsteilchen Energie.
Nach der Bernoulli Gleichung herrscht aufgrund
der höheren Geschwindigkeit an der
Stelle des Störkörpers ein niedrigerer
Druck, als hinter dem Störkörper. Wenn
die Flüssigkeitsteilchen nun durch Reibung
kinetische Energie verlieren, sind sie nicht
mehr in der Lage, diesen Druckunterschied
zu überwinden. Dadurch kommt es zum
Stillstand der Teilchen und sogar zur Rückströmung.
Es bilden sich Wirbel, die sog.
Störkörper
Wirbelströmung
Bild 1.4 Wirbelablösung an einem
Störkörper /Fil/
Karman-Wirbelstraße. Bei symmetrischer Ausbildung des Störkörpers lösen sich diese
Wirbel wechselseitig und periodisch am Störkörper ab. Der stochastische Prozeß der
Wirbelbildung führt somit zu einem streng deterministischem Vorgang. Bild 1.4 zeigt
diese Wirbelablösung.
Dieser Zusammenhang wurde von Strouhal formuliert:
mit dem Durchflußbeiwert a 5
, und der Dichte des Schwebekörpers Qs·
f = S·~
D
(1.10)
Ausgewertet wird beim Schwebekörperdurchflußmesser die Höhe des Schwebekörpers:
Sie ist eine Funktion des Durchmesserverhältnisses von Schwebekörper und Konus. Dieses
Verhältnis und die sogenannte Ruppelzahl gehen in den Durchflußbeiwert as ein. Aus
diesen Überlegungen ist schon ersichtlich, daß zur Bestimmung des Volumendurchflusses
viele Größen berücksichtigt werden müssen. Sie werden üblicherweise in Kennfeldern
zusammengefasst.
Darin bedeuten f die Frequenz der Wirbelablösung, S die Strouhalzahl, v die Fluidgeschwindigkeit
und D der Durchmesser des Störkörpers (für einen runden Störkörper).
Die Strouhalzahl ist besonders für scharfkantige Störkörper in einem großen Bereich der
Reynoldszahlen konstant. Weiterhin läßt sich weitgehende Unabhängigkeit von Dichte,
Viskosität und Druck erreichen. Damit ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwischen
Wirbelfrequenzfund Volumendurchfluß Qv:
Der Schwebekörperdurchflußmesser besitzt eine nur mäßige Meßgenauigkeit von ca. 1 3
bis 2 % vom Meßbereichsendwert. Es handelt sich um preiswerte, solide Meßinstrumente.
Ludwig Prandtl, geb . 1875 in Freising, gest. 1953 in Göttingen

8 Grundlagen
Grundlagen
9
f ·D
Q =A·v =A · -
v s '
(1.11)
(1.12)
wobei A wieder der Querschnitt der Rohrleitung ist. Zur Erfassung der auftretenden
Wirbelfrequenzen sind verschiedene Verfahren gebräuchlich. Am verbreitetsten sind
Meßverfahren, die durch Wirbel ausgelöste Druckschwankungen erfassen. So z.B. beheizte
Thermistoren, die aufgrund der durch Druckschwankungen erzeugten pulsierenden
Strömung ihren Widerstandswert ändern. Es können natürlich auch Differenzdruckmesser
eingesetzt werden. Bei der Shuttle-ball Technik wird die Bewegung eines im Störkörper
befindlichen Nickelballes induktiv erfasst /Bon/.
Bei einem neu entwickelten System 4 wird eine schwingende Zunge in den Störkörper
eingebaut. Die von den Wirbeln erzeugten Druckschwankungen lenken diese Zunge aus.
Dabei betragen die Auslenkungen zum Teil nur 1120 der Wellenlänge des sichtbaren
Lichtes. Sie werden kapazitiv gemessen. Durch den praktisch starren Aufbau kann ein
Temperaturbereich von -200°C bis +400°C abgedeckt werden.
Der Wirbelfrequenz-Durchflußmesser ist äußerst robust und zuverlässig. Bemerkenswert
ist, daß selbst nach Abnützung oder sogar Beschädigung des Störkörpers noch Meßgenauigkeiten
besser als 1 % erreicht werden. Vorteilhaft ist weiterhin das frequenzanaloge
Ausgangssignal des Meßgerätes. Der Wirbelfrequenz-Durchflußmesser wird durch seinen
günstigen Preis viele Meßstellen mit Drosselgeräten ersetzen. Besonders für Messungen
von nichtleitenden Substanzen wird die Verbreitung des Wirbelfrequenz-Durchflußmessers
noch stark zunehmen.
1.2.4 Magnetisch-induktiver-Durchflußmesser
Der Name des magnetisch-induktiven-Durchflußmessers (auch MID oder IDM) ist eigentlich
irreführend. Denn das Meßprinzip basiert auf dem Faraday'schen Induktionsgesetz.
Es handelt sich also nicht um die Messung einer Induktivität, sondern um die Messung
einer induzierten Spannung. Bild 1.5 zeigt eine entsprechende Vorrichtung.
Eine leitende Flüssigkeit kann als stromdurchflossener Leiter interpretiert werden. Liegt
dieser Leiter in einem Magnetfeld B, so erfahren die geladenen Flüssigkeitsteilchen mit
der Geschwindigkeit v die Lorentzkraft FL:
Dies führt zu einer Ablenkung von positiver
und negativer Ladung. Ladungen werden
solange abgelenkt, bis die Lorentz­
Kraft mit der elektrischen Kraft F = q · E
im Gleichgewicht steht. Gleichsetzen der
beiden Kraftausdrücke führt zur induzierten
Spannung:
Uind = B·D·v . (1.14)
Bild 1.5
Magnetisch-induktiver-Durchflußmesser
/Pill
Sie kann an den diametral im Meßrohr angebrachten Elektroden abgegriffen werden. Mit
der Geschwindigkeit ist auch der Volumendurchfluß bekannt. , Die Leitfähigkeit der Flüssigkeit
geht nicht in die induzierte Spannung ein. Lediglich der Innenwiderstand des MID
steigt bei geringeren Leitfähigkeiten.
Um elektrochemische Reaktionen an den Elektroden zu vermeiden, werden MID's stets
mit magnetischen Wechselfeldern betrieben. Diese induzieren jedoch durch induktive und
kapazitive Kopplung Störspannungen in den Meßleitungen, die nur sehr schwer auszufiltern
sind. MID's werden deshalb ausschließlich mit getakteten Gleichfeldern betrieben.
Gemessen wird nur dann, wenn die Störfelder nach dem Umschalten des Gleichfeldes
abgeklungen sind. Bevor sich Polarisationsspannungen aufbauen können, wird das
Magnetfeld wieder gewechselt.
Der magnetisch-induktive-Durchflußmesser ist ein äußerst robustes Meßgerät mit einem
sehr geringen Druckabfall. Die Meßgenauigkeit ist sehr hoch. Es können unterschiedlichste
Medien bis hin zu aggressiven und stark verschmutzten Flüssigkeiten gemessen werden.
Das Meßergebnis ist unabhängig von Dichte, Viskosität und bei entsprechendem
Aufbau unabhängig vom Strömungsprofil. Eine Mindestleitfähigkeit in der Größenordnung
von einigen µS/cm ist aber Voraussetzung. Eine Ausnahme bildet der kapazitive Signalabgriff,
der noch Messungen bei Leitfähigkeiten von ca. 50 nS/cm erlaubt.
Endress & Hauser "Swingwirl"

10
Grundlagen
Grundlagen 11
1.2.5 Ultraschalldurchflußmesser
Ähnlich wie der magnetisch-induktive Durchflußmesser erfolgt beim Ultraschall-Durchflußmesser
die Messung ohne störende Einbauten in die Meßstrecke. Der Druckverlust ist
also sehr klein. Es existieren unterschiedliche Varianten dieses Meßprinzips, so z.B. das
Laufzeitverfahren und das Dopplerverfahren.
Laufzeitverfahren. Bild 1.6 zeigt die prinzipielle Meßanordnung.
vcos(«)
llt = t - 2
t 1
= 2L ---"'"-'--
c~ - v 2 cos 2 («)
Multipliziert man die Laufzeiten t 1 und ~ und setzt das Produkt in Gleichung 1.16 ein,
erhält man das von der Schallgeschwindigkeit c 0 unabhängige Ergebnis:
(l.16)
L M
v=----
(1.17)
2 cos(«) t 1
t 2
Zur Bestimmung der Laufzeitdifferenz eignet sich das sogenannte 11 leading-edge 11 - Verfahren.
Dabei wird jeweils ein genau definiei:tes Ultraschallsignal mit einer sehr steilen
Flanke zum Empfänger gesendet. Durch die saubere Flanke läßt sich die Laufzeit sehr
exakt und schnell ermitteln.
Bild 1.6
Ultraschall-Durchflußmesser mit den Sendern Sl und S2, den Empfängern El
und E2, sowie der Meßstrecke L /Schl/
zwei Ultraschallwandler, die sowohl senden, als auch empfangen können, werden an
gegenüberliegenden Seiten der Rohrwandung eingebaut. Für die Laufzeit des Signals von
Sender Sl zu Empfänger E2, also in Durchflußrichtung, ergibt sich mit der Schallgeschwindigkeit
c 0 eine Laufzeit von:
L
c 0
+ vcos(«)
Demgegenüber ergibt sich für die Laufzeit von Sender S2 zu Empfänger El, also entgegen
der Durchflußrichtung, eine Laufzeit von:
Nach Differenzbildung wird erhalten:
(l.14)
L (1.15)
t = -----
2 c 0
- v cos(«)
Sing-around-Verfahren. Beim sogenannten 11 sing-around 11 -Verfahren wird jeweils ein
Impuls von Sender S 1 zu Empfänger E2 und gleichzeitig von Sender S2 zu Empfänger E1
geschickt. Sobald der Impuls empfangen wurde, wird am Sender ein neuer Impuls ausgesendet.
Es ergibt sich somit eine von der Laufzeit abhängige Impulsfolgefrequenz. Aus
der Frequenzdifferenz llf der beiden Frequenzen kann nach:
L
V= ---Jlf
2 cos(a)
(l.18)
die Strömungsgeschwindigkeit v und damit wieder der Durchfluß ermittelt werden. Dieses
Verfahren reagiert aber sehr empfindlich auf mitgeführte Gasblasen oder Feststoffpartikel.
Die genaueste Messung liefert die 11 Lambda-Locked-Loop"-Methode. Sie basiert auf der
Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle durch die Überlagerung von
Schallgeschwindigkeit c 0 und Strömungsgeschwindigkeit v des Fluids. Dadurch ändert sich
bei konstanter Frequenz die Wellenlänge des Schalles. Wird nun die Wellenlänge durch
die variable Senderfrequenz auf einen konstanten Wert geregelt, so ergibt sich wiederum
aus der Frequenzdifferenz llf der Sendersignale die Strömungsgeschwindigkeit v nach:
Äo
V= ---f:l./
2 cos(«)
(1.19)

12
Grundlagen
Grundlagen 13
1.2.6 Ovalradzähler
Hohe Meßgenauigkeiten, bei gleichzeitig
geringem Aufwand können mit den sogenannten
Ovalradzählem erreicht werden
(s.Bild 1.7). Durch die Reibung der Ovalräder
an den Meßkammerwänden unterliegen
sie zwar fortwährendem Verschleiß,
bei guter Wartung arbeiten sie
jedoch sehr zuverlässig. Problematisch
sind Medien mit geringer Schmierwirkung,
so beispielsweise wasserlösliche
Lacke.
Beim Ovalradzähler werden durch die
Bild 1. 7 Ovalradzähler /Fil/
ovalen Scheiben und die Meßkammerwände jeweils definierte Teilvolumina abgegrenzt,
weitertransportiert und anschließend wieder ausgeschoben. Die Umdrehungen der Ovalräder
werden gezählt.
1.2.7 Thermischer Massenstrommesser
Die bisher aufgeführten Geräte messen die Strömungsgeschwindigkeit und den Volumendurchfluß.
Jetzt werden Geräte behandelt, die den Massendurchfluß messen.
Beim thermischen Massenstrommesser wird die Abkühlung eines Widerstandsdrahtes oder
Dünnschichtwiderstandes aus Platin oder Wolfram ausgewertet, der sich unmittelbar im
Flüssigkeitsstrom befindet und durch einen Speisestrom beheizt wird. Diese Abkühlung
hängt von der Dichte des Stoffes und seiner Strömungsgeschwindigkeit ab. Gemessen
werden kann nun entweder die Änderung der Temperaturdifferenz zwischen Widerstand
und Fluid bei konstantem Speisestrom oder der Speisestrom, der notwendig ist, um eine
konstante Temperaturdifferenz zwischen Fluid und Widerstand einzustellen. Die Messung
bei konstanter Temperatur zeichnet sich durch eine bedeutend kürzere Einschwingzeit aus.
Die Kennlinie des thermischen Massenstrommessers ist stark gekrümmt. Sie weist die
größte Empfindlichkeit im Bereich niedrigerer Durchfluß raten aus . Dadurch ergibt sich
eine hohe Meßgenauigkeit auch bei kleineren Durchflüssen. Neben dieser für die Meßtechnik
vorteilhaften Kennlinie sind thermische Massenstrommesser weiterhin preisgünstig,
schnell und besitzen geringen Druckv:!rlust.
Allerdings ist das Ausgangssignal nicht nur vom Massendurchfluß abhängig, sondern
weiterhin von der Wärmeleitfähigkeit, der Viskosität und der spezifischen Wärmekapazität
des Fluids. Es muß also für jedes Fluid kalibriert werden.
1.2.8 Coriolis-Massendurchflußmesser
Coriolis-Kraft
Corioliskräfte sind Trägheitskräfte, die in
rotierenden Bezugssystemen auftreten. Die
Entstehung der Corioliskraft ist in
Bild 1.8 verdeutlicht. Bewegt sich ein
Masseteilchen m in einem mit der Winkelgeschwindigkeit
w rotierenden Bezugssystem
mit der Geschwindigkeit v in
radialer Richtung, so wirkt senkrecht zur
Bewegungsrichtung und senkrecht zum
Vektor der Winkelgeschwindigkeit die
Corioliskraft Fe. Die Corioliskraft berechnet
sich dabei zu:
Bild 1.8
Fe = -2m(vx w) .
Entstehung der Corioliskraft
am Masseteilchen m
Die Winkelgeschwindigkeit w muß dabei nicht konstant sein. Beispielsweise führt ein
(1.20)
Oszillieren des Bezugssystems (Bild 1.8) ebenfalls zu Corioliskräften. Gleichung 1.20 gilt
in diesem Fall für die Momentanwerte von Winkelgeschwindigkeit und Corioliskraft.
Benutzung der Coriolis-Kraft zur Durchflußmessung
Schon vor vielen Jahrzehnten wurden Versuche unternommen, an rotierenden von 'Flüssigkeiten
durchströmten Rohren die auftretenden Corioliskräfte zu messen, um damit den
Massendurchfluß zu bestimmen /Kol/. Derartige Geräte konnten sich aber wegen der
Drehkupplungen in der Prozeßleitung nicht durchsetzen. Erst der Übergang von rotierenden
zu schwingenden Rohren brachte den Durchbruch. Bild 1.9 verdeutlicht das Funktionsprinzip.

14
Grundlagen
Grundlagen
15
y,F
Amplitude y
der angeregten
Schwingung
V
•
m
•
m
X
Bild 1.9
schwingendes Rohr zur Messung des Massendurchflusses unter Ausnutzung
der Corioliskraft
Bild 1.10
0
Amplitude F
der Corioliskräfte
Anregung des Rohres in der ersten Eigenschwingung und Anregung der
zweiten Eigenform durch Corioliskräfte (über der Länge L des Rohres)
L
Ein fest eingespanntes Rohr wird zu Schwingungen mit der Frequenz w angeregt. Dieses
Rohr wird von einem Fluid mit der Geschwindigkeit v durchflossen. Das Masseteilchen
dm wird durch das Rohr geführt, unterliegt also Zwangskräften, die es entsprechend
der Rohrbewegung beschleunigen. Diese Zwangskräfte dF 1 und dF 2 sind ein- und auslaufseitig
betragsmäßig gleich, aber von unterschiedlichem Vorzeichen. Es handelt sich
ebenfalls um Corioliskräfte, die sich für ein Masseteilchen dm im Rohr berechnen zu:
dF(x) = -2dm w v öy(x) .!.
öx 2
(1.21)
y 2 = y·sin(wt+Acp) . (1.23)
Da die Verbiegung durch Corioliskräfte dem Massendurchfluß und der Frequenz f proportional
ist, gilt für A

16 Grundlagen
Grundlagen
17
an der Resonanz der Torsionsschwingung liegt, führt die Resonanzüberhöhung zu einem
sehr großen Meßeffekt. Die Phasenverschiebung beträgt bei Rohrschleifen bis zu 10° bei
Nenndurchfluß. Mit geraden Rohren läßt sich maximal eine Phasenverschiebung von
!J..cp = 1 ° erreichen.
Da die schwingenden Rohre immer in ihrer Eigenresonanz angeregt werden, die von der
Dichte des Mediums in den Rohren abhängig ist, können Coriolis-Massendurchflußmesser
auch zur Bestimmung der Dichte verwendet werden.
Die Geräte von Micro Motion zeichnen sich durch einen sehr großen Temperaturbereich
vor allem auch zu niederen Temperaturen aus (bis zu -240°C).
ABB K-Flow Typ "B" Tube. Bei den K-Flow Geräten wurde versucht, maximale Symmetrie
bezüglich der Prozeßleitung zu erreichen. Der Schwerpunkt des gesamten Meßgerätes
liegt in der Achse der Prozeßleitung. Die K-Flow Geräte werden nicht in der Grundschwingung
angeregt, sondern bei höheren Eigenfrequenzen. Man verspricht sich damit
eine zusätzliche Entkopplung von der Umgebung. Bild 1.12 zeigt das Rohrdesign der K­
Flow Geräte.
Ausführungsformen von Coriolis-Massendurchflußmessern
Micro Motion Typ D. 1977 stellte Micro Motion den ersten Coriolis Massendurchflußmesser
vor. Vor allem die schwingungstechnische Entkopplung von der Umgebung stellte
damals noch ein großes Problem dar. So mußten die ersten Modelle (Typen A, B und C)
noch auf einen massiven Untergrund montiert werden. Diese Forderung entfiel beim
Typ D, da hier durch zwei symmetrische Rohre ein vibrationsarmer Aufbau des Meßgerätes
erreicht wurde. Die Gehäusevibrationen werden seitdem von allen Herstellern durch
Doppelrohrsysteme bedämpft. Es ist kein nach außen hin vibrationsarmer Massendurchflußmesser
mit nur einem Meßrohr bekannt. Bild 1.11 zeigt diese Urform des Coriolis­
Massendurchflußmessers. Auffällig ist der hohe mechanische Aufwand und der große
Eingriff in die Prozeßleitung durch die weitläufigen Rohrschleifen, die zudem oft seriell
durchströmt werden müssen.
Bild 1.12 Massenstrommesser "K-Flow 'B'Tube"
Meßrohre
Exac Typ 2100. Ein weiterer amerikanischer Hersteller ist die Firma Exac. Diese Massenstrommesser
sind für sehr hohe Betriebsdrücke spezifiziert und auch für sehr hohe
Temperaturen geeignet. Bild 1.13 zeigt eines dieser Geräte.
Magnet
Erregersystem
Bild 1.11 Massenstrommesser "Micro Motion Typ D"

18
Grundlagen
Grundlagen
19
Bild 1.13 Mas~enstrommesser Exac Mod 2100
tnasm.ver Montageblock
Rheonik Typ RHM. Im Gegensatz
zu anderen Systemen ist hier
die Rohrschleife an einem Querarm
aufgehängt. Dieser ist über
einen Torsionsstab mit dem Gestell
verbunden. In dem massiven
Querarm ist viel Schwingungsenergie
gespeichert, so daß bei
kurzzeitigen hohen Dämpfungen
durch das Fluid die Schwingung
dennoch nicht abreißt. Bild 1.15
zeigt dieses Gerät. Auch hier
werden zwei gegenphasig schwingende
Rohre eingebaut. Mit diesem
System lassen sich besonders
kleine Nennweiten realisieren.
Montageplatte
Torsionsstab
Bild 1.15 Massenstrommesser Rheonik RHM
Sensor
Schlumberger Typ Massmaster. Der "Massmaster" ist ein Coriolis-Massendurchflußmesser
mit einem einzigen geraden Meßrohr. Man hat hier aber die entscheidenden
Schwierigkeiten eines Geradrohrsystemes umgangen, indem das schwingende Rohrstück
durch Faltenbälge von der Umgebung entkoppelt wurde. Diese Faltenbälge erschweren
natürlich die Reinigung und Entleerung des Gerätes. Der Massmaster wird vor allem in
der Petrochemie eingesetzt.
Bild 1.14 Massenstrommesser Krohne Corirhass
Elektronik Erregersystem Isolierbalgen
Krohne Typ Corimass. Seit 1985 sind auch deutsche Hersteller am Markt. Bild 1.14
zeigt den Krohne Corimass. Hier soll ein massiver gußeiserner Montageblock Störungen
aus der Prozeßumgebung abfangen, um das Schwingungssystem, bestehend aus zwei
Rohrschleifen von der Umgebung zu entkoppeln.
E
Gehäuse Sensor Meßrohr
Bild 1.16 Massenstrommesser Schlumberger "Massmaster"

20
Grundlagen
Berechnung und Modellierung
21
Endress & Hauser Typ "m-point". Beim m-point (s . Bild 1.17) schwingen zwei gerade
Titanrohre gegenphasig. Der m-point wurde hinsichtlich maximaler Symmetrie der beiden
Rohre optimiert. Dadurch ist die Vibration am Gehäuse nurmehr minimal. Der m-point ist
von außen sehr unempfindlich. Dies erfordert hohen konstruktiven Aufwand und Präzision
bei der Herstellung.
Im Gegensatz zu den meisten anderen Geräten wird beim m-point die Rohrschwingung
mit optischen Sensoren erfasst. Die Schwingfrequenzen der Geräte liegen im Bereich 500-
1100 Hz. Durch den symmetrischen Aufbau und die hohe Arbeitsfrequenz reagieren diese
Geräte auf Störungen aus der Prozeßumgebung sehr unempfindlich.
Strömungsteiler
Meßrohre
Erregersystem
Stützrohr
Bild 1.17 Massenstrommesser Endress & Hauser "m-point"
Krohne Typ Corimass G. 1993 wurde von Krohne ein neues Massendurchflußmeßsystem
mit einem einzigen geraden Rohr vorgestellt. Hier wurde auf die Kompensation der Rohrschwingung
verzichtet, um in der Prozeßleitung den Strömungsteiler zu vermeiden. Das
eigentliche Meßrohr ist dabei in eine'm Zylinder untergebracht, der zum einen zur zusätzlichen
Entkopplung von der Umgebung dient, andererseits die Messung der axialen Verspannung
des Meßrohres mittels eines a~f dem Zylinder applizierten Dehnungsmeßstreifens
erlaubt.
Prinzipbedingt tritt bei diesem Gerät eine starke Gehäusevibration auf. Die Einbauvorschriften
sind daher strenger als bei herkömmlichen Geräten und müssen exakt eingehalten
werden. Änderungen in den Einbaubedingungen, wie sie auch durch Temperatureinfluß
möglich sind, führen zu starken Nullpunktschwankungen. Die Arbeitsfrequenz liegt
hier im Bereich 200-300 Hz. Das Meßrohr ist aus Titan gefertigt.
Die vorstehenden Geräte wurden nur beispielhaft erwähnt. Insgesamt ist eine weitaus
größere Zahl von Konstruktionen am Markt.
2 Berechnung und Modellierung des schwingenden
Rohres
2.1 Berechnung als kontinuierlicher Schwinger
2. t.1. Zielsetzung und Vorgehen
Der Meßeffekt bei einem Coriolis-Massendurchflußmesser mit geraden Rohren kann
näherungsweise relativ einfach berechnet werden. Im Gegensatz zu den Rohrschleifen gibt
es bei den geraden Rohren keine dynamische Überhöhung, die eine Optimierung des
Meßeffektes erlaubt (s. 1.2.4). Die Berechnung ermöglicht aber eine sofortige Abschätzung
von Betriebsfrequenz und Meßeff ekt.
Von entscheidender Wichtigkeit wfrd die Berechnung für die Kompensation von Störgrößen
und die Kalibrierung des erhaltenen Rohmeßwertes für die Phasenverschiebung. Bei
einem Coriolis-Massendurchflußmesser beeinflussen sehr viele Größen die Empfindlichkeit.
So ändert eine Axialkraft im Meßrohr nicht nur die Betriebsfrequenz und damit die
Information über die Dichte des Mediums, sondern auch den Kalibrierfaktor. Eine Temperaturänderung
des Meßrohres führt einerseits über das temperaturabhängige Elastizitätsmodul
zu Veränderungen in Frequenz und Meßeffekt, aber auch durch die feste Einspannung
des Meßrohres zu axialen Spannungen. Ein Innendruck im Meßrohr verändert die
Rohrgeometrie und führt über die Querkontraktion ebenfalls zu axialen Spannungen. Die
Berechnung zeigt den Zusammenhang aller dieser Größen. Damit kann abgeschätzt werden,
ob eine Kompensation erforderlich ist, und auf welche Weise sie erfolgen kann.
In Anlehnung an /Rasl-4/ wird der im folgenden beschriebene Weg beschritten. Zunächst
wird das Meßrohr als Balkenschwinger modelliert. Temperatur, Axialspannung und Innendruck
werden hierbei bereits berücksichtigt. Die zugehörige Schwingungsdifferentialgleichung
wird über die LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen zweiter Art aufgestellt
/Pfe/, !Brei . Die Flüssigkeit wird als durchlaufendes Kontinuum betrachtet, das über
Zwangsbedingungen an das Rohr gekoppelt ist. Durch diese Kopplung wird die Schwingungsdifferentialgleichung
des Gesamtsystems erhalten. Da die Auswirkungen des Durchflusses
sowohl auf die Frequenz, als auch die Biegelinie sehr gering sind, wird zur Lösung
ein Näherungsansatz nach Ritz verwendet. Man nimmt dabei an, daß sich der tatsächliche
Verlauf der Biegelinie des Meßrohres näherungsweise aus den beiden ersten>
Eigenformen des Rohres zusammensetzt. Das Meßrohr wird in der ersten Eigenform

22 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
23
angeregt. Die Corioliskräfte verursachen eine Anregung der zweiten Eigenform.
Somit stellt die Summe aus erster Eigenform, sowie ein noch zu bestimmender Faktor A
multipliziert mit der zweiten Eigenform eine Lösung für die Differentialgleichung des
durchströmten Rohres dar. Aus dem Faktor A kann der Meßeffekt berechnet werden.
und es wird erhalten:
~ =0
öq
'
av = 0
öq
(2.3)
Die Corioliskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit Vp des Rohres. Die Geschwindigkeit
erreicht ihren Maximalwert im Nulldurchgang der Rohrschwingung und sie ist null
bei maximaler Auslenkung des schwingenden Rohres. Zwischen der angeregten ersten
Eigenform und der durch Corioliskräfte angeregten zweiten Eigenform des Rohres besteht
eine Phasenverschiebung von 90°.
2.1.2 Schwingungsdifferentialgleichung
Für Systeme mit wenigen Freiheitsgraden läßt sich die Bewegungsgleichung über die
LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 5 zweiter Art finden /Pfe/, /Brei. Die
LAGRANGEsche Bewegungsgleichung zweiter Art mit der Lagrangefunktion L und den
Minimalkoordinaten CL lautet:
(2.1)
Zur Auswertung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichung ist es nun erforderlich,
sämtliche im System auftretenden kinetischen Energien T und potentiellen Energien v zu
bestimmen. Bei der hier gewählten Modellierung wird dabei zunächst nur das Meßrohr
(2.4)
ohne Fluid betrachtet. Einziger Freiheitsgrad des Rohres ist die y-Richtung. Die Minimalkoordinaten
qi werden durch y ersetzt.
Bewegungsgleichung des Meßrohres
Das Meßrohr wird als kontinuierliches Medium modelliert. Elastizitätsmodul, Flächenträgheitsmoment,
Dichte und Querschnitt seien über die gesamte Länge konstant. Die
Drehträgheit des Balkens wird vernachlässigt.
Die LAGRANGE-Funktion L stellt dabei die Differenz aus kinetischer und potentieller
Energie dar. qi sind die sogenannten Minimalkoordinaten des Systems /Pfe/. Es sind diese
Bewegungsrichtungen, die die Zwangsbedingungen erfüllen, also die verbleibenden Freiheitsgrade
des Systems. Das Meßrohr wird im hier betrachteten Fall nur in eine Richtung,
in y-Richtung, ausgelenkt. Die Zahl der Freiheitsgrade ist also eins. Die Lagrangefunktion
L entspricht der Differenz aus kinetischer und potentieller Energie. Indem der Term
L=T-V in Gleichung 2.1 eingesetzt wird, ergibt sich:
(2.2)
Da die kinetische Energie nicht von der Ortskoordinate, sondern nur von der Geschwindigkeit,
die potentielle Energie dagegen nicht von der Geschwindigkeit, sondern nur vom
Ort abhängt gilt:
Bild 2.1
--
m
•
{}
Anregung
eingespanntes, schwingendes Meßrohr
Beim Meßrohr treten folgende Energieterme auf:
Kinetische Energie. Fü~ das Masseteilchen dm seien nur Bewegungen in y-Richtung
zulässig. Für kleine Auslenkungen y ist diese Näherung gültig. Die kinetische Energie
ergibt sich damit zu:
7 Joseph Louis de LAGRANGE, geb. 1736 in Turin, gest. 1813 in Paris; Mathematiker

24
Berechnung und Modellierung
(2.5)
Berechnung und Modellierung
:Mit Hilfe der Formänderungsarbeit dW folgt:
V= dW = Fds
dx dx
25
(y')2
F- (2.10)
2
Potentielle Energie. Es sind zwei Terme für die potentielle Energie zu berücksichtigen.
Aus der Differentialgleichung der elastischen Linie
Indern alle Energieterme in die LAGRANGEsche Bewegungsgleichung eingesetzt werden,
wird die Schwingungsdifferentialgleichung des Meßrohres erhalten:
EI ö2y(x,1) = Eiy" = M(x,t)
öx 2
(2.6)
(2.11)
(mit dem Elastizitätsmodul E, dem Flächenträgheitsrnornent I und dem Biegernornent
M(x,t)) und der Formänderungsarbeit dW /Mön/:
M2
dW= - ·dx
2EI
ergibt sich die potentielle Energie bei Durchbiegung des Rohres:
V = dW = EI ·(y")2
dx 2
Die Dehnung ds des Rohres ergibt sich nach Bild 2.2 zu:
ds = ~-dx = Jl+(y'}2-1

Berechnung und Modellierung 27
Berechnung und Modellierung
26
2.1.3 Eigenfrequenzen und Eigenformen
Eingesetzt in die LAGRANGEsche Bewegungsgleichung ergibt sich die Schwingungsdifferentialgleichung
für das Medium:
~ F OC
Zunächst wird das Meßrohr gefüllt mit Flüssigkeit, aber ohne Durchfluß (v =0) betr h-
(2.15)
Um die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung zu erhalten muß d.
·· h · · , iese
zunac st m . eme . gewöhnliche . Differentialgleichung umgeformt werden · Da d. ie E. igeniormen
a l s ze1tmvanant angenommen werden • wird ei·n s· eparatlonsansatz . benutzt:
"
Meßrohr
\
y(x,t) = Y(x) · F(t) . (2.19)
y
Für die Zeitfunktion und die Ortsfunktion werden folgende Ansätze gewählt:
....··
F(t) = ei"'' ; Y(x) = B ·e~x . (2.20)
Nach Einsetzen von Zeit- und Ortsfunktion vereinfacht sich die Differentialgleichung
X
(Gl. 2.11) zu:
Bild 2.3 Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens dmp im Meßrohr
(2.21)
Bewegungsgleichung des Gesamtsystems
mit den Lösungen
Die erhaltenen beiden Differentialgleichungen sind über die folgenden Zwangsbedingungen
miteinander verkoppelt:
(2.16)
!~ +4Eldm 2 -_!_
4 F
ß1
X
= kl
2EI
'
(2.17)
(2.22)
1 2 1
-Fx +4Eldmw 2 --F
4 2 X
Es ergibt sich somit folgende Differentialgleichung, die das Meßrohr samt Flüssigkeit und
ß2
-kl
2EI
Meßeffekt, einschließlich einer einwirkenden Axialspannung vollständig beschreibt:
ö2y ö 2 y
(dmR+dmp)- +2dmFvF--+
öf öxöt
(2.18)
2 1 ö2y ö 4
(dmpvF+-Fx)-+EI- = 0.
2 öx 2 öx 4
...,~;>.·••·•••·•m

