Zur Produktgestaltung kohäsiver Pulver ± Mechanische ...

Chemie Ingenieur Technik (75) 6| 2003
S. 651±661 2003 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
0009-286X/2003/0606-0651 $17.50+50/0
Partikeltechnologie 651
JÜRGEN TOMAS **
Zur Produktgestaltung kohäsiver Pulver ±
Mechanische Eigenschaften, Kompressionsund
Flieûverhalten*
Mit der Modellvorstellung ¹steife
Partikel mit weichen Kontaktenª
werden die drei Flieûbedingungen
eines Pulverkontinuums (beginnendes
und stationäres Flieûen, Verfestigung)
auf partikelmechanischer
Grundlage formuliert. Damit ist der
unmittelbare Einfluss des Kontaktverhaltens
auf das Flieûverhalten
analytisch darstellbar. Mit Hilfe
eines Kompressibilitätsindex lässt
sich das Verdichtungsverhalten einschätzen.
Zusätzlich werden die
Kompressionsrate und die spezifische
Kompressionsarbeit eingeführt.
Damit können die Zusammenhänge
zwischen Kontaktnachgiebigkeit,
Haftkraftverstärkung und Pulverflieûfähigkeit
auf physikalischer
Grundlage beurteilt werden. Mit diesen
Modellen können die Antwortfunktionen
auf extreme Beanspruchungs-
und Flieûzustände bei verfahrenstechnischen
Prozessen,
Lager- und Fördervorgängen hinreichend
beschrieben werden. Selbstverständlich
lassen sich damit auch
zweckmäûige Schlussfolgerungen
für die marktgerechte Produktgestaltung
in der stoffwandelnden Industrie
ziehen.
Product Design of Cohesive Powders ±
Mechanical Properties, Compression
and Flow Behavior
The three yield conditions of a powder
continuum (incipient yield, stationary
flow, consolidation) are formulated on
basis of particle mechanics by the model
¹stiff particles with soft contactsª.
So that the direct influence of contact
behaviour on flow behaviour is analytically
shown. The powder compression
behaviour is characterised by a compressibility
index. Additionally the compression
rate and the specific compression
workare explained. So that the
correlation between contact compliance,
adhesion force intensification and
powder flowability can be physically
consistent evaluated. The response
functions of extreme stressing and flow
conditions at material conversion processes,
storage and transport can be
sufficiently described by these models.
Obviously, suitable conclusions may be
also drawn to design marketable products
of processing industries.
1 Einleitung und Problemstellung
.......................................................................................
*
Vortrag anlässlich des Symposiums
¹Partikeltechnologieª, 14./15. Nov. 2002
in Pfinztal.
**
Prof. Dr.-Ing. habil. J. TOMAS (E-mail:
juergen.tomas@vst.uni-magdeburg.de),
Mechanische Verfahrenstechnik,
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg,
Universitätsplatz 2, D-39106 Magdeburg,
Germany.
Es gibt nur wenige Zweige einer Volkswirtschaft, in der
nicht in irgendeiner Form Schüttgüter erzeugt, transportiert,
umgeschlagen, gelagert, verfahrenstechnisch gewandelt,
verarbeitet oder verbraucht werden. Bei den wichtigsten
mechanischen Prozessen, wie Trennen und Mischen,
Zerkleinern und Agglomerieren, aber auch bei thermischen
Prozessen, wie z. B. Kristallisieren, Trocknen, oder bei den
Partikelsynthesen in der chemischen Industrie bzw. Grundstoffindustrie,
Pharmazie, Metallurgie, Glas- und Keramikindustrie,
Baustoffindustrie, Leicht- und Lebensmittelindustrie,
Energiewirtschaft, Landwirtschaft sowie den
modernen Technologien in der Umweltschutztechnik,
Werkstofftechnik, Biotechnik und selbst auch in der Elektronik
müssen Schüttgüter gelagert, gefördert und dosiert
werden. Die Anzahl der in einer hochentwickelten Volkswirtschaft
als Rohstoffe, Hilfsstoffe, Zwischenprodukte und
Fertigerzeugnisse vorkommenden Schüttgüter dürfte vielleicht
einige Hunderttausend, wenn nicht sogar Millionen
erreichen, und nahezu täglich erhöht sich deren Zahl, da
entsprechend den Marktanforderungen immer speziellere
Kundenwünsche zu befriedigen sind.
Während sich Festkörper oder Stückgüter und
Fluide vergleichsweise einfach handhaben lassen, hängt
das mechanische Verhalten eines Pulvers oder eines Granulates
[1 ± 3] unmittelbar von seiner Beanspruchungsvorgeschichte
ab. Die lässt sich wohl am einfachsten mit einem
Neigungsversuch eines Transportbehälters verdeutlichen
[4]. Je nachdem, ob das Pulver in den Behälter eingefüllt,
geneigt und wieder zurück bewegt wurde, wird sich eine jeweils
andere Form der Schüttoberfläche einstellen, s. Abb. 1.

652
ÜBERSICHTSBEITR¾GE
Chemie Ingenieur Technik (75) 6 | 2003
Abbildung 1.
Lagerung in Behältern ± mechanisches Verhalten von
Feststoff, Flüssigkeit, Gas und Schüttgut [4].
als Eins (h Sz Scherzonenhöhe, e b scheinbare Viskosität des
flieûenden Pulvers, b Schüttgutdichte):
2
2
3
v
S
hSz
ρ
b
v
S
ρ
b 1 m 1000 kg / m
Re
b
= ≈ =
= 1
(1)
2
η
b
τ s 1 kPa
Das flieûende Pulver würde sich also ¹laminarª
verhalten. Ein zusätzlicher Scherspannungsanteil durch
Partikelkollisionen infolge ¹turbulentemª Impulsaustausch
wird weitestgehend ausgeschlossen. Wechselwirkungen mit
Fluiden, wie z. B. Porenströmungen, die durch die Partikelbewegung
induziert werden, sollen hier ebenfalls vernachlässigt
werden. Der Scherwiderstand wird im Wesentlichen
auf die Coulomb-Reibung zwischen den vorzugsweise haftenden
Partikelkontakten zurückgeführt.
