Wechselwirkung und Strukturbildung in kolloidalen Suspensionen

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Wechselwirkung und Strukturbildung in kolloidalen Suspensionen 4 sich S und damit F ermitteln. Die Konfiguration mit der höheren Entropie beziehungsweise der niedrigeren Energie wird angenommen werden. Die Zustandsumme ist definiert als Z = = N∑ j e Ej/kT ( Pos. ) ∑ e −ε1,i/kT i j=1 ( Pos. ) ( ∑ Pos. ) ∑ e −ε2,i/kT ... e −ε N,i/kT i j=2 i j=N Die zweite Zeile ergibt sich aus kombinatorischen Überlegungen. Wenn man zu jeder möglichen Position des ersten Teilchens (es gibt Pos. Möglichkeiten) jede mögliche Position des zweiten, dritten etc. Teilchens betrachtet, so ergibt gerade dieses Produkt. Nun bewegen sich die Teilchen aber in einem Hartkugelpotential, d. h. die Energie ist an allen Position ε = 0. Damit reduzieren sich alle Exponentialausdrücke zu 1. Wir erhalten also Z ∼ NN Pos. wobei N die Anzahl der Teilchen und N Pos. die Anzahl der möglichen Positionen eines Teilchens ist. Damit wird S ∼ k ln(NN Pos. ) Um nun ein Maß für die Zahl der möglichen Positionen eines Teilchens zu erhalten, überlegt man sich, dass diese Anzahl in enger Verbindung mit dem freien Volumen V frei steht: N Pos. ∼ 1+V frei . Ist ein Teilchen fixiert, so hat es nur eine mögliche Position. Hat es zusätzlich noch ein freies Volumen zur Verfügung, in dem es sich bewegen kann, so ist die Anzahl der möglichen Position proportional zur Größe dieses Volumens V frei . Nun betrachten wir wieder unsere beiden möglichen Konfigurationen mit Φ = 0, 64 (links r.c.p., rechts regelmäßiger Kristall) Im kristallinen Fall ergibt sich V frei,gesamt /V gesamt =0, 74 − 0, 64 = 0, 1, da bei der dichtest möglichen Kugelpackung Φ = 0, 74 ist. Im Fall des random close
Wechselwirkung und Strukturbildung in kolloidalen Suspensionen 5 packing (r.c.p.) finden wir V frei,gesamt /V gesamt =0.Damitfolgt: S Kristall >S r.c.p. Beziehungsweise: F Kristall
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