28 Berechnung und Modellierung
_!F 2 +4Eldmw 2 +_!__
4 x Fx
2EI
_!F 2 +4Eldm w 2 + _!F
4 X 2 X
2EI
= J's. '
Als allgemeine Lösung der Differentialgleichung ergibt sich somit:
(2.23)
Berechnung und Modellierung
l y(L) ~O)
y'(O) =
yt(L)
0 c.
sinh(k
[ 0 1
L) cosh(k 1
L) sin(k 2
L)cos(k 2
L)
c2
kl 0 's. 0 C3
k 1
cosh(k 1
L) k 1 sinh(k 1
L) "z cos("zL) -"zsin("zL) C4
(2.27)
29
oder anschaulicher:
y(x) = c 1 sinh(k.x) + c2 cosh(klx)
+C 3
sin(kiX) +C 4
cos(kiX)
Die vier Konstanten C 1 , C 2 , C 3 , C 4 müssen aus den Randbedingungen ermittelt werden.
Zur Definition der Randbedingungen sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Randbedingungen bei Balkentheorie
Bei der Balkentheorie wird das Rohr als beidseitig fest eingespannter Balken modelliert.
(2 .24)
(2.25)
Beim Balken beträgt die Steigung der Biegelinie an den Endpunkten Null, es können über
die Einspannung Momente übertragen werden. Damit ergeben sich als Randbedingungen:
y(O) = O; y(L) = O; y 1 (0) = O; y'(L) = 0 (2.26)
Es ist somit folgendes lineare Gleichungssystem zu lösen:
Nichttriviale Lösungen werden nur erhalten, wenn die Determinante der Koeffizientenmatfix
ungleich Null ist. Nullsetzen der Determinante führt zur charakteristischen Gleichung:
Stelle das Mathematikprogramm MATHCAD eingesetzt. Damit wurden Eigenfrequenzen
und Eigenformen numerisch berechnet.
Randbedingungen bei Saitentheorie
Bei der Saite ist die Steigung der Biegelinie an den Endpunkten ungleich Null, es können
über die Einspannung keine Momente übertragen werden. Das Meßrohr wird also als
beidseitig gelenkig gelagerter Balken modelliert. Der Rechengang ist prinzipiell identisch
mit dem bei Balkentheorie; es müssen jedoch die neuen Randbedingungen eingesetzt
werden:
y(O) = O; y(L) = O; y 11 (0) = O; y 11 (L) = O . (2.29)
Mit den gleichen Überlegungen, die bei der Balkentheorie angestellt wurden ergibt sich
die charakteristische Gleichung nun zu:
(2.30)
Bei der Saitentheorie lassen sich Eigenfrequenzen und Eigenformen noch analytise>h lösen.
Die Eigenfrequenzen ergeben sich zu:
Fxsinh(k 1 L)sin(Js.L) +
4 w JE/dm(cosh(k 1
)cos(k 2
)- 1) = 0
(2.28)
1,2, .... ,n
(2.31)
Um den Aufwand für die Lösung dieser Gleichung in Grenzen zu halten, wurde an dieser
Die Eigenformen lauten:

30
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 31
1,2, .... ,n (2.32)
Balkentheorie
Mit dem Programm MA TH CAD können damit die Biegelinien berechnet werden.
Biegelinien der ersten Eigenform. Bild 2.4 zeigt die Biegelinien der ersten Eigenform
bei Balken- und Saitentheorie.
0 L/4 L/2 3L/4 L X
Saitentheorie
0 L/4 L/2 3L/4 X
Bild 2.5
Biegelinien des Meßrohres in der zweiten Eigenform
2.1.4 Ritz-Ansatz
Bild 2.4 Biegelinien des Meßrohres in der ersten Eigenform
Biegelinien der zweiten Eigenform. Bild 2.5 zeigt dementsprechend die Biegelinien der
zweiten Eigenform bei Balken- und Saitentheorie.
Bei einem realen, schwingenden System lassen sich die Randbedingungen nicht so einfach
darstellen, wie in der Theorie. Denn beim realen Schwinger kann in der Einspannung
sowohl ein Moment übertragen werden (entspr. Balkentheorie), als auch ein von Null
verschiedener Austrittswinkel auftreten (entspr. Saitentheorie). Je nach Geometrie des
Schwingers kann man ein System erhalten, das sich eher durch die Randbedingungen der
Saitentheorie oder eher durch die Randbedingungen der Balkentheorie oder auch einer
Kombination beider Theorien beschreiben läßt. Dadurch ist bei analytischen Berechnungen
mit einer großen Unsicherheit zu rechnen.
Eigenfrequenzen und Eigenformen des schwingenden Rohres sind nun bekannt. Die Lösung
der partiellen Differentialgleichung Gl. 2.18, mit der die Größe des Meßeffektes
berechnet werden soll, bleibt aber dennoch schwierig. Eine analytische Lösung ist nur für
vernachlässigte Axialkraft bekannt /Rasl-4/. Deswegen soll hier ein anderer Weg untersucht
werden.
Geradrohr-Durchflußmesser wurden schon in einer Vielzahl von Experimenten untersucht.
Dadurch kann "a priori" -Wissen in die Berechnung eingebracht werden. Das Meßrohr
wird harmonisch in der ersten Eigenform, mit der ersten Eigenfrequenz angeregt. Die
Corioliskräfte verursachen eine Anregung der zweiten Eigenform mit der gleichen Frequenz,
aber einer Phasenverschiebung von 90°. Der Meßeffekt ist äußerst gering. Man
kann deshalb von einer linearen Überlagerung der Eigenformen ausgehen. Der sekundäre
Meßeffekt, die Anregung der dritten Eigenform durch Corioliskräfte, ist beim Geradrohr
vernachlässigbar.
Beim Ritz 6 -Ansatz versucht man nun, den tatsächlichen Schwingungsverlauf durch eine
Summe von Ansatzfunktionen zu beschreiben. Werden diese Ansatzfunktionen günstig
Walter Ritz, geb 1878 in Sitten (Schweiz), gest. 1909 in Göttingen; Mathematiker und Physiker

32
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 33
gewählt, ergeben sich große Vereinfachungen bei der Berechnung bei dennoch hinreichender
Genauigkeit.
Mit dem bereits angesprochenen "a priori Wissen" soll die Meßrohrschwingung durch die
Summe der ersten beiden Eigenformen beschrieben werden:
y(x,t) = y 1 (x,t) + A
(2.33)
·yi

34
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
35
(2.42)
(s. Tabelle 2.1).
Tabelle 2.1 Eigenfrequenzen des Meßrohres aus Edelstahl nach Bild 2.6
Hieraus ist ersichtlich, daß der Meßeffekt eine Funktion der Sensorposition ist.
2.1.6 Auslegung eines geraden Meßrohres
Um zu praktisch verwertbaren Ergebnissen zu kommen, wurden sämtliche Überlegungen
der letzten Abchnitte mit dem Programmpaket MATHCAD auf einem PC programmiert.
Somit können verschiedenste Parameter variiert und ein günstiger Kompromiß für die
Meßrohrauslegung gefunden werden. Das 11 ideale 11
Meßrohr gibt es nicht. Es ist jeweils
ein Kompromiß zu schließen, zwischen beherrschbarer Fertigungstechnik, verfügbarem
Material, Ausdehnungskoeffizient, Größe des Meßeffektes, SNR der Sensoren (da
~ip=f(x
5 )) etc. Für den Feldeinsatz sind weiterhin noch mechanische Bruch- und Wechselfestigkeit
des Materials, Korrosionsbeständigkeit, Preis und vieles mehr zu berücksichtigen.
Beispielhaft für alle Varianten sollen zwei Rohre charakterisiert werden, die in den folgenden
Kapiteln für Messungen verwendet wurden.
Edelstahlrohr 1.4301
Für den am Lehrstuhl auf gebauten Durchflußmesser wurde ein Meßrohr aus Edelstahl
1.4301 gemäß folgender Skizze verwendet.
: 60
iLJsensorl
=' ' =
60 :
Sensor2LJI
11°s
400
Bild 2.6
Auslegung eines Meßrohres aus Edelstahl, dargestellt sind auch die beiden
Sensoren zur Aufnahme de! Rohrschwingung
Eigenfrequenz Saitentheorie Meßwert Balkentheorie
1. Eigenform 122 270 276
2. Eigenform 487 630 761
3. Eigenform 1096 1080 1492
Die erste Eigenform wird besonders gut durch die Balkentheorie beschrieben, bei der
zweiten Eigenform liegt der gemessene Wert zwischen Balken- und Saitentheorie, während
die dritte Eigenform wiederum durch die Saitentheorie am genauesten modelliert
wird.
Titanrohr
Besonders gute Schwingungeigenschaften weist Titan auf. Ein Titanrohr mit folgenden
Abmaßen wurde ebenfalls untersucht:
Bild 2. 7
i 35 35 i
:~Sensor 1 Seosor 2LJi
'--L:'l7,7,7;7,r-____ 24_0 ___ i --F"77"TT">~1: :: : ::l0 10.5
Meßrohr aus Titan, mit den Sensoren zur Aufnahme der Rohrschwingung
Die Dichte des Materials beträgt ca 4500 kg/m 3 . Das Elastizitätsmodul beträgt ca
110 · 10 11 N/m 2 • Auch für dieses Meßrohr wurden die Eigenfrequenzen berechnet und mit
den gemessenen Werten verglichen (Tab. 2.2):
Die Dichte des Materials beträgt ca 8000 kg/m 3 . Das Elastitzitätsmodul beträgt ca
200 · 1011 N/m2• Zunächst wurden die Eigenfrequenzen mit den Randbedingungen nach
Saiten- und nach Balkentheorie berechnet und mit den gemessenen Frequenzen verglichen

36 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
37
Tabelle 2.2. Eigenfrequenzen d~s Meßrohres aus Titan nach Bild 2. 7
Position der Sensoren
Eigenfrequenz Saitentheorie Meßwert Balkentheorie
1. Eigenform 345 680 781
2.Eigenform 1379 2050 2154
3. Eigenform 3103 3500 4223
Es ergeben sich ähnliche Verhältnisse wie bei dem Edelstahlrohr. Beim Titanrohr allerdings
ist der Übergang zwischen Saiten- und Balkentheorie zu höheren Eigenformen
verschoben. Die Abweichungen zwischen Meßwert bei erster und zweiter Eigenform und
Berechnung nach Balke.ntheorie sind auf etwaige im Aufbau vorhandene Axialspannungen
zurückzuführen.
Meßeffekt
Für beide Rohre kann nun der zu erwartende Meßeffekt bei Nenndurchfluß angegeben
werden. Der Nenndurchfluß soll durch einen maximalen Druckabfall von 1 bar über der
Meßstrecke definiert sein. Er beträgt beim Edelstahlrohr etwa 20 kg/min und beim Titanrohr
etwa 50 kg/min. Die Position der Sensoren, die im folgenden Abschnitt noch genauer
untersucht wird, ist wie in den Bild~rn 2.6 und 2. 7 angegeben. Die Berechnung liefert
folgende Werte für den zu erwartenden Meßeffekt:
Entscheidend für die Größe des Meßeffektes ist die Position der Sensoren. Für möglichst
kräftige Schwingungssignale müssen die Sensoren in Richtung Rohrmitte angeordnet
werden. Dadurch ergibt sich aber ein nur geringer Meßeffekt. Die maximale Phasenverschiebung
ist knapp neben der Einspannung des Meßrohrcs zu messen. Hier ist aber die
Schwingungsamplitude minimal, so daß ein schlechter Signal/Rausch-Abstand erhalten
wird. Abhängig von der gewählten Auswerteelektronik muß ein guter Kompromiß gefunden
werden. Bild 2.8 zeigt den Verlauf der Phasendifferenz bei Nenndurchfluß in Abhängigkeit
der Sensorposition im Falle des Edelstahlrohres.
Optimale Position. Mit der eben angestellten Berechnung läßt sich die optimale Position
der Sensoren angeben. Die mit dem in Kapitel 3. 3 beschriebenen Phasenmesser erreichbare
Genauigkeit ist dem Signal/Rausch-Verhältnis der Sensoren proportional, und dieses
hängt wiederum direkt von der Auslenkung des Meßrohres ab. Das Produkt d'f' . SNR
stellt damit ein Optimierungskriterium für die Sensorposition dar. In Bild 2.9 ist diese
Größe für die Balken- und die Saitentheorie dargestellt. Der reale Verlauf liegt zwischen
beiden Varianten. Die optimale Sensorposition liegt somit in der Nähe von L/8.
.::l

38
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
39
aq> · SNR
(2.43)
0,3° Balkentheorie
/
0.2°
0,1°
Saitentheorie
ausgehend vom entspannten Zustand die resultierende Axialkraft Fx bei Temperaturänderung
des Meßrohres bestimmt werden.
Ein zweiter Mechanismus führt über den Innendruck p zu einer Axialkraft Fx im Meßrohr.
Es sind im Betrieb Drücke bis über 100 bar möglich. Experimentell wurde der
lineare Zusammenhang zwischen dem Innendruck p und der resultierenden Druckkraft F
nach Bild 2.10 gefunden.
0
0 L/8 L/4 L/2 X
25 50 75 100 p in bar
Bild 2.9
Die Größe !lip . SNR als Optimierungskriterium für die Sensorposition; gute
Meßergebnisse sind im Bereich um zwischen L/8 und L/4 zu erwarten
-20
2.1.7 Störgrößen
Die Berechnung des Meßeffektes und die Berechnung der optimalen Sensorposition vereinfacht
zwar das Rohrdesign, bringt aber keine wesentlichen neuen Erkenntnisse. Weitaus
bedeutungsvoller ist es, den Einfluß von Störgrößen, die in einem Massendurchflußmesser
wirken, zu analysieren. Denn diese Zusammenhänge sind dem Experiment zum
Teil nicht zugänglich, müssen aber dennoch bekannt sein, um eine entsprechende Kompensation
durchführen zu können, oder um die Gültigkeit der Kalibrierwerte unter bestimmten
Bedingungen sicherstellen zu können.
Axialkraft
Die entscheidende Störgröße speziell bei Coriolis-Massendurchflußmessem mit geraden
Rohren ist die Axialkraft im Meßrohr. Sie tritt im statisch überbestimmten Meßiohr insbesondere
bei Temperaturgradienten zwischen Meßrohr und Gehäuse auf. Nur durch
geeignete Materialpaarung (Gehäuse Edelstahl, Meßrohr Titan) gelingt es überhaupt die
auftretenden Axialspannungen in vertretbaren Grenzen zu halten. ·Bei einem Edelstahl­
Meßrohr können die temperaturbedingten Axialkräfte sogar zur plastischen Verformung
und damit zur Unbrauchbarmachung des Meßrohres führen. Bezeichnet !lT die Temperaturdifferenz
zwischen Meßrohr und Gehäuse, ao den Innenradius des Meßrohres, bo den
Außenradius des Meßrohres, E das Elastizitätsmodul und a den Ausdehnungskoeffizienten
des Meßrohres, so kann nach
-40
-60
-80
Bild 2.10 Entstehung einer Axialkraft Fx durch Innendruck p im Meßrohr
Im folgenden soll die Auswirkung der Axialkraft auf die erste Eigenfrequenz, also die
Frequenz der angeregten Schwingung, und auf die Größe des Meßeffektes !lip untersucht
werden. Für Zug- und Druckkräfte bis 1000 N ergeben sich für die Balken- und die
Saitentheorie Änderungen der Eigenfrequenz wie in Bild 2.11 aufgezeigt.
In einem Prüfstand konnte die Resonanzfrequenz des schwingenden Rohres bei Belastung
mit Zugkräften bis zu 1000 N auch gemessen werden. Die erhaltenen Werte
(s. Bild 2.12) liegen wie vermutet wieder zwischen Balken- und Saitentheorie.
Interessant, weil der Messung nicht zugänglich, ist die Auswirkung der Axialkraft auf den
Meßeffekt !lip. Hier zeigt sich bei der Balkentheorie eine vernachlässigbare Auswirkung
auf !lip. Allerdings wird der Massendurchfluß aus dem Quotienten !liplf=!lt berechnet,
deshalb ergibt sich durch die Frequenzänderung von etwa 8 3 bei 1000 N Zugkraft ein
Fehler beim Massendurchfluß von ebenfalls etwa 8 3.

40
Berechnung und Modellierung
:Berechnung und Modellierung 41
-1000 -500
M/f 0
in%
30 Saitentheorie
20
10 Balkentheorie
500 1000
-10 FinN
-20
-30
dq> - dq> 0
in % -----
dq>o
10
Saitentheorie
Balkentheorie
-J
-1000 -500 500 1000
-10
-20
-30
FinN
Bild 2
. 11
-40
relative Änderung der Eigenfrequenz f unter Einfluß einer Axialkraft
Bild 2.13
Innendruck
Auswirkung einer Axialkraft Fx auf die Phasenverschiebung b..

42
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
43
4q> - dq> 0
in %
25 50 75 100 p in bar
0
-0,1
-0,2
-0,3
Bild 2.14 relative Frequenzänderung .M/f 0 unter Einfluß eines Innendruckes P im Meßrohr
Bild 2.16
dq> 0
Saitentheorie
0,5
Balkentheorie
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 25 50 75 100
p in bar
Auswirkung des Innendruckes p im Meßrohr auf die Phasenverschiebung 4cp,
bezogen auf die Phasenverschiebung ohne Innendruck
fin Hz
241
240
Temperatur
Der entscheidende Einfluß der Temperatur wurde bereits im Rahmen der Störgröße Axialkraft
behandelt. Es existiert jedoch noch ein direkter Einfluß der Temperatur auf Frequenz
und Meßeffekt, und zwar über das temperaturabhängige Elastizitätsmodul. Dieses
ist nicht konstant, sondern gemäß:
E = E(1) = E 0
[1- a(T-TJ] (2.44)
239-1-~~+--~--t~~-+~~--t-1~~~
O 25 50 75 100 p in bar
Bild 2.15 gemessene Frequenz f in Abhängigkeit vom Innendruck P
ist jedoch kein Meßfehler, sondern kommt durch die Kompressibilität von Wasser zustande,
die bei etwa 0,5 3 bei 100 bar liegt.
Ergebnis. Der direkte Einfluß des Innendruckes ist zu vernachlässigen. Da der Innendruck
aber ebenso zu einer axialen Druckkraft führt, ergeben sich Auswirkungen auf die
Meßgenauigkeit.
eine Funktion der Temperatur. Ein typischer Wert von a für Edelstahl ist 900 · 10- 6 • l/K.
Eine Temperaturerhöhung führt zu sinkenden Eigenfrequenzen, sowie bei der Balkentheorie
zu veränderten Biegelinien. Für die Abhängigkeit der Eigenfrequenz von der
Temperatur ergibt sich der Verlauf von Bild 2.17. Balken- und Saitentheorie liefern
annähernd gleiche Verläufe.
Auch für den Einfluß der Temperatur auf den Meßeffekt tlcp erhält man für Balken- und
Saitentheorie annähernd gleiche Verläufe. Bild 2.18 zeigt die Ergebnisse der Berechnungen.
Ergebnis. Eine Temperaturerhöhung von 0°C auf 100°C führt zu einer Zunahme der
Phasenverschiebung !lcp von etwa 4,5 3 und zu einem Absinken der Eigenfrequenz von
etwa -4,5 3, jeweils bezogen auf die Phasenverschiebung und die Eigenfrequenz bei

44
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 45
2.2 Modellierung mit Hilfe von diskreten Elementen
Bild 2.17
0
40 60 80 100
-1 Tin °C
-2
Balkentheorie und
-3 Saitentheorie
relative Änderung der Eigenfrequenz durch temperaturabhängiges E-Modul
des Meßrohres
Im vorhergehenden Kapitel wurde ein Weg aufgezeigt, die Empfindlichkeit eines Coriolis­
Massendurchflußmessers analytisch zu berechnen. Diese Berechnung liefert alle zur Auslegung
eines deratigen Gerätes notwendigen Informationen. Zusätzlich können Quereinflüsse
durch Störgrößen abgeschätzt und die Erfordernisse an Kompensationsmaßnahmen
bestimmt werden. Es gibt jedoch auch Einflußfaktoren, die dieser Berechnung nicht, bzw.
nur mit großem Aufwand zugänglich sind, die aber für die Entwicklung eines Coriolis­
Massendurchflußmessers eine erhebliche Rolle spielen. Die mathematische Modellierung
des Durchflußmessers erfolgte als kontinuierliches Medium, wobei Symmetrie vorausgesetzt
wurde. Den symmetrischen Massendurchflußmesser gibt es in der Realität nicht.
Zwar streben alle Hersteller einen möglichst symmetrischen Aufbau an, doch gerade die
noch verbleibende Unsymmetrie führt zu Meßunsicherheiten. Hierauf sind auch die zum
Teil deutlichen Unterschiede der Geräte zurückzuführen.
T=20°C. Der Quotient fl.ip/f für den Massendurchfluß ändert sich um etwa 9,4 %
pro 100°C. Soll in diesem Bereich der Massendurchfluß auf 0,2 % genau angegeben
werden können, muß die Meßrohrtemperaur auf mindestens 2 °C genau gemessen und
entsprechend kompensiert werden. Diese Genauigkeit in der Temperaturmessung ist leicht
zu erreichen, setzt jedoch voraus, daß die Temperaturverteilung im Meßrohr konstant ist,
und daß vor allem in der Meßrohreinspannung keine Tempetaturgradienten auftreten.
Bei der mathematischen Berechnung wurden die Randbedingungen entsprechend der
Balken- oder Saitentheorie definiert. Diese Randbedingungen bestimmen in entscheidendem
Maße die Schwingungseigenschaften des Meßrohres. In der Praxis liegt immer eine
Kombination dieser beiden Schwingungsfälle vor. Veränderungen in den Randbeding4ngen
führen zu signifikanten Änderungen in der Empfindlichkeit und im Nullpunkt des
Gerätes. Die Randbedingungen können sich im industriellen Prozeß stark ändern. Die
entscheidende Größe ist dabei die Dämpfung der Einspannung des Massendurchflußmessers.
Sie kann sich temperaturbedingt ein- und auslaufseitig unterschiedlich ändern.
Zahlreiche Untersuchungen beschäftigen sich mit dem Einfluß der Dämpfung (z.B. /Keil,
/Metl/).
Bild 2.18
3
2
-1
Balkentheorie und
Saitentheorie
40 60 80 100
Tin °C
Abhängigkeit des Meßeffektes f).ip von der Meßrohrtemperatur, bezogen auf
die Phasenverschiebung fl.ip 0 bei T=20°C
In der mathematischen Beschreibung ist es schwierig, die verschiedenen Randbedingungen
zu integrieren. Es bestünde die Möglichkeit auf die Berechnung mittels der Finiten
Elemente Methode auszuweichen. Sie wurde für eine Berechnung der Rohreinspannung in
Abschnitt 3 .1 verwendet. Dabei ist jedoch ein sehr großer Rechenaufwand erforderlich,
der nicht immer durch die erhaltenen Resultate gerechtfertigt werden kann.
In diesem Abschnitt soll ein Weg beschrieben werden, der es ermöglicht, mit vertretbarem
Rechenaufwand, geringem Zeitaufwand und geringen Hardwareanforderungen
qualitative und zum Teil quantitative Ergebnisse zu gewinnen. Das kontinuierliche Modell
eines Massendurchflußmessers wurde dabei in diskrete Elemente zerlegt und durch

46 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 47
Massen, Federn und Dämpfer beschrieben. Diese mechanischen Elemente wurden anschließend
über Analogiebetrachtungen in ein elektrisches Ersatzschaltbild übersetzt. Das
elektrische Ersatzschaltbild kann nun in einem Schaltkreissimulator wie z.B. SPICE
durchgerechnet werden. Die berechneten Spannungen und Ströme können anschließend
wieder als Geschwindigkeiten der Massenelemente oder als Kräfte an Knoten interpretiert
werden.
2.2.1 Vorüberlegungen zur Modellbildung
Das Modell sollte den realen Durchflußmesser ausreichend genau beschreiben. Die Komplexität
sollte allerdings nicht unnötig groß werden. Für die Untersuchungen hat es sich
als ausreichend erwiesen, die dritte Eigenform des Meßrohres im Modell darstellen zu
können. Das bedeutet eine Aufteilung des Meßrohres in drei diskrete Massen. Das Gehäuse
wird vereinfachend durch zwei diskrete Massen beschrieben. Nach der Verbindung der
einzelnen Massen durch Steifigkeiten und Dämpfungen erhält man das vereinfachte mechanische
Ersatzschaltbild des Einrohr-Durchflußmessers (s.Bild 2.19).
Gehäuse
Gehäuse
r~-- ---, t Fe /~~~-----,
l l\1eßrohr l
m6 : r----- - --------------- ----------------------, : m5
! ! s3 m2 sl ml s2 mJ s4 J J
-++-~·~·~· 1 L ----- --------- - - ------------ ------------- ~ 1
: d3 dl d2 d4 :
1 l 1 1
1 1
1 1
i F F i
~ c ~
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
L--- --- -- ~ L- -------~
Bild 2.19
Mechanisches Ersatzschaltbild eines Durchflußmessers mit nur einem Rohr,
mit den Massen mi> den Dämpfern di und den Steifigkeiten si
Die Anregung des schwingenden Rohres erfolgt mittels einer Kraftquelle, die an der mittleren
Rohrmasse angreift. Die auftretenden Corioliskräfte werden durch zwei gegenphasig
arbeitende Kraftquellen simuliert.
elektromechanische Entsprechungen
Der Übergang von der mechanischen Struktur zum elektrischen Ersatzschaltbild läßt sich
mit zwei unterschiedlichen Varianten realisieren /Zwi/. Die PU-Analogie, bei der eine
Kraft in eine Spannung transformiert wird und die PI-Analogie, bei der eine Kraft in
einen Strom transformiert wird. Hier wurde die PI-Analogie gewählt, da sie die Struktur
der mechanischen Anordnung besser wiedergibt. Im folgenden Bild sind alle äquivalenten
mechanischen und elektrischen Größen aufgelistet. Die Transformation erfolgt dabei über
eine sogenannte Modellkonstante, in diesem Fall Ni, die frei wählbar ist.
Mechanisches FI - Analogie Elektrisches
Ersatzschaltbild -----------------------) Ersatzschaltbild
•
Masse m C= m2 c Kapazität -II-
Ni
---AN#Mr- Feder k
-c::=
Dämpfung
N 2
L= --1
k
L Induktivität
----
N 2
c R=--1
c
R Widerstand ~
f Kraftquelle F l=_F_ Stromquelle
'Y
Ni
)..__
y
Schnelle V U= Ni ·v u Spannungssquelle
Q
Bild 2.20 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Größen: PI-Analogie
Ersatzschaltbild des Durchflußmessers
Die Kapazitäten können sofort angegeben werden, indem die entsprechenden Teilmassen
mit der Modellkonstanten Ni in Kapazitäten umgerechnet werden. Die Induktivitäten
werden aus der Lage der Resonanzfrequenzen ermittelt. Die Dämpfungen sind nur sehr
schwierig abzuschätzen. Sie wurden ermittelt aus dem Zeitverhalten bei Ein- und Ausschwingvorgängen.
Die Kraftquelle zur Anregung des Meßrohres wird transformiert in eine Stromquelle, die
ebenfalls in der Mitte des Rohres angreift. Die Corioliskräfte werden ebenfalls durch zwei
Stromquellen modelliert. Die Größe des Stromes bestimmt den Meßeffekt.
~

48 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
49
Nach der Transformation ergibt sich das elektrische Ersatschaltbild nach Bild 2.21.
normierte Amplitude der Rohrschwingung
100 -t-~~+-~~+--~~-+-~~-+-~~-t-~~-t-~~-t-~~-+
Gehäuse
links
Meßrohr
Gehäuse
rechts
1.Eigenf onn'
2.Eigenfonn
3.Eigenfonn
R6
R5
O,Ol +-~~1--~--1-~~--+~~-+-~~-+-~~+-~~+---==-------+
0 200 400 600 800 1000 1200 Hz 1600
Phasendifferenz 2-U3)
360°
gleichphasig
Bild 2.21
elektrisches Ersatzschaltbild des Einrohrdurchflußmessers
180°
gegenphasig
Mit diesem Modell konnten zahlreiche Messungen am realen Durchflußmesser in der
Simulation nachvollzogen und bestätigt werden.
0
gleichphasig
0 200 400 600 800 1000 1200 Hz 1600
2.2.2 Simulation eines Einrohr-Durchflußmessers
Bild 2.22 zeigt den Frequenzgang des Modells. Die Resonanzfrequenzen stimmen gut mit
den tatsächlich gemessenen Werten von 270 Hz für die erste Eigenform, 700 Hz für die
zweite Eigenform und 1080 Hz für die dritte Eigenform überein.
Im folgenden sind einige der durchgeführten Simulationen und der daraus zu ziehenden
Schlüsse für die Konstruktion dargelegt.
Meßeffekt
Mit den eingebauten Stromquellen I2 und 13 ist es möglich, den Meßeffekt durch die
auftretenden Corioliskräfte zu simulieren. Die Stromquellen sind spannungsgesteuert (in
Abhängigkeit von Ul), da die Corioliskräfte von der Rohrschwingungsamplitude abhängen.
Dementsprechend müssen auch die Stromquellen abhängig sein von der Spannung
Ul, die der Geschwindigkeit der mittleren Rohrmasse entspricht. Die real auftretenden
Corioliskräfte wurden zunächst abgeschätzt und die Stromquellen anschließend entsprechend
eingestellt. Die Ergebnisse zeigt Bild 2.23. Der maximale Meßeffekt beträgt etwa
0,8°. Dies entspricht der tatsächlich gemessenen Phasenverschiebung von ebenfalls 0,8°
bei Nenndurchfluß.
Bild 2.22
Massenunsymmetrie
Frequenzgang; simuliert am Modell des Einrohr-Durchflußmessers; unten ist
die Phasendifferenz zwischen den Spannungen U2 und U3 auf getragen
Beim Betrieb eines Massendurchflußmessers kann es zur Abrasion oder zu Ablagerungen
am Meßrohr kommen. Dies führt zu einer Massenunsymmetrie, die eine Drift des Nullpunktes
zur Folge hat. In der Simulation führte eine Unsymmetrie der äußeren Mas~en
(m2 bzw. m3) von +10 % bzw. -10 % zu einer Verfälschung des Nullpunktes von nur
0,000 16°. Da solch große Massenunsymmetrien in der Realität unwahrscheinlich sind, ist
dieser Effekt zu klein, um zu einem signifikanten Nullpunktfehler zu führen. Diese Aussage
konnte im Experiment bestätigt werden. Es wurde eine Zusatzmasse von 3 g einseitig
am Meßrohr aufgebracht. Die Veränderung der Phasendifferenz t:lcp war nicht nachweisbar.
unsymmetrische Temperaturverteilung
Befinden sich die beiden Seiten eines realen Durchflußmessers auf unterschiedlichen
Temperaturen, so ändern sich durch das temperaturabhängige Elastizitätsmodul die Stei-

~
50 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 51
normierte Amplitude der Rohrschwingung
100+-------+---------,--+--------l-------+
......... .
· Arbeitspunkt
0,01 +---------+------+-+---------+------+
Phasenverschiebung A cp
Bild 2.23
1,0°
0,5°
0
260 265
/ m = 20 kg/min
m = 1s kg/min
1
_,;m= 10 kg/min
/ m = s kg/min
/m. = o kg/min
270 275 Hz 280
Amplitude der Rohrschwingung und Meßeffekt t:.ip (Phasenverschiebung zwischen
U2 und U3) mit dem Massendurchfluß dm/dt als Parameter
figkeiten der Einspannungen des Meßrohres. In einer Simulation wurde eine Unsymmetrie
in der Einspannsteifigkeit zugrunde gelegt, die bei Stahl einem Temperaturunterschied von
10°C zwischen den Gehäusehälften entsprichti Es ergibt sich eine Verfälschung des Nullpunktes
von 8 µ 0 • Durch diesen Effekt sind in der Praxis somit keine Verfälschungen des
Nullpunktes zu erwarten. Auch diese Aussage konnte im Experiment bestätigt werden.
Der Durchflußmesser wurde dazu mit einer Heizfolie einseitig erwärmt (t:..T= 18 K). Die
Nullpunktdrift war dabei unterhalb der Auflösungsgrenze des Phasenmeßsystems.
Einflüsse durch Dämpfung
Coriolis-Massendurchflußmesser werden üblicherweise direkt an die entsprechenden Rohrleitungen
des Prozesses montiert. Gehäusemasse, sowie Steifigkeit der Montagestütze
bilden ein PT 2
-Glied mit einer Resonanzfrequenz von typischerweise etwa 10 Hz. Durch
die zumeist steifen Verbindungen von Durchflußmesser und Prozeßleitung ist die Dämpfung
dieser Schwingung relativ gering. Die Güte der Schwingung liegt im Bereich
Q=5„ .100. Es kann nun in der Praxis vorkommen, daß sich die Dämpfung z.B. temperaturabhängig
oder montageabhängig ändert. Wird eine Seite des Durchflußmessers stark
gedämpft, kann hier die Schwingungsgüte Q nurmehr 1 oder weniger betragen. Kräftiges
Umfassen des Durchflußmessers mit den Händen reicht dafür bereits aus. In Bild 2.24
wurde ein Durchflußmesser simuliert, der auf einer Seite mit relativ geringer Dämpfung,
entsprechend einer Güte von Q = 5 montiert ist. Auf der anderen Seite wird die Dämpfung
der Einspannung variiert. Es werden die Fälle Q = 50, entsprechend einer harten Halterung,
bis hin zu Q=0,5 (kritische Dämpfung), entspechend einer weichen Halterung
betrachtet. Es treten hierbei Verfälschungen des Nullpunktes von über 0,01° auf. Diese
Aussage wurde Experiment bestätigt. Desweiteren führte bei einem bekannten Einrohrsystem
kräftiges Umfassen mit den Händen zu einer Nullpunktdrift von ebenfalls 0,01°.
Bei einer maximalen Phasenverschiebung von t:.ip von 0,8° entspricht dies bereits einem
Fehler von über 1 % bezogen auf den Meßbereichsendwert. Diese Nullpunktverschiebung
kann nicht vom Meßeffekt unterschieden werden; sie stellt damit die entscheidende Fehlerquelle
dar!
normierte Amplitude der Rohrschwingung
100
0,01
1
Phasendiffi erenz Acp
0,02°
0,01°
Bild 2.24
0
260
. -
~z:_::unb
265
-
/. Q = 0,5
/ Q = 1
t / Q = 2
'
t '\Q = 50
~-~
270 275 Hz
Nullpunktverschiebung durch Veränderung der Dämpfung Q einer Einspannung;
Ausgangspunkt ist eine Dämpfung von Q=5 auf beiden Seiten;
-
-
280