Ein kohäsives Pulver verhält sich wie ein ziemlich
unvollkommener Festkörper, flieût manchmal wie eine
Flüssigkeit oder kann wie ein Gas verdichtet werden. Oftmals
zeigt es die Eigenschaften, die gerade am wenigsten erwartet
werden und die zu den meisten verfahrenstechnischen
Problemen führen. Und diese sind dann doch
ziemlich zahlreich und schwerwiegend, z. B. funktionelle
Probleme durch Flieûstörungen infolge Anbackungen,
Selbstfluidisierung oder Lawinenbildung, schwankende
Mengenströme, Entmischungen, zu breite Verweilzeitverteilungen
verbunden mit der Gefahr von Zeitverfestigungen,
Stoffumwandlungen, Explosions- und Verderbgefahr. Dazu
kommen noch mangelhafte Mengenstrom- bzw. Qualitätskontrolle
sowie Havariegefahr durch Verschleiû und Überlastungen
der Konstruktion der Schüttgutförderer und letztlich
mangelhafte Verfügbarkeit des Verfahrens bzw. der
gesamten Anlage. Eine tiefere Betrachtung erscheint aus
der Sicht einer zweckmäûigen Kombination von Partikelund
Kontinuumsmechanik [5, 6] sowohl wissenschaftlich als
auch praktisch angewandt als ausgesprochen lohnenswert.
Abb. 1 zeigt ebenfalls, dass das Pulver ein Gedächtnis
hinsichtlich seiner physikalischen und chemischen
Produkteigenschaften hat. Im Falle mineralischen Ursprunges
eines Schüttgutes umfasst dies durchaus erdgeschichtliche
Zeiträume. Diesen Eigentümlichkeiten eines kohäsiven
Pulvers, verbunden mit seinem nahezu
unergründlichen ¹eigenen Willenª zum Flieûen oder auch
Nichtflieûen, wollen wir nun auf den Grund gehen.
2 Langsames reibungsbehaftetes Flieûen
kohäsiver Pulver
Es wird nur das langsame Flieûen einer Schüttung mit einer
Flieû- oder Schergeschwindigkeit v S < 1 m/s betrachtet 1) .
Eine Schüttgut-Reynolds-Zahl ist somit für s > 1 kPa kleiner
.......................................................................................
1) Eine Zusammenstellung der Formelzeichen
befindet sich am Schluss des Beitrags.
2.1 Kraft-Weg-Gesetz der elastisch-plastischen
Partikelkontaktdeformation mit Haftung
Die ersten Grundlagen eines elastischen Kontaktverhaltens
bei Normalbelastung, d. h. die elliptische Druckverteilung
innerhalb des Kontaktes, wurden von HERTZ [7] erarbeitet.
Von HUBER [8] wurden die Hauptspannungen innerhalb und
auûerhalb des Kontaktkreises eingeführt. Eine zusätzliche
Normalkraft durch ein konstantes Haftvermögen des elastischen
Kontaktes wurde von DERJAGUIN [9, 10], DAHNEKE [13]
und JOHNSON [14, 15] betrachtet, s. Abb. 2a. Eine elastische
Tangentialkraft und die resultierende Druckverteilung wurde
von MINDLIN [17] hergeleitet. Die Viskoelastizität wurde
von YANG [22] und KRUPP [12] in das Kontaktverhalten eingeführt,
s. Abb. 2c.
KRUPP [12], MOLERUS [16], SCHUBERT [18], MAUGIS
[19], WALTON [20] und zuletzt THORNTON [21] bewerten das
plastische Flieûen als wesentlich im Kontakt. MOLERUS [16]
und SCHUBERT [18] erhalten erstmals eine variable Haftkraft,
die von der Vorverfestigung abhängt, s. Abb. 2b. Diese Erkenntnis
lässt sich schrittweise ergänzen durch ein nichtlinear
plastisches Verhärtungs- oder Verfestigungsverhalten
und durch ein Erweichungsverhalten, s. Abb. 2d. Dies kann
dem dilatanten (shear-thickening) und dem strukturviskosen
(shear-thinning) Verhalten in der Suspensions- und Pastenrheologie
[26] entlehnt werden. Die Energiedissipation
berücksichtigte SADD [23], s. Abb. 2e. Das zeitabhängige viskoplastische
Flieûen wurde ausführlich von RUMPF [24]
behandelt, s. Abb. 2f. Davon ausgehend kann man diese
bekannten Vorstellungen zu einem einzigen komplexeren
Modell zusammenfassen, das die adhäsive, elastischplastische
(s. Abb. 2g) und die viskoelastisch-viskoplastische
Kontaktdeformation mit der Entlastungs-Wiederbelastungshysterese
und Energiedissipation verknüpft,
s. Abb. 2h.
Wir betrachten nun den Kontakt von zwei monodispersen,
isotropen und glatten Kugeln als den typischen
Bestandteil einer Schüttung oder einer Partikelpackung unter
statischer Auflast. Die erzeugten Kontaktflächen sind
klein im Vergleich zum Kugelquerschnitt. Deshalb werden
nur Kontaktkräfte und deren unmittelbares Antwortverhalten,
d. h. die Annäherung der Mittelpunkte beider Partner
(Abplattungshöhe) h K behandelt. Meistens sind Druckkräfte

Chemie Ingenieur Technik (75) 6| 2003
Partikeltechnologie 653
Abbildung 2.
Stoffeigenschaftsmodelle der Kontaktdeformation von
glatten Kugeln in Normalrichtung ohne bzw. mit Haftung
gemäû HERTZ [7], JOHNSON [15], MOLERUS [16], SCHUBERT [18]
und THORNTON [21], WALTON [20], YANG [22], SADD [23], RUMPF
[24] und TOMAS [36 ± 38].
Abbildung 3.
Charakteristische Partikelkontaktdeformation; a) Partikelannäherung,
b) elastische Kontaktdeformation, c) elastischplastische
Deformation zum Nanoplatte-Platte-Kontakt und
d) Kontaktablösung für Titandioxid, Sauter-Durchmesser d ST
= 200 nm, spezifische Oberfläche A S,m =12m 2 /g, Oberflächenfeuchte
X W = 0,4 %, Umgebungstemperatur h = 20 C [38].
der Kontaktzone voraussetzt ± im Gegensatz zu Metallen.
Die Antwort einer zunehmenden äuûeren Druckkraft F N
und Verdichtungen zu betrachten. Diese werden positiv definiert.
Zugkräfte und Dehnungen sind negativ, s. Abb. 3.
Zuerst müssen sich selbstverständlich beide Kugeln
annähern -1 < h K < a F=0 , um in einen unmittelbaren
Kontakt mit dem Mindestabstand a F=0 » 0,3 ± 0,4 nm zu geraten.
Dabei wird immer eine attraktive van-der-Waals-Haftkraft
F H ~ a Ð2 über einen Partikelabstand a ˆ a Fˆ0
‡ jh K
jzwischen
beiden Kugeln aufgebaut. Der Kugelabstand ohne
jegliche Kontaktdeformation, h K = 0, ist gleich diesem Mindestabstand.
