Theoretische Informatik I Quiz Präsenzaufgaben Hausaufgaben

Übungen zur Vorlesung
Theoretische Informatik I
Prof. Dr. C. Kreitz / Dr. E. Richter
Wintersemester 2010/2011
Blatt 6(Version 2)—Abgabetermin 03.12.2010, 10:30 Uhr
Quiz
1. (a) Für jede rechtslineare Grammatik G mit einer Produktionsregel der Form A → uA gilt, dass L(G)
nicht endlich ist.
w f
(b) Die Sprache L = {a n b n
beschrieben werden.
| n ∈ N} ist nicht regulär, kann aber durch eine lineare Grammatik
w f
(c) Für jede linkslineare Grammatik, die keine Produktionsregel, der Form A → ε enthält, gilt L(G) = ∅.
w f
(d) Eine Sprache, die durch eine kontextsensitive Grammatik beschrieben wird, kann nicht regulär sein.
w f
(e) Jede Sprache, die durch einen ε-NEA erkannt wird, kann durch eine äquivalente rechtslineare Grammatik
beschrieben werden.
w f
Präsenzaufgaben
1. (a) Konstruieren Sie eine linkslineare Grammatik für die Sprache des regulären Ausdrucks
0 ∗ (1(0 + 1)) ∗ . Geben Sie einen endlichen Automaten an, der diese Sprache akzeptiert.
(b) Konstruieren Sie eine Grammatik für die Sprache
{ww | w ∈ {a, b} + } und geben Sie den Typ Ihrer Grammatik an.
2. Eine Zeichenkette x heißt Präfix einer Zeichenkette y, wenn eine Zeichenkette z existiert, sodaß xz = y;
x heißt echter Präfix von y, wenn außerdem gilt x ≠ y. Wir definieren im Folgenden zwei Operationen
auf der Menge der Sprachen. Für jede Sprache L sei:
a) NOP REF IX(L) = {w ∈ L | kein echter Präfix von w gehört zu L},
b) NOEXT END(L) = {w ∈ L | w ist kein echter Präfix eines Wortes in L}.
Beweisen Sie, daß die Klasse der regulären Sprachen abgeschlossen ist unter diesen Operationen.
3. Beweisen oder widerlegen Sie:
1. Die Vereinigung unendlich vieler regulärer Sprachen ist wieder eine reguläre Sprache.
2. Der Durchschnitt unendlich vieler regulärer Sprachen ist nicht unbedingt eine reguläre Sprache.
3. Die Differenz L 1 − L 2 − L 3 − . . . abzählbar unendlich vieler regulärer Sprachen L i ist wieder eine
reguläre Sprache.
Hausaufgaben
1. 1. Konstruieren Sie eine linkslineare Grammatik für die Sprache des regulären Ausdrucks
(0 + 1) ∗ 01(0 + 1) ∗ . Geben Sie einen endlichen Automaten an, der diese Sprache akzeptiert.
2. Konstruieren Sie eine Grammatik für die Sprache {0 n 1 2n | n ∈ N} und geben Sie den Typ Ihrer
Grammatik an.
2. Gegeben ist die Grammatik G = ({A, B, C, D, E}, {0, 1}, P, A) mit P = {A → 0A, A → 1A, A →
1B, B → 1C, C → 0C, C → 0D, D → 1E, E → 0E, E → 1E, E → ɛ}.
1. Welchen Typ besitzt die Grammatik G Was sagt das über die von G erzeugte Sprache aus
2. Geben Sie einen regulären Ausdruck für L(G) und einen NEA an, der die Sprache L(G) akzeptiert.

Blatt 6
Theoretische Informatik I
3. Geben Sie eine zu G äquivalente linkslineare Grammatik an. Welchen Typ in der Chomsky-Hierarchie
besitzt die Sprache L(G)
3. Wenn u = a 1 a 2 . . . a n und v = b 1 b 2 . . . b n zwei Wörter gleicher Länge sind, dann soll ALT(u, v) das Wort
bezeichnen, in dem die Symbole von u und v abwechselnd auftreten, wobei mit u begonnen werden soll,
d.h. ALT(u, v) = a 1 b 1 a 2 b 2 . . . a n b n . Zeigen Sie: Wenn L und M reguläre Sprachen sind, dann ist die
Sprache ALT(L, M) = {w | ∃u ∈ L, ∃v ∈ M, |u| = |v|, w = ALT(u, v)} ebenfalls regulär.
Abgabetermin 03.12.2010, 10:30 Uhr Seite 2