52 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
53
2.2.3 Folgerungen aus den Simulationen
Die Simulationen zeigen zunächst, daß das Schwingungssystem des Durchflußmessers
relativ unempfindlich gegen Massen- oder Steifigkeitsunsymmetrien am Meßrohr ist. Bei
starker Bedämpfung der Halterung des Durchflußmessers ergeben sich allerdings erhebliche
Auswirkungen auf den Nullpunkt. Sie können bis zu 1 % des Meßbereichsendwertes
betragen und sind nicht tolerierbar. Bei fast allen Coriolis-Massendurchflußmessers werden
deshalb ausschließlich Doppelrohrsysteme mit symmetrischen Rohren verwendet.
Wenn zwei vollkommen identische Rohre gegenphasig schwingen, wird kein Impuls auf
das Gehäuse übertragen. Es steht ruhig. Damit kann das Schwingungssystem nicht mehr
von außen über die Dämpfung beeinflußt werden.
2.2.4 Simulation eines Doppelrohr-Durchflußmessers
Simulationsmodell
zunächst werden zwei identische Rohre betrachtet. Die Elemente der beiden Rohre sind
identisch mit den entsprechenden Elementen beim Einrohrsystem. Bild 2.25 zeigt das
Simulationsmodell des Doppelrohrsystems.
Meßrohr
R3 Rl R2 R4
Alle bekannten Einrohrsysteme hingegen sind kritisch in der Montage und empfindlich
gegen Veränderungen in der Umgebung. Wird ein störunempfindliches Gerät angestrebt,
muß deshalb umbedingt die Meßrohrschwingung kompensiert werden.
Bei dem neu ~ entwickelnden Gerät sollte nur ein Rohr durchströmt, aber annähernd die
gleiche Uneqipfindlichkeit gegenüber externen Störungen wie bei Doppelrohrsystemen
erreicht werden. Dies ist nur möglich, wenn die Schwingung des Meßrohres kompensiert
wird. Aufbauend auf den Simulationen am Einrohrsystem wurden Simulationen an Zweirohrsystemen
durchgeführt und parallel Aufbauten mit zwei Rohren realisiert. Aus dem
Wechselspi~l z.wischen Simulation und Messung am Aufbau setzte sich folgende Variante
durch: Zwei identische Rohre werden parallel verlaufend in ein Gehäuse eingelötet. Nur
ein Rohr wird durchströmt. Die Dichte in diesem Rohr, dem eigentlichen Meßrohr, kann
verschiedene Werte annehmen. Das zweite Rohr schwingt gegenphasig mit dem Meßrohr
und kompensiert somit dessen Schwingung. Es wird als Tilgerrohr bezeichnet.
Das Tilgerrohr dient auch zum Antrieb des Meßrohres. Denn durch die Rohrschwingungen
werden Momente auf die Rohreinspannungen ausgeübt. Es kommt zu geringen Verformungen
der Einspannung. Durch diese Verformung können Momente von einem Rohr
auf das andere übertragen werden. Beide Rohre sind dadurch miteinander gekoppelt. Die
Entfernung zwischen den Rohren und die Steifigkeit des Werkstoffes der Einspannung
entscheiden über den Kopplungsgrad. Dieser Effekt, der ähnlich bei einer Stimmgabel
auftritt, wird in Abschnitt 2.2.5 analytisch beschrieben.
L6
R6
IC6
Gehäuse
links
Tilgerrohr
C5
1
L5
R5
Gehäuse
rechts
Bild 2.25 elektrisches Ersatzschaltbild des Doppelrohrdurchflußmessers
Der Frequenzgang des Doppelrohrsystems weist im Frequenzbereich von 100 Hz bis
1500 Hz die gleichen Resonanzstellen, wie das Einrohrsystem auf. Die Rohre können nun
aber sowohl gleich- wie auch gegenphasig schwingen. Dadurch spalten sich die Resonanzspitzen
in eine gleichphasige und eine gegenphasige Schwingung auf (s. Bild 2.26) ..
Der Frequenzabstand der beiden Resonanzen der Grundschwingungen von ..::lf = 1, 7 Hz
stimmt mit dem am Aufbau gemessenen Wert überein. Der Frequenzabstand ergibt sich
aus der Kopplung der beiden Rohre, auf die im nächsten Abschnitt genauer eingegangen
wird. Im oberen Diagramm ist der Quotient von Gehäuse- und Tilgerrohrschwingung aufgetragen.
Für eine bestimmte Meßrohramplitude ist minimale Gehäuseschwingung erwünscht,
deshalb soll dieser Quotient möglichst klein sein. Ein Minimum ergibt sich an
der Stelle der gegenphasigen Resonanz. Die Gehäuseschwingung erreicht aber nie exakt
den Wert Null. Denn um Energieübertragung vom Tilgerrohr auf das Meßrohr, also den

54 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
55
normierte Schwingungsamplituden
100
. Arbeitspunkt _ ~ M = 1•7 Hz
Einfluß der Dämpfung
Durch die Reduzierung der Gehäuseschwingung um den Faktor 38 reagiert das Doppelrohrsystemen
weitaus unempfindlicher auf Bedämpfung von außen. Bild 2.27 zeigt eine
Simulation, die schon am Einrohrsystem durchgeführt wurde.
0,01+-~~--+-~~--+-~~-H~~~-+-~~--+-~~--+-~~---+
Phasenlage .:18
400° +-~~-1-~~-t-~~-H~~~+-~~-+-~~--+-~~--+
normierte Schwingugsamplituden
100-r----- --+----,-----+---- -+--- - --+
41"""' Arbeitspunkt
gleichphasig
300°
200°
gegenphasig ·
'
ae - 183°
100°
268 269 270 271 272 273 Hz 275
Bild 2.26 Aufspaltung in gegen- und gleichphasige Resonanz
Antrieb für das Meßrohr, zu gewährleisten, darf die Phasenlage zwischen diesen beiden
Rohren nicht 180° sein. Im unteren Diagramm ist dementsprechend auch ein Wert für die
Phasenlage von .18=183 ° abzulesen. Dieser Wert stimmt überein mit Messungen am
Aufbau (s.Kapitel 3.1, A8gem = 183,5°) ..
0,000 1 +---- ---+----r-.,-- -t--- ---+------+
Phasendifferenz ..i q>
0,07°r-~~~~--t~~~t--~-+-~~~~~-t-~~~~--+
0
-007°+--~~~--r~~~~-+-~~~~-+-~~---"'..__i
' 260 265 270 275 Hz 280
Verglichen mit der Resonanz der gleichphasigen Schwingung der beiden Rohre, geht bei
der Resonanz der gegenphasigen Schwingung die Gehäusevibration um den Faktor 38
zurück. Dieser Wert kann auch berechnet werden. Aus der Abweichung 183 °-180°=3°
ergibt sich mit der Beziehung
- e e e
cos(x + - ) - cos(x - - ) = 2 · sin( - )
2 2 2
ein Wert von 0,5 · sin(3 °) = 0,026=1:38 für die verbleibende Gehäusevibration. Experiment
und Rechnung stimmen also sehr gut überein!
(2.44)
Bild 2.27
Nullpunktverschiebung durch einseitige Veränderung der Dämpfung Q der
Einspannung beim Doppelrohrsystem
Im Arbeitspunkt, an der Stelle minimaler Gehäuseschwingung, ergibt sich ein minimaler
Einfluß auf die Phasendifferenz Acp. Auch am realen Durchflußmesser, der nach diesem
Prinzip arbeitet, kann praktisch kein Einfluß durch Bedämpfung festgestellt werden.
Durch Symmetrie im Gerät und die gegenphasig schwingenden Rohre kann der Durchflußmesser
von der Umgebung entkoppelt werden. Man gewinnt ein hohes Maß an Störsicherheit.

56
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 57
Kopplung der beiden Rohre
Die Kopplung beeinflusst in entscheidendem Maße das Schwingungsverhalten der beiden
Rohre. In einer Versuchsreihe wurde überprüft, ob das Simulationsmodell den Kopplungsmechanismus
ausreichend genau beschreibt. Dazu wurde im Experiment das Meßrohr auf
verschiedene Temperaturen gebracht, während Tilgerrohr und Gehäuse auf konstanter
Temperatur gehalten wurden. In Bild 2.28 ist dies zunächst für drei verschiedene Temperaturen
dargestellt.
In einer Meßreihe wurde die Temperatur des Meßrohres im Bereich 20,5°C bis 32°C
durchfahren. Dabei wurden jeweils die Lage der gleich- und der gegenphasigen Resonanz
bestimmt. Diese Frequenzen über der Temperatur aufgetragen zeigt Bild 2.29.
Frequenz in Hz
275
.6.f . " l.3Hz
mm
Phasenlage ~ E>
360°
270°
270
/
gegenphasige Resonanz
1
gleichphasige Resonanz
/
l80° L-~-d.+-~~-1--~.-d--1--~~t-------~t--~--+
Meßrohramplitude, norm.
100
50°C
0°,C
265
20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5
Tempera~ in ° C
0.1
Bild 2.29
gemessene Resonanzfrequenzen der gekoppelten Rohre, aufgetragen bei verschiedenen
Temperaturen des Meßrohres
Bild 2.28
Schwingungsverhalten bei unsymm. Rohren; die Temperatur ~on Til~errohr
und Gehäuse bleibt konstant (T = 23 °C), die des Meßrohres wird verandert
Im symmetrischen Fall (Meßrohr, Tilgerrohr und Gehäuse auf Zimmertemperatur) werden
wieder die beiden symmetrischen Resonanzpeaks erhalten. Der Phasensprung der Phase
zwischen Tilger- und Meßrohr befindet sich exakt zwischen diesen beiden Frequenzen.
Wird das Meßrohr in der Simulation auf 50°C erwärmt, oder auf 0°C abgekühlt, so
entfernen sich die beiden Resonanzpeaks. Sie wandern zu den Resonanzfrequenzen der
nicht gekoppelten Rohre. Der Phasensprung wandert mit der Resonanzfrequenz des Meßrohres
mit. Um dieses Verhalten und vor allem den Mechanismus der Kopplung besser zu
verstehen wurden Messungen und Simulationen mit einer feineren Rasterung der Unsymmetrie
wiederholt.
Ein ähnliches Bild ergibt sich, wenn genau derselbe Temperaturbereich in der Simulation
- durchfahren wird (Bild 2.30). Hier sind zusätzlich die Resonanzfrequenzen der nicht
gekoppelten Rohre eingetragen. Sind die Resonanzfrequenzen der nicht gekoppelten Rohre
stark unterschiedlich, so sind gegen- und gleichphasige Resonanz der gekoppelten Rohre
an diese Resonanzen gebunden. Die gegenphasige Resonanz ist gebunden an die tiefere
Resonanzfrequenz, die gleichphasige Resonanz ist gebunden an die höhere Resonanzfrequenz.
Nähern sich die Resonanzfrequenzen der nicht gekoppelten Rohre, so findet bei
Kopplung ein Energieaustausch zwischen den Rohren statt. Die Resonanzfrequenzen im
gekoppelten Fall weichen maximal von den Resonanzfrequenzen im nicht gekoppelten Fall
ab. Der Bereich, in dem dieser Effekt auftritt wird umso größer, je stärker die Kopplung
ist. Die Resonanzfrequenzen von gegen- und gleichphasiger Schwingung nähern sich bis
auf einen Minimalwert von .M= l,7 Hz. Dieser Wert kann nicht unterschritten werden. Er
steigt mit größer werdender Kopplung.

58
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung 59
Frequenz in Hz
274
/
entkoppelter Fall
272
gekoppelter Fall
ll.f
. "l.7Hz
mm
erregt werden kann, wird es als "elektrische Feder" bezeichnet. Im Modell wurde parallel
zur mittleren Kapazität (Cll) eine einstellbare Feder geschalten, so daß in der Simulation
die Resonanzfrequenzen der nicht gekoppelten Rohre nach Veränderungen am Meßrohr
wieder aufeinander abgestimmt werden können. Die Gehäuseschwingung wird dadurch
minimal, und es gelten wieder die gleichen Voraussetzungen wie bei symmetrischen
Rohren.
270
268
266
f(Tilgerrohr) ""'
gegenphasige Resonanz
20.0 22.5 25.0
27.5 30.0
Temperatur in °C
Bild 2.30 simulierte Resonanzfrequenzen der gekoppelten Rohre
32.5
erzwungene Anregung
Es besteht noch eine zweite Möglichkeit bei unsymmetrischen Rohren den Punkt der
minimalen Gehäuseschwingung einzustellen. Denn es zeigt sich;- daß für jede beliebige
Kombination unsymmetrischer Rohre genau eine Anregungsfrequenz existiert, bei der die
Gehäuseschwingung minimal wird. Die Rohre schwingen dann mit derartigen Amplituden,
daß sich die Impulse der Rohre genau kompensieren. Diese Frequenz wird im nächsten
Abschnitt berechnet. In Kapitel 3 .1 wird auf diese Form der Anregung näher eingegangen.
2.2.6 Schwingungsverhalten einer Doppelrohranordnung
Im Betrieb werden die schwingenden Rohre immer zu gegenphasigen Schwingungen
angeregt. Die gleichphasige Schwingung kann Störungen in der Signalverarbeitung verursachen.
Die Resonanzfrequenz der gleichphasigen Schwingung sollte deshalb möglichst
weit entfernt von der Resonanzfrequenz der gegenphasigen Schwingung liegen. Dies kann
durch eine starke Kopplung der Rohre erreicht werden.
2.2.5 Abstimmung des Tilgerrohres
elektrische Feder
Die Kompensation der Schwingung des Meßrohres durch das Tilgerrohr funktioniert nur,
wenn beide Rohre dieselbe Resonanzfrequenz aufweisen. Dies ist im allgemeinen nicht
der Fall, denn im Meßrohr können sich Stoffe .unterschiedlicher Dichte befinden, bzw. es
kann durch temperaturbedingte Verspannungen zu Änderungen der Resonanzfrequenz des
Meßrohres kommen. Dies macht ein Stellglied am Tilgerrohr erforderlich, das ähnlich
einer Feder, die am Tilgerrohr angreift, eine Beeinflussung der Resonanzfrequenz ermöglicht.
Ein solches Bauteil wurde gefunden. Es ist in Kapitel 3 .1 "Mechanischer Autbau"
beschrieben. Da dieses Bauelement wie eine mechanische Feder wirkt, aber elektrisch
Nach den bisherigen Überlegungen besteht die Notwendigkeit ein Tilgerrohr in das Meßsystem
zu integrieren. Die Simulationen zeigen eine eindeutige Verbesserung gegenüber
einem Einrohr-System. Bei dem angestrebten Konzept einer Doppelrohranordnung mit nur
einem durchströmten Rohr ergibt sich gegenüber konventionellen Systemen mit zwei
durchströmten Rohren jedoch ein noch komplexeres Schwingungsverhalten. Für die Realisierung
und den Entwurf von Regelalgorithmen ist es erforderlich, das prinzipielle -V--e-t_
halten der Meßanordnung zu kenn~n .
Das bislang benutzte PSPICE-Modell für die Doppelrohranordnung beschreibt die Schwingungsvorgänge
hinreichend genau. Dieses Modell besitzt jedoch bereits eine zu große
Komplexität, um grundlegende Schwingungsvorgänge zu studieren. Um den Kopplungsmechanismus
zwischen den beiden Rohren besser zu verstehen, wird deswegen die Anordnung
als stark vereinfachter Zwei-Massen-Schwinger modelliert. Die gewonnenen
Erkenntnisse lassen sich dann auf die komplexere Struktur eines Massendurchflußmessers
übertragen.

60
Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
61
Betrachtung als Zwei-Massen-Modell
. d die jeweils über die Stei-
Betrachtet werde eine Anordnung aus zwei Massen m1 un m1,
d
figkeiten k1 und k3, bzw. über die Dämpfer C1 und C3 mit ~inem starren Gestell verbun en
. d Beide Massen sind über die Steifigkeit k1 und den Dampfer C2 verkoppelt
sm.
(s. Bild 2.31).
mit der Impedanzmatrix
Z(w) =
(
Eigenfrequenzen
-w 2 m 1 +(k~ +Tc) +jw(c1 +c2) -jwc2 -kz l
-;wc 2 -k 2 , -w 2 m 2 +(kz +k 3
) +jw(c 2 +c 3
)
Die Eigenfrequenzen ergeben sich als Lösung der Gleichung
det [Z(c.v)] = o .
(2.48)
(2.49)
Durch Lösen des Gleichungssystems werden die Ausdrücke für Xi und .X 2 erhalten:
Bild 2.31
Vereinfachte Beschreibung des Doppelrohrsys~~ms ~urch nur zwei Massen ml
und m2, sowie den Dämpfern ci und den Ste1flgke1ten ki
!J_()
!i()
~(w)F 1
- ~(w)F 2
det(Z(w)]
-~(c.v)F1 +~(w)F2
det(Z(w)]
(2.50)
Differentialgleichung
Die Differentialgleichungen für den Schwinger lauten:
Mit dem Ansatz:
ergibt sich somit das Gleichungssystem:
m1i1 +(c1 +cz)X1 +(k1 +kz)x1 -c2i2-kzx2 = F1
mzxz +(cz +c3).Xz +(kz +k3)xz-C2X1 -k2X1 = F2
"

62 Berechnung und Modellierung
Berechnung und Modellierung
63
Optimaler Betriebspunkt
Das zweite Rohr wird benötigt, um die Schwingung des Meßrohres nach außen hin zu
kompensieren. Da Meß- und Tilgerrohr unterschiedliche Resonanzfrequenzen aufweisen,
ist es erforderlich nach genau definierten Kriterien einen Arbeitspunkt einzustellen, der
möglichst nahe am optimalen Betriebspunkt liegt. Optimaler Betriebspunkt bedeutet minimale
Gehäuseschwingung.
Aus der Impulserhaltung in einem abgeschlossenen System und der Forderung nach minimaler
Gehäuseschwingung folgt die Forderung nach betragsmäßig gleichem, bezüglich der
Phase entgegengesetztem Impuls für Meß- und Tilgerrohr. Denn dann gilt für den Betrag
des auf das Gehäuse übertragenen Impulses:
(2.53)
"2 +k3 k2
C3 --+-
= arctan.--'--_m_2 __ m~1
- m2 "2
m1
(2.57)
Wird die optimale Betriebsfrequenz w 0 P 1 in Gl. 2.57 eingesetzt, so wird unter Vernachlässigung
des Terms c//2m 2
erhalten:
(2.58)
In diese Beziehung kann nun das Verhältnis der beiden komplexen Schwingungsamplituden
eingesetzt werden. Es wird erhalten:
Die Phasenverschiebung A8 kann auch durch die Zeitverschiebung At ausgedrückt werden:
(2 .54)
Hieraus läßt sich die optimale Betriebsfrequenz ermitteln:
(2.55)
Diese optimale Betriebsfrequenz kann nun in den Ausdruck für das Verhältnis der komplexen
Rohrschwingungsamplituden eingesetzt werden:
M = A6 = _c_3_
w
- m2k
m1 2
(2 .59)
Die Zeitverschiebung At zwischen Tilgerrohr- und Meßrohrschwingung ist nurmehr abhängig
von mechanischen Größen und nicht mehr von der Frequenz. Wenn diese Zeitverschiebung
genau dem Wert von Gl. 2.59 entspricht, ist der optimale Betriebspunkt des
Massendurchflußmessers mit unsymmetrischen Rohren erreicht.
(2.56)
Der Term c//2m 2 kann vernachlässigt werden gegenüber kz · m 2 /m 1 • Damit kann die
Phasenlage zwischen Meßrohr und Tilgerrohr ermittelt werden zu:

64
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 65
3. Realisierung des Meßsystems
3.1 mechanischer Aufbau
Hervorragende Korrosionsbeständigkeit weist Tantal auf. Es ist jedoch einer der teuersten
Werkstoffe. Die Dichte von Tantal ist mit 16 600 kg/m 3 sehr hoch. Dies macht die, Geräte
träge und die Dichtemessung ungenau.
3.1.1 Vorüberlegungen
Materialwahl
Materialien für Meßrohre von Coriolis-Massendurchflußmessern unterliegen höchsten
Anforderungen. Verschiedenste Forderungen, die sich zum Teil widersprechen sind zu
berücksichtigen:
Der Meßtechniker interessiert sich für möglichst großen Meßeffekt und minimale
Querempfindlichkeit gegenüber Störgrößen. Meßtechnisch wären Rohre mit geringen
Wandstärken von Vorteil. Er wird zudem einen möglichst kleinen Wärmeausdehnungskoeffizienten
fordern. Dies macht teure Materialien und aufwendige
Fügetechniken erforderlich.
Für den Konstrukteur des Durchflußmessers steht zunächst die Forderung nach
schwingfreudigen, leichten Materialien im Vordergrund. Neben geringem Preis
sollten konventionelle Bearbeitungs- und Fügetechniken möglich sein, um die
Gestehungskosten niedrig zu halten.
Der Anwender wird primär auf eine hohe Korrosionsbeständigkeit und Abrasionsf
estigkeit achten. Für größtmögliche Sicherheit wird er zudem größere Wandstärken
für die Meßrohre fordern. Damit wird die Biege- und Berstfestigkeit der Rohrleitung
größer.
All diese Überlegungen führten zu einer Auswahl an Werkstoffen, die durchgängig bei
allen Anbietern von Massedurchflußmessern zu finden sind. Standardwerkstoffe sind die
preisgünstigen Edelstähle 1.4301, 1.4571, 1.4401 (auch 316), 1.4404 (auch 316L). Für
die meisten Anwendungen in der chemischen und der Nahrungsmittel-Industrie sind diese
Werkstoffe ausreichend korrosionsbeständig. Allerdings kann ein verschwindend geringer
Zusatz von Chlorionen ( ~ 600 ppm) zu einer Verringerung der Lebensdauer um den
Faktor 10 ... 100 führen /Car/ .
Für chemisch aggresive Medien wird deswegen auf Hastelloy zurückgegri~fen. Es besitzt
ähnliche schwingungstechnische Eigenschaften wie Edelstahl, widersteht jedoch säurehaltigen
und aggresiven Medien weitaus besser.
Sehr gut haben sich Titanrohre bewährt. Die schwingungstechnischen Eigenschaften von
Titan sind hervorragend. Es lassen sich mechanische Güten der schwingenden Rohre von
10000 erreichen. Entscheidende Vorteile von Titan sind die geringe Dichte von
4500 kg/m 3 und die dennoch große Biegefestigkeit (E = 1, 1·10 11 N /m 2 ) . Durch den Wärmeausdehnungskoeffizienten
von nur 8, 5 · 10- 6 l/K ist dieses Material prädestiniert für ein
Geradrohrsystem. Titan kann jedoch nur sehr schwierig mit Stahl verbunden werden, so
daß die Fügetechnik für einen damit aufgebauten Durchflußmesser sehr aufwendig wird.
Im Moment wird Titan in den Durchflußmessern der Firmen Krohne sowie Endress &
Hauser verwendet.
Bisweilen sind auch exotische Werkstoffe, wie z. B. Keramik im Gespräch. Obwohl
Keramik von seiner Dichte, seiner Härte und vor allem seines Ausdemmngskoeffizienten
besonders geeignet wäre, scheitert die Verwendung von Keramik an der nur mäßigen
Biegefestigkeit. Keramiken können zwar enorme Druckkräfte aufnehmen, bei Zugkräften
ist jedoch sehr schnell die Belastungsgrenze erreicht.
In der Patentschrift DE 41 19 396 wird ein gerades Meßrohr aus Glaskohlenstoff vqr„
geschlagen. Neben den Vorteilen der Keramikwerkstoffe weist dieses Material zusätzlich
eine hohe Wechselfestigkeit auf. Die Verbindungstechnik ist laut Patentschrift beherrschbar.
Es wurde jedoch noch kein Gerät basierend auf Glaskohlenstoff realisiert, so daß
noch keine Erfahrungen vorliegen.
Das am Lehrstuhl aufgebaute Funktionsmuster eines Einrohr-Durchflußmessers wurde mit
einem Meßrohr aus Edelstahl 1.4301 ausgestattet. Vor allem aus Gründen der überschaubaren
Fertigungs- und Fügetechnik mußte auf Edelstahl ~rückgegriffen werden. Die
Rohre können in einem Vakuumofen durch Hartlöten mit einem Stahlgehäuse verbunden
werden.
Mit dem Funktionsmuster aus Edelstahl konnte die prinzipielle Funktionstüchtigkeit des
neuen Konzepts in einem überschaubaren Temperaturbereich von ca 0°C bis 80°C gezeigt
werden. Für ein industrietaugliches Gerät sind die Materialeigenschaften von Edelstahl
allerdings vollkommen ungeeignet. In der Praxis sind Temperaturbereiche von mindestens
-50„ .200°C gefordert. Hier würden sich Spannungen in den Meßrohren autbauen, die bis

66 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
67
nahe an die Streckgrenze reichen. Sogar plastische Verformungen nur durch Temperatureinwirkung
sind denkbar; Das neu entwickelte Komzept läßt sich aber genauso gut auf
Titan oder andere Werkstoffe übertragen, so daß dann auch größere Temperaturbereiche
abgedeckt werden können.
Einspannung des Meßrohres
Bei der theoretischen Betrachtung des Meßrohres in Kapitel 2.1 wurde die Biegelinie des
Rohres halbanalytisch berechnet. Ausgebend von den Differentialgleichungen wurden
Randbedingungen definiert, für die das Differentialgleichungssystem gelöst wurde. Dabei
wurde schon angedeutet, daß im realen Fall die Randbedingungen eine Kombination der
Randbedingungen von Saiten- und Balkentheorie sind. Die erhaltenen Lösungen hängen
sehr stark von den Randbedingungen ab. So wurde für das Edelstahlrohr für die erste
Eigenform eine Eigenfrequenz von 122 Hz bei Saitentheorie und 276 Hz bei Balkentheorie
ermittelt. Wenn die Randbedingungen derart stark in das Schwingungsverhalten des
Meßrohres eingehen, dann müssen auch geringste Veränderungen in der Einspannung des
Meßrohres die Genauigkeit stark beeinflussen. Denn die Art der Einspannung legt die
Randbedingungen fest. Der Meßrohreinspannung kommt somit eine entscheidende Bedeutung
zu.
Die Meßrohre werden üblicherweise in Bohrungen im Gehäuse eingelötet. Der Übergang
vom Meßrohr zum Gestell erfolgt somit abrupt. Eine derartige Einspannung wurde im
folgenden mit dem FEM-Programm ANSYS simuliert. Bild 3.1 zeigt die Spannungsverteilung
in einem derart montierten Meßrohr. Auffällig ist die hohe Kerbwirkung im Bereich
kurz vor der Einspannung. Auch andere Autoren bestätigen diese Spannungsverteilung
/Car/. Die Kerbwirkung widerspricht der Forderung nach spannungsarmem Aufbau.
Die Geometrie der Einspannung kann jedoch hinsichtlich der Materialbelastung deutlich
optimiert werden. Nach einigen Optimierungsläufen wurde die in Bild 3.2 skizzierte
Geometrie gefunden.
Meßrohr
Bild 3.2 optimiertes Profil der Einspannung
Einspannung
'Betrachtet man wieder die Spannungsverteilung, so ist eine flächigere Verteilung der
Biegelast zu erkennen. Das Spannungsmaximum kann dabei sogar gezielt in die Einspannung
verlagert werden.
Bild 3.1
Spannungsverteilung im Meßrohr; dargestellt ist eine frei schwingende Rohrhälfte
und eine Einspannung

68
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 69
3.1.2 Aufbau des Aufnehmers
Der mechanische Aufbau des Durchflußmeßaufnehmers sollte so einfach wie möglich
sein. Zwei Rohre müssen parallel zueinander in einem massiven Block montiert sein. Das
Gehäuse wurde deshalb aus einem Rechteckprofil hergestellt, in das eine Aussparung für
die schwingenden Rohre und das Erregersystem gefräst wurde. Die Rohre werden einfach
durch beidseitige Bohrungen eingeschoben. Das Gehäuseoberteil wird mit acht
MS Schrauben montiert. Nach dem Aufbringen von Lötpaste wird die ganze Vorrichtung
im Vakuumofen hartgelötet. Damit ist die Grundkonstruktion des Durchflußmessers bereits
fertig. Bild 3.4 zeigt die beiden Gehäuseteile vor der Montage der Rohre und der
Sensoren.
Bild 3.3 Spannungsverlauf der optimierten Einspannung
Die oben dargestellte Profilform wurde auch unter dem Gesichtspunkt einer einfacheren
. Fügetechnik angestrebt. Denn wo sich Spannungen gleichmäßiger verteilen, werden an die
Verbindung gerin!;ere Anforderungen gestellt.
Ein Durchflußmesser mit einer derartigen Profilform der Einspaimµng wurde auf gebaut.
Für die Nµllpunktstabilität W4n:len allerdings weitaus schlec4tere Werte erhalten, als für
die Geräte mit einer einfachen pinspannung nach Bil~ 3.1. Der Grund für diesen Effekt
liegt in den Randbedingungen. In dem Falle, in dem sich die Biegespannungen flächig
verteilen, genügen kleinste Veränderungen in der Verbindungsstelle, um die Spannungsverteilung
und damit auch die Randbedingungen signifikant zu ändern. Bei der einfachen
Profilform hingegen ist das Spannungsmaximum derart konzentriert an einem Punkt kurz
vor der Einspannung, daß Veränden'.ingen in der Einspannung an diesem Spannungsmaximum
nur sehr wenig ändern. Die Randbedingungen des schwingenden Rohres bleiben
annähernd konstant.
Hier treffen also zwei gegensätzliche Forderungen aufeinander. Um Materialermüdung
vorzubeugen, sollte der Übergang von Meßrohr zu Gehäuse mögli~hst fließend sein; für
einen möglichst stabilen Nullpunkt sollte der Übergang allerdings möglichst abrupt sein.
Der im weiteren beschriebene Coriolis-Massendurchflußmesser wurde mit der abrupten
Einspannung gemäß Bild 3.1 ausgestattet.
Gehäuseoberteil
Gehäuseunterteil
Bild 3.4 die beiden Gehäusehälften für den Durchflußmesser
Bild 3.5 zeigt die Innenansicht des Durchflußmess~rs nach Montage der Rohre und des
Erregersystems. Die Kopplung der Rohre geschieht über die Einspannung am Gehäuse.
Angetrieben wird das Tilgerrohr. Nur das Meßrohr wird vom Fluid durchströmt. An
diesem Rohr werden die Sensoren zur Abnahme der Rohrschwingung angebracht.
3.1.3 Erregersystem
Anregung des Tilgerrohres
Für das Erregersystem kommt das elektromagnetische und das elektrodynamische Prinzip
in Frage. Ein elektrodynamischer Geber mit seinem Permanentmagneten und seiner
Tauchspule kann Kräfte in zwei Wirkungsrichtungen erzeugen. Zur Anregung des Tilgerrohres
kann er einfach mit einem sinusförmigen Wechselstrom angesteuert werden. Der