Das entspricht also dem Koordinatenursprung
der Abb. 3. Durch die Wirkung der erzeugte Haftkraft
F H0 (a F=0 ) selbst oder/und durch die Wirkung einer zusätzlichen
statische Auflast F N , z. B. durch das Eigengewicht einer
Aufschüttung, folgt als unmittelbare Antwort eine elastische
Kontaktabplattung der Gesamthöhe h K , die sich nach HERTZ
[7] vergleichsweise einfach mathematisch beschreiben lässt.
Sie wird in Abb. 3 als gestrichelte Linie dargestellt.
Bei weiterführender Normalbelastung F N wird
bald der Punkt Y erreicht, bei dem der maximale Druck der
elliptischen Druckverteilung im Zentrum des Kontaktes [7]
ins plastische Flieûen übergeht p max = p f , Kurve F H0 -Y in
Abb. 3. Diese innere Druckspannung lässt sich nicht weiter
steigern, wenn man ideal plastisches Materialverhalten in
kann folglich nur eine zunehmende Abplattungshöhe h K
sein, die sich einfach mittels einer charakteristischen Geraden
Y±U beschreiben lässt [36, 38]. Diese verhält sich im
Mikroskopischen analog einer Flieûbedingung (Grenzspannungsfunktion)
der Kontinuumsmechanik [29] und wird in
Abb. 3 elastisch-plastische Flieûgrenze genannt. Ein Überschreiten
dieser Linie ist daher nicht möglich, da ja das
Flieûen schon vorher eingesetzt hatte. Der Anstieg dieser
Geraden ist ein Maû der elastisch-plastischen Kontaktsteifigkeit.
Geringer Anstieg bedeutet plastisch weiches oder
nachgiebiges, und umgekehrt groûer Anstieg steifes Kontaktverhalten.
Dieser Anstieg verhält proportional zur Partikelgröûe
oder präziser zum Krümmungsradius der unverformten
Kontaktflächen.
Neben der hohen spezifischen Oberfläche von
Nanopartikeln ist die abnehmende Kontaktsteifigkeit mit
abnehmender Partikelgröûe die Hauptursache für zahlreiche
Adhäsionseffekte. Deshalb ist es hier zweckmäûig, die
Modellvorstellung ¹steife Partikel mit weichen Kontaktenª
einzuführen. Steife Partikel deswegen, weil mit der mikroskopisch
kleinen Kontaktabplattung h K = 0 ± 0,25 nm bzw.
Kontaktkreisradien r K = 0 ± 6 nm bei einer mittleren Partikelgröûe
von d 50 = 610 nm, s. Abb. 3, keine nennenswerte
¾nderung der Partikelform verbunden sein sollte.

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Abbildung 4.
Zweiachsige Spannungszustände in einer gescherten
Partikelpackung ± Scheren und Auflockern, einaxialer Druck
und Zug.
Bei sehr groûer Kontaktsteifigkeit kommt es erst
gar nicht zu einer plastischen Deformation. Der Kontakt
verhält sich elastisch. Das ist bei vergleichsweise groben
Partikeln von etwa d > 100 lm der Fall. Man möge hier nur
das mechanische Verhalten eines rieselfähigen Ostseesandes
mit dem eines kohäsiven Mahlproduktes gleicher chemisch-mineralogischer
Zusammensetzung vergleichen.
Im Kontakt selbst wird ein begrenztes plastisches
Feld im kreisförmigen Kontaktzentrum erzeugt, wobei sich
der äuûere Ring elastisch verhalten wird. Dadurch wird eine
höhere Mikroflieûspannung p f » 3 r F als bei makroskopischer
Beanspruchung erwartet [16]. Bei Entlastung wird
nun der elastische Anteil verschwinden. Die gestrichelte
Entlastungskurve erreicht die Abszisse. Eine weitere Entlastung
lässt sich nur durch Anwendung von Zugkräften erzeugen.
Am Punkt A würde der direkte Kontakt sich ablösen
(versagen). Entlang der strich-punktierten Kurve A±U kann
aber der Kontakt wieder belastet werden. Die linsenförmige
Fläche zwischen den Wiederbelastungs- und Entlastungskurven
ist ein Maû der Energiedissipation [38] während
eines Zyklus. Unser Kontakt zeigt also eine typische Hysterese
und damit im Falle von dynamischen Belastungs-/Entlastungszyklen
(Oszillationen) eine Dämpfung als Antwort,
die hier unabhängig von der angewandten Geschwindigkeit
ist.
Die Haftgrenzlinie am Ablösepunkt A, s. Abb. 3
unten, ist ebenfalls eine Grenzspannungsfunktion im vorstehenden
Sinne. Ihre Neigung ist ein Maû für die Haftsteifigkeit
im Zugkraftbereich. Eine groûe Neigung bedeutet
nachgiebiges Kontaktverhalten verbunden mit hohem Haftverstärkungsvermögen
des Partikelkontaktes. Wenig Neigung
ist ein Zeichen für einen steifen Kontakt mit nahezu
konstanter Haftkraft F N,Z » F H0 . Das sog. JKR-Modell [14]
und auch das DMT-Modell [10] geben in etwas unterschiedlicher
Weise diesen Spezialfall elastischen Verhaltens wieder.
Im Falle einer Kontaktablösung wird sich der Abstand
des Kontaktes um a = a F=0 + h K , A ± h K vergröûern, und
für die Abreiûkraft F N,Z (a) gilt (A K,A bleibend deformierte
Kontaktkreisfläche am Punkt A, C H,sls Hamaker-Konstante
nach der Lifschitz-Theorie [11]):
CH,sls
A
K,A
FN,Z
=
(2)
6 π ( a ) 3
F=
0+
h
K,A−
h
K
Das ergibt in Richtung negativer Mittelpunktsannäherung
h K ein hyperbolisches Abklingen der van-der-
Waals-Haftung über einige Nanometer Kontaktabstand hinweg,
gestrichelte Kurve in Abb. 3. Analoges gilt für die Ablösung
eines Kugelkontaktes ohne Kontaktdeformation. Der
Ordinatenpunkt der Haftkraft F H0 bei h K = 0 ist sozusagen
der einzige des gesamten Diagramms, der keine Deformation
und damit Beanspruchungsvorgeschichte kennt.
Ausgewählte Modelle werden zur Auswertung
von AFM-Messungen [25] und bei DEM-Simulationen granularer
Medien [6] methodisch genutzt.