70
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 71
Weicheisenhülse
Tilgerrohr
Erregersystem
Bohrungen für Sensoren
Bild 3.5 Innenansicht des Durchflußmessers mit Rohren und Erregersystem
...
net werden aus der Energie des magnetischen Feldes:
E = ~f HBdV = ~f HBAds (3.1)
Mit dem Ohmschen Gesetz des magnetischen Kreises /Men/:
(3 .2)
(mit der Wicklungszahl N, dem Strom 1 und dem magnetischen Widerstand R.n), läßt sich
die Kraft auf den Anker berechnen zu:
F = 2·dE = 2·l:_HBA
(3 .3)
m ds 2
Übertragungsfaktor (mit der Einheit N / A) ist bei optimaler Auslegung des Systems kaum
von der Auslenkung abhängig, so daß dieser Gebertyp wenig Nichtlinearitäten erzeugt.
Zur Realisierung muß jedoch entweder die Spule oder der Magnet auf dem Tilgerrohr
montiert werden. Beides ist ungünstig. Deswegen wurde ein elektromagnetischer Geber
aufgebaut.
Mit dem magnetischen Widerstand Rm:
(mit der Länge der Feldlinien 1), folgt damit für die Kraft Fm:
(3.4)
Bild 3.6 prinzipieller Aufbau des Erregersystems
Meßrohr
lt==
magnetische Feldlinien
Der elektromagnetische Geber besitzt einen sehr einfachen Aufbau (s. Bild 3.6). Denn
hier kann Spule und Eisenkern fest verbunden sein. Als bewegliches Gegenstück wird nur
ein weichmagnetischer Anker benötigt. Dieser kann leicht in Form einer weichmagnetischen
Hülse auf das Tilgerrohr aufgebracht werden. Zu beiden Seiten dieser Hülse befinden
sich zwei Magnetsysteme. Wird die Spule eines dieser Magnetsysteme von einem
Strom durchflossen, so entsteht eine Anziehungskraft auf den Anker. Diese kann berech-
Um einen möglichst großen Wirkungsgrad zu erreichen, versucht man den magnetischen
(3.5)
Widerstand im Eisen möglichst gering zu halten. Dies kann durch hochpermeable Magnetwerkstoffe
erreicht werden. Dann gilt für den magnetischen Widerstand im Eisen, verglichen
mit dem magnetischen Widerstand in Luft:
SEk
SÄ
---+--- (3.6)
µOµrAEk µoµrAA
und die Anziehungskraft Fm kann näherungsweise berechnet werden aus:
Es können nur Anziehungskräfte erzeugt werden. Um das Rohr in beide Richtungen
(3.7)

72 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 73
auszulenken, müssen die Systeme zu beiden Seiten des Rohres unterschiedlich angesteuert
werden.
Bild 3.7 zeigt die Anregeschaltung und ihre Verbindung zu den schwingenden Rohren.
Zum Antrieb des Tilgerrohres wird eine Oszillatoranordnung auf gebaut, mit den beiden
gekoppelten Rohren als frequenzbestimmende Elemente. Dazu wird am Meßrohr die
Schwingung abgenommen und der Anregungsschaltung zugeführt. Zuvor wird die Phase
des Meßrohrsignals um 180° gedreht, da die Rohre gegenphasig schwingen sollen. Zur
optimalen Energieübertragung muß die Anregungskraft jeweils im Nulldurchgang der
Rohrschwingung maximal werden. Dies gewährleistet der 90° Phasenschieber. Mit einem
VCA (voltage controlled amplifier) kann das Anregesignal so beeinflusst werden, daß das
Meßrohr mit der eingestellten Sollamplitude schwingt. Da jedes Magnetsystem nur Zugkräfte
erzeugen kann, wird über Gleichrichter einem System nur die positive, dem anderen
System nur die negative Halbwelle zugeführt.
Kräfte der beiden Magnetsysteme eine resultierende Kraft FR auf das Rohr:
(3.8)
Die Größe s 0 entspricht dem Luftspalt bei nicht ausgelenktem Rohr. Bild 3.8 zeigt diese
Weg-Kraft-Kennlinie für zwei gleichzeitig vom GleiChstrom 1= 0,1 A durchflossene Erregersysteme.
Diese Kennlinie FR=FR(x) kann um den Arbeitspunkt linearisiert werden:
Kraft in N
Kennlinie
0,1
0,05
Linearisierung
-0,05
90°
T
Endstufen
Erregersystem
-0,1
-200 -100 0 100 200
Auslenkung in µm
Bild 3.8 Kennlinie der "elektrischen" Feder
180°
Meßrohr
Bild 3.7 Anregung und Amplitudenregelung des Tilgerrohres
Elektrische Feder
Die Überlegungen im Kapitel "Modellierung" fordern eine Stellglied zur Manipulation der
Resonanzfrequenz des Tilgerrohres. Wie kann ein derartiges Stellglied aussehen Dazu
wird im folgenden Abschnitt die Kraft-Weg-Kennlinie des Erregersystemes betrachtet.
Die beiden Spulen sollen dabei von dem Gleichstrom 1 durchflossen werden. Sind die
Systeme wie in Bild 3.6 gezeigt angeordnet, so ergibt sich aus der Summe der beiden
(3 .9)
Diese Beziehung ist gleichbedeutend mit der Kennlinie einer mechanischen Feder. Allerdings
mit dem Unterschied einer negativen Federkonstante, da das Magnetsystem nur
Zugkräfte erzeugen kann. Aus dem obigen Diagramm kann die Federkonstante zu etwa -
500 N/m bestimmt werden. Da der Erregerstrom quadratisch eingeht, können auch höhere
Federkonstanten erreicht werden. Mit einem Strom von 1 A sind beispielsweise schon
Federkonstanten von -50 000 N/m möglich.
Aus einer überschlägigen Abschätzung kann die Steifigkeit des Rohres ermittelt werden:
Wird das Rohr als Punktmasse betrachtet, die an einer Steifigkeit aufgehängt ist, so ergibt
sich bei einer Rohrmasse von 60 g und einer Resonanzfrequenz von 270 Hz eine Steifigkeit
von etwa 170 000 N/m. Man kann also mit der elektrischen Feder die Größenordnung
der Rohrsteifigkeit erreichen und damit die Resonanzfrequenz entscheidend beein-

74
flussen.
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 75
unvermeidliche ohmsche Widerstände wird aber auch sehr viel Wirkleistung umgesetzt.
Mit dem aufgebauten System konnte bei einem Gleichstrom von bis zu 400 mA eine Verschiebung
der Resonanzfrequenz des Tilgerrohres von ± 10 Hz erreicht werden. Dieser
Wert könnte durch ein entsprechend optimiertes Erregersystem noch deutlich gesteigert
werden. Dazu muß das Verhältnis des magnetischen Widerstandes im Luftspalt bezüglich
des magnetischen Widerstandes in Eisen möglichst groß werden. Die Breite des Luftspaltes
geht wie der Strom quadratisch in die Kraft-Weg-Kennlinie ein. Bei kleineren Schwingungsamplituden
kann dementsprechend der Luftspalt verringert werden. Bei Titanrohren
sind die Schwingungsamplituden bei gleichem Meßeffekt beispielsweise etwa um den
Faktor 10 geringer.
Das Erregersystem, das zunächst für den Antrieb des Tilgerrohres ausgelegt wurde, wird
durch eine zusätzliche Ansteuerung mit einem Gleichstrom auch zu einem Element mit
Federwirkung und damit zur gesuchten elektrischen Feder. In ersten Versuchen wurde für
die beiden Funktionen Antrieb und elektrische Feder jeweils ein System am Rohr angebracht.
Es gelingt jedoch beide Funktionen in nur einem Element zu vereinen. Dazu wird
das Erregersystem nicht nur mit dem für die Anregung erforderlichen Wechselstrom,
sondern zusätzlich mit einem Gleichstrom für die Abstimmung des Tilgerrohres angesteuert.
Bild 3.9 zeigt einen Ausschnitt aus der Anregeschaltung von Bild 3.7 mit den notwendigen
Veränderungen.
vom VCA
Bild 3.9
~
Gleichstrom für
die Federwirkung
zur Beeinflussung der Resonanzfrequenz des Tilgerrohres wird zusätzlich zur
Anregung noch ein Gleichstrom L eingespeist
Theoretisch wird bei der Verstimmung des Tilgerrohres nur Blindleistung umgesetzt.
Denn es handelt sich hier um eine Energie, die einmal in Form potentieller Energie im
Tilgerrohr und einmal in Form magnetischer Energie im Magnetsystem vorliegt. Durch
Erzwungene Schwingung
Bei der Beaufschlagung der beiden Systeme mit Gleichstrom arbeiten die beiden Systeme
gegeneinander. Dadurch wird in erheblichem Maße Wirkleistung umgesetzt, die nicht zur
Federwirkung beiträgt. Der Leistungsbedarf kann erheblich gesenkt werden, wenn immer
nur das System angesteuert wird, auf das sich das Rohr gerade zubewegt. Dazu muß die
Rohrschwingung gemessen und in ein Rechtecksignal umgeformt werden. Wird dieses
Rechtecksignal ähnlich dem Anregesignal nach positiver und negativer Halbwelle getrennt
und statt des Gleichstromes auf die beiden Magnetsysteme geschalten, so ist immer nur
ein Magnetsystem aktiv. Das Rechtecksignal muß exakt in Phase mit der Rohrschwingung
sein, damit ausschließlich die Federwirkung erzeugt wird. Ist das Rechtecksignal orthogonal
zur Rohrschwingung, so ist die Federwirkung gleich Null, man erhält jedoch ein
maximales Anregesignal für die Rohrschwingung.
Die Phasenlage des Rechtecksignales entscheidet also darüber, ob die Resonanzfrequenz
des Tilgerrohres beeinflusst wird, oder das Tilgerrohr zu Schwingungen angeregt wird.
Diesen Effekt kann man sich zunutze machen, indem die Phasenlage des Rechtecksignales
so eingestellt wird, daß sich die gewünschte Federwirkung und das gewünschte Anregesignal
ergibt. Federwirkung und Antrieb werden somit nicht nur mit einem einzigen Erregersystem,
sondern auch mit nur einer einzigen Ansteuerelektronik realisiert.
Da zur Verstimmung des Tilgerrohres deutlich mehr Leistung als zur Anregung erforderlich
ist, muß die Phasenlage allerdings sehr präzise geregelt werden, da sonst eine sehr
instabile Anregung erfolgt. Bild 3.10 zeigt die nach diesem Prinzip arbeitende Rohranregung.
Mit Pfeilen sind die beiden neu hinzugekommenen Komponenten gekennzeichnet.
Beim Betrieb des Erregersystems mit Gleichstrom und Wechselstrom war die Unterscheidung
zwiscfien Federwirkung und Antrieb noch eindeutig und offensichtlich. Dies ist bei
diesem Konzept nicht mehr der Fall. Hier wird das Erregersystem mit einem Rechtecksignal
einer bestimmten Frequenz und einer bestimmten Phasenlage gespeist. Zur Erklärung
der Wirkungsweise wurden die Komponenten in Phase zur Rohrschwingung und orthogonal
zur Rohrschwingung herangezogen. Wird diese Betrachtung außer acht gelassen und
nur die Frequenz des Anregesignales betrachtet, handelt es sich einfach um eine Anregung
des Tilgerrohres außer Resonanz, also um eine erzwungene Schwingung. Man könnte
die gleiche Wirkung am Tilgerrohr erzeugen, wenn das Rechtecksignal aus einem
Funktionsgenerator zugeführt wird, und eine Amplitudenregelung die Amplitude der

76
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 77
schwingenden Rohre unterscheiden. Der Differenzbetrag der potentiellen Energien der
beiden Rohre muß vom Magnetsystem aufgebracht werden. Genau dies geschieht in dem
in dieser Arbeit auf gebauten Massendurchflußmesser.
3.1.4 Regelung des Tilgerrohrantriebs
Phasenschieber
=5°„.75°
Bild 3.10
Komparator
erzwungene Schwingung des Tilgerrohres; die Schaltung aus Bild 3. 7 wurde
um den Phasenschieber und den Komparator erweitert
Rohrschwingung kontrolliert. Eine entsprechende Schaltung wurde aufgebaut. Sie führte
zu identischen Ergebnissen.
Die oben angestellten Überlegungen führen zu einer interessanten und wichtigen Erkenntnis.
Zwei vom Ansatz her vollkommen unterschiedliche Konzepte, die Beeinflussung der
Resonanzfrequenz des Tilgerrohres durch einen Gleichstrom in der elektrischen Feder,
und die erzwungene Schwingung des Tilgerrohres, basieren auf identischen Effekten. Sie
stellen nur verschiedene Betrachtungsweisen desselben Sachverhalts dar. Die Manipulation
des Tilgerrohres geschieht jeweils durch ein Pendeln von Energie. Kinetische Energie des
schwingenden Rohres wird umgewandelt in magnetische Energie im Erregersystem. Bei
der elektrischen Feder geschieht dieses Pendeln automatisch: durch die Rohrschwingung
ändert sich die Breite des Luftspaltes und damit die Energie im Magnetsystem. Wird die
Resonanzfrequenz des schwingenden Rohres durch die Wirkung der Feder um einen
bestimmten Wert verschoben, so muß bei einer erzwungenen Schwingung des Rohres bei
dieser Frequenz exakt die gleiche magnetische Energie im Erregersystem aufgebaut werden,
wie im Falle der elektrischen Feder.
Hieraus ergibt sich eine wesentliche Erkenntnis für den Betrieb eines Massendurchflußmessers
mit zwei unsymmetrischen Rohren: um ein Verhalten zu erreichen, das einem
Massendurchflußmesser mit zwei symmetrischen Rohren entspricht, ist an einem Rohr ein
Magnetsystem erforderlich, das den Betrag an Energie "bindet" um den sich die beiden
Bislang wurden die Eingriffsmöglichkeiten zur Manipulation des Tilgerrohres beschrieben.
Dies sind zum einen der veränderliche Gleichstrom, zum anderen der veränderliche
Phasenschieber im Falle der erzwungenen Schwingung. Diese Größen müssen auf einen
bestimmten Wert geregelt werden, der genau definierte Kriterien erfüllen muß.
Das Ziel besteht darin, die Schwingung des Gehäuses minimal zu halten. Dieser Betriebspunkt
muß erkannt werden. Im Kapitel "Simulation", Bild 2.26 ist dieser Betriebspunkt
dargestellt. Es ist ein Betriebspunkt, an dem die Phasenlage A8 zwischen Tilgerrohr und
Meßrohr genau 183° beträgt. Im gleichen Kapitel, im Abschnitt 2.2.5 "Schwingungsverhalten
einer Doppelrohranordnung" wurde diese Phase berechnet.
Im Idealfall muß für diese Aufgabe kein zusätzlicher Sensor vorgesehen werden. Zwei
Schwingungsaufnehmer am Meßrohr sind bereits vorhanden, um den Massendurchfluß zu
bestimmen. Ein Schwingungsaufnehmer am Tilgerrohr ist zwar nicht umbedingt erforderlich,
aber dennoch sinnvoll, um eine Kontrolle über die Tilgerrohrschwingung zu haben.
Aus diesem Grund wurden die Signale der Schwingungsgeber von Meßrohr und Tilgerrohr
ausgewertet, um eine Information über den optimalen Betriebspunkt zu erhalten.
Dazu dient die Schaltung nach Bild 3.11. Die Signale der Schwingunggeber von Meßrohr
und Tilgerrohr werden zunächst in Rechtecksignale umgewandelt. Ein Signal wird um die
Laufzeit topt verzögert. Mit dieser Zeitverzögerung wird der Punkt minimaler Gehäuseschwingung
eingestellt. Die Auswertung dieser Signale geschieht ganz einfach mittels eines
D-Flipflops. Dessen Ausgang "Q" geht dann auf "High", wenn der Nulldurchgang des
Meßrohrsignales nach dem Nulldurchgang des verzögerten Tilgerrohrsignales erfolgt.
Anderenfalls geht der Ausgang auf "Low". Dieses durch das Rauschen statistische. Signal
wird anschließend geglättet und dient direkt zur Ansteuerung der entsprechenden, das
Tilgerrohr beeinflussenden Komponenten, also der "elektrischen" Feder oder dem steuerbaren
Phasenschieber aus Bild 3.10.
Bei der folgenden Messung Bild 3.12 wurde die Phasenlage A8 zwischen Tilgerrohr und
Meßrohr über 6 Stunden aufgezeichnet. Durch die Regelung gelingt es, den Arbeitspunkt
ausreichend stabil zu halten. Beim Autbau weicht der Phasenwinkel etwas von den 183 °
aus der Simulation ab (A8 8
em=183,5°), stimmt aber dennoch recht gut mit den simulier-

78
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 79
Schwingungssignal
Tilgerrohr
Verzögerungsglied
Flüssigkeit im Meßrohr wirkt sich aus. Die Untersuchungen zeigten jedoch, daß für übliche
Werte der Dichte und der Dämpfung des Meßstoffes eine nur unwesentlich stärkere
Gehäuseschwingung resultiert. In Kapitel 4 "Eigenschaften des Meßsystems" sind derartige
Messungen aufgezeigt.
3.1.5 Messung der Gehäuseschwingung mit einem Beschleunigungssensor
Schwingungssignal
Meßrohr
Bild 3.11
ten Werten überein.
Phase fl.q>
Phasendetektor zur Regelung der Tilgerrohrschwingung
Um den Erfolg der Vibrationskompensation zu überprüfen, wurde am Gehäuse in der
Ebene der Rohrschwingung ein piezoelektrischer Beschleunigungsaufnehmer montiert.
Zwei Messungen wurden durchgeführt. Einmal schwingen beide Rohre gleichphasig.
Bild 3.13 zeigt die Meßrohrschwingung und darunter die Schwingung des Gehäuses.
Beide Kurven sind normiert, da die absoluten Amplituden keine Rolle spielen.
ll (\ [\ [\ [\ [\ /
-~ ~ VV V V V V
Meßrohrschwingung, normiert
185°
184°
Gehäuseschwingung, normiert
2
Zeit
183°
182°
Bild 3.13
O -t--r--;-~r-~-t-----.r---~1----t~---1~-+~--+~-+-~--+-~~-
-l
Zeit
Gehäuseschwingung ohne Kompensation; beide Rohre schwingen gleichphasig
0 2 4 Stunden 6
Bild 3.12 Phasenlage A9 gemessen über 6 Stunden
Die Phasenlage A9 zwischen den beiden Rohren ist eine einfache Möglichkeit einen
Arbeitspunkt mit minimaler Gehäuseschwingung eizustellen. Leider ist dieser Winkel
keine invariante Größe. Wie die Berechnung zeigte, gehen in A9 die Dichte des Stoffes
im Meßrohr und die Koppelsteifigkeit zwischen den Rohren ein. Auch die Dämpfung der
Bei der nächsten Messung schwingen die Rohre gegenphasig. Das Gerät befindet sich in
seinem normalen Betriebszustand. Die Regelung des Tilgerrohres arbeitet.
Die Vibration des Gehäuses ist stark unterdrückt. Die Schwingung ist etwa um den Faktor
30 kleiner. Auch das deckt sich mit den Simulationen und Berechnungen aus Abschnitt
2.2.4. Bei der Simulation ergab sich ein Phasenwinkel A9=183 °, der zu einer Verringerung
der Gehäuseschwingung um den Faktor 38 führte. Der tatsächliche Phasenwinkel
A9gem beträgt nun etwa 183,5°. Rechnerisch ergibt sich damit eine Verringerung der

Sö
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
81
Meßrohrschwingung, normiert
Ü-+--

82
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
83
3.2 Sensorik
3.2.1 Messung der Rohrschwingung
Optischer Sensor
Für den Durchflußmesser wurden verschiedene Sensorprinzipien untersucht. So wurden
kapazitive, magnetische, optische, elektrodynamische, elektromagnetische Aufnehmer
aufgebaut und getestet /Drall. Jedes dieser Aufnehmerprinzipien hat Vor- und Nachteile.
So ist der kapazitive Aufnehmer zwar sehr leicht und rückwirkungsarm, das Ausgangssignal
aber auch sehr hochohmig und damit störanfällig. Der elektromagnetische Aufnehmer
liefert sehr hohe Ausgangsspannungen, aber auch sehr viele Oberwellen.
Speziell für den Einsatz in einem Coriolis-Massendurchflußmesser müssen folgende Kriterien
erfüllt werden: Die Bandbreite muß extrem hoch sein, damit Phasenverzerrungen
nicht zu groß werden. Die Empfindlichkeit muß groß sein, um die geringen Schwingungsamplituden
des Meßrohres detektieren zu können. Die Linearität sollte gut sein, damit
Oberwellen nicht erst durch aufwendige Signalverarbeitung ausgefiltert werden müssen.
Die Wahl fiel auf einen optischen Wegsensor. Bei diesem konnte eine gute Linearität,
eine große Empfindlichkeit, eine hohe Bandbreite und ein großes Signal/Rausch-Verhältnis
erreicht werden.
Die Lichtschrankenanordnung,
die zunächst realisiert wurde,
zeigt Bild 3.15. Es handelt
sich um eine mechanisch
äußerst einfache, unkritisch zu
justierende Vorrichtung.
Leucht- und Photodiode wurden
jeweils exzentrisch in
runde Halterungen eingesetzt,
LED
Streuung
Bild 3.15 Lichtschrankenanordnung
Photodiode
so daß die Justage durch einfaches
Drehen der Halterungen erfolgt. Als Blende wird direkt das Meßrohr verwendet.
Mit dieser Lichtschranke konnten gute Ergebnisse erzielt werden. Durch die fehlende
Optik und die lange Wegstrecke zwischen Leucht- und Photodiode ist die Bündelung des
Lichtes jedoch unbefriedigend.
Deswegen wurde auf neue Sensoren übergegangen,
die nach dem gleichen Prinzip arbeiten,
aber mechanisch und elektrisch deutlich robuster
sind (Bild 3.16). Hier sind Leucht- und Photodiode
in einem elektrisch leitenden Gehäuse
untergebracht. Dadurch werden Einstreuungen
auf ein Minimum verringert. Das Licht wird
über Saphirstäbe ausgekoppelt. Dadurch kann
das Licht unmittelbar am Chip der Leuchtdiode
ein- bzw. an der Photodiode ausgekoppelt werden.
Durch die Totalreflexion an den 45 ° Anschliffen
an jedem Saphirstab wird das Licht
LED
Bild 3.16 verbesserter Sensor
umgelenkt und über die Blende geführt. Die Lichtverteilung ist durch die Lichtleiterführung
annähernd homogen. Die Rohrschwingung wird dadurch sehr sauber abgetastet. Im
Spektrum finden sich weniger Oberwellen. Bild 3.18 zeigt ein mit diesem Aufnehmer
aufgenommenes Spektrum. Es wurden insgesamt 16 384 Punkte abgetastet.
Die Blende wurde aus einem Stück
Rasierklinge gefertigt. Man erhält
somit ohne großen Aufwand eine
scharfkantige Blende aus einem sehr
harten, stabilen Material. Bild 3.17
zeigt diese Blende. Sie wurde seitlich
am Meßrohr aufgeklebt.
Photostromverstärker
Schneide
A
:,(. 4mm
Bild 3.17 Ausführung der Blende
Einen Stromverstärker für Photodioden in der typischen Beschaltung zeigt Bild 3.19.
Die Verstärkung läßt sich für einen idealen OP angeben zu:
(3.10)
Der Widerstand Rg kann also je nach gewünschtem Spannungshub dimensioniert werden.
Im Prinzip könnte natürlich auch der Spannungsabfall, den der Photostrom über einem
Widerstand der Größe Rg erzeugt direkt als Spannung verstärkt werden. Dadurch liegt
jedoch die Diodenkapazität an dieser Spannung. Die Grenzfrequenz der Schaltung wäre

84
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 85
u(f)
-2
10
V[Hz
f = 265 Hz
Spannungsfehlersignal U/k. Parallel zur Diode erscheint nur noch der Widerstand Rg/k.
Für einen OP mit idealem Eingang hätte sich die Bandbreite um den Verstärkungsfaktor k
erhöht. Dies gilt aber nur näherungsweise, da jetzt der Diode noch die Eingangskapazität
Cid des Operationsverstärkers parallel liegt. Die neue Grenzfrequenz ergibt sich zu:
(3.12)
Die Grenzfrequenz ist dernriach umso höher, je größer das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt
fc (und damit k) und je kleiner die Eingangskapazität Cin ist. Die Größe fJCin stellt
deswegen ein brauchbares Kriterium zpr Beurteilung von Operationsverstärkern für diese
Anwendung dar.
Bild 3.18 Spektrum des optischen Sensors; es wurden 16 384 Punkte aufgenommen
Die oben dargestellte Schaltung ist nicht stabil, wie eine kurze Analyse beweist.
Ein Operationsverstärker kann bis ih den Bereich seiner Grenzfrequenz durch zwei Polstellen
beschrieben werden. Die erste Polstelle bei w = l/T 0 ist die Grenzfrequenz der
"open-loop-gain", der Verstärkung des nicht rückgekoppelten Operationsverstärkers. Die
zweite Polstelle liegt bei der Frequenz wc = 1/T c, der Frequenz-bei der die Verstärkung
nyrmehr eins beträgt ("unity gain bandwidth"). Im .Ä.mplituden- und Phasengang eines
OPs ist dies verdeutlicht (Bild 3.20).
Damit ergibt sich für die Schaltung das Ersatzschaltbild aus Bild 3.20a.
Photodiode
Bild 3.19 einfacher Verstärker für den PhotodiodeP$tr-oqi In
l+pT~
dann:
(3.11)
Eine typische Grenzfrequenz im Bereich 100„.20Q kH~ wär~ die Folge. Verwendet man
dagegen den Strom/Spannungsverstärker, so führt der Photostrom ~war auch zu einem
Spannungsabfall über Rg, und damit zu gleicher Empfindlichkeit, gleichzeitig wird aber
die Diodenkapazität von der Ausgangsspannung entkoppelt. An der Photodiode liegt jetzt
nur noch aufgrund der nicht unendlich großen Verstärkung des Operationsverstärkers das
Bild 3.20a Ersatzschaltbild des Stromverstärkers
Zi wird dabei vorn Rückkopplungswiderstand Rv Z 1 aus der Parallelschaltung von Diodenkapazität
C 0 , Eingangskapazität des Operationsverstärkers Cid und Parallelwiderstand
der Photodiode R 0 gebildet. Mit der rückgekoppelten Spannung UR ergibt sich die Übertragungsfunktion
zu:

86
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 87
Bild 3.20
Verstärkung
80 Phase
dB
Phase in Grad
40 open loop gain -120
0
'IN
. . ,, _________ __ __________.///
--- - ----- --~-1-~~ --~~-- -~ --- ---
100 10 k lM Hz lOOM
-90
-180
Amplituden- und Phasengang eines Operationsverstärkers (AD 843); eingezeichnet
ist auch der "Noise gain" für die Beschaltung nach Bild 3.18
1 1 z.
(3.13)
-v·~~-·~~-·~~-
1 + T 0
p 1 + Tcp Z 1 + Z 2
Durch den Spannungsteiler Z 1
, Z 2 wird eine zusätzliche Pol-/Nullstelle eingeführt:
näherungsweise gilt:
(3.15)
Die Schwingbedingung ist erfüllt für U A/UR = 1, d.h.
(3.16)
Der Verstärker wird also mit einer Frequenz schwingen, die sich aus dem geometrischen
Mittelwert von Verstärkungs-Bandbreite-Produkt l!Tc des Operationsverstärkers und der
Grenzfrequenz des Netzwerkes gebildet aus Rg und C 1 ergibt. An dieser Stelle ergibt sich
für die Verstärkung des geschlossenen Kreises gerade eins. Graphisch ist dies der Schnittpunkt
der Kurven für "Open loop Gain" und "Noise Gain" (s. Bild 3.20). "Noise gain"
ist die durch die Beschaltung des OP bestimmte Verstärkung für eine am positiven Eingang
anliegende Ersatzrauschquelle. Auch die Phasenbedingung ist aufgrund des Schnittwinkels
der beiden Geraden mit 40 dB/Okt. erfüllt. Der Verstärker würde damit schwingen.
Stabilität ist nur zu erreichen durch Einbau einer zusätzlichen Polstelle. Sie muß so liegen,
daß sich "Open loop Gain" und "Noise Gain" nicht mit 40 dB/Dek., sondern nurmehr
mit 20 dB/Dek. schneiden. Dies führt zu 45 ° mehr Phasenrand und damit zu Stabilität.
Die Polstelle wird realisiert durch einen Kondensator parallel zu Rg.
Der Verstärkungsfaktor ist dann:
1 1 1 + Tp Rt
-v·~~-·~~-·~~-·~~-
1 + T 0
p 1 + Tcp 1 + Tvp R 1 + Rg
(3.14)
(3.17)
Die maximale Betriebsfrequenz des Verstärkers liegt somit bei:
Dabei gilt: R 1 > , => R 1 /(R 1 +Rg) :::::: 1;
v/T 0
wc (Unity Gain Bandwidth)
Für Frequenzen w > > 1/T 0
gilt: :::::: Top
Für Frequenzen w > > 1/Rg *C 1 gilt:
(3.18)
Am Lehrstuhl für Elektrische Meßtechnik wurden Versuche mit verschiedensten Operationsverstärkern
durchgeführt. Tabelle 3.1 zeigt die wichtigsten Bausteine mit ihren technischen
Daten:
Desweiteren ist für die Stabilitätsbetrachtung die Polstelle bei wc vernachlässigbar, so daß

88 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 89
Tabelle 3.1 technische Daten der verwendeten OPs
OPA OPA AD AD AD El El
627 637 829 840 843 2243 2423
Rauschdichte (1 kHz) [nV/.JHz] 5,2 5,2 2 4 19 12 7
Eingangsimpedanz [ü] 10'3 10'3 13k 30k 1010 lOM 20k
Eingangskapazität [pF] 5,2 5,2 2 2 6 2 1
Open-loop-gain [dB] 120 120 100 130 90 114 92
± 3,5 V ausgesteuert werden. Das macht eine zweite Verstärkerstufe erforderlich. Für
die zweite Stufe wurde der extrem schnelle AD 844 verwendet. Wie oben bereits erwähnt
besitzt er eine extrem große Slew-Rate, die in der zweiten Stufe voll ausgenutzt werden
kann. Der AD 844 verfügt weiterhin über eine kräftige, niederohmige Ausgangsstufe, die
ihn besonders geeignet macht als Treiber für Analog/Digital-Umsetzer.
Bild 3.21 zeigt die komplette Schaltung für den Photostromverstärker. Für die erste Stufe
wurde der AD 843 ausgewählt. Das Ausgangssignal gelangt direkt in den im nächsten
Abschnitt beschriebenen ADU. Beide Verstärker können durch einen Trimmkondensator
Verst.-Bandbr.-Produkt [MHz] 16 80 500 400 34 70 200
Slew-Rate [V/µ.s] 55 135 230 400 250 90 350
fjCin 3,1 15,4 100 200 5,7 35 200
3,3 p
lOk
3,3 p
Desweiteren wurden noch. Untersuchungen mit Transimpedanz- und Transkonduktanzverstärkem
vorgenommen. Verwendet wurden hier die Typen OPA 660, AD 844 und
EL 400. Sie zeichnen sich aus durch eine extrem hohe Bandbreite bei hohen Verstärkungsfaktoren.
Bei diesen "current-feedback" Operationsverstärkern ist die Bandbreite
annähernd konstant, gleichgültig bei welcher Verstärkung. So erreicht der AD 844 bei der
Verstärkung 1 eine Bandbreite von 60 MHz, bei einer Verstärkung von 10 jedoch immer
noch 33 MHz. Ein konventioneller Operationsverstärker würde hier nurmehr 6 MHz
erreichen. Möglich ist dies durch eine extrem hohe Slew-Rate. Sie beträgt z.B. beim
AD 844 2000 V/µs. Der Eingangswiderstand dieser Verstärker beträgt zum Teil nur 50
Ohm. Da für die Anwendung als Stromverstärker für Photodioden allerdings die
Leistungsbandbreite nicht so ausschlaggebend ist, und somit der Vorteil einer hohen Slew­
Rate nicht ausgeschöpft werden kann, wurden diese Operationsverstärker für die Verstärkung
des Photostromes nicht verwendet.
Sehr hohe Verstärkungs-Bandbreiten-Produkte weisen einige nicht kompensierte Operationsverstärker,
wie der OPA 637 auf. Die hohe Bandbreite und die hohe Slew Rate werden
aber durch einen geringeren Phasenrand erkauft. Bei einer Schleifenverstärkung von
eins arbeitet der OPA 637 bereits instabil. Bei der Anwendung als Photostromverstärker
wäre dann ein größerer Kompensationskondensators C 2 erforderlich. Dies führt dazu, daß
die nutzbare Bandbreite für diesen Operationsverstärker nicht größer ist als für die kompensierte
Type OPA 627 .
Der dem Photostromverstärker nachgeschaltete Analog/Digital-Umsetzer kann bis auf
Photodiode
Bild 3.21 Verstärker für die optischen Sensoren
auf minimale Phasenverschiebung justiert werden. Neben den zwei Verstärkerstufen ist
noch eine Offsetkompensation eingebaut. Dabei ist ein Hochpaß zur Entkopplung der
Gleichspannung wegen seiner zusätzlichen Phasendrehung nicht möglich. Deshalb ist ein
dritter Operationsverstärker als Integrator beschaltet. Dadurch wird im Ausgangssignal
des Photostromverstärkers der Offset beseitigt. Dies ist für die Signalauswertung wichtig.
Bild 3.22 zeigt das Rauschen des zweistufigen Verstärkers. Die Streuung der Rauschspannung
liegt bei etwa 0,5 mV.
Bild 3.23 und Bild 3.24 zeigt den Frequenz- und Phasengang des zweistufigen Verstärkers.

90
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 91
u
Phase in Grad
3
mV
2
-50
-100
Phasenrand
-150
0 10 20ms
Bild 3.22 Rauschen des Verstärkers bei kurzgeschlossenem Eingang
0,1 0,3 1,0 1,3 MHz
Bild 3.24 Phasengang des zweistufigen Verstärkers
VI vo
1,0
0,8
0,6
- 3 dB
Mit dem Verstärker können folgende Ergebnisse erreicht werden:
Eingangsstrom: ca 1 µA
Ausgangsspannung: ca 1 V
Bandbreite: ca 0,9 MHz
SNR:
ca 70 dB
Für die Phasenverzerrung, die der Verstärker verursacht, bedeutet das:
0,4

92 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 93
0,000 02°
0
Alle drei Umsetzer haben hervorragende technische Daten. Nur kann aufgrund dieser
Daten noch keine Entscheidung für oder gegen einen Umsetzer getroffen werden. Dennoch
unterscheidet sich der Umsetzer CS 5336 deutlich von den anderen beiden Typen.
Er arbeitet nach dem .i:iI:-Prinzip. Dieses Umsetzerverfahren bietet für herkömmliche
Anwendungen einige meist nicht so entscheidende Vorteile. Doch gerade für die Massendurchflußmessung,
wo hohe Genauigkeit in der Phase verlangt wird, ist das .i:iI:-Prinzip
vorteilhaft. Denn in diesen Bausteinen ist ein digitales Filter integriert, das eine Verbesserung
des Signal/Rausch-Abstandes der Meßkette ohne zusätzliche Phasenverzerrung
ermöglicht.
-0,000 02°
0 6 12 18 Stunden - 24
Bild 3.25 Phasendifferenz zwischen zwei Verstärkern; aus einer Quelle gespeist
Delta-Sigma Analog/Digital-Umsetzer
Die Meßsignale sollen möglichst schnell digitalisiert werden. Störgrößen, wie Temperatur
oder Alterung können sich damif nur auf der relativen kurzen Strecke zwischen Sensor
und Analog/Digital-Umsetzer auswirken. Der Digitalisierung kommt hierbei natürlich
entscheidende Bedeutung zu, denn was an Meßinformation hier verloren geht, kann nicht
wieder rekonstruiert werden.
Im Verlauf der Arbeiten am Durchflußmesser kamen drei unterschiedliche A/D-Umsetzer
zum Einsatz. In Tabelle 3.2 sind diese Umsetzer kurz mit ihren wichtigsten Daten vorgestellt.
Tabelle 3.2 technische Daten der getesteten ADUs
Prinzip Auflösung max f. Eingang Acp Linearität
Crystal CS 5101 sukz. 16 bit 100 kHz ± 4,5 V 0,000 01° 0,002 %
Approx.
Burr Brown DSP 102 sukz. 16(18) bit 200 kHz ± 2,75 V 0,000 01° 0,003 %
Approx.
Crystal CS 5336 AE 16 bit 50 kHz ± 3,5 V 0,000 1° 0,001 %
.i:iI:-A/D-Umsetzer sind erst seit einigen Jahren auf dem Markt. Sie bestehen aus zwei
Komponenten. Zum einen dem .i:iI:-Modulator, der eine analoge Baugruppe darstellt, und
zum anderen dem digitalen Filter. In der Vergangenheit war es noch nicht möglich die
Präzision analoger Baugruppen mit der Komplexität digitaler Schaltungen zu verbinden.
Gerade die klassischen Hersteller analoger Präzisionsbauelemente verfügen oft nicht über
die µm-Technik, die für die Herstellung komplexer, digitaler Filter erforderlich ist. Deshalb
können nur einige Firmen .i:iI:-A/D-Umsetzer anbieten.
Der Modulatorblock reagiert zudem äußerst empfindlich auf hochfrequente Störsignale,
wie sie im digitalen Teil des .i:iI:-ADU auftreten. Deshalb sind im .i:iI:-A/D-Umsetzer
CS 5336 zwei Chips im Gehäuse untergebracht. Daraus resultiert maximale Entkopplung
von Analog- und Digitalteil.
Grundlagen. Wie bereits erwähnt besteht der .i:iI:-ADU aus zwei Komponenten. Dem
Modulatorblock und einem digitalen Filter. Der Modulatorblock ist dem Wesen nach ein
synchroner U/f-Umsetzer, der nach dem Ladungsbilanzverfahren arbeitet. Bild 3.26 zeigt
die einfachste Variante eines derartigen Modulators. Ladungsbilanzverfahren deutet schon
auf die prinzipielle Funktionsweise des Modulators hin: es wird versucht die Ladung auf
dem Integrationskondensator konstant zu halten, also die Ladungsbilanz, die sich durch
ein Signal am Eingang und ein Signal über die Rückkopplungsschleife ergibt zu egalisieren.
Der .i:iI:-Modulator unterscheidet sich hier in keiner Weise vom U/f-Umsetzer nach
dem Ladungsbilanzverfahren. Die Interpretation ist jedoch eine völlig andere. Beim U/f­
Umsetzer wird eine angelegte Eingangsspannung in eine Frequenz gewandelt. Diese Frequenz
wird mit einem Zähler gemessen. Die Zählung der Impulse und anschließende
Ausgabe nach der Torzeit T entspricht einer Tiefpaßfilterung der Ausgangswerte des U/f­
Umsetzers.

94
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 95
Differenz- r····-·····-----·······---······-----·i
verstärker 1 Integrator
Komparator
Der Integrator ist ersetzt durch seine Übertragungsfunktion H(f) , der Komparator ist als
Rauschquelle dargestellt, die das Quantisierungsrauschen einführt. Für das Ausgangssignal
wird erhalten:
u
Ein
1-----~-o UAus
D
Aus
= Q(n) + UEin. H(j)
1 + H(j)
(3.21)
,_
H(f) __ _________ ____ __ J
Bild 3.26 Prinzip des Delta-Sigma-Modulators
Takt
Der ßE-Modulator hingegen wird als 1-bit ADU interpretiert, der das Eingangssignal mit
einer hohen Abtastrate überabtastet. Wird ein Signal öfter abgetastet als notwendig, so
kann durch Dezimierung eine niedrigere Ausgangswortrate bei gleichzeitig höherer Auflösung
erreicht werden. Mit jeder Vervierfachung des "Oversampling"-Faktors steigt die
Auflösung um ein Bit. Wollte man also z.B. 16 bit Auflösung mit einer Abtastfrequenz
von 20 kHz aus einem 1 bit Umsetzer erreichen, so müßte dieser mit einer Abtastfrequenz
von
arbeiten. Ein undenkbarer Wert.
(3.20)
Durch die andersartige Interpretation kommt jedoch ein neuer Gedanke ins Spiel. Dazu
werde der Modulator systemtheoretisch wie in Bild 3.27 beschrieben.
H(t)
Q(n)
+
Die Übertragungsfunktion H(f) wird nun so gewählt, daß 1 H(f) 1 für niedrige Frequenzen
sehr groß und für hohe Frequenzen sehr klein wird. Dies kann durch einen Integrator
oder ein Tiefpassfilter erreicht werden. Wird Gleichung 3.21 betrachtet, so bedeutet dies
wenig Quantisierungsrauschen bei niedrigen Frequenzen, also auch im Nutzband und viel
Quantisierungsrauschen bei hohen Frequenzen. Diese hohen Frequenzen werden aber
sowieso ausgefiltert, stören also weit weniger. Durch diese Veränderung des Rauschspektrums,
das sogenannte "Noise shaping", gelingt erst die Steigerung der Auflösung beim
ßE-ADU, die zu vertretbaren Überabtastfaktoren führt.
Kurzgeschlossenener Eingang. Eine Messung mit kurzgeschlossenen ADU-Eingängen
zeigt, welche Auflösung mit dem ADU in der aufgebauten Schaltung tatsächlich erreicht
werden kann. Bild 3.28 zeigt eine derartige Messung auf beiden Kanälen.
UinmV
0,5
0,25
0
-0,25
0
UinmV
0,5
0,25
0
-0,25
0
10 20ms
10 20ms
Bild 3.28 Ausgangsdaten des ßE-ADU mit kurzgeschlossenen Eingängen
Bild 3.27 Modell des ßE-Modulators
Das dem Rauschen überlagerte Rechtecksignal ist typisch für ßE-ADUs. Dieses Störsignal
entsteht im Zusammenwirken einer Offsetspannung am ADU und einer Einstreuung der

96 Realisierung des Meßsystems
Frequenz f/2 auf die Versorgurtgsspannung oder die Spannungsreferenz. Eine Offsetspannung
führt zu einem vermehrten Auftreten der Bitkombination 00 oder 11. Da die
Bits mit fa getaktet werden, entsteht im Ausgangsspektrum des Modulators eine Linie in
der Nähe von f/2. Bei einer Einstreuung von f/2 auf die Versorgung oder die Referenz,
kommt es zu Interferenzen zwischen den beiden Störsignalen. Die Differenzfrequenz der
beiden Signale kann noch im Durchlaßbereich des Tiefpaßfilters liegen. Dann kommt es
zu einem Störprodukt am Modulatorausgang.
Realisierung des Meßsystems
2
V
or-11~1--r~t---f---\~-f---+~-l---+-~L-_J__
97
Filterwirkung. Die außerordentliche Filterwirkung des AE-ADU zeigt Bild 3.29. Der
ADU wurde zunächst mit einem Sinussignal der Frequenz 270 Hz und einer Amplitude
U 55 =4 V gespeist. Anschließend wurde ein Sinussignal der Frequenz 26 kHz und der
gleichen Amplitude Uss =4 V angelegt. In den digitalisierten Ausgangswerten des ADU ist
von dem 26 kHz Signal nichts mehr zu erkennen. Diese Eigenschaft ist für die Phasenmessung
äußerst vorteilhaft. Durch das steilflankige Filter werden höherfrequente Rauschkomponenten
wirksam unterdrückt. Das Signal/Rausch-Verhältnis wird verbessert. Dennoch
besteht bei dieser Tiefpaßfilterung nicht die Gefahr von Temperaturdriften oder
Alterung, da die Filter digital arbeiten.
4
mV
0
-4
0
10 20ms
fEin = 26 Q()() Hz
10 20ms
Aliasing. Natürlich ist auch bei diesem Umsetzer ein Anti-Aliasing-Filter erforderlich. Da
das Eingangssignal aber 64 mal überabgetastet wird, das entspricht einer Abtastfrequenz
von 3,072 MHz, werden an dieses Filter nur geringe Forderungen gestellt. Ein Tiefpaß
erster Ordnung mit einer Grenzfrequenz von 1 MHz ist vollkommen ausreichend.
Bild 3.30 zeigt wie sich hochfrequente Einstreuungen in den Eingangskreis auswirken
können. Der ADU wurde zunächst mit einem Sinussignal der Frequenz f=300 Hz und
einer Amplitude U 55 =4 V gespeist. Anschließend wurde ein Signal der Frequenz
f=3,072 MHz und gleicher Amplitude U 55 =4 V angelegt. Da diese Frequenz in der Nähe
der Abtastfrequenz von 3,072 MHz liegt, wird die Differenzfrequenz in das Nutzband
gespiegelt. Es ist also dafür Sorge zu tragen, daß keine hochfrequenten Störungen aus
Taktleitungen in der Nähe der Abtastfrequenz an den Eingang gelangen.
Bild 3.29 Wirkung des digitalen Filters; oben fein =270 Hz, un_ten fein =26 kHz
Phasenregelung bei 1000-facher Testfrequenz
Trotz Verwendung modernster Bauelemente ist_bei Coriolis-Massendurchflußmessern die
Phasen~rift der Sensoren und Verstärker immer noch in der Größenordnung der Drift des
mecharus:hen Aufbaus. Durch die Verwendung des AE-ADU ist aber ein Verstärkerkonzept
möglich, das eine Kalibrierung des Sensors für die Rohrschwingung im Betrieb
ermöglicht.
Der ~hotostr~mverstärker läßt sich in erster Näherung als Tiefpaß erster Ordnung bes~hre1ben
. Seme Phasenverschiebung ist proportional zur Betriebsfrequenz und berechnet
sich zu:
.1 q> = arctan (IB )

98
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
99
f = 270 Hz
2
V
o~--+-~-1---~-1--~--1-~-+-~-+~-+~---1~~\--~+-~-+-~-t-~~-
0 10 20ms
2
V
o ~--1--l--1---l--+--l---l-+-+-----+-++-+-l-+--+--+--1,..-+-+--H--+-1-f-+---l-+--+--+-+-t---+-+--
0 10 20ms
Bild 3.30 Aliasing am .6.E-ADU
und dem Testsignal von 300 000 Hz zusammengesetzt ist. Ist die Modulationstiefe nicht
allzu hoch, wird der .6.E-ADU von dem Testsignal nicht beeinflußt. Das Testsignal hat auf
die Massendurchflußmessung keinen Einfluß. Bild 3.31 zeigt die Vorrichtung. Zur Veranschaulichung
der Filterwirkung des .6.E-ADU sei auf Bild 3.29 verwiesen.
einen PI-Regler. Das Stellsignal
des Reglers gelangt an einen der
Verstärker. Dieser Verstärker ist
nach Bild 3.32 mit einer Kapazitätsdiode
ausgestattet. Damit kann
seine Phasendrehung in gewissen
Grenzen eingestellt werden, und
zwar so, daß sich zwischen beiden
Verstärkern bei dem 300 kHz
Signal die Phasenverschiebung 0°
ergibt. Die Phasenverschiebung
Bild 3.32 abgleichbarer Verstärker
der Verstärker ist nach Gleichung 3.22 bei 300 kHz 1000 mal größer als bei 300 Hz. Dadurch
kann die Phasendifferenz des Testsignales viel leichter bestimmt und ausgewertet
werden, als die des Signals. Ist die Phasenverschiebung der Verstärker bei 300 kHz abgeglichen,
ist die Phasenverschiebung bei 300 Hz nur noch minimal.
Durchgeführte Meßreihen zeigten, daß der bei f = 300 kHz abgeglichene Verstärker wie
erwartet bei geringeren Frequenzen eine nur geringe Phasenverschiebung aufweist. Die
prinzipielle Funktionstüchtigkeit des Verfahrens konnte nachgewiesen werden. Da mit den
bislang verwendeten Photostromverstärkern ausreichend gute Ergebnisse erzielt wurden
und die Regelung der Photostromverstärker mit der Testfrequenz zusätzlichen Aufwand
bedeutet, wurde dieses Verfahren nicht weiter v~rfolgt.
""""
3.2.2 Messung der Axialkraft
Bild 3.31
Regelung der Photostromverstärker mit Hilfe einer Testfrequenz von
f=300 000 Hz
Zusätzlich gelangt das Ausgangssignal der Verstärker an einen Phasenkomparator und
Problemstellung. Bei der mathematischen Beschreibung des schwingenden Rohres wurde
deutlich, daß eine axiale Spannung im Meßrohr zu einem deutlichen Einfluß auf den
Meßeffekt führt. Auch die für die Dichtebestimmung notwendige Eigenfrequenz ändert
sich sehr stark. Zwar haben auch die Temperatur und der Innendruck im Meßrohr Auswirkungen
auf die Eigenfrequenz und den Meßeffekt, doch ist deren Wirkung größtenteils
auf das Auftreten einer axialen Spannung zurückzuführen. Bei einem Massendurchflußmesser
mit geraden Rohren ist deshalb die Messung und Kompensation der axialen Spannung
unvermeidbar.
Im Abschnitt "Stand der Technik" wurden bereits zwei mögliche Ausführungsformen
dieser Kompensation angesprochen:

100
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 101
Bei den Geräten der Baureihe 11 Corimass 11
wird die axiale Verspannung mittels eines
Dehnungsmeßstreifens in einem Kompensationszylinder gemessen. Da der DMS als direkte
Größe Dehnungen und nicht Spannungen mißt, darf der Kompensationszylinder nicht so
starr ausgelegt sein, wie es aus schwingungstechnischen Gründen erforderlich wäre, denn
er muß sich durch die im Meßrohr wirkende Axialkraft verformen lassen. Günstiger wäre
der Einbau eines temperaturkompensierten DMS direkt auf dem Meßrohr. Dieser würde
selbst bei einer Dehnung von e = 0 temperaturbedingte Axialspannungen erfassen. Ein
DMS auf dem Meßrohr würde aber die Schwingungseigenschaften und damit die Meßgenauigkeit
empfindlich stören.
Bei den Geräten der Baureihe "m-point 11
wird die axiale Verspannung indirekt gemessen.
Da die Spannungen in erster Linie aus einem Temperaturunterschied von Meßrohr und
Gehäuse resultieren, werden hier mittels zweier Temperaturfühler beide Temperaturen
gemessen und damit eine Korrektur durchgeführt. Nachteil dieses Verfahrens ist die nur
indirekte Messung der Störgröße. Die Tragrohrkonstruktion kann damit allerdings so
starr, wie aus schwingungstechnischen Überlegungen erforderlich, ausgelegt werden.
Ein Sensor für die Kompensation der Störgröße Axialspannung sollte so)Ilit folgende
Forderungen erfüllen:
- die Axialspannung sollte direkt gemessen werden,
- das Meßrohr_ sollte in seinen schwingungs!echnischen Eigenschaften nicht beeinflußt
werden,
- der Sensor sollte keine Bedingungen an die Tragrohrkonstruktion stellen (vgl. Kompensationsrohr).
Aus diesen Überlegungen heraus wurde ein neuer Sensor zur Kompensation der Axialkräfte
in Meßrohren von Coriolis-Masse;durchflußmessern entwickelt basierend auf dem
magnetoelastischen Effekt.
Bereich zu erklären. Im Bohr'schen Atommodell führt beispielsweise das um den Atomkern
kreisende Elektron zu einem Kreisstrom, der ein magnetisches Moment verursacht.
Neben diesem Dipolmoment werden noch Dipolmomente aufgrund des Kernspins und des
Bahndrehimpulses des Elektrons hervorgerufen /DA 6, 7 / .
Diese magnetischen Momente sind in allen Stoffen vorhanden. Die magnetischen Eigenschaften
einer Probe ergeben sich nach vektorieller Addition aller Dipolmomente. Wird
nun ein magnetisches Feld der Feldstärke H an die Probe gelegt, so richten sich die Dipole
je nach Material unterschiedlich aus.
Bei diamagnetischen Stoffen erfolgt die Ausrichtung so, daß sie dem angelegten Feld
entgegengesetzt ist. Werden diese Stoffe in ein Magnetfeld gebracht, muß Energie auf gewendet
werden. Sie werden vom Magnetfeld abgestoßen. Es gilt
Bei paramagnetischen Stoffen erfolgt die Ausrichtung der Dipole so, daß sie mit der
Richtung des angelegten magnetischen Feldes übereinstimmen. Diese Stoffe werden vom
Magnetfeld angezogen. Allerdings wird die vollständige Ausrichtung der Dipole durch die
Wärmebewegung so stark behindert, daß das äußere Feld nur geringfügig zur Magnetisierung
beiträgt. Es gilt
Bei ferromagnetischen Materialien wie Eisen, Nickel und Kobalt, aber auch speziellen
Legierungen, _wird durch ein angelegtes Magnetfeld eine große Zahl von magnetischen
Dipolen parallel zum angelegten Feld ausgerichtet. Dadurch entsteht eine starke Magnetisierung.
Die Permeabilitätµ ist sehr hoch:
...______
magnetoelastischer Sensor
Grundlagen. Mit dem magnetoelastischen Effekt wird die A'1swirkung einer mechanischen
Eingangsgröße auf die magnetischen Materialeigenschaften eines Stoffes ausgenutzt.
Eine zentrale Rolle bei der Beschreibung der magnetischen Materialeigenschaften spielt
die Permeabilitätµ. Sie verknüpft die magnetische Feldstärke H (Einheit A/m) mit der
magnetischen Flußdichte B (Einheit T=Vs/m 2 ) gemäß der Beziehung B=µ·H.
Man versucht die magnetischen Phänomene durch magnetische Momente im atomaren
Bei Ferromagnetika ist das Bestreben der Dipolmomente, sich parallel zu Nachbardipolen
auszurichten, sehr stark. Die Ausrichtung der Dipole erfolgt dabei nicht beliebig, sondern
bevorzugt in bestimmten Kristallgitt~rrichtungen . Es ergeben sich somit Richtungen leichter
und schwerer Magnetisierbarkeit. So sind beispielsweise beim kubisch raumzentrierten
Eisen die Richtungen leichter Magnetisierbarkeit entlang der Würfelkanten der Elementarzelle
( < 100> ). Dieses Verhalten führt zur Bildung größerer Bereiche, innerhalb derer
alle Dipole parallel zueinander, in der Richtung der leichten Magnetisierbarkeit ausgerichtet
sind. Diese Bereiche werden als Elementarmagnete, Domänen oder auch, nach dem

102 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 103
Entdecker, als Weiss'sche Bezirke 1 bezeichnet. Wenn alle Dipole ausgerichtet sind, ist
die Sättigungsmagnetisierung erreicht, die Permeabilität sinkt wieder.
.dl / 1 in ppm
.dl / 1 in ppm
Mit steigender Temperatur sinkt die spontane Magnetisierung. Denn mit Überschreiten
der Curie-Temperatur führt die Wärmebewegung wieder zu einer wachsenden Unordnung
in den ausgerichteten Dipolen. Das Ferromagnetikum geht über zum Paramagnetikum.
20
10
45 Permalloy 40
20
45 Pennalloy
Magnetische Anisotropie. Die Spontane Magnetisierung ist nicht nur an ausgezeichnete
Kristallachsen gebunden (sog. Kristallanisotropie). Eine wesentliche Rolle spielt auch die
Formanisotropie. Die Magnetisierung erfolgt immer so, daß die im Körper steckende
Energie minimal wird. So kann man sich leicht vorstellen, daß dies bei einem langen
ferromagnetischen Stab eher längs, als quer der Fall ist. Ein Spezialfall der Formanisotropie
ist die Oberflächenanisotropie. Sie besagt, daß die spontane Magnetisierung eines
Körpers im Außenbereich parallel zu seinen Grenzflächen erfolgt. Bei einer dünnen
Schicht wird sich die Magnetisierung also in der Schichtebene einstellen und nicht senkrecht
dazu. Diese Effekte machen die Beschreibung der physikalischen Vorgänge um die
Magnetisierung sehr schwierig. Die Zusammenhänge sind aber für die später verwendete
Meßschicht von Interesse.
Magnetostriktion. Bei einigen Ferromagnetika sind die geometrischen Abmessungen
abhängig von der Orientierung der magnetischen Dipole. Dies ist vorstellbar, da die
magnetischen Kräfte auf die Dipole Teil der Gleichgewichtskräfte sind, die zur Bindung
der Teilchen im Festkörper führen. Im µnmagnetisierten Zustand sind die Dipolmomente
statistisch auf alle möglichen Richtungen der leichten Magnetisierbarkeit verteilt. Erfolgt
nun eine Ausrichtung der Dipolmomente durch ein äußeres magnetisches Feld, so erfolgt
eine Gestaltänderung des Ferromagnetikums, die sogenannte Magnetostriktion A. Sie ist
definiert als die relative Längenänderung dl/l der Probe. Von den verschiedenen Arten
der Magnetostriktion ist die Magnetostriktion in Längsrichtung des Feldes, die sog. Joule­
Magnetostriktion2 die wichtigste. Bild 3.33 zeigt die Magnetostriktion 'A einiger Materialien.
Eine Besonderheit weisen Nickel-Eisen Legierungen auf. Bei einem Nickelanteil von mehr
als 80,3 % sind sie negativ magnetostriktiv, bei einem Nickelanteil von exakt 80,3 %
Pierre Ernest Weiss, geb. 1865 in Mülhausen, gest. 1940 in Lyon; franz. Physiker
James Prescott Joule, geb. 1818 in Salford bei Manchester, gest. 1889 in Sale bei London; engl.
Physiker
-10
-20
Bild 3.32
Ni
2,4
Hin kA/m
0
-20
-40
160 320
Fe Hin kA/m
Magnetostriktion einiger Materialien bei kleinen und großen magnetischen
Feldstärken
magnetostriktionsfrei und bei einem Nickelanteil von weniger als 80,3 % positiv magnetostriktiv.
Diese Eigenschaft wird die Nickel-Eisen Legierung in den nächsten Abschnitten
als besonders geeignet ausweisen.
Magnetoelastizität. Die Magnetoelastizität ist die Umkehrung der Magnetostriktion. Sie
beschreibt die Änderung der magnetischen Eigenschaften als Folge einer mechanischen
Verformung. Die Ausrichtung der magnetischen Dipole kann nämlich nicht nur mittels
eines von außen angelegten magnetischen Feldes erfolgen, sondern auch mittels einer
mechanischen Spannung. Denn wird ein Dipol durch ein magnetisches Feld in eine bestimmte
Richtung gedreht, und vergrößern sich beispielsweise durch den magnetostriktiven
Effekt seine Abmessungen, so kann der Dipol durch Krafteinwirkung wieder in die
Orientierung geringerer geometrischer Ausdehnung zurückgedreht werden. Dies entspricht
dann einer Abnahme der Permeabilität. Es liegt nahe, daß dieser Effekt umso ausgeprägter
ist, je leichter die Dipole aus der magnetischen Vorzugsrichtung herausgedreht werden
können. Die dazu notwendige Energie, die sogenannte Kristallenergie, oder korrekt Kristallanisotropie-Energiedichte,
ergibt sich aus den Anisotropiekonstanten K 1
und K 2 des
Werkstoffes und dem Winkel zwischen Dipolmoment und Vorzugsrichtung. Für die gebräuchlichsten
magnetoelastischen Werkstoffe sind in Tabelle 3.3 die Werte für die Anisotropiekonstanten
K 1 und K2 angegeben (alle Werte sind stark temperaturabhängig).
Ni
Co

104 Realisierung des Meßsystems
Tabelle 3.3 Anisotropiekonstanten magnetoelastischer Werkstoffe
Material K1 [J/m3] K2 [J/m3]
Realisierung des Meßsystems 105
1 „
Fall 1: Fall 2 :
Eisen 50 000 -25 000
Nickel -5000 5000
Kobalt 400 000 200 000
50% Ni - 50% Fe 3000 -18 000
653 Ni - 35% Fe 1400 -7000
70% Ni - 30% Fe 700 -1500
!l.L/L = 34 % !l.L/L = -55 %
Fall 3: Fall 4:
F
F
90% Ni - 10% Fe -700 -2400
Nickel-Eisen Legierungen mit einem Nickelanteil zwischen 70 und 90 % sind am leichtesten
magnetisierbar und kommen deshalb bei magnetoelastischen Sensoren vorzugsweise
zum Einsatz. Kobalt ist nur sehr schwer magnetisierbar. Kobalt käme für Kraftmeßdosen
in Frage, wo eine sehr geringe Empfindlichkeit für sehr große mechanische Spannungen
gewünscht wird. Die Tabelle zeigt auch die Flexibilität der Nickel-Eisen Legierungen mit
denen verschiedene Empfindlichkeiten und sogar unterschiedliche Vorzeichen realisiert
werden können. Für die Untersuchungen wurden deshalb diese Legierungen verwendet.
Voruntersuchungen. Im Rahmen einer Voruntersuchung sollte festgestellt werden, inwieweit
mit selbst hergestellten Meßschichten mechanische Spannungen gemessen werden
können, und wie sich hierbei die Anisotropieeffekte auswirken. Hierzu wurde, wie im
nächsten Abschnitt beschrieben, ein Probekörper galvanisch mit einer Meßschicht aus
Permalloy überzogen. Diese Schicht wurde rautenförmig angelegt. Sie weist somit den
Effekt der Formanisotropie auf, d.h. die Magnetisierung verläuft entlang der längeren
Symmetrieachse. Dieser Effekt wurde noch durch einen Stabmagneten verstärkt, der
während der Galvanisierung in gleicher Richtung angeordnet war. Es wurde die Induktivität
einer Meßspule gemessen, die auf einen U-Kem aus Ferrit aufgewickelt wurde. In den
Probekörper wurden Krafte eingeleitet. Bild 3.34 zeigt die dabei erzielten Ergebnisse.
Es bestätigt sich der Einfluß der Anisotropie: in verschiedenen Belastungsrichtungen sind
unterschiedliche Energien notwendig, um die Magnetisierung zu ändern. In den Fällen 2
und 4 liegen das Meßfeld, sowie die Hauptanisotropie der Schicht in der gleichen Richtung,
das bedeutet fast alle Weiss'schen Bezirke sind bereits in diese Richtung ausgerich-
Bild 3.34
F
!l.L/L - -42 % !l.L/L = +4 %
an einem Probekörper gemessene Induktivitätsänderungen der Meßspule
tet. Einer weiteren spannungsbedingten Orientierung sind somit Grenzen gesetzt, es
kommt zu einem nur geringen Anstieg der Induktivität im Fall 4. Anders im Fall 2. Die
aufgebrachte Kraft bewirkt ein Herausdrehen der Dipole aus der Richtung des Meßfeldes,
die mit der Vorzugsrichtung übereinstimmt. Da fast alle Dipole sich in der Vorzugsrichtung
befinden, steht ein großer Bereich zur Verringerrung der Induktivität zur Verfügung.
In den Fällen 1 und 3 stehen Meßfeld und Längsachse der Raute senkrecht zueinander.
Die Orientierung der Weiss'schen Bezirke ist in diesem Fall nicht so eindeutig, wie in
den Fällen 2 und 4. Einerseits liegt spontane Magnetisierung in Richtung der Längsachse
der Raute vor, andererseits werden durch das dazu senkrecht liegende Meßfeld einige
Elementarmagnete aus dieser Richtung herausgedreht. Dadurch können in beiden Richtungen
Elementarmagnete in das Meßfeld hinein oder aus dem Meßfeld herausgedreht werden.
Ein Meßeffekt ist in jeder dieser beiden Spannungsrichtungen möglich.
Im Hinblick auf den zu entwickelnden Sensor können folgende Schlüsse gezogen werden:
1. Je nach Design der Schicht sind unterschiedliche Empfindlichkeiten in unterschiedlichen
Belastungsrichtungen möglich. Dies ist wichtig, da die am Durchflußmesser
eingesetzte Meßschicht zwar eine Axialspannung, nicht aber eine Tangentialspannung,
hervorgerufen durch einen Innendruck im Rohr, erfassen soll.
2. Die Empfindlichkeit in einer Belastungsrichtung hängt von der momentanen Bela-