2.2 Zweiachsige Spannungszustände in einer
flieûenden Partikelpackung
Einführend sollen die wichtigsten Kennwerte des Flieûverhaltens
erläutert werden [5, 27, 28]. Im Gegensatz zu anderen
Ingenieurdisziplinen ist man in der Verfahrenstechnik
insbesondere am Transport, d. h. am Flieûen, der Materialien
(Schüttgüter, Fluide) interessiert. Diese Flieûvorgänge
sind zugleich irreversible Schervorgänge. Sie können mittels
direkter Scherversuche Punkt für Punkt ausgemessen
werden, s. Abb. 4 oben. Die Verbindungslinie der Punkte
ergibt unter festgelegten Beanspruchungsbedingungen eine
Grenzspannungsfunktion, den sog. Flieûort, die nicht überschritten
werden kann. Der Flieûort hat den Anstiegswinkel
j i , der auch als innerer Reibungswinkel bezeichnet wird;
der tanj i ist der innere Reibungskoeffizient. Er ist ein mittleres
oder charakteristisches Maû für das Kontaktversagen
beim Gleiten.
Es ist nun eine typische Eigenart einer gescherten
Partikelpackung oder Schüttung, dass das Flieûen hier unter
Volumenausdehnung stattfinden kann und zwar dann,
wenn die geometrisch vorgegebene, makroskopische Scherebene
nicht mit den mittleren oder charakteristischen Tangentialebenen
der Partikelkontakte einer Scherzone übereinstimmt.
Die Partikel werden sozusagen ¹berghochª über
die unten liegende Schicht verschoben, und als Antwort
dehnt sich die Scherzone aus, dV > 0. Das wird auch als
Dilatanz bezeichnet [31]. Sie ist charakteristisch für das Verhalten
überverfestigter Packungen.
Der charakteristische Dilatanzwinkel im Mikromaûstab
m sei positiv im mathematisch positiven Drehsinn
(entgegen dem Uhrzeiger) definiert. Der Ordinatenabschnitt

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Partikeltechnologie 655
des Flieûortes wird als Kohäsion s c bezeichnet und stellt den
Scherwiderstand bei äuûerer Normalspannung r = 0 dar.
Dieser merkbare Widerstand wird allein durch die Wirkung
der Kontaktdeformationen (schwarz hervorgehoben) und
resultierenden Haftkraftverstärkungen einer vorherigen
Verfestigung erzeugt, s. Abb. 4. Dies wird durch Pfeile in
Normalrichtung zwischen den Partikeln verdeutlicht. Auf
die Darstellung der jeweiligen Tangentialkräfte wurde verzichtet.
Damit wird ein innerer Druck ±r Z in den Kontakten
erzeugt, der zur äuûerer Normalspannung (r + r Z ) als Absolutbetrag
zu addieren ist. Die Folge davon sind wiederum
die einaxiale Druckfestigkeit r c der Packung (Mohrkreis
rechts der Ordinate mit der kleineren Hauptspannung r 2
= 0) und die einaxiale Zugfestigkeit r Z,1 (Mohrkreis links mit
der hier absolut betrachteten, kleineren Hauptspannung r 2
= 0). Der Schnittpunkt des Flieûortes im Negativen mit der
Abszisse bei verschwindender Scherspannung s = 0 stellt
somit eine zweiachsige bzw. isostatische Zugfestigkeit r Z
dar.
Wird nun eine kritisch vorverfestigte Schüttung
geschert, flieût sie stationär unter Volumenkonstanz dV =0,
s. Abb. 5 oben. Dilatanz (svw. Auflockerung) und Verdichtung
befinden sich im dynamischen Gleichgewicht und heben
sich im Mittel auf. Die zugehörige Grenzspannungsfunktion
wird stationärer Flieûort genannt. Dessen
Anstiegswinkel wird durch den stationären (inneren) Reibungswinkel
j st gebildet. Er ist ein charakteristisches Maû
für das stationäre Gleichgewicht aus Kontaktannäherung,
-bildung, Kontaktversagen und Partikelablösung. Der
Schnittpunkt des stationären Flieûortes im Negativen mit
Abbildung 5.
Zweiachsige Spannungszustände in einer gescherten
Partikelpackung ± stationäres Flieûen, Scheren und
Verdichten, isostatischer Zug und Druck.
der Abszisse bei verschwindender Scherspannung s = 0
stellt die isostatische Zugfestigkeit r 0 der unverfestigten
Kontakte dar. In Abb. 5 oben fehlen die schwarz markierten
Kontaktdeformationen. Die Kugeln berühren sich gerade
auf Mindestabstand a F=0 » 0,3 ± 0,4 nm, ohne sich jedoch zu
überlappen oder ¹durchdringenª ± ein ziemlich idealisierter
Zustand, der sich nur durch die Extrapolation des stationären
Flieûortes quantifizieren lässt. Bei Anlegen der Spannung
r 0 versagen die Kontakte sofort ohne nennenswerte
Dehnung und makroskopische Volumenänderung dV =0.
Die Mittelpunktsspannung r M , z. B. des gröûten
Kreises in der Bildmitte, wird aus dem Mittelwert der beiden
scherspannungsfreien Hauptnormalspannungen r 1 , r 2 des
zweiachsigen Spannungszustandes gebildet (Kugeltensor
im dreiachsigen Spannungsraum [29]). Während die
Radiusspannung r R aus der Differenz der beiden Hauptnormalspannungen
r 1 , r 2 des zweiachsigen Spannungszustandes
besteht (Deviator im dreiachsigen Spannungsraum
[29]). Sie charakterisiert das Scherspannungsniveau, das
zum Flieûen führt, s. Abb. 5 oben.
Wird nun eine unterverfestigte Schüttung geschert,
flieût sie unter Volumenabnahme dV < 0 bis zum
Erreichen des kritischen Verfestigungszustandes, s. Abb. 5
unten. Der Dilatanzwinkel ist hier also negativ (Verdichtung).
Die Partikel werden sozusagen ¹bergabª gegeneinander
verschoben. Die Verbindungslinie zwischen dem isostatischen
Druck und dem Mohrkreis des stationären Flieûens
wird auch als Verfestigungsort bezeichnet. Dessen Neigung
muss ebenfalls durch die Verhältnisse der Tangentialkräfte
zu den Normalkräften in den versagenden Partikelkontakten
bestimmt werden. Folglich ist auch beim Verfestigen der
innere Reibungswinkel j i das charakteristische Maû des
Kontaktgleitens.