106 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 107
stung in der anderen Richtung ab. Die Empfindichkeit ist nicht konstant.
Aufbau des Sensors. Es sind die mechanischen Spannungen im Meßrohr des Massenstrommessers
zu bestimmen. Ein magnetoelastischer Werkstoff muß daher direkt auf das
Rohr aufgebracht werden. Dies geschieht wie im nächsten Abschnitt beschrieben galvanisch.
Zur Bestimmung der im Rohr wirkenden mechanischen Spannung über die Permeabilität
wird gemäß der Beziehung:
L (3.23)
(mit der Permeabilitätszahl JJ.o, der relativen Permeabilität µ" der Windungszahl N, der
Länge der Feldlinien 1 und der durchfluteten Fläche A) die Induktivität einer um die
Meßschicht gewickelten Spule bestimmt. Die Messung der Permeabilität geschieht also
über die Messung der Induktivität. Die Spule muß dabei nicht direkt auf dem Rohr sitzen,
sondern kann über eine Tragkonstruktion am Gehäuse befestigt sein. Bild 3.35 zeigt die
Vorrichtung. Es ist ausreichend, wenn das Rohr über eine Länge von etwa 3 cm beschichtet
ist.
Bild 3.35
Meßspule
Anordnung der magnetoelastischen Meßschicht und der Spule zur Auswertung
des magnetoelastischen Effektes
Galvanische Herstellung. Für die Herstellung der magnetoelastischen Meßschicht kommen
verschiedene technologische Verfahren in Betracht. Die Schichten können aufgedampft
oder gesputtert werden. Diese Verfahren sind zwar sehr präzise, aber auch sehr
aufwendig und kostspielig. Aus diesem Grunde wurden die hier untersuchten Schichten
galvanisch auf das Rohr aufgebracht. Die galvanisch aufgebrachten Schichten erreichen
gute Meßeigenschaften und haften hervorragend. Bei der galvanischen Aufbringung kann
jedoch die stöchiometrische Zusammensetzung der Schicht nicht exakt angegeben werden.
Sie hängt von vielen Randbedingungen bei der Galvanisierung ab. Soll die magnetoelasti-
sehe Meßschicht für eine Serienproduktion genutzt werden, so müßte zunächst analytisch
die Schichtzusammensetzung bestimmt werden. Mit den oben angesprochenen aufwendigen
Herstellungsverfahren kann dann exakt diese Schichtzusammensetzung reproduziert
werden.
Die Meßschichten wurden nach folgender Vorgehensweise hergestellt:
Zunächst muß die Rohroberfläche durch Stahlwolle von Oxidschichten befreit werden.
Fettrückstände sind anschließend mit Azeton zu entfernen. In einem Nickelanschlagbad
wird die zu galvanisierende Fläche mit einer dünnen Schutzschicht aus Nickel überzogen.
Das Nickelanschlagbad enthält folgende Bestandteile:
Nickelchlorid 240 g/l
Salzsäure
85 g/l
Die Abscheidungsstromdichte beträgt 3 A/dm 3 , die Expositionsdauer 5 bis 6 Minuten.
Anschließend wird das vorbehandelte Rohr sofort in den Nickel-Eisen Elektrolyten gebracht,
der folgende Zusammensetzung hat /Bog/:
Ni S0 4
210 g/l
Fe S0 4 ; 12 g/l
Na Cl
30 g/l
H 3 B0 4
30 g/l
Natriumlaurylsulfat 0,4 g/l
Saccharin
0,4 g/l
Die Abschejdungsstromdichte beträgt 16 mA/dm 3 , die Expositionsdauer 36 Minuten und
die Badtemperatur 28°C. Diese Angaben, wie auch die Zusammensetzung des Elektrolyten
wurden in zahlreichen Versuchsreihen ermittelt und sind umbedingt einzuhalten, da
sich sonst ganz andere Empfindlichkeiten für die Meßschicht ergeben können.
Auswertung. Für die Messung der Induktivität kommen verschiedene Verfahren in Betracht.
Der klassische Weg ist der Einbau des induktiven Gebers in eine Wechselstrommeßbrücke.
Durch die große Verbreitung der LVDT-Weggeber werden mittlerweile jedoch
komplexe integrierte Schaltungen angeboten, die die gesamte Signalauswertung,
Signalaufbereitung und sogar die Speisung eines induktiven Gebers beeinhalten. Ein solches
IC ist z.B. die Type AD 598 von Analog Devices. Die gesamte Schaltung für den
magnetoelastischen Aufnehmer wird dadurch sehr einfach.
Für ein Seriengerät ist dieser IC allerdings zu teuer. Es konnten jedoch ebenfalls gute
Ergebnisse mit einer Multivibratorbrücke nach Mori erzielt werden. Hier sind außer

108 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
109
einigen wenigen passiven Bauelementen nur zwei preiswerte Transistoren erforderlich
/DA7/ .
Prüfstand. Die Eigenschaften des magnetoelastischen Sensors wurden in einem Prüfstand
untersucht. In diesem Prüfstand kann ein Rohr, wie es später für die Durchflußmessung
benutzt wird, fest eingespannt werden. Über einen Pneumatikzylinder kann eine Axialkraft
von ± 2000 N auf gebracht werden. Diese Axialkraft wird parallel mit einer Kraftmeßdose
erfaßt. Alle Größen, auch das Ausgangssignal des magnetoelastischen Sensors
werden über eine Meßwerterfassungskarte in den PC eingelesen.
Meßunsicherheit in %
Axialkraft. Bild 3.36 zeigt den Verlauf der Kennlinie des magnetoelastischen Sensors.
Über dem entscheidenden Bereich der Eingangsgröße Axialkraft F x von bis zu 1000 N
wird ein Ausgangsspannungshub von 3 V erreicht. Dies ermöglicht die ausreich.end feine
Auflösung des Meßeffektes. Der Sensor ist somit von seiner Empfindlichkeit gut an die
Meßaufgabe angepasst. Er erreicht dabei noch nicht seine magnetische Sättigung. Dadurch
ergibt sich eine Kennlinie, die nicht linearisiert werden muß.
0 250 500 750 1000
Axialkraft in N
Bild 3.37 Meßunsicherheit des magnetoelastischen Sensors, bezogen auf den Endwert
Ausgangsspannung in V
Bei der Messung magnetischer Größen ist immer besonderes Augenmerk auf Hystereseeinflüsse
zu richten. Dazu wurden die Kennlinien mehrmals in auf- und absteigender
Richtung durchfahren. Der Hysteresefehler war dabei geringer, als der oben angegebene
Wert für die Meßunsicherheit. Er liegt in der Größenordnung ± 0,5 %.
Der Sensor wurde zwanzig mal mit einer Zugkraft von exakt 1000 N belastet und anschließend
wieder entlastet. Der angezeigte Wert wich dabei mit einer Streuung von
24 mV vom Mittelwert ab. Bezogen auf den Endwert von 3 V ergibt sich somit eine
Reproduzierbarkeit von etwa 1 % .
0 250 500 750 1000 1250
Axialkraft in N
Bild 3.36 Kennlinie des magnetoelastischen Sensors
In Bild 3.37 ist die Abweichung von der linearen Kennlinie aufgetragen. Die Meßunsicherheit
bleibt im gesamten Bereich unterhalb etwa ± 1,5 % vom Endwert. Damit ist
eine ausreichende Meßgenauigkeit . zur Kompensation der Störgröße Axialspannung gewährleistet.
In verfahrenstechnischen Anlagen können über die Prozeßleitungen hohe Erdungsströme
fließen. Davon wird zwar der größte Teil vom Gehäuse des Durchflußmessers aufgenommen,
ein geringer Strom kann jedoch auch über das Meßrohr fließen. Bild 3.38 zeigt den
hierdurch entstehenden Fehler.
Bei einem Strom bis zu 5 A durch das Meßrohr traten zunächst Meßfehler bis zu 20 %
vom Endwert auf. Der Fehler konnte stark reduziert werden durch einen kleinen axialen
Luftspalt. Hierdurch ergibt sich ein hoher magnetischer Widerstand für das durch den
Strom erzeugte magnetische Tangentialfeld. Zwei Luftspalte bringen eine nochmalige
Verbesserung. Der Fehler wird auf unter 2 % reduziert.

110
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
111
Meßfehler in %
20
10
ohne Luftspalt
mit einem Luftspalt
mit zwei Luftspalten
0
u
Me&chicht
ohne
Luftspalt
Meßschicht
mit einem
Luftspalt
0
-1
F inN
2 3 A 5
-2
Bild 3.38
Fehler durch elektrischen Strom durch das Meßrohr
-3
Innendruck. Neben der Axialkraft kann in dem Prüfstand über eine Hydraulikpumpe
auch ein Druck bis zu 150 bar im eingespannten Rohr erzeugt werden. Dieser Druck wird
mit einem Druckmesser und die Meßwerterfassungskarte erfasst. Denn im Realbetrieb
kann der Durchflußmesser mit einem Druck bis zu 63 bar oder mehr belastet werden.
Dieser hohe Druck führt im Meßrohr zu hohen tangentialen Spannungen. Es wäre wünschenswert,
wenn nur die axialen Spannungen zu einem Ausgangssignal am magnetoelastischen
Sensor führen würden. Wie in den Voruntersuchungen bereits geschildert, ist die
Empfindlichkeit des Sensors richtungsabhängig. Es erscheint also durchaus möglich für
Axialkräfte eine hohe und für Tangentialkräfte eine geringe Empfindlichkeit einzustellen.
Es ist jedoch nur unter großem Aufwand möglich, eine bestimmte Schichtzusammensetzung
gezielt einzustellen und nach den gewünschten Empfindlichkeiten zu optimieren. Es
konnte aber dennoch gezeigt werden, daß entsprechende Einstellungen der Schicht existieren.
Da das Rohr nämlich vertikal galvanisiert wurde, ergeben sich für unterschiedliche
Stellen auf dem Rohr unterschiedliche Legierungen. Bild 3.39 zeigt die Veränderung der
Induktivität bei Erhöhung des Rohrinnendruckes von 0 auf 100 bar. Bei Belastung des
Sensors mit einer Axialkraft F x von 1000 N ergibt sich die relative Induktivitätsänderung
ALp/Lo, mit der Induktivität Lo des unbelasteten Zustandes. Bei Belastung mit dem Innendruck
p = 100 bar ergibt sich die relative Induktivitätsänderung A~. Die Größe AL/ ALp
ist somit ein Maß für die Verfälschung des Meßwertes für die Axialkraft Fx durch den
Innendruck p. Aufgetragen ist dieser Fehler zum einen über der Axialkraft Fx und zum
anderen über der Position x der Meßspule über der Schicht.
Bei einer Position x=20 mm der Meßspule liegt ein Bereich, in dem der Meßfehler durch
Rohr
Bild 3.39 Meßfehler durch Innendruck p
die Wirkung des Innendruckes über den gesamten Bereich der Axialkraft Fx von
0„ .1000 N weniger als 1 3 beträgt. Die Störgröße Innendruck wird gut unterdrückt.
Die Abhängigkeit der Induktivität vom Innendruck p kann allerdings auch benutzt werden,
um Abhängigkeiten der Eigenfrequenz der schwingenden Rohre oder des Meßeffektes Acp
vom Innendruck p zu kompensieren. Tabelle 3.4 zeigt eine Einstellung des magnetoelastischen
Sensors bei der die Abhängigkeit der Eigenfrequenz f Eigen des schwingenden Rohres
von Innendruck p und Axialkraft Fx kompensiert werden kann.
Tabelle 3.4 Kompensation der Frequenzänderung Afeigen bei Belastung ~it Innendruck
mit Hilfe des magnetoelastischen Sensors
Ap = 100 bar
Fx = 1200 N
AL 0,1 mH -0,86 mH
AfEigen -2,2 Hz 20 Hz
AL / M -45 µH /Hz -43 µH /Hz

112 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
113
Sowohl bei der Beaufschlagung mit einem Innendruck p = 100 bar, wie auch der Belastung
mit einer Axialkraft Fx = 1200 N, ergibt sich eine Änderung der Eigenfrequenz, die die
Dichtemessung empfindlich stört. Am magnetoelastischen Sensor ergibt sich aber jeweils
eine Änderung der Induktivität über der Frequenzänderung von -45 µH/Hz bzw. -
43 µH!Hz. Die Frequenzänderung kann also kompensiert werden, gleichgültig, ob die
Frequenzänderung durch Innendruck oder Axialkraft bewirkt wurde!
3.2.4 Messung der Temperatur
Temperatur des Meßrohres
Aii1 Meßrohr ist außerhalb des Gehäuses ein Pt-100 Temperaturfühler angebracht. Zur
Umformung des Widerstandswertes des Pt-100 in eine elektrische Spannnung wird ein
Modul aus der 5B Serie verwandt. Es beinhaltet die komplette Signalaufbereitung für
Platin-Widerstandsthermomerter, Thermoelemente, DMS etc. Da die Module mit Überspannungsschutz,
Temperaturkompensation und galvanischer Trennung zwischen Eingang
und Ausgang ausgestattet sind, sind sie in der Prozeßmeßtechnik sehr verbreitet. Für die
Umformung des Pt-100 Widerstandswertes in eine Spannung 0 ... 5 V ist damit kein weiterer
Schaltungsaufwand erforderlich.
Temperaturdifferenz zwischen Gehäuse und Meßrohr
Bei der Charakterisierung des neu aufgebauten Massendurchflußmessers stand der magnetoelastische
Sensor noch nicht zur Verfügung. Da die Axialspannung im Meßrohr vor
allem durch eine Temperaturdifferenz zwischen Gehäuse und Meßrohr entsteht, wurde
diese Temperaturdifferenz gemessen. Dazu wird ein zweiter Pt-100 Meßwiderstand am
Meßrohr außerhalb des Gehäuses und ein weiterer Pt-100 am Gehäuse angebracht. Die
beiden Pt-100 Widerstände werden in einer Brücke verschalten. Die Diagonalspannung
wird mit einem Instrumentierverstärker INA 101 verstärkt.
Meßwerterfassungskarte im PC erfasst.
3.2.6 Messung der Frequenz
Zur Messung der Frequenz werden die auf der Meßwerterfassungskarte zur Verfügung
stehenden Zähler und Quarzgeneratoren verwendet. Bild 3.40 zeigt die zusätzlich notwendige
Hardware.
Sensorsignal ~
o--~·~vsu
Bild 3.40 Prinzip der Frequenzmessung
Ein Sensorsignal, das die Rohrschwingung liefert, wird in ein Rechtecksignal gewandelt
und geteilt. Nach einem Software Startimpuls generiert eine Logik ein Torsignal das
einem Vielfachen der Periodendauer der Rohrschwingung entspricht. Während dieser Zeit
läuft auf der Meßwerterfassungskarte ein Zähler, der aus dem internen 2 MHz Quarzoszillator
getaktet wird. Der erreichte Zählerstand wird dann vom PC ausgelesen und in
eine Frequenz umgerechnet.
I
3.2.5 Messung der Durchflußreferenz
Als Referenzmeßgerät stand ein Coriolis-Massendurchflußmesser zur Verfügung. Dieser
verfügt über einen Stromausgang. Hier kann der aktuelle Durchflußwert als Strom abgegriffen
werden. Der Strom wird wie schon die Temperatur in einem Modul aus der 5B
Serie (5B 32) in eine Spannung 0 ... 5 V gewandelt. Auch diese Spannung wird mit der

114 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
115
3.3 Signalverarbeitung
3.3.1 Aufbau des Gesamtsystems
Das gesamte Meßsystem gliedert sich in zwei unabhängige Teile. Die in Kapitel 3.2
beschriebenen Messungen von Temperatur, Frequenz, Referenz etc. erfolgen mittels einer
Meßwerterfassungskarte in einem PC 386. Die komplette Meßplatzsteuerung, die
Datenverwaltung und die graphische Ausgabe der Meßergebnisse erfolgt unter der
Benutzeroberfläche LabWindows. Bild 3.41 zeigt die Oberfläche des Massendurchfluß­
Meßprogrammes.
Sensor 1
Sensor 2
Bild 3.42 Struktur des Meßsystems
DSP PC f--+---- .1

116 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 117
Tabelle 3.5 Vergleich verschiedener Phasenmeßgeräte
Modell Auflösung Meßbereich max. Frequenz
Stanford Research 0.001° ± 180° 100 MHz
SR 620
hp 53131 0,2° ± 180°
hp 5335 0.008° ± 180° 200 MHz
Coriolis-Massendurchflußmes- 0.0001° ± 10 1 kHz
ser
Die meisten analogen Schaltungen arbeiten nach dem Prinzip eines phasenselektiven
Gleichrichters. Dabei werden die beiden Signale zunächst auf exakt gleiche Amplitude
verstärkt und anschließend wird die Differenz gebildet. Die Information über die Phasendifferenz
11

118 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 119
dene Unsicherheit bei der Abschätzung der Phasendifferenz kann, wie im folgenden beschrieben,
analytisch berechnet werden.
Fehlerabschätzung
Die Ausgleichskurve ist zunächst durch die Größen Frequenz, Phase und Amplitude charakterisiert.
Zur Berechnung der Unsicherheit bei der Abschätzung der Phasendifferenz
sind zwei weitere charakeristische Größen erforderlich: zum einen die endliche Anzahl N
von Wertepaaren x 0
, Yn des Datensatzes; zum anderen das Signal/Rausch-Verhältnis der
zugrundeliegenden Sensorsignale.
Für die folgenden Ausführungen gelte die Periodenbedingung als erfüllt. Mit der Kreisfrequenz
w 0 der Sensorsignale werden die Fourier-Koeffizienten a 1 und b 1 berechnet aus:
Mit
2 N
b 1
= - .~ y. ·sin(w t.)
Nf;;t1 01
Öa1 2
-. - = - ·cos(w t.)
öyi N o i
kann die Variani a 31
2
von a 1 abhängig von der Varianz a/ der Meßwerte Yi berechnet
/Pre/ werden:
(3.28)
(3.29)
(3 .30)
4N 1 1 N 1 2
(3 .33)
= o/ ·-CI: (cos(w 0 ti)) 2 ---- + L (sin(cu 0 t.)) 2 ---~] ( 3 . 34 )
1
... 2. 2b2 .
iv- 1=1 l+(~) 1=1 l + (~)
b2
b2
Unter Beachtung der Periodenbedingung gilt:
N
L (cos(cu 0
ti)) 2 = L (sin(cu 0 ti)) 2
i =l
i=l
Gleichung 3.33 vereinfacht sich damit zu:
0 2
'P
N
02.~ .__
1_
y N a/+b/
N
2
2b4
(3 .35)
(3.36)
Der Term (a 1 2 +b 2
2 ) ist äquivalent dem Quadrat der Signalamplitude Ys (mit Ys='12 · Yerr).
Bei normalverteiltem Rauschen gilt der Zusammenhang:
u2 _ 2
Rausch.., - oy •
so daß für die Varianz a/ der Phase erhalten wird:
(3.37)
(3 .31)
Die Phasendifferenz berechnet sich aus tl.cp='fii-'fi 2 • Also ergibt sich für die Varianz der
Phasendifferenz a Al{> 2 :
Gleichermaßen wird für die Varianz von b 1 erhalten:
Für die Varianz der zu ermittelnden Phase cp ergibt sich:
(3.32)
(3.38)
Bild 3.43 zeigt die Zusammenhänge zwischen Streuung der Phasendifferenz, Anzahl der
Meßwerte N und Signal/Rausch-Verhältnis der verwendeten Signalquelle.
Dieser Algorithmus wurde zunächst mit verrauschten Datensätzen und beliebigen
Anfangsphasen simuliert. Von jedem Parameterpaar wurden 50 Datensätze simuliert und

120 Realisierung des Meßsystems Realisierung des Meßsystems 121
Tabelle 3.6
Streuung als Funktion der Anzahl N der Meßwerte und dem Signal/Rausch-
0 .ßip Verhältnis SNR, berechnet nach Gl. 3.38 und für simulierte Datensätze
1000
µrad
100
Anzahl N SNR Berechnung Simulation
256 80 dB 8,8 µrad 9 µrad
1024 80 dB 4,4 µrad 3,7 µrad
4096 80 dB 2,2 µrad 2 µrad
10
256 66 dB 44 µrad 38 µrad
Bild 3.43
Anzahl N
Streuung der Phasendifferenz !icp abhängig von der Anzahl der Meßwerte N,
für fünf verschiedene Werte des Signal/Rausch-Verhältnisses
1024 66 dB 22 µrad 21 µrad
4096 66 dB 11 µrad 9,4 µrad
256 60 dB 88 µrad 90 µrad
1024 60 dB 44 µrad 50 µrad
4096 60 dB 22 µrad 22 µrad
die Phase berechnet. Aus der Häufigkeitsverteilung der Ergebniswerte wurde die Standardabweichung
der Phase ermittelt. Dabei zeigt sich eine deutliche Übereinstimmung von
Simulation und Berechnung. In Tabelle 3.6 sind Simulation und Berechnung gegenübergestellt:
Am Laboraufbau eines Coriolis-Massendurchflußmessers wurden Schwingungsmessungen
mit verschiedenen Sensoren durchgeführt. Die Sensoren wiesen unterschiedlichste Signal/
Rausch-Verhältnisse auf. Die Signale wurden mit dem oben beschriebenen Algorithmus
hinsichtlich ihrer Phasendifferenz ausgewertet. Es traten exakt die gleichen Werte für die
Streuung der Phasendifferenz auf, wie nach der Berechnung aus dem SNR und der Anzahl
der Meßwerte zu erwarten war /DA 21 .
3.3.4 Synchrone Abtastung
Die Phasendifferenz läßt sich wie beschrieben über die Fourier-Reihe ermitteln. Beim
Übergang von simulierten Datensätzen auf gemessene Signale bereitet aber die Einhaltung
der Periodenbedingung Schwierigkeiten. Es bietet sich die Verwendung einer PLL-Schaltung
an, die synchron mit dem Eingangssignal z.B. pro Periode 128 Abtastwerte liefert.
Standard PLL-Schaltungen wurden getestet, wiesen jedoch einen zu großen Phasenjitter
auf. Nach Herstellerauskünften sind mit integrierten PLL-Schaltungen nur Frequenzstabilitäten
von 10 bis 100 ppm erreichbar. Dies ist für eine präzise Phasenmessung zu ungenau.
Es sollte deswegen eine präzisere PLL-Schaltung aufgebaut werden.

122 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 123
Meßtechnisch lassen sich Frequenzen und Zeiten am genauesten erfassen. Es bietet sich
daher an, einen digitalen Frequenzvervielfacher auf der Basis einer Frequenz- oder
Periodendauermessung aufzubauen. Um die Schaltung einfach zu halten, soll die Vervielfachungsrate
zunächst eine Potenz von zwei sein.
Frequenzvervielfachung mit Oszillator und Teiler
Eine Division von Dualzahlen durch 2° läßt sich ganz einfach durch Rechtsverschieben
um n-Stellen realisieren. Eine ganzzahlige Division ist noch einfacher. Hier werden einfach
n Stellen gestrichen. Da Zähler und Ringzähler am gleichen Takt liegen und ü~er die
Ablaufsteuerung synchronisiert sind, ergibt sich die Frequenzvervielfachung zwischen
Eingangssignal und Ausgangssignal.
Die Ausgangsfrequenz ergibt sich zu :
Bild 3.44 zeigt eine Schaltung, die die gegebenen Anforderungen erfüllen kann. Das Eingangssignal
gelangt dabei zunächst in eine Ablaufsteuerung. Hier werden zum einen
verschiedene Steuersignale für Registertransfer und Löschen der Zähler etc erzeugt. Zum
anderen generiert die Ablaufsteuerung ein Torsignal für den nachgeschalteten Zähler. Die
Torzeit ist dabei ein Vielfaches der Periodendauer des Eingangssignales. Im Zähler steht
nun eine Information über die Periodendauer des Eingangssignals.
Steuetsignale
Sie soll den Wert
annehmen. Das bedeutet der Teiler n muß auf den Wert
(3.39)
(3.40)
(3.41)
Ablaufsteuerung
MSB
Zähler
LSB
eingestellt werden. Der Faktor k soll nun auf 1 ppm genau sein, d.h. es müssen entsprechend
viele Teilereinstellungen für n möglich sein:
Ringzähler/ .
Osz. >---------------------< Teiler ..-----v
n
n
n+l
n+l
(3.42)
Bild 3.44 einfache Frequenzvervielfacherschaltung
Das bedeutet:
n :

124 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
125
Frequenzvervielfachung mit VCO und Teiler
Mit einer Modifikation kann die Schaltung dennoch realisiert werden. Indem
Gleichung 3.41 in Gleichung 3.42 eingesetzt wird, wird erhalten:
~----~ Regler
Der Festfrequenzoszillator soll nun durch einen VCO ersetzt werden; fosz wird durch fvco
ersetzt. Dann muß folgende Gleichung erfüllt werden:
n
fvco1 - fvco2 • n+l
fvco1
~ 10-6 .
Diese Gleichung wird erfüllbar, wenn der VCO in einem Bereich gleich
± l/n ~ ± 1/1000 = ± 1 %0 gezogen werden kann.
Nach welchen Kriterien muß die VCO-Frequenz eingestellt werden
(3.46)
In Bild 3.43 wird der Ringzähler mit einem digitalen Wort geladen, das dem Zählerstand
des Hauptzählers dividiert durch eine Potenz von zwei entspricht. Diese Division läßt sich
einfach durch Rechtsverschieben der Dualzahl durchführen. Das Ergebnis dieser Division
ist nicht ganzzahlig, sondern weist Nachkommastellen auf. Da hier jedoch ganzzahlig
dividiert wird, würden diese Nachkommastellen zunächst nicht berücksichtigt werden und
zu einem Fehler führen. Diese zunächst unberücksichtigte Information wird nun für die
Ansteuerung des VCO genutzt. In der Schaltung nach Bild 3.44 sind die zusätzlich notwendigen
Funktionsteile eingezeichnet.
Die Grundstruktur ist ähnlich wie in Bild 3.43. Das Eingangssignal gelangt wieder zuerst
in eine Ablaufsteuerung. Neben verschiedenen Steuersignalen wird wiederum ein Torsignal
für den nachgeschalteten Zähler erzeugt. Zähler und Ringzähler liegen am gleichen
Takt. Der Ringzähler bzw. Teiler wird mit den führenden Bits des Zählers geladen. Dies
entspricht einer ganzzahligen Division durch eine Potenz von zwei. Für den Ringzähler
sind 12 Bit Wortbreite ausreichend.
Der minimale Fehler wird dann erreicht, wenn die bei der Division nach rechts verschobenen
- also bislang unberücksichtigten Bits - Null sind. Dies kann erreicht werden, indem
diese Bits zur Ansteuerung eines VCO verwendet werden. Dieser wird solange verstimmt,
bis tatsächlich alle unteren Bits Null sind. Die VCO-Frequenz ist dann exakt ein
Vielfaches der Eingangsfrequenz.
Dazu werden die unteren Bits auf einen Digital/ Analog-Umsetzer gegeben, der über einen
Regler den VCO verstimmt. Damit die Regelung vorzeichenrichtig arbeitet, wird nicht
nur Bit 0 .. 12, sondern auch Bit 13 auf den D/A-Umsetzer gegeben. Da ein gewisses
Phasen- und Frequenzrauschen unvermeidlich ist, kann man sich Bit O und 1 sparen und
nur Bit 2 .. 13 an den D/A-Umsetzer anlegen.
Beispiel:
Die Eingangsfrequenz betrage f=300 Hz. Es sollen 32 Abtastimpulsen pro Periode erzeugt
werden. Besitzt der VCO einen Ziehbereich von 1 %0, so berechnet sich hieraus die
Frequenz des VCO fvco zu 9,6 MHz. Ein um den Faktor 1000 geringerer Wert, als im
vorausgegangenen Abschnitt.
Als VCO wurde ein einfacher CMOS-Quarzoszillator aufgebaut, bei dem die Betriebsspannung
verändert wird. Damit ist ein ausreichender Zieh~ereich möglich.

126 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 127
Meßergebnisse
In Bild 3.45 ist eine mit dieser Schaltung durchgeführte Meßreihe über vier Stunden
dargestellt. Das Verhältnis von VCO-Frequenz zu Eingangsfrequenz betrug
n=26 624+An. Die Kurve zeigt die Abweichung An/n des Faktors n aus Gleichung 3.39
vom gewünschten Wert 26 624. Wird die Oszillatorfrequenz durch den Faktor 1024=2 10
geteilt, so erhält man k=26 Abtastpunkte pro Periode. Die Periodenbedingung ist auf
± 1 ppm genau erfüllt.
tm / n
3.3.5 Fensterung des Datensatzes
Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, welcher Aufwand nötig ist, um die Periodenbedingung
genau genug einzuhalten. Besonders vorteilhaft wäre ein Auswertealgorithmus
bei dem die Einhaltung der Periodenbedingung nicht erforderlich ist. Dies ist besonders
für eine Implementierung auf einem Signalprozessor interessant. Hier könnten die Daten
asynchron zur Periodizität der Signale eingelesen und verarbeitet werden.
Um zu erkennen, wie Fehler bei der Verletzung der Periodenbedinguug entstehen, bzw.
um Eingriffsmöglichkeiten zu erschließen, ist es notwendig den erfassten Datensatz analytisch
zu beschreiben. Ein Vergleich zwischen den komplexen Fourier-Koeffizienten und
dem Spektrum des betrachteten Datensatzes eröffnet einen eleganten Weg zur Berechnung
des Fehlers bei der Bestimmung der Phase.
Der komplexe Fourier-Koeffizient ck berechnet sich nach
(3.47)
Die Diskrete Fourier-Transformierte berechnet sich nach
N-1
Fv

128 · Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 129
Berechnung des Spektrums
Eine abgetastete Sinuskurve kann im Zeitbereich beschrieben werden durch eine kontinuierliche
Sinusfunktion multipliziert mit einem Rechteckfenster mit diskreten Punkten. Da
der Datensatz zum Zeitpunkt t=O beginnt, muß das um den Ursprung symmetrische
Fenster mit der Dauer t = Tm um T m/2 nach rechts verschoben werden. Das Spektrum wird
nun ermittelt, indem zunächst die Einzelspektren von Sinusfunktion und Fensterfunktion
bestimmt werden. Die Faltung der Einzelspektren ergibt dann das Spektrum der abgetasteten
Sinusfunktion. Bild 3.46 zeigt den Vorgang.
(3 .52)
Mit diesen Vorüberlegungen läßt sich der Fehler bei der Bestimmung der Phase berechnen.
Beispiel:
Bild 3.47 zeigt eine "falsch" abgetastete Funktion. Es wurden insgesamt 300 Punkte
abgetastet. Die Meßzeit ist kein Vielfaches der Periodendauer der Grundschwingung.
y
(\
g ~
0 0
A
0 0
0 0
0 0
0 0
l\
0 0
0 0
0 ~
i 0
i 0
0 0
0 0
0 0
0 0
i 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0 0 0 0 0
0 ~---~~~o~~~~o~~--'o"---~~~o~~~~~~~~~~~o
0
0
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
V
0
0
':, 0
V
0
0
0
V
0
t-
Bild 3.47
"falsch" abgetastete Funktion; die Periodenbedingung ist verletzt
Bild 3.46 Berechnung des Spektrums des Abtastsatzes
Das Spektrum an der Stelle w 0 berechnet sich zu:
Für das Spektrum ergibt sich somit folgender Ausdruck /Sch2/:
(3 .53)
c.>Ta
sin(N ·--) . T„
2 -1 ·-
2
* [----·e ]
wT
sin(--a)
2
(3.51)
Statt des korrekten Phasenwinkels von ip =0° ergibt sich ein Phasenwinkel von:
(3.54)
Betrachtet wird das Spektrum an der Stelle w 0 :

130 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
131
werden. Der Fehler würde ebenfalls bei 2,65° liegen.
Da nun aber nicht nur der komplexe Fourierkoeffizient vorliegt, sondern auch das Spektrum
des betrachteten Datensatzes können die Fehlerursachen beschrieben werden. Aus
Bild 3.46 ist ersichtlich, daß die Fehler durch die Faltung der beiden Dirac-Stöße im
Imaginärteil des Spektrums der Sinusfunktion mit dem Spektrum der Fensterfunktion
entstehen. Aus Gleichung 3.52 ist abzulesen, daß die Fehler minimal werden für
w 0
Tm--+27r. Das ist genau die Periodenbedingung, die nicht eingehalten werden kann. Es ist
aber dennoch eine Verbesserung durch das Abschneiden des Datensatzes auf möglichst
ganze Perioden zu erzielen. Dies ist möglich, da die Signalfrequenz des Signals bekannt
ist.
Beispiel:
Bild 3.48 zeigt die "falsch" abgetastete Funktion aus Bild 3.47 auf möglichst ganze Perioden
beschnitten. Von den ursprünglich 300 Werten gehen noch 281 in die Ausgleichsrechnung
ein. Das Spektrum an der Stelle w 0 berechnet sich zu:
Bild 3.48
1 -
!\
0 0
0 0
0 0
0 0
i 0
0
y 0
~
0
0
0
0
0
;
p
0
0
~
0
0 0
0
0
0
-1 - V
0
0
0
0
!\
~ i
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
V
0
0
0
(\
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
~ ~
0
0
0
~
0
0
0
~
0
0
0
0
0
V
0
0
0
0
0
0
0
t--
"falsch" abgetastete Funktion, auf ganze Perioden beschnitten
Fv

132 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 133
Betrag F (}, c.>)
lEO
lE-2
lE-4
0
ß.ilg 3.50 Spektrum des Blackmaq-Fenste,r~
Bla..cknian-Fenster
(nonniert)
Verbesserung im Realbetrieb
In den folgenden beiden Messungen wird die Verbesserung durch die Benutzung des
Fensters gezeigt. Dabei findet bereits der neue Algorithmus, der im nächsten Abschnitt
vorgestellt wird Verwendung. Die Ergebnisse lassen sich aber auch auf die Fourierreihe
übertragen.
zwei sinus(örmige Signale mit einer Frequenz zwischen 200„ .300 Hz wurden mit einer
Abtastfrequenz von 50 kHz digitalisiert. Aus einem Abtastsatz von 1400 Meßwerten
wurde die Phasendifferenz ermittelt. Das bedeutet es wurden zwischen 6 und 8 Perioden
der Signale eingelesen. Bild 3.52 zeigt das Ergebnis bei Verwendung des eingelesenen
Datensatzes ohne zusätzliche Bewertung mit einer Fensterfunktion.
Liq> in µrad
(3 .58)
40
Daraus ergibt sich ein Fehler in der Phasenbestimmµpg von:

134 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 135
wurde verwendet, da es in der DSP-Funktionsbibliothek bereits zur Verfügung steht,
während für das Blackman-Fenster ein neuer Funktionsblock hätte geschaffen werden
müssen.
~q> in µrad
eines der Signale im Speicher um eine oder mehrere Stellen, entprechend einem oder
mehrere Ta, verschoben. Ta ist bekannt und konstant. Die Idee ist, y 1 als Linearkombination
aus y 2 und dem verschobenen y 2 , nachfolgend y 3 genannt darzustellen (s.Bild 3.54):
(3 .59)
40
20
A
0
-20
-40
Bild 3.53
200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
Frequenz in Hz
Bestimmung der Phasendifferenz aus einem Datensatz mit Hamming-Fenster
Bild 3.54 eingelesene Datensätze y 1 , y 2 und erzeugter Datensatz y 2 (t-n · TJ = y 3
3.3.6 korrelative Phasenmessung
Grundlagen
Bei Coriolis-Massendurchflußmessem muß die Phasen- oder Zeitverschiebung zweier
sinusförmiger Signale ermittelt werden. Da die Signale schon sinusförmig sind, würde
sich nun anbieten, gleich ein Signal als Referenzsignal zu definieren und die Verschiebung
des zweiten Signals diesem gegenüber zu ermitteln.
Beim Ausgleich mittels Fourierreihe wurde jedes Sensorsignal durch sin- und cos­
Schwingungen ausgedrückt. Dies ist ein orthogonales Referenzsystem. Um einen Ansatz
für eine Ausgleichsrechnung durchführen zu können, benötigt man nicht umbedingt ein
Orthogonalsystem. Da die Signale jedoch Schwingungen sind, also Vektoren, muß Signal
1 als Linearkombination aus Signal 2 und einer weiteren, noch fehlenden Komponente
dargestellt werden.
Um A und B zu erhalten, lösen wir wie bei der Fourierreihe das Minimierungsproblem
N
S = L (yli -(A "Y2; + B ·y3)2 -+
i=l
Min
Die partiellen Ableitungen nach A und B müssen verschwinden:
öS
N
0 = - = 2·L (y .- (A·y .+B·y .)) ·(-y.)
öA i=l 11 21 31 21 •
Wir führen zur Vereinfachung folgende Schreibweisen ein:
(3.60)
(3.61)
(3.62)
Diese fehlende Komponente kann leicht erzeugt werden. Es wird dazu nur der Datensatz

136
N
s11 = E

138 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
139
langsamen Mikrocontroller oder PC durchgeführt werden.
Damit ist zwar zur Bestimmung der Phasendifferenz weiterhin die Kenntnis der Frequenz
erforderlich. Sie kann jedoch in den Ergebniswert durch eine einmalige Multiplikation
eingerechnet werden und muß nicht so genau vorliegen, wie bei der Fourierreihe.
Fehlerabschätzung
Um mit der Fourierreihe vergleichen zu können, soll auch für diesen Algorithmus die
erreichbare Genauigkeit der Phasenbestimmung berechnet werden.
Auch für dieses Verfahren läßt sich die resultierende Streuung der Phasendifferenz abhängig
vom Signal/Rausch-Verhältnis und der Anzahl der Meßwerte N berechnen.
Die Zeitverschiebung dt wird ermittelt aus:
S13 ·yli - s12 ·y1(i-1)
(3.84)
kann die Varianz az 2 von Z abhängig von der Varianz der Eingangsgrößen y 1 und y 2
angeben werden:
(3.85)
Zur Vereinfachung der Rechnung soll weiterhin von gleichgroßen Eingangssignalen und
gleich großem Signal/Rausch-Verhältnis ausgegangen werden, also
(3.86)
81/
!1t = ZB ·t
0
ZA + ZB
ZB
---·wt
0 0
ZA + ZB
(3.79)
Mit
Die Summen S 22
, S 33
und S 23
in ZA und ZB hängen nur von y 2 und der Zeitverschiebung
dt ab. Indem diese Summen berechnet und in die Formel für dcp eingesetzt werden, wird
erhalten:
(3 .80)
folgt:
0 2 = 0 2 ·__!:._·(S 2 s -28 s 8 +s 2 s 28 s .~
z
y
8 4 13 22 12 13 23 t3 11 - 12 13 L...JY1i'Y1ci-1) •
13
(3 .87)
(3.88)
Für sinusförmige Signale und Abtastung über volle Perioden gilt:
Mit
(3.81)
N
811 = E y2sin(wonTa) = 822 = 833 = -y2 .!!. = 8
n=l 2
(3.89)
folgt:
N
8 23
= ~ y 2 sin(w 0 nTa) ·sin(w 0
(n-l)T) = y 2 ·~ ·cos(wto) = S·cos(wto) . (3.90)
(3.82)
Z ist dabei der vom DSP gelieferte Wert.
Mit
öZ S13 °Y2; - 812 ·y3;
(3.83)
Dies eingesetzt ergibt für die Varianz von Z:
0 2
z (3.91)
und
öyli 8 1
/
(3 .92)

140 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 141
(J 2
z
(J 2 2
_ Y ·-·4(1-cos(cut )
y2 N
0
(J 2 2
_ Y ·- ·2(c..>t)2
2 N o
y
(3.93)
10
Für die Varianz der Phasendifferenz !icp gilt:
(3.94)
µrad
SNR = 70 dB
sin 4 ( wto)
2 2
2 1
oz ·(wto) - -----
24(cos( c..>t 0
) - 1) 4 (J --
z (c..>to)2
(3.95)
Eingesetzt in Gl. 3. 93 ergibt sich:
(J 2 2
_Y ·-·2
y2 N
CJ 2 2
_ Y · -
y 2
elf
N
(3.96)
0,1
J~~-.---~~-.-~~~.--~~~~.-~-~----
10 6 Anzahl N
Bild 3.55 Streuung der Phasendifferenz !icp abhängig von der Anzahl der Meßwerte N
also:
(3.97)
Bei der Messung aus Bild 3.55 wurde die Anzahl der Meßwerte bei gleichbleibendem
Signal/Rausch-Abstand von 70 dB variiert. Aufgetragen ist die Standardabweichung des
Ergebnisses für die Phasendifferenzberechnung.
Damit ist bei gleichem Signal/Rausch-Verhältnis die Streuung der Phasendifferenz diesselbe,
wie bei der Berechnung mittels Fourierreihe (Bild 3.43). Beide Verfahren liefern
Cllso die in den Signalen liegende Information bezüglich der Phasendifferenz. Eine genauere
Abschätzung der Phasendifferenz ist aus der Natur der verrauschten Datensätze nicht
möglich.
3.3.7. Vergleich der Verfahren
Die Ausgleichsrechnung mittels Fourie~eihe ist ein bewährtes Verfahren in der digitalen
Phasenmessung. Sie ist für Phasendifferenzen zwischen 0 ... 360° geeignet. Die Frequenz
der Signale muß genau bekannt sein. Dies macht bei der Benutzung eines DSPs einen
zusätzlichen Eingangskanal für die Frequenz erforderlich, der die DSP Programmierung
erschwert, bzw. sogar die Auswahl an geeigneten DSP Systemen einschränkt.
Es müssen sehr viele Sinus- und Cosinuswerte berechnet werden. Diese Werte können
jedoch auch in einem Vorlauf berechnet und abgespeichert werden. Dafür ist dann wiederum
zusätzlicher Speicheraufwand erforderlich. Speicherbausteine stellen im allgemeinen
keinen großen Kostenfaktor dar. Bei einer Implementierung des Algorithmus auf
einem DSP wird allerdings der sehr viel teurere, schnelle Speicher in der DSP Umgebung
verwendet.
Der neue Algorithmus berechnet primär nicht eine Phasendifferenz, sondern eine Zeitdifferenz.
Das stellt im Falle der Massendurchflußmessung keinen Nachteil dar, da der
Massendurchfluß dem Quotienten aus Phasendifferenz und Frequenz, also genau der
Zeitverschiebung, proportional ist. Die Phasenverschiebung kann zudem nur mit einer
einzigen Multiplikation aus der Zeitdifferenz ermittelt werden. Diese Operation muß dann
nicht vom DSP ausgeführt werden. Dadurch ist kein zusätzlicher Eingangskanal für die

142 Realisierung des Meßsystems
Frequenz erforderlich. Dies ist eine große Vereinfachung bei der DSP Programmierung.
Bei der Herleitung des neuen Algorithmus wurden einige Vereinfachungen eingeführt. Sie
gelten nur in einem bestimmten Bereich der Phasenverschiebung der Signale. Aus diesem
Grund ist dieses Verfahren nur für kleine Werte bis etwa 0,02 mrad ~ 1° ausgelegt. Dies
stellt jedoch keine Einschränkung für die Massendurchflußmessung dar, da hier gerade
extrem kleine Phasendifferenzen gemessen werden müssen.
Realisierung des Meßsystems
nonnierte Amplitude
143
3.3.8 Ermittlung der Frequenz aus dem Datensatz
Für den Betrieb des Massendurchflußmessers wird nicht nur die Information Phasendifferenz
oder Zeitdifferenz benötigt, sondern auch die Information über die Frequenz des
schwingenden Rohres. Diese Information wird im Meßsystem, wie es in Abschnitt 3.2
beschrieben wurde, mit einem eigenen Frequenzzähler gewonnen. Ebenso möglich ist die
Ermittlung der Frequenz aus solchen Größen, die für die Ermittlung der Phasendifferenz
ohnehin anfallen. Damit wären für die Frequenzbestimmung keine weiteren Hardwarekomponenten
und nur unwesentlicher Rechenaufwand erforderlich.
In Bild 3.56 ist zur Verdeutlichung noch einmal der bei der Phasenbestimmung vorliegende
Datensatz aufgezeichnet. Ein sinusförmiges Signal wurde über mehrere Perioden abgetastet
und anschließend mit einer Fensterfunktion multipliziert. Es soll sich hierbei um
den Kanal 2, also den Datensatz y2 handeln.
Im Verlauf der Phasenbestimmung fallen die Zwischengrößen S23 und S33 an. Für sinusförmige
Signale berechnen sich diese Größen wie folgt (vgl. Gl. 89,90):
-1
Bild 3.56 vorliegender Datensatz
0 10 20ms
Da sich S23 und S33 nur sehr wenig unterscheiden, ist diese Bestimmungsgleichung
schlecht konditioniert. Wie die Messungen belegen, werden aber dennoch brauchbare
Ergebnisse erhalten. Bild 3.57 zeigt die Kennlinie dieser Frequenzmessung im interessierenden
Frequenzbereich von 200 Hz bis 300 Hz.
berechnete Frequenz in Hz
300
N
S33 = tr (y2(n Ta))2 = Yi i
(3.98)
275
250
225
mit der Anzahl der Punkte N, der Amplitude y2, der Kreisfrequenz w und der Zeitverschiebung
fo. Hieraus läßt sich die Frequenz f2 des Eingangssignales y2 separieren:
1 s
--arccos~
21t to S33
s 2
1-(~)
S33
(3.99)
200
200 225 250 275 300
eingespeiste Frequenz in Hz
Bild 3.57 aus dem Datensatz nach Bild 3.56 berechnete Frequenz

144 Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems
145
Die Abweichungen zwischen eingespeister Frequenz und berechneter Frequenz sind in
Bild 3.58 aufgetragen. Es wird eine Genauigkeit von etwa 0,03 Hz erreicht. Das
entspricht einer relativen Genauigkeit von etwa 0, 1 %0 über den gesamten Bereich. Diese
Art der Frequenzmessung ist somit ausreichend genau für die Massendurchflußmessung,
bzw. für die Bestimmung der Dichte aus der Schwingfrequenz des Rohres.
0,05
Hz
0,025
erzielt. Die mit dem auf gebauten System erzielte Geschwindigkeit wird nur von speziellen ·
analogen Schaltungen erreicht. Bild 3.59 zeigt die Messung eines Sprunges in der Phase.
So schnelle Phasenänderungen sind beim Massendurchflußmesser nicht mehr möglich.
Deswegen wurde für diese Messung das Meßsystem aus einem elektronischen Generator
gespeist. Dieser Generator liefert zwei sinusförmige Ausgangssignale, die in ihrer Phasenlage
einstellbar sind. Der Signalprozessor liefert alle 27 ms einen Meßwert, der unabhän-
- gig von den vorhergehenden Meßwerten ist. Damit ist dieses Meßsystem für die gestellte
Meßaufgabe ausreichend schnell.
3,0
ii

146
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 147
2,00
µrad
1,75
1,50 1-+---------------- -----­
5 Tage Zeit
Bild 3.60 Nullpunktstabilität des Meßsystems über 5 Tage
Linearität
Bei der Massendurchflußmessung ist der Meßeffekt, die Phasenverschiebung, linear von
der zu messenden Größe dem Massendurchfluß abhängig. Bei der Herleitung des Algorithmus
wurden einige Vereinfachungen gemacht und es ist zu prüfen wie diese sich auf
die Linearität des Phasenmessers auswirken. Es steht jedoch hierfür kein Generator zur
Verfügung, der zwei phasenverschobene Signale mit der geforderten Genauigkeit liefern
könnte. Aus diesem Grunde wurde die Messung mit zwei Software-Generatoren durchgeführt.
Der Signalprozessor bekommt seine Eingangswerte also nicht vom ADU, geliefert,
sondern von einem Programm. Bei dieser Messung wurde die Kennlinie von
Bild 3.61 ermittelt:
In Bild 3.62 sind über der gleichen Abszisse die Abweichungen fl'Pr in der berechneten
Phasendifferenz fl'Pber aufgetragen. Der Fehler beläuft sich im ganzen Bereich unter
4 µrad. Das ist für den Anwendungsfall Massendurchflußmessung noch ausreichend. Bei
dieser Messung stellte sich allerdings heraus, daß auch die Software-Generatoren einen
nicht unerheblichen Fehler beitragen. Der DSP besitzt eine im Vergleich zu einem PC
begrenzte Anzahl von Bits. Dadurch sind auch die berechneten Sinus- und Cosinuswerte
mit Ungenauigkeiten behaftet. Die oben angegebene Genauigkeit wird somit mit realen
Meßwerten sogar eher noch unterboten.
Bild 3.61
µrad
0 5 10 mrad 15 llcpgen
Linearität des Phasenmessers; zwei um fl'Pgen phasenverschobene Signale
werden zugeführt; fl'Pber ist der berechnete Ergebniswert
4
2
-2
-4
0 5 10 mrad 15
Aq>gen
Bild 3.62
Abweichung fl'Pr der berechneten Phasendifferenz fl'Pber von der zugeführten
Phasendifferenz fl'Pgen

148
Realisierung des Meßsystems
Realisierung des Meßsystems 149
Abhängigkeit der berechneten Phasendifferenz von der Signalfrequenz
Da bei der Herleitung des Algorithmus einige Vernachlässigungen getroffen wurden, die
vor allem trigonometrische Funktionen betrafen, muß die Abhängigkeit der berechneten
Phasendifferenz d'fJ von der Signalfrequenz untersucht werden. Würde man beide ADU
Eingänge mit demselben Signal speisen, so müßte der Phasenmesser bei jeder Frequenz
die Phasendifferenz Null liefern. Das tut er auch. Allerdings ist der Fall !::i.'()=0 kein
verläßliches Prüfkriterium. Größere Abweichungen sind sicheriich zu erwarten, wenn am
Meßgerät Signale mit eine:r; Phasendifferenz eingespeist werden. Hier ergibt sich allerdings
das gleiche Problem, wie bei der Ermittlung der Linearität. Es steht kein Generator
zur Verfügung, der zwei phasenverschobene Signale mit variabler Frequenz genau genug
liefert. Um die Messung dennoch durchführen zu können, wurden zwei identische Signale
auf beiden ADU-Kanälen eingelesen. Von diesen wurde eines im Speicher um Ta verschoben.
Damit wäre diese Signal identisch mit dem im Phasenmeßalgorithmus zusätzlich
erzeugten Signal y • 3
Die Messung wäre genauso wenig aussagekräftig wie bei !::i.'()=0°.
Deswegen wurde der Algorithmus modifü;iert. Das zusätzlich erzeugte Signal y3 wurde
nicht um 1 · Ta, sondern um 2 ·Ta verschoben. Die Berechnung bleibt dieselbe. Nun liegen
jedoch zwei Datensätze y 1
und y 2
vor, die exakt um Ta verschoben sind. Das Phasenmeßgerät
sollte nun unabhängig von der Frequenz den Wert !::i.t=Ta = 1/48 kHz=20,83 µ,s
liefern. Bild 3.63 zeigt die Ergebnisse dieser Messung. Durch den modifizierten Algorithmus
entspricht der Frequenzbereich von 50 bis 250 Hz einem Frequenzbereich von 100
bis 500 Hz beim alten Algorithmus.
Der Fehler erscheint mit ± 1 %0 relativ hoch. Beim Massendurchflußmesser treten jedoch
niemals derart große Frequenzäqderungen auf. Soll der Phasenmesser aber in größeren
Frequenzbereichen eingesetzt werden, so sind die Vernachlässigungen in den Gleichungen
74-76 durch die exakten Ausdrücke zu ersetzen.
20,9
µs
20,8
20,7
saese sese-El
998 8 88 9888
50 100 150 200 Hz 250
Bild 3.63 berechnete Zeitverschiebung !::i.t in Abhängigkeit der Eingangsfrequenz
Abhängigkeit der berechneten Phasendifferenz von der Signalamplitude
Eine ähnliche Unters4chung wurde zur Abhängigkeit des ausgegebenen Wertes von der
Amplitude des Eingangssignales durchgeführt. Die Meßanordnung war identisch mit der
im Abschnitt Frequenzabhängigkeit beschriebenen. Bild 3.64 zeigt die Zeitverschiebung
!::i.t in Abhängigkeit des Effektivwertes der sinusförmigen Eingangsspannung.
In Bild 3.65 ist der relative Fehler !::i.trfto als Funktion der Amplitude der Eingangsspannung
aufgetragen. Der Fehler kann zwar auch hier bis zu 1 %0 betragen, aber da beim
Massendurchflußmesser die Amplitude geregelt wird, sind keine relevanten Meßunsicherheiten
zu erwarten.

150
Realisierung des Meßsystems
Eigenschaften des Meßsystems 151
.M
20,9
µs
20,8
20,7
0,50 1,00 1,50 V 2,00
Bild 3.64 Abhängigkeit der Zeitverschiebung dt vom Effektivwert der Signalamplitude
4. Eigenschaften des Meßsystems
4.1 Kennlinie, Meßunsicherheit
Coriolis-Massendurchflußmesser zeichnen sich durch eine hohe Meßgenauigkeit aus. Zur
Charakterisierung des neuen Durchflußmessers steht deswegen die erreichte Meßgenauigkeit
an erster Stelle. Diese Meßgenauigkeit wird unter optimalen Bedingungen erreicht,
d.h. konstante Temperatur von T=20°C und keine störenden Umgebungsgeräusche. Der
Meßfehler setzt sich dabei zusammen aus Linearitätsabweichungen bei dem aktuellen
Durchflußwert und einem durchflußunabhängigen, konstanten Nullpunktfehler. Aufgrund
der großen Meßspanne wird die Meßunsicherheit üblicherweise bezogen auf den angezeigten
Wert angegeben. Zu geringeren Durchflüssen hin schlägt der konstante Nullpunktfehler
immer mehr zu Buche.
Mit dem am Lehrstuhl für Elektrische Meßtechnik auf gebauten System konnten dabei die
Ergebnisse von Bild 4.1 erzielt werden:
pro:l:entuale Abweichung
vom Referenzgerät
1,00
0,66
0,33
I
I
I
I
X
Meßwerte
zulässige Abweichung
/
/
/
X
X
X
1
Bild 3.65
0,50 1,00 1,50 V
rel. Unsicherheit dtrf to in Abhängigkeit des Effektivwertes der Eingangsamplitude
Bild 4.1
10
50 100
Massendurchfluß in %
bez. auf den Nenndurchfluß
Abweichung des Gesamtsystems vom angezeigten Wert des Referenzdurchflußmessers
Die Meßunsicherheit wurde definiert als die Abweichung der Anzeige des neuen Durchflußmessers
von einem bewährten, industriellen Durchflußmesser. In einer Meßspanne

152 Eigenschaften des Meßsystems
von 10 % bis 100 % des maximalen Durchflusses kann eine Übereinstimmung von 0,3 %
erreicht werden. Bei Nenndurchfluß entsteht über der Meßstrecke gerade 1 bar Druckabfall.
Eigenschaften des Meßsystems
äq> in Grad
0,0002
153
4.2 Nullpunktstabilität
0,0001
Bei Coriolis-Massendurchflußmessern ist die Nullpunktstabilität von besonderer Bedeutung.
Die bei konventionellen Systemen erreichten Nullpunktschwankungen sind zum Teil
kleiner als 0,01 %. Dennoch können diese geringen Nullpunktschwankungen die Meßgenauigkeit
stark einschränken, wenn sehr kleine Durchflußraten gemessen werden.
Nullpunktschwankungen können ihre Ursachen sowohl in den elektrischen, als auch den
mechanischen Komponenten des Durchflußmessers haben.
In den folgenden Messungen sind schrittweise, beginnend beim ADU bis zum gesamten
Meßsystem, die Nullpunktschwankungen über jeweils etwa drei Tage aufgezeichnet.
Bild 4.2
0
-0,0001
-0,0002
0
Tage 2
Nullpunktschwankungen von ADU und Signalverarbeitung
ADU
Der LiE-ADU wurde zunächst aus einem Funktionsgenerator gespeist. Der ADU wurde
voll ausgesteuert. Beide Eingänge wurden am Ausgang des Funktionsgenerators angeschlossen.
Es wurde kein digitaler, sondern ein analoger Funktionsgenerator verwendet.
Dessen Frequenz ist nämlich temperaturabhängig. Dadurch ergeben sich ähnliche Verhältnisse,
wie beim Gesamtsystem." Die Frequenzschwankungen betragen etwa 2 Hz. Bild 4.2
zeigt Ergebnisse, die bei einer Messung über 2 Tage erzielt wurden.
Die Streuung der Meßwerte ist wie erwartet aufgrund des guten Signal/Rausch-Verhältnisses
des Generators sehr gering. Sie liegt unter 0,000 01°. Die Drift ist deutlich stärker.
Sie beträgt etwa 0, 000 05 °. Ursachen könnten in Einstreuungen beim AD U liegen.
!J.qi in Grad
0,0002
0,0001
0
-0,0001
2 3 Tage 4
Vorverstärker
Bild 4.3
Nullpunktschwankungen von Vorverstärker, ADU und Signalverarbeitung
Für die folgende Messung wurde die Meßkette um die Vorverstärker für die optischen
Sensoren erweitert. Diese Strom/Spannungs-Verstärker wurden aus demselben Funktionsgenerator
über hochohmige Widerstände gespeist. Es ergab sich damit für die Verstärker
ein Eingangsstrom, der etwa dem von den Photodioden gelieferten Strom von 10 µA
entsprach. Auch bei dieser Messung war die Frequenzdrift des Generators etwa 2 Hz und
entsprach damit den Werten bei Messungen am Gesamtsystem.
Die Streuung ist größer als bei der Messung nur mit ADU. Sie beträgt jetzt knapp
0,000 02°. Die Drift beträgt etwa 0,000 05°.
Gesamtsystem
Im letzten Schritt wurden die Photodioden an die Verstärker angeschlossen und das Meßrohr
zu Schwin~ngen angeregt. Der Meßaufnehmer war dabei waagrecht gelagert. Das
Meßrohr war mit Wasser befüllt. Der Wasserkreislauf stand unter einem Druck von ca.
4 bar, um das Entstehen von Gasblasen zu verhindern.

154
Eigenschaften des Meßsystems
Eigenschaften des Meßsystems
155
Die Nullpunktschwankungen wurden wieder über 3 Tage aufgezeichnet. Die Frequenzdrift
betrug hier ebenfalls etwa 2 Hz, so daß diese Messung mit den vorstehenden verglichen
werden kann. Sowohl Drift, wie auch Streuung verschlechtern sich etwas. Für die Nullpunktdrift
ergibt sich ein Wert von etwa ±0,000 1°, für die Streuung ein Wert von
0,000 03°.
m
0,02
kg/min
0,01
0
a

156
Eigenschaften des Meßsystems
Eigenschaften des Meßsystems 157
.
m
20
kg/min
15
----
Eigenentwicklung
Nullpunktfehler in % vom Endwert
0,10
0,05
o,oo--l----+-v-----;'----=-...--::.,;,__,'---------"-v-L__ \~~~_____
10
-0,05
5
-0,10
0,5 1,0
1,5 s 2,0
25 30 35 40 45
Temperatur in ° C
Bild 4.6
Dynamik des Gesamtsystems,
Bild 4.7
Nullpunktfehler bezogen auf den Endwert von 20 kg/min abhängig von der
Temperatur des Meßrohres; die Gehäusetemperatur wurde konstant gehalten
entstehen axiale Spannungen, die ebenfalls zu einer Änderung des Kalibrierfaktors führen.
Diese Zusammenhänge wurden im Kapitel "Mathematische Berechnung" und "Sensorik"
bereits erläutert. Bevor die Auswirkungen von Temperaturschwankungen auf den Kalibrierfaktor
untersucht werden, muß allerdings geprüft werden, ob der Nullpunkt bei
verschiedenen Temperaturen stabil bleibt.
Nullpunkt
Die Temperatur von Meßrohr und Tilgerrohr kann sich stark unterscheiden. Durch die
parallele Anordnung der beiden Rohre entsteht durch die ungleichmäßige Ausdehnung
eine Unsymmetrie im mechanischen Aufbau. Bild 4.7 zeigt die Ergebnisse einer Meßreihe,
in der die Stabilität des Nullpunktes bei gleichbleibender Gehäusetemperatur abhängig
von der Meßrohrtemperatur ermittelt wurde. Neben der Streuung der Meßwerte kann
keine zusätzliche temperaturabhängige Drift beobachtet werden.
Kalibrierf aktor
Nachdem beim Nullpunkt keine temperaturabhängige Drift festgestellt werden konnte,
kann die Drift in den folgenden Messungen ganz der Temperaturabhängigkeit des Kalibrierfaktors
zugerechnet werden. Es wurden hierzu zwei Meßreihen durchgeführt. In der
ersten Meßreihe wurde das Fluid erhitzt. Die Temperatur des Meßrohres steigt stark an.
Die Temperatur des Gehäuses steigt entsprechend dem Wärmeübergang von Meßrohr auf
das Gehäuse langsam. In der zweiten Meßreihe wurde die Temperatur des Fluides konstant
gehalten, jedoch das Gehäuse erwärmt. Beide Meßreihen sind jeweils in einem
Diagramm dargestellt (s. Bild 4.8).
Da das Referenzgerät temperaturkompensiert ist, wird es im folgenden als fehlerfrei
betrachtet. Als Meßfehler wird die Abweichung des neuen Durchflußmessers vom' Referenzgerät
definiert. ~s ergibt sich die in Bild 4.9 dargestellte Abweichung.
Für eine Temperaturkompensation können nun die Meßrohrtemperatur und die Temperaturdifferenz
zwischen Meßrohr und Gehäuse verwendet werden. Diese beiden Größen
wurden während der Messung zusätzlich aufgezeichnet. Bild 4.10 zeigt diese beiden
Größen.
Aus der Form der Kurven ist ersichtlich, daß die Temperaturdifferenz den größeren Ein-

158 Eigenschaften des Meßsystems
Eigenschaften des Meßsystems 159
angezeigter Durchfluß in kg/min
Temperatur des Meßrohres in ° C
22
20
18
16
neU&~
1 Referenzgerät "'===~-~=--......,~::::::::::==:::=::::-
Zeit
Temperaturdifferenz ll T in K
40 / _,,Temperatur des Meßrohres
20
--------Temperaturdifferenz ll T
Bild 4.8 Anzeige des neuen Durchflußmessers und des Referenzgerätes über der Zeit
rel. Abweichung von Referenzgerät in %
Bild 4.10
Zeit
Temperatur des Meßrohres in °C und Temperaturdifferenz zwischen Meßrohr
und Gehäuse in K
Abweichung vom Referenzgerät in %
2
0 -r--t-~~~-::::~~::__~~C---:i:P"'r'~~~'}j__--+-...:_
Zeit
Bild 4.9 relative Abweichung zwischen neuem Durchflußmesser und Referenzgerät
fluß auf den Kalibrierfaktor hat. Mit einer Ausgleichsrechnung kann nun der Temperaturkoeffizient
für eine Korrekturgleichung ermittelt werden. Diese Korrekturgleichung lautet:
(4.1)
-2
-4
Bild 4.11
Zeit
rel. Abweichung vom Referenzgerät bezogen auf Nenndurchfluß mit Kompensation
der Temperaturdifferenz zwischen Gehäuse und Meßrohr
Der Korrekturfaktor k 1
wurde zu 0,005 l/K ermittelt. Wird die Korrektur auf den gemessenen
Massendurchfluß angewendet, so ergibt sich die Meßunsicherheit aus Bild 4.11.
Die Kompensation ist noch nicht ausreichend. Wie in der Berechnung (Kapitel 2.1) bereits
gezeigt, beeinflußt die Temperatur des Meßrohres auch direkt den Kalibrierfaktor. In
der Berechnung wurde ein Einfluß von etwa +0.1 % /K bezogen auf den Endwert ermittelt.
Wird nun auch diese Größe mitberücksichtigt gemäß der Korrekturgleichung
(4.2)
mit dem Faktor k 2 =0,001 l/K, so läßt sich die relative Abweichung vom Referenzgerät
bezogen auf Nenndurchfluß nach Bild 4.12 erreichen.
Die Abweichungen)iegen nun im Bereich unter 0,5 %. Da die Meßreihen allerdings
schnell durchfahren werden mußten, um die Temperaturdifferenzen zwischen Meßrohr
und Gehäuse einzuhalten, war weder der neue Durchflußmesser, noch das Referenzgerät
in einem thermisch stationären Zustand. Unter diesen Umständen hat sicherlich auch die
Temperaturkompenssation des Referenzgerätes nicht optimal gearbeitet. Die Ergebnisse
dieses Abschnittes können somit nicht die exakten Werte für die Korrekturkoeffizienten

160 Eigenschaften des Meßsystems
Eigenschaften des Meßsystems 161
Abweichung vom Referenzgerät in %
Nullpunkt
Bild 4.13 zeigt die Auswirkungen des Rohrinnendruckes auf den Nullpunkt. Es kann kein
signifikanter Zusammenhang festgestellt werden. Der Innendruck hat somit keine Auswirkungen
auf den Nullpunkt (da bei dieser Messung mit kürzeren Meßzeiten gearbeitet
wurde, streuen die Meßergebnisse stärker).
Nullpunktfehler in % vom Endwert
Zeit
Bild 4.12
rel. Abweichung vom Referenzgerät mit Kompensation der Temperaturdifferenz
zwischen Gehäuse und Meßrohr und Kompensation der Meßrohrtemp.
liefern, sondern nur zusammenhänge und Hinweise auf mögliche Korrekturverfahren.
Präzise Koeffizienten müssen in aufwendigeren Prüfständen ermittelt werden.
4.6 Druckempfindlichkeit
Prozesse laufen oftmals unter sehr hohen Drücken ab. Von einem Coriolis-Massendurchflußmesser
wird verlangt, daß er eine sehr hohe Druckfestigkeit aufweist, und bei Belastung
mit hohen Drücken kaum an Meßgenauigkeit verliert. Es ist allerdings sehr schwierig,
den Meßaufnehmer bei Nenndurchfluß mit einem Druck von 100 bar zu kalibrieren.
Dazu müßte die gesamte Kalibriereinrichtung samt Waage unter einen Druck von 100 bar
gestellt werden. Dies wäre "zwar möglich, stellt aber einen zu großen Aufwand dar. Es ist
kein Hersteller von Coriolis-Massendurchflußmessern bekannt, der über eine derartige
Anlage verfügen würde. Deswegen wird zur Ermittlung der Druckempfindlichkeit die
Abhängigkeit der Grundfrequenz und des Nullpunktes vom Rohrinnendruck ermittelt.
Dazu wurde das Meßrohr des Durchflußmessers beidseitig mit Ermeto-Hochdruckverschraubungen
versehen und an eine Kolbenpumpe angeschlossen. Damit konnte das Meßrohr
bis 150 bar belastet werden.
Bild 4.13
Grundfrequenz
0 50 100 bar 150
Abhängigkeit des Nullpunktes vom Rohrinnendruck
Ist die Abhängigkeit der Grundfrequenz vom Rohrinnendruck bekannt, können
Rückschlüsse auf die Abhängigkeit des Kalibrierfaktors vom Innendruck gezogen werden,
denn eine Frequenzänderung bedeutet, daß sich die effektive Steifigkeit des Meßrohres
geändert hat und damit auch seine Ansprache auf den Corioliseffekt. Zudem wird die
Grundfrequenz auch für die Dichtebestimmung benutzt. Bild 4.14 zeigt die Meßergebnisse.
Es ist eine lineare Abhängigkeit von etwa 4 Hz pro 100 bar zu erkennen. Die Kalibrierung
gilt immer nur in einem bestimmten Druckbereich. Hier könnte mit einem speziell
abgestimmten magnetoelastischen Sensor Abhilfe geschaffen werden.