2.3 Flieûbedingungen für beginnendes und
stationäres Flieûen
Scherspannungen s haben Winkeländerungen c =ds/dh Sz
(Scherverzerrungen) zur Folge, die zunächst reversibel, d. h.
elastisch, verlaufen. In der Verfahrenstechnik und Fördertechnik
interessiert vorrangig das mechanische Verhalten
des flieûenden Pulvers. Die Scherspannungen erreichen
eine Flieûspannung bzw. Flieûspannungsfunktion, und
nachfolgend werden irreversible Scherverzerrungen in
einer Scherzone erzeugt. Im Mikroskopischen bedeutet dies
immer massenhaftes Kontaktversagen [6].
Der Mikro-Makro-Übergang von den Normalund
Tangentialkräften in einem charakteristischen Partikelkontakt
zu den Spannungen in einem repräsentativen Element
eines flieûenden Kontinuums soll möglichst bequem
gestaltet werden [39]. Dazu wurde zunächst die Methodik
von MOLERUS [5, 16] übernommen [33 ± 40]. Im Gegensatz
zum starr-plastisch angenommenen Kontaktverhalten von
MOLERUS [5, 16] wird allerdings ein wesentlich komplexerer
Zusammenhang für das elastisch-plastische Kontaktverhalten
eingeführt, s. Abschnitt 3.1 [36 ± 38]. Diese Kontaktkräfte
und die resultierenden Spannungen im Kontinuum
lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen ineinander

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Chemie Ingenieur Technik (75) 6 | 2003
umrechnen [16]. Nach ziemlich aufwändigen
Umrechnungen der Kräftebilanzen
für die Bedingungen des Kontaktversagens
[40] folgen aus linearisierten
Haft- und Gleitbedingungen der Partikel
nichtlineare Flieûbedingungen des Kontinuums
[39], die mittels einer Taylor-
Reihe um den Mohrkreis des stationären
Flieûens nochmals linearisiert werden.
Mit dieser physikalisch begründeten,
theoretischen Vorbereitung
lassen sich die direkten Scherversuche
ausgesprochen bequem auswerten [33],
s. Abb. 6. Die wesentlichen Flieûkennwerte
sind nunmehr in einem Satz überschaubarer,
linearer konstitutiver Gleichungen
enthalten: für die momentane
Verfestigung der sog. Verfestigungsort
Abbildung 6.
Direkter Scherversuch mit beginnender Verfestigung, beginnendem Flieûen
und stationärem Flieûen mit den Kennwerten: r 1 Verfestigungsspannung,
r c einaxiale Druckfestigkeit, j i innere Reibungswinkel, j st stationärer (innerer)
Reibungswinkel.
( − σ
M+ σ
M,st) +
R, st
σ = ϕ
(3)
R
sin
i
σ
für das beginnende Flieûen der Flieûort
( σ
M−
σ
M,st) +
R, st
σ (4)
R
= sin ϕ
i
σ
und für das stationäre Flieûen der stationärer Flieûort [39],
s. Abb. 6:
( σ + )
σ (5)
R,st
= sin ϕ st M,st
σ 0
Für die Gleichheit der beiden Mittelpunktsspannungen
r M = r M,st ist in den Gln. (3) und (4) unmittelbar ablesbar,
dass daraus die Radiusspannung des Mohrkreises
für stationäres Flieûen r R,st = r R plausibel folgt. Wie man
den Gln. (3) bis (5) unmittelbar entnimmt, lassen sich beginnende
Verfestigung, beginnendes Flieûen und stationäres
Flieûen mit nur drei physikalisch begründeten Parametern
hinreichend beschreiben [16, 39]:
(1) j i ± instationäre Coulomb-Reibung versagender Partikelkontakte
(analog: Haftreibung zwischen Festkörpern
mit Kohäsion),
(2) j st ± stationäres Gleichgewicht der Partikelreibung zwischen
versagenden und sich simultan neu bildenden
Partikelkontakten (analog: Gleitreibung zwischen Festkörpern),
Zunahme des Reibungswiderstandes infolge
verfestigender äuûerer Kräfte und elastisch-plastische
Kontaktdeformation als Antwort,
(3) r 0 ± dreiachsige Zugfestigkeit des unverfestigten Pulvers
resultierend aus den Partikelhaftkräften ohne jegliche
Kontaktdeformation.
Als wichtigster Parameter der Vorgeschichte wird
der äuûere mittlere Druck r M,st beim stationären Flieûen
eingeführt. ¾quivalent dazu könnte man auch die Normalspannungen
des Endkreises, d. h. die Normalspannung des
Endpunktes des Flieûortes r E , die Anschernormalspannung
r An oder die gröûte Hauptspannung r 1 nutzen, s. Abb. 6.
Letztere wird unmittelbar für die Trichterauslegung benötigt
und drückt im Wesentlichen einen scheinbaren einaxialen
Spannungszustand oder eine Vergleichsspannung aus.
Der messbare Zusammenhang zwischen den beiden
Reibungswinkeln lässt sich wie folgt ausdrücken (k elastisch-plastischer
Kontaktverfestigungskoeffizient) [5, 16,
40]:
st
( 1+ κ ) tan ϕ
i
tan ϕ =
(6)
Je gröûer der Unterschied zwischen diesen beiden
Winkeln ist, desto kohäsiver wird sich das trockene Pulver
verhalten. Bei einem leicht flieûenden bis rieselfähigen
Pulver fallen dagegen alle Flieûorte nahezu auf einer Linie
zusammen. Beide Reibungswinkel sind praktisch gleich: j i »
j st . Die Kontakte verhalten sich sehr steif, d. h. k ! 0.
Die beiden Kennwerte des stationären Flieûens
j st und r 0 lassen sich direkt mit Hilfe der linearen Gl. (5)
des stationären Flieûortes ermitteln. Dazu wird eine Ausgleichsgerade
mit den r R,st (r M,st )-Punkten in einem r R =
f(r M ) Diagramm berechnet. Die Genauigkeit der Extrapolation
dieser Geraden, die zur isostatischen Zugfestigkeit r 0
führt, hängt insbesondere von der Akkuratesse der Messwertgewinnung
des stationären Flieûens ab. Unterverfestigte
oder irgendwie geringfügig vorentlastete Proben führen
hier zu physikalisch falschen Aussagen. Die Messung
von 4 bis 5 Wertepaaren, d. h. Verfestigungsniveaus mit
mindestens je 8 Einzelmessungen, s. Abb. 7, sollte für die
praktische Apparateauslegung ohnehin der Normalfall sein.
Ein Spezialfall des kohäsiven stationären Flieûens
ist das kohäsionslose stationäre Flieûen, das nach
JENIKE [27] durch den effektive Flieûort beschrieben wird:
σ (7)
R,st=
sin ϕ
e
σ
M,st
Den Zusammenhang zwischen dem druckabhängigen
effektiven Reibungswinkel j e und dem stationären
Reibungswinkel j st als Stoffwert findet man durch Gleichsetzen
der Gln. (5) und (7):

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Partikeltechnologie 657
Abbildung 7.