162 Eigenschaften des Meßsystems
Eigenschaften des Meßsystems
163
274
Hz
272
fin Hz
285
280
275
270
265 +----.--~~~~~~---.--~~~~~~....--~~~~~~~~--
0,9 1,0 1,1 kg/1 1,2
270
Bild 4.15
Frequenz f des Meßrohres als Funktion der Dichte des Mediums
punkt bei verschiedenen Dichten ermittelt (Bild 4.16).
0 50 100 bar 150
Bild 4.14 Resonanzfrequenz fres des Meßrohres abhängig vom Rohrinnendruck
Nullpunktfehler in % vom Endwert
4. 7 Dichteabhängigkeit
Wie in Kapitel 2.2 "Simulation" und 3.1 "mechanischer Aufbau" beschrieben, wird zur
Kompensation der Meßrohrschwingung das Tilgerrohr derart angeregt, daß sich ein Phasenunterschied
zwischen Meß- und Tilgerrohr von d8opt ergibt. Diese optimale Phasendifferenz
d8opt ist allerdings eine Funktion der Meßrohrmasse. Diese wiederum hängt ab
von der Dichte des Mediums. im folgenden wurde untersucht, wie sich unterschiedliche
Dichten auf den Betrieb auswirken.
Sicherer Betrieb war im Dichtebereich von p =0,88 kg/l bis p = 1,25 kg/l möglich. Darüberhinaus
arbeitete die Regelung instabil. Mit einer modifizierten Regelung können aber
auch größere Bereiche abgedeckt werden.
Bild 4.15 zeigt zunächst die Frequenz des Meßrohres in Abhängigkeit der Dichte des
Mediums. Coriolis-Massendurchflußmesser ermitteln nach einer Kalibrierung aus dieser
Kurve die Dichte des Mediums. Bei bekannten Durchflußmessern werden Rohre mit
dünneren Wandstärken benutzt, dadurch ist die Freqeunzänderung über der Dichte deutlich
größer und die Dichtemessung dementsprechend genauer.
Entscheidend sind die Auswirkungen der Dichteänderung auf den Nullpunkt und damit die
Meßgenauigkeit. Dazu wurde das Gerät bei Wasserbefüllung abgeglichen und der Null-
0,9 1,0 1,1 kg/1 1,2
Bild 4.16 Nullpunktfehler als Funktion der Dichte
Im Bereich niedrigerer Dichten ergeben sich Nullpunktabweichungen von unter 0,02 %.
Im Bereich höherer Dichten ergeben sich größere Abweichungen bis zu 0,08 %. Für die
Messungen mit Dichten Q > 1 kg/l wurden Salzlösungen verwendet, die zum Teil übersättigt
waren. Auskristallisierendes Salz oder Schwebepartikel könnten hier zu Unregelmäßigkeiten
geführt haben.
4.8 Abhängigkeit von der Viskosität
Die Phasenlage zwischen Tilgerrohr und Meßrohr ist von der Dämpfung des Meßrohres
abhängig. Diese Dämpfung setzt sich zusammen aus der inneren Dämpfung des Meßrohres,
und der Viskosität des Mediums. Um die Auswirkungen auf den Betrieb zu untersuchen,
wurde der Durchflußmesser mit Ricinusöl gefüllt betrieben. Ricinusöl weist bei
Zimmertemperatur eine große Zähigkeit auf. Die Werte für die kinematische und die

164 Eigenschaften des Meßsystems
Zusammenfassung
165
dynamische Viskosität sind etwa 1000 mal größer, als die für Wasser. Die hier erhaltenen
werte für Nullpunktfehler und Amplitude der Gehäuseschwingung wurden mit Wasser
und einem Stoff ähnlicher Dichte wie Ricinusöl verglichen.
Tabelle 4.1
Medium
Auswirkung verschieden viskoser Stoffe auf Schwingfrequenz, Nullpunktfehler
und Gehäuseschwingung
Dichte
kg/l
Wasser 1,00
Salzlösung 1,07
Ricinusöl 1,10
Frequenz
Hz
275,77
274,43
273,46
Nullpunktfehler
3 v.E.
0
0,08
0,01
normierte
Gehäuseschwingung
Di~ Gehäuseschwingung bei Ricinusöl ist stärker als bei der Salzlösung. Die höhere
Dä.!Ilpfung führt also zu einem größeren Fehler in der Abstimmung der beiden Rohre. Der
resultierende Nullpunktfehler ist jedoch mit 0,01 3 sehr klein. Hier haben sich entweder
zwei gegenläufige Fehlerursachen kompensiert, oder der angegebene Nullpunktfehler bei
der Salzlösung ist aufgrund Auskristallisation zu hoch angesetzt.
Auch Medien mit höherer Dämpfung können mit diesem Durchflußmesser beherrscht
werden.
1,23
2,1
5. Zusammenfassung
Massendurchflußmesser, die nach dem Coriolis-Prinzip arbeiten, sind schon seit etwa
15 Jahren im Einsatz. Sie gehören zu den derzeit genauesten Meßgeräten für Durchfluß.
Typisch sind Genauigkeiten von etwa 0,2 3 vom angezeigten Wert im Bereich 10 3 bis
100 3 vom Nenndurchfluß. Das Meßverfahren ist sehr elegant, da alle medienberührenden
Teile z.B. aus Edelstahl oder Titan gefertigt sein können und in der Meßstrecke
keinerlei Einbauten erforderlich sind . Dadurch sind diese Geräte sehr robust und sicher.
Zur Erzeugung des Meßeffektes werden bei den bisher eingesetzten Coriolis-Massendurchflußmessern
schwingende Rohrschleifen verwendet. Um eine gute Entkopplung der
Meßstrecke von der Umgebung zu erreichen, werden zumeist zwei Rohrschleifen
eingebaut, die gegenphasig zueinander schwingen. Dadurch ist in der Meßstrecke ein
Strömungsteiler erforderlich. Die Rohrschleifen einerseits und der Strömungsteiler
andererseits führen zu einem hohen Preis dieser Geräte.
Schon immer bestand daher der Wunsch ein einziges, gerades Rohr zu verwenden. Die
Auslegung und Realisierung eines derartigen Massestrommessers ist Gegenstand dieser
Arbeit.
Konzept. Entscheidender Schwachpunkt aller Einfach-Rohrsysteme ist die mangelnde
Entkopplung von der Umgebung. Schwingt nur ein einziges Rohr, wird Schwingungsenergie
auf die Umgebung übertragen, die 1 Randbedingungen des Schwingsystems sind
damit undefiniert. Aus diesem Grund wird ein zweites nicht durchströmtes Rohr, das
sogenannte Tilgerrohr eingebaut. An diesem Tilgerrohr greift auch der Schwingerreger
an. Das Tilgerrohr erfüllt dabei zwei Funktionen. Zum einen dient es als Antrieb für das
eigentliche Meßrohr, das ähnlich einer Stimmgabel mit der gleichen Frequenz
mitschwingt. Zum anderen dient es zur Kompensation der Meßrohrschwingung. Der
Schwerpunkt des Gerätes bleibt damit in Ruhe und die Gehäuseschwingung wird minimal.
Dies ist die wesentliche Voraussetzung für stabilen Meßbetrieb.
Der richtige Arbeitspunkt ergibt sich dabei nicht von selbst, sondern muß detektiert
werden. Dazu wird die Phasenbeziehung zwischen Meßrohr und Tilgerrohr ausgewertet.
Die Frequenz der angeregten Schwingung wird so gewählt, daß sich zwischen beiden
Rohren die gewünschte Phasenlage einstellt. Dabei wurden zwei verschiedene Konzepte
realisiert. Zum einen wurde durch Beaufschlagung des Antriebssystems mit einem
zusätzlichen Gleichstrom eine Federwirkung erreicht, so daß sich die Resonanzfrequenz

166 Zusammenfassung
Zusammenfassung
167
des Tilgerrohres verschieben und an das Meßrohr anpassen läßt. Zum anderen wurde die
Frequenz der angeregten Schwingung direkt beeinflußt. Dadurch ergibt sich eine erzwungene
Schwingung bei einer Frequenz, bei der die Phasenlage zwischen den Rohren
genau dem gewünschten Wert entspricht. Über einen weiten Temperatur-, Dichte-, und
Viskositätsbereich des zu messenden Fluids ist damit eine geringe Gehäuseschwingung
gewährleistet.
konventioneller Massedurchflußmesser erreicht werden.
Verbesserungen sind noch nötig bei der benötigten Erregerleistung, den maximal möglichen
Bereichen für Mediumstemperatur und -dichte, sowie dem Abstimmungskriterium
der Tilgerrohrregelung.
Der neue Durchflußmesser besitzt folgende Kenndaten:
Berechnungen und Simulationen. Bei einem Coriolis-Massendurchflußmesser, speziell
mit nur einem einzigen, geraden Rohr, sind zahlreiche Störeffekte zu berücksichtigen.
Hier wirken sich sämtliche Prozeßparameter, wie Druck, Dichte, Temperatur direkt auf
die Nullpunktstabilität und den Kalibrierfaktor aus. Die Temperatur führt zudem indirekt
zu einem weiteren entscheidenden Störeinfluß, einer axialen Verspannung des Meßrohres.
Desweiteren sind schwingungstechnische Zusammenhänge, wie das Einbinden des
Meßrohres in eine nicht ideal starre Umgebung zu berücksichtigen.
Für die notwendigen Berechnungen wurde der Durchflußmesser zunächst als Kontinuum
modelliert und analytisch bzw. numerisch berechnet. Damit kann das Meßrohr dimensioniert,
und die Auswirkung der Prozeßparameter auf den Kalibrierfaktor bestimmt werden.
Zur Untersuchung von weitergehenden Einflußgrößen, wie z.B. Unsymmetrien in der
Masse- oder der Temperaturverteilung oder auch zur Untersuchung der schwingungstechnischen
Eigenschaften der gewählten Anordnung wurde ein vereinfachtes Ersatzschaltbild
geschaffen, das mit dem Simulationsprogramm SPICE simuliert wurde.
Signalverarbeitung. Bei einem Coriolis-Massendurchflußmesser ist der Meßeffekt in
erster Näherung linear und exakt reproduzierbar, jedoch sehr klein. Um dennoch präzise
Meßwerte in vergleichsweise kurzen Meßzeiten zu erhalten, wurde die Signalverarbeitung
auf einem Signalprozessorsystem implementiert. Die speziellen Eigenschaften des
Signalprozessors machten die Entwicklung eines neuen Algorithmus zur Phasenmessung
erforderlich. Dieser Algorithmus erreicht die Genauigkeiten bekannter Verfahren, bei
gleichzeitig deutlich geringerem Berechnungsaufwand. Im Hinblick auf den Signalprozessor
sind die Rechenvorschriften dieses Algorithmus optimal.
Ergebnisse. Das aufgebaute System ist ein komplettes Meßsystem für die Massedurchflußmessung.
Dabei wurden auf dem Gebiet der Mechanik, der Signalverarbeitung und
der Kompensation von Störgrößen neue Wege beschritten, die unabhängig voneinander in
die Entwicklung zukünftiger Massedurchflußmesser einfließen können. Bei den wichtigsten
Kenngrößen wie Nullpunktstabilität oder Meßunsicherheit konnten in etwa die Werte
Material Meßrohr:
Außendurchmesser Meßrohr:
Wandstärke Meßrohr:
Länge Meßrohr: .
Material Gehäuse:
Abmessungen Gehäuse:
Gesamtgewicht:
maximaler Durchfluß:
maximale Betriebstemperatur:
Leistungsaufnahme Antrieb:
Meßunsicherheit:
Nullpunktstabilität:
Nullpunktfehler bei Dichteänderung:
Nullpunktfehler bei Viskositätsänderung:
VA-Stahl 1.4301
8mm
0,7mm
400mm
St 37
460 X 70 X 50 (mm)
12 kg
30 kg/min
5° .. . 80°
::::;; 2W
0,2 3 v.M.
0,01 3 v.E.
::::;; 0,1 3
::::;; 0,1 3

168 Literatur
Literatur
169
Literatur
benutzte Standardwerke
/Apr/
Apruzzese, P.; Brennan, T. : Coriolis meters 11 cartwheel 11
through batch
measurement. - in: Intech, pp. 24-25, Feb. 1990.
/Bab/
Babb, M.: New mass flowmeter design claims improved reliability. - in:
/Bon/
Bonfig, K.W.: Technische Durchflußmessung. - Vulkan-Verlag, Essen,
Control engineering, vol. 37, no. 6, pp. 66-67, May 1990.
1977
/Bak/
Baker, R. C.: Theorie und Praxis der elektromagnetischen Durchfli{ßmes­
/Brei
Bremer, H.: Dynamik und Regelung mechanischer Systeme. - Teubner,
sung . - in: Technisches Messen tm, 52. Jahrgang, Heft 1, S.4-12, 1985 .
Stuttgart, 1988
/Bli/
Blickley, G. J.: Flowmeter technologies . not standing still. - in: Control
/Ger/
Gerthsen, C. : Physik. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,
engineering, Aug. 1985, pp. 77-79, 1985.
1982
/Blu/
Blumenthal, J.: Direct mass flow rate and density monitoring using a Co­
/Mei/
Meirovitch, L.: Elements of vibration analysis. - McGraw Hill, London,
1975
riolis-gyroscopic sensor base. - in: Tappy joumal, vol. 68, no. 11, pp . 82-
84, 1985.
/Men/
Mende, D.: Physik - Gleichungen und Tabellen. - VEB Fachbuchverlag
/Bot/
Bottaro, A.; Matsson, 0 . J. E.; Alfredsson, P. H.: Numerical and expe­
Leipzig, 1983
rimental results for developing curved channel flow. - in: Phys. Fluids A 3
/Mön/
Mönch, E.: Technische Mechanik. - Oldenbourg-Verlag, München, Wien,
1984
/Car/
(6), pp. 1473-1476, June 1991.
Carpenter, B.: Choose the right materials for Coriolis mass flowmeters . -
/Pfe/
/Schl/
Pfeiffer, F.: Einführung in die Dynamik. - Teubner, Stuttgart, 1992
Schrüfer, E.: Elektrische Meßtechnik. - Carl Hanser Verlag, München,
1992
/Cas/
in: Chem. eng. progress, pp. 55-60, Oct. 1990.
Cascetta, F.; Valle, S. d.; Guido, A. R.; Vigo, P.: A Coriolis type mass
flowmeter based on a new type of elastic suspension. - in: Measurement,
vol. 7, no. 4, pp. 182-191, Oct.-Dec. 1989.
/Schl/ Schrüfer, E.: Signalverarbeitung. - Carl Hanser Verlag, München, Wien,
1990
/Zwi/ Zwicker, E.: Elektroakustik. - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,
New York, 1984
Massendurchflußmessung
/Amb/ Amberger, E.; Vögtlin, B.: Unmittelbare Messung des Massedurchflusses
mit Hilfe der Coriolis-Kraft. - in: Automatisierungstechnische Praxis atp,
30. Jahrgang, Heft 5, S.224-230, 1988.
!Dom!
/Drall
/Dra2/
Domnick, J.; Durst, F.; Raszillier, H.; Zeisel, H.: A method to measure
rass and volume flow rates of two-phase flows . - in: Int. J. Multiphase
flow, vol. 13, no. 5, pp. 685-698, 1987.
Drahm, W.; Wendt, J.: Vorrichtung zur Ermittlung der mechanischen
" Spannungsverhältnisse bei einem Massendurchflußmesser. - deutsches
'Patent DE 42 00 871, Jan. 1992
Drahm, W.; Lutz, M.: Verfahren zur Erkennung und Korrektur einer
Nullpunktdrift bei einem Coriolis-Massendurchflußmesser. - deutsche Patentanmeldung
OS DE 42 26 391.3

170
Literatur
Literatur
171
/Dra3/
/Dra4/
/Dra5/
/Dra6/
Drahm, W.: Coriolis-Massendurchflußmesser mit einem geraden Meßrohr.
- in: MessComp 93, Int. Kongreßmesse für die ind. Meßtechnik,
Wiesbaden, 7.-9.9.1993, Hrsg. : Network, S. 21 -26.
Drahm, W.: Coriolis-Massendurchflußmesser. - europäische Patentanmeldung
EP 93810523.6, Juli 1993
Drahm, W.; Schrüfer, E.: Wieviele Bit hat ein analoges Signal. - in:
Technisches Messen
Drahm, W.: Misuratore di portata massica ad effeto Coriolis. - in: Rich­
Mac, pp.65-68, Nov/Dez 1994.
/Mehl
/Metl/
/Met2/
/Mey/
Mehles, H.: Sehr kleine Strömungsverluste. - in: Elektronik Journal, Heft
22/91, S.52-55, 1991.
Mettlen, D.: V-Bogen-Rohr wird zum optimalen Masse-Durchflußmesser. -
Information von Schwing Verfahrenstechnik.
Mettlen, D.: Massedurchflußmessung mit Hilfe der Coriolis-Kraft. - in:
Technisches Messen, 53. Jahrgang, Heft 12, S.455-461, 1986.
Meyer, D.; Greiner, B. : Erfahrungen beim Einsatz von Durchfluß- und
('
Mengenmessern in der chemischen Industrie. - in: Technisches Messen, 52.
Jahrgang, Heft 1, S.13-21, 1985.
/Dur/
Durst, F. D.; Raszillier, H.: Flow in a rotating straight pipe, with a view
on Coriolis mass flow meters. - in: Journal of fluids engineering, vol. 112,
/Nan/
Nandakumar, K.; Raszilier, H.; Durst, F.: Flow through rotating rectangular
ducts. - in: Phys. Fluids A 3 (5), May 1991, pp. 770-781, 1991.
/Fiel
/Fil/
pp. 149-154, June 1990.
Fiedler, 0 .: Coriolis-Massestrommesser. - in: msr, 32.Jahrgang, Heft 4,
S.149-152, 1989.
Filler, D.S.: Sensorik aktuell. - messen & prüfen 26 (1990), S.23-37.
/Pat/
/Pla/
Paton, R.: Mass flow metering methods for the 90's. - in: Control & Instrumentation,
pp. 37-41, Feb. 1990.
Plache, K. 0 .: Coriolis/gyroscopic flow meter. - in: Mechanical engineering,
pp. 36-40, Mar. 1979.
/Fur/
Furness, R.: Coriolis meters present and future. - in: Control & Instrumentation,
vol. 22, no. 2, pp. 42-43, Feb. 1990.
/Rasl/
Raszillier, H.; Durst, F.: Forces of a fluid in a rotating straight pipe. - in:
ZAMP, vol. 39, no. 3, pp. 397-403, 1988.
/Horn/
Homburg, D.; Reiff, E. C.: Die "Waage" der Zukunft: Direkte Massedurchflußmessung.
- in: Sensorreport, Heft 1/89, S.10-12, 1989.
/Ras2/
Raszillier, H.; Guiasu, I.; Durst, F.: Symbolic computation of flow in a
rotating pipe. - in: Int. J. Num. Meth. Fluids, vol. 11, 1990, pp. 267-285,
1990.
/Keil
Keita, N. M .: Contribution to the understanding of the zero shift effects in
Coriolis mass flowmeters. - in: Flow measurement and instrumentation,
vol. 1, no. 1, pp.39-43, Oct. 1989.
/Ras3/
/,
Raszillier, H.; Raszillier, V. : Dimensional and symmetry analysis of Coriolis
mass flowmeters. - in: Flow. Meas. Instr., vol. 2, July 1991, pp. 180-
184, 1991.
/Kol/
Kolahi, D. K.: Direkte Massendurchflußmessung kleiner Gasmengen nach
dem Coriolisverfahren. - Dissertation an der TU Berlin, Jun 1991.
/Ras4/
Raszillier, H.; Durst, F.: Coriolis-effect in mass flow metering. - in: Arch.
Appl. Mech., 61 (1991), pp. 192-214, 1991.
/Lei/
Lei, U.; Hsu, C. H.: Flow through rotating straight pipes. - in: Phys.
Fluids A 2 (1), pp. 63-75, Jan. 1990.
/Schi
Schmidt, A. G.: Coriolis-acceleration and conservation of angular momentum.
- in: Am. J. Phys., vol. 54, no. 8, pp. 755-757, 1986.
/Med/
Medlock, R. S.; Furness, R. A.: Mass flow measurement - a state of the
art review. - in: Measurement & Control, vol. 23, pp. 100-113, May 1990.

172
Literatur
Literatur
173
/Sul/
/Umb/
/Um/
Sultan, G. ; Hemp, J. : Modelling of the Coriolis mass flowmeter. - in:
J. Sound. Vibration, 132 (1989), pp. 473-489, 1989.
Umbach, H.: Aktuelle Entwicklungslinien der Durchflußmeßtechnik. - in:
Regelungstechnische Praxis, 25. Jahrgang, Heft 6, S.225-228, 1983.
Urner, G.: Betrachtungen zur Größe des Meßeffektes der Massestrommessung
nach dem Corioliskraftprinzip. - in: msr, 34, Heft 7, S.306-312,
/Dra4/
/Gla/
deutsche Patentanmeldung OS DE 43 19 344. 7; Juli 1993
Drahm, W.: A novel phase measurement algorithm. - in: IEEE Trans.
Instr. Meas„ in Vorbereitung
Gladkin, A. M.; Kovalevskii, E. A.: Error in measuring the phase differense
due to high harmonics. - in: Measurement Techniques, vol. 31, pp.
577-580, Nov. 1988.
1991.
/Gral
Grandke, T. : Interpolation algorithms for discrete fourier transforms of
/Wad/
Wade, C. A.; Dandridge, A.: Fibre-optic coriolis mass flowmeter for
liquids. - in: Electronics letters, vol. 24, no. 13, pp. 783-785, June 1988.
weighted signals. - in: IEEE Trans. Instr. Meas„ vol. IM-32, pp. 350-355,
June 1983.
Phasenmessung
/Bak/ Bakos, N. S.; Abdul-Hameed, K. H.; Al-Tikriti, M. N.: Phase shift and
power factor measurement for a wide frequency range using ROM. - in:
Int. J. Electronics, vol. 64, no. 2, pp. 299-304, 1988.
/Jac/ Jacovitti, G.; Scarano, G.: Discrete time techniques for time delay estimation.
- in: IEEE Trans. Signal Processing, vol. 41, pp. 525-.532, Feb.
1993.
/Ber/ Bertocco, M.; Offelli, C.; Petri, D.: Dynamic behavior of a digital phase
estimator. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-41, pp. 755-761, Dec.
1992.
/Cla/ Clarke, K. K.; Hess, D. T.: Phase measurement, traceability, and verification
Theory and practice. - in: IEEE Trans. Instr. Meas„ vol. IM-39, pp.
52-55, Feb. 1990.
iDral/ Drahm, W.: Phasenmessung an von Flüssigkeiten durchströmten schwingenden
Rohren. - in: 32. Int. Wiss. Kolloquium, Ilmenau, S.673-678,
Sept. 1992
/Hai/
/Ibr/
/Jai/
/Jen/
/Mahl/
/Mah2/
Hair, D. W.; Niertit, F. J.; Hodgson, D. F.; Amis, E. J.: High speed
signal averager for characterizing periodic signals in the time domain. - in:
Rev. Sei. Instrum„ vol. 60, no. 8, pp. 2780-2784, Aug. 1988.
Ibrahim, K. M.; Abdul-Karim, M. A. H.: A novel digital phase meter. ~
in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-36, pp. 711-716, Sept. 1987.
Jain, V. K.; Collins, W. L.; Davis, D. C.: High-accuracy analog measurement
via interpolated FFT. - in: IEEE Trans. Instr. Meas„ vol IM-28, pp.
113-121, June 1979.
Jenq, Y. -C.: High-precision sinusoidal frequency estimator based on
weighted least square method. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-36,
pp. 124-127, Mar. 1987.
Mahmud, S. M.; Rusek, A.; Ganesan, S.: A microprocessor-based dual
slope phase meter. - in: IEEE Trans. Instr. Meas„ vol. IM 37, pp. 374-
378, Sept. 1988.
Mahmud, S. M.: Error analysis of digital phase measurement of distorted
waves. - in: IEEE Trans. Instr. Meas„ vol. IM-38, pp. 6-9, Feb. 1989.
/Dra2/
Drahm, W.: Präziser digitaler Frequenzvervielfacher für niedere Frequenzen.
- in: Proc. of the 3rd Int. Conf. on Automation, Simulation and Measurement,
Tallin/Estland, 7.-11.10.1992, Eds:ASM, 1992, S.156-163.
/Mah3/
Mahmud, S. M.; Mahmud, N. B.; Vishnubhotla,S. R.: Hardware implementation
of a new phase measurement algorithm. - in: IEEE Trans. Instr.
Meas., vol. IM-39, pp. 331-334, Apr. 1990.
/Dra3/
Drahm, W.; Christ, H.: Verfahren zur Messung einer Phasendifferenz. -
/Mah4/
Mahmud, S. M.: High precision phase measurement using reduced sine and

174
Literatur
Literatur
175
/Mief
cosine tables. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-39, pp. 56-60, Feb.
1990.
Micheletti, R.: Phase angle measurement between two sinusoidal signals. -
in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-40, pp. 40-42, Feb. 1991.
/Wag4/
Wagdy, M. F.: Effect of ADC quantization errors on some periodic measurements.
- in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-36, pp. 983-989, Dec.
. 1987.
/Min/
/Nar/
/Offl/
/Off2/
/Omr/
Min, M.; Parve, T.; Ronk:, A.: Design concepts of instruments for vector
parameter identification. - in: IEEE TRans. Instr. Meas. , vol. IM-41, Feb.
1992.
Narduzzi, C.; Offelli, C.: Real-time high accuracy measurement of multifrequency
waveforms. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-36, pp.
964-970, Dec. 1987.
Offelli, C.; Petri, D.: Interpolation techniques for real-time multifrequency
waveform analysis. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-39, pp. 106-
111, Feb. 1990.
Offelli, C.; Petri, D.: A frequency-domain procedure for accurate real-time
signal parameter measurement. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-39,
pp. 363-368, Apr. 1990.
Qm.ran, S. S.; Tara, S. M. R.; Abdul-Karim, M. A. H.: Microcomputer
controlled sampling digital power, rms and PF meter. - in: Int. J. Electronics,
vol. 63, no. 3, pp. 455-461, 1987.
Im Rahmen der Arbeit am Lehrstuhl für Elektrische Meßtechnik durchgeführte Diplomarbeiten:
/DA 1/ Kick, J. : Untersuchungen zu einem neuartigen Meßumformer nach dem
Coriolisprinzip, 1991.
/DA 21 Rumpp, C.: Numerische Verfahren zur Messung von Phasendifferenzen,
1992.
/DA 3/ Dörfler, T. : Optische Messung der Frequenz und Eigenform eines schwingenden
Rohres, 1992.
/DA 41 Vorhölter, J. -U.: Entwicklung eines digitalen Meßwerterfassungsgerätes für
einen Massendurchflußmesser, 1992.
/DA 51 Stein!, R.: Aufbau einer PC-Steuerung für einen Durchfluß-Versuchsstand,
1991.
/DA 61 Wendt, J.: Untersuchung der Axial- und Biegespannungen eines fest eingespannten
schwingenden Rohres, 1992.
/Ren/
/Wagl/
/Wag2/
/Wag3/
Renders, H.; Schoukens, J.; Vilain, G.: High-accuracy spectrum analysis
of sampled discrete frequency signals by analytical leakage compensation. -
in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-33, pp. 286-292, Dec. 1984.
Wagdy, M. F.; Lucas, M. S. P.: Errors in sampled data phase measurement.
- in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-34, pp. 507-508, Dec. 1985.
Wagdy, M. F .; Lucas, M. S. P.: A phase-measurement error compensation
technique suitable for automation. - in: IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-
35, pp. 7-12, Mar. 1986.
Wagdy, M. F.; Lucas, M. S. P.: A phase-measurement offset compensation
technique suitable for automation. - in: IEEE Trans. Instr. Meas.,
vol. IM-36, pp. 721-724, Sept. 1987.
/DA 7/
/DA 8/
/DA 91
/DA 10/
!DA 11/
Pricke, J.: Magnetoelastische Messung von Materialspannungen in fest
eingespannten Rohren, 1992
Lutz, M.: Aufbau eines Coriolis-Massedurchflußmessers mit geringer
Nullpunktdrift, 1993.
Rauhut, P.: Untersuchungen zu einem Doppelrohr-Durchflußmesser nach
dem Coriolis-Prinzip, 1993.
Kunzlmann, 0. : Algorithmus zur Phasendifferenzmessung auf einem
AT &T-Signalprozessor, 1993.
Beilmaier, H. : Phasenmessung an schwingenden Rohren mit Hilfe von
Lasersensoren, 1992.

176
Literatur
/DA 12/
!DA 13/
!DA 14/
!DA 15/
Würfl, C.: Untersuchungen zur Auflösung von Wegsensoren, 1993.
brexler, T. : Überarbeitung und Verbesserung eines Systems zur Massendurchflußmessung,
1994.
Rolletschek, H.: Untersuchung von Störgrößen und ihre Kompensation bei
einem Coriolis-Massendurchflußmesser, 1994.
Müller, M.: Modellierung eines Coriolis-Massendurchflußmessers mit Hilfe
des Programmes P-SPICE, 1994.

FORTSCHRITT-B
l llllll lllll lllll lllll lllll lllll 111111111111111111111111111111111
N11< 44738401 090
UB Karlsruhe
Bereits veröff
„Meß-, Steuerungs- unci Kege1ungs1ecnn1K-- u.a.
Nr. 512 M.-H. LIU : Wissensbasiertes Fuzzy-Logik-gestütztes Entgraten von Werkstücken
mit kraft- und positionsgeregelten Industrierobotern. 1 995. ISBN 3- 1 8-351208-4 114 ,00
Nr. 511 M. JANSEN: Globale Modellbildung und garantiert stabi le Regelung von
Robotern mit strukturierten neuronalen Netzen. 1995. ISBN 3- 18-351108-8 91,00
Nr. 510 S. WINTZ: Hierarchische Analyse technischer Systeme mit Petrinetzen. 1995.
ISBN 3-18-351008- 1 , 80,00
Nr. 509 J. GULDNER: Intelligentes hierarchisches Regelungskonzept für autonome
mobile Roboter.systeme. 1995. ISBN 3-18-350908-3 118,00
Nr. 508 M. KRANZ: Flexibles und offenes Prüfkonzept für Maschinenprototypen.
1995. ISBN 3-18-350808-7 108,00
Nr. 507 K. KÜPPER: Zur Modell ierung technischer Systeme mittels Fuzzy-Logik.
1995. ISBN 3-18-350708-0 81 ,00
Nr. 506 B. SCHMAUSS: Modale Leistungsverteilung in faseroptischen Sensoren . 1995.
ISBN 3- 1 8-350608-4 94 ,00
Nr. 505 W. BRAMESFELD: Optimierung eines Laser-Zwei-Fokus-Meßsystems zur
berührungslosen Geschwindigkeitsmessung in Turbomaschinen. 1995.
ISBN 3- 18-350508-8 83,00
Nr. 504 0. ZIEMANN: Zur experimentellen Charakterisierung des optischen Überlagerungsempfangs.
1995. ISBN 3 -1 8-350408-1 112,00
Nr. 503 R. LEMMEN: Zur automatisierten Modellerstellung, Konfigurationsprüfung
und Diagnose hydraulischer Anlagen. 1995. ISBN 3-18-350308-5 76,00
Nr. 502 M . HÖLSCHER: Zur Optimierung der Strahlführung bei laseroptischen
Zweistrahlmeßverfahren mit Zeit- bzw. Frequenzauslesung . 1995.
ISBN 3-18-350208-9 129,00
Nr. 501
R. BÖHM: Fuzzy-Regelungen: Entwurf auf Basis von Relationen und Stabilitötsanalyse.
1995. ISBN 3-18-350108-2 93,00
Nr. 500 B.-M. PFEIFFER: Einsatz von Fuzzy-Logik in lernfähigen digitalen Regelsystemen
. 1995. ISBN 3-18-350008-6 93,00
Nr. 499 R. PICKHARDT: Adaptive Regelung nach einem Multi-Modell-Verfahren.
1995. ISBN 3-18-349908-8 71,00
Nr. 498 B. KARPUSCHEWSKI: Mikromagnetische Randzonenanalyse geschliffener
einsatzgehörteter Bauteile. 1995. ISBN 3-18-349808-1 103,00
Nr. 497 T. KETINER: lntegrationsgerechter Entwurf analoger Fuzzy-Regler. 1995.
ISBN 3-18-349708-5 94,00
Nr. 496 T. BERTRAM: Zur systematischen Analyse und Synthese nichtlinearer
Systeme mit Fuzzy-Logik. 1995. ISBN 3-18-349608-9 102,00
Nr. 495 M. RUDE: Koordinierte Kollisionsvermeidung mobiler Roboter mit Hilfe
von Kommunikation und Sensorik. 1995. ISBN 3-18-349508-2 87,00
Nr. 494 A. SCHUMACHER: Reglerentwurf durch Kol lokation für zeitvariante
Systeme. 1995. ISBN 3-18-349408-6 123,00
DM
1
VDI VERLAG
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ISBN 3-18-352508-9