Translationsschergerät mit Hubsystem für gröûere
Normallasten r < 70 kPa, Bedienfeld mit Anzeige der
Schergeschwindigkeit, Twister gestaltet nach SCHWEDES [32],
Scherzelle und Belastungsjoch, montiert auf einem
Laborwagen mit Aufnahme des Zubehörs.
2.4 Verfestigungsfunktionen und Flieûfunktion
Mit Hilfe der linearen Flieûortgleichung (4) folgt im positiven
Druckbereich unmittelbar die einaxiale Druckfestigkeit
r c =2r R (r 2 = 0 und r R = r M ):
⎛ ⎞
⎜
σ
0
sin ϕ
e=
sin ϕ
st
1+
⎜ (8)
⎝ σ
M,st ⎠
Für groûe mittlere Spannungen r M,st nähern sich
folglich beide Winkel j e ! j st an. Dieser überschaubare Zusammenhang
steht in völliger Übereinstimmung mit den experimentellen
Erfahrungen bei Schertests. In der Bodenmechanik
wird eine dem stationären Flieûort zumindest
adäquate Scherspannungsfunktion mit einem wirksamen
Reibungswinkel ' verwendet [30], die der Verbindungslinie
der jeweiligen Anscherpunkte der individuellen Flieûorte
entspricht.
Für die Messung der Flieûkennwerte kohäsiver
Schüttgüter können alle direkten oder indirekten Schergeräte
benutzt werden [32]. Für eine zuverlässige Messung
von Zeitverfestigungen [34] bei extremen Umgebungsbedingungen
von h = ±20 C bis 1300 C und Luftfeuchten j L
bis 95 % hat sich die Translationsscherzelle als sehr brauchbar
herausgestellt. Diese Bedingungen können in einem
Klimaschrank bzw. Heizofen mit eingeschränkter Grundfläche
für eine ausreichende Zellenzahl realisiert werden.
Deshalb wurde ein neues Translationsschergerät gebaut,
das zwecks bequemer Handhabung bei der Versuchsdurchführung
mit einem Hubsystem versehen
und auf einem Laborwagen befestigt
wurde, s. Abb. 7. Für die Überprüfung
der Flieûkennwerte bei Einleitung von
Schwingungen unmittelbar in die Scherzone
wird ein zweites Translationsschergerät
genutzt [42]. Bei längeren Scherwegen
sowie bei höheren Belastungen im
Zentrifugalkraftfeld oder im Mitteldruckbereich
von etwa 50 bis 1000 kPa können
wir zusätzlich eine robust ausgelegte
Ringscherzelle anwenden [43].
2
=
( sin ϕ − sin ϕ )
σ
2 sin ϕ
st i
st
σ
c
M,st +
(9)
0
1−
sin ϕ
i
1−
sin ϕ
i
Dem entsprechend erhält man ebenfalls mit
Gl. (4) den Betrag der einaxialen Zugfestigkeit im negativen
Zugbereich r Z,1 =2r R (r 1 = 0 und r R =±r M ):
2
=
( sin ϕ − sin ϕ )
σ
2 sin ϕ
+
st i
st
σ (10)
Z,1
M,st
0
1+
sin ϕ
i
1+
sin ϕ
i
Beide Verfestigungsfunktionen beschreiben physikalisch
begründet die lineare Zunahme der einaxialen
Druck- und Zugfestigkeit mit einer Zunahme der mittleren
Spannung r M,st . Der Anstieg beider Funktionen (9) und (10)
wird im Wesentlichen durch die Differenz der beiden Reibungswinkel
sin j st ± sin j i beeinflusst. Er ist für das flieûende
Kontinuum auch ein Maû der Flieûfähigkeit. Mit Hilfe
der Beziehung (6) wird auch klar, dass dieser Anstieg
auch die Nachgiebigkeit der Partikelkontakte im Mikroskopischen
charakterisiert, s. Tab. 1.
Bei der Auslegung von Trichtern ist es üblich,
statt der bisher benutzten mittleren Spannung r M,st die
gröûte Hauptspannung r 1 zu verwenden [27]. Beide charakterisieren
hinreichend die Beanspruchungsvorgeschichte
des Schüttgutes im Falle des stationären Flieûens.
Mittels der Flieûbedingung für stationäres Flieûen lassen
sich die beiden Spannungen r M,st und r 1 austauschen:
σ − σ
=
sin ϕ
1 0 st
σ
M,st
(11)
1+
sin ϕ
st
Unter Beachtung der gemeinsamen Auftragung
von Druck- und Zugspannungen in Abb. 6 werden die linearen
Verläufe der Verfestigungsfunktionen ebenfalls in Abb.
8 gemeinsam über die Verfestigungsspannung r 1 dargestellt.
Die charakteristischen Geraden der momentanen Verfestigung
und der Zeitverfestigung treffen sich jeweils im gleichen
Abszissenabschnitt der r 1 -Achse. Dieser charakterisiert,
wie die Zugfestigkeit in Abb. 4, ein inneres
Verfestigungsvermögen ohne äuûere Spannungen, allein
aufgrund der Partikelhaftung.
Tabelle 1.
Flieûverhalten und elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffizient k für
einen konstanten inneren Reibungswinkel von j i = 30.
Flieûfunktion ff c k-Werte j st in Bewertung Beispiele
100 ± 10 0,01 ± 0,11 30,3 ± 33 frei flieûend trockener Feinsand
10 ± 4 0,11 ± 0,3 33 ± 37 leicht flieûend feuchter Feinsand
4 ± 2 0,3 ± 0,77 37 ± 46 kohäsiv trockene Pulver
2 ± 1 0,77 ± 1 46 ± 90 sehr kohäsiv feuchte Pulver

658
ÜBERSICHTSBEITR¾GE
Chemie Ingenieur Technik (75) 6 | 2003
Abbildung 8.
Verfestigungsfunktionen des TiO 2 -Pulvers bei den
Lagerzeiten t = 0 und 24 h.
Mit Hilfe des Anstieges der Druckfestigkeitsfunktion
r c (r 1 ) gewinnt man nun den unmittelbaren Zusammenhang
zwischen dem elastisch-plastischen Partikelkontaktverfestigungskoeffizienten
k = f(ff c ) und der Flieûfunktion
nach JENIKE [27]:
κ =
1+
(2 ff
tan ϕ
i
c
− 1) sin ϕ
( 2 ff − 1+
sin ϕ )
c
i
i
1
2
⎛ 1+
(2 ff
c
− 1) sin ϕ ⎞
i
1−
⎜
⎜
⎝ 2 ff
c
− 1+
sin ϕ
i ⎠
− 1
(12)
Tab. 1 enthält die semi-empirischen Werte gemäû
JENIKE und die Ergänzung ¹nicht flieûend, verhärtetª für ff c
1. Geringe Flieûfunktionswerte bedeuten kohäsives bis
nicht flieûendes Verhalten, verursacht durch hohe Kontaktnachgiebigkeiten,
und umgekehrt steife Kontakte erzeugen
freie Flieû- oder Rieselfähigkeit, eben wie trockener Ostseesand.
2.5 Kompressionsverhalten eines kohäsiven
Pulvers
Das Kompressionsverhalten eines kohäsiven Pulvers ist
durch die Druckabhängigkeit der Packungsdichte gekennzeichnet.
Es steht im unmittelbaren Zusammenhang zum
Flieûverhalten und wird beeinflusst von folgenden Mikrovorgängen:
± Umlagerung steifer Partikel mit steifen Kontakten zu
einer dichteren Zufallspackung,
± Deformation weicher Kontakte von harten (mineralischen)
Partikeln und
± Deformation weicher Partikel (z. B. Biozellen).
Bei der Beurteilung eines Pulvers in bezug auf
seine Tablettier- oder Brikettierfähigkeit unter hohem
Druck sind auûerdem zu unterscheiden:
± seine Kompressibilität, d. h. das Vermögen zur Volumenreduktion
unter Druck, und
± die Verpressbarkeit, d. h. das Vermögen, unter Druck
einen Pressling mit genügender Festigkeit zu bilden.
Genau diese beiden Eigenschaften eines kohäsiven
Pulvers wurden auch in einem Scherversuch überprüft,
und zwar die Kompression beim Vorverfestigen/Anscheren
und anschlieûend die erzeugte Festigkeit durch das Abscheren,
s. Abb. 6. Diese direkt gemessenen Scherfestigkeiten
lassen sich in die Druck- und Zugfestigkeiten umrechnen,
s. Abb. 4. Demzufolge sind Scherversuche, durchgeführt zumindest
in einem mittelgroûen Druckbereich von etwa 50
bis 1000 kPa, ebenfalls geeignet, diese Eigenschaftsfunktionen
zu quantifizieren.
Zur Beschreibung wird eine isentropische Pulverkompression
in dem Sinne angenommen, dass sich während
der Verdichtung nicht der Ordnungszustand der Zufallspackung
ändert. Es findet kein Übergang in eine reguläre Packung
statt. Im Analogieschluss kann die Gleichung für adiabate
Gaskompression angewandt werden, wobei zusätzlich
noch die innere Haftung zwischen den Partikeln berücksichtigt
wird [36, 39]. Diese isostatische Zugspannung r 0 der
Partikel entspricht somit dem Kohäsionsdruck als Ausdruck
molekularer Anziehung in der van-der-Waals-Gas-Gleichung,
die für reale Gase in der Nähe ihres Kondensationspunktes
gilt. Davon ausgehend werden nun die folgenden
Funktionen des Kompressionsverhalten kohäsiver Schüttgüter
auf dieser physikalischen Grundlage eingeführt:
± Die Auswertung der sog. Kompressionsrate als eine inkrementale
¹Verdichtungsgeschwindigkeitª [44, 45] ist
insbesondere dann geeignet, wenn sich über mehrere
Gröûenordnungen des mittleren Kompressionsdruckes
p = r M,st der Kompressibilitätsindex n ändern kann,
s. Abb. 9.
dρ
dσ
b
M,st
= n
σ
0
ρ
b
+σ
M,st
(13)
Verantwortlich dafür ist ein Wechsel der prozessbestimmenden
Mikrovorgänge, z. B. bei hohen Pressdrücken
der Übergang der Kontaktdeformationen zu einer Partikeldeformation.
Vorschläge für eine Einteilung des Kompressibilitätsindex
im Hinblick auf das Flieûverhalten
kohäsiver Schüttgüter finden sich in Tab. 2.
± Die Kompressionsfunktion b = f(r M,st ), oder häufig
V = f(p) [44], wird durch Integration der Kompressionsrate
Gl. (13) erhalten. Sie beschreibt den Zusammenhang
Abbildung 9.
Isentropische Kompression eines kohäsiven Pulvers.

Chemie Ingenieur Technik (75) 6| 2003
Partikeltechnologie 659
Tabelle 2.
Der Kompressibilitätsindex n von Schüttgütern,
semi-empirische Abschätzung für r M,st < 50 kPa.
Index n Bewertung Beispiele Flieûfähigkeit
0 ± 0,01 inkompressibel Schotter frei flieûend
0,01 ± 0,05 wenig kompressibel feiner Sand
0,05 ± 0,1 kompressibel trockene Pulver kohäsiv
0,1 ± 1 sehr kompressibel feuchte Pulver sehr kohäsiv
Abbildung 11.
Charakteristische Kennwertfunktionen kohäsiver Pulver für
nachgiebiges und steifes Partikelkontakt- u. Flieûverhalten
[37].
zwischen der Schüttgutdichte b und dem angewandten
mittleren Druck r M,st nach Entlastung und elastischer
Rückdehnung [36, 39]:
ρ
ρ
b
= 1
b,0
⎛ σ
⎜ +
⎝ σ
M,st
0
n
⎞
⎜ (14)
⎠
± Die spezifische Kompressionsarbeit W m,b eines kohäsiven
Pulvers wird durch erneute Integration der reziproken
Kompressionsfunktion Gl. (14) (n 6ˆ 1) erhalten. Sie
beschreibt den Zusammenhang der äuûeren massebezogenen
Arbeit (untere Grenze r M,st = 0) in Abhängigkeit
vom mittleren Druck r M,st beim Verdichten:
W
m,b
= n
σ
1−
n
M,st
dσ
⎡
⎤
M,st n σ ⎛ σ ⎞
0
M,st
∫ = ⎢ ⎜ 1+
⎜ − 1⎥
(15)
ρ ( σ ) 1−
n ρ
b,0 ⎢ ⎣ ⎝ σ
0 b M, st
0 ⎠ ⎥ ⎦
Die prinzipiellen Verläufe dieser drei Funktionen
(13), (14) und (15) können der Abb. 10 entnommen werden.
In der Nähe des Startpunktes r M,st =±r 0 ist durch beginnende
Umlagerung und Kontaktdeformation der Dichtezuwachs
am gröûten (gestrichelte Kurve). Die spezifische Kompressionsarbeit,
strichpunktierte Kurve, beginnt am Nullpunkt
und beträgt beispielsweise 0,2 bis 1,5 J/kg für das TiO 2 -Pulver
bei den eingestellten Verdichtungsniveaus r M,st = 2 bis
19 kPa der Flieûorte 1 bis 4 einer Translationsscherzelle.
Diese Werte beinhalten nur den Kompressionsanteil des
Energieeintrages durch Normal- und Scherspannungen bis
zum Erreichen einer konstanten Schüttgutdichte durch stationäres
Flieûen. Weiterführende Energieeinträge in die
Scherzone durch stationäres Scheren werden in zusätzliche
inelastische Kontaktdeformationen, Gefügeversetzungen,
Reibungswärme, Partikel- und Wandabrasion oder sogar
Partikelbrüche umgewandelt.
Abbildung 10.
Kompressionsrate, Kompressionsfunktion und spezifische
Kompressionsarbeit eines kohäsiven Pulvers.
Die Gln. (14) und (15) zur Auswertung der Kompressions-
und Scherversuche von kohäsiven Schüttgütern
setzen voraus, dass die isostatische Zugfestigkeit r 0 6ˆ 0 verschieden
von Null ist. Es gibt nun einige Schüttgüter, bei denen
die Extrapolation des stationären Flieûortes einen Wert
von praktisch Null liefert. Das bedeutet kohäsionsloses stationäres
Flieûen. Dies wird durch den effektiven Flieûort
nach JENIKE [27] als Spezialfall des stationären Flieûortes
beschrieben. Für solche Schüttgüter ist die Anwendung der
Auswertemethodik ratsam, die schon früher publiziert wurde
[33, 34]. Auûerdem kann für r 0 = 0 auch das Drucker-Prager-Modell
mit Ergänzungen [41] genutzt werden. Allerdings
sind nur 5 Stoffparameter tatsächlich notwendig für
eine überschaubare Formulierung eines Stoffgesetzes des
Flieûens kohäsiver Schüttgüter. Mit den konstitutiven Gln.
(3), (4), (5) und (14), der isostatische Zugfestigkeit r 0 , mit
dem inneren und stationären Reibungswinkel j i , j st sowie
mit dem mittleren Druck beim stationären Flieûen r M,st als
Parameter der Vorgeschichte lassen sich die momentane
Verfestigung, das beginnende und das stationäre Flieûen
vollständig beschreiben.
3 Schlussfolgerungen
Die partikelmechanischen Modellvorstellungen werden beispielsweise
genutzt, um den Einfluss von mechanischen
Schwingungen [42] oder das Auspressen von wassergesättigten
Filterkuchen unter hohem Druck [43] physikalisch
besser zu verstehen.

660
ÜBERSICHTSBEITR¾GE
Chemie Ingenieur Technik (75) 6 | 2003
Erstmalig ist der unmittelbare Einfluss des mechanischen
Partikelkontaktverhaltens, ausgedrückt durch
einen elastisch-plastischen Kontaktverfestigungskoeffizienten,
auf die semi-empirische Flieûfunktion (nach JENIKE)
analytisch darstellbar. Mit Hilfe eines Kompressibilitätsindex
lässt sich das Verdichtungsverhalten einschätzen. Zusätzlich
werden die Kompressionsrate und die spezifische
Kompressionsarbeit eingeführt. Damit können die Schüttgüter
hinsichtlich Kontaktnachgiebigkeit, Haftkraftverstärkung,
Flieûfähigkeit und Kompressibilität auf physikalischer
Grundlage beurteilt werden, s. Abb. 11.
Selbstverständlich lassen sich mit den vorgestellten
Eigenschaftsfunktionen auch zweckmäûige Schlussfolgerungen
für eine marktgerechte Produktgestaltung in der
stoffwandelnden Industrie [1] ziehen.
m [] Dilatanzwinkel
[kg/m 3 ] Dichte
r [kPa] Normalspannung
r 0 [kPa] isostatische Zugfestigkeit der
unverfestigten Packung
r 1 [kPa] gröûte Hauptspannung beim stationären
Flieûen
r 2 [kPa] kleinste Hauptspannung
r F [MPa] plastische Flieûgrenze bei Zugbeanspruchung
r Z [kPa] Zugfestigkeit
s [kPa] Scherspannung
s c [kPa] Kohäsion
j i [] innerer Reibungswinkel
j st [] stationärer Reibungswinkel
Der Autor möchte sich bei seinen Mitarbeitern Dr. S. AMAN,
Dr. T. GRÖGER, S. SCHUBERT, B. EBENAU,Dr.B.REICHMANN,Dr.T.
KOLLMANN und Dr. W. HINTZ für die experimentellen Beiträge
und konstruktiven Hinweise bedanken. Ein besonderer Dank
gilt Prof. S. LUDING [6] und Prof. H.-J.BUTT[25] für die intensiven
und kritischen Diskussionen der physikalischen Grundlagen
der Partikel- und Schüttgutmechanik im Rahmen der gemeinsamen
Bearbeitung des Projektes ¹Scherdynamik kohäsiver,
feindisperser Partikelsystemeª innerhalb des DFG-
Sonderprogrammes ¹Verhalten granularer Medienª.
Eingegangen am13. Februar 2003 [B6134]
Formelzeichen
a [nm] Partikelabstand
a F=0 [nm] Mindestabstand für molekulares
Kräftegleichgewicht
C H [J] Hamaker-Konstante nach LIFSCHITZ
[11]
d [m] Partikelgröûe
F [N] Kraft
ff c [±] Flieûfunktion nach JENIKE [27]
h [m] Höhe
h K [nm] Kontaktabplattungshöhe beider
Partner
n [±] Kompressibilitätsindex
p [MPa] Druck
Re [±] Reynolds-Zahl
r K [nm] Kontaktkreisradius
s [mm] Scherweg
t [h] Zeit
v S [mm/min] Schergeschwindigkeit
W [J] Arbeit
X [g/g] Masseanteil
griechische Buchstaben
e 0 [m 3 /m 3 ] Porosität der unverfestigten Pakkung
e [Pa s] dynamische Viskosität
h [C] Temperatur
k [±] elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffizient
Indices
0 belastungsfrei, Anfangszustand
A flächenbezogen
b Schüttgutc
Drucke
effektiv (wirksam)
f Flieûen
H Hafti
innerer
iso isostatisch
K Kontaktl
liquid
m massebezogen
M Mittelpunkt des Mohrkreises
max maximal
min minimal
N Normal-
R Radius des Mohrkreises
s solid
S scher-, oberflächenbezogen
st stationär
Sz Scherzone
t zeitabhängig
T tangential-
W Wasser
Z Zug